APOSTILA DE CÁLCULO - PROF DANIEL VIAIS NETO

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Apostila de CálculoApostila de CálculoApostila de CálculoApostila de Cálculo 
Professor Daniel Viais NetoProfessor Daniel Viais NetoProfessor Daniel Viais NetoProfessor Daniel Viais Neto 
 
1. PRÉ-CÁLCULO 
 
Conjuntos Numéricos 
 
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o 
conjunto 
 ,...}4,3,2,1,0{=N . 
Os números -1, -2, -3,...são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais com os inteiros 
negativos define o conjunto dos números inteiros que denotamos por 
 
 ,...}3,2,1,0,1,2,3{..., −−−=Z . 
Os números da forma Znmnnm ∈≠ ,,0, , são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. 
Denotamos: 
}0 e ,, com ,;{ ≠∈== nnm
n
m
xxQ Z . 
Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma Znmnnm ∈≠ ,,0, , tais como 
...414,12 = , ...14159,3=π , ...71,2=e . Estes números formam o conjunto dos números irracionais que 
denotaremos por Q'. Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o 
conjunto dos números reais, que denotamos por 'QQR ∪= . 
 
Valor absoluto 
Definição. O valor absoluto de x , denotado por x , e definido como 



<−
≥
=
0,
0,
xx
xx
x . 
 
Interpretação Geométrica. Geometricamente o valor absoluto de x , também chamado módulo de x , representa a 
distância entre x e 0 . Escreve-se então 2xx = . 
 
Intervalos 
 
Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue: 
 
� Intervalo Aberto. }/{ bxax << , denota-se ),( ba ou [,] ba . 
� Intervalo Fechado. }/{ bxax ≤≤ , denota-se ],[ ba . 
� Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda. }/{ bxax ≤< , denota-se ],( ba ou ],] ba . 
� Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda. }/{ bxax <≤ , denota-se ),[ ba ou [,[ ba . 
� Intervalos Infinitos. 
 
(i) }/{ axx > , denota-se ),( +∞a ou [,] +∞a ; 
(ii) }/{ axx ≥ , denota-se ),[ +∞a ou [,[ +∞a ; 
(iii) }/{ bxx < , denota-se ),( b−∞ ou [,] b∞− ; 
(iv) }/{ bxx ≤ , denota-se ],( b−∞ ou ],] b∞− . 
 2 
Potenciação 
 
Seja a um número real e m e n números inteiros positivos, então: 
aaaaana ......= (n vezes) 10 =a , aa =1 0,
1
≠=− a
a
na 
nmamana +=⋅ 0, ≠=÷ − aaaa nmmn ( ) nmnm aa ⋅= 
0, ≠=





b
nb
na
n
b
a
 nn aa
1
= n
m
a
n ma = 
 
Produtos notáveis 
 
222 2)( bababa ++=+ 222 2)( bababa +−=− ( ) 22)( bababa −=−⋅+ 
 
Fórmula de Bhaskara 
 
Exercícios 
 
1. Calcule o valor das expressões numéricas: 
a) 

















 −−−+−+− 11
3
1
14131213 b) 
3
9
2
1
3
7
5
4
−
− 





 c) ( ) 53 42 −− −+ d) 
2)53(
27)2(
0
32
−+−
−−−
 
 
2. Calcule o valor de y substituindo o valor de x dado. 
 
a) ( ) ( ) 1;111 23 −=+−+−−= xxxy b) 4;1221 =++= xx
x
y 
 
3. Desenvolva os seguintes produtos notáveis: 
 
a) ( ) ( )222 122 −−+− xxx b) ( ) ( ) ( )111 2 −⋅+−− mmm 
 
4. Resolva as equações: 
 
a) 5
5
82
4
2 =++− xx b) 
xxx
x
x
x
+
=
+
−−+
2
17
1
21
 c) ( ) ( ) 041512 2 =++−+ xx 
 
 3 
Respostas 
 
1. a) -414 b) -0,38 c) 0,124 d) 7 2. a) 13 b) 17/2 3. a) 2 b) -2m+3 4. a) 6 b) 4 c) 0; 1/4 
 
Exponenciais 
 
Exemplos: 
a) 642 =x Solução: 6622642 =⇔=⇔= xxx . 
b) 
32
1
8 =x Solução: 
3
5
5322
2
1
)2(
32
1
8 53
5
3 −=⇔−=⇔=⇔=⇔= − xxxxx . 
c) ( ) 3 813 =x Solução: ( )
3
8
3
4
2
3333813 3
4
23 42
1
3 =⇔=⇔=⇔=






⇔= xx
xx
x
. 
 
Logaritmos 
 
Definição. Chamaremos de logaritmo do número x na base a ao expoente y que devemos colocar em a para dar o 
número x ( 1,0, ≠> aax ). Em símbolos: 
.log xayx ya =⇔= 
 
Dois casos especiais são os logaritmos decimais (base 10) que podem ser indicados por xlog e os logaritmos naturais 
(base 718,2≅e ) que podem ser indicados por xln . 
 
Exemplos: 
 
a) .162 pois ,416log 42 == 
b) .15 pois ,01log 05 == 
c) .
27
1
3 pois ,3
27
1
log 3-3 =−= 
d) .10010 pois ,2100log 2 == 
e) eee == 1 pois ,1ln . 
 
