APOSTILA DE CÁLCULO 1

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1
 
 
Números Naturais 
 
Trata-se do conjunto 
 
 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}1 
 
Este conjunto é fechado para as operações de soma, e multiplicação. Isto significa que 
dados dois números naturais, a sua soma e multiplicação é um número natural. 
 
Números Inteiros 
 
Trata-se do conjunto 
 
 Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} 
 
Este conjunto é fechado para as operações de soma, subtração e multiplicação. Porém, 
dados dois números inteiros, a divisão entre eles não é necessariamente um inteiro. 
 
 
Números Racionais 
 
Trata-se do conjunto 
 
 Q = { a
b
 / a ∈ Z , b∈ Z , b ≠ 0} 
 
Este conjunto é fechado para as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão. 
Em geral temos 
 
 QZN ⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂ 
 
Todo número racional pode ser representado sob a forma decimal e sua representação é 
infinita e periódica. 
 
Por exemplo, 1 0,5
2
= 000...; 1 0,3333...
3
= 
 
 
 
 
 
 
1
 Foi definido o conjunto N* = {1, 2, 3, 4,...}, que é o conjunto dos naturais excluído o zero. 
 Então, N* ⊂ N 
1
 2
 
 
Números Reais 
 
Os números reais são definidos por 
 
 IQR ∪∪∪∪==== 
 
onde I é o conjunto dos números irracionais . 
 
Os números irracionais são aqueles que podem ser escritos sob a forma decimal infinita, 
mas não periódica. 
Por exemplo, 2 1, 41421356...= ; 3,141492...pi = 
Toda raiz quadrada de número inteiro cujo resultado não seja inteiro é um número 
irracional. 
Os números reais podem ser representados como pontos numa reta ordenada, com o zero 
sendo a origem. Daí, todo valor à direita de zero é positivo e este valor é a distância até a 
origem. A idéia é a mesma para valores menores do que zero. 
 
Reta Ordenada - Existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos 
da reta ordenada. Diz-se que um número ‘a’ é menor que um número ‘b’ (ou b é maior que 
a) se a representação na reta ordenada é: 
 
 
 
 
 
Dizemos que: a < b ou b > a. 
 
 
Desigualdades 
 
< - significa é menor que →→→→ a < b (estritas) 
 
> - significa é maior que →→→→ a > b (estritas) 
 
≥≥≥≥ - significa é menor ou igual que →→→→ a ≥≥≥≥ b (não estritas) 
 
≤ - significa é maior ou igual que →→→→ a ≤ b (não estritas) 
 
 
 
 
 
 a b 
2
 3
Intervalos 
 
Considerando que a e b são dois números reais e a<b, temos alguns subconjuntos 
importantes de R. 
 
� Intervalo aberto de a a b, denotado por (a,b), é o conjunto de todos os números 
reais, tais que a<x<b. 
 (a,b) =] a, b [= {x ∈ R / a<x<b} 
 
� Intervalo fechado de a a b, denotado por [a,b], é o conjunto de todos os números 
reais, tais que a ≤ x ≤ b. 
 [a,b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} 
 
� Intervalo fechado à direita (ou semi-aberto à esquerda) de a e b, denotado por (a,b], 
é o conjunto de todos os números reais, tais que a< x ≤ b. 
 (a,b] = ]a,b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} 
 
� Intervalo fechado à esquerda (ou semi- aberto à direita) de a a b, denotado por [a,b), 
é o conjunto de todos os números reais, tais que a ≤ x < b. 
 [a,b) = [a,b[ = {x ∈ R / a ≤ x < b} 
 
 
São intervalos, também: 
 
� {x ∈ R / x < a} = (-∞, a) = ]-∞, a[ 
 
� {x ∈ R / x ≤ a} = (-∞, a] = ]-∞, a] 
 
� {x ∈ R / x > a} = (a, ∞) = ]a, ∞[ 
 
� {x ∈ R / x ≥≥≥≥ a} = [a, ∞) = [a, ∞[ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
 4
 
 
 
Par ordenado 
 
• Par é todo conjunto formado por dois elementos em uma determinada ordem, isto é, 
(-2, 6) e (6, -2) são pares. 
 
• Plano numérico (R2) - é o conjunto de todos os pares ordenados em que os dois 
elementos pertencem ao conjunto dos números reais. 
 
• Sistema Cartesiano Ortogonal - é um sistema formado por dois eixos, x e y, 
perpendiculares entre si. 
 
Sistema Cartesiano Ortogonal 
 
• O eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas. 
• Estes eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes. 
• Este sistema é utilizado para localizar um ponto no plano. Assim, o ponto indicado 
na figura tem abscissa a e ordenada b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R2 
(2; 6) 
(-3; 7) 
(-5; -8) 
(4; -13) 
-15
-10
-5
0
5
10
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
y
Primeiro 
quadrante
x>0; y>0 
(2;6)Segundo 
quadrante
x<0; y>0
(-3;7)
Terceiro
 quadrante
x<0; y<0
(-5;-8) 
Quarto 
 quadrante 
x>0; y<0
(4;-13)
4
 5
Módulo ou Valor Absoluto 
 
Dado um número real x, o módulo de x, denotado por x , é definido como: 
 
 x =
, se x 0
-x, se x < 0
x ≥

 
 
Desta forma, o módulo sempre responde um valor positivo. 
Por exemplo, -5 = 5; -4 = 4. 
Assim o módulo de um número significa a distância do número até a origem. A distância de 
–7 até zero é a mesma distância de 7 até zero. Daí, -7 = 7 =7. 
 
Dado este conceito decorrem as seguintes propriedades: 
Seja k uma constante positiva 
(1) Se x = k, então x = k ou x = - k. 
(2) Se x < k, então – k < x < k. 
(3) Se x  > k, então x > k ou x < - k. 
 
Por exemplo, se x < 5 temos que a distância de x até zero é no máximo 5. Então x pode 
ser -1 ou 4 ou –3, ou 2... Daí, -5 < x < 5. 
Em geral x-y < k, significa que a distância de x até y (que é a mesma de y até x, y-x = x-
y ) é no máximo k. 
Por exemplo: 
2x-3  < 7, temos que a distância de 2x até 3 é no máximo 7.Daí, 3-7 < 2x < 3+7 
Então, o conjunto solução é o intervalo ]-2, 5[. 
O raciocínio é análogo para o caso x-y > k. 
 
 
Potenciação 
 
 
 
Onde: x é a base , x ∈ R 
 b é o expoente, b ∈ R 
 
 
 
 
 
 
 
 
43421
vezesb
b
xxxxxy ⋅⋅⋅⋅== ...
5
 6
Propriedades 
Se x e y são reais, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polinômios 
 
 
 
onde n∈N , ai, i=0,1,...,n são números reais chamados coeficientes. 
O grau do polinômio corresponde à mais alta potência de x presente neste polinômio. 
 
Somente se efetua a divisão entre dois polinômios quando o grau do dividendo for maior ou 
igual ao grau do divisor. Na multiplicação, propriedade distributiva. 
 
a) 4x2x3)x(P 2 ++++−−−−==== ; 3x)x(S −−−−==== (Divisão) 
 
b) faça a multiplicação com os polinômios do item anterior. 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
nmnm xxx ++++====
0x,x
x
x nm
n
m
≠≠≠≠==== −−−−
(((( )))) nmnm xx ⋅⋅⋅⋅====
(((( )))) mmm yxyx ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅
0y,
y
x
y
x
m
mm
≠≠≠≠====





m
m
x
x
1
−−−−
====
0n,xx n1n >>>>====
(((( )))) 0n,xxx nmmnn m >>>>========
(((( )))) 01221n1nnn axaxaxaxaxP ++++++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++++==== −−−−−−−−
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))62
22232
4x
)x2(4xx3)x2(4x
−−−−
−−−−−−−−−−−−
6
 7
Qualquer polinômio de grau n ≥ 1 pode ser escrito na forma fatorada: 
P(x) = an (x −−−− x1)....(x −−−− x2) ………… (x −−−− xn) 
Onde: 
an é o coeficiente do termo de maior grau 
 
x1, x2 ,…………, xn são as raízes de P(x). 
 
Produtos notáveis 
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
• (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
• a
2
 – b2 = (a + b) . (a – b) 
• (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3 
• (a – b)3 = a3 – 3 a2 b + 3 ab2 – b3 
• a
3
 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) 
 
Desenvolver os produtos notáveis: 
 
a) (x −−−− 5)2 
 
b) (2x + 3)2 
 
c) 
 
Fatore 
 
 
 
 
 
Na adição e subtração de frações algébricas, as frações têm omesmo denominador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)1x)(1x(2)2x()2x( 22 ++++−−−−++++−−−−++++++++
4x
1x
2x
3
2x
5
2 ++++
−−−−
−−−−
++++
++++
−−−−
24 5xx −−−−
1x 4 −−−−
xx 3 −−−−
7
 9
Funções 
Conceito: Dados os conjuntos X e Y, uma função é uma relação onde a cada elemento do 
domínio (X) corresponde um e só um elemento da imagem (Y). É, também, denominada, 
correspondência unívoca. Notação: 
dependente variávelay e teindependen variávela é x onde);(xfy = 
Domínio: conjunto de valores de x para os quais a função será definida. 
Exercícios: 
Encontre o domínio das seguintes funções: 
1. 2( ) 3 2 1g x x x= + + . 
 
2. F x x( ) = −1 . 
 
3. f x x
x
( ) = +
−
2
12
. 
 
4. f x x
x x
( ) =
+ −
4
2 6
. 
 
5. g x x x( ) = −24 6 . 
 
Imagem: conjunto de valores de y que a função poderá assumir 
 
Funções compostas 
))(()(1 xgfxfog =− 
))(()(2 xfgxgof =− 
O domínio no caso (1) é o conjunto de todos os valores de x no domínio de g(x) que 
estejam no domínio de f(x) 
 
 
8
 10
Exercícios: 
1. Seja f x x x( ) = − −2 1 e g x x( ) = 4 . Encontre o f go . 
2. Seja f x x x( ) = − −2 1 e g x x( ) = 4 . Encontre o g fo . 
3. Seja ( ) 4 5f x x= + . Encontre o f fo . 
4. Seja 2( )f x
x
= . Encontre o f f fo o . 
5. Seja f x x( ) = +3 4 e g x x( ) = −2 1. Encontre o f go . 
6. Seja f x x( ) = +3 4 e g x x( ) = −2 1. Encontre o g fo . 
 
Função inversa 
(WEBER, 1986, pp.12-13): “ )(xfy = é uma função se y está univocamente 
determinado para todo x, isto é, se existe um e somente um valor de y associado a cada 
valor de x. Se um e somente um valor de x está associado a cada valor y, então existe 
uma função inversa )(ygx = ; )(xfy = e )(ygx = são funções inversas se e somente se 
yygf =)]([ e xxfg =)]([ . A notação é: )(1 xf − ; então, xxffxff == −− )]([)]([ 11 .” 
Exemplo: 
1) 12 −= xy 
 12 += yx 
 
2
1+
=
y
x ; que é uma função. Como as letras usadas para indicar os valores do 
domínio e da imagem são arbitrárias, x e y são usadas em sua ordem habitual. 
Portanto: 
2
11 +
=⇒−
xyg 
Exercícios: 
Para cada uma das funções abaixo, ache a função inversa e mostre que 
xxffxff == −− )]([)]([ 11 . 
a) 0,2 ≥= xxy ; 
9
 11
b) 23 += xy ; 
c) )4( −= x
xy ; 
d) )2(
)2(
+
−
=
x
xy ; 
e) 
x
xy )3( += 
10
 1
Inequações 
Produto 
0)().(
0)().(
0)().(
0)().(
≤
≥
<
>
xgxf
xgxf
xgxf
xgxf
 
Quociente 
0)(/)(
0)(/)(
0)(/)(
0)(/)(
≤
≥
<
>
xgxf
xgxf
xgxf
xgxf
 
 
 
Exercícios 
a) ( )( ) 032.2 ≥+−+ xx 
 
b) 0)3).(42.( <−+− xxx 
 
c) 0
2
43 ≥
−
−
x
x
 
 
d) 2
56
43 ≤
+
+
x
x
 
 
e) 0432 >+− xx 
 
f) 0122 ≤++ xx 
 
g) 0642 2 ≥+−− xx 
 
h) 0)14).(32( 2 >−−+ xxx 
 
i) 0
41
123
2
2
≤
−
−−
x
xx
 
 
Função Linear 
 
bxaxfy +== .)( 
 
linear ecoeficient o é 
angular ecoeficient o é 
b
a
 
 
edecrescent 0
crescente0
→<
→>
a
a
 
 
Domínio: R ; Imagem: R 
 
 
 
11
 2
Exemplos: 
 
3
2
1
 1) −= xy 
 
 
 
1
4
1
 2) −−= xy 
 
 
 
12
 3
Função do Segundo Grau 
 
cxbxaxfy ++== ..)( 2 
 
baixo para econcavidad 0
cima para econcavidad0
→<
→>
a
a
 
 
Domínio: R ; Imagem: raízes das Dependerá 
∆ > 0 ⇒ a equação terá duas raízes reais e distintas 
∆ = 0 ⇒ a equação terá uma única raiz real 
∆ < 0 ⇒ a equação não terá raízes reais 
Exemplos 
32y 1) 2 −−= xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13
 4
32-y 2) 2 ++= xx 
 
 
Função Modulo 
 
{ 0 , 0 , ≥<−=⇒ xsex xsexxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14
 5
Função Exponencial 
 
xay = , a: base e 0>a ; x: expoente; 
Domínio: R ; Imagem: *+R ; 
Outras características: 
• Assíntota horizontal em 0=y 
• 1>a ⇒ Função crescente 
 
• 1<a ⇒ Função decrescente 
 
Notações (casos especiais): 
 
� aae lnlog = 
� aa loglog10 = 
 
Possui inversa – a função logarítmica: 
 
xyay a
x
=⇔= log 
 
xyey x =⇔= ln 
 
 
Exemplo: 1−= xey 
 
y = ex-1
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y = ex-1
 
 
 
15
 6
Função Logaritmo 
 
xy alog= , a: base; x: argumento e 0>x ; 
Domínio: *+R ; Imagem: R ; 
Outras características: 
• Assíntota vertical em 0=x 
• 1>a ⇒ Função crescente 
 
• 1<a ⇒ Função decrescente 
 
Possui inversa – a função exponencial: 
 
y
a axxy =⇔= log 
 
yexxy =⇔= ln 
 
 
Exemplo: xy ln= 
 
 
 
Função Logaritmo
-14.00
-12.00
-10.00
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
y
 
 
16
 7
Operações com logaritmos 
 
)(log)(log)(log)1 yxxy aaa += 
 
)(log)(loglog)2 yx
y
x
aaa −=





 
 
)(log)(log)3 xnx ana = 
 
)(log
)(log)(log)4
a
x
x
b
b
a = 
 
Exercícios: 
 
a) 248 xy += 
b) )45(log
2
1 += xy 
c) xy 3143 −+−= 
 
d) 73ln52 ++= xy 
e) )12ln(3 +−= xy 
f) 7
5
3
+





=
x
y
 
 
Funções Implícitas 
 
Não mostra, explicitamente, y como função de x. 
 
