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A derivada de uma func¸a˜o
Parte 7
Derivadas
1. A derivada de uma func¸a˜o
Definic¸a˜o 1.1 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ∩ X ′ e f : X −→ R. Dizemos que f e´
deriva´vel no ponto a quando existe o limite
f ′(a) = lim
x→a f(x) − f(a)x− a
Neste caso, f ′(a) chama-se a derivada de f no ponto a
Observac¸a˜o 1.1 Seja q : X− {a} −→ R definida por q(x) = f(x) − f(a)
x− a
.
Geometricamente, q(x) e´ a inclinac¸a˜o, ou coeficiente angular, da reta se-
cante ao gra´fico de f que passa pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)).
Definic¸a˜o 1.2 A reta r : y = f ′(a)(x − a) + f(a) que passa pelo ponto
(a, f(a)) e tem inclinac¸a˜o f ′(a) e´ chamada de reta tangente ao gra´fico de
f no ponto a.
Observac¸a˜o 1.2 A inclinac¸a˜o da reta tangente e´, portanto, o limite,
quando x −→ a, das inclinac¸o˜es das retas secantes que passam pelos
pontos (a, f(a)) e (x, f(x))
Observac¸a˜o 1.3 Seja h = x− a, ou x = a+ h, h 6= 0. Enta˜o
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h) − f(a)
h
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Ana´lise na Reta
onde a func¸a˜o h 7−→ f(a+ h) − f(a)
h
esta´ definida no conjunto
Y = {h ∈ R− {0} |a+ h ∈ X} ,
que tem o zero como ponto de acumulac¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.3 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ∩ X ′+ e f : X −→ R. Dizemos que f e´
deriva´vel a` direita no ponto a quando existe o limite
f ′(a+) = lim
x→a+
f(x) − f(a)
x− a
= lim
h→0+
f(a+ h) − f(a)
h
.
No caso afirmativo, f ′(a+) e´ a derivada a` direita de f no ponto a.
Seja a ∈ X∩X ′−. Dizemos que f e´ deriva´vel a` esquerda no ponto a quando
existe o limite
f ′(a−) = lim
x→a−
f(x) − f(a)
x− a
= lim
h→0−
f(a+ h) − f(a)
h
.
Neste caso, f ′(a−) e´ a derivada a` esquerda de f no ponto a.
Observac¸a˜o 1.4 Se a ∈ X ∩ X ′+ ∩ X ′−, f ′(a) existe se, e so´ se, existem
e sa˜o iguais as derivadas laterais f ′(a+) e f ′(a−).
Observac¸a˜o 1.5 Dizer que uma func¸a˜o f : [c, d] −→ R e´ deriva´vel no
ponto a significa que:
• f possui as duas derivadas laterais no ponto a e elas sa˜o iguais quando
a ∈ (c, d).
• f possui derivada lateral a` direita no ponto a quando a = c.
• f possui derivada lateral a` esquerda no ponto a quando a = d.
Observac¸a˜o 1.6 Pelas propriedades gerais do limite, temos que f e´
deriva´vel no ponto a ∈ X ∩ X ′ se, e so´ se,
lim
n→+∞ f(xn) − f(a)xn − a = f ′(a)
para qualquer sequ¨eˆncia (xn) de pontos de X− {a} com lim
n→∞ xn = a.
Mais geralmente, f e´ deriva´vel no ponto a ∈ X∩X ′ se, e so´ se, dada
uma func¸a˜o g : Y −→ R, com b ∈ Y ′, tal que lim
y→bg(y) = a e g(y) 6= a para
y 6= b, temos que
f ′(a) = lim
y→b
f(g(y)) − f(a)
g(y) − a
.
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A derivada de uma func¸a˜o
Exemplo 1.1 Seja f : R −→ R constante, ou seja, existe c ∈ R tal que
f(x) = c para todo x ∈ R. Enta˜o f ′(a) = 0 para todo a ∈ R.�
Exemplo 1.2 Seja f : R −→ R dada por f(x) = cx + d e seja a ∈ R.
Enta˜o f ′(a) = c, pois f(x) − f(a)
x− a
=
c(x− a)
x− a
= c para todo x 6= a.�
Exemplo 1.3 Seja f : R −→ R, f(x) = x2 e seja a ∈ R. Enta˜o,
f(a+ h) − f(a)
h
=
a2 + 2ah+ h2 − a2
h
= 2a+ h −→ 2a
quando h −→ 0. Assim, f ′(a) = 2a para todo a ∈ R.�
Exemplo 1.4 Seja f : R −→ R, f(x) = xn, n ∈ N e seja a ∈ R.
Enta˜o, pela fo´rmula do binoˆmio de Newton, temos que
f(a+ h) − f(a) = (a+ h)n − an =
n∑
j=0
(
n
j
)
ajhn−j − an
=
(
n−2∑
j=0
(
n
j
)
ajhn−j−1
)
h+
(
n
n−1
)
an−1h .
Logo,
lim
h→0
f(a+ h) − f(a)
h
= lim
h→0
(
n−2∑
j=0
(
n
j
)
ajhn−j−1
)
+ nan−1
= nan−1 , pois n− j− 1 ≥ 1 para 0 ≤ j ≤ n− 2 .
Enta˜o, f ′(a) = nan−1 para todo a ∈ R.
Se p(x) = anxn+ . . .+a1x+a0 e´ um polinoˆmio, enta˜o, usando as proprie-
dades conhecidas do limite, temos
p ′(x) = nanxn−1 + . . .+ 2a2x+ a1 ,
para todo x ∈ R.�
Exemplo 1.5 Seja f : R −→ R a func¸a˜o definida por f(x) = |x|.
Enta˜o, f(x) − f(0)
x− 0
=
|x|
x
. Logo,
f ′(0+) = lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0+ 1 = 1 e f ′(0−) = limx→0−
|x|
x
= lim
x→0−(−1) = −1 .
Como f ′(0+) 6= f ′(0−), f na˜o e´ deriva´vel no ponto 0, mas e´ deriva´vel nos
demais pontos da reta, com f ′(a) = 1 se a > 0 e f ′(a) = −1 se a < 0.�
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Exemplo 1.6 Seja f : [0,+∞) −→ R definida por f(x) = √x. Enta˜o,
para a ∈ [0,+∞), h 6= 0 e a+ h ≥ 0, temos
√
a+ h−
√
a
h
=
h
h
(√
a+ h+
√
a
) = 1√
a+ h+
√
a
.
Logo, f e´ deriva´vel em todo ponto a > 0 e f ′(a) = 1
2
√
a
, mas f na˜o e´
deriva´vel no ponto zero, pois o quociente
√
0+ h−
√
0
h
=
√
h
h
=
1√
h
e´ ilimitado numa vizinhanc¸a de zero e, portanto, na˜o existe lim
h→0+
1√
h
.�
Exemplo 1.7 Seja f : R −→ R a func¸a˜o definida por
f(x) = inf { |x− n| |n ∈ Z } ,
ou seja, f(x) e´ a distaˆncia de x ao inteiro mais pro´ximo. Temos que
f(x) =
x− n se x ∈
[
n,n+
1
2
]
n+ 1− x se x ∈
[
n+
1
2
, n+ 1
]
.
Enta˜o, f(n) = 0 e f
(
n+
1
2
)
=
1
2
, para todo n ∈ Z, e o gra´fico de f e´ uma
serra cujos dentes tem pontas nos pontos
(
n+
1
2
,
1
2
)
.
A func¸a˜o f e´ deriva´vel em todo x ∈ R, x 6= n, x 6= n+ 1
2
, n ∈ Z, sendo
f ′(x) =
1 se x ∈
(
n,n+
1
2
)
−1 se x ∈
(
n+
1
2
, n+ 1
)
.
Mas f na˜o e´ deriva´vel nos pontos n e n + 1
2
, n ∈ N, porque f ′(n+) = 1 6=
f ′(n−) = −1 e f ′
((
n+
1
2
)+)
= −1 6= f ′
((
n+
1
2
)−)
= 1 .�
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A derivada de uma func¸a˜o
Observac¸a˜o 1.7 A derivada, sendo um limite, satisfaz aos seguintes
resultados, provados para limite de uma func¸a˜o:
• Se f : X −→ R possui derivada no ponto a ∈ X ∩ X ′, enta˜o, dado
Y ⊂ X com a ∈ Y ∩ Y ′, a func¸a˜o g = f|Y tambe´m e´ deriva´vel no ponto a e
g ′(a) = f ′(a).
• Se Y = I∩X, onde I e´ um intervalo aberto contendo o ponto a, e g = f|Y
e´ deriva´vel no ponto a, enta˜o f e´ deriva´vel no ponto a e f ′(a) = g ′(a).
Este resultado mostra o cara´ter local da derivada.
Definic¸a˜o 1.4 Dizemos que uma func¸a˜o f : X −→ R e´ deriva´vel no
conjunto X quando f e´ deriva´vel em todos os pontos a ∈ X ∩ X ′ .
Observac¸a˜o 1.8 Seja f : X −→ R deriva´vel no ponto a ∈ X∩X ′. Seja r
a func¸a˜o dada por
r(h) = f(a+ h) − f(a) − f ′(a)h
definida no conjunto Da = {h ∈ R |a+ h ∈ X}.
Enta˜o, para todo h ∈ Da − {0}, temos
f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+ r(h) , com lim
h→0
r(h)
h
= 0 . (1)
Sendo lim
h→0
r(h)
h
= 0, dizemos que o resto r(h) tende para zero mais rapi-
damente que h, ou que r(h) e´ um infinite´simo (=func¸a˜o com limite zero)
de ordem superior a 1, relativamente a h.
Reciprocamente, se existe L ∈ R tal que
f(a+ h) = f(a) + Lh+ r(h) , com lim
h→0
r(h)
h
= 0 , (2)
enta˜o f e´ deriva´vel no ponto a ∈ X ∩ X ′ e f ′(a) = L, pois
lim
h→0
f(a+ h) − f(a)
h
= lim
h→0
(
L+
r(h)
h
)
= L .
• A condic¸a˜o (1) pode ser escrita sob a forma
f(a+ h) = f(a) + (f ′(a) + ρ(h))h , com lim
h→0 ρ(h) = 0 , (3)
onde ρ(0) = 0 e ρ(h) = r(h)
h
=
f(a+ h) − f(a)
h
− f ′(a) para todo h 6= 0 tal
que a+ h ∈ X.
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Assim, a continuidade da func¸a˜o ρ no ponto 0 equivale a` existeˆncia da
derivada f ′(a) de f no ponto a.
Observac¸a˜o 1.9 As condic¸o˜es (1), (2) e (3) tambe´m sa˜o va´lidas para
as derivadas laterais, supondo h > 0 para a derivada a` direita e h < 0
para a derivada a` esquerda.
Exemplo 1.8 Seja f(x) = x2. Enta˜o, dados a ∈ R e h 6= 0, temos
r(h) = (a+ h)2 − a2 − 2ah = h2.�
Exemplo 1.9 Sabemos do Ca´lculo que a func¸a˜o f : R −→ R dada por
f(x) = sen x e´ deriva´vel na reta e f ′(a) = cosa para todo a ∈ R. Enta˜o,
sen(a+ h) = sena+ h cosa+ r(h) , com lim
h→0
r(h)
h
= 0.
Usando a fo´rmula da trigonometria
sen(a+ h) = sena cosh+ senh cosa ,
obtemos que
r(h) = senacosh+ senh cosa− sena− h cosa
= sena(cosh− 1) + cosa(senh− h) .
Isto confirma que lim
h→0
r(h)
h
= 0, pois
lim
h→0
cosh− 1
h
= cos ′(0) = − sen(0) = 0 ,
e
lim
h→0
senh− h
h
= lim
h→0
senh− sen 0
h− 0
− 1 = cos 0− 1 = 0 .
�
Definic¸a˜o 1.5 Seja f : X −→ R uma func¸a˜o deriva´vel no ponto a. A
diferencial de f no ponto a e´ a transformac¸a˜o linear df(a) : R −→ R
definida por df(a)h = f ′(a)h.
Se f e´ deriva´vel em todo X, definimos a diferencial de f como sendo a
func¸a˜o df : X −→ L(R;R), a 7−→ df(a), onde L(R;R) e´ o espac¸o vetorial
dos operadores lineares de R em R.
Teorema 1.1 Sejam a ∈ X ∩ X ′ e f : X −→ R. Se f e´ deriva´vel no ponto
a, enta˜o f e´ contı´nua no ponto a.
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A derivada de uma func¸a˜o
Prova.
Como o limite lim
x→a f(x) − f(a)x− a existe e limx→a(x− a) = 0, temos que
lim
x→a ( f(x) − f(a) ) = limx→a
(
f(x) − f(a)
x− a
)
(x− a)
= lim
x→a f(x) − f(a)x− a · limx→a(x− a) = 0 ,
ou seja, lim
x→a f(x) = f(a). Logo, f e´ contı´nua no ponto a.�
Observac¸a˜o 1.10
• Se a ∈ X ∩ X ′+ e f : X −→ R e´ deriva´vel a` direita no ponto a, enta˜o f e´
contı´nua a` direita no ponto a, ou seja, lim
x→a+ f(x) = f(a) .
• E se a ∈ X∩X ′− e f e´ deriva´vel a` esquerda no ponto a, enta˜o f e´ contı´nua
a` esquerda no ponto a, ou seja, lim
x→a− f(x) = f(a) .
Estes resultados demonstram-se de modo ana´logo quando f e´ deriva´vel
no ponto a.
• Enta˜o, f e´ contı´nua no ponto a, se f possui derivada a` direita e a` es-
querda no ponto a, mesmo sendo diferentes.
Exemplo 1.10 Seja f : R −→ R dada por f(x) = { 1 se x ≥ 0
−1 se x < 0 .
Enta˜o f e´ contı´nua a` direita no ponto zero e f ′(0+) = 0, mas f na˜o e´
contı´nua a` esquerda no ponto 0 nem existe a derivada a` esquerda de f no
ponto 0. Portanto, f na˜o e´ contı´nua no ponto 0.�
Exemplo 1.11 Os exemplos 1.5, 1.6 e 1.7, mostram que uma func¸a˜o
pode ser contı´nua em toda a reta e na˜o ser deriva´vel em alguns pontos.
Na realidade, a maioria das func¸o˜es contı´nuas em R na˜o possuem de-
rivada em ponto algum (ver E. Lima, Espac¸os Me´tricos, exemplo 33 do
capı´tulo 7).�
Teorema 1.2 Sejam f, g : X −→ R func¸o˜es deriva´veis no ponto
a ∈ X ∩ X ′. Enta˜o, f ± g, f · g e f
g
(quando g(a) 6= 0) sa˜o deriva´veis
no ponto a e valem as seguintes fo´rmulas:
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(f± g)(a) = f ′(a)± g ′(a)
(f · g) ′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g ′(a)(
f
g
) ′
(a) =
f ′(a)g(a) − f(a)g ′(a)
(g(a) )2
Prova.
Vamos demonstrar a fo´rmula de derivac¸a˜o do quociente, deixando as ou-
tras como exercı´cio.
Sendo g(x) 6= 0 para todo x ∈ (X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ), para algum δ > 0,
a func¸a˜o f
g
esta´ definida nesta vizinhanc¸a de a.
Como, para x ∈ (X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ),
f(x)
g(x)
−
f(a)
g(a)
x− a
=
f(x)g(a) − f(a)g(x)
x− a
· 1
g(x) · g(a)
=
((
f(x) − f(a)
x− a
)
g(a) − f(a)
(
g(x) − g(a)
x− a
))
1
g(x)g(a)
,
temos que
lim
x→a
f(x)
g(x)
−
f(a)
g(a)
x− a
=
(
g(a) lim
x→a f(x) − f(a)x− a − f(a) limx→a g(x) − g(a)x− a
)
· lim
x→a 1g(x)g(a)
= (g(a) f ′(a) − f(a)g ′(a) ) · 1
(g(a) )2
.
pois g e´ contı´nua no ponto a, ja´ que g e´ deriva´vel no ponto a.�
Corola´rio 1.1
• Se c ∈ R enta˜o (c · f) ′(a) = c · f ′(a) .
• Se f(a) 6= 0 enta˜o
(
1
f
) ′
(a) = −
f ′(a)
f(a)2
.
Teorema 1.3 (Regra da cadeia)
Sejam f : X −→ R, g : Y −→ R, f(X) ⊂ Y, a ∈ X ∩ X ′, b = f(a) ∈ Y ∩ Y ′.
Se f e´ deriva´vel no ponto a e g e´ deriva´vel no ponto b = f(a), enta˜o
g ◦ f : X −→ R e´ deriva´vel no ponto a e tem-se a regra da cadeia:
(g ◦ f ) ′(a) = g ′(b) · f ′(a)
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A derivada de uma func¸a˜o
Prova.
Sejam ρ e σ func¸o˜es definidas numa vizinhanc¸a de 0, tais que
f(a+ h) = f(a) + ( f ′(a) + ρ(h) )h , onde lim
h→0 ρ(h) = 0 ,
g(b+ k) = g(b) + (g ′(b) + σ(k) )k , onde lim
k→0σ(k) = 0 .
Tomando k = f(a+ h) − f(a) = ( f ′(a) + ρ(h) )h, temos que
f(a+ h) = f(a) + k = b+ k
e
(g ◦ f)(a+ h) = g(f(a+ h)) = g(b+ k) = g(b) + (g ′(b) + σ(k) )k
= g(b) + (g ′(b) + σ(k) ) ( f ′(a) + ρ(h) )h
= g ◦ f(a) + (g ′(b) f ′(a) + θ(h) )h ,
onde θ(h) = σ( f(a+ h) − f(a) ) ( f ′(a) + ρ(h) ) + g ′(b) ρ(h) .
Como f e´ contı´nua no ponto a, σ e ρ sa˜o contı´nuas no ponto 0, com
σ(0) = ρ(0) = 0, temos que
lim
h→0 θ(h) = 0 ,
pois lim
h→0σ(f(a+ h) − f(a)) = σ(0) = 0 e limh→0 ρ(h) = ρ(0) = 0 .
Logo, g ◦ f e´ deriva´vel no ponto a e (g ◦ f) ′(a) = g ′(b) f ′(a) .�
Corola´rio 1.2 (Derivada da inversa de uma func¸a˜o)
Seja f : X −→ Y uma func¸a˜o que possui inversa g = f−1 : Y −→ X. Se f e´
deriva´vel no ponto a ∈ X ∩ X ′ e g e´ contı´nua no ponto b = f(a), enta˜o g e´
deriva´vel no ponto b se, e so´ se, f ′(a) 6= 0. Neste caso,
g ′(b) =
1
f ′(a)
Prova.
Como g e´ contı´nua no ponto b = f(a) e e´ injetiva, temos que
lim
y→bg(y) = g(b) = a ,
e g(y) 6= a quando y ∈ Y − {b}.
Ale´m disso, b ∈ Y ∩ Y ′, pois f e´ contı´nua no ponto a, e´ injetiva em X e
a ∈ X ∩ X ′.
Logo, se f ′(a) 6= 0, enta˜o
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Ana´lise na Reta
lim
y→b
g(y) − g(b)
y− b
= lim
y→b
g(y) − g(b)
f(g(y)) − f(a)
= lim
y→b
(
f(g(y)) − f(a)
g(y) − a
)−1
=
1
f ′(a)
,
ou seja, g e´ deriva´vel no ponto b e g ′(b) = 1
f ′(a)
.
Reciprocamente, se g e´ deriva´vel no ponto b, enta˜o, pela regra da cadeia,
g ◦ f = idX e´ deriva´vel no ponto a e g ′(b) f ′(a) = 1, ou seja, f ′(a) 6= 0 e
g ′(b) =
1
f ′(a)
.�
Exemplo 1.12 A func¸a˜o f : R −→ R, dada por f(x) = x3, e´ uma bijec¸a˜o
contı´nua com inversa contı´nua g : R −→ R com g(y) = 3√y.
Como f ′(a) = 3a2 6= 0 para todo a 6= 0 e f(0) = 0, temos que g e´ deriva´vel
em todo ponto b ∈ R− {0} e g ′(b) = 1
f ′(g(b))
=
1
3(g(b))2
=
1
3
3
√
b2
.�
Definic¸a˜o 1.6 Dizemos que uma func¸a˜o f : X −→ R possui um ma´ximo
local no ponto a ∈ X, quando existe δ > 0 tal que f(x) ≤ f(a) para todo
x ∈ X ∩ (a− δ, a+ δ).
E quando existe δ > 0 tal que f(x) < f(a) para todo x ∈ (a − δ, a + δ) ∩
(X− {a}), dizemos que f possui um ma´ximo local estrito no ponto a ∈ X.
Ha´ definic¸o˜es ana´logas para os conceitos de mı´nimo local e mı´nimo local
estrito de uma func¸a˜o.
Exemplo 1.13 A func¸a˜o f : R −→ R, dada por f(x) = x2, possui um
mı´nimo local estrito no ponto 0, pois f(x) = x2 > f(0) = 0 para todo
x ∈ R− {0}.�
Exemplo 1.14 A func¸a˜o g : R −→ R, g(x) = sen x , possui ma´ximos
locais estritos nos pontos (4k + 1)pi
2
, pois g
(
(4k+ 1)
pi
2
)
= 1 > g(x)
para todo x ∈
(
4k−
pi
2
, 4k+ 3
pi
2
)
−
{
(4k+ 1)
pi
2
}
, e possui mı´nimos locais
estritos nos pontos (4k−1)pi
2
, pois g
(
(4k− 1)
pi
2
)
= −1 < g(x) , para todo
x ∈
(
4k−
3pi
2
, 4k+
pi
2
)
−
{
(4k− 1)
pi
2
}
.�
J. Delgado - K. Frensel226
A derivada de uma func¸a˜o
Exemplo 1.15 Uma func¸a˜o constante possui ma´ximo local e mı´nimo
local na˜o-estritos em cada ponto do seu domı´nio.�
Exemplo 1.16 A func¸a˜o h : R −→ R, dada por h(x) = { 1 se x ≥ 0
−1 se x < 0 ,
possui um ma´ximo local na˜o-estrito no ponto 0.�
Exemplo 1.17 A func¸a˜o ϕ : R −→ R, ϕ(x) = x2 (1+ sen 1
x
)
se x 6= 0
e ϕ(0) = 0, e´ contı´nua em toda a reta e possui um mı´nimo local na˜o
estrito no ponto 0, pois ϕ(x) ≥ 0 = ϕ(0) para todo x ∈ R e, em toda
vizinhanc¸a de 0, ha´ pontos x tais que ϕ(x) = 0, ja´ que 1
(4k− 1)
pi
2
−→ 0 e
ϕ
 1
(4k− 1)
pi
2
 = 0 para todo k ∈ Z.�
Observac¸a˜o 1.11 Se f : X −→ R e´ na˜o-decrescente e deriva´vel no
ponto a ∈ X∩X ′, enta˜o f ′(a) ≥ 0, pois f(x) − f(a)
x− a
≥ 0 para todo x ∈ X−{a}.
• Analogamente, se f : X −→ R e´ na˜o-crescente e deriva´vel no ponto
a ∈ X ∩ X ′, enta˜o f ′(a) ≤ 0.
• Se f : X −→ R e´ crescente (decrescente) e deriva´velno ponto a ∈ X∩X ′,
na˜o temos necessariamente f ′(a) > 0 (< 0).
Por exemplo, a func¸a˜o f(x) = x3 e´ crescente e f ′(0) = 0.
• Se a ∈ X ∩ X ′ ∩ X ′− e existe δ > 0 tal que f(y) ≤ f(a) ≤ f(x) para
a − δ < y < a < x < a + δ, enta˜o f ′(a) ≥ 0, mas na˜o implica que f seja
na˜o-decrescente (ver exemplo 1.18).
Teorema 1.4 Seja f : X −→ R uma func¸a˜o deriva´vel a` direita no ponto
a ∈ X∩X ′+. Se f ′(a+) > 0, enta˜o existe δ > 0 tal que f(a) < f(x) para todo
x ∈ X ∩ (a, a+ δ).
Prova.
Como lim
x−→a+
f(x) − f(a)
x− a
= f ′(a+) > 0, existe δ > 0 tal que f(x) − f(a)
x− a
> 0
para todo x ∈ X ∩ (a, a+ δ), ou seja, f(x) > f(a) ∀ x ∈ X ∩ (a, a+ δ).�
Instituto de Matema´tica - UFF 227
Ana´lise na Reta
Observac¸a˜o 1.12 Valem tambe´m os seguintes resultados, que podem
ser provados de modo ana´logo ao teorema anterior:
• Se a ∈ X ∩ X ′+ e f ′(a+) < 0, enta˜o existe δ > 0 tal que f(x) < f(a) para
todo X ∩ (a, a+ δ).
• Se a ∈ X ∩ X ′− e f ′(a+) > 0, enta˜o existe δ > 0 tal que f(x) < f(a) para
todo x ∈ X ∩ (a− δ, a).
• Se a ∈ X ∩ X ′− e f ′(a−) < 0, enta˜o existe δ > 0 tal que f(x) > f(a) para
todo x ∈ X ∩ (a− δ, a).
Corola´rio 1.3 Seja a ∈ X ∩ X ′+ ∩ X ′−. Se f : X −→ R possui no ponto
a derivada f ′(a) > 0 (f ′(a) < 0), enta˜o existe δ > 0 tal que x, y ∈ X,
a− δ < x < a < y < a+ δ =⇒ f(x) < f(a) < f(y) (f(y) < f(a) < f(x)).
Corola´rio 1.4 Seja a ∈ X∩X ′+∩X ′−. Se f : X −→ R e´ deriva´vel no ponto
a e possui um ma´ximo ou um mı´nimo local nesse ponto, enta˜o f ′(a) = 0.
Prova.
Se f ′(a) > 0 ou f ′(a) < 0, temos, pelo corola´rio anterior, que a na˜o e´
ponto de ma´ximo nem de mı´nimo local.�
Observac¸a˜o 1.13 O teorema 1.4 na˜o diz que existe um intervalo a` di-
reita de a no qual f e´ crescente quando f ′(a+) > 0, nem o corola´rio 1.3
diz que f e´ crescente numa vizinhanc¸a de a quando f ′(a) > 0.
Exemplo 1.18
• Antes de dar o exemplo de uma func¸a˜o que ilustre a observac¸a˜o acima,
faremos o estudo de algumas func¸o˜es.
• A func¸a˜o f : R −→ R, f(x) = x sen 1
x
se x 6= 0 e f(0) = 0, e´ contı´nua
em toda a reta e possui derivada f ′(x) = sen 1
x
−
1
x
cos
1
x
em todo x 6= 0,
mas na˜o e´ deriva´vel no ponto zero, pois na˜o existe o limite de f(x) − f(0)
x− 0
=
sen
1
x
quando x −→ 0.
• A func¸a˜o g : R −→ R, g(x) = x2 sen 1
x
se x 6= 0 e g(0) = 0, e´ contı´nua
J. Delgado - K. Frensel228
A derivada de uma func¸a˜o
em toda a reta e possui derivada g ′(x) = 2x sen 1
x
− cos
1
x
em todo ponto
x 6= 0. Ale´m disso, como lim
x→0
g(x) − g(0)
x− 0
= lim
x→0 x sen
1
x
= 0, temos que g e´
deriva´vel no ponto 0 e g ′(0) = 0.
Assim, g : R −→ R possui derivadas em todos os pontos da reta, mas
g ′ : R −→ R na˜o e´ contı´nua no ponto zero, pois na˜o existe lim
x→0g ′(x) =
lim
x→0
(
2x sen
1
x
− cos
1
x
)
.
• Seja a func¸a˜o ϕ : R −→ R definida por ϕ(x) = x2 sen 1
x
+
x
2
se x 6= 0 e
ϕ(0) = 0. Como ϕ e´ contı´nua e deriva´vel em toda a reta, e ϕ ′(0) = 1
2
> 0,
temos, pelo corola´rio 1.3, que existe δ > 0 tal que 0 < x < δ =⇒ ϕ(x) > 0
e −δ < x < 0 =⇒ ϕ(x) < 0.
Mas, ϕ na˜o e´ crescente em vizinhanc¸a alguma do ponto 0, pois, como
ϕ ′(x) = 2x sen
1
x
− cos
1
x
+
1
2
, para x 6= 0,
dado δ > 0 existe n0 ∈ N tal que 1
2n0pi
< δ. Enta˜o, 1
2n0pi
∈ (0, δ) e
ϕ ′
(
1
2n0pi
)
< 0, −
1
2n0pi
∈ (−δ, 0), e ϕ ′
(
−
1
2n0pi
)
< 0,
1
4n0pi+
pi
2
∈ (0, δ) e
ϕ ′
(
1
4n0pi+
pi
2
)
> 0, −
1
4n0pi+
pi
2
∈ (−δ, 0) e ϕ ′
(
−
1
4n0pi+
pi
2
)
> 0 .
Ou seja, dado δ > 0, existem pontos xδ, xδ ∈ (0, δ) e yδ, yδ ∈ (−δ, 0) tais
que ϕ ′(xδ) > 0, ϕ ′(xδ) < 0 , ϕ ′(yδ) > 0 e ϕ ′(yδ) < 0.
Logo, ϕ na˜o pode ser mono´tona em intervalo algum do tipo (0, δ) ou
(−δ, 0), δ > 0, pelas observac¸o˜es feitas antes do teorema 1.4. Isto so´
foi possı´vel, porque ϕ ′ na˜o e´ contı´nua no ponto zero (por queˆ?).
Ale´m disso, ϕ na˜o pode ser injetiva em intervalo algum do tipo (0, δ) ou
(−δ, 0), δ > 0, pois, caso contra´rio, ϕ seria mono´tona, por ser contı´nua e
injetiva num intervalo (ver teorema 3.2 da parte 6).�
Observac¸a˜o 1.14
• A recı´proca do corola´rio 1.4 na˜o e´ verdadeira.
Por exemplo, a func¸a˜o f : R −→ R, f(x) = x3, apesar de ter derivada zero
Instituto de Matema´tica - UFF 229
Ana´lise na Reta
no ponto 0, tal ponto na˜o e´ de ma´ximo nem de mı´nimo local, pois f e´ uma
func¸a˜o crescente em toda a reta.
• No corola´rio 1.4, na˜o basta que f possua derivadas laterais no ponto de
ma´ximo ou de mı´nimo para podermos concluir que as derivadas laterais
sa˜o nulas nesse ponto. Por exemplo, a func¸a˜o g : R −→ R, g(x) = |x|,
possui um mı´nimo no ponto 0, mas as derivadas laterais neste ponto
g ′(0+) = 1 e g ′(0−) = −1 na˜o sa˜o nulas.
• E, tambe´m, a condic¸a˜o de a ∈ X ′+∩X ′− e´ necessa´ria para que o corola´rio
1.4 seja va´lido. Por exemplo, a func¸a˜o h : [0,+∞) −→ R, h(x) = x2 + x
possui um mı´nimo local no ponto 0, mas h ′(0) = 1 6= 0.
2. Func¸o˜es deriva´veis num intervalo
Seja X ⊂ R um conjunto compacto tal que todo x ∈ X e´ ponto de
acumulac¸a˜o a` esquerda e a` direita de X, com excec¸a˜o de a = infX e
b = supX, e, ale´m disso, X 6= {a, b}. Enta˜o, X = [a, b].
De fato, o aberto R − X e´ reunia˜o de intervalos abertos dois a dois
disjuntos, sendo (−∞, a) e (b,+∞) dois deles. Se (c, d), c < d fosse outro
intervalo componente de R−X, enta˜o c e d pertenceriam a X. Como c na˜o
e´ ponto de acumulac¸a˜o a` direita de X, terı´amos c = a ou c = b, e, como
d na˜o e´ ponto de acumulac¸a˜o a` esquerda de X, terı´amos d = a ou d = b.
Sendo c < d e a < b, terı´amos (c, d) = (a, b) e, portanto, X = {a, b}, o
que e´ absurdo.
Definic¸a˜o 2.1 Quando a func¸a˜o f : I −→ R possui derivada em todos os
pontos do intervalo I, podemos considerar a func¸a˜o derivada f ′ : I −→ R
dada por x 7−→ f ′(x).
E quando f ′ : I −→ R e´ uma func¸a˜o contı´nua, dizemos que f e´ uma func¸a˜o
continuamente deriva´vel, ou uma func¸a˜o de classe C1.
Observac¸a˜o 2.1 Mas nem sempre a func¸a˜o derivada e´ uma func¸a˜o
contı´nua. Por exemplo, a func¸a˜o f : R −→ R, f(x) =
 x2 sen
1
x
se x 6= 0
0 se x = 0 ,
J. Delgado - K. Frensel230
Func¸o˜es deriva´veis num intervalo
e´ deriva´vel em todos os pontos da reta, com f ′(x) = 2x sen 1
x
− cos
1
x
se
x 6= 0 e f ′(0) = 0.
Mas f ′ : R −→ R na˜o e´ contı´nua no ponto zero e, portanto, f na˜o e´ de
classe C1 em toda a reta.
Observac¸a˜o 2.2 Seja f : I −→ R uma func¸a˜o de classe C1 no intervalo
I e sejam a < b em I, tais que f ′(a) < d < f ′(c).
Enta˜o, pelo teorema do valor intermedia´rio (TVI) para func¸o˜es contı´nuas
aplicado a` derivada f ′, existe c ∈ (a, b) ⊂ I tal que f ′(c) = d.
Jean Gaston Darboux
(1842-1917) Franc¸a.
Mas o teorema abaixo, devido a Darboux, nos diz que se f e´ deriva´vel em
[a, b], enta˜o f ′ satisfaz o TVI, mesmo sendo descontı´nua.
Teorema 2.1 (Valor intermedia´rio para a derivada)
Se f : [a, b] −→ R e´ deriva´vel no intervalo [a, b] e f ′(a) < d < f ′(b), enta˜o
existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = d.
Prova.
Suponhamos, primeiro, que d = 0, ou seja, f ′(a) < 0 < f ′(b). Como
f ′(a) < 0, existe δ > 0 tal que f(x) < f(a) para todo x ∈ (a, a+ δ), e como
f ′(b) > 0, existe δ ′ > 0 tal que f(y) < f(b) para todo y ∈ (b− δ ′, b).
Ale´m disso, como f e´ contı´nua no compacto [a, b], temos, pelo teorema
de Weierstrass, que f possui um ponto de mı´nimo e um ponto de ma´ximo
no intervalo [a, b].
Logo, o ponto de mı´nimo c pertence ao intervalo (a, b), pois, pelo visto
acima, a e b na˜o sa˜o pontos de mı´nimo.
Assim, pelo corola´rio 1.4, f ′(c) = 0, pois c ∈ (a, b) e´ ponto de acumulac¸a˜o
a` direita e a` esquerda do conjunto [a, b].
No caso geral, basta considerar a func¸a˜o g(x) = f(x) − dx, x ∈ [a, b].
Enta˜o, g ′(x) = f ′(x) − d e f ′(a) < d < f ′(b) se,e so´ se, g ′(a) < 0 < g ′(b).
Logo, se f ′(a) < d < f ′(b), existe c ∈ (a, b) tal que g ′(c) = 0, ou seja,
f ′(c) = d.�
Corola´rio 2.1 Se f : I −→ R e´ deriva´vel no intervalo I, enta˜o f ′ na˜o tem
descontinuidade de primeira espe´cie em I.
Instituto de Matema´tica - UFF 231
Ana´lise na Reta
Prova.
Seja c ∈ I um ponto de acumulac¸a˜o a` direita de I, isto e´, c na˜o e´ a
extremidade superior de I.
Afirmac¸a˜o: Se existe lim
x→c+ f ′(x) = L, enta˜o L = f ′(c).
Suponhamos, por absurdo, que f ′(c) < L.
Seja d ∈ R tal que f ′(c) < d < L.
Para ε = L − d > 0, existe δ > 0 tal que f ′(x) > L − ε = d para todo
x ∈ (c, c+ δ).
Em particular, f ′(c) < d < f ′
(
c+
δ
2
)
, mas na˜o existe x ∈
(
c, c+
δ
2
)
tal
que f(x) = d, o que contradiz o teorema 2.1.
De modo ana´logo, podemos provar que L na˜o pode ser menor que f ′(c).
Logo, L = f ′(c).
• Se c e´ um ponto de acumulac¸a˜o a` esquerda, podemos mostrar, tambe´m,
que se existe lim
x→c− f ′(x) = M enta˜o M = f ′(c).
Logo, f na˜o possui descontinuidade de primeira espe´cie, pois se os li-
mites laterais existem num ponto a, f e´ necessariamente contı´nua neste
ponto.�
Exemplo 2.1 A func¸a˜o f : R −→ R, f(x) = |x|, na˜o e´ um contra-exemplo
para o corola´rio acima, pois, apesar de f ′ : R − {0} −→ R, ser dada por
f ′(x) = −1 se x < 0 e f ′(x) = 1 se x > 0, 0 na˜o e´ uma descontinuidade de
primeira espe´cie de f ′, ja´ que f ′(0) na˜o existe.
Mas, o corola´rio 2.1 nos diz que na˜o existe uma func¸a˜o g : R −→ R
deriva´vel em toda a reta tal que g ′ = f ′ em R − {0}, pois, nesse caso, g ′
teria uma descontinuidade de primeira espe´cie no ponto 0.�
Exemplo 2.2 A func¸a˜o ϕ : R −→ R, dada por ϕ(x) = { 0 se x ∈ Q
1 se x ∈ R−Q ,
na˜o e´ a derivada de uma func¸a˜o ξ : R −→ R, pois, embora suas descon-
tinuidades sejam todas de segunda espe´cie, ela na˜o satisfaz ao teorema
do valor intermedia´rio para func¸o˜es deriva´veis.�
J. Delgado - K. Frensel232
Func¸o˜es deriva´veis num intervalo
Teorema 2.2 (Rolle)
Seja f : [a, b] −→ R contı´nua em [a, b] e deriva´vel em (a, b). Se f(a) =
f(b), enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Prova.
Se f e´ constante em [a, b], enta˜o f ′(c) = 0 para todo c ∈ (a, b).
Suponhamos, enta˜o, que f na˜o e´ constante em [a, b]. Como f e´ contı´nua
no compacto [a, b], o ma´ximo e o mı´nimo de f sa˜o atingidos em pontos do
intervalo [a, b]. Enta˜o, existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = M ou f(c) = m, pois
se o ma´ximo M e o mı´nimo m fossem ambos atingidos nas extremidades,
terı´amos M = m, pois f(a) = f(b), e f seria, portanto, constante.
Logo, pelo corola´rio 1.4, f ′(c) = 0, pois c e´ um ponto de acumulac¸a˜o a`
direita e a` esquerda do intervalo [a, b] e f e´ deriva´vel no ponto c.�
Exemplo 2.3 Seja f : [0, 1] −→ R definida por f(x) = x se x ∈ [0, 1) e
f(1) = 0. Enta˜o f(0) = f(1) = 0 e f e´ deriva´vel em (0, 1), mas f ′(x) = 1 6= 0
para todo x ∈ (0, 1). Isto ocorre porque f na˜o e´ contı´nua em [0, 1].�
Exemplo 2.4 Seja g : [−1, 1] −→ R dada por g(x) = |x|. Enta˜o g e´
contı´nua em [−1, 1] e g(−1) = g(1) = 1, mas na˜o existe c ∈ (−1, 1) tal que
g ′(c) = 0. Isto ocorre porque g na˜o e´ deriva´vel no intervalo aberto (−1, 1),
ja´ que na˜o e´ deriva´vel no ponto 0.�
Exemplo 2.5 Seja h : [−1, 1] −→ R definida por h(x) = (1−x2) sen 1
1− x2
se x 6= ±1 e h(±1) = 0. Enta˜o, h e´ contı´nua em [−1, 1] e deriva´vel apenas
no intervalo aberto (−1, 1). Neste exemplo, podemos aplicar o teorema de
Rolle para garantir que existe c ∈ (−1, 1) tal que f ′(c) = 0. Na realidade,
f ′(0) = 0, pois f ′(x) = −2x sen 1
1− x2
+
2x
1− x2
cos
1
1− x2
para x 6= ±1.�
Exemplo 2.6 Apesar do teorema de Rolle na˜o se aplicar a` func¸a˜o ϕ :
[−1, 1] −→ R definida por ϕ(x) = sen 1
1− x2
se x 6= ±1 e ϕ(±1) = 0, por ϕ
na˜o ser contı´nua no intervalo fechado [−1, 1], existem infinitos pontos em
(−1, 1) nos quais a derivada de ϕ se anula.�
Instituto de Matema´tica - UFF 233
Ana´lise na Reta
Teorema 2.3 (valor me´dio de Lagrange)
Seja f : [a, b] −→ R contı´nua em [a, b] e deriva´vel em (a, b). Enta˜o existe
c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) =
f(b) − f(a)
b− a
.
• Um enunciado equivalente ao teorema acima e´ o seguinte:
Seja f : [a, a + h] −→ R contı´nua no intervalo [a, a + h] e deriva´vel
em (a, a+ h). Enta˜o existe t ∈ (0, 1) tal que
f(a+ h) = f(a) + f ′(a+ th)h .
Prova.
Seja g : [a, b] −→ R definida por g(x) = (f(b) − f(a)
b− a
)
(x− a) + f(a).
Como g e´ contı´nua e deriva´vel em [a, b], g(a) = f(a) e g(b) = f(b), temos
que a func¸a˜o ϕ : [a, b] −→ R, ϕ(x) = f(x) − g(x) satisfaz as hipo´teses
do teorema de Rolle, pois ϕ e´ contı´nua em [a, b], deriva´vel em (a, b) e
ϕ(a) = ϕ(b) = 0.
Logo, existe c ∈ (a, b) tal que ϕ ′(c) = 0. Mas, como ϕ ′(x) = f ′(x) − g ′(x)
e g ′(x) =
f(b) − f(a)
b− a
para todo x ∈ (a, b), temos que
f ′(c) = g ′(c) =
f(b) − f(a)
b− a
.
�
Observac¸a˜o 2.3 Geometricamente, o teorema de valor me´dio de
Lagrange nos diz que existe um ponto c ∈ (a, b) tal que a reta tangente
ao gra´fico de f no ponto (c, f(c)) e´ paralela a` reta secante ao gra´fico que
liga os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).
Corola´rio 2.2 Se uma func¸a˜o contı´nua f : [a, b] −→ R possui derivada
nula em todos os pontos x ∈ (a, b), enta˜o f e´ constante.
Prova.
Seja x ∈ (a, b). Enta˜o existe cx ∈ (a, b) tal que
0 = f ′(cx) =
f(x) − f(a)
x− a
.
Logo, f(x) = f(a) para todo x ∈ (a, b).
J. Delgado - K. Frensel234
Func¸o˜es deriva´veis num intervalo
Enta˜o, f(a) = lim
x→b f(x) = f(b), pois f e´ contı´nua em [a, b].
Assim, f(x) = f(a) para todo x ∈ [a, b], ou seja, f e´ constante em [a, b].�
Corola´rio 2.3 Se f, g : [a, b] −→ R sa˜o contı´nuas em [a, b], deriva´veis
em (a, b) e f ′(x) = g ′(x) para todo x ∈ (a, b), enta˜o existe c ∈ R tal que
g(x) = f(x) + c para todo x ∈ [a, b].
Prova.
Como a func¸a˜o g − f : [a, b] −→ R e´ contı´nua em [a, b], deriva´vel em
(a, b) e (g − f) ′(x) = g ′(x) − f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), temos, pelo
corola´rio anterior, que g− f e´ constante em [a, b], ou seja, existe c ∈ R tal
que g(x) − f(x) = c para todo x ∈ [a, b].�
Observac¸a˜o 2.4 A func¸a˜o f : R− {0} −→ R, definida por f(x) = x
|x|
, na˜o
e´ constante, apesar de f ′(x) = 0 para todo x ∈ R− {0}. Isto ocorre porque
o domı´nio de f na˜o e´ um intervalo.
Corola´rio 2.4 Seja f : I −→ R deriva´vel no intervalo aberto I. Se existe
k ∈ R tal que |f ′(x)| ≤ k para todo I ∈ I, enta˜o
|f(x) − f(y)| ≤ k|x− y| ,
quaisquer que sejam x, y ∈ I.
Prova.
Sejam x, y ∈ I, x < y. Como f e´ contı´nua em [x, y] e deriva´vel em (x, y),
existe z ∈ (x, y) tal que
f(x) − f(y) = f ′(z)(x− y) .
Logo, |f(x) − f(y)| = |f ′(z)| |x− y| ≤ k|x− y| .
O mesmo vale se y < x.�
Observac¸a˜o 2.5 Podemos concluir que se f possui derivada limitada
num intervalo aberto I, enta˜o f e´ lipschitziana e, portanto, uniformemente
contı´nua em I. Em particular, se I = (a, b), enta˜o existem lim
x→b− f(x) e
lim
x→a+ f(x).
Por exemplo, a func¸a˜o f : (0,+∞) −→ R, definida por f(x) = sen 1
x
, na˜o
Instituto de Matema´tica - UFF 235
Ana´lise na Reta
tem limite a` direita no ponto 0 e tem derivada ilimitada em qualquer inter-
valo do tipo (0, δ], pois f ′(x) = − 1
x2
cos
1
x
para x 6= 0.
Observac¸a˜o 2.6 Se f e´ uma func¸a˜o contı´nua em [a, b], deriva´vel em
(a, b) e |f ′(x)| ≤ k para todo x ∈ (a, b), enta˜o |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y|
quaisquer que sejam x, y ∈ [a, b].
De fato, sejam (xn) e (yn) sequ¨eˆncias de pontos do intervalo (a, b) tais
que xn −→ a e yn −→ b.
Como |f(x)− f(y)| ≤ k|x−y| para todos os pontos x, y ∈ (a, b), temos que
|f(xn) − f(yn)| ≤ k|xn − yn|
para todo n ∈ N.
Logo,
|f(a) − f(b)| = lim
n→+∞ |f(xn) − f(yn)| ≤ k limn→+∞ |xn − yn| = k|a− b| .
E, se x ∈ (a, b), enta˜o,
• |f(a) − f(x)| = lim
n→+∞ |f(xn) − f(x)| ≤ k limn→+∞ |xn − x| = k|a− x| ,
• |f(x) − f(b)|= lim
n→+∞ |f(x) − f(yn)| ≤ k limn→+∞ |x− yn| = k|x− b| .
Logo, |f(x) − f(y)| ≤ k|x− y| para todos x, y ∈ [a, b].
Corola´rio 2.5 Seja f contı´nua em [a, b] e deriva´vel em (a, b). Se existe
lim
x→a+ f ′(x) = L, enta˜o existe f ′(a+) e L = f ′(a+).
Prova.
Basta provar que lim
n→+∞ f(xn) − f(a)xn − a = L , para toda sequ¨eˆncia (xn) de pon-
tos de (a, b) com lim
n→+∞ xn = a.
Pelo teorema do valor me´dio, para todo n ∈ N, existe yn ∈ (a, xn) tal que
f ′(yn) =
f(xn) − f(a)
xn − a
.
Como yn −→ a e lim
n→+∞ f ′(yn) = limx→a+ f ′(x) = L, temos que
lim
n→+∞ f(xn) − f(a)xn − a = L .
Logo, f e´ deriva´vel a` direita no ponto a e f ′(a+) = L.�
J. Delgado - K. Frensel236
Func¸o˜es deriva´veis num intervalo
Observac¸a˜o 2.7 De modo ana´logo, podemos provar que se f e´ contı´nua
em [a, b], deriva´vel em (a, b) e existe lim
x→b− f ′(x) = L, enta˜o existe f ′(b−) e
L = f ′(b−).
Corola´rio 2.6 Seja f : (a, b) −→ R deriva´vel, exceto, possivelmente,
num ponto c ∈ (a, b), onde f e´ contı´nua. Se existe lim
x→c f ′(x) = L, enta˜o f e´
deriva´vel no ponto c e f ′(c) = L.
Prova.
Seja δ > 0 tal que [c− δ, c+ δ] ⊂ (a, b).
Como a func¸a˜o f e´ contı´nua em [c − δ, c], deriva´vel em (c − δ, c) e existe
lim
x→c− f ′(x) = L, enta˜o f e´ deriva´vel a` esquerda no ponto c e f ′(c−) = L.
E, tambe´m, como f e´ contı´nua em [c, c+δ], deriva´vel em (c, c+δ) e existe
lim
x→c+ f(x) = L, enta˜o f e´ deriva´vel a` direita no ponto c e f ′(c+) = L.
Logo, f e´ deriva´vel no ponto c e f ′(c) = L.�
Corola´rio 2.7 Seja f : I −→ R deriva´vel no intervalo I. Enta˜o, f ′(x) ≥ 0
para todo x ∈ I se, e so´ se, f e´ na˜o-decrescente em I.
E se f ′(x) > 0 para todo x ∈ I, enta˜o f e´ crescente. Neste caso, f possui
uma inversa, definida no intervalo J = f(I), que e´ deriva´vel no intervalo J
com (f−1) ′(y) =
1
f ′(f−1(y))
, para todo y ∈ J.
Prova.
(=⇒) Sejam x, y ∈ I, x < y. Pelo teorema do valor me´dio, existe
z ∈ (x, y) tal que f(y) − f(x)
y− x
= f ′(z). Como f ′(z) ≥ 0 e y − x > 0, te-
mos que f(y) ≥ f(x).
(⇐=) Se f e´ na˜o-decrescente e deriva´vel em a ∈ I, enta˜o f ′(a) ≥ 0, pois
f(a+ h) − f(a)
h
≥ 0 , para todo h 6= 0 tal que a+ h ∈ I.
• Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ I, temos que se a < b, a, b ∈ I, enta˜o existe,
pelo teorema do valor me´dio, c ∈ (a, b) tal que f(b) − f(a) = f ′(c)(b− a).
Logo, f(b) > f(a), ja´ que f ′(c)(b− a) > 0.
Note que: a recı´proca deste re-
sultado na˜o e´ verdadeira, pois
f(x) = x3 e´ crescente e deriva´vel
em toda a reta, mas f ′(0) = 0.
Instituto de Matema´tica - UFF 237
Ana´lise na Reta
Como f e´ contı´nua e injetiva no intervalo I, enta˜o, pelo teorema 3.2 da
parte 6, J = f(I) e´ um intervalo e f−1 : J −→ I e´ contı´nua.
Ale´m disso, como f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ I, temos, pelo corola´rio 1.2, que
f−1 e´ deriva´vel em J e (f−1) ′(y) = 1
f ′(f−1(y))
para todo y ∈ J.�
Observac¸a˜o 2.8 Vale um resultado ana´logo para func¸o˜es na˜o-crescentes
e decrescentes com ≤ e <, respectivamente.
Exemplo 2.7 Seja f : R −→ R definida por f(x) = ex. Sabemos do
Ca´lculo que f e´ deriva´vel em toda a reta e f ′(x) = ex para todo x ∈ R.
Dado x > 0, existe, pelo teorema do valor me´dio, c ∈ (0, x) tal que f(x) =
f(0) + f ′(c)x = 1 + ecx. Como c > 0 temos que ec > 1. Logo, ex > 1 + x
para todo x > 0.
Aplicac¸a˜o: lim
x→+∞ x
n
ex
= 0 para todo n ∈ N.
Com efeito, como e xn+1 > 1 + x
n+ 1
>
x
n+ 1
para todo x > 0 e n ∈ N,
temos que ex > x
n+1
(n+ 1)n+1
.
Enta˜o, e
x
xn
>
x
A
, ou seja, 0 < x
n
ex
<
A
x
para todo x > 0, onde A = (n+1)n+1.
Logo, lim
x→+∞ x
n
ex
= 0.
Mais geralmente: lim
x→+∞ p(x)ex = 0 para todo polinoˆmio p(x) = anxn +
an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0.
De fato, como p(x) = anxnq(x), onde q(x) = 1+
an−1
anx
+ . . .+
a0
anxn
, temos
que lim
n→+∞ p(x)xn = an e, portanto,
lim
x→+∞ p(x)ex = limx→+∞ p(x)xn · x
n
ex
= lim
x→+∞ p(x)xn · limx→+∞ x
n
ex
= an · 0 = 0 .
�
Exemplo 2.8 Seja f : R −→ R definida por f(x) = e− 1x2 se x 6= 0 e
f(0) = 0. Como lim
x→0 e−
1
x2 = 0, f e´ contı´nua em R. Ale´m disso, f e´ deriva´vel
J. Delgado - K. Frensel238
Func¸o˜es deriva´veis num intervalo
em R− {0}, com f ′(x) = 2
x3
e
− 1
x2 para x 6= 0.
Pondo y = 1
x2
, temos, pelo exemplo acima, que lim
x→0 |f ′(x)| = limy→+∞
2y
3
2
ey
=
0, ja´ que y
ey
<
y
3
2
ey
<
y2
ey
, para todo y > 1, e lim
y→+∞ yey = limy→+∞ y
2
ey
= 0.
Logo, pelo corola´rio 2.6, f e´ deriva´vel no ponto 0 e f ′(0) = 0.�
Exemplo 2.9 Seja f : R −→ R a func¸a˜o f(x) =
e−
1
x se x 6= 0
0 se x = 0
.
Como lim
x→0+ e−
1
x = 0 = f(0) e lim
x→0− e−
1
x = +∞, f na˜o e´ contı´nua no ponto
zero, mas e´ contı´nua a` direita nesse ponto.
Sendo f ′(x) = 1
x2
e−
1
x para todo x 6= 0 e lim
x→0+ f ′(x) = limy→+∞
y2
ey
= 0, onde
y =
1
x
, temos, pelo corola´rio 2.5, que f e´ deriva´vel a` direita no ponto 0 e
f ′(0+) = 0.
Observe que lim
x→0− f ′(x) = limx→0−
1
x2e
1
x
= +∞.�
Observac¸a˜o 2.9 Ha´ duas situac¸o˜es nas quais vale o teorema do valor
me´dio sem supor que a func¸a˜o f : [a, b] −→ R seja contı´nua nos pontos a
e b:
Primeira: Suponhamos que existem lim
x→a+ f(x) = L e limx→b− f(x) = M. Enta˜o,
a func¸a˜o g : [a, b] −→ R definida por g(x) = f(x) se x ∈ (a, b), g(a) = L e
g(b) = M e´ contı´nua em [a, b] e deriva´vel em (a, b). Logo, pelo teorema
do valor me´dio, existe c ∈ (a, b) tal que
g(b) − g(a) = g ′(c)(b− a) ,
ou seja, existe c ∈ (a, b) tal que (M− L) = f ′(x)(b− a).
Temos f(b) − f(a) = f ′(c)(b− a) se, e so´ se, M− L = f(b) − f(a).
Segunda: Se f : [a, b] −→ R e´ limitada em [a, b], deriva´vel em (a, b)
e pelo menos um dos limites nas extremidades, digamos lim
x→a+ f(x), na˜o
existe, enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = f(b) − f(a)
b− a
.
Instituto de Matema´tica - UFF 239
Ana´lise na Reta
De fato, como na˜o existe lim
x→a+ f(x), temos, pela observac¸a˜o feita apo´s o
corola´rio 2.4, que f ′ na˜o e´ limitada em (a, b).
Afirmac¸a˜o: f ′ e´ ilimitada inferior e superiormente.
De fato, suponhamos, por absurdo, que f ′(x) ≥ A para todo x ∈ (a, b).
Enta˜o, a func¸a˜o g(x) = f(x) − Ax seria na˜o-decrescente em (a, b), pois
g ′(x) ≥ 0 em (a, b), e limitada. Existiria, portanto, lim
x→a+ g(x), o que e´
absurdo, pois isto implicaria na existeˆncia de lim
x→a+ f(x).
De modo ana´logo, podemos provar que f ′ na˜o e´ limitada superiormente
em (a, b).
Seja d = f(b) − f(a)
b− a
. Enta˜o existem pontos x1, x2 ∈ (a, b) tais que f ′(x1) <
d < f ′(x2). Logo, pelo teorema do valor intermedia´rio para a derivada,
existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = d = f(b) − f(a)
b− a
.
Definic¸a˜o 2.2 Dizemos que uma func¸a˜o f : I −→ R e´ uniformemente
deriva´vel no intervalo I quando f e´ deriva´vel em I e para cada ε > 0 dado,
existe δ > 0 tal que
0 < |h| < δ =⇒ ∣∣∣∣ f(x+ h) − f(x)h − f ′(x)
∣∣∣∣ < ε ,
seja qual for x ∈ I, x+ h ∈ I.
• Uma condic¸a˜o equivalente seria:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ; 0 < |h| < δ =⇒
| (f(x+ h) − f(x) − f ′(x)h | < ε |h| ∀ x, x+ h ∈ I
Teorema 2.4 Uma func¸a˜o f : [a, b] −→ R e´ uniformemente deriva´vel se,
e so´ se, f e´ de classe C1.
Prova.
(=⇒) Suponhamos que f e´ de classe C1 em [a, b], ou seja, f e´ deriva´vel
em [a, b] e f ′ e´ contı´nua em [a, b]. Enta˜o, f ′ e´ uniformemente contı´nua em
[a, b], ja´ que [a, b] e´ compacto.
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 tal que x, y ∈ [a, b], |x− y| < δ =⇒ |f ′(x) − f ′(y)| < ε .
J. Delgado - K. Frensel240
Func¸o˜es deriva´veis num intervalo
Sejam x, x + h ∈ [a, b] com 0 < |h| < δ. Enta˜o, pelo teorema do valor
me´dio, existe y entre x e x+ h tal que f(x+ h) − f(x) = f ′(y)h. Logo,
|f(x+ h) − f(x) − f ′(x)h| = |f ′(y) − f ′(x)| |h| < ε|h|,
pois |(x+ h) − x| = |h| < δ e, portanto, |y− x| < δ.
Assim, f e´ uniformemente deriva´velem [a, b].
(⇐=) Suponhamos, agora, que f e´ uniformemente deriva´vel em [a, b].
Provaremos que a derivada f ′ e´ contı´nua em todos os pontos do intervalo
compacto [a, b].
Seja x0 ∈ (a, b) e tome δ = min{b− x0, x0 − a} > 0.
Dado ε > 0, existe 0 < δ ′ < δ
2
tal que se x ∈ [a, b], x + h ∈ [a, b] e
0 < |h| < δ ′, enta˜o ∣∣∣∣ f(x+ h) − f(x)h − f ′(x)
∣∣∣∣ < ε3 .
Sejam h > 0 fixo tal que h < δ ′.
Enta˜o,
∣∣∣∣ f(x+ h) − f(x)h − f ′(x)
∣∣∣∣ < ε3 para todo x ∈ [a, x0 + h], pois
(x0 + h) + h < x0 + δ ≤ x0 + (b− x0) = b.
• Mostraremos que f ′ e´ contı´nua em x0.
Seja x tal que |x − x0| < h. Enta˜o, x ∈ (x0 − h, x0 + h) ⊂ (a, b) , pois,
x0 − h > x0 − (x0 − a) = a e x0 + h < x0 + b− x0 = b , e
|f ′(x) − f ′(x0)| ≤
∣∣∣∣ f ′(x) − f(x+ h) − f(x)h
∣∣∣∣
+
∣∣∣∣ f(x+ h) − f(x)h − f(x0 + h) − f(x0)h
∣∣∣∣
+
∣∣∣∣ f(x0 + h) − f(x0)h − f ′(x0)
∣∣∣∣
<
ε
3
+
∣∣∣∣ f(x+ h) − f(x)h − f(x0 + h) − f(x0)h
∣∣∣∣+ ε3 .
Como a func¸a˜o g : [a, x0 + h] −→ R definida por g(x) = f(x+ h) − f(x)
h
e´
contı´nua em x0, existe 0 < δ ′′ < h tal que
|x− x0| < δ
′′ =⇒ |g(x) − g(x0)| < ε
3
.
Instituto de Matema´tica - UFF 241
Ana´lise na Reta
Enta˜o, |f ′(x) − f ′(x0)| <
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε para todo x ∈ (x0 − δ ′′, x0 + δ ′′).
• Mostraremos, agora, que f ′ e´ contı´nua no ponto a.
Dado ε > 0, existe 0 < δ < b− a
2
tal que
x, x+ h ∈ [a, b] e 0 < |h| < δ =⇒ ∣∣∣∣ f(x+ h) − f(x)h − f ′(x)
∣∣∣∣ < ε3.
Seja h > 0 fixo tal que h < δ. Enta˜o,∣∣∣∣ f(x+ h) − f(x)h − f ′(x)
∣∣∣∣ < ε3 ,
para todo x ∈
[
a,
a+ b
2
]
, pois a < a+ b
2
+ h <
a+ b
2
+
b− a
2
= b.
Como a func¸a˜o g :
[
a,
a+ b
2
]
−→ R definida por g(x) = f(x+ h) − f(x)
h
e´
contı´nua no ponto a, existe 0 < δ ′′ < h tal que
a ≤ x < a+ δ ′′ =⇒ |g(x) − g(a)| < ε
3
.
Logo,
|f ′(x) − f ′(a)| ≤ |f ′(x) − g(x)| + |g(x) − g(a)| + |g(a) − f ′(a)|
<
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε ,
para todo x ∈ [a, a+ δ ′′).
Assim, f ′ e´ contı´nua no ponto a.
• Finalmente, mostraremos que f ′ e´ contı´nua no ponto b.
Seja 0 < δ < b− a
2
tal que
x, x+ h ∈ [a, b] e 0 < |h| < δ =⇒ ∣∣∣∣ f(x+ h) − f(x)h − f ′(x)
∣∣∣∣ < ε3 .
Seja h < 0 fixo tal que h > −δ. Enta˜o,∣∣∣∣ f(x+ h) − f(x)h − f ′(x)
∣∣∣∣ < ε3 ,
para todo x ∈
[
a+ b
2
, b
]
, pois b > a+ b
2
+ h >
a+ b
2
−
b− a
2
= a.
Como a func¸a˜o g :
[
a+ b
2
, b
]
−→ R , g(x) = f(x+ h) − f(x)
h
, e´ contı´nua
no ponto b, existe 0 < δ ′′ < |h| tal que
J. Delgado - K. Frensel242
Fo´rmula de Taylor
|g(x) − g(b)| <
ε
3
para todo x ∈ (b− δ ′′, b] ⊂
[
a+ b
2
, b
]
.
Logo,
|f ′(x) − f ′(b)| ≤ |f ′(x) − g(x)| + |g(x) − g(b)| + |g(b) − f ′(b)|
<
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε ,
para todo x ∈ (b− δ ′′, b] . Assim, f ′ e´ contı´nua no ponto b.�
Para uma demonstrac¸a˜o mais
sinte´tica, veja Curso de Ana´lise,
Vol. I de Elon Lima
3. Fo´rmula de Taylor
Seja n ∈ N. A n−e´sima derivada, ou derivada de ordem n, da
func¸a˜o f no ponto a e´ indicada por f(n)(a) e e´ definida por induc¸a˜o da
seguinte maneira:
f ′′(a) = f(2)(a) = [f ′] ′(a) ,
f ′′′(a) = f(3)(a) = [f ′′] ′(a) ,
· · · · · ·
f(n)(a) = [f(n−1)] ′(a) .
• ´E conveniente considerar f como a sua pro´pria derivada de ordem zero
e escrever f(0)(a) = f(a), para simplificar as fo´rmulas.
• A derivada de ordem n, f(n)(a), de f no ponto a so´ faz sentido quando
f(n−1)(x) existe para todo x num conjunto ao qual a pertence e do qual e´
ponto de acumulac¸a˜o. Em todos os casos que estudaremos, tal conjunto
sera´ um intervalo contendo a.
Definic¸a˜o 3.1 Dizemos que f : I −→ R e´ n−vezes deriva´vel no intervalo
I quando existe f(n)(x) para todo x ∈ I. Quando x e´ uma das extremidades
de I, f(n)(x) e´ uma derivada lateral.
Definic¸a˜o 3.2 Dizemos que f : I −→ R e´ n−vezes deriva´vel no ponto
a ∈ I, quando existe um intervalo aberto J contendo a tal que f e´
(n− 1)−vezes deriva´vel em I ∩ J e, ale´m disso, existe f(n)(a).
Definic¸a˜o 3.3 Dizemos que f : I −→ R e´ de classe Cn, e escrevemos
f ∈ Cn, ou f ∈ Cn(I;R), quando f e´ n−vezes deriva´vel em I e a derivada
de ordem n, x 7−→ f(n)(x), e´ contı´nua em I.
Instituto de Matema´tica - UFF 243
Ana´lise na Reta
Observac¸a˜o 3.1 Em particular, dizer que f ∈ C0 significa que f e´ contı´-
nua em I.
Exemplo 3.1 Para cada n = 0, 1, 2, . . ., seja ϕn : R −→ R a func¸a˜o
definida por ϕn(x) = |x|nx .
Enta˜o, ϕn(x) = xn+1, se x ≥ 0 e ϕn(x) = −xn+1 se x ≤ 0.
Afirmac¸a˜o: ϕ ′n(x) = (n+ 1)ϕn−1(x) para todo x ∈ R e n ∈ N.
De fato,
• Se x > 0, ϕ ′n(x) = (n+ 1)xn = (n+ 1)xn−1|x| = (n+ 1)ϕn−1(x) .
• Se x < 0, ϕ ′n(x) = −(n+ 1)xn(n+ 1)xn−1|x| = (n+ 1)ϕn−1(x) .
• ϕ ′n(0+) = ϕ ′n(0−) = 0 , pois lim
x→0±ϕ ′n(x) = limx→0±(n+ 1)xn−1|x| = 0 .
Logo ϕ ′n(0) = 0 = (n+ 1)ϕn−1(0) .
Afirmac¸a˜o: ϕ(n)n (x) = (n+ 1)!ϕ0(x) para todo x ∈ R.
• Se n = 1, ϕ ′1(x) = 2ϕ0(x) = 2!ϕ0(x) , ∀ x ∈ R.
• Suponhamos, por induc¸a˜o, que ϕ(n)n (x) = (n+1)!ϕ0(x), para todo x ∈ R.
Enta˜o, como ϕ ′n+1(x) = (n+ 2)ϕn(x), temos que
ϕ
(n+1)
n+1 (x) = [ϕ
′
n+1]
(n)(x) = (n+ 2)ϕ
(n)
n (x)
= (n+ 2) (n+ 1)!ϕ0(x)
= (n+ 2)!ϕ0(x) ,
para todo x ∈ R.
Como ϕ0(x) = |x|, x ∈ R, e´ contı´nua, mas na˜o e´ deriva´vel no ponto zero,
temos que ϕ ∈ Cn, mas na˜o e´ (n + 1)−vezes deriva´vel no ponto zero.
Enta˜o, ϕ 6∈ Cn+1.�
Exemplo 3.2
• Sejam as func¸o˜es fn, hn : R −→ R definidas por:
fn(x) =
x
2n sen
1
x
, se x 6= 0
0 se x = 0
e hn(x) =
x
2n cos
1
x
, se x 6= 0
0 se x = 0 .
Enta˜o fn e hn sa˜o n−vezes deriva´veis em R, mas f(n)n e h(n)n na˜o sa˜o
contı´nuas no ponto zero. Logo, fn 6∈ Cn e hn 6∈ Cn.
J. Delgado - K. Frensel244
Fo´rmula de Taylor
Em particular, fn e hn na˜o sa˜o (n+ 1)−vezes deriva´veis.
• Sejam as func¸o˜es gn, ϕn : R −→ R definidas por:
gn(x) =
x
2n+1 sen
1
x
se x 6= 0
0 se x = 0 ,
e ϕn(x) =
x
2n+1 cos
1
x
se x 6= 0
0 se x = 0 .
Enta˜o, gn ∈ Cn e ϕn ∈ Cn, mas na˜o sa˜o (n + 1)−vezes deriva´veis no
ponto zero.
Vamos provar as afirmac¸o˜es feitas acima por induc¸a˜o sobre n.
Caso n = 1: Como
f ′1(x) = 2x sen
1
x
− cos
1
x
se x 6= 0 e f ′1(0) = 0 ,
h ′1(x) = 2x cos
1
x
+ sen
1
x
se x 6= 0 e h ′1(0) = 0 ,
temos que f1 e h1 sa˜o deriva´veis em R, mas f ′1 e h ′1 na˜o sa˜o contı´nuas no
ponto zero.
• Como
g ′1(x) = 3x
2 sen
1
x
− x cos
2
x
, x 6= 0 e g ′1(0) = 0,
g ′′1 (x) = 6x sen
1
x
− 4 cos
1
x
+
1
x
sen
1
x
, x 6= 0,
ϕ ′1(x) = 3x
2 cos
1
x
+ x sen
1
x
, x 6= 0 , e ϕ ′1(0) = 0,
ϕ ′′1 (x) = 6x cos
1
x
+ 4 sen
1
x
−
1
x
cos
1
x
, x 6= 0 ,
temos que g1 e ϕ1 sa˜o de classe C1, mas na˜o sa˜o 2−vezes deriva´veis no
ponto zero, pois na˜o existem lim
x→0
g ′1(x) − g
′
1(0)
x− 0
e lim
x→0
ϕ ′1(x) −ϕ
′
1(0)
x− 0
.
Caso geral: Suponhamos que as afirmac¸o˜es feitas sejam va´lidas para fn,
hn, gn e ϕn.
Sendo
f ′n+1(x) = (2n+ 2)x
2n+1 sen
1
x
− x2n cos
1
x
, x 6= 0, e f ′n+1(0) = 0 ,
temos que
f ′n+1(x) = (2n+ 2)gn(x) − hn(x) para todo x ∈ R .
Como as func¸o˜es gn e hn sa˜o n−vezes deriva´veis na reta, mas a derivada
de ordem n de hn na˜o e´ contı´nua na origem e a derivada da func¸a˜o gn e´
Instituto de Matema´tica - UFF 245
Ana´lise na Reta
contı´nua em R, temos que fn+1 e´ (n+ 1)−vezes deriva´vel em R, mas sua
derivada de ordem n+ 1 na˜o e´ contı´nua no ponto 0.
De modo ana´logo, temos que:
h ′n+1(x) = (2n+ 2)x
2n+1 cos
1
x
+ x2n sen
1
x
, x 6= 0 , e h ′n+1(0) = 0
ou seja,
h ′n+1(x) = (2n+ 2)ϕn(x) + fn(x) para todo x ∈ R .
Logo, hn+1 e´ (n + 1)−vezes deriva´vel em R, pois ϕn e fn sa˜o n−vezes
deriva´veis em R, mas h(n+1)n+1 na˜o e´ contı´nua no ponto zero, ja´ que f(n)n na˜o
e´ contı´nua no ponto zero e ϕ(n)ne´ contı´nua em toda a reta.
• Sendo
g ′n+1(x) = (2n+ 3)x
2n+2 sen
1
x
− x2n+1 cos
1
x
, x 6= 0 , e g ′n+1(0) = 0 ,
temos que
g ′n+1(x) = (2n+ 3)fn+1(x) −ϕn(x) para todo x ∈ R .
Como ϕn ∈ Cn e fn+1 ∈ Cn, pois fn+1 e´ (n + 1)−vezes deriva´vel em
R, temos que gn+1 ∈ Cn+1, mas gn+1 na˜o e´ (n + 2)−vezes deriva´vel no
ponto zero, pois ϕn na˜o e´ (n+ 1)−vezes deriva´vel no ponto zero e fn+1 e´
(n+ 1)−vezes deriva´vel em R.
De modo ana´logo, temos que
ϕ ′n+1(x) = (2n+ 3)x
2n+2 cos
1
x
+ x2n+1 sen
1
x
, x 6= 0 , e ϕ ′n+1(0) = 0 ,
ou seja,
ϕ ′n+1(x) = (2n+ 3)hn+1(x) + gn(x) .
Logo, ϕn+1 ∈ Cn+1, pois hn+1, gn ∈ Cn , mas na˜o e´ (n+2)−vezes deriva´vel
no ponto zero, pois gn na˜o e´ (n+ 1)−vezes deriva´vel no ponto 0 e hn+1 e´
(n+ 1)−vezes deriva´vel em R.�
Definic¸a˜o 3.4 Dizemos que f : I −→ R e´ de classe C∞ em I quando
f ∈ Cn para todo n = 0, 1, 2, . . . ,ou seja, pode-se derivar f tantas vezes
quantas se deseje, em todos os pontos do intervalo I.
Exemplo 3.3
• Todo polinoˆmio e´ uma func¸a˜o C∞ em R.
J. Delgado - K. Frensel246
Fo´rmula de Taylor
• Uma func¸a˜o racional, quociente de dois polinoˆmios, e´ de classe C∞ em
todo intervalo onde e´ definida.
• As func¸o˜es trigonome´tricas, a func¸a˜o logaritmica e a func¸a˜o exponencial
sa˜o de classe C∞ em cada intervalo onde sa˜o definidas.�
Exemplo 3.4 A func¸a˜o f : R −→ R, f(x) =
e
− 1
x2 se x 6= 0
0 se x = 0
e´ de
classe C∞.
´E claro que existem as derivadas de todas as ordens num ponto x 6= 0.
Vamos provar que existe f(n)(0) para todo n ∈ N.
Afirmac¸a˜o: Para cada n ∈ N, fn(x) = pn
(
1
x
)
e
− 1
x2 , x 6= 0, onde pn(x) e´
um polinoˆmio.
• Para n = 1, f ′(x) = 2
x3
e
− 1
x2 = p1
(
1
x
)
e
− 1
x2 , x 6= 0, onde p1(y) = 2y3.
• Suponha que f(n)(x) = pn
(
1
x
)
e
− 1
x2 , x 6= 0, onde
pn(y) = aky
k + . . .+ a1y+ a0
e´ um polinoˆmio, ou seja,
f(n)(x) =
(
ak
xk
+ . . .+
a1
x
+ a0
)
e
− 1
x2 , x 6= 0.
Enta˜o, para x 6= 0,
f(n+1)(x) =
(
−
kak
xk+1
− . . .−
a1
x2
)
e−1/x
2
+
2
x3
(
ak
xk
+ . . .+
a1
x
+ a0
)
e−1/x
2
= pn+1
(
1
x
)
e−1/x
2
,
onde pn+1(y) = −kakyk+1 − . . .− a1y2 + 2akyk+3 + . . .+ 2a1y4 + 2a0y3 , e´
um polinoˆmio de grau k+ 3.
Afirmac¸a˜o: f(n)(0) existe e e´ igual a zero para todo n ∈ N.
• Fazendo y = 1
x
, temos que
lim
x→0±
f(x) − f(0)
x− 0
= lim
x→0±
1/x
e1/x
2 = lim
x→±∞ yey2 .
Logo, f ′(0) existe e e´ igual a zero, pois f ′(0+) = f ′(0−) = 0.
Instituto de Matema´tica - UFF 247
Ana´lise na Reta
• Suponhamos que f(n)(0) existe e e´ igual a zero.
Como f(n)(x) = p
(
1
x
)
e−1/x
2
, x 6= 0 , para algum polinoˆmio p, fazendo
y =
1
x
, obtemos que
lim
x→0±
f(n)(x) − f(n)(0)
x− 0
= lim
x→0±
1
x
p
(
1
x
)
e−1/x
2
= lim
y→±∞ yp(y)ey2 = 0 .
Logo, f(n+1)(0+) = f(n+1)(0−) = 0. Enta˜o, f(n+1)(0) existe e e´ igual a zero.�
• Quando f e´ deriva´vel num ponto a,
f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+ r(h) , onde lim
h→0
r(h)
h
= 0 ,
ou seja, o resto r(h) e´ um infinite´simo de ordem maior do que 1 em relac¸a˜o
a` h.
Mostraremos que quando f e´ n−vezes deriva´vel no ponto a, existe
um polinoˆmio p de grau ≤ n, polinoˆmio de Taylor de f no ponto a, tal que
f(a+ h) = p(h) + r(h) , onde lim
h→0
r(h)
hn
= 0 ,
ou seja, o resto r(h) e´ um infinite´simo de ordem superior a n em relac¸a˜o
a h.
Isto e´, uma func¸a˜o n−vezes deriva´vel num ponto pode ser aproxi-
mada por um polinoˆmio de grau ≤ n na vizinhanc¸a daquele ponto.
No caso n = 1, a existeˆncia de um polinoˆmio p(h) = f(a) + Lh de
grau ≤ 1 tal que lim
h→0
r(h)
h
= 0, onde r(h) = f(a+h)−p(h), e´ uma condic¸a˜o
necessa´ria e suficiente para que f seja deriva´vel no ponto a.
Mas, quando n > 1, a existeˆncia de um polinoˆmio p(h) de grau
≤ n tal que lim
h→0
r(h)
hn
= 0, onde r(h) = f(a + h) − p(h), decorre de f ser
n−vezes deriva´vel no ponto a, mas na˜o e´ suficiente para garantir que f
seja n−vezes deriva´vel no ponto a.
Exemplo 3.5 Seja f : R −→ R definida por
f(x) =
1+ x+ (x− a)
2 + (x− a)3 sen
1
x− a
, se x 6= a
1+ a , se x = a .
J. Delgado - K. Frensel248
Fo´rmula de Taylor
Enta˜o,
f(a+ h) = 1+ a+ h+ h2 + h3 sen
1
h
, h 6= 0 ,
ou seja,
f(a+ h) = p(h) + r(h) ,
onde p(h) = 1 + a + h + h2 e´ um polinoˆmio de grau 2 e o resto
r(h) = h3 sen
1
h
cumpre a condic¸a˜o lim
h→0
r(h)
h2
= 0.
Temos que f e´ deriva´vel em toda a reta com
• f ′(x) = 1+ 2(x− a) + 3(x− a)2 sen 1
x− a
− (x− a) cos
1
x− a
, para x 6= a
e
• f ′(a) = lim
x→a f(x) − f(a)x− a = limx→a
(x− a) + (x− a)2 + (x− a)3 sen
1
x− a
x− a
= lim
x→a 1+ (x− a) + (x− a)2 sen 1x− a = 1 ,
mas f na˜o e´ duas vezes deriva´vel no ponto a, pois na˜o existe
lim
x→0
f ′(x) − f ′(a)
x− a
= lim
x→a
[
2+ 3(x− a) sen
1
x− a
− cos
1
x− a
]
.
�
Observac¸a˜o 3.2 Um polinoˆmio de grau ≤ n
p(x) = b0 + b1x+ . . .+ bnx
n
fica determinado quando se conhecem o seu valor e o de suas derivadas
ate´ a ordem n no ponto 0, ou seja, o conhecimento de p(0), p ′(0),. . .,p(n)(0)
determina os valores de b0, b1, . . . , bn.
De fato, p(0) = b0, p ′(0) = b1, p ′′(0) = 2 !b2,. . .,p(n)(0) = n !bn, ou seja,
bj =
p(j)
j !
, j = 0, 1, . . . , n.
Definic¸a˜o 3.5 Se f : I −→ R e´ n−vezes deriva´vel no ponto a ∈ I, o
polinoˆmio de grau ≤ n
p(h) = f(a) + f ′(a)h+
f ′′(a)
2 !
h2 + . . .+
f(n)(a)
n !
hn
e´ o polinoˆmio de Taylor de ordem n de f no ponto a.
Instituto de Matema´tica - UFF 249
Ana´lise na Reta
Observac¸a˜o 3.3 O polinoˆmio de Taylor de ordem n de f no ponto a
e´ o u´nico polinoˆmio p de grau ≤ n cujas derivadas p(0), p ′(0),. . .,p(n)(0)
no ponto 0 coincidem com as derivadas correspondentes de f no ponto
a, pois, nesse caso o coeficiente de ordem j de p e´ p
(j)(0)
j !
=
f(j)(a)
j !
,
j = 0, 1, . . . , n.
Lema 3.1 Seja r : I −→ R uma func¸a˜o n−vezes deriva´vel, n ≥ 1, no
ponto 0 ∈ I. Enta˜o,
r(0) = r ′(0) = . . . = r(n)(0) = 0⇐⇒ lim
x→0
r(x)
xn
= 0 .
Prova.
(=⇒) Mostraremos, por induc¸a˜o sobre n, que se r e´ n−vezes deriva´vel,
n ≥ 1, no ponto 0 ∈ I e r(0) = r ′(0) = . . . = r(n)(0) = 0, enta˜o lim
x→0
r(x)
xn
= 0.
Caso n = 1: Se r(0) = r ′(0) = 0, enta˜o
lim
x→0
r(x)
x
= lim
x→0
r(x) − r(0)
x− 0
= r ′(0) = 0 .
Caso geral: Suponhamos o resultado va´lido para n− 1, n ≥ 2.
Seja r : I −→ R n−vezes deriva´vel no ponto 0 ∈ I com r(0) = r ′(0) =
. . . = r(n)(0) = 0.
Enta˜o, a hipo´tese de induc¸a˜o, aplicada a r ′, nos da´ que lim
x→0
r ′(x)
xn−1
= 0.
Logo, dado ε > 0, existe δ > 0, tal que
x ∈ I , 0 < |x| < δ =⇒ ∣∣∣∣r ′(x)xn−1
∣∣∣∣ < ε .
Como r e´ pelo menos uma vez deriva´vel numa vizinhanc¸a do ponto zero,
pois n ≥ 2, existe 0 < δ ′ < δ, tal que r e´ deriva´vel em I ∩ (−δ ′, δ ′).
Enta˜o, pelo teorema do valor me´dio, para cada 0 < |x| < δ ′, x ∈ I, existe
cx ∈ I, 0 < |cx| < |x|, tal que
r(x) = r(x) − r(0) = r ′(cx)x .
Logo, ∣∣∣∣r(x)xn
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣r ′(cx)xn−1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣r ′(cx)cn−1x
∣∣∣∣ · ∣∣∣cxx ∣∣∣n−1 < ε .
J. Delgado - K. Frensel250
Fo´rmula de Taylor
Provamos, assim, que dado ε > 0 existe δ ′ > 0 tal que
x ∈ I, 0 < |x| < δ ′ =⇒ ∣∣∣∣r(x)xn
∣∣∣∣ < ε .
Logo, lim
x→0
r(x)
xn
= 0.
(⇐=) Mostraremos, agora, por induc¸a˜o, que se r : I −→ R e´ n−vezes
deriva´vel, n ≥ 1, no ponto 0 ∈ I e lim
x→0
r(x)
xn
= 0, enta˜o r(0) = r ′(0) =
r ′′(0) = . . . = r(n)(0) = 0 .
Caso n = 1: Se lim
x→0
r(x)
x
= 0, enta˜o
r(0) = lim
x→0 r(x) = limx→0
r(x)
x
x = lim
x→0
r(x)
x
lim
x→0 x = 0 ,
e r ′(0) = lim
x→0
r(x) − r(0)
x− 0
= lim
x→0
r(x)
x
= 0 .
Caso geral: Suponhamos o resultado va´lido paran− 1, n ≥ 2, e conside-
remos uma func¸a˜o r : I −→ R n−vezes deriva´vel no ponto 0 ∈ I tal que
lim
x→0
r(x)
xn
= 0.
Seja ϕ : I −→ R definida por ϕ(x) = r(x) − r(n)(0)
n !
xn .
Enta˜o, ϕ e´ n−vezes deriva´vel no ponto 0 ∈ I e
lim
x→0
ϕ(x)
xn−1
= lim
x→0
[
r(x)
xn
x−
r(n)(0)
n!
x
]
= 0 .
Pela hipo´tese de induc¸a˜o, temos que
ϕ(0) = ϕ ′(0) = . . . = ϕ(n−1)(0) = 0 .
Enta˜o, r(0) = 0 e como
ϕ(k)(x) = r(k)(x) −
r(n)(0)
n !
n (n− 1) . . . (n− (k− 1)) xn−k ,
para todo x ∈ I e k = 1, 2, . . . , n, temos r(j)(0) = 0, para todo
j = 1, . . . , n− 1, e ϕ(n)(0) = r(n)(0) −
r(n)(0)n !
n !
= 0 .
Logo, pela parte do lema ja´ demonstrada, temos que lim
x→0
ϕ(x)
xn
= 0, ja´ que
ϕ(0) = ϕ ′(0) = . . . = ϕ(n−1)(0) = ϕ(n)(0) = 0 .
Instituto de Matema´tica - UFF 251
Ana´lise na Reta
Enta˜o, como lim
x→0
r(x)
xn
= 0, temos que
r(n)(0)
n !
= lim
x→0
r(n)(0)
n !
xn
xn
= lim
x→0
(
r(x)
xn
−
ϕ(x)
xn
)
= lim
x→0
r(x)
xn
− lim
x→0
ϕ(x)
xn
= 0 ,
ou seja, r(n)(0) = 0, o que completa a demonstrac¸a˜o.�
• Sejam f : I −→ R uma func¸a˜o definida no intervalo I, a ∈ I e p : R −→ R
um polinoˆmio. Se fizermos
f(a+ h) = p(h) + r(h) ,
obtemos uma func¸a˜o r : J −→ R definida no intervalo J = −a + I = {h ∈
R |a+ h ∈ I} que conte´m o ponto 0.
Como p ∈ C∞, temos que f e´ n−vezes deriva´vel no ponto a se, e so´
se, r e´ n−vezes deriva´vel no ponto 0.
Suponhamos que f e´ n−vezes deriva´vel no ponto a. Segue-se do
lema anterior, que lim
h→0
r(h)
hn
= 0 se, e so´ se, r(j)(0) = 0 , 0 ≤ j ≤ n, ou seja,
lim
h→0
r(h)
hn
= 0 se, e so´ se, f(j)(a) = p(j)(0), para todo j = 0, 1, . . . , n.
Se, ale´m disso, impusermos que grau(p) ≤ n, temos que lim
h→0
r(h)
hn
=
0 se, e so´ se, p e´ o polinoˆmio de Taylor de ordem n para f no ponto a.
Com estas observac¸o˜es, provamos o seguinte:
Teorema 3.1 (Fo´rmula de Taylor infinitesimal)
Seja f : I −→ R uma func¸a˜o n−vezes deriva´vel no ponto a ∈ I.
Enta˜o, para todo h tal que a+ h ∈ I, tem-se
f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+ . . .+
f(n)(a)
n !
hn + r(h)
onde lim
h→0
r(h)
hn
= 0 .
Ale´m disso, p(h) =
n∑
j=0
f(j)(a)
j !
hj e´ o u´nico polinoˆmio de grau ≤ n tal que
f(a+ h) = p(h) + r(h) , com lim
h→0
r(h)
hn
= 0
J. Delgado - K. Frensel252
Aplicac¸o˜es da fo´rmula de Taylor
• Este teorema nos diz que o polinoˆmio de Taylor de ordem n para f
no ponto a aproxima f, numa vizinhanc¸a do ponto a, a menos de um
infinite´simo de ordem superior a n.
Exemplo 3.6 Seja p : R −→ R um polinoˆmio de grau ≤ n. Dados
a, h ∈ R, a fo´rmula de Taylor infinitesimal nos diz que
p(a+ h) = p(a) + p ′(a)h+ . . .+
p(n)(a)
n !
hn + r(h) ,
onde lim
h→0
r(h)
hn
= 0.
Como r e´ um polinoˆmio de grau ≤ n e r(j)(0) = 0, 0 ≤ j ≤ n, temos que
r = 0, ou seja,
p(a+ h) = p(a) + p ′(a)h+ . . .+
p(n)(a)
n !
hn ,
quaisquer que sejam a, h ∈ R.
Poderı´amos, tambe´m, chegar ao mesmo resultado observando que q(h) =
p(a + h) e´ um polinoˆmio de grau ≤ n tal que r(h) = p(a + h) − q(h) = 0
satisfaz, trivialmente, a condic¸a˜o lim
h→0
r(h)
hn
= 0. Enta˜o, pela unicidade do
polinoˆmio de Taylor, temos que
p(a+ h) = q(h) = p(a) + p ′(a)h+ . . .+
p(n)(a)
n !
hn .
�
4. Aplicac¸o˜es da fo´rmula de Taylor
4.1 Ma´ximos e mı´nimos locais
Seja f : I −→ R uma func¸a˜o n−vezes deriva´vel no ponto a perten-
cente ao interior do intervalo I. Dizemos que a e´ um ponto crı´tico de f
quando f ′(a) = 0.
Suponhamos que f ′(a) = f ′′(a) = . . . = f(n−1)(a) = 0 , mas
f(n)(a) 6= 0. Enta˜o:
(1) Se n e´ par, enta˜o a e´ ponto de ma´ximo local quando f(n)(a) < 0, e´ um
Instituto de Matema´tica - UFF 253
Ana´lise na Reta
ponto de mı´nimo local quando f(n)(a) > 0.
(2) Se n e´ ı´mpar, o ponto a na˜o e´ de ma´ximo nem de mı´nimo local.
De fato, pela fo´rmula de Taylor infinitesimal, temos que
f(a+ h) = f(a) +
(
f(n)(a)
n !
+ ρ(h)
)
hn ,
onde ρ(0) = 0 e ρ(h) = r(h)
hn
se h 6= 0, a+ h ∈ I.
Como lim
h→0 ρ(h) = 0 e f(n)(a) 6= 0, temos que, para h suficientemente
peqeno, o sinal de f
(n)
n !
+ ρ(h) e´ o mesmo de f
(n)(a)
n !
.
Enta˜o, se n e´ par e f(n)(a) > 0, temos que f(a+ h) > f(a) para todo
h 6= 0 pertencente a uma vizinhanc¸a do poto zero, pois hn 6= 0 para todo
h 6= 0. Ou seja, a e´ um ponto de mı´nimo local estrito.
E, se n e´ par e f(n)(a) < 0, temos que f(a + h) < f(a) para todo
h 6= 0 suficientemente pequeno, ja´ que hn > 0 para todo h 6= 0. Ou seja,
a e´ um ponto de ma´ximo local estrito.
Agora, se n e´ ı´mpar e f(n)(a) > 0, como existe δ > 0 tal que (a −
δ, a+ δ) ⊂ I e f
(n)(a)
n !
+ ρ(h) > 0 para todo h ∈ (−δ, δ) − {0}, temos que
f(a+ h) − f(a) =
(
f(n)(a)
n !
+ ρ(h)
)
hn < 0 , se −δ < h < 0 ,
e
f(a+ h) − f(a) =
(
f(n)(a)
n !
+ ρ(h)
)
hn > 0 , se 0 < h < δ .
Ou seja, a na˜o e´ ponto de ma´ximo nem de mı´nimo local de f.
De modo ana´logo, podemos provar que se n e´ ı´mpar e f(n)(a) < 0,
enta˜o a na˜o e´ ponto de ma´ximo nem de mı´nimo local de f.
• Em particular, temos que se f : I −→ R e´ n−vezes deriva´vel no ponto
a ∈ int I, f ′(a) = . . . = f(n−1)(a) = 0 e f(n)(a) 6= 0, enta˜o existe δ > 0 tal
que f(a+ h) 6= f(a) para todo h ∈ (−δ, δ) , h 6= 0.
Como consequ¨eˆncia, temos que se (xn) e´ uma sequ¨eˆncia de pontos
de X − {a} tal que lim
n→+∞ xn = a e f(xn) = f(a) para todo n ∈ N, enta˜o
J. Delgado - K. Frensel254
Aplicac¸o˜es da fo´rmula de Taylor
todas as derivadas de f que existam no ponto a sa˜o nulas.
Exemplo 4.1 A func¸a˜o f : R −→ R, f(x) = xn, tem um ponto de mı´nimo
no ponto zero se n e´ par, pois f ′(0) = . . . = f(n−1)(0) = 0 e f(n)(0) = n ! , e
e´ crescente se n e´ ı´mpar, pois f ′(x) = nxn−1 > 0 para todo x 6= 0.�
4.2 Indeterminac¸a˜o do tipo 0
0
.
Sejam f, g : I −→ R func¸o˜es n−vezes deriva´veis no ponto a ∈ I. Su-
ponhamos que f(a) = f ′(a) = . . . = f(n−1)(a) = 0 e g(a) = g ′(a) = . . . =
g(n−1)(a) = 0, mas f(n)(a) 6= 0 ou g(n)(a) 6= 0. Ale´m disso, suponhamos
que g(x) 6= 0 para todo x 6= a suficientemente pro´ximo de a. Enta˜o,
lim
x→a f(x)g(x) = f
(n)(a)
g(n)(a)
, se g(n)(a) 6= 0 ,
e
lim
x→a
∣∣∣∣ f(x)g(x)
∣∣∣∣ = +∞ , se g(n)(a) = 0 ,
Para provar este resultado, basta observar, fazendo h = (x−a), que
f(x)
g(x)
=
f(a+ h)
g(a+ h)
=
(
f(n)(a)
n !
+ ρ(h)
)
hn(
g(n)(a)
n !
+ σ(h)
)
hn
=
f(n)(a) + n ! ρ(h)
g(n)(a) + n !σ(h)
, onde lim
h→0 ρ(h) = limh→0σ(h) = 0 .
• Vejamos agora outra fo´rmula de Taylor, que nos da´ uma estimativa da
diferenc¸a f(a+ h) − f(a) para um valor fixo de h, isto e´, sem supor h −→
0. A fo´rmula de Taylor que iremos obter nos da´ uma generalizac¸a˜o do
Teorema do Valor me´dio para func¸o˜es n−vezes deriva´veis.
Teorema 4.1 (Fo´rmula de Taylor com resto de Lagrange)
Seja f : [a, b] −→ R uma func¸a˜o de classe Cn−1, n−vezes deriva´vel no
intervalo aberto (a, b). Enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que
f(b) = f(a) + f ′(a) (b− a) + . . .+
f(n−1)(a)
(n− 1) !
(b− a)n−1 +
f(n)(c)
n !
(b− a)n
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Ana´lise na Reta
Pondo b = a+ h, isto equivale a dizer que existe θ ∈ (0, 1) tal que
f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+ . . .+
f(n−1)(a)
n !
hn−1 +
f(n)(a+ θh)
n !
hn
Prova.
Seja ϕ : [a, b] −→ R definida por
ϕ(x) = f(b) − f(x) − f ′(x) (b− x) − . . .−
f(n−1)(x)
(n− 1) !
(b− x)n−1 −
k
n !
(b− x)n ,
onde a constante k e´ escolhida de modo que ϕ(a) = 0.
Enta˜o, ϕ e´ contı´nua em [a, b], deriva´vel em (a, b), ϕ(a) = ϕ(b) = 0.
Ale´m disso, temos que
ϕ ′(x) = −f ′(x) +
n∑
j=2
(
−
f(j)(x)
(j− 1) !
(b− x)j−1 +
f(j−1)(x)
(j− 2) !
(b− x)j−2
)
+
k
(n− 1) !
(b− x)n−1
= −f ′(x) −
n−1∑
j=1
f(j+1)(x)
j !
(b− x)j +
n−2∑
j=0
f(j+1)(x)
j !
(b−x)j + k
(b− x)n−1
(n− 1) !
=
k− f(n)(x)
(n− 1) !
(b− x)n−1 .
Pelo teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que ϕ ′(c) = 0, ou seja, k =
f(n)(c) .
Enta˜o, como ϕ(a) = 0, temos que
f(b) = f(a) + f ′(a)(b− a) + . . .+
f(n−1)(a)
(n− 1) !
(b− a)n−1 +
f(n)(c)
n !
(b− a)n .
�
4.3 Func¸o˜es convexas
Dizemos que uma func¸a˜o f : I −→ R, definida num intervalo I, e´
convexa, quando para a < x < b arbitra´rios em I, o ponto (x, f(x)) do
gra´fico de f esta´ situado abaixo da secante que liga os pontos (a, f(a)) e
(b, f(b)).
Como a equac¸a˜o da reta secante e´
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Aplicac¸o˜es da fo´rmula de Taylor
y =
f(b) − f(a)
b− a
(x− a) + f(a) , ou y =
f(b) − f(a)
b− a
(x− b) + f(b) ,
dizer que, para a < x < b o ponto (x, f(x)) do gra´fico de f esta´ abaixo da
secante, significa que
f(x) ≤ f(b) − f(a)
b− a
(x− a) + f(a) ,
e
f(x) ≤ f(b) − f(a)
b− a
(x− b) + f(b) ,
ou seja,
f(x) − f(a)
x− a
≤ f(b) − f(a)
b− a
≤ f(b) − f(x)
b− x
Na realidade, basta que uma dessas desigualdades ocorra para que
a func¸a˜o seja convexa.
Teorema 4.2 Seja f : I −→ R uma func¸a˜o duas vezes deriva´vel no
intervalo aberto I. Enta˜o, f e´ convexa se, e so´ se, f ′′(x) ≥ 0 para todo
x ∈ I.
Prova.
(⇐=) Suponhamos que f ′′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I.
Sejam a, a+ h ∈ I, h 6= 0. Enta˜o, pelo teorema anterior, existe c ∈ I entre
a e a+ h tal que f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+ f
′′(c)
2 !
h2.
Como f ′′(a) ≥ 0, temos que
f(a+ h) − f(a)
h
≥ f ′(a) se h > 0,
e
f(a+ h) − f(a)
h
≤ f ′(a) se h < 0.
Logo, se a < x < b, a, b, x ∈ I, temos que
f(a) − f(x)
a− x
≤ f ′(x) ≤ f(b) − f(x)
b− x
,
isto e´, f(x) − f(a)
x− a
≤ f(b) − f(x)
b− x
.
Somando (f(x) − f(a))(x− a) a ambos os membros da desigualdade,
(f(x) − f(a))(b− x) ≤ (f(b) − f(x))(x− a) ,
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obtemos que
(f(x) − f(a))(b− a) ≤ (f(b) − f(a))(x− a) ,
ou seja,
f(x) − f(a)
x− a
≤ f(b) − f(a)
b− a
,
Logo, f e´ convexa no intervalo I.
(=⇒) Suponhamos que f e´ convexa em I. Enta˜o, dados a < x < b em I,
temos que
f(x) − f(a)
x− a
≤ f(b) − f(a)
b− a
≤ f(x) − f(b)
x− b
.
Fazendo x −→ a na primeira desigualdade e x −→ b na segunda, obte-
mos que:
f ′(a) ≤ f(b) − f(a)
b− a
≤ f ′(b) ,
ou seja, f ′(a) ≤ f ′(b).
Como f ′ e´ na˜o-decrescente e deriva´vel em I, temos que f ′′(x) ≥ 0 para
todo x ∈ I.�
Observac¸a˜o 4.1 Tomando a desigualdade estrita < em vez de ≤ 0 na
definic¸a˜o de func¸a˜o convexa, obtemos o conceito de func¸a˜o estritamente
convexa.
Usando a mesma demonstrac¸a˜o que fizemos acima, podemos pro-
var que se f : I −→ R e´ duas vezes deriva´vel no intervalo aberto I e
f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I, enta˜o f e´ estritamente convexa.
Mas a recı´proca nem sempre e´ verdadeira.
Exemplo 4.2 A func¸a˜o f : R −→ R, f(x) = x4, e´ estritamente convexa,
pois se a < x < b, enta˜o
x4 − a4
x− a
=
(x2 − a2)(x2 + a2)
x− a
= (x+ a)(x2 + a2)
< (b+ a)(b2 + a2) =
b4 − a4
b− a
,
mas f ′′(x) = 12x2 na˜o e´ positiva em todo x, pois f ′′(0) = 0.�
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Aplicac¸o˜es da fo´rmula de Taylor
4.4 Se´rie de Taylor — func¸o˜es analı´ticas
Seja f : I −→ R uma func¸a˜o de classe C∞ no intervalo I. Enta˜o,
dados a ∈ int I e a+ h ∈ I, podemos escrever, para todo n ∈ N,
f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+ . . .+
f(n+1)(a)
(n− 1)!
hn−1 + rn(h) ,
onde rn(h) =
f(n)(a+ θnh)
n !
hn, com 0 < θn < 1.
A se´rie
∞∑
n=0
f(n)(a)
n !
hn
chama-se se´rie de Taylor da func¸a˜o f em torno do ponto a.
Observac¸a˜o 4.2 Toda func¸a˜o C∞ definida num intervalo I possui uma
se´rie de Taylor em torno de cada ponto a ∈ int I. Mas tal se´rie pode con-
vergir ou divergir e, mesmo quando converge, sua soma pode ser diferente
de f(a+ h).
Definic¸a˜o 4.1 Dizemos que uma func¸a˜o f : I −→ R de classe C∞ no
intervalo aberto I e´ analı´tica quando, para cada a ∈ I existe εa > 0 tal
que a se´rie de Taylor
∞∑
n=0
f(n)(a)
n !
hn converge para f(a + h) para todo
h ∈ (−εa, εa).
Observac¸a˜o 4.3 A se´rie de Taylor
∞∑
n=0
f(n)(a)
n !
hn converge para f(a+h)
se, e so´ se, lim
n→+∞ rn(h) = 0.
Exemplo 4.3 Todo polinoˆmio p : R −→ R e´ uma func¸a˜o analı´tica, pois,
se p tem grau ≤ n, enta˜o
p(a+ h) = p(a) + p ′(a)h+ . . .+
p(n)(a)
n !
hn =
∞∑
j=0
p(j)(a)
j !
hj ,
para todo a, h ∈ R.�
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Ana´lise na Reta
Observac¸a˜o 4.4 Costuma-se usar a unicidade do polinoˆmio de Taylor
para se obter as derivadas de ordem superior de uma func¸a˜o f.
Exemplo 4.4 Seja a func¸a˜o racional f : R −→ R definida por f(x) =
1
1+ x2
. Enta˜o, f ∈ C∞ e, como
1− yn
1− y
= 1+ y+ y2 + . . .+ yn−1 ,
ou seja,
1
1− y
= 1+ y+ . . .+ yn−1 +
yn
1− y
,
para todo y 6= 1, temos, fazendo 1+ x2 = 1− (−x2), que
f(x) = f(x+ 0) =
1
1+ x2
= 1− x2 + x4 − x6 + . . .+ (−1)n−1x2n−2 +
(−1)n x2n
1+ x2
,
para todo x ∈ R e n ∈ N.
Sejam p(x) = 1 − x2 + x4 − x6 + . . . + (−1)n−1x2n−2 e r(x) = (−1)
n x2n
1+ x2
.
Como p e´ um polinoˆmio de grau ≤ 2n − 1 e lim
x→0
r(x)
x2n−1
= lim
x→0
(−1)n x
1+ x2
= 0,
temos que p e´ o polinoˆmio de Taylor de ordem 2n− 1 de f no ponto zero.
Logo, f(2n−1)(0) = 0 e f(2n−2)(0) = (−1)n−1(2n− 2) ! para todo n ∈ N.
Ale´m disso, como r2n−1(x) = r2n(x) =
(−1)n x2n
1+ x2
, temos que lim
n→0 rn(x) = 0
se, e so´ se, lim
n→+∞ rn(x) = 0 se, e so´ se, limn→+∞ r2n−1(x) = limn→+∞ r2n(x) = 0.
Logo, lim
n→+∞ rn(x) = 0 se, e so´ se, |x| < 1.
Enta˜o a se´rie de Taylor de f em torno de zero,
∞∑
n=0
(−1)nx2n , converge
para f(x) se |x| < 1 e diverge se |x| ≥ 1, pois, neste caso, o termo geral
(−1)nx2n na˜o tende a zero quando n −→∞.
Apesar disto, como veremos depois, f e´ analı´tica em toda a reta. O que
acontece e´ que a se´rie de Taylor de f em torno de um ponto a 6= 0 e´
diferente da se´rie acima.�
Exemplo 4.5 Seja f : R −→ R a func¸a˜o f(x) =
e−1/x
2
se x 6= 0
0 se x = 0 .
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Aplicac¸o˜es da fo´rmula de Taylor
Ja´ vimos, no exemplo —, que f e´ de classe C∞ e que f(n)(0) = 0 para todo
n ∈ N.
Logo, a se´rie de Taylor
∞∑
n=0
f(n)(0)
n !
xn de f em torno do ponto 0 e´ identi-
camente nula e, portanto, converge para zero, para todo x ∈ R. Como
f(x) 6= 0 para todo x 6= 0, temos que a se´rie de Taylor de f em torno do
ponto 0 na˜o converge para f(x) para todo x 6= 0. Em particular, f na˜o
e´ analı´tica em intervalo algum que conte´m o zero. Mas, como veremos
depois, f e´ analı´tica em (0,∞) e em (−∞, 0).�
Exemplo 4.6 Seja f : R −→ R dada por f(x) = sen x.
Como f(2n+1)(x) = (−1)n cos x e f(2n)(x) = (−1)n sen x, para todo x ∈ R
e n ∈ N, temos que a fo´rmula de Taylor de f com resto de Lagrange em
torno do zero e´
sen x = x−
x3
3 !
+
x5
5 !
+ . . .+
(−1)n x2n+1
(2n+ 1) !
+ r2n+2(x) ,
onde rn(x) =
sen(n)(c)
n !
xn e |c| < |x|.
Logo, |rn(x)| ≤ |x|
n
n !
para x ∈ R e n ∈ N.
Enta˜o, como lim
n→+∞ |x|
n
n !
= 0, temos que lim
n→+∞ rn(x) = 0 para todo x ∈ R.
Ou seja, a se´rie de Taylor da func¸a˜o seno em torno do ponto 0 converge
para sen x, para todo x ∈ R.
De modo ana´logo, podemos provar que a se´rie de Taylor
sena+ h cosa−
h2
2 !
sena−
h3
3 !
cosa+
h4
4 !
sena+ . . .
da func¸a˜o seno em torno de um ponto a ∈ R tambe´m converge para
sen(a + h) para todo h ∈ R, pois o resto rn(h) = sen (n)(c)
n !
hn, onde
c esta´ entre a e a + h, da fo´rmula de Taylor com resto de Lagrange da
func¸a˜o seno em torno do ponto a, tambe´m converge para zero quando
n→ +∞ para todo h ∈ R.
Assim, a func¸a˜o seno e´ analı´tica em toda a reta e sua se´rie de Taylor em
torno de qualquer ponto a converge para sen(a+ h) para todo h ∈ R.
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Ana´lisena Reta
De modo ana´logo, podemos provar que o mesmo vale para a func¸a˜o cos-
seno.�
Exemplo 4.7 Seja f : R −→ R a func¸a˜o exponencial f(x) = ex. Como
f(n)(x) = ex para todo x ∈ R e n ∈ N, temos que a fo´rmula de Taylor com
resto de Lagrange de f em torno de um ponto a ∈ R e´ dada por
ea+h = ea + ea h+ ea
h2
2 !
+ . . .+ ea
hn
n !
+ rn+1(h) ,
onde rn+1(h) =
ecn hn+1
n !
, pra lgum cn entre a e a+ h.
Como ecn < ea+|h| e lim
n→+∞ h
n+1
(n+ 1)!
= 0, temos que lim
n→+∞ rn+1(h) = 0.
Logo, a se´rie de Taylor
∞∑
n=0
eahn
n !
da func¸a˜o exponencial em torno do ponto
a converge para ea+h para todo h ∈ R.
Assim, a func¸a˜o exponencial e´ analı´tica em toda a reta e
ex =
∞∑
n=0
ea
n !
(x− a)n
para todo x ∈ R e a ∈ R.�
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