Exercícios 
 
Resolva as seguintes equações: 
a) xx 51 927
2
=+ b) 175.2 += xx c) 
1
3
3
4
32
8 −= x
x
x 
d) { } 3)]15(log.41[log.32log 432 =+++ x e) 100log5=x f) 
9281
9
3 += x
x
 
 
g) { } 2])3(log1[log.2log 432 =++ x h) 1356.4 −= xx 
 
Respostas 
 
1. a) 3; 1/3 b) -3,72 c) 3/14 d) 3 e) 2,86 f) -38/7 g) 13 h) 0,988 
Propriedades dos logaritmos: 
(P1) .loglog.log yxyx aaa += 
(P2) .logloglog yx
y
x
aaa −= 
(P3) .log.log xyx a
y
a = 
 (P4) 
a
x
x
b
b
a log
log
log = (mudança de base). 
 4 
Problemas 
 
1. A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse número. 
 
2. Um pai tinha 24 anos ao nascer o seu filho. O produto das atuais idades de ambos é o triplo do quadrado da idade do 
filho. Quais as duas idades? 
 
3. A diferença entre os perímetros de dois quadrados é de 32 m e a diferença entre as áreas de 176 m2. Achar os lados. 
 
4. A despesa de R$ 3.000,00 feita durante uma excursão deve ser dividida por um grupo de estudantes. Como, porém, 
os rapazes não permitiram que as 5 moças da turma entrassem no rateio, a contribuição de cada um ficou aumentada em 
R$ 50,00. Quantos rapazes participavam desse grupo? 
 
5. Eu tenho R$ 20,00 a mais que Paulo e Mário R$ 14,00 a menos que Paulo. Ao todo temos R$ 156,00. Quantos reais 
têm Paulo e Mário? 
 
6. (CEFET-MG) A soma do preço de duas mercadorias é R$ 50,00. A mais cara terá um desconto de 10% e a mais 
barata sofrerá aumento de 15%, mantendo a soma dos preços no mesmo valor. A diferença entre os dois preços 
diminuirá em: 
 
a) 25% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60% 
 
7. (UEL) Um grupo de jovens participava de uma festa. Às 23h retiraram-se 12 garotas do grupo e o numero de rapazes 
ficou sendo o dobro do de garotas. Em seguida, retiraram-se 15 rapazes e o numero de garotas ficou sendo o dobro do 
de rapazes. Inicialmente, o numero de jovens do grupo era: 
 
a) 50 b) 48 c) 45 d) 44 e) 42 
 
8. Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou 1 real a mais do que a metade do que 
tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja? 
 
9. Se um comerciante misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, ele obtém um tipo de 
café cujo preço é de R$ 4,80 o quilograma. Mas se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café em pó do 
tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I e do café do tipo II são 
respectivamente: 
 
a) R$ 5,00 e R$ 3,00 b) R$ 6,40 e R$ 4,30 c) R$ 5,50 e R$ 4,00 d) R$ 5,30 e R$ 4,50 e) R$ 6,00 e R$ 4,00 
 
 
10. Um pequeno avião a jato gasta sete horas a menos do que um avião a hélice para ir de São Paulo até Boa Vista. O 
avião a jato voa a uma velocidade média de 660 km/h, enquanto o avião a hélice voa em média a 275 km/h. Qual é a 
distancia entre São Paulo e Boa Vista? 
 
11. Uma casa tem 3 salas. O chão de uma delas é um quadrado e o das outras são retângulos com a mesma largura do 
quadrado e comprimentos iguais a 5 m e 4 m. Se as 3 salas juntas têm 36 m2, qual a área da sala quadrada? 
 
12. Um feirante separou um númerointeiro de mangas e mamões. Observou que para cada mamão havia 3 mangas. Fez 
lotes com 6 mangas e lotes com 4 mamões. Vendeu cada lote por R$ 0,50, arrecadando na venda de todos os lotes o 
valor de R$ 135,00. Qual o número de mamões vendidos? 
 
Respostas 
 
1. 9 ou -10 2. 36 e 12 3. 7m e 15m 4. 15 
5. 50,00 e 36,00 6. c 7. e 8. 14 
9. e 10. 3300 km 11. 9 m2 12. 360 
 
 5 
2. FUNÇÕES 
 
Definição. Sejam A e B subconjuntos de R . Uma função BAf →: é uma lei ou regra que a cada elemento de A 
faz corresponder um único elemento de B . O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por )( fD . B é 
chamado contradomínio ou campo de valores de f . Escrevemos: 
 
 
)(
:
xfx
BAf
→
→
 
 
Exemplo: Sejam }4,3,2,1{=A , }5,4,3,2{=B e BAf →: dada pelo diagrama abaixo. Neste caso, f é uma 
função de A em B . 
 
 
Contraexemplos: Sejam }5,4,3{=A e }2,1{=B . 
 
a) BAf →: dada pelo diagrama a seguir, não é uma função de A em B , pois o elemento A∈4 tem dois 
correspondentes em B . 
 
 
b) BAg →: , 3−→ xx não e uma função de A em B , pois o elemento A∈3 não tem correspondente em B . 
 
 
Definição. Seja BAf →: . 
(i) Dado Ax∈ , o elemento Bxf ∈)( é chamado o valor da função f no ponto x ou imagem de x por f . 
(ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f e é denotado por 
)Im( f . 
 
Definição. Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos ))(,( xfx de um plano coordenado, 
onde x pertence ao domínio de f . 
 
 6 
Exemplo: O gráfico da função 2)( xxf = consiste em todos os pares 2),( Ryx ∈ tais que 2xy = . 
 
 
 
Exercício: Esboce os gráficos das funções 
x
xfxxfxxf
1
)(,)(,)( 3 === e 3)( xxf = . 
 
Definição. Dadas duas funçõesf e g , a função composta de g com f , denotada por fg o , é definida por 
 
 ))(())(( xfgxfg =o . 
O domínio de fg o é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que )(xf esta no domínio de g . Em 
diagrama, 
 
 
Exercícios 
 
1. Dada à função RRf: → , dada por 1)( 2 −= xxf , determine a imagem do número real 2 pela função. 
Determine os valores de x tais que 0)( =xf e o valor de x tal que .1)( −=xf 
2. Seja a função RRf: → e sua lei 49)( +−= xxf . Determine o número real x de modo que 
5
3
)( =xf . 
3. Dada a função 104)( 2 +−= xxxf , obtenha os valores de x cuja imagem seja 7. 
 
4. Sendo xxf 5)( = e 3)( xxg = , obter )2)(( fg o e ))(( xfg o . 
 
5. Sendo 23)( += xxf e 16)( −= xxg , obter )5)(( −gf o e ))(( xgf o . 
 
6. Dadas 123)( 2 −+= xxxf e 12)( += xxg , calcular ))(( xgf . 
 
Respostas 
 
1. 1; 1−=x e 1=x ; 0=x 2. 17/45 3. 1 e 3 
4. a) 1000, 3125x 5. 31, 118 −x 6. 41612 2 ++ xx 
 7 
3. TIPOS DE FUNÇÕES 
 
A seguir vamos relacionar alguns tipos de funções: 
 
Função Constante. É toda função do tipo kxf =)( , que associa a qualquer número real x um mesmo número real 
k . A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo x , passando por ky = . 
 
Exemplo: 2)( =xf . 
 
 
 
 
 
 
Função do 1º Grau. É toda função que associa a cada número real x , o numero real 0, ≠+ abax . Os números 
reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e linear. Quando 0>a , a função baxxf +=)( 
é crescente, isto é, à medida que x cresce, )(xf também cresce. Quando 0<a , a função baxxf +=)( é 
decrescente, isto é, à medida que x cresce, )(xf decresce. O gráfico da função baxxf +=)( é uma reta não 
paralela aos eixos coordenados. 
Exemplos: 
 
1. 32)( += xxf 2. 13)( +−= xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Identidade. É a função RRf: → definida por xxf =)( . 
 
Exercícios 
 
1. O número C de graus Celsius com função do número F de graus Fahrenheit é dado pela expressão 
)32(
9
5 −= FC , determine: 
 
a) A temperatura em graus Celsius quando a temperatura em Fahrenheit é de 50 graus; 
b) A temperatura em graus Fahrenheit quando a temperatura em Celsius é de 25 graus. 
 
2. Obtenha a equação da reta que passa pelos seguintes pontos: a) )3,2( e )5,3( ; b) )1,1( − e )2,1(− . 
 
3. A fórmula que dá o número do sapato y em função do comprimento x do pé, em centímetros, é dada por 
4
285
 
+= xy , calcule: 
 
a) O número do sapato quando o comprimento do pé é de 24 cm. 
b) O comprimento do pé de quem calça 40. 
 
 8 
4. A população da Carolina do Sul (em milhares) era de 4.024 em 2000 e 4.255 em 2005. Suponha que a população y 
entre o ano t seja linear. Suponha que 0=t represente o ano 2000 (Fonte: U.S. Census Bureau). 
 
a) Escreva um modelo linear para os dados. b) Faça uma estimativa da população em 2002. 
 
5. Em um determinado país, o imposto de renda é igual a 10% da renda, para ganhos até $ 900,00. Para rendas acima de 
R$ 900,00, o imposto é de $ 90,00 (10% de $ 900,00) mais 20% da parte da renda que excede $ 900,00. 
 
a) Qual o imposto para uma renda de $ 600,00? 
b) Qual o imposto para uma renda de $ 1.200,00? 
c) Chamando x a renda e y o imposto de renda, obtenha a expressão de y em função de x . 
 
6. Um supermercado está fazendo uma promoção na venda da alcatra da seguinte forma: um desconto de 15% é dado é 
dado nas compras de 3 quilos ou mais. Sabendo que o preço do quilo da alcatra é de R$ 18,00, pede-se: 
 
a) O gráfico do total pago em função da quantidade comprada; 
b) A determinação de quais consumidores poderiam ter comprado mais alcatra pagando o mesmo preço. 
 
7. Uma copiadora publicou a seguinte tabela de preços: 
 
Número de cópias Preço por cópia 
De 1 a 19 R$ 0,10 
De 20 a 49 R$ 0,08 
50 ou mais R$ 0,06 
 
a) Esboce o gráfico da função que associa a cada natural n o custo de n cópias. 
b) O uso da tabela acima provoca distorções. Aponte-as e sugira uma tabela de preços mais razoável. 
 
Respostas 
 
1. a) 10 b) 77 2. a) 12 −= xy b) xy 5,15,0 −= 3. a) 37 b) 26,4 cm 
4. a) 40242,46 += ty b) 4116,4 milhares 5. a) $ 60 b) $ 150 
 
Função Quadrática. A função RRf: → definida por 0,)( 2 ≠++= acbxaxxf é chamada função do 2º grau 
ou função quadrática. A representação gráfica da função do 2º grau é uma curva denominada parábola, cujos principais 
aspectos são: 
 
• Concavidade: é dada pelo sinal de a . 
 0>a : concavidade voltada para cima. 
 0<a : concavidade voltada para baixo. 
 