Exemplos: 
 
a) yxyyyxF −+= 4),( 4 
 
b) 01),( 23 =+−= yxyxF 
 
c) 0)(),( 23 =+= yxsenyxF 
 
 
 
 
 
 
 
17
 2
Função raiz quadrada 
 
2
1
xxy == 
 
+→ RD 
+→ RI 
 
 
Função Raiz Quadrada
x
y
 
 
 
 
Exemplo: 
 
922 −= xy 
92 −±= xy 
 
092 ≥−x 
 
3
3
−≤
≥
x
ou
x
 
 
 
+
+∞∪−−∞
RI
D
:
);3[]3;(:
 
 
18
 1 
 
 
Limites 
 
Conceito utilizado para estudar o comportamento de uma função )(xfy = quando x pertence a 
uma vizinhança de um ponto a, sem levar em consideração o que ocorre com a função quando 
ax = . Diz-se que a função )(xfy = tem limite L, quando x se aproxima de a. 
 
Notação: Lxf
ax
=
®
)(lim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19
 2 
Propriedades: 
 
0 M; 
M
L
)x(glim 
)x(flim
)x(g
)x(f
lim)
LM)]x(g).x(f[lim)
ML)]x(g)x(f[lim 4)
real número um é n, L)]x(f[lim 3)
real número um é c, cL)x(cflim)
cclim 1)
Portanto,
M)x(glim e L)x(flim Considere
ax
ax
ax
ax
ax
nn
ax
ax
ax
axax
¹==
=
±=±
=
=
=
==
®
®
®
®
®
®
®
®
®®
6
5
2
 
 
 
Exercícios 
 
1) lim
x®
-
2
4 . 
2) 
1
lim
x
p
®
. 
3) lim
x
x
® -
-
1
5 . 
4) ( )lim
t
t t
®
+ -
3
2 3 1 . 
5) lim
w
w
w®-
-
+2
3
3
. 
6) 3
3 5
25
x
x
lim
x -
+
-®
 
7) 3 2
2
4 12
43
--
+-
® xx
xx
lim
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20
 3 
Formas Indeterminadas 
 
Seja a função
2 9
( )
3
x
f x
x
-
=
-
. 
 
Nesta função não é possível calcular f(3), pois seria uma divisão por zero. 
Porém, há uma forma de fatorar a função da seguinte forma 
 
2 9
( )
3
x
f x
x
-
=
-
 
( 3)( 3)
3
( 3)
x x
x
x
+ -
= = +
-
. 
 
Daí, 
3 x 3
lim f(x) = lim x+3 = 6
x® ®
 
 
Portanto em problemas deste tipo é possível resolver fatorando a função e posteriormente aplicar 
limite. 
 
Exercícios 
 
1) lim
x
x
x®
-
-4
2 164
 
2) 
16
4
lim
16x
x
x®
-
-
 
3) lim
x
x x
x®
+
0
2 2
. 
4) 
x
x
lim
x
22
0
-+
®
 
5) 
372
9
2
2
3 ++
-
-® xx
x
lim
x
 
6) 
492
1683
2
2
4 +-
--
® xx
xx
lim
x
 
 
 
 
Limite Lateral 
 
Seja o gráfico da função
2, x 3
( )
2x, se x>3
x se
f x
+ £ì
= í
î
 
 
21
 4 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 1 2 3 4 5 6
 
 
 
 
Pelo gráfico vemos que quando x se aproxima do ponto 3 pela esquerda, simbolicamente 
3x -® , vemos que f(x) se aproxima de 5, simbolicamente ( ) 5f x ® . 
Porém, quando x se aproxima de 3 pela direita, 3x +® , f(x) tende para 6, ( ) 6f x ® . 
Esta é a idéia de limite de uma função. O limite de uma função no ponto existe quando: 
 
 lim f(x) = lim f(x)
x b x b- +® ®
 
 
No exemplo acima, embora existam os limites laterais, não existe o limite no ponto, porque os 
limites laterais são diferentes. 
 
 
3
lim f(x) = 5
x -®
 e 
3
lim f(x) = 6
x +®
 
Limites nos Extremos do Domínio 
 
Neste caso deseja-se estudar o comportamento da função, quando a variável independente tende 
para mais ou menos infinito. 
 lim ( )
x
f x
®-¥
 e lim ( )
x
f x
®+¥
 
 
Ex: 
1
lim
x x®+¥
 = 0 e 
1
lim
x x®-¥
 = 0 
 
22
 5 
 
 
 
Limites Infinitos 
 
O limite de muitas funções, quando a variável independente se aproxima a um valor fixo, tende 
para mais ou menos infinito. 
Por exemplo, 
0
1
lim
x x+®
, isto é, x se aproxima de zero pela direita. 
Temos, f(1) = 1, f(0,1) = 10, f(0,001) = 100... 
Vemos que enquanto x se aproxima de zero pela direita os valores de f(x) aumentam e assim f(x) 
tende para mais infinito. Ou seja, 
0
1
lim
x x+®
= ¥ 
Raciocínio análogo pode ser feito para 
0
1
lim
x x-®
.Vemos que x se aproxima de zero pela esquerda e 
f(x) fica cada vez menor. Temos que
0
1
lim
x x-®
= - 8 . 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
23
 6 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24
 7 
Formas indeterminadas: 
¥
¥
 
 
Quando temos o limite de funções na forma racional e a variável independente tende para mais 
ou menos infinito, podemos dividir cada membro pelo maior grau do polinômio e depois aplicar 
o limite. 
Ex:
2 2
22
2 2
1
1
lim lim 0
33x x
x
x x x
xx
x x
®¥ ®¥
--
= =
+
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25
1
Autora: Luiza Maria Oliveira da
Silva, PhD. (IBMEC RJ)
Continuidade de uma função
� Uma função y=f(x) é contínua em
x=a se:
� A função está definida em x=a, ou seja,
f(a) existe;
� O limite existe;
�
)(lim xf
ax→
)()(lim afxf
ax
=
→
Autora: Luiza Maria Oliveira da 
Silva, PhD. (IBMEC RJ)
� Uma função polinomial é contínua para
qualquer que seja x.
� Sejam y1=f(x) e y2=g(x) duas funções
contínuas em x=a, então
�
�
�
São funções contínuas em x=a.
Continuidade das funções
( ) ( ) x gf ±
( )( )
 x gf ⋅
( ) x 
g
f
 




 ( ) 0 x ≠g
26
2
Autora: Luiza Maria Oliveira da 
Silva, PhD. (IBMEC RJ)
� Uma função y=f(x) é contínua no
intervalo aberto (a,b) se, e somente
se, a função é contínua para todo
, caso contrário a função
é descontínua no intervalo.
Continuidade das funções
( ) ba, x ∈
Autora: Luiza Maria Oliveira da 
Silva, PhD. (IBMEC RJ)
Continuidade à direita
� Uma função y=f(x) é contínua à
direita em x=a se e somente se:
� A função está definida em x=a, ou seja,
f(a) existe;
� O limite existe;
�
)(lim xf
ax +→
)()(lim afxf
ax
=
+→
27
3
Autora: Luiza Maria Oliveira da 
Silva, PhD. (IBMEC RJ)
Continuidade à esquerda
� Uma função y=f(x) é contínua à
esquerda em x=a se e somente se:
� A função está definida em x=a, ou seja,
f(a) existe;
� O limite existe;
�
)(lim xf
ax −→
)()(lim afxf
ax
=
−→
Autora: Luiza Maria Oliveira da 
Silva, PhD. (IBMEC RJ)
Continuidade em [a,b]
� Uma função y=f(x) é contínua no
intervalo [a,b] se e somente se :
� f(x) é contínua no intervalo (a,b);
� f(x) é contínua à direita do ponto x=a;
� f(x) é contínua à esquerda do ponto x=b.
28
4
Autora: Luiza Maria Oliveira da 
Silva, PhD. (IBMEC RJ)
� Uma função tem descontinuidade
infinita em x=a se:
� f(a) não existe e
�
Tipos de descontinuidade
( ) ( ) ∞−=∞=
→→
 x flim ou x flim
a xa x
Autora: Luiza Maria Oliveira da 
Silva, PhD. (IBMEC RJ)
� Uma função tem descontinuidade de
salto em x=a se:
� f(a) existe e
�
Tipos de descontinuidade
( ) ( ) 212
 
