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Prova de Implicações Uma implicação é verdadeira quando a verdade do seu antecedente acarreta a verdade do seu consequente. Ex.: Considere a implicação: “Se chove, então a rua está molhada”. Observe que a implicação não afirma nem que está chovendo nem que a rua está molhada, mas que existe uma certa relação de causa e efeito entre chover e a rua estar molhada. Quando sabemos que uma implicação é verdadeira, não podemos concluir que seu antecedente é verdadeiro, nem que seu consequente é verdadeiro, mas que não podemos considerar seu antecedente verdadeiro e seu consequente falso. Essa análise da relação entre o antecedente e o consequente de uma implicação verdadeira nos leva a considerar que para provar implicações, podemos utilizar o seguinte método. Método da Suposição Para provar uma implicação “se p, então q”, é suficiente fazer o seguinte: 1) Supor que o antecedente p é verdadeiro; 2) Provar que o consequente q é verdadeiro, usando p como premissa (hipótese). Ex.: Proposição: P(p, q) = Se n é um número natural par, então n² é um número natural par. Definição: seja n∈ℕ . Dizemos que n é par se existe um número natural k tal que n = 2k. Prova: p → q Suponha que n é par. Então, n = 2k, em que k∈ℕ . Desta forma, n2=2 k 2=2 .2 k 2=22 k2 , em que 2 k 2∈ℕ . Logo, n² é par e portanto P(p, q) é V. Método da Contraposição Para provar que p → q, basta fazer o seguinte: 1) Supor que a negação do consequente, ¬q, é verdadeira; 2) provar que a negação do antecedente, ¬p, é verdadeira, usando ¬q como premissa ( p q ≡ ¬q¬ p ) Ex.: Seja x um número natural qualquer. P(p, q) = Se x² é par, então x é par. Prova: x não é par → x² não é par. Supondo que x é ímpar, temos que x = 2n + 1, n∈ℕ . Logo, x2=2 n+1 2=4n 24 n+1=2 2n22n 1 , 2n 22n∈ℕ . Assim, x² é impar, ou seja, x² não é par. Tautologia (t): é uma proposição que é sempre verdadeira independentemente dos valores-verdade das afirmações que compõem a proposição. Exs.: p → p, (¬ ¬ p) ↔ p, p ∨ ¬ p , (p → q ) ↔ (¬q → ¬p) Contradição (c): proposição que é sempre falsa. Exs.: p ∧ ¬ p , p ↔ ¬p Método de Redução ao Absurdo (Prova por Contradição) A prova por contradição consiste em acrescentar a negação da conclusão ao conjunto de premissas e mostrar, através das regras de inferência, que esta inclusão leva logicamente a uma contradição. Conjunto de premissas: { p1, p2,⋯ , pn } Quero provar que {p1, p2,⋯ , pn} q . Basta mostrar que {p1, p2,⋯ , pn ,¬q} { pi ∧ ¬ pi} , ou seja, ¬q → c, onde c é uma contradição. Ex.: Proposição: √2 não é um número racional. Premissas: I. Todo número racional positivo pode ser escrito como uma fração de dois números naturais a e b, com b≠0 . II. Toda fração a/b de dois números naturais pode ser simplificada até uma fração c/d, onde c e d não possuem fatores comuns. III.Todo número natural é par ou ímpar de maneira exclusiva. Os números pares podem ser escritos na forma “2m”, m∈ℕ e os ímpares, na forma “2n + 1”, n∈ℕ . IV.Se o quadrado de um número é par, então este número é par. PROVA: Supor que √2 é um número racional. Logo, de (I), temos que √2=ab De (II), segue que √2= cd , em que c e d não possuem fatores em comum. Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado, temos que 2= c 2 d 2 , ou seja, c2=2d 2 (1). De (III), concluímos que c² é par. De (IV), é possível concluir que c é par. Portanto, de (III), temos que: c = 2m (2) Substituindo (2) em (1), segue que: (2m)² = 2d² e, daí, 4m² = 2d² ↔ 2m² = d², ou seja, d² é par, e, consequentemente, d é par, e portanto, d = 2n. Assim, c = 2m e d = 2n, acarretando que c e d possuem 2 como um fator comum, contradizendo a premissa (II). Portanto, √2 não é um número racional. Função Proposicional p(x) torna-se uma proposição sempre que x for substituído por a∈A , ou seja, p(x) é uma sentença com a propriedade que p(a) é V ou F. Ex.: p x : x27 é uma função proposicional se A=ℝ , e não se A=ℂ Outra maneira de lidar com funções proposicionais, observando que p(x) pode ser V para todo x∈A , para algum x 0∈A ou para nenhum x∈A Quantificadores: ∀ , ∃ Notação: ∀ = para todo ou qualquer que seja (quantificador universal) ∀ x∈A p x ou ∀ x , p x ∃ = existe, para algum, para ao menos um (quantificador existencial) ∃ x∈A p x ou ∃ x , p x Negação: proposições com quantificadores Ex.: “ Todos os homens são mentirosos” não é verdade que (todos os homens são mentirosos) existe ao menos um homem que não é mentiroso ¬ ∀ x∈H (x é mentiroso) equivale a ∃ x∈H (x não é mentiroso) Teorema (De Morgan) ¬ ∀ x∈A px ↔ ∃ x∈A¬ p x ¬ ∃ x∈A p x ↔ ∀ x∈A¬ px Dado que ¬ ∀ x∈A px ↔ ∃ x∈A¬ p x , para mostrar que ∀ x , p x é falso, basta que ∃ x0 , p x0 é falso. Tal x 0 é denominado de CONTRA-EXEMPLO
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