• Interseção com o eixo x : são as raízes da equação 02 =++ cbxax . Estas raízes são encontradas utilizando a 
fórmula de Bhaskara. 
 
• Interseção com o eixoy : é o ponto correspondente a 0=x e, portanto cy = . 
• Vértice: corresponde ao ponto ),( vv yxV = , onde acba
y
a
b
x vv 4,4
 e 
2
2 −=∆∆−=−= . 
• Eixo de simetria: é a reta 
a
b
x
2
−= . 
 
 
 9 
Tipos de Parábola. 
 
Exemplo: 86)( 2 +−= xxxf 
 
 
Função Polinomial. É a função definida por 01
1
1)( axaxaxaxf
n
n
n
n ++++=
−
− L , onde 
0,,,...,, 011 ≠− nnn aaaaa são números reais chamados coeficientes e n , inteiro não negativo, determina o grau 
da função. O domínio é sempre o conjunto dos números reais. 
Função Racional. É a função definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto e 
)(
)(
)(
xq
xp
xf = , onde 
)(xp e )(xq são polinômios e 0)( ≠xq . O domínio da funçãoracional é o conjunto dos reais excluindo os valores 
de x tais que 0)( =xq . 
 
 
O que é pior do que um “raio” cair em sua cabeça? Cair um “diâmetro”. 
 
O que o “m.m.c.” estava fazendo na escada? Ele estava esperando o “m.d.c.”. 
 
 Qual o animal que tem 3,14 olhos? O Piolho. 
 10 
Exercícios 
 
1. Dada à função do 2º grau 2)( 2 −−= xxxf , verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. 
a) f tem concavidade para cima; b) As raízes de f são –1 e 2; c) 




 −=
4
9
,
2
1
V ; 
d) f intercepta o eixo y no ponto )2,0( − ; e) 2)1( −=−f ; f) 2)1( =f . 
 
2. Uma bala de canhão lançada para cima na vertical está a uma altura xxxh 80-16)( 2 += metros após x segundos. 
 
a) Faça o gráfico da altura h em função do tempo x . b) Qual a altura da bala após 3 segundos? 
c) Em quais valores do tempo, a altura da bala será de 64 metros? d) Para qual valor do tempo à bala irá atingir o solo? 
e) Quando a bala atingirá a altura máxima? Qual é essa altura? 
 
3. O dono de um restaurante verificou que, quando o preço da dose de vodca era R$ 10,00, o número de doses vendidas 
era de 200 por semana. Verificou também que, quando o preço caía para R$ 7,00, o número de doses passava para 400 
por semana. 
 
a) Obtenha a função de demanda admitindo seu gráfico linear. 
b) Encontre o preço da dose de vodca que maximiza o lucro semanal, considerando seu custo igual a R$ 4,00. 
 
4. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por 21082 +−= ttE , onde o 
consumo E é dado em kWh e ao tempo associa-se 0=t a janeiro, 1=t a fevereiro, e assim sucessivamente. 
 
a) Determine os meses em que o consumo é de 195 kWh. 
b) Qual o consumo de energia no mês de agosto? 
 
Respostas 
 
1. a) V b) V c) V d) V e) F f) F 
2. b) 96 m c) 1 e 4 segundos d) 5 segundos e) 2,5 segundos; 100 m 
3. a) 67,86667,66 +−= pq b) R$ 8,50 4. a) abril e junho b) 203 kWh 
 
Função Exponencial. Chamamos de função exponencial de base a , a função g de R em R que associa a cada x 
real o número real xa , sendo a um número real, 10 ≠< a . 
 
Função Logarítmica. Dado um número real a )10( ≠< a , chamamos função logarítmica de base a a função de 
*
+R em R que associa a cada x o número xalog . 
 
 
 11 
Função Seno. Definimos a função seno como a função f de R em R que a cada Rx∈ faz corresponder o número 
real senxy = . O domínio da função seno é R e o conjunto imagem é o intervalo ]1,1[− . 
 
 
 
Função Cosseno. Definimos a função cosseno como a função f de R em R que a cada Rx∈ faz corresponder o 
número real xy cos= . O domínio da função cosseno é Re o conjunto imagem e o intervalo ]1,1[− . 
 
 
Funções: Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante. 
 
 
Tabela de valores. 
 
 
Função\Arco 
 
 0º (0) 
30º 





6
π
 45º 





4
π
 60º 





3
π
 90º 





2
π
 
 
180º ( )π 270º 




2
3π
 
Seno 0 2
1 2
2 2
3 1 0 -1 
Cosseno 1 2
3 2
2 2
1 0 -1 0 
Tangente 0 3
3 1 3 
Não existe 
 
 0 
Não existe 
 
 12 
Exercícios 
 
2. Uma substância radioativa esta em um processo de desintegração, de modo que no instante t a quantidade não 
desintegrada é aproximadamente tMtM 32).0()( −= . Qual o valor de t para que a metade da quantidade inicial 
)0(M se desintegre? 
 
3. (FGV) Daqui a t anos o valor do automóvel será tV )75,0.(2000= reais. A partir de hoje, daqui a quantos anos 
ele valerá a metade do que vale hoje? Adote 3,02log = e 48,03log = . 
 