1
 
, x limou x lim cccfcf
axax
≠==
+→−→
29
5
Autora: Luiza Maria Oliveira da 
Silva, PhD. (IBMEC RJ)
� Uma função tem descontinuidade
removível em x=a se:
� f(a) não existe e
�
� Pode-se redefinir a função para torná-la
contínua em x=a.
Tipos de descontinuidade
( ) existef
ax
 x lim
 →
Autora: Luiza Maria Oliveira da 
Silva, PhD. (IBMEC RJ)
� A reta x=a é uma assíntota vertical
do gráfico da função y=f(x) se pelo
menos uma das condições é
satisfeita:
� ou 
� ou
Assíntota vertical
( ) +∞=
+→
 x flim
a x
( ) −∞=
+→
 x flim
a x
( ) +∞=
−→
 x flim
a x
( ) −∞=
−→
 x flim
a x
30
6
Autora: Luiza Maria Oliveira da 
Silva, PhD. (IBMEC RJ)
� A reta y=k é uma assíntota
horizontal do gráfico da função y=f(x)
se pelo menos uma das condições é
satisfeita:
� ou 
Assíntota horizontal
( ) k x flim
 x
=
∞+→
( ) k x flim
- x
=
∞→
Autora: Luiza Maria Oliveira da 
Silva, PhD. (IBMEC RJ)
Para a seguinte função , determine:
a) O(s) ponto(s) de descontinuidade;
b) O tipo de descontinuidade em cada ponto e, se for o 
caso, redefina a função;
c) As assíntotas horizontais e verticais (se existirem); 
d) O gráfico da função. 
2xx
1xf(x) 2
−+
−
=
31
 
 
O Conceito de Derivada 
 
O conceito de derivada está ligado à taxa de variação instantânea de uma função. 
Primeiramente, vamos descrever o que é taxa de variação média de uma função. 
Seja a função f(x) = x2 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
-3 -2 -1 0 1 2 3
 
 
Vemos que quando x varia de 1 a 2, f varia de 1a 4. A taxa de variação de f dada uma variação em x, é dada por: 
 
4 1 3
2 1
f
x
∆ −
= =
∆ −
 
 
Isto significa que quando x varia de 1 unidade, começando de x0 = 1, f varia 3 unidades. 
Em geral, para se medir a taxa de variação média de uma função,dada uma variação da variável independente, utiliza-se: 
 
 
1 0
1 0
( ) ( )f x f xf
x x x
−∆
=
∆ −
 
 
Fazendo 1 0x x x∆ = − , podemos escrever o resultado acima como: 
 
 
0 0( ) ( )f x x f xf
x x
+ ∆ −∆
=
∆ ∆
 
 
A derivada de uma função num ponto x0 pertencente ao domínio de f, mede a taxa de variação de f dada uma variação 
infinitesimal da variável independente x, e é definido da seguinte forma. 
 
 
1 0
1 0 0 0
0 0
1 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x x x x
f x f x f x x f xf
x x x x∆ → → ∆ →
− + ∆ −∆
= =
∆ − ∆
 
 
 
 
Indica-se a derivada de f(x) no ponto x0 por: 
 
32
X0 X1 
f(x0) 
f(x1) 
 
X0 
f(x0) 
0 0 0
df dy(´ ), ( ) ou ( )
dx dx
f x x x 
 
 
Como a derivada de uma função num ponto é um limite, sua condição de existência é que o limite do quociente que define a 
derivada exista, isto é, o limite do quociente quando x∆ tende a zero pela direita deve ser igual quando x∆ tende a zero 
pela esquerda. 
Define-se também a função derivada que representaa derivada num ponto genérico x.Primeiro, calculamos a derivada num 
ponto genérico e depois substituímos o ponto x0 em questão. 
 
Interpretação Geométrica da Derivada 
 
Como vimos, a definição de taxa de variação média de uma função é: 
 
1 0
1 0
( ) ( )f x f xf
x x x
−∆
=
∆ −
 
 
No gráfico, esta relação equivale à tangente do ângulo correspondente à reta que une os pontos x0 e x1. 
 
 
 
 
Se fizermos o ponto x1 se aproximar de x0 , a reta que era secante à curva fica tangente no ponto x0. 
 
 
 
 
 
 
 
33
Como vimos, a definição de derivada de uma função num ponto é: 
 
f ’(x0) = 
1 0
1 0
1 0
( ) ( )lim 
x x
f x f x
x x→
−
−
 
Então, graficamente a derivada de uma função num ponto x0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente no ponto x0. 
 
 
 
Fórmulas Elementares 
 
1. ( )c ′ = 0 
2. ( ) 1−⋅=′ nn xnx 
3. ( )cf x cf x( ) ( )′ = ′ 
4. ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x f x g x+ ′ = ′ + ′ 
5. ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x′ = ′ + ′ 
6. [ ]
f x
g x
f x g x f x g x
g x
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )






′
=
′ − ′
2 
7. ( ) [ ][ ( )] ( ) ( )f x n f x f xn n′ = ′−1 
34
 
 
1 
1 
 
 
DERIVADAS 
Derivada da Função logaritmo 
8. ( )log ( ) log
( )
( )a
af x
e
f x
f x¢ = ¢ ; 
Lembrando que: 
)(log xf é o logaritmo de f(x) na base 10 
)(ln xf é o logaritmo de f(x) na base e ( 1ln =e ) 
9. ( )ln ( )
( )
( )f x
f x
f x¢ = ¢
1
 
Exemplos: 
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
1
log)(
x
x
xf 
1ln)( 2 -= xxf 
Exercícios: 
Ache as derivadas das seguintes funções: 
a) 3
13 )3log()( xxxf -= 
b) 428 )6(log)( xxf -= 
c) 4
123 )4ln(2)( xxxf += 
d) 
x
x
xf
ln
)( = 
e) 4ln()( 2 ++= xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
35
 
 
2 
2 
Derivada das Funções Exponenciais 
10. ( ) ( ) )()(ln)()()()()( )(1)()( xgxfxfxfxfxgxf xgxgxg ¢××+¢××=¢ - 
Exemplo: 
2
)( xxxf = 
11. ( )a a af x f x( ) ( ) ln¢ = ¢ f (x) 
Exemplo: 
xxxf -=
2
10)( 
12. ( ) ( )( ) ( )e e f xf x f x¢ = ¢ 
Exemplo: 
4210)( += xexf 
Exercícios: 
Ache as derivadas das seguintes funções: 
a) xexf
1
)( -= 
b) xexf ln)( = 
c) 122
2
)4()( ++= xexxf 
d) 1
3
)1()( ++= xxxf 
e) xxxf 2
2
16)( -= 
 
 
36
 
 
 
1 
 
 
Derivadas das funções trigonométricas 
 
1. ( )sen( ( )) cos( ( )) ( )f x f x f x¢ = ¢ 
Exemplo: )3()( 2 += xsenxf 
 
2. ( )cos( ( )) sen( ( )) ( )f x f x f x¢ = - ¢ 
Exemplo: 
x
x
xf
cos
)( = 
3. ( )tan( ( )) sec ( ( )) ( )f x f x f x¢ = ¢2 
Exemplo: )3(tan)( 2 += xxf 
 
