EQUACOES DE PRIMEIRO GRAU

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Equações de primeiro grau
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0
As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+b=0, em que a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a variável. A resolução desse tipo de equação é fundamentada nas propriedades da igualdade descritas a seguir.
	Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma equação, ou subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a igualdade se mantém.
Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma equação por um mesmo número não-nulo, a igualdade se mantém.
 
Considere a equação 2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.
 
   
 
Variável (ou incógnita) de uma equação:
Os elementos desconhecidos de uma equação são chamados de variáveis ou incógnitas.
Exemplos: 
A equação x + 5 = 18 tem uma incógnita: x 
A equação x – 3 = y + 2 tem duas incógnitas: x e y
A equação a² – 3b + c = 0 tem três incógnitas: a, b e c 
Cada um dos valores que, colocados no lugar da incógnita, transformam a equação em uma sentença verdadeira é chamado de raiz da equação. Para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação, basta substituirmos a incógnita por esse número e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira. 
Exemplo: verificar se 3 é raiz de 5x – 3 = 2x + 6 
5.3 – 3 = 2.3 + 6
15 – 3 = 6 + 6
12 = 12
Logo 3 é raíz da equação.
Sistemas de Equações
Considere o seguinte problema:
Oscar, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?
Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:
                x + y = 25         (total de arremessos certo)
                2x + 3y = 55     (total de pontos obtidos)
 
Essas equações contém um sistema de equações.
Costuma-se indicar o sistema usando chave.
                            
O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.
 
Resolução de Sistemas
 
A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.
Estudaremos a seguir alguns métodos:
 
Método de substituição
Solução
determinamos o valor de x na 1ª equação. 
                        x = 4 - y
Substituímos esse valor na 2ª equação. 
                        2 . (4 - y) -3y = 3 
Resolvemos a equação formada. 
8 - 2y -3y = 3     
8 - 2y -3y = 3
-5y = -5   => Multiplicamos por -1 
5y = 5 
       
y = 1
Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x. 
x  + 1 =  4
x =  4 – 1
x = 3
A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). 
Método da adição
   Solução
Adicionamos membros a membros as equações: 
                        
                           2x = 16
                            
                            x = 8
 
Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y: 
                            8 + y = 10 
                            y = 10 - 8
                            y = 2
        A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)
Execícios:
Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?    
Resolva as equações a seguir:
a)18x - 43 = 65
b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4
f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2 
Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.      
Qual é o conjunto solução da equação 4x - 8 = 10? 
Qual é o conjunto solução da equação 4x - 8 = 10? 
Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5? 
Encontre raiz da equação -2x = -4 + 3x? 
7 é raiz da equação x + 5 = 2? 
Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para um total de 100 veículos. Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia? 
 Uma fábrica de refrigerantes produz refrescos de guaraná nas versões tradicional e diet. Os bares vendem os tradicionais por R$ 1,00 e os diet por R$ 1,25. Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes, com um faturamento de R$ 2100,00. Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas.
 Se x + y = 10= e x – y = 7, dê o valor numérico de:
2x + 3y
-2x + y
 Num quintal há 36 animais entre porcos e galinhas. Sabe-se que há ao todo, 112 pés. Quantos são os porcos e quantas são as galinhas?
Equações de 2º grau
Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma ax2 + bx + c = 0, com a, b e c ЄR e a ≠ 0.
    Exemplos:
x2 - 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6. 
6x2 - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1. 
7x2 - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0. 
x2 - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36. 
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.
a    é sempre o coeficiente de  x²;
b    é sempre o coeficiente de x,
c    é o coeficiente ou termo independente.
 
Resolução de equações completas
    	
Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
 
    	Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:
 
	
Delta ou Discriminante
O polinômio dentro da raiz da fórmula resolutiva ou geral é chamado de delta ou discriminante. 
De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.
Se  ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais e distintas.
Se ∆ = 0, a equação terá duas raízes reais e iguais. 
Se ∆  < 0, a equação terá duas raízes complexas. 
   
Exemplos:
resolução a equação: 
Temos  
                        
Resolução de equações incompletas
	
Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:
1ª Propriedade:  Se x Є R, y Є R e x.y =0, então x = 0 ou y = 0.
2ª Propriedade:  Se x Є R, y Є R e x2 = y, então x = √y ou x = -√y . 
1º Caso: Equação do tipo  ax² + bx = 0.
   Exemplo:
Determine as raízes da equação x² - 8x = 0.
Solução
Inicialmente, colocamos x em evidência:
x(x - 8) = 0.
Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:
                                        x = 0 ou x – 8 = 0. Logo x = 0 ou x = 8.
       