1. O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é dado por xxM )2,1(000.50)( = , onde x 
representa o ano após a aplicação, e 0=x o momento em que foi realizada a aplicação. 
 
a) Calcule o montante após 1 e 5 anos da aplicação inicial. 
b) Qual o valor aplicado inicialmente? Qual o percentual de aumento do montante em um ano? 
c) Após quanto tempo (aproximadamente) o montante será de R$ 214.991,00? 
 
2. As vendas S (em milhares de dólares) da Starbucks de 1996 a 2005 podem ser modeladas pela função exponencial 
ttS )272,1(34,182)( = , em que t é o tempo em anos, com 6=t correspondendo a 1996 (Fonte: Starbucks Corp). 
 
a) Use o modelo para estimar as vendas nos anos de 2009 e 2013. 
b) Em que ano a venda, segundo o modelo acima, foi de 5.293 milhares de dólares. 
 
Respostas: 
 
1. 1/3 2. 2,5 anos 3. c) 8 anos 4. a) 17.625,32 e 46.140,84 milhares b) 2004 
 
Função inversa. Seja )(xfy = uma função de A em B . Se, para cada By∈ , existir exatamente um valor Ax∈ 
tal que )(xfy = , então podemos definir uma função ABg: → tal que )(ygx = . A função g definida desta 
maneira e chamada função inversa de f e denotada por 1−f . Graficamente, podemos determinar se uma função 
admite inversa. Passando uma reta paralela ao eixo dos x , esta deve cortar o gráfico em apenas um ponto. 
 
Exercícios 
 
1. Em cada um dos itens, determine a fórmula da inversa. Fazer os gráficos da função dada e de sua inversa. 
 
a) 43 += xy b) 
2
1
−
=
x
y c) 1,1 ≥−= xxy d) 0,42 ≤−= xxy 
 
2. Mostrar que a função 
12
2
)(
−
+=
x
x
xf coincide com sua inversa, isto é, xxff =))(( . 
 
3. Seja 





>
≤≤
<
=
9,27
91,
1,
)( 2
xx
xx
xx
xf , verifique que f tem uma função inversa e encontre )(1 xf − . 
 
 
 13 
4. LIMITES 
 
Noção intuitiva. 
Exemplo: Seja xy
11−= . 
 
 
Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta observar as tabelas e o gráfico para constatar que: 
1→y quando ±∞→x . 
Denota-se 1)11(lim =−
±∞→
x
x
 
 
Expressões indeterminadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos Limites Infinitos. 
 
 14 
5. CONTINUIDADE 
 
Definição. Dizemos que uma funçãof é contínua no ponto a se as seguintes condições forem satisfeitas: 
 
(i) f é definida no ponto a ; (ii) )(lim xf
ax→
 existe; (iii) )()(lim afxf
ax
=
→
. 
 
Alguns esboços de gráficos de funções que não são contínuas em a : 
 
 
Exercícios: 
 
Calcule os limites abaixo: 
 
1. 
3
92
3
lim +
−
−→ x
x
x
 2. 
xxx
xxx
x 526
432
23
23
1
lim −+
+−+−
−→
 3. 
2012
65
2
2
2
lim +−
+−
→ xx
xx
x
 4. )143( 23lim −+
+∞→
xx
x
 
 
5. 
1
10
2
1
lim −−→ xx
 6. 
65
2
2
2
lim +−
−
→ xx
x
x
 7. 
1
10
2
1
lim −→ xx
 8. 
9
14
2
3
lim −
+
−→ x
x
x
 
 
9. 




 −
+∞→ 3
1lim
x
x
 10. 
15
32
lim −
+
+∞→ x
x
x
 11. 
92
64
2lim +−
−
+∞→ xx
x
x
 12. 
1310
14
2
3
lim ++
−
−∞→ xx
x
x
 
 
13. 
3
1
lim
3 −−→ xx
 14. )143( 35lim +−
+∞→
xx
x
 15. 
x
x
x
16)4( 2
0
lim
−−
→
 16. 




 +−
+∞→
2
41
2lim xxx
 
 
17. 
)241)(273(
4323
322
45
lim xxxxx
xxx
x −+−++
+−+−
+∞→
 18. 
422
2233
)12)(27(
)4)(25)(12(
lim xxxx
xxxxxx
x +−+
+−+−−+
−∞→
 
 
 
Respostas: 
 
1. -6 2. 10 3. 1/8 4. +∞ 5. -∞ 6. -1 7. não existe 8. - ∞ 9. - ∞ 
 
10. 0,4 11. 0 12. - ∞ 13. ∞+ 14. ∞+ 15. 8 16. 2 17. 1/2 18. 2/7 
 
 
 
 
 
 15 
6. A RETA TANGENTE 
 
Vamos definir a inclinação de uma curva )(xfy = para depois encontrar a equação 
da reta tangente à curvanum ponto dado. Seja )(xfy = uma curva definida no 
intervalo ),( ba . Sejam ),( 11 yxP = e ),( 22 yxQ = dois pontos distintos sobre 
da curva. 
 
Seja s a reta secante que passa por P e Q . Considerando o triangulo retângulo 
PMQ, temos que a inclinação da reta s (coeficiente angular) é 
x
y
tg
∆
∆=α . Dessa 
forma, quando Q move-se sob a curva em direção a P haverá uma variação do 
coeficiente angular da reta s e quando o ponto Q estiver cada vez mais próximo de 
P , o coeficiente angular varia cada vez menos, tendendo para um valor limite 
constante. 
 