4. ( )cot( ( )) csc ( ( )) ( )f x f x f x¢ = - ¢2 
Exemplo: )1cot()( 2 += xxf 
5. ( )sec( ( )) sec( ( )) tan( ( )) ( )f x f x f x f x¢ = ¢
 
Exemplo: xxf 5sec)( = 
6. ( )csc( ( )) csc( ( ))cot( ( )) ( )f x f x f x f x¢ = - ¢
 
Exemplo: 2)1csc()( += xxf 
Exercícios: 
 
1. xxxf seccsc)( += 
2. xxf 2cos)( 2= 
3. 
21
cot
)(
x
x
xf
+
= 
4. 
x
x
xf
sec
)( = 
5. xsenxxf cos.)( = 
6. xxsenxf 22 cos)( += 
7. 
x
senx
xf
sec
)( = 
 
Algumas relações trigonométricas: 
senx
x
1
csc = 
x
x
cos
1
sec = 
 
senx
x
x
x
cos
tan
1
cot == 
 
 
 
 
 
 
37
 
 
 
2 
 
Exercício propostos (Matemática Objetiva; capítulo 5, pp.197-198) 
 
5.22 
1+
=
x
e
y
x
 
 
5.26 xxy log= 
 
5.28 )1ln()1log( 4243
2
-+++= + xxey x 
 
5.32 5
12 )]154[log(
-
-+= xxy 
 
5.42 )
5
1
(cot.
3
7
2
3 2 ++= xg
x
y 
 
5.44 senxey = 
 
5.46 )5cos(. 122 -+= -- xxxy 
 
5.48 senxxy )(cos= 
 
 
 
 
Referências: 
 
· Silva, L.M.O da & Machado, M.A.S (2002); Matemática Objetiva; 1ª.Edição, Rio de 
Janeiro, ZTG Editora 
 
· Weber, J.E. (1986); Matemática para Economia e Administração; 2ª.Edição, São 
Paulo, Editora HARBRA LTDA. 
 
38
 1
 
 
Derivada da função inversa 
 
dx
dydy
dx 1
=
 
“Isto significa que a derivada da função inversa é o inverso da derivada da função 
original; como tal, dy
dx assume,necessariamente, o mesmo sinal de dx
dy
 , de modo que 
f é crescente (decrescente), então f-1 também o é.” (CHIANG, 1982, p.160) 
 
Exemplo: 
xxy += 5 
 
015 4 >+= x
dx
dy
 
 
15
11
4 +
==
xdxdydy
dx
 
 
Derivada da função composta (Regra da Cadeia) 
 
“Se temos uma função )(ufy = , onde u é, por sua vez, uma função de outra variável x, 
digamos )(xgu = , então a derivada de y com respeito a x é igual a: a derivada de y com 
respeito a u vezes a derivada de u com respeito a x.” (CHIANG, 1982, p.157) 
 
)`().`(. xguf
dx
du
du
dy
dx
dy
== 
 
Exemplo: 
 
17uy = e 232 −+= xxu 
 
)32.()23.(17)32.(17. 16216 +−+=+== xxxxu
dx
du
du
dy
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39
 2
Derivada da função implícita 
 
0),( =yxf 
Para encontrar 
dx
dy
, derive ),( yxf termo a termo, considerando )(xfy = e em seguida 
resolvendo a equação resultante para 
dx
dy
. (Matemática Objetiva, p.186) 
Exemplo: 
 
0243 =+− yxxy 
 
024.3. 323 =+−+
dx
dy
x
dx
dyyxy 
 
332 42.3. yx
dx
dy
dx
dyyx −=+ 
 
( ) 332 423. yxyx
dx
dy
−=+ 
 
23.
4
2
33
+
−
=
yx
yx
dx
dy
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 
 
 
a) 13232 =+ yx 
 
b) 
yx
yx
x
+
−
=
2
 
c) 0.tancos2 =+ senyyx 
 
d) ( ) 4433 )( yxyxyx +=−++ 
 
e) 4uy = e xu log= 
 
f) 
4
84
+
−
=
u
uy e 42 −= xu 
 
g) )4ln( += uy e 2xu = 
 
h) uey 3= e xxu 32 2 −= 
 
i) )ln( 3 yyx += 
 
j) )1cos( 5 += yx 
 
 
40
Crescente/Decrescente
A função f é crescente em (a, b) se f (x1) < f (x2) para 
todo x1 < x2.
A função f is decrescente em (a, b) se f (x1) > f (x2) para 
todo x1 < x2.
Decrescente CrescenteDecrescente
41
Crescente/Decrescente /Constante
( ) ( )
( )., em crescente é então
 ,, intervalo um em de valor cada para 0 Se
baf
baxxf >′
( ) ( )
( )., em edecrescent é então
 ,, intervalo um em de valor cada para 0 Se
baf
baxxf <′
( ) ( )
( )., em constante é então
 ,, intervalo um em de valor cada para 0 Se
baf
baxxf =′
42
Estudo de Sinais para determinar onde f 
(x) é Cresc./Decresc.
).(cf ′
)(or 0)( xfxf ′=′
,0)( >′ cf
Passos:
1. Ache todos os valores de x para os quais
é descontínua e identifique intervalos abertos com 
esses pontos.
2. Teste um ponto c em cada intervalo para ver o sinal de 
a. Se 
b. Se ,0)( <′ cf
f é crescente no intervalo.
f é decrescente no intervalo.
43
Exemplo
16)( 23 +−= xxxf
xxxf 123)( 2 −=′
0123 2 =− xx
Determine os intervalos onde
0)4(3 =−xx
04or 03 =−= xx
4,0=x
0 4
+ - +
f é crescente
em
é crescente ou decrescente.
( ) ( ),0 4,−∞ ∪ ∞
f é
decrescente
em( )0, 4
x
44
Extremos Relativos
)()( cfxf ≥
Uma função f tem um máximo relativo em x = c
se existir um intervalo (a, b) contendo c tal que 
para todo x em (a, b).
Uma função f possui um mínimo relativo em x = c
se existir um intervalo (a, b) contendo c tal que 
)()( cfxf ≤
para todo x em (a, b).
Máximo
Relativo
Mínimo
Relativo
x
y
45
Valores Críticos de f(x)
Um valor crítico de uma função f é o número 
no domínio de f onde
existe. não )(ou 0)( xfxf ′=′
x
y
46
Teste da Primeira Derivada
−+
1. Determineos valores críticos de f.
2. Determine o sinal da derivada de f à
esquerda e à direita do valor crítico.
esquerda direita
+−
f(c) é máximo relativo
f(c) é mínimo relativo
Sem mudança Sem extremo relativo
47
Exemplo
.16)( 23 +−= xxxf
xxxf 123)( 2 −=′
0123 2 =− xx
Find all the relative extrema of 
0)4(3 =−xx
04or 03 =−= xx
4,0=x
0 4
+ - +
Max. relativo
f (0) = 1 Min. Relativo
f (4) = -31
f ′
x
48
Exemplo
3 3( ) 3f x x x= −
( )
2
233
1( )
3
xf x
x x
−
′ =
−
2 1 0x − =
Ache os extremos relativos de
3 3 0x x− =
0, 1, 3x = ± ±
-1 0 1 
Max. relativo Min. relativo
ou
33−
+ + - - + +
3( 1) 2f − = 3(1) 2f = −
( ) 0f x′ =
x
indefinida )x`(f f`(x) indefinida
49
Concavidade
( ) 0f x′′ <
Seja f uma função diferenciável em (a, b). 
1. f é côncava para cima em (a, b) se 
é crescente em (a, b). Isto é, 
Para cada valor de x em (a, b).
2. f é côncava para baixo em (a, b) se 
é decrescente em (a, b). Isto é,
para cada valor de x em (a, b).
f ′
( ) 0f x′′ >
f ′
côncava para cima côncava para baixo
50
Determinando os Intervalos de 
Concavidade
1. Determine os valores para os quais a segunda 
derivada de f seja zero ou indefinida. 
Identifique o intervalo com esses pontos.
2. Determine o sinal de em cada intervalo dof ′′
passo 1 testando num ponto, c, no intervalo.
( ) 0,f c′′ > f é côncava para cima no intervalo.
f é côncava para baixo no intervalo.( ) 0,f c′′ <
51
Exemplo
( ) 6 12 6( 2)f x x x′′ = − = −
Determine onde a função
é côncava para cima e para baixo.
3 2( ) 6 1f x x x= − +
2( ) 3 12f x x x′ = −
2
– +f ′′
f côncava p/baixo
em 
f côncava p/cima 
em( ), 2−∞ ( )2,∞
x
52
Ponto de Inflexão
Um ponto no gráfico de uma função contínua f onde 
a linha tangente existe e onde a concavidade muda é
chamado de ponto de inflexão.
Para achar pontos de inflexão, encontre qualquer 
ponto, c, no domínio onde 
altera o sinal da esquerda para a direita de c,
é indefinida.
f ′′Se
Então (c,f (c)) é um ponto de inflexão de f.
)x``(fou )x``(f 0=
53
Teste da Segunda Derivada
( ) 0f c′′ >
( ) 0f c′′ =
1. Calcule
2. Ache os valores críticos, c, nos quais ( ) 0.f c′ =
f tem um máximo relativo em c.
f tem um mínimo relativo em c.
O teste é inconclusivo
( ) 0f c′′ <
Se Então 
)x("f)x`(f e 
54
Exemplo 1
3 2( ) 4 12 8f x x x x′ = − +
2( ) 12 24 8f x x x′′ = − +
Classifique os extremos relativos de
usando o teste da segunda derivada.
4 3 2( ) 4 4 5f x x x x= − + −
Valores Críticos: x = 0, 1, 2
( )( )4 2 1x x x= − −
(0) 8 0f ′′ = >
(1) 4 0f ′′ = − <
(2) 8 0f ′′ = >
Max. 
relativo 
Mínimo relativo
(1) 4f = −
(0) (2) 5f f= = −
55
Guia para Esboço da Curva
1. Determine o domínio de f.
2. Ache os interceptos de f se possível.
4. Ache as assíntotas horizontal e vertical.
3. Veja o comportamento final de f.
5. Determine os intervalos onde f é cresc./decresc.
6. Ache os extremos relativos de f.
7. Determine a concavidade de f.
8. Ache os pontos de inflexão de f.
9. Esboce f, use pontos adicionais se necessário.
56
Exemplo
Analise: 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + +
1. Domínio: (−∞, ∞).
2. Intercepto: (0, 1)
3. lim ( ) and lim ( )
x x
f x f x
→∞ →−∞
= ∞ = −∞
4. Não há Assíntotas
5. 2( ) 3 12 9;f x x x′ = − + f cre. em (−∞, 1) U (3, ∞); dec. em (1, 3).
6. max.: (1, 5); min.: (3, 1)
7. ( ) 6 12;f x x′′ = − f côncava p/baixo (−∞, 2); p/cima (2, ∞).
8. Ponto de inflexão: (2, 3)
57
Esboce: 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + +
( )0,1
x
y
58
Exemplo
Desenhe: 2 3( )
3
xf x
x
−
=
+
1. Domínio: x ≠ −3
2. Interceptos: (0, −1) e (3/2, 0)
3. 2 3 2 3lim 2 and lim 2
3 3x x
x x
x x→∞ →−∞
− −
= =
+ +
4. Horizontal: y = 2; Vertical: x = −3
5. 2
6( ) ;( 3)f x x′ = + f é crescente em (−∞,−3) U (−3, ∞).
6. Não há extremo relativo.
7. 3
18( ) ;( 3)f x x
−
′′ =
+
f é côncava p/baixo em (−3, ∞) e côncava 
p/cima em (−∞, −3).
8. Sem pontos de inflexão
59
Desenho: 2 3( )
3
xf x
x
−
=
+
y = 2
x = −3
( )0, 1−
3
,0
2
 
 
 
x
y
60
Extremos Absolutos
)()( cfxf ≥
Uma função f tem um máximo absoluto em x = c se 
para todo x no domínio de f.
A função f tem um mínimo absoluto em x = c se
)()( cfxf ≤
para todo x no domínio de f.
Máximo 
Absoluto
Mínimo 
Absoluto
x
y
61
Extremos Absolutos
Se a função f é contínua em um intervalo fechado [a, b], 
então f possui extremos absolutos em [a, b].
a b a ba b
Possui max. e 
min.
Com min. mas 
sem max.
Sem min. e 
sem max.
Intervalo 
aberto
Descontínua
x x x
y
y
y
62
Encontrando Extremos absolutos em 
Intervalos Fechados
1. Encontre os valores críticos de f em (a, b).
2. Determine f a cada valor crítico assim 
como dos extremos.
Maior Valor = Máximo Absoluto
Menor Valor = Mínimo Absoluto
63
Exemplo
Ache os extremos absolutos em 
2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x′ = − = −
Valores Críticos em x = 0, 2
( )
(0) 0
(2) 4
1 7
2 8
4 16
f
f
f
f
=
= −
 
− = − 
 
=
Min. Absoluto 
Max. Absoluto
Valores




−= 4
2
1
- em 3 23 ,xx)x(f
64
Exemplo
Ache o extremo absoluto de 
Max. Absoluto
(3, 1)
x
y
( ) )[3, em 2
1
∞
−
=
x
)x(f
65
Funções de Custo
Dada a função de custo, C(x), 
a Função Custo Marginal é
( )C x′
a Função Custo Médio é
( )C xC
x
=
a Função Custo Médio Marginal é
( )C x′
66
Funções de Receita
Dada a função Receita, R(x), 
a Função Receita Marginal é
( )R x′
Dada a função Lucro, P(x), 
a Função Lucro Marginal é
( )P x′
Funções Lucro
67
Elasticidade da Demanda
( ) x f p=
Se f é uma função demanda diferenciável definida por:
Então a elasticidade da demanda ao preço p é: 
( ) ( )( )
pf p
E p f p
′
= −
Demanda é: Elástica se E(p) > 1
Unitária se E(p) = 1
Inelástica se E(p) < 1
68
Exemplo 
Considere equação de demanda 
a qual descreve a relação entre o preço unitário 
p em dólares e a quantidade demandada x do 
Acrosonic modelo F de um sistema de 
amplificadores. Ache a elasticidade da demanda
( )0.02 400 0 20, 000p x x= − + ≤ ≤
( ).E p
69
Exemplo
A demanda mensal por T-shirts é dada por
( )0.05 25 0 400p x x= − + ≤ ≤
onde p é o preço unitário de venda em dólares e x
representa a quantidade demandada. A função custo 
é a seguinte: 
2( ) 0.001 2 200 C x x x= − + +
1. Ache as funções receita e lucro.
3. Ache a função de custo médio marginal
2. Encontre as funções marginais de custo, receita e 
lucro.
70
Incrementos
Um incremento em x representa uma alteração 
de x1 para x2 e é definida por:
2 1x x x∆ = −
Leia “delta x”
Um incremento em y representa uma alteração 
em y e é definida por:
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ −
71
Diferencial
Seja y = f (x) uma função diferenciável , então o 
diferencial de x, denotado dx, é tal que .dx x= ∆
O diferencial de y, denotado dy, é
( ) ( )dy f x x f x dx′ ′= ∆ =
72
Exemplo
:encontre ,xx)x(f −= 23
3.02 para 3 de indo x como ∆x 1.
Dado
3.02 3 0.02x∆ = − =
(3.02) (3)y f f∆ = −
24.3412 24 0.3412= − =
( )( ) 6 1dy f x dx x dx′= = −
( )6(3) 1 (0.02) 0.34= − =
0.02x quandoy e dy. =∆∆2
73
Regra de L’ Hospital
Outro importante uso da derivada está no cálculo de limites. 
Se f(x) e g(x) são funções deriváveis, tais que ( )lim ( )x a
f x
g x→
, produz indeterminaçõesdo tipo 0 ou 
0 
±∞
±∞
, então ( ) '( )lim lim( ) '( )x a x a
f x f x
g x g x→ →
= , se existir o limite '( )lim
'( )x a
f x
g x→
. 
Aqui, a pode ser uma constante ou infinito. 
74
Exemplo
20
lim
x
x senx
x→
−
= 
0
0
. 
Aplicando a regra de L’Hospital: 
 
