Numérico P4 96

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C�al
ulo Num�eri
o
Prova 04 { 03/12/1996 { www.ime.usp.br/~roma.
Quest~ao 1.a.
Construa o polino^mio interpolador da tabela:
x 1 2 4 8
f(x) 0 1 2 3
Solu�
~ao:
Para en
ontrar o polino^mio,de grau menor ou igual a 3, que interpola o 
onjunto de dados na
forma de Newton, temos que en
ontrar os valores da tabela de diferen�
as divididas abaixo:
x
i
y
i
= f
0
f
1
f
2
f
3
x
0
= 1 0
f [x
0
; x
1
℄
x
1
= 2 1 f [x
0
; x
1
; x
2
℄
f [x
1
; x
2
℄ f [x
0
; x
1
; x
2
; x
3
℄
x
2
= 4 2 f [x
1
; x
2
; x
3
℄
f [x
2
; x
3
℄
x
3
= 8 3
onde f [x
0
; x
1
℄ = (f [x
1
℄� f [x
0
℄)=(x
1
� x
0
) =
y
1
� y
0
x
1
� x
0
=
�1� 0
2� 1
= 1
f [x
1
; x
2
℄ = (f [x
2
℄� f [x
1
℄)=(x
2
� x
1
) =
y
2
� y
1
x
2
� x
1
=
2� 1
4� 2
= 1=2
f [x
2
; x
3
℄ = (f [x
3
℄� f [x
2
℄)=(x
3
� x
2
) =
y
3
� y
2
x
3
� x
2
=
3� 2
8� 4
= 1=4
f [x
0
; x
1
; x
2
℄ = (f [x
1
; x
2
℄� f [x
0
; x
1
)=(x
2
� x
0
)
1=2� 1
4� 1
= �1=6
f [x
1
; x
2
; x
3
℄ = (f [x
2
; x
3
℄� f [x
1
; x
2
)=(x
3
� x
1
) =
1=4� 1=2
8� 2
= �1=24
f [x
0
; x
1
; x
2
; x
3
℄ = (f [x
1
; x
2
; x
3
℄� f [x
0
; x
1
; x
2
)=(x
3
� x
0
) =
�1=24 + 1=6
8� 1
= 3=168
MAP-2121. Prova 04 { 03/12/1996
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om
a
2
logo:
O polino^mio de grau menor ou igual a 3 dado pela forma de Newton �e:
p
3
(x) = f [x℄ + (x� x
0
)f [x
0
; x
1
℄ + (x� x
0
)(x� x
1
)f [x
0
; x
1
; x
2
℄
+(x� x
0
)(x� x
1
)(x� x
2
)f [x
0
; x
1
; x
2
; x
3
℄
p
3
(x) = 0 + (x� 1)1 + (x� 1)(x� 2)(�1=6) + (x� 1)(x� 2)(x� 3)(3=168)
p
3
(x) = x� 1 + (x� 1)(x� 2)(�1=6) + (x� 1)(x� 2)(x� 3)(3=168)
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3
Quest~ao 1b.
Deseja-se 
onstruir uma tabela da fun�
~ao f(x) = log
2
x =
ln x
ln 2
no intervalo [1,2℄. Qual
deve ser o passo da tabela (diferen�
a entre duas abs
issas 
onse
ut ivas) para que o erro
numa interpola�
~ao \ quadr�ati
a" (que utiliza um polino^mio de grau 2) entre quaisquer tre^s
pontos 
onse
utivos da tabela seja menor que 10
�2
? (isto �e,qual deve ser o passo h para que
jE(x)j � 10
�2
, x
k
� x � x
k
+ 2h, onde x
k
, x
k
+ h e x
k
+ 2h s~ao tre^s pontos 
onse
utivos
quaisquer da tabela). Justi�que sua es
olha.
Solu�
~ao:
Sabemos que o erro numa interpola�
~ao quadr�ati
a est�a dado por
jE(x)j �
j(x� x
i
)(x� x
i+1
)(x� x
i+2
)j
(2 + 1)!
M;
onde x
i
; x
i+1
; x
i+2
s~ao tre^s pontos 
onse
utivos quaissquer e M = max
x2[x
i
;x
i+2
℄
jf
(3)
(x)j
Neste 
aso, jx� x
j
j � 2h; j = i; i+ 1; i+ 2: onde h �e o passo pro
urado.
Assim,
8h
3
max
x2[x
i
;x
i+2
℄
jf
(3)
(x)j
3!
� 10
�2
;
onde f(x) =
lnx
ln 2
; f
0
(x) =
1=x
ln 2
; f
(2)
(x) = �
1
x
2
ln 2
e f
(3)
(x) =
2
x
3
ln 2
x 2 [1; 2℄:
Ent~ao,
max
x2[1;2℄
jf
(3)
(x)j = 2= ln 2;
portanto
h
3
�
10
�2
8
:
6
2
ln 2 ! h �
�
3
8
10
�2
ln 2
�
1=3
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om
a
4
Quest~ao 2.
Utilizando o m�etodo de Simpson para o 
�al
ulo de integrais de�nidas, determinar o valor de
ln 2 
om pre
is~ao 10
�4
.
Sugest~ao: ln(�) =
Z
�
1
dx
x
Solu�
~ao:
Sabe-se que ln(2) =
R
2
1
dx
x
. Para aproximar est�a integral , pelo m�etodo de Simpson, 
om
pre
is~ao 10
�4
, pre
isamos 
al
ular o valor de n, para poder dividir nosso intervalo [1; 2℄ em
2n subintervalos. Para isto usaremos o f�ormula dada para o erro no m�etodo de Simpson,
jE
T
j �
(b� a)
5
2880n
4
max
x2[a;b℄
jf
(4)
(x)j
ent~ao
jE
T
j �
(2� 1)
5
2880n
4
max
x2[1;2℄
jf
(4)
(x)j;
f(x) =
1
x
; f
(1)
= �
1
x
2
; f
(2)
=
2
x
3
; f
(3)
= �
6
x
4
; f
(4)
=
24
x
5
;
om f
(5)
< 0 para x 2 [1; 2℄, portanto f
(4)
�e de
res
ente no intervalo , e atinge seu m�aximo
em x = 1:
f
(4)
(1) = 24:
jE
T
j �
1
2880n
4
:24 � 10
�4
! n
4
�
10
4
120
=
10
3
12
! n � (
250
3
)
1=4
= 3:0213! n = 4:
Logo:
h =
b� a
2n
= 1=8! h = 0:125 x
i
= 1 + ih; i = 0; 1; 2; :::8:
x
i
1 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2.0
f(x
i
) 1 0.89 0.80 0.73 0.67 0.62 0.57 0.53 0.50
ln 2 =
Z
2
1
dx
x
�
0:125
3
h
1 + 4(0:89 + 0:73 + 0:62 + 0:53) + 2(0:80 + 0:67 + 0:57) + 0:50
i
ent~ao
ln 2 � 0:6941:
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om
a
5
Frequentemente, existem v�arias formas de se resolver um mesmo exer
��
io. As sugest~oes apresentadas
aqui foram elaboradas por Olga Harumi Saito e Nelson Leonardo Vidaurre Navarrete, alunos de p�os-
gradua�
~ao ins
ritos no PAE, IME-USP, objetivando a 
lareza da exposi�
~ao. Este gabarito pode ser obtido
gratuitamente via Internet seguindo os links apropriados a partir de www.ime.usp.br/~roma. Junho/2000.