APOSTILA COMPONENTES SIMÉTRICAS - SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

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CAPÍTULO 3 
COMPONENTES SIMÉTRICOS 
 
3.1 - Análise por componentes simétricos 
 
 Em 1918, o Dr. Fortescue apresentou à “American Institute of Electrical Engineers” o 
trabalho denominado “Método de Componentes Simétricos aplicado à solução de Circuitos 
Polifásicos”. Este método desde então vem sendo largamente usado na análise de 
funcionamento de circuitos elétricos desbalanceados. Embora o método seja aplicável a 
qualquer sistema polifásico desequilibrado, este curso tratará especificamente de sistemas 
trifásicos. 
 De acordo com o então denominado Teorema de Fortescue, três fasores, 
desequilibrados, de um sistema podem ser substituídos por três sistemas equilibrados de 
fasores. Os três conjuntos equilibrados são: 
 
1. Componentes de sequência positiva, consiste de 3 fasores iguais em módulo, defasados de 
120o, e tendo a mesma sequência que os fasores originais. 
2. Componentes de sequência negativa, consistindo de 3 fasores iguais em módulo, defasados 
de 120o, e tendo a sequência da fase oposta a dos fasores originais. 
3. Componentes de sequência zero, constituído de 3 fasores iguais em módulo com 
defasagem de 0o entre si. 
 
 Assim, se um sistema tem a sequência de fases abc, as sequências de fases dos 
componentes de sequência positiva e negativas, serão respectivamente abc e acb. 
 Exemplo: sejam 3 fasores originais de tensão, Va, Vb e Vc , que serão decompostos nos 
três conjuntos abaixo: 
 
 
 
72
72
Vc1 Va1
Vb1
Va2
Vc2
Vb2
Va0
Vb0
Vc0
 
��������������������������������������������	����������������������������
��������
Figura 3.1 - 
 
A soma gráfica dos 3 sistemas dará: 
...............................
Va0
Va2
Va1
Va
Vc1
Vc2
Vc0
Vc
Vb1
Vb2
Vb0
Vb
REFERÊNCIA
 
Figura 3.2 - 
 
 Da fig. 3.2 tira-se que: 
 Va = Va1 + Va2 + Vao (3.1) 
 Vb = Vb1 + Vb2 + Vbo (3.2) 
 Vc = Vc1 + Vc2 + Vc0 (3.3) 
 
3.2 - Operadores 
 É bastante conhecido que o operador j produz rotação de 90o e que o operador -1 
provoca rotação de 180o. Sabe-se também que duas aplicações sucessivas do operador j 
 
 
73
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produzem rotação de “90o + 90o”, ou seja: j x j = j2 produz rotação de 180o. Logo: j2 = -1. 
Algumas das muitas combinações do operador j são mostradas a seguir: 
j = 1/90o = 1/-270o = 0 + j1 
j2 = 1/-180o = 1/-180o = -1 + j0 = -1 
j3 = 1/270o = 1/-90o = 0 = j1 = -j 
j4 = 1/360o = 1/0o = 1 + j0 =1 
j5 = 1/450o = 1/90o = 0 + j1 = j 
j + j2 = 2/135o = 2/-225o = -1 + j1 
j + j3 = 0 - 0 + j0 
j - j2 = 2 /45o = 2 /-315o = 1 + j1 
j = j3 = 2 /90o = 2 /-270o = 0 + j2 
 
 
Outro operador útil é o operador a, que causa uma rotação de 120o no sentido anti-horário:
 a = 1 /120o = 1 ej 2pi/3 = -0,5 + j0,866 
 
 Aplicando-o duas vezes haverá uma rotação de 240o, três vezes 360o. Algumas das 
muitas combinações do operador a são mostradas a seguir: 
a = 1 /120o = -0,5 + j0,866 
a2 = 1 /240o = -0,5 = -j0,866 
a3 = 1 /360o = 1 + j0 
a4 = 1 /120o = -0,5 + j0,866 = a 
1 + a = 1 /60o = 0,5 + j0,866 = -a2 
1 - a = 3 /-30o = 1,5 - j0,866 
1 + a2 = 1 /-60o = 0,5 - j0,866 = -a 
a + a2 = 1/180o = - 1 - j0 
a - a2 = 3 /90o = 0 + j1,732 
1 + a + a2 = 0 = 0 + j0 
 
A fig. 3.3 mostra diversos fasores operados por a: 
60o
60o60o
a
- a2
 a2 - a
1, a3-1, - a3
 
Figura 3.3 - 
IMPORTANTE: Enquanto que +j significa rotação de +90o e -j rotação de -90o, para o 
operador a não se pode fazer afirmação análoga: 
a
 = 1/120o 
-a
 = 1 /120o . 1 /180o = 1 /300o = 1 /-60o 
 
 
 
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3.3 - Componentes simétricos de fasores assimétricos 
 
 Retomando as equações (3.1), (3.2) e (3.3): 
 Va = Va1 + Va2 + Va0 (3.1) 
 Vb = Vb1 + Vb2 + Vb0 (3.2) 
 Vc = Vc1 + Vc2 + Vc0 (3.3) 
 
 Usando o operador a e os conceitos tirados das figuras anteriores: 
 
V a V V aV
V a V V a V
V V V V
b a c a
b a c a
b a c a
1
2
1 1 1
2 2 2
2
2
0 0 0 0
= =
= =
= =
�
�
��
�
�
�
.
. (3.4) 
 
 Substituindo o conjunto de equações (3.4) em (3.2) e (3.3), tem-se que o sistema de 
tensões Va, Vb e Vc poderá ser assim reescrito: 
 Va = Va1 + Va2 + Va0 (3.5) 
 Vb = a2Va1 + aVa2 + Va0 (3.6) 
 Vc = aVa1 + a2Va2 + Va0 (3.7) 
 
 Matricialmente: 
 
V
V
V
a a
a a
V
V
V
a
b
c
a
a
a
�
�
�
�
�
�
	
=
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
1 1 11
1
1
2
2
0
1
2
. (3.8) 
 Por conveniência, será adotado que : 
 A = 
1 1 1
1
1
2
2
a a
a a
�
�
�
�
�
�
	
 (3.9) 
Assim, a equação (3.8) poderá ser assim ser escrita: [Vp] = [A] . [Vc] 
 
 A matriz inversa de A será: 
 
 
75
75
 A-1 = 
1
3
1 1 1
1
1
2
2
a a
a a
�
�
�
�
�
�
	
 (3.10) 
 Por outro lado, pré-multiplicando a equação (3.8) por A-1: 
 A-1 
V
V
V
A A
V
V
V
a
b
c
a
a
a
�
�
�
�
�
�
	
=
�
�
�
�
�
�
	
− 1
0
1
2
. . 
Assim, as temsões de componentes simétricas, para a fase “a” serão: 
 
V
V
V
a a
a a
x
V
V
V
a
a
a
a
b
c
0
1
2
2
2
1
3
1 1 1
1
1
�
�
�
�
�
�
	
=
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
 (3.11) 
 
 A relação obtida é de grande importância, pois permite decompor 3 fasores 
assimétricos em seus componentes simétricos. 
 
 Desenvolvendo a equação matricial (3.11): 
 Va0 = 1/3 (Va + Vb + Vc) (3.12) 
 Va1 = 1/3 (Va + aVb + a2Vc) (3.13) 
 Va2 = 1/3 (Va + a2Vb + aVc) (3.14) 
 
 Os demais componentes simétricos (Vb0, Vc0, Vb1, Vb2, Vc1, Vc2) são obtidos pelas 
equações (3.4). 
 
Observações importantes: 
1. A equação (3.12) mostra que, em circuitos trifásicos equilibrados, não há componente de 
sequência zero. 
2. As equações (3.12), (3.13) e (3.14) valem também para corrente e podem ser resolvidas 
gráfica ou analiticamente. Quando representam correntes tem-se: 
Ia0 = 1/3 (Ia + Ib + Ic) (3.15) 
Ia1 = 1/3 (Ia + aIb + a2ic) (3.16) 
Ia2 = 1/3 (Ia + a2Ib + aIc) (3.17) 
 
 
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3. Em um sistema trifásico com condutor neutro, � � � �I I I In a b c= + + . Assim, de (3.15): 
 Ia0 = 1/3 In → � �I In a= 3 0 (3.18) 
 
4- Quando não há retorno, In é nulo . Nestas condições, as correntes de sequência zero não 
existirão. Assim sendo, em uma carga ligada em ∆, não há corrente de sequência zero. 
 
 
Exemplo 1: 
 Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que flui para uma carga 
ligada em ∆ pela linha a é de 10A. Tomando a corrente na linha a como referência e a linha c 
aberta, determine os componentes simétricos das correntes de linha. 
 
� /0 ( ); � /180 ( ) �I A I A e Ia o b o c= =10 10 0 
 
Solução: 
 Das equações (3.15), (3.16) e (3.17): 
 Ia Ib Ic 
 ↓ ↓ ↓ 
 Ia0 = 1/3 (10/0o + 10/180o + 0) = 0 A 
 
 Ia Ib 
 ↓ ↓ 
 Ia1 = 1/3 (10/0o + 10/180o x 1/120o + 0) = 5,78/-30o A 
 
 Ia Ib 
 ↓ ↓ 
 Ia2 = 1/3(10/0o + 10/180o x 1/240o + 0) = 5,78/30o A 
 
 Das equações (3.4): 
 Ib1 = a2Ia1 = 5,78/-150o (A) Ic1 = aIa1 = 5,78/90o (A) 
 Ib2 = aIa2 = 5,78/150o (A) Ic2 = a2Ia2 = 5,78/90o (A) 
 Ib0 = Ia0 = 0 Ic0 = Ia0 = 0 
 
 
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Comentários: 
• Embora Ic = 0 ,os componentes Ic1 e Ic2 têm valores definidos, mas Ic1 + Ic2 = 0. 
• A soma das componentes de A deve dar 10/0o [A] e de B, 10/180o [A]. 
 
 
3.4 - Potência em termos de componentes simétricos: 
 
 Conhecendo-se os componentes simétricos de corrente e tensão, pode-se obter, a partir 
destes, a potência consumida: 
 N = P + jQ = Va . Ia* + VbIb + VcIc* (3.19) 
 
 Matricialmente: 
 N = S = [Va Vb Vc] 
I
I
I
V
V
V
x
I
I
I
a
b
c
a
b
c
t
a
b
c
�
�
�
�
�
�
	
=
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
* 2
 (3.20) 
Ou seja, 
 S = VLt . IL* 
OBS: Uma matriz conjugada é constituída por elementos que são os conjugados dos 
elementos originais. 
 
 Introduzindo os componentes simétricos das tensões e correntes (eq. (3.8) 
 VL = A 
V
V
V
a
a
a
0
1
2
�
�
�
�
�
�
	
 e IL = A 
I
I
I
a
a
a
0
1
2
�
�
�
�
�
�
	
 na equação (3.20): 
S = A [ ] .[ .] [ ] . [ ]* *
V
V
V
A
I
I
I
AV AI
a
a
a
t
a
a
a
t
0
1
2
0
1
2
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
= 
 Da álgebra matricial: [A . V]t = Vt . At 
 
 Assim: 
 S = Vt . At[AI}* = Vt . At . A* . I* (3.21) 
 
 
 
78
78
 Da equação (3.9) nota-se que: At =A 
 Sabe-se ainda que a e a2 são conjugados. 
 Portanto: 
 S = [Va0 Va1 Va2] 
1 1 1
1
1
1 1 1
1
1
2
2
2
2
0
1
2
a a
a a
a a
a a
I
I
I
a
a
a
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
*
 (3.22) 
 S = 3 [Va0 Va1 Va2] 
I
I
I
a
a
a
0
1
2
�
�
�
�
�
�
	
 (3.23) 
A equação (3.23) ficará: VaIa* + VbIb* + VcIc* