Numérico PRec 98

Prévia do material em texto

C�al
ulo Num�eri
o
Prova REC { 17/02/1998 { www.ime.usp.br/~roma.
Quest~ao 1:
O polino^mio p(x) = x
3
+ 2x
2
+ 1:3125x + 0:28125 tem 3 ra��zes reais. Utilize o M�etodo de
Newton para en
ontrar a maior raiz 
om pre
is~ao pr�e-�xada Æ = 0:001 usando 
omo 
hute
ini
ial x
0
= 0.
Solu�
~ao:
p(x) = x
3
+ 2x
2
+ 1:3125x+ 0:28125 = x
3
+ 2x
2
+
21
16
x+
9
32
:
Ent~ao,
p
0
(x) = 3x
2
+ 4x+
21
16
e p
00
(x) = 6x+ 4:
p
00
(x) = 0() x = �
2
3
(poss��vel ponto de in
ex~ao), e p
0
(x) = 0() (3x+
7
4
)(x+
3
4
) = 0()
x = �
7
12
ou x = �
3
4
. Como p
0
(x) = 3x
2
+ 4x +
21
16
= 3[(x +
2
3
)
2
�
1
144
℄, obtemos a seguinte
gr�a�
a para p
0
.
PSfrag repla
ements
�
3
4
�
2
3
�
7
12
Figura 1: Gr�a�
a da fun�
~ao p
0
.
MAP-2121. Prova REC { 17/02/1998
htt
p:/
/w
ww
.im
e.u
sp
.br
/~r
om
a
2
Temos que x = �
3
4
�e um m�aximo lo
al e x = �
7
12
�e um m��nimo lo
al. Al�em disso, x = �
2
3
�e
um ponto de in
ex~ao.
Avaliando p(x) nos pontos x = �
3
4
, x = �
7
12
e x = 0, temos os valores p(�
3
4
) = 0, p(�
7
12
) < 0
e p(0) > 0, 
om o qual, a gr�a�
a de p �
a
PSfrag repla
ements
�
3
4
�
2
3
�
7
12
Figura 2: Gr�a�
a da fun�
~ao p.
O M�etodo de Newton gera uma seque^n
ia fx
n
g
1
n=0
a partir de
x
n+1
= �(x
n
); 
om �(x) = x�
p(x)
p
0
(x)
:
Apli
ando o m�etodo de Newton, para p, 
om x
0
= 0, temos a seguinte tabela
n x
n
�(x
n
)
0 0.000000 -0.214286
1 -0.214286 -0.352535
2 -0.352535 -0.437190
3 -0.437190
Observa-se que x
1
> x
2
> x
3
, 
om o qual vemos que a seque^n
ia �e de
res
ente. Seja Æ = 0:001.
Apli
ando o M�etodo de Newton 
om pre
is~ao pr�e-�xada, 
onstru��mos a seguinte tabela
n x
n
x
n
� 2Æ �(x
n
� 2Æ) x
n
� 2Æ � �(x
n
� 2Æ)?
0 0.000000 -0.002000 -0.215592 Sim
1 -0.215592 -0.217592 -0.354625 Sim
2 -0.354625 -0.356625 -0.439551 Sim
3 -0.439551 -0.441551 -0.483937 Sim
4 -0.483937 -0.485937 -0.498646 Sim
5 -0.498646 -0.500646 -0.499997 N~ao
MAP-2121. Prova REC { 17/02/1998
htt
p:/
/w
ww
.im
e.u
sp
.br
/~r
om
a
3
Logo, �x � x
5
� Æ = �0:498646� 0:001 = �0:499646.
outros materiais? www.ime.usp.br/~roma
MAP-2121. Prova REC { 17/02/1998
htt
p:/
/w
ww
.im
e.u
sp
.br
/~r
om
a
4
Quest~ao 2:
Seja f de�nida em [�2; 2℄ por
f(x) =
�
0 se �2 � x < 0
x se 0 � x � 2
a) Fa�
a a An�alise Harmo^ni
a de f at�e o harmo^ni
o de ordem 50.
b) Aproxime f por um polino^mio de grau menor ou igual a 3 no intervalo [�2; 2℄ pelo
M�etodo dos M��nimos Quadrados.
Solu�
~ao:
a) Desejamos
f(x) = a
0
+
50
X
n=1
h
a
n
os
�
n�x
L
�
+ b
n
sin
�
n�x
L
�i
Neste 
aso vamos 
onsiderar L = 2. Ent~ao, temos
a
0
=
1
4
Z
2
0
xdx =
1
2
:
a
n
=
1
2
Z
2
0
x 
os
�
n�x
2
�
dx =
2
n
2
�
2
[(�1)
n
� 1℄ =
�
4
n
2
�
2
; n �e impar
0 ; n �e par:
b
n
=
1
2
Z
2
0
x sin
�
n�x
2
�
dx =
2(�1)
n+1
n�
=
�
2
n�
; n �e impar
�
2
n�
; n �e par:
b) Seja P
3
o espa�
o dos polino^mios de grau menor ou igual a 3. Os polino^mios de Legendre
p
0
; p
1
; p
2
; p
3
, onde
p
0
(t) = 1; p
1
(t) = t; p
2
(t) =
3t
2
� 1
2
; p
3
(t) =
5t
3
� 3t
2
formam uma base de P
3
. Al�em disso, satisfazem
hp
i
; p
j
i =
�
0 , se i 6= j
2
2j+1
, se i = j
onde hf; gi =
Z
1
�1
f(t)g(t)dt:
Vamos aproximar f por um polino^mio p 2 P
3
expressado na base fp
0
; p
1
; p
2
; p
3
g. Isto
�e, p tem a forma
p(t) = a
0
p
0
(t) + a
1
p
1
(t) + a
2
p
2
(t) + a
3
p
3
(t); a
i
2 R; i = 0; 1; 2; 3:
MAP-2121. Prova REC { 17/02/1998
htt
p:/
/w
ww
.im
e.u
sp
.br
/~r
om
a
5
Vamos 
al
ular os 
oe�
ientes a
0
; a
1
; a
2
; a
3
usando o M�etodo dos M��nimos Quadrados.
Fazendo uma mudan�
a de vari�avel para [�1; 1℄, temos
x = x(t) = 2t (1)
De�nimos F (t) = f(x(t)); t 2 [�1; 1℄. Assim,
F (t) =
�
0 ; t 2 [�1; 0℄
2t ; t 2 (0; 1℄
Sabemos que
0
B
B
�
hp
0
; p
0
i hp
0
; p
1
i hp
0
; p
2
i hp
0
; p
3
i
hp
1
; p
0
i hp
1
; p
1
i hp
1
; p
2
i hp
1
; p
3
i
hp
2
; p
0
i hp
2
; p
1
i hp
2
; p
2
i hp
2
; p
3
i
hp
3
; p
0
i hp
3
; p
1
i hp
3
; p
2
i hp
3
; p
3
i
1
C
C
A
0
B
B
�
a
0
a
1
a
2
a
3
1
C
C
A
=
0
B
B
�
hp
0
; F i
hp
1
; F i
hp
2
; F i
hp
3
; F i
1
C
C
A
Mas,
hp
0
; F i =
Z
1
�1
F (t)dt = 2
Z
1
0
tdt = 1
hp
1
; F i =
Z
1
�1
tF (t)dt = 2
Z
1
0
t
2
dt =
2
3
hp
2
; F i =
Z
1
�1
3t
2
� 1
2
F (t)dt =
Z
1
0
(3t
3
� t)dt =
1
4
hp
3
; F i =
Z
1
�1
5t
3
� 3t
2
F (t)dt =
Z
1
0
(5t
4
� 3t
2
)dt = 0
Usando as propriedades de ortogonalidade dos polino^mios de Legendre, temos o sistema
0
B
B
�
2 0 0 0
0
2
3
0 0
0 0
2
5
0
0 0 0
2
7
1
C
C
A
0
B
B
�
a
0
a
1
a
2
a
3
1
C
C
A
=
0
B
B
�
1
2
3
1
4
0
1
C
C
A
uja solu�
~ao �e
a
0
=
1
2
; a
1
= 1; a
2
=
5
8
; a
3
= 0
Ent~ao,
P (t) =
1
2
+ t+
5
8
�
3t
2
� 1
2
�
=
15
16
t
2
+ t +
3
16
De (1), temos
t = t(x) =
x
2
Logo, retornando �a vari�avel original x, temos
p(x) = P (t(x)) =
15
64
x
2
+
1
2
x+
3
16
:
MAP-2121. Prova REC { 17/02/1998
htt
p:/
/w
ww
.im
e.u
sp
.br
/~r
om
a
6
outros materiais? www.ime.usp.br/~roma