 20 0
1 coslim lim lim 0
2 2x x o x
x senx x senx
x x→ → →
− −
= = = 
 
 
75
Determine o domínio e a imagem das funções compostas fog e gof definidas no 
conjunto dos números reais. 
 
2.4) 7)( += xxf 13)( += xxg 
2.8) xxf =)( 236)( xxg −= 
2.10) 13)( −= xxf 2)( xxxg += 
2.13) )24ln()( −= xxf 23)( xxg = 
 
Determine a função inversa: 
2.19) 
2
4)(
−
+
=
x
x
xf 
2.26) 85;
8
5)( >∪≤
−
−
= xx
x
x
xf 
Determine a inversa das compostas fog(x) e gof(x) 
2.27) 72)( +−= xxf 8)( += xxg 
 
2.29) 73)( −=
x
xf 8)( −= xxg 
Resolva as seguintes inequações 
 
5
53
1)50.2 2
2
≥
++
+−
xx
xx
 
6
1
3 ≥
+
+
x
x
 
76
Inequações 
 
a) ( )( ) 032.2 ≥+−+ xx 
 
b) 0)3).(42.( <−+− xxx 
 
c) 0
2
43 ≥
−
−
x
x
 
 
d) 2
56
43 ≤
+
+
x
x
 
 
e) 0432 >+− xx 
 
f) 0122 ≤++ xx 
 
g) 0642 2 ≥+−− xx 
 
h) 0)14).(32( 2 >−−+ xxx 
 
i) 0
41
123
2
2
≤
−
−−
x
xx
 
77
 1
Aplicações 
Conceitos 
• Função de demanda 
)( dd xfy = 
xd = quantidade demandada (consumida) 
 yd = preço 
• Função de oferta 
)( oo xfy = 
 xo = quantidade ofertada (disponível) 
 yo = preço 
Ponto de equilíbrio – é o ponto comum das curvas de oferta e demanda. 
 yd = yo 
Aplicações 
Exemplo 1 
As equações de oferta e demanda de um certo modelo de agenda eletrônica são 
 P = 180 – 4x 
 P = 75 + 3x 
onde p é o preço unitário em reais, e x o número de unidades, em milhares. 
a)Identifique a curva de oferta e demanda. 
b)Determine o ponto de equilíbrio do produto. 
c)Esboce o gráfico das equações acima. 
 
Exemplo 2 – resolvido 2.59 
Dadas as funções de oferta e demanda 
 e 
onde x é a quantidade e y o preço, ambos expressos em milhares, pede-se: 
a) O ponto de equilíbrio. 
b) O gráfico das curvas, identificação das mesmas e o ponto de equilíbrio. 
c) A interpretação econômica dos resultados. 
 
 
 
01233 2 =+−+ yxx 082 2 =−+ yx
78
 2
Exemplo 3 – resolvido 2.61 
Dadas as funções de oferta e demanda y=9x e y=729.3-x, onde x é a quantidade e y o preço, 
ambos expressos em milhares, pede-se: 
a) O ponto de equilíbrio. 
b) O gráfico das funções de oferta e demanda no mesmo sistema de eixos. 
c) A análise econômica do problema.
 
 
Receita total (Rt) – é função do preço unitário de venda (p1) e da quantidade vendida (x1). 
Custo variável (Cv) – é a função do custo unitário de produção (p2) e da quantidade 
produzida (x2). 
22 .xpCV = 
Custos fixos (Cf) – são os custos indiretos. Exemplo: seguro, aluguel, energia elétrica. 
Custo total (Ct) – é função dos custos fixos e dos custos variáveis. 
 Ct = Cf + Cv 
Lucro total 
 Lt = Rt – Ct 
Supondo que a quantidade produzida é igual à quantidade vendida. 
 
Exemplo 1 – resolvido 2.60 
Uma empresa tem a função lucro dada por: 232 −+−= xxLt 
A relação entre preço e quantidade é dada por y = 5-x, onde x é quantidade e y é preço, 
ambos expressos em milhares, pede-se: 
a) A função receita total. 
b) A função custo total. 
c) O valor do custo fixo. 
d) Esboço do gráfico de Lt, Rt e Ct. 
e) O ponto de equilíbrio. 
f) O lucro (ou prejuízo) na venda de 3 e 2 unidades do produto. 
g) A interpretação econômica dos resultados. 
 
 
 
 
79
 3
 
 
Exemplo 2 – resolvido 2.63 
A função de receita xtR 21+−= e a função de custo total dada xCt 21+= de uma empresa, 
onde x é quantidade e y o preço, ambos expressos em milhares. O ponto de equilíbrio é 
(K,7). Pede-se: 
a) O ponto de equilíbrio. 
b) O valor do custo fixo. 
c) A função lucro total. 
d) O lucro (ou prejuízo) na venda de 3 e 10 unidades do produto. 
e) O gráfico das funções de receita e custo no mesmo sistema de eixos. 
f) A interpretação econômica dos resultados. 
 
Exemplo 3 - Um pequeno empresário está montando um negócio com investimento inicial 
de R$5.000,00. O custo unitário do produto é de R$11,80, e o preço de venda é de R$19,30. 
a) Escreva equações para o custo total e para a renda total para a fabricação e venda de 
x unidades. 
b) Determine o ponto de equilíbrio. 
c) Quantas unidades o empresário precisa fabricar e vender para ter lucro de 
R$100,00? 
d) Esboce o gráfico das funções de custo total e receita em um mesmo sistema de 
eixos. 
e) Interprete o resultado encontrado em (b). 
Exemplo 4- Um indústria determina que o custo total em reais para fabricar x unidades de 
um certo produto é dado por: 350025 += xC . Explique o significado físico do ponto de 
interseção com o eixo y e da inclinação da reta dada por essa equação. 
Exemplo 5 - Um empreiteiro comprou um guindaste por R$26.500,00. As despesas de 
combustível e manutenção do guindaste são de R$5,25 por hora, e o operador recebe 
R$9,50 por hora. 
a) Escreva a equação linear que expresse o custo total de operação do guindaste durante t 
horas. 
b) O empreiteiro cobra dos clientes R$25,00 por hora de uso do guindaste. Escreva a 
equação para a receita com o uso do guindaste durante t horas. 
c) Escreva a equação que expresse o lucro com o uso do guindaste durante t horas. 
d) Determine o número t de horas de uso do guindaste para que o empreiteiro não tenha 
prejuízo. 
80
 1
 
 
1) Calcule os seguintes limites: 
a) ( )




−
∞→ 62log
5lim
x x
 
 
 b) 





++
+−
∞→ 1233
262lim 23
3
x xx
xx
 
 
 
c) )(lim
x
xf
∞→
, )(lim
2x
xf
−→
, )(lim
x
xf
∞−→
, )(lim
0x
xf
→
 











−≤
−
−
−>+
=
4
3
2
43
)(
2
3 3
xse
x
xsexx
xf
 
d) 
xx
xxx
+
++
−→ 2
23
1x
45lim 
 
 e) 
3
2lim
x
xe
∞−→
 
 
f) 






−
+
−∞→ 3
2lim
2
3
x x
x
 
 
g) 2x 9
7lim
x
−
∞→
 
 
81
Exercícios 
1) Determine 
dx
dy
 por derivação implícita. 
( ) eyxxyyx ln)2cos(3 4522 −=++ 
 
2) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, a demanda é de x 
centenas de unidades, onde 
793 22 =++ ppxx Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo se o 
preço unitário é R$5,00 e está diminuindo à taxa de 30 centavos por mês? 
3) Em uma certa fábrica, aproximadamente tttq 50)( 2 += unidades são 
produzidas durante as primeiras t horas de uma jornada de trabalho e o 
custo total para produzir q unidades é 400101,0)( 2 ++= qqqC reais. 
Determine a taxa com que o custo de produção está aumentando duas horas 
após iniciada a jornada de trabalho. 
 
4) Faça o estudo da seguinte função: 
 
71232)( 23 −−+= xxxxf 
 
82
 8 
BIBLIOGRAFIA 
 
· Silva, O. Luiza Maria; Machado,S. Maria Augusta, Matemática Aplicada à 
Administração, Economia e Contabilidade: Função de uma e mais variáveis, 
CENGAGE LEARNING, São Paulo, 2010. 
· Hazzan, Samuel & Bussab, Wilton O. Cálculo: Função de uma e várias variáveis, 
2ª.Edição, EDITORA SARAIVA, São Paulo, 2010. 
· Weber, Jean E., Matemática para Economia e Administração, Ed. Harper & Row do 
Brasil Ltda, 2001. 
· Leithold, Lois, O Cálculo com Geometria Analítica, volume 1, 3ª edição, Ed. Harper & 
Row do Brasil Ltda, 1994. 
· Hoffmann, Laurence D. e Bradley, Gerald L., Cálculo: Um curso moderno e suas 
aplicações, 9ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2008. 
· Tan, S.T.,Matemática Aplicada à Administração, Economia, CENGAGE 
LEARNING, São Paulo, 2001 
83
 
 
 1
 
 
1) Calcule 
dx
dy
: 
 
yxxx e
y
y −++ =+++ 4563 22
3
3)7ln(
1)(x 
 
2) Os consumidores de um certo produto comprarão 
p
pD 000.40)( = unidades por mês 
quando o preço for p reais a unidade. Estima-se que daqui a t meses o preço do 
produto será 8,64,0)( 23 += ttp reais por unidade. Calcule a taxa de variação, em 
relação ao tempo, da demanda do produto daqui a 4 meses e interprete esse resultado.
 
 
3) A receita total de um produto é dada pelo produto da demanda pela quantidade 
demandada. Considere a seguinte função de demanda 7002,0y +−= x , onde ‘x’ é a 
quantidade demandada. Considere a seguinte função de custo total 
xx 100200)(C t += . Pede-se: 
a) A função lucro total 
b) A função lucro marginal 
c) A função custo marginal 
d) A função receita marginal 
e) O valor do lucro máximo 
f) O valor do lucro mínimo 
g) Esboço do gráfico da função lucro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84
 
 
 2
 
 
FÓRMULAS DE DERIVADAS 
1. ( )c ′ = 0 
2. ( ) 1−⋅=′ nn xnx 
3. ( )cf x cf x( ) ( )′ = ′ 
4. ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x f x g x+ ′ = ′ + ′ 
5. ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x′ = ′ + ′ 
6. [ ]
f x
g x
f x g x f x g x
g x
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )






′
=
′ − ′
2 
7. ( ) [ ][ ( )] ( ) ( )f x n f x f xn n′ = ′−1 
8. ( ) ( )( ) ( )e e f xf x f x′ = ′ 
9. ( )a a af x f x( ) ( ) ln′ = ′ f (x) 
10. ( )ln ( ) ( ) ( )f x f x f x
′
= ′
1
 
11. ( )log ( ) log( ) ( )a
af x ef x f x
′
= ′ 
12. ( )sen( ( )) cos( ( )) ( )f x f x f x′ = ′ 
13. ( )cos( ( )) sen( ( )) ( )f x f x f x′ = − ′ 
14. ( )tan( ( )) sec ( ( )) ( )f x f x f x′ = ′2 
15. ( )cot( ( )) csc ( ( )) ( )f x f x f x′ = − ′2 
16. ( )sec( ( )) sec( ( )) tan( ( )) ( )f x f x f x f x′ = ′ 
17. ( )csc( ( )) csc( ( )) cot( ( )) ( )f x f x f x f x′ = − ′ 
18. ( ) ( ) )()(ln)()()()()( )(1)()( xgxfxfxfxfxgxf xgxgxg ′⋅⋅+′⋅⋅=′ − 
85
1 
 
Exercícios do Hoffman e Tan (aplicações) 
 
1) Quando uma loja de eletrodomésticos fixa o preço de um aparelho de som 
em p centenas de reais, q aparelhos de som são vendidos por mês, onde 
412 22 =+ pq . 
a) Determine a elasticidade da demanda do aparelho de som. 
b) A demanda é elástica, inelástica ou unitária para um preço 
),$( 004004 Rp = . 
 
2) Um empresário estima que se q unidades de um certo produto forem 
produzidas, o lucro obtido será )(qP milhares de reais, onde 
 128682 2 −+−= qqqP )( 
a) Determine as funções lucro médio e lucro marginal. 
b) Para que nível de produção q o lucro médio é igual ao lucro marginal? 
c) Mostre que o lucro médio é máximo para o nível de produção q 
calculado no item (b). 
d) Esboce os gráficos das funções. 
 
3) Suponha que o consumo interno total de um país é dado por uma função, 
)(xC , onde x é a renda total interna. A derivada )`( xC é chamada de 
tendência marginal para o consumo; se CxS −= representa a poupança 
interna total, )`( xS é chamada de tendência marginal para a poupança. 
Suponha que a função consumo é xxxC 80808 ,,)( −−= . Determine a 
tendência marginal para o consumo e calcule o valor de x para o qual a 
poupança é mínima. 
 
4) O produto doméstico bruto de um certo país foi 30062 ++= tttN )( bilhões 
de dólares t anos após 2005. Use os métodos do cálculo para estimar qual 
será a variação percentual do PDB no segundo trimestre de 2013. 
 
5) Calcule as derivadas, abaixo: 
 
a) 4/3 2, , and if and 2 2dy du dy y u u x x
du dx dx
−
= = − + 
b) if and 13 3dy y u u x
dx
= = − 
c) 3 if 7 and 8dy y u u
dx
= + = 
86
2 
 
d) ( )1/ 24 5 , find dyx y x
dx
+ = 
e) 23 2 , find dyxy x y
dx
= + 
f) 3 3
1 1 1, find dy
x y dx
+ = 
 
 
87
Exercícios de L`Hospital. 
 
1) 
1
lnlim 21
−
→ x
x
x
 
2) 
4
1lim 2 +
−
+∞→ x
x
x
 
3) 2
2
41
2lim
x
x
x ++∞→
 
4) 
1
2lim
2
1
−
−+
→ x
xx
x
 
5) 
x
x
x
39lim
0
−+
→
 
6) 
xx e
x
2
3
lim
+∞→
 
7) ( )
2
1lnlim
2
−
−
→ x
x
x
 
88