Aula 14 - Obtendo Transformações Lineares

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG Aula 14 
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
ICT 13 
Álgebra 
Linear 
Aula 14 
 
	
   	
   	
  
PROF. DR. MAYK COELHO 	
   
Muitas vezes não temos uma função para verificarmos se esta é, ou não, 
uma transformação linear. Porém, a situação mais comum é construir uma 
transformação linear que se adeque as nossas necessidades, mas como 
fazer? O que é preciso? 
Sejam 𝑉 e 𝑊 espaços vetoriais e 𝐵 = 𝑣!, 𝑣!,… , 𝑣! uma base de 𝑉. 
Queremos construir uma transformação linear 𝑇:𝑉 →𝑊. Deste modo, 
como temos que ∀𝑢 ∈ 𝑉,𝑢 = 𝛼!𝑣! + 𝛼!𝑣! +⋯+ 𝛼!𝑣!, ou seja, 𝑢 = (𝛼!, 𝛼!,…   ,𝛼!)!, ao aplicarmos esta transformação linear em 𝑢 
teríamos o seguinte: 𝑇 𝑢 = 𝛼!𝑇 𝑣! + 𝛼!𝑇(𝑣!)+⋯+ 𝛼!𝑇(𝑣!) 
pois 𝑇 sendo transformação linear preserva combinações lineares. 
A observação acima nos dá uma imensa liberdade para construirmos uma 
transformação linear 𝑇:𝑉 →𝑊, pois conhecendo as coordenadas de 𝑢 na 
base 𝐵, basta associar os elementos de 𝐵 à elementos de 𝑊, ou seja, 
definindo os valores de 𝑇 para cada elemento da base 𝐵. 
Vejamos alguns exemplos: 
Obtendo Transformações Lineares 
das 
 
(𝛼! , 𝛼! ,…   ,𝛼! )! são as 
coordenadas de 𝑢 na base 𝐵 Observe que para obter 𝑇(𝑢) é preciso saber apenas as coordenadas de 𝑢 na base 𝐵 e os valores de 𝑇 na base 𝐵. 
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Exemplo 1: Se queremos uma transformação linear 𝑇:  ℝ! → ℝ! e seja 𝐶 = { 1,0 , 0,1 } a base canônica de ℝ!, 
podemos proceder da seguinte forma: 
Temos que ∀𝑢 ∈ ℝ!,𝑢 = 𝑥,𝑦 = 𝑥 1,0 + 𝑦(0,1), ou seja: 
𝑇 𝑢 = 𝑥𝑇 1,0 + 𝑦𝑇(0,1) 
Se definirmos 𝑇 1,0 = (1, 3, 2) e 𝑇 0,1 = (0,−1, 3), podemos substituir em 𝑇(𝑢) da seguinte forma: 
𝑇 𝑥,𝑦 = 𝑥 1, 3, 2 + 𝑦 0,−1, 3 
𝑇 𝑥,𝑦 = (𝑥, 3𝑥 − 𝑦, 2𝑥 + 3𝑦) 
Observe que definida desta forma, 𝑇:  ℝ! → ℝ! é uma transformação linear. 
	
  
No exemplo acima, as coordenadas de 𝑢 já estavam dadas, visto que a base canônica é a base usual utilizada desde 
o ensino médio. O exemplo a seguir utiliza outra base para fim de melhor entendimento. 
Exemplo 2: Queremos ainda 𝑇:  ℝ! → ℝ!, porém a base considerada agora é 𝐵 = { 1,1 , −2,0 }. Assim temos 
que ∀𝑢 ∈ ℝ!,𝑢 = 𝑥,𝑦 = 𝛼 1,1 + 𝛽 −2,0 = (𝛼,𝛽)!. Caso não tenhamos as coordenadas (𝛼,𝛽)!, é preciso 
obtê-las em função de 𝑥 e 𝑦. Para isso basta resolver o seguinte sistema: 
𝛼 − 2𝛽 = 𝑥𝛼 = 𝑦 ⇒ 𝛼 = 𝑦  𝑒  𝛽 = 𝑥 − 𝑦2 . 
Assim, temos que 𝑇 𝑢 = 𝛼𝑇 1,1 + 𝛽𝑇(−2,0). Definindo os mesmos valores que havíamos definido para os 
elementos da base 𝐶 no exemplo 1, ou seja , 𝑇 1,1 = (1, 3, 2) e 𝑇 −2,0 = (0,−1, 3), obtemos: 
𝑇 𝑥,𝑦 = (𝛼, 3𝛼 − 𝛽, 2𝛼 + 3𝛽) 
Se não temos as coordenadas 𝛼 e 𝛽, substituímos pelos valores encontrados anteriormente, assim temos: 
𝑇 𝑥,𝑦 = 𝑦, 5𝑦 − 𝑥2 , 3𝑥 − 𝑦2 
Observe que definida desta forma, 𝑇:  ℝ! → ℝ! é uma transformação linear. 
	
  
	
  
Como 𝐶 é a base canônica, (𝑥, 𝑦) já são as coordenadas de 𝑢. 
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Pelos exemplos acima é possível observar que quando definimos os valores de 𝑇 para cada elemento da base de 𝑉 
estamos fixando a transformação linear 𝑇, ou seja, a transformação linear encontrada será a única que fará esta 
correspondência com os elementos da base. Mudando a base e mantendo-se os valores de correspondência, muda-
se a transformação linear obtida. 
Para melhor visualizar este fato, vejamos outro exemplo: 
Exemplo 3: Seja ainda 𝑇:  ℝ! → ℝ!, com 𝐶 = { 1,0 , 0,1 } a base canônica de ℝ!, assim, como no exemplo 1, ∀𝑢 ∈ ℝ!,𝑇 𝑢 = 𝑥𝑇 1,0 + 𝑦𝑇(0,1). Como 𝑇(1,0) e 𝑇 0,1 ∈ ℝ! temos que: 
𝑇 1,0 = (𝑎!,𝑎!,𝑎!) e 𝑇 0,1 = (𝑏!, 𝑏!, 𝑏!) 
Assim, substituindo na expressão de  𝑇 𝑢 temos que: 
𝑇 𝑢 = 𝑥 𝑎!,𝑎!,𝑎! + 𝑦(𝑏!, 𝑏!, 𝑏!) ⇒ 𝑇 𝑢 = (𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦,𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦,𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦) 
Ou seja, as componentes de 𝑇 𝑢 são formadas por combinações lineares das coordenadas de 𝑢 na base 𝐶. 
Observe que 𝑇 𝑢 = 𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦,𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦,𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦 = 𝑎! 𝑏!𝑎! 𝑏!𝑎! 𝑏! 𝑥𝑦 , ou seja, 𝑇:  ℝ! → ℝ! pode ser 
expressa como sendo o produto de uma matriz 𝐴!×! cujas colunas são formadas pelos valores de 𝑇(1,0) e 𝑇(0,1). 
	
  
Com o exemplo 3, podemos fazer algumas generalizações: 
 
 
	
  
Se desejamos uma transformação linear 𝑇:  ℝ! → ℝ! e para 𝐵 = {𝑣!,𝑣!,… , 𝑣!} uma base de ℝ! temos: 𝑇(𝑣!) = (𝑎!! ,𝑎!",… ,𝑎!!)𝑇(𝑣!) = (𝑎!" ,𝑎!!,… ,𝑎!!)⋮ ⋮ ⋮𝑇(𝑣!) = (𝑎!!, 𝑎!! ,… , 𝑎!") 
Então, ∀𝑢 ∈ ℝ! ,𝑇(𝑢) é unicamente definida pelo produto de uma matriz 𝐴!×! pela matriz das coordenadas 
de 𝑢 na base 𝐵: 
𝑇((𝛼!,𝛼!,… ,𝛼!)!) = ! 𝑎!! 𝑎!"𝑎!" 𝑎!! … 𝑎!!… 𝑎!!⋮ ⋮𝑎!! 𝑎!! ⋱ ⋮… 𝑎!"!!×! .!
𝛼!𝛼!⋮𝛼!!!×!=𝐴!×![𝑢]! 
Chamamos a matriz 𝐴!×! de matriz associada à transformação linear 𝑇. (Notação: 𝐴!) 
	
   As colunas da matriz 
associada a 𝑇 são formadas 
pelas coordenadas dos valores 
de 𝑇 nos elementos da base 𝐵.	
  
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Com o resultado acima, podemos concluir ainda que: 
 
Vejamos um exemplo: 
Exemplo 4: Seja 𝐴 = 1 1 22 −1 00 3 13 −1 11 2 0 , como 𝐴 é uma matriz 5×3 temos que 𝐴 pode ser associada à uma 
transformação linear 𝑇!:ℝ! → ℝ! da seguinte forma: 
T! 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝐴 𝑥𝑦𝑧 =
1 1 22 −1 00 3 13 −1 11 0 2
𝑥𝑦𝑧 =
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧2𝑥 − 𝑦3𝑦 + 𝑧3𝑥 − 𝑦 + 𝑧𝑥 + 2𝑧 
Logo, podemos dizer que: 
T! 𝑥,𝑦, 𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 2𝑧, 2𝑥 − 𝑦, 3𝑦 + 𝑧, 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 2𝑧) 
É fácil verificar que T! definida desta forma como um produto pela matriz 𝐴 é uma transformação linear. 
 
Assim, podemos dizer que toda transformação linear é determinada pelo produto de uma matriz pelo vetor de 
coordenadas, ou seja, muitas das propriedades de transformações lineares podem ser deduzidas utilizando as 
propriedades matriciais, por exemplo, observe que se temos uma matriz 𝐴!×!, esta determina uma única 
transformação linear 𝑇!:ℝ! → ℝ!, assim, se 𝑚 ≠ 𝑛, a matriz 𝐴!×! não é quadrada, portanto não tem inversa, nos 
levando a concluir que esta transformação linear 𝑇! também não tem inversa. O que nos leva ao seguinte resultado: 
Este resultado é muito útil em diversas situações, como por exemplo, caso tenhamos um conjunto de dados em um 
espaço vetorial de dimensão 𝑛 não amigável, ou seja, que não se está acostumado, poderemos utilizar qualquer 
matriz inversível 𝑛×𝑛 para definir uma transformação linear para transformar estes dados em vetores do ℝ!, por 
ser mais amigável, todas as considerações e análises de dados poderiam ser feitas no espaço ℝ! e depois levadas 
aos seus correspondentes no espaço de origem utilizando a inversa desta transformação, ou seja, a inversa da 
matriz utilizada. 
Muitas vezes nem precisamos sair do espaço de origem, mas queremos transformar estes dados, seja transladando, 
rotacionando ou deformando-os. Vejamos mais alguns exemplos, porém com um objetivo a cumprir. 
Cada matriz 𝐴!×! determina uma única transformação linear 𝑇:  ℝ! → ℝ!. 
Uma transformação linear 𝑇!:ℝ! → ℝ! tem inversa se e somente se 𝑚 = 𝑛 e sua matriz associada é inversível	
  
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Exemplo 5: Seja 𝑉 = ℝ!, suponhamos que precisamos rotacionar um vetor u ∈ V por um angulo de θ°, será que 
este tipo de transformação é linear? E se for, qual matriz determinaria esta transformação? 
Vejamos o que acontece se rotacionarmos os vetores da base canônica de 𝑉. 
Como (1,0) = (0,1) = 1, podemos olhar para o circulo trigonométrico, assim, teremos que rotacionando o 
vetor (1,0) em um angulo 𝜃, teremos que as coordenadas de 𝑇 1,0 serão (cos 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛𝜃 ). 
Rotacionando (0,1) em 𝜃 graus, teremos que as coordenadas de 𝑇 0,1 serão (cos 90°+ 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛   90°+ 𝜃 ), 
conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
	
  
Mas como cos 90°+ 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛   90°+ 𝜃 = (−𝑠𝑒𝑛 𝜃 , cos 𝜃 ), temos então que: 
𝑇!(1,0) = (cos 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃 )𝑇!(0,1) = (−𝑠𝑒𝑛 𝜃 , cos 𝜃 ) 
Assim, temos os valores de 𝑇! nos elementos da base, portanto é possível obter uma transformação linear que faça 
esta rotação, pois com estes valores postos em colunas, podemos construir a matriz associada à transformação que 
queremos, ou seja: 
𝐴! = cos  (𝜃) −𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos  (𝜃) 
Esta matriz 𝐴! é chamada de matriz de rotação e define a transformação linear 𝑇!:ℝ! → ℝ! dada por: 
𝑇! 𝑥,𝑦 = 𝐴! 𝑥𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑥𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑦𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
 
O próximo exemplo é uma aplicação do exemplo 5: 
 
𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎) cos(𝑏)+ cos(𝑎) 𝑠𝑒𝑛(𝑏)	
  
𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎) cos(𝑏)− sen(𝑎) 𝑠𝑒𝑛(𝑏)	
  
	
  
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Exemplo 6: Suponha que queremos rotacionar os vetores de ℝ! em 45° assim usamos a matriz: 
𝐴!"°   = cos  (45°  ) −𝑠𝑒𝑛(45°  )𝑠𝑒𝑛(45°  ) cos  (45°  ) = 22 − 2222 22 =
22 1 −11 1 
Logo, 𝑇!"°:ℝ! → ℝ! é dada por T x, y = !! (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦) . 
	
  
Deste modo, somos capazes de construir uma transformação linear definindo apenas o que irá acontecer com 
elementos da base de um espaço vetorial. 
Vimos que toda matriz 𝐴!×! define uma transformação linear 𝑇!:ℝ! → ℝ! e que toda transformação linear 𝑇:ℝ! → ℝ! pode ser definida por uma matriz. Mas esta matriz é única? Vejamos: 
As colunas da matriz associada a 𝑇 são formadas pelas coordenadas dos valores de 𝑇 nos elementos de uma base 𝐵 
de ℝ!, logo, se houvesse outra matriz associada a 𝑇 nesta mesma base, ambas seriam iguais, caso contrário 
mudaríamos os valores de 𝑇 nos elementos da base 𝐵, resultando em outra transformação linear. Assim, para cada 
base de ℝ! temos uma única matriz associada. 
Deste modo, fixado os valores em uma determinada base, a matriz associada é única. 
Mas se 𝑇 for uma transformação linear entre espaços quaisquer? Podemos ainda defini-la por uma matriz? 
Com base nos conceitos obtidos acima, a resposta é sim, basta utilizar as coordenadas dos vetores em uma 
determinada base para formar as colunas da matriz associada. Vejamos o exemplo 2 da aula anterior onde 
tínhamos 𝑉 = 𝑀!×! o espaço das matrizes 2×2 com as operações usuais de matrizes, 𝑊 = ℝ! com as operações 
usuais e 𝑇:𝑉 →𝑊 definida por: 𝑇 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 = 𝑎, 𝑏 + 𝑐,𝑑 
Sendo ℂ = 1 00 0 , 0 10 0 , 0 01 0 , 0 00 1 a base canônica de 𝑉. Temos que 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 = 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑 ℂ e 
 𝑇 1 00 0 = 1, 0, 0 , 𝑇 0 10 0 = 𝑇 0 01 0 = (0, 1, 0) e 𝑇 0 00 1 = (0, 0, 1) 
Então 𝑇! = 1 0 0 00 1 1 00 0 0 1 . 
Assim, 𝑇 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 = 𝑇!. 𝑎𝑏𝑐𝑑 = (𝑎, 𝑏 + 𝑐,𝑑). 
Na próxima aula veremos alguns subespaços de 𝑉 que são transformados no elemento nulo de 𝑊 e outros que são 
transformados em subespaços não nulos de 𝑊.