Circuitos em Malha

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Circuitos em Malhas
 Nó  encontro de três ou mais fios
 Ramo  trecho do circuito que inicia em um nó e termina no nó seguinte.
2.2.3.1 – Leis de Kirchhoff
 Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) – também conhecida como lei das malhas  conservação da energia.
 “A soma das quedas de tensão ao longo do percurso de uma malha fechada é nula”
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
 Exemplo 1: A malha simples apresentada a seguir possui duas cargas resistivas (R1 e R2) e duas baterias com E1 > E2 e resistências internas (r1 e r2) não nulas. Qual a expressão da corrente que circula pelo circuito?
LTK : E1 – r1 i – R1 i – r2 i – E2 – R2 i = 0
E1 – E2 
r1 + r2 + R1 + R2
i =

Solução Exemplo 1:
 Partindo do ponto a e percorrendo
a malha no sentido horário, tem-se:
a
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
2
FÍSICA BÁSICA
Prof. MSc. EDSON S. C. SILVA
UNIDADE II - Eletrodinâmica
Décimo Terceiro Exemplo
 Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) – também conhecida como lei dos nós  conservação da carga.
 “A soma das correntes que chegam num nó é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó”
i2
i4
i5
i3
i1
a
Fig. 2.6 – Trecho de um circuito onde a lei dos nós é aplicada
i1 + i4 = i2 + i3 + i5
 Circuitos de malha única
  fem –  cfem 
 r +  R
i =

(2.32)
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
 Circuitos com várias Malhas
 Para determinar o valor da corrente em cada elemento do circuito, pode-se usar basicamente dois métodos: correntes de ramo e correntes de malha.
 Correntes de Ramo
 Aplica-se a LCK sobre os nós principais e equaciona-se as tensões dos ramos paralelos.
Fig. 1 – Correntes de ramo sendo analisadas em um circuito em malhas
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
 Exemplo 2: No circuito apresentado a seguir considere as baterias ideais. (a) Qual o valor das correntes de ramo i1, i2 e i3? (b) Qual a diferença de potencial entre os pontos a e b?
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
5
FÍSICA BÁSICA
Prof. MSc. EDSON S. C. SILVA
UNIDADE II - Eletrodinâmica
Décimo Quarto Exemplo
Solução Exemplo 2:
 Aplicando a LCK (lei dos nós) ao nó a, vem:
 i1 = i2 + i3		(I)
 Aplicando-se a LTK (lei das malhas) à malha esquerda do circuito, obtém-se:
 20 – 5 i1 – 10 i3 = 0		 i1 + 2 i3 = 4		(II)
 20 – 5 i1 – 2 i2 – 8 = 0		 5 i1 + 2 i2 = 12	(III)
 A LTK aplicada à malha externa produz:
 Combinando as equações (I), (II) e (III), obtém-se:
i1 = 2,0 A		i2 = 1,0 A		i3 = 1,0 A
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
 Problema.: No circuito apresentado a seguir considere: R1 = 3 , R2 = 1 , R3 = 2 , R4 = 5 , R5 = 6 , E1 = 6 V, E2 = 4 V e E3 = 22 V. (a) Utilizando o método das correntes de ramo, obtenha as correntes através das baterias E1, E2 e E3. (b) Qual a ddp entre os pontos a e b?
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
 Correntes de Malha
 Aplica-se a LTK para cada malha do circuito e soluciona-se o sistema obtido.
 Exemplo 3: Obter as correntes do circuito apresentado no exemplo anterior (Exemplo 2) utilizando o método das correntes de malha.
Fig. 1 – Correntes de malha sendo analisadas em um circuito em malhas
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
8
FÍSICA BÁSICA
Prof. MSc. EDSON S. C. SILVA
UNIDADE II - Eletrodinâmica
Décimo Quinto Exemplo
Solução Exemplo 3:
 3 i1 – 2 i2 = 4	(I)
 5 i1 – 6 i2 = 4	(II)
20 – 5 i1 – 10 (i1 – i2) = 0
 Aplicando LTK na malha esquerda (começando por b):
– 2 i2 – 8 – 10 (i2 – i1) = 0
 Aplicando LTK na malha direita (começando por a):
 De (I) e (II), obtém-se: i1 = 2 A e i2 = 1 A.
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
 Correntes de Malhas e Matrizes
 As n equações simultâneas das n malhas de um circuito podem ser escritas na forma matricial.
[V]n x 1 = [R]n x n . [I]n x 1		(2.33)
 Rii : é a soma de todas as resistências na malha i
 Rij = Rji : é o negativo da soma de todas as resistências entre as malhas i e j
Ii : é a corrente na malha i
j = 1:n
i = 1:n
 Vi : é soma das tensões na malha i (+ se Ii e Vi tiverem o mesmo sentido e –, caso contrário).
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
 Exemplo 4: Obtenha a equação matricial do circuito de três malhas apresentado a seguir.
Solução Exemplo 4:
R11 R12 R13
R21 R22 R23
R31 R32 R33
V1
V2
V3
i1
i2
i3
=
.
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
11
FÍSICA BÁSICA
Prof. MSc. EDSON S. C. SILVA
UNIDADE II - Eletrodinâmica
Décimo Sexto Exemplo
R11 = RA + RB
R22 = RB + RC + RD
R33 = RD + RE
R13 = R31 = 0
R12 = R21 = – RB
R23 = R32 = – RD
 Os elementos da matriz [R] são dados por:
 Os elementos da matriz [V] são representados por:
V1 = + VA
V2 = 0
V3 = – VB
 A solução do circuito (valores de i1, i2 e i3) pode ser obtida através da regra de Cramer apresentada a seguir:
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
R11 R12 R13
R21 R22 R23
R31 R32 R33
 =
V1 R12 R13
V2 R22 R23
V3 R32 R33
1 =
R11 V1 R13
R21 V2 R23
R31 V3 R33
2 =
R11 R12 V1
R21 R22 V2
R31 R32 V3
3 =
1

i1 =

2

i2 =
3

i3 =
 Os determinantes acima produzem as correntes i1, i2 e i3 de acordo como segue:
13/5/17
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
‹n.º›
Circuitos Elétricos
13