expressão gráfica 2

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Expressão Gráfica II
Unidade I - GEOMETRIA DESCRITIVA
EXPRESSÃO GRÁFICA
Departamento de
Material elaborado por:
Profª MSc.Andrea Faria Andrade
Curitiba, PR / 2011
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA 
 
 
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I – Introdução 
A Geometria Descritiva (também denominada de Método Mongeano) foi desenvolvida pelo 
desenhista francês Gaspard Monge (1746-1818), uma figura política do final do século XVIII e 
início do século XIX. Foi um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa e professor da Escola 
Militar de Meziéres e da Escola Politécnica de Paris, pode ser considerado o pai da geometria 
diferencial de curvas e superfícies do espaço. 
Definição: 
Gaspard Monge definiu a Geometria Descritiva como sendo a parte da Matemática que tem por fim 
representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria 
Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões. 
 
II – Sistemas de Projeção 
Dizemos que uma figura F do espaço se projeta de um ponto C sobre um plano , que não contém o 
ponto C, quando determinamos, sobre o plano , as intersecções dos vários raios projetantes, determina-
dos pelo centro de projeção C e pelos pontos da figura. 
F1'
F '
F
C
'
F1
 
 
De acordo com a posição ocupada pelo centro de projeção (finita ou no infinito), os sitemas de projeção 
classificam em: 
(a) sistema de projeção central (ou cônico); 
(b) sistema de projeção cilíndrico. 
 
 
 
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Sistema de Projeções Cônico 
 
Este sistema de projeção é determinado pelo ponto C, centro de projeção (posição finita) e pelo 
plano de projeção . 
A figua F considerada é o triângulo ABC, cuja projeção sobre o plano ’, a partir do centro de pro-
jeção C, é o triângulo A’ B’ C’, que é a figura F’. 
O centro de projeção C, ocupando uma posição finita, as projetantes resultam convergentes, razão 
pela qual este sistema é denominado de sistema de projeção central ou cônica. 
F'
F
A'
B'
C'
B
A C
'
C
 
Sistema de Projeções Cilíndrico 
 
Este sistema de projeção é determinado por: 
a) uma direção de projeção ; 
b) um plano de projeção ’, não paralelo a direção . 
 O centro de projeção C está situado no infinito (ponto impróprio) e as projetantes são as retas 
paralelas à direção . 
 Podemos ter dois tipos de projeção cilíndrica: oblíqua (a) e ortogonal (b). Quando a direção das 
projetantes for perpendicular ao plano de projeções, o sistema é denominado cilíndrico ortogonal. 
 
 
 
 
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III – O método Mongeano 
 O Sistema Mongeano de projeção utiliza uma dupla projeção cilíndrico-ortogonal, onde dois planos 
, um horizontal e um vertical, se interceptam no espaço, sendo portanto, em função de suas posições, 
perpendiculares entre si. A intersecção desses planos determina uma linha chamada Linha de Terra (LT). 
Esses planos determinam no espaço quatro diedros numerados no sentido anti-horário. 
Monge idealizou um sistema de projeções no qual um ponto P é representado por duas projeções, 
P’ e P”, nos dois planos de projeções ’ e ’’, perpendiculares entre si (Figura XXXa). O plano ’ (ou PH) 
é denominado de plano horizontal de projeções; e ’’ (ou PV) é denominado de plano vertical de 
projeções. Os pontos P’ e P” projetam-se sobre a LT em um mesmo ponto, denotado de P0. A linha de 
terra divide cada plano de projeções em dois semi-planos, conforme Figura XXXXa: 
PHA – plano horizontal anterior; 
PHP - plano horizontal posterior; 
PVS - plano vertical superior, e; 
PVI - plano vertical inferior. 
Uma vez efetuada as projeções de P sobre ’ e ’’, fazemos um rebatimento do PH sobre o PV, até 
que ambos coincidam (rotação de 90 graus em torno da LT). Desta forma, ambas as projeções do ponto P 
ficam no mesmo plano. O desenho assim obtido é denominado de épura. Na épura, as projeções de um 
ponto qualquer estão sobre uma reta perpendicular à linha de terra, chamada de linha de chamada. 
 
Na Figura XXXb temos a épura de um ponto P situado no 1o diedro. Em épura representamos um 
ponto através da sua abscissa, seu afastamento e sua cota. 
A abscissa é a distância de um plano considerado como origem que passa por (O), até a projeção 
do ponto na LT. 
A cota de um ponto P do espaço é a distância entre P e a sua projeção sobre o ’. Logo, a cota de 
P é igual a medida do segmento P”P0, uma vez que d(P, ’) = d(P,P’) = d(P”,P0). 
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 O afastamento de um ponto P do espaço é a distância entre P e plano ’”. Logo, o afastamento de 
P é igual a medida do segmento P’P0, uma vez que d(P,”) = d(P,P”) = d(P’,P0). 
 
Exercício 01: 
Obter a épura dos pontos cujas coordenadas são dadas abaixo e identifique a sua posição o espaço. 
A (1, 5, 3), está no __________B (3, 1, -4), está no _________ 
C (5, -2, -3), está no _________D (7, -5, 1), está no _________ 
E (8, 0, 2), está no __________F (9, 4, 0), está no __________ 
G (4, 0, 0), está no __________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LT 
 0 
 
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Exercício 02: 
Identifique a posição no espaço dos pontos cujas projeções são dadas abaixo: 
 
 
P, está no ____________ Q, está no _____________ R, está no _____________ 
S, está no ____________ T, está no _____________ U, está no _____________ 
V, está no ____________ 
 
 
 
 
 
IV – Estudo da Reta 
Conceitualmente não possui espessura, só possui uma dimensão: sobre ela só podemos medir 
comprimentos. Pode ser definida por dois pontos. São indicadas por letras minúsculas e normalmente são 
utilizadas as últimas letras no nosso alfabeto: r, s, t, etc. 
Obtemos a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano, projetando-se dois pontos dessa reta 
sobre o plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TIPOS DERETAS 
Em geral, de acordo com sua posição em relação aos planos de projeção, as retas podem ser paralelas ou 
não aos planos de projeções ’ e ’’. 
 
Retas paralelas ao plano horizontal de projeções ’ : 
 
1) Reta Horizontal 
Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de projeção e inclinada em relação ao Plano Vertical de projeção. 
 
2) Reta de Topo 
Essa reta é paralela ao PH e perpendicular ao PV. 
 
 
 
 
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3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela à LT) 
Essa reta é paralela ao PH e PV. 
 
 
Retas paralelas ao plano vertical de projeções ” : 
 
1) Reta Frontal 
Essa reta é paralela ao Plano Vertical de projeção e inclinada ao Plano Vertical de projeção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) Reta Vertical 
Essa reta é paralela ao PV e perpendicular ao PH. 
 
 
3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela a LT) 
(já visto anteriormente) 
 
 
Retas inclinadas em relação aos planos de projeções ’ e ” : 
 
1) Reta de Perfil 
A reta de perfil é toda aquela que se encontra situada num plano de perfil (plano perpendicular ao PH, PV 
e ainda à linha de terra, como pode ser visto na figura abaixo. 
Não se projeta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projeção. 
 
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2) Reta Qualquer 
A reta qualquer, por estar inclinada em relação aos planos de projeção PH e PV, não se projeta em 
verdadeira grandeza em nenhum desses planos. 
 
 
Exercício 01: 
Representar a reta r (vertical), pertencente a um ponto dado A(50, 30, 40)mm. Representar um ponto B 
pertencente a esta reta, tal que AB seja um segmento de 2cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 LT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 02: 
Dada a reta a(A, B) e os pontos A(4, 1, 5) e B(4, 5, 2), pede-se: 
a) o comprimento em mm de AB; 
b) o ângulo que a reta faz com o PHP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 03: 
Representar a reta frontal f, pertencente a um ponto A(40, 15, 30) e que faz um ângulo de 45º com o 
plano horizontal de projeções. Representar o ponto B desta reta, tal que o segmento Ab seja de 20mm. 
 
 
 
 
 
 
 LT 
 
 
 
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TRAÇO DE RETAS 
Denomina-se “traço de uma reta sobre um plano”, o ponto em que essa reta intercepta ou “fura” este 
plano. 
 
Traço Horizontal 
É o ponto onde a reta intercepta o plano horizontal de projeções. Possui cota=0. 
 
 
Traço Vertical 
É o ponto onde a reta intercepta o plano vertical de projeções. Possui afastamento=0. 
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Exercício 01: 
Representar a épura das retas a(A, B), b(C, D), c(E, F), defini-las quanto a posição no espaço, seus nomes 
e obter as projeções dos seus traços. 
A(4, 1, 2) B(4, 4, 2) C(1, 2, 1) D(4, 2, 3) E(-3, -2, -2) F(0, -2, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 02: 
Dada a reta de perfil p(P, Q), encontrar as projeções dos traços horizontal e vertical da reta. 
P(0, 3, 1) Q(?, 1, 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
Exercício 1: Dada a reta AB A(0, -20, -10)mm B(60, 20, 25)mm, pede-se: 
a) sua posição no espaço; 
b) os traços horizontal e vertical da reta. 
 
 
Exercício 2: Dada a reta CD C(10, 20, 10)mm D(40, 10, 30)mm, pede-se: 
a) sua posição no espaço; 
b) os traços horizontal e vertical da reta. 
 
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PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA 
Condição: Para um ponto pertencer a uma reta, ele deve ter suas projeções sobre as projeções de mesmo 
nome da reta. 
 
OBS. Esta condição não vale para a reta de perfil! 
 
 
Exercício 01: 
Obter as projeções do ponto P, que pertence à reta „qualquer‟ dada abaixo, sabendo que o mesmo possui 
cota=2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 02: 
Verificar se o ponto A pertence à reta de perfil EF. E(4, 1, 5) F( 4, 5, 2) A(4, 4, 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LT 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 03: 
Obter as projeções do ponto B, que pertence à reta EF do exercício anterior, e tem cota =3cm. B(?, ?, 3) 
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V – Métodos Descritivos 
A solução de um problema pode ser facilitada quando pelo menos um de seuselementos ocupa 
uma posição particular (seja paralelo a um dos planos de projeção). 
Para que, no método mongeano (dupla projeção ortogonal) uma figura ou objeto ocupe uma posi-
ção desejada podemos recorrer a artifícios que visem deslocar a figura (ou objeto) ou deslocar o sistema 
de representação adotado. A estes artifícios denominamos, genericamente, de métodos descritivos, que 
são: 
 - rotação 
 - mudança de planos de projeção. 
Rotação 
Quando conservamos o sistema de representação adotado e giramos a figura (ou objeto), em torno 
de um eixo. 
 
Mudança de Planos de Projeção 
Quando a figura (ou objeto) é conservada e um dos planos de projeção (ou ambos) são substituí-
dos, mantendo a ortogonalidade entre eles. 
 
Quando um objeto possui uma face inclinada em relação aos planos principais de projeção, esta 
face não aparece em verdadeira grandeza. 
 
Para obter a verdadeira grandeza desta face, é preciso projetá-la em um plano auxiliar que lhe seja 
paralelo. Para isso, é preciso mudar a posição de um dos planos de projeção, plano horizontal de projeção 
ou plano vertical de projeção, ou os dois; um após o outro; de forma que fique paralelo à face inclinada. 
Assim o objeto permanece fixo e os planos de projeção mudam de posição. 
 
Fonte: adaptado de Barison. Disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_9t.php> 
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Exercício 01: 
Obter a verdadeira grandeza (VG) da reta „qualquer‟ dada abaixo: 
a) utilizando o método da rotação. 
 
 
 
b) pelo método da mudança de planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 03: 
Tornar „vertical‟ a reta „qualquer‟ dada abaixo, utilizando o método da mudança de planos de projeção. 
 
 
 
Exercícios Propostos 
Exercício 01: 
Submeter a reta „qualquer‟ dada ao processo de mudança de planos de projeção, de modo a torná-la uma 
reta „fronto-horizontal‟. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 02: 
Dada a reta PQ = „qualquer‟ pede-se obter a distância em „mm‟ entre os pontos P e Q, utilizando o método 
da mudança de planos de projeção. P(10, 70, 20) Q(80, 10, 50) 
 
Exercício 03: 
Obter as projeções do ponto A, que pertence a reta do exercício anterior, e tem cota=3cm. 
 
Exercício 04: 
Tornar „de topo‟ a reta „qualquer‟ dada abaixo, utilizando o método da mudança de planos de projeção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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VI – Posições Relativas de duas Retas 
Quando COPLANARES podem ser: 
Podem pertencer ao mesmo plano: 
 
Ou as retas podem pertencer a planos distintos: 
 
Quando NÃO COPLANARES podem ser: 
 
Retas PARALELAS 
Duas retas coplanares, que não possuem ponto comum são denominadas, retas paralelas. 
Teorema: duas retas paralelas projetam-se em geral, segundo projeções paralelas. 
 
Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: http://xa.yimg.com/kq/groups/24030724/1839328182/name/Geometria 
 
OBS. Estas condições não valem para a reta de perfil! 
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Exercício 01: 
Dados: reta r(P, Q) e ponto A. Pede-se: conduzir pelo ponto A, uma reta s(A, B) que seja paralela à reta r. 
Resolver o exercício utilizando duas soluções: - pelo processo da rotação; - apoiando duas retas auxiliares 
concorrentes. 
LT
P"
P'
Q"
Q'
A"
A'
 
LT
P"
P'
Q"
Q'
A"
A'
 
 
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Exercício 02: 
Dados: reta r(A, B) e ponto P. Pede-se: conduzir pelo ponto P uma reta s, que seja PARALELA à reta r. 
LT
A"
A'
B"
B'
P"
P'
 
Exercícios Propostos 
Exercício 01: 
Dados: reta r(E, F) e ponto H. Pede-se: conduzir pelo ponto H, uma reta s(H, I) que seja paralela à reta r, 
e tenha 3cm. Resolver o exercício utilizando o processo da MUDANÇA DE PLANOS. 
LT
F'
E"
E'
H"
H'
LT
F"
 
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Exercício 02: 
Dados: pontos A, B e C. Pede-se: encontrar as projeções do paralelogramo ABCD. 
 
 
LT
A"
A'
B"
B'
C"
C'
 
Retas CONCORRENTES 
Duas retas coplanares que possuem um único ponto comum são denominadas concorrentes ou incidentes. 
Teorema: duas retas concorrentes projetam-se em geral, segundo projeções concorrentes. 
 
Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: http://xa.yimg.com/kq/groups/24030724/1839328182/name/Geometria 
 
OBS. Esta condição não vale para quando uma das retas é a reta de perfil! 
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Exercício 01: 
Dados: retas r(A, B) e s(B, C), e o ponto F. Pede-se: pelo ponto F, inserir uma reta f (F, G) = (FRONTAL) 
que seja concorrente às retas r e s. Obter a segunda projeção do ponto F, ou seja, e o valor da sua cota. 
LT
A"
A'
B"
B'
C"
C'F'
 
Exercício 02: 
Dados: reta r(A, B)=de perfil, reta s(C, D). Pede-se: verificar se as retas r e s são concorrentes. 
LT
A"
B"
A'
B'
C"
D"
C'
D'
 
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Exercícios Propostos 
Exercício 01: 
Obter as projeções da reta HORIZONTAL (AB), apoiada nas retas FRONTAIS paralelas (MN) e (PQ). 
A(6, 3, ?) B(10, ?, ?) M(3, 2, 1) N(9, ?, 8) P(7, 5, 2) Q(11, ?, ?) 
 
P'
P"
LT
A'
M'
M"
N"
 
 
 
 
Exercício 02: 
Obter as projeções das retas AB e CD CONCORRENTES, e obter as projeções dos TRAÇOS (horizontal e 
vertical) de cada uma das retas. 
A(-25, 10, 30) B(60, -20, -20) C(60, 15, 30) D(0, ?, -40) 
 
Exercício 03: 
Conhecida a projeção horizontal da reta AB e a projeção vertical do ponto A, determinar a projeção vertical 
da reta, sabendo-se que o outro ponto pertence a uma reta de perfil FG. 
A(-10, 50, 30) B(50, 15, ?) F(?, 30, -30) G(?, -20, 35) 
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Retas REVERSAS 
Duas retas são reversas quando não possuírem ponto comum e não forem paralelas; portanto, poderemos 
identificá-las por exclusão, ou observando os dois casos abaixo. 
 
Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: http://xa.yimg.com/kq/groups/24030724/1839328182/name/Geometria 
 
 
 
Retas COINCIDENTES 
Duas retas são coincidentes quando suas projeções de mesmo nome se confundem. Na prática, é uma 
única reta com dois nomes. 
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Retas PERPENDICULARES/ORTOGONAIS 
Teorema de Monge: "Quando duas retas são perpendiculares entre si no espaço, sendo uma delas paralela 
a um plano dado, sem que a outra seja perpendicular ao plano, as projeções destas duas retas sobre o 
plano são perpendiculares entre si. 
 
 
 
Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: http://xa.yimg.com/kq/groups/24030724/1839328182/name/Geometria 
 
 
Observação: quando duas retas perpendiculares ou ortogonais no espaço (casos particulares de retas 
concorrentes e retas reversas respectivamente) estiverem oblíquas a um plano dado, serão identificadas 
como tal, quando da aplicação de métodos descritivos, que envolvem conteúdos avançados; mas por hora 
poderemos identificá-las como concorrentes ou reversas (FERREIRA, E. N.). 
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Exercício 01: 
Dados: reta r(A, B) e ponto P. Pede-se: conduzir pelo ponto P uma reta s, que seja PERPENDICULAR à reta 
r. 
LT
A"
A'
B"
B'
P"
P'
 
Exercício 02: 
Obter a distância do ponto P a reta AB, em cm, do exercício anterior. 
 
Exercício 03: 
Dados: reta a(A, B) e o ponto P. Pede-se obter pelo ponto P, uma reta PERPENDICULAR à reta a. 
LT
A'
A"
B"
B'
P'
P"
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Exercício 04: 
Dados: reta a, e um ponto P. Pede-se conduzir pelo ponto P, uma reta ORTOGONAL a reta dada. 
Obter as 3 soluções possíveis. 
LT
P'
P"
a'
a"
 
LT
P'
P"
a'
a"
 
 
 
LT
P'
P"
a'
a"
 
 
 
 
 
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Exercício Proposto 
Exercício 01: 
Dados: reta r(P, Q) e o ponto A. Pede-se conduzir pelo ponto A, uma reta „DE PERFIL‟ que seja 
ORTOGONAL a reta dada. Utilizar o método da mudança de planos para resolver o problema. 
P(5, 1, 6) Q(5, 7, 1) A(1, 2, 1 ) 
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VII – Estudo do Plano 
O plano tem duas dimensões: sobre ele podemos medir comprimentos e larguras. 
 
Elementos Definidores 
Um plano pode ser definido por: 
 
a) três pontos não colineares 
 
b) Uma reta e um ponto fora dela 
 
c) Duas retas paralelas 
 
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d) Duas retas concorrentes 
 
 
e) Pelos seus TRAÇOS: Horizontal e Vertical 
 
 
Tipos de Planos 
 
Grupo 1 - Grupo dos planos que são paralelos a um dos planos de projeção, e conseqüentemen-
te, perpendiculares (projetantes) aos outros dois. 
 
 
 
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Grupo 2 - Grupo dos planos que são perpendiculares a somente um dos planos de projeção, e 
conseqüentemente, oblíquos aos outros dois. 
 
 
Grupo 3 - Grupo dos planos que são oblíquos aos três planos de projeção, conseqüentemente, jamais 
será paralelo ou perpendicular a qualquer um dos planos de projeção. 
 
 
1 – Plano HORIZONTAL 
 
Retas do plano: - horizontal 
 - // a LT 
 - de topo 
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Épura: 
LT
(")
LT
(")
B'
A'
C'
B" A" C"
VG
 
2 – Plano FRONTAL 
 
Retas do plano: - frontal 
 - // a LT 
 - vertical 
Épura: 
LT
(')
LT
(')
B"
A"
C"
B' A' C'
VG
v'
v"
 
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3 – Plano DE PERFIL 
 
Retas do plano: - de perfil 
 - de topo 
 - vertical 
Épura: 
LT
(')
(")
 
 
VG – através da utilização dos processos descritivos de rotação ou mudança de planos de projeção.UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA 
 
 
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4 – Plano VERTICAL 
 
 
 
Retas do plano: - vertical 
 - qualquer 
 - horizontal 
Épura: 
LT
(")
LT
(')
B'
A'
C'
B"
A"
C"
(')
 
 
VG – através da utilização dos processos descritivos de rotação ou mudança de planos de projeção. 
 
 
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5 – Plano DE TOPO 
 
 
Retas do plano: - frontal 
 - de topo 
 - qualquer 
Épura: 
LT
(")
LT
(")
B'
A'
C'
B"
A"
C"
(')
 
 
 
VG – através da utilização dos processos descritivos de rotação ou mudança de planos de projeção. 
 
 
 
 
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6 – Plano PARALELO À LT 
 
 
 
Retas do plano: - // à LT 
 - de perfil 
 - qualquer 
 
 
Épura: 
LT
(")
LT
B'
A'
C'
B"
A"
C"
(')
(")
(')
 
 
VG – através da utilização dos processos descritivos de rebatimento ou da dupla mudança de planos de 
projeção. 
 
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7 – Plano QUALQUER 
 
 
Retas do plano: - qualquer 
 - de perfil 
 - horizontal 
 - frontal 
 
 
Épura: 
LT
(")
LT
B'
A'
C'
B"
A"
C"
(')
(")
(')
 
 
VG – através da utilização dos processos descritivos de rebatimento ou da dupla mudança de planos de 
projeção. 
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VIII – Construção de Figuras Planas 
Exercício 01: 
Dados: um plano  (A, B, C) = Horizontal. Pede-se: as projeções do triângulo eqüilátero ABD pertencente 
ao plano. Sabe-se que o ponto D é o de maior abscissa possível. 
LT
A"
A'
B"
B'
C'
C"
 
Exercício 02: 
Obter as projeções de um quadrado ABCD pertencente a um plano de perfil, definido pelos pontos ABR, 
utilizando-se do método de mudança de planos de projeção. Sabe-se que os pontos C e D possuem as 
maiores cotas possíveis. 
R'
B"
LT
R"
A'
A"
B'
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Exercício 03: 
Transformar o plano DE TOPO, definido pelos pontos ABC, em um plano HORIZONTAL, utilizando-se do 
método da rotação. 
LT
A'
B'
C'
C"
A"
B"
 
Exercício 04: 
Obtenha as projeções de um quadrado ABCD, inscrito na circunferência que contém os pontos P, Q e R. 
Um dos vértices do quadrado coincide com o ponto Q, e o plano PQR corresponde a um plano DE TOPO. 
 
LT
P"
R"
Q'
P'
R'
 
 
 
 
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Exercício 05: 
Obter as projeções de um triângulo eqüilátero ABF, pertencente a um plano QUALQUER, definido pelos 
pontos ABC, utilizando-se do método da dupla mudança de planos de projeção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios Propostos 
Exercício 01: 
Dados: um plano  (A, B, C) = Vertical. Pede-se: as projeções do triângulo eqüilátero PQR inscrito na 
circunferência que passa pelos pontos A, B e C. Sabe-se que o ponto Q coincide com o ponto A. 
A(1, 7, 2) B(5, ?, 7) C(8, 1, 4) 
 
Exercício 02: 
Obter a verdadeira grandeza (VG) do triângulo ISÓSCELES contido em um plano VERTICAL, utilizando o 
método da mudança de planos de projeção. 
A(1, 4, 1) B(4, 1, 4) 
 
Exercício 03: 
Determinar as projeções de um quadrado ABCD, situado em um plano DE TOPO, tendo o vértice A 
pertencente ao plano vertical de projeções. Sabe-se que o plano está inclinado de 45º em relação ao plano 
horizontal de projeções (‟), e que a diagonal do quadrado mede 6cm. 
Utilizar o método da mudança de planos de projeção na solução do exercício. 
 
 
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VIII – Rebatimento de Plano 
 O rebatimento é um método particular da Rotação de um plano onde uma de suas retas 
serve como eixo. Esta reta é denominada de eixo de rebatimento ou charneira (ch). 
 Rebater um plano é fazer girar em torno de uma de suas retas, até que o mesmo fique 
paralelo ou coincidente a um dos planos principais de projeção. A figura abaixo representa o 
rebatimento de um plano genérico sobre o plano horizontal de projeção. Observa-se que: 
a) O ponto A descreve uma circunferência cujo plano é perpendicular à charneira e cujo raio é à 
distância ao ponto rebatido A1, denominado de „raio de rebatimento‟; 
b) A 1ª projeção do ponto A (A‟) e o ponto rebatido (A‟1) estão em uma perpendicular à charnei-
ra; 
c) O raio de rebatimento é a hipotenusa do triângulo de rebatimento, em que um dos catetos é a 
distância da 1ª projeção do ponto A (A‟) ao eixo, e o outro cateto a distância do ponto A ao plano 
horizontal de projeções; 
d) Pontos pertencentes ao eixo de rebatimento não mudam de posição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Rebatimento do Plano genérico ou qualquer: 
 "
 '
C
O
T
A
C
O
T
A
r '
r
r '1 = vg
r "
(
 "
)
eixo (charneira)
B'1
B
B "
B'
H=H'=H'1
H "
(

 
')

 
LT=eixo "
eixo '
H '
H "
B "
B '
B'1
B0
r'1 = vg
r '
r "
 
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Exercício 01: 
Obtenha a verdadeira grandeza (VG) do triângulo ABC, utilizando o processo do rebatimento (pelo 
triângulo de rebatimento). 
LT
C '
C "
B "
B '
A "
A '
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 02: 
Dados: a reta r (R, S), e o ponto P fora dela. Pede-se: as projeções de um quadrado com um lado apoiado 
na reta r, e um vértice no ponto P. 
R (3, 4, 0) S (11, 8, 4) P (8, 9, 7) 
 
 
LT
R '
R "
P "
S "
P '
S '
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios Propostos 
Exercício 01: 
Dado o plano  (A, B, C). Obter as projeções de um triângulo ABD, assim como a sua verdadeira grandeza. 
Sabe-se que o ponto D é o de maior abscissa. 
A(20, 20, 10) B(50, 0, 40) C(86, 40, 0) 
 
Exercício 02: 
Dado o plano  (A, B, C), pede-se as projeções do quadrado inscrito na circunferência que passa pelos 
pontos dados, sabendo que um dos seus vértices é o ponto B. 
A(40, 60, 30) B(70, 10, 10) C(110, 40, 20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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IX – Projeção de Poliedros 
 
Poliedros – são sólidos com faces planas. São classificados em regulares e irregulares. 
 
Regulares – quando todas as suas faces são constituídas por polígonos regulares e iguais. 
 - Tetraedro – 4 triângulos eqüiláteros regulares 
 - Hexaedro (cubo) – 6 quadrados 
 - Octaedro – 8 triângulos eqüiláteros 
 - Dodecaedro – 12 pentágonos 
 - Icosaedro – 20 triângulos eqüiláteros 
 
 
Irregulares – 
 - Prismas: arestas laterais paralelas. Podem ser retos ou oblíquos. 
 
 - Pirâmides: arestas laterais se encontram em um ponto. Podem ser retas ou oblíquas. 
 
 
 
 
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Retas perpendiculares aos planos 
 
Plano Reta perpendicular 
Frontal Reta de topo 
Vertical Horizontal 
Plano de Perfil Fronto-horizontal 
Horizontal Vertical 
Paralelo a LT Reta de perfil 
Qualquer Qualquer 
 
Exercício 01: 
Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 3, 1) B( 4, 4, 1) 
a) Base ABC, pertencente a um plano horizontal; 
b) Altura=5cm; 
c) Vértice C com menor afastamento possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 LT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 02: 
Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 3, ?) B( 4, 4, 1) 
a) Base ABC, pertencente a um plano de topo, inclinado de 30º no sentido horário; 
b) Altura=5cm; 
c) Vértice C com menor afastamento possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 03: 
Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 4, 3, 4) B( 4, 4, 1) 
a) Base ABC, pertencente a um plano de perfil; 
b) Altura=5cm; 
c) Vértice C com menor afastamento possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 04: 
Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 5, 1) B( 3, 2, 4) 
a) Vértice C com a maior cota possível; 
b) Altura=5cm; 
c) A face oposta à ABC, deverá ter o maior afastamento possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 05: 
Obter as projeções de um hexaedro ABCDEFGH, sabendo-se que as faces adjacentes à aresta AB dada, 
estão inclinadas de 30º em relação ao plano horizontal de projeções. A(10, 10, 10) B(30, 35, 10)mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios Propostos 
Exercício 01: 
Determinar as projeções de uma pirâmide de base triangular, apoiada no plano horizontal de projeções, e 
tendo uma das arestas da base perpendicular ao plano verticalde projeções. Dados: altura = 4cm; aresta= 
3cm. A (3, 1, 1) 
 
Exercício 02: 
Determinar as projeções de um hexaedro com uma face ABCD horizontal. A(2, 1, 1) B(6, 4, 1). 
 
Exercício 03: 
Determinar as projeções de um prisma triangular regular, sabendo que: A(3, 3, 2) B(6, 1, 5) 
a) Sua base ABC pertence a um plano paralelo a LT; 
b) Altura=5cm; 
c) A face oposta à ABC, deverá ter o maior cota possível. 
 
Exercício 04: 
Determinar as projeções do octaedro regular ABCDEF, sabendo-se que: A(5, 5, 1) B(5, 5, 6) 
a) O segmento AB é a diagonal do octaedro; 
b) Outra das diagonais está inclinada de 60º em relação ao plano vertical de projeções. 
 
 
 
X – Seções Planas em Poliedros 
As seções planas em sólidos são dadas pela intersecção entre um sólido e um plano geran-
do um elemento geométrico plano fechado (polígono) podendo este em épura ter ou não 
verdadeira grandeza (VG). 
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Exercício 01: Dadas as projeções mongeanas do sólido abaixo representadas, pede-se achar as projeções e hachurar a VG da seção plana produzida no 
mesmo por um plano   de tôpo que contém a reta r. 
 
 
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Exercício 02: Dadas as projeções mongeanas do sólido abaixo representadas, pede-se achar as projeções e hachurar a VG da seção plana produzida no 
mesmo por um plano   vertical que contém a reta r. 
 
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Exercício 03: Dadas Dadas as projeções mongeanas dos sólidos abaixo representadas, pede-se achar as projeções mongeanas da seção plana produzida 
nos mesmos pelos planos   de tôpo que contém a reta r e   de tôpo que contém a reta s. 
 
 
 
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Exercício 04: Dadas as projeções mongeanas do sólido abaixo representadas, pede-se achar e hachurar a VG da seção plana produzida no mesmo por um 
plano   frontal.