2º Caso: Equação do tipo ax² + c = 0  
 Exemplos:
Determine as raízes da equação 2x² - 72 = 0. 
Solução
2x² - 72 = 0
x² = 36
x = 
 √36 
x = 
 6 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Observe o seguinte problema:
Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.
De acordo com os dados, podemos escrever:
8x + 4y = 64
2x . ( 2x + 2y) = 192  4x2 + 4xy = 192
Simplificando, obtemos:
2x + y = 16                 
x2 +xy = 48                 
 
Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.
Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:
Assim:    2x + y = 161
                        y = 16 - 2x
Substituindo y em  2 , temos:
               x2 + x ( 16 - 2x) = 48
               x 2 + 16x - 2x2 = 48
                - x2  + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.
                  x2 - 16x + 48 = 0
 x'=4       e        x''=12	
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'=16 - 2 . 4 = 8
y''=16 - 2 . 12 = - 8
 
As soluções  do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).
desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:
Comprimento    =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m
Largura              =2x = 2. 4 = 8m
Verifique agora a solução deste outro sistema:
 
    
Isolando y em 1
               y - 3x = -1 y = 3x - 1
Substituindo em  2 
           x2  - 2x(3x - 1)  = -3
           x2 - 6x2 + 2x    = -3    
          -5x2 + 2x + 3    = 0   Multiplicando ambos os membros por -1.
           5x2 - 2x - 3     = 0
x'=1       e    x''=-
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
                                            
As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e  .
Logo, temos para conjunto verdade: 
Exercícios
1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:
a) 5x2 - 3x - 2 = 0
b) 3x2  + 55 = 0
c) x2 - 6x = 0
d) x2 - 10x + 25 = 0
2) Achar as raízes das equações: 
a) x2 - x - 20 = 0
b) x2 - 3x -4 = 0 
c) x2 - 8x + 7 = 0
3) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-8= 0?  
4) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número?
5) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem? 
6) O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora? 
Denominando x a minha idade atual, a partir do enunciado podemos montar a seguinte equação:
x2 - (x - 20) = 2000
Ou ainda:
A solução desta equação do 2° grau completa nós dará a resposta deste problema. Vejamos:
As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso ter -44 anos, é óbvio que só posso ter 45 anos. Logo:
Agora eu tenho 45 anos.
7) Quais são as raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0? 
Problemas
Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos conteúdos.
Nas séries iniciais os cálculos envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações e divisões são utilizadas. Na 2ª fase do Ensino Fundamental os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra.
O dobro de um número adicionado com 4 → 2x + 4.
A soma de dois números consecutivos → x + (x + 1)
O quadrado de um número mais 10 → x² + 10
O triplo de um número adicionado ao dobro do número → 3x + 2x
A metade da soma de um número mais 15 → x/2 + 15
A quarta parte de um número → x/4
Exemplo:
A soma de três números pares consecutivos é igual a 94. Determine-os.
1º número: x
2º número: x + 2
3º número: x + 4
( x ),(x + 2) + (x + 4) = 96
Resolução
x + x + 2 + x + 4 = 96
3x = 96 – 4 – 2
3x = 96 – 6
3x = 90
x = 90/3
x = 30
1º número: x → 30
2º número: x + 2 → 30 + 2 = 32
3º número: x + 4 → 30 + 4 = 34
Os números procurados são 30, 32 e 34.
O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o:
Resolução:
3x + 4 = 5²
3x = 25 – 4
3x = 21
x = 21/3
x = 7
O número procurado é igual a 7.
A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui há cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?
Resolução:
Atualmente
Filho: x
Pai: 4x
Futuramente
Filho: x + 5
Pai: 4x + 5
4x + 5 = 3.(x + 5)
4x + 5 = 3x + 15
4x – 3x = 15 – 5
x = 10
Pai: 4x → 4 .10 = 40
O filho tem 10 anos e o pai tem 40.
 O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número?
Resolução
2x + 3x = 20
5x = 20
x = 20/5
x = 4
O número corresponde a 4.
Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara.
Galinhas: g
Coelhos: c
g + c = 35
Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:
2g + 4c = 100
Sistema de equações
Isolando c na 1ª equação:
g + c = 35
c = 35 – g
Substituindo c na 2ª equação:
2g + 4c = 100
2g + 4.(35 – g) = 100
2g + 140 – 4g = 100
2g – 4g = 100 – 140
– 2g = – 40
g = 40/2
g = 20
Calculando c
c = 35 – g
c = 35 – 20
c = 15
Exercícios:
1) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho? 
Primeiramente vamos assumir que x seja a quantidade de carrinhos que eu possuo. Vamos montar então a expressão matemática por partes.
Sendo x a quantidade de carrinhos que eu possuo, ao adicionar 8, ficarei com x + 8.
Do enunciado sabemos que ele tem 28 carrinhos e se subtrairmos deste número a quantidade que eu possuo (x), ficaremos com quantidade iguais. Então:
x + 8 = 28 - x
A partir daí devemos deixar a incógnita x isolada no lado direito, passando os coeficientes para o outro lado.
O x que está sendo subtraído no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo adicionado.
x + x + 8 = 28
x mais x é igual a 2x, assim como uma laranja mais uma laranja é igual a duas laranjas.
2x + 8 = 28
Passemos agora o 8 que está sendo adicionado, para o outro lado, na operação inversa, ou seja, sendo subtraído:
2x = 28 - 8
Realizando a subtração:
2x = 20
O coeficiente 2 que está multiplicando a incógnita x, passará para o outro membro dividindo o termo 20:
Realizando a divisão encontramos a raiz 10:
x = 10
Portanto:
Eu tenho 10 carrinhos.
 
2) Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria? 
Digamos que p seja o preço por kg da mercadoria. Como em ambos os casos eu teria um troco a receber, então o valor que eu dei em pagamento seria igual à massa comprada vezes o preço por kg mais o troco nas duas situações. Teríamos então:
O 6p que está sendo somado no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo subtraído, ao mesmo tempo em que o 1,25 à esquerda que está sendo somado passará à direita subtraindo:
Realizando as subtrações:
O coeficiente 1,5 que está multiplicando a incógnita p irá para o outro lado dividindo o termo 3,75:
Que dividindo dá:
Tomemos então o primeiro membro da equação inicial
Ele representa quanto me custou o produto mais quanto recebi de troco, ou seja, quanto dei em dinheiro para o pagamento. Vamos então substituir p pelo valor encontrado de 2,5 e realizar os cálculos:
Portanto:
Eu dei R$ 20,00 em dinheiro para o pagamento da mercadoria.
 
3) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade? 
Partamos do princípio que a minha idade seja igual a x. Como o meu irmão tem 7 anos a mais que eu, então ele tem x + 7 anos de idade. Como a soma das idades é de 37 anos, podemos escrever a seguinte sentença:
Ou seja:
Passando para o outro lado o 7 como subtraindo, já que ele se encontra adicionando no primeiro membro, temos:
Realizando a subtração:
Passando o multiplicador 2 para a direita como divisor:
Que dividindo dá:
Portanto:
Eu tenho 15anos de idade.
 
4) Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00. Qual o valor unitário deste produto? 
Vou chamar de x o preço da unidade deste produto.
A partir do enunciando chegamos à seguinte equação:
O termo 20x se refere às 20 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário.
Sabemos que isto é igual a 14 unidades do produto multiplicado pelo seu valor unitário, mais 30 reais de troco, ou seja, 14x + 30.
Vamos passar o 14x para o primeiro membro, lembrando que por estar sendo adicionado, ele passará subtraindo:
Ao fazermos a subtração:
Passamos o 6 para o outro lado, dividindo já que ele está multiplicando:
Que dividindo dá:
Portanto:
O valor unitário deste produto é de R$ 5,00.
 
5) O volume de chuvas na minha região foi de 30 ml nos dois últimos dias. Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva de hoje? 
Chamemos de v o volume da chuva hoje.
Do enunciando tiramos que 2v corresponde ao volume de chuva de ontem, assim como 30 é o volume total. Podemos então montar à seguinte equação:
Somando os termos do primeiro membro temos:
Passando o 3 para o outro lado, como divisor já que ele é um multiplicador:
Ao dividirmos:
Portanto:
O volume de chuva de hoje foi de 10 ml.
Conjunto dos números complexos
Os números naturais surgiram da necessidade do homem de relacionar objetos a quantidades, os elementos que pertencem a esse conjunto são: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}, o zero surgiu posteriormente, com a finalidade de expressar algo nulo no preenchimento posicional.
 O conjunto dos números naturais surgiu simplesmente com o propósito da contagem, no comércio sua utilização esbarrava nas situações em que era preciso expressar prejuízos. Os matemáticos da época, no intuito de resolver tal situação, criaram o conjunto dos números inteiros, simbolizado pela letra Z. 
Z = {… , -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, … }
 Operações comerciais representando lucros ou prejuízos podiam ser calculadas, por exemplo:
 
20 – 25 = – 5 (prejuízo) 
–10 + 30 = 20 (lucro) 
–100 + 70 = – 30 (prejuízo) 
 Com a evolução dos cálculos, o conjunto dos números inteiros não estava satisfazendo algumas operações, assim foi estipulado um novo conjunto numérico: o conjunto dos números racionais. Esse conjunto consiste na união entre o conjunto dos números naturais com os números inteiros mais os numerais que podem ser escritos na forma de fração ou números decimais. 
Q = { … , -5; …; - 4,7; … ; - 2; … ; -1;…; 0; …; 2,65; …; 4; … }
Alguns números decimais não podem ser escritos na forma de fração, dessa forma não pertencem ao conjunto dos racionais, eles formam o conjunto dos números irracionais. Este conjunto possui números importantes para a Matemática, como o número pi (~3,14) e o número de ouro (~1,6).
A união dos conjuntos dos números Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais formam o conjunto dos números Reais.
A criação do conjunto dos números Reais se deu ao longo de todo o processo de evolução da Matemática, atendendo às necessidades da sociedade. Na busca por novas descobertas, os matemáticos esbarraram em uma situação oriunda da resolução de uma equação do 2º grau. Na resoluçao da equação x² + 2x + 5 = 0 aplicando o Teorema de Bháskara, nos deparamos com a raiz quadrada de um número negativo, sendo impossível a resolução dentro do conjunto dos números Reais, pois não existe número negativo que elevado ao quadrado tenha como resultado número negativo. A resolução destas raízes só foi possível com a criação e adequação dos números complexos, por Leonhard Euler. Os números Complexos são representados pela letra C e mais conhecidos como o número da letra i, sendo designada nesse conjunto a seguinte fundamentação: i² = -1.		
Esses estudos levaram os matemáticos ao cálculo das raízes de números negativos, pois com a utilização do termo i² = -1, também conhecido como número imaginário, é possível extrair a raiz quadrada de números negativos. 
Então um número complexo Z é da forma z = a + bi com a e b Є R e i = √-1. 
NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária. 
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real . 
Ex: z = 5 = 5 + 0i . 
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, 
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) . 
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos . 
Ex: -16 = 16 . -1 = 4.i = 4i 
Assim, o número complexo (3, 4) na forma normal fica 3 + 4i.
a) (5, – 3) = 5 – 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Conjugado de um número complexo
Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z . 
z = a + bi  = a - bi 
Ex: z = 3 + 5i ; = 3 - 5i 
Adição, subtração e multiplicação de número complexo
Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.
Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.
Adição 
 Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:
z1 + z2 
(a + bi) + (c + di) 
a + bi + c + di 
a + c + bi + di 
a + c + (b + d)i 
(a + c) + (b + d)i 
Portanto, z1 + z2  = (a + c) + (b + d)i. 
Exemplo: 
 Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma: 
(6 + 5i) + (2 – i) 
6 + 5i + 2 – i 
6 + 2 + 5i – i 
8 + (5 – 1)i 
8 + 4i 
Portanto, z1 + z2  = 8 + 4i. 
Subtração 
Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2  = c + di, ao subtraímos teremos:
z1 - z2 
(a + bi) - (c + di) 
a + bi – c – di 
a – c + bi – di 
(a – c) + (b – d)i 
Portanto, z1 - z2  = (a - c) + (b - d)i. 
Exemplo: 
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração: 
(4 + 5i) – (-1 + 3i) 
4 + 5i + 1 – 3i 
4 + 1 + 5i – 3i 
5 + (5 – 3)i 
5 + 2i 
Portanto, z1 - z2  = 5 + 2i. 
Multiplicação 
 Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2  = c + di, ao multiplicarmos teremos: 
z1.z2 
(a + bi) . (c + di) 
ac + adi + bci + bdi2 
ac + adi + bci + bd (-1) 
ac + adi + bci – bd 
ac - bd + adi + bci 
(ac - bd) + (ad + bc)i 
Portanto, z1.z2  = (ac + bd) + (ad + bc)I. 
Exemplo: 
	Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2  = 2 - i, calcule a sua multiplicação: 
(5 + i) . (2 - i) 
5 . 2 – 5i + 2i – i2 
10 – 5i + 2i + 1 
10 + 1 – 5i + 2i 
11 – 3i 
Portanto, z1.z2  = 11 – 3i.
	
Divisão 
Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Exemplo:
 = = 
 
Exercícios:
1. Calcule: 
        a) (2 + 5i) + (3 + 4i) 
        b) i + (2 - 5i)
        c) (2 + 5i) - (3 + 4i) 
        d) (1 + i) - (1 - i) 
        e) (2 + 3i) (3 - 2i) 
        f) (1 + 3i) (1 + i) 
 g)  (1 + i)2 
        h)  (-2 + i)2
i) x² -4x + 5 = 0
 j) x² - 3x + 3 = 0
 K) y² - 2y + 50 = 0
2.  Escrevaos conjugados dos seguintes números complexos: 
        a) 3 + 4i 
        b) 1 - i 
3.  Efetue as seguintes divisões de números complexos: 
        a)    (-10 + 15i) / (2 + i) 
        b)    (1 + 3i) / (1 + i) 
        
 
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_1365006372.unknown
_1365285954.unknown
_1365006384.unknown
_1365005299.unknown
_1364629899.unknown
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_1364629643.unknown