Este valor limite é o coeficiente angular da reta tangente, dado por: 
12
12
0
1 limlim
12
)(
xx
yy
x
y
xm
xxx −
−
=
∆
∆=
→→∆
, quando o limite existe. 
 
Ou ainda, tomando xxx ∆+= 12 temos: 
x
xfxxf
xm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(
)( 11
0
1 lim , quando o limite existe. 
Sendo assim, temos que a equação da reta tangente à curva )(xfy = no ponto ),( 11 yxP = é dada por: 
))(( 111 xxxmyy −=− . 
7. DERIVADA 
 
Definição. A derivada de uma função )(xfy = é a função denotada por )(' xf , tal que seu valor em qualquer 
)( fDx∈ é dado por 
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+=
→∆
)()(
)(' lim
0
, se esse limite existir. 
Dizemos que uma função é derivável (ou diferenciável) quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio. 
Notações: )(' xf (lê-se f linha de x ) ou 
dx
dy
 (Lê-se derivada de y em relação à x ). 
 
 16 
Tabela de Derivadas. 
 
 
Exercícios 
1. Encontre a reta tangente e a reta normal à curva 1032 ++−= xxy no ponto 1−=x . Esboce o gráfico. 
 
2. Encontre a reta tangente e a reta normal à curva 1−= xy no ponto 4=x . Esboce o gráfico. 
 
3. Encontre a reta tangente e a reta normal à curva 5xy 2 +−= no ponto 3=x . Esboce o gráfico. 
 17 
4. Encontre 'y . 
a) 
1
153 2
−
−+=
x
xx
y b) 3 2 263 −+= xxy c) 
2
2 1)(
x
xxf += 
 
Respostas 
 
1. t: 115 += xy , n: 
5
29
5
1 +−= xy 2. t: xy
4
1= , n: 174 +−= xy 
3. t: 146 +−= xy , n: 
2
9
6
1 += xy 4. a) 
2
2
)1(
463
'
−
−−=
x
xx
y 
b) ( ) ( )66263
3
1
' 3
2
2 +−+=
−
xxxy c) 
3
2
2)('
x
xxf −= 
 
8. DERIVADAS SUCESSIVAS 
 
Definição. Seja f uma função derivável. Se 'f também for derivável, então a sua derivada é chamada derivada 
segunda de f e é representada por )(" xf (lê-se f duas linhas de x ). 
Se "f é uma função derivável, sua derivada, representada por )(''' xf , é chamada derivada terceira de )(xf . A 
derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f , representada por )()( xf n , é obtida derivando-se a derivada de 
ordem 1−n de f . 
Exemplo: Se 25 83)( xxxf += , então xxxf 1615)(' 4 += , 1660)('' 3 += xxf , 2180)(''' xxf = , 
xxf 360)()4( = , 360)()5( =xf , 0)()6( =xf ,..., 6,0)()( ≥= nxf n . 
 
Exercícios 
 
1. Determine )1(''f sabendo que π++−+−= xxxxxxf 22130100)( 2345 . 
 
2. Seja 
1
42
)(
3 −
−=
x
x
xf . Encontre )1(" −f . 
 
3. Encontre a derivada de ordem n das seguintes funções: 
a) senxxf =)( b) 
2)1(
1
)(
x
xf
−
= c) 
33
1
)(
x
xf = 
Respostas 
1. 450 3. 1,5 3. b) 
2
)(
)1(
)!1(
)(
+−
+=
n
n
x
n
xf c) 
3
)(
6
)!2()1(
)(
+
+−=
n
n
n
x
n
xf 
 18 
9. DIFERENCIAL 
 
Seja )(xfy = uma função. 
Acréscimo de x. 12 xxx −=∆ 
Variação de y. )()( 12 xfxfy −=∆ 
 
Definição. Sejam )(xfy = uma função derivável e x∆ um acréscimo de x . Definimos: 
a) a diferencial da variável independente x , denotada por dx, como xdx ∆= ; 
b) a diferencial da variável dependente y , denotada por dy , como xxfdy ∆⋅= )(' . 
 
Interpretação geométrica. 
Consideremos o gráfico da função )(xfy = derivável. Observamos que, quando 
x∆ torna-se muito pequeno, o mesmo ocorre com a diferença dyy −∆ , ou seja, 
dyy ≅∆ , desde que o valor de x∆ considerado seja pequeno. 
 
Exercícios 
 
1. Calcule o valor aproximado dos itens abaixo usando diferenciais. 
 
a) 3 5,65 b) 6)97,1( c) 50 d) 4 92,17 e) 28,49 f) 4)02,3( 
 
2. Avalie o erro em módulo decorrente do uso de diferenciais para calcular os valores acima. 
 
3. Ao usarmos diferenciais para estimar o valor de 3)98,1( cometemos um erro de 310.92,23 − ? 
 
4. Uma caixa em forma de cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 0,25 centímetros. Se o lado da 
caixa é de 2 metros, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento necessária. 
 
Respostas 
 
1. a) 4,03125 b) 58,24 c) 7,071 d) 2,06 e) 7,02 f) 83,16 3. Não 4. 60.000 cm³ 
 
10. TAXA DE VARIAÇÃO 
 
Seja )(xfy = uma função derivável. 
 
Taxa média de variação de y em relação à x : 
x
xfxxf
x
y
∆
−∆+=
∆
∆ )()(
. 
 
Taxa instantânea de variação de y em relação à x : 
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+=
→∆
)()(
)(' lim
0
. 
 
 19 
Exercícios 
 
1. O deslocamento (em metros) de um objeto movendo-se ao longo de uma reta é dado por ttts 75,4 23 −−= , 
0≥t onde t é medido em segundos. 
 
a) Encontre a velocidade média no período de tempo ]4,2[ . 
b) Quando o objeto atinge a velocidade de sm/5 ? 
c) Qual a aceleração no instante st 5,1= ? 
 
2. À distância percorrida (em m) por um móvel em linha reta é dada por 44)( 2 ++= tttS onde 0≥t é dado em 
segundos. Determine: a) a velocidade média entre t = 1 s e t = 3 s. b) a velocidade em t = 3 s. c) em que instante a 
velocidade é de 12 m/s. 
 
3. Um ponto em movimento tem equação ttttS ++= 23 32)( , onde t é o tempo em segundos e S o espaço em 
metros. Determine a aceleração quando t = 3 s e em que instante a aceleração é de 30 m/s2. 
 
4. O produto interno bruto (PIB) de certo país (em milhões de dólares) é descrito pela função 
)110(,600020452)( 23 ≤≤+++−= tttttf , onde 0=t corresponde ao início de 1990. 
 
a) Qual a taxa de variação do PIB no início de 1995? E no começo de 1997? E no começo de 2000? 
b) Qual a taxa média de variação do PIB no período 20001995− ? 
 
Respostas 
 
1. a) -6m/s b) 4s c) 0m/s2 2. a) 8 m/s b) 10 m/s c) 4 s 
3. a) 42 m/s2 b) 2 s 6. a) 320, 356 e 320 milhões de dólares/ano b) 345 milhões de dólares/ano 
 
11. ESBOÇO DE GRÁFICOS 
 
 
 
Exercícios: Faça um estudo completo e esboce o gráfico das funções abaixo. 
 
1. 1)( 23 +−= xxxf 2. 2016)( 23 −−−= xxxxf 3. 34 4)( xxxf += 4. 35 53)( xxxf −= 
 20 
12. PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO 
 
Exercícios 
 
1. Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 metros de largura 
a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obra através do 
rio é de R$ 640,00 por metro, enquanto, em terra, custa R$ 312,00. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede 
de água potável? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b , com um lado comum a . Se cada pasto 
deve medir 400 m2 de área, determinar as dimensões a e b , de forma que o comprimento da cerca seja mínimo. 
 
3. A direção da Trappee, fabricante do famoso molho picante Texas, estima que seu lucro (em dólares) pela produção e 
venda diária de x caixas (cada caixa contendo 24 garrafas) de molho picante é dado por 
4006000002,0)( 3 −+−= xxxP . Qual é o maior lucro possível que a Trappee pode obter em 1 dia? 
 
4. Suponha que a função receita seja xxR 60)( = e a função custo seja 4050122)( 23 ++−= xxxxC . Obtenha 
a quantidade x que deve ser vendida para maximizar o lucro. Qual o lucro máximo? 
 
5. Um terreno retangular deve ser cercado de 2 formas. Dois lados opostos devem receber cercas reforçadas que custa 
R$ 4,50 o metro, enquanto os outros dois lados restantes recebemuma cerca padrão de R$ 3,00 o metro. Qual a maior 
área que pode ser cercada com R$ 1.800,00? 
 
Respostas 
1. 279,17 m 2. mm 310;
3
340
 3. 3600 4. 4,38; 65,96 5. 15.000 m2 
 
13. INTEGRAL INDEFINIDA 
 
Definição. Uma função )(xF é chamada uma primitiva da função )(xf em um intervalo I (ou simplesmente uma 
primitiva de )(xf ), se para todo Ix∈ , temos )()(' xfxF = . 
 
Exemplos: 
1. 
3
2
)(;1
3
)(;
3
)()(
333
2 +=+==⇒= xxFxxFxxFxxf são primitivas de f . 
2. c
xsen
xFxxf +=⇒=
2
2
)(2cos)( é uma primitivas de f para todo Rc∈ . 
 21 
Proposição. Seja )(xF uma primitiva da função )(xf . Então, se c é uma constante qualquer, a função 
cxFxG += )()( também é primitiva de )(xf . 
 
Definição. Se )(xF é uma primitiva de )(xf , a expressão cxF +)( é chamada integral indefinida da função 
)(xf e é denotada por ∫ += cxFdxxf )()( . 
 
De acordo com esta notação o símbolo ∫ é chamado sinal de integração, )(xf função integrando e dxxf )( 
integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado integração. O símbolo dx 
que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração. Além disso, da definição da integral 
indefinida decorre que: 
 
a) ∫ =⇔+= )()(')()( xfxFcxFdxxf ; 
 
b) ∫ dxxf )( representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da função integrando). 
 
Proposição. Sejam RIgf →:, e K uma constante, então: 
 
a) ∫ ∫= dxxfKdxxfK )()( ; 
 
b) ∫ ∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( . 
 
Tabela de integral. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
Resolva as integrais abaixo: 
 
1. ∫ ++ dxxx )53(
2 2. ∫ +− dttt )2)(1(
2 3. dt
t
t )19(
3
2
∫ + 4. dx
xx
x
)
3
1
(∫ + 
 22 
5. ∫ dxxx
3 6. dttt
et
)1
2
(∫ ++ 7. dtte
tt )2cos22(∫ +− 8. ∫ 3x
dx
 
 
9. A secretaria da Universidade Kellogg estima que o número total de estudantes matriculados na divisão de Educação 
Continuada crescerá à taxa de 2/3)2,01(2000)(' −+= ttN estudantes/ano daqui a t anos. Se o número atual de 
matrículas é 1000, encontre uma expressão que forneça o número total de matrículas daqui a t anos. Qual será o 
número de matrículas daqui a 5 anos? 
 
10. Estima-se que as vendas anuais (em milhões de unidades) de notebooks cresçam de acordo com a função 
64,216,018,0)( 2 ++= tttf )60( ≤≤ t onde t é medido em anos, com t =0 correspondendo a 1997. Quantos 
notebooks serão vendidos durante o período de 6 anos, que vai do início de 1997 ao final de 2002? 
 
Respostas 
1. cxxx +++ 2
3
3
3
2
5 2. c
tt
tt +−+−
43
2
43
2 3. c
t
t +− 23 3 4. cxx ++
15
2
2
2
5
 
5. cx +2
9
9
2
 6. cttet +++ ln
3
2
2
1 2
3
 7. c
tsen
et
t
++−
2
2
2
2ln
2
 8. c
x
+−
22
1
 
9. 6.858 matrículas 10. 31,68 milhões de unidade 
 
14. INTEGRAL DEFINIDA 
 
Definição. Seja f uma função definida no intervalo ],[ ba . A integral definida da função f de a até b é denotada 
por ∫
b
a
dxxf )( , onde os números a e b são chamados limites de integração (a inferior e b superior). 
Quando a função f é contínua e não negativa em ],[ ba , a definição da integral definida coincide com a definição da 
área. Sempre que utilizamos um intervalo ],[ ba , supomos ba < . Assim, em nossa definição não levamos em conta 
os casos em que o limite inferior é maior que o limite superior. 
 
Definição. 
(a) Se ba > , então ∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( , se a integral à direita existir. 
 
(b) Se ba = e )(af existe, então 0)( =∫
b
a
dxxf . 
 
Teorema. Se f é contínua sobre ],[ ba , então f é integrável em ],[ ba . 
 
 
Proposição. Se bca << e f é integrável em ],[ ca e em ],[ bc , então f é integrável em ],[ ba e 
∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( . 
 23 
15. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
 
Teorema. Se f é contínua sobre ],[ ba e se F e uma primitiva de f neste intervalo, então 
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=∫ . 
 
Exercícios 
 
Calcular as integrais definidas. 
 
1. ∫
−
+
2
1
3)1( dxxx 2. ∫
−
+−
0
3
2 )74( dxxx 3. ∫
2
1
6x
dx
 4. ∫
9
4
2 dttt 5. ∫ −
2
0
52 )1( dxxx 
 
Respostas 
 
1. 81/10 2. 48 3. 31/160 4. 844/5 5. -0,571 
 
16. CÁLCULO DE ÁREAS 
 
O cálculo de área de figuras planas pode ser feito por integração. Vejamos as situações que comumente ocorrem. 
 
Caso I. ],[,0)( baxxf ∈∀≥ . 
Exemplo: Encontre a área limitada pela curva 24 xy −= e o eixo dos x . 
 
 ..
3
32
)4(
2
2
2 audxxA =−= ∫
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso II. ],[,0)( baxxf ∈∀≤ . 
Exemplo: Encontre a área limitada pela curva 42 −= xy e o eixo dos x . 
 
 
 
 ..
3
32
3
32
)4(
2
2
2 audxxA =−=−= ∫
−
 
 
 
 
 
 24 
Caso III. ],[),()( baxxgxf ∈∀≥ . 
Exemplo: Encontre a área da região S limitada pelas curvas 3,6 xyxy =+= e 2
xy −= . 
 
Devemos dividir a região em duas subregiões 1S e 2S . 
 
 
∫
−
=−−+=
0
4
1 ..12)]2()6[( audx
xxA 
∫ =−+=
2
0
3
2 ..10])6[( audxxxA 
 
..22 auATotal =∴ 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região. 
 
1. 22 18, xyxy −== 2. 3 ,4 22 +== xyxy 3. 862,76 22 ++−=−−= xxyxxy 
4. xyxxy −=+= 3,2 5. 52,562 −=−+−= xyxxy 6. 14 ,4 22 −=−= xyxy 
 
Respostas 
 
1. 72 2. 4 3. 108 4. 32/3 5. 32/3 6. 72 
 
 
17. BIBLIOGRAFIA 
 
- FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A - 6ª ed. Pearson Education do Brasil, São Paulo, 2007. 
 
- MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Cálculo funções de uma e várias variáveis. Saraiva, São Paulo, 
2003. 
 
- SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Cálculo Básico para Cursos Superiores. Atlas, São Paulo, 2004. 
 
- STEWART, J. Cálculo Vol. 1 - 5ª ed. Pioneira Thomson Learning, São Paulo, 2006. 
 
 
“Jamais considere seus estudos como uma obrigação, mas como uma oportunidade invejável para 
aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito, para seu próprio prazer pessoal 
e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer.” Albert Einstein.Albert Einstein.Albert Einstein.Albert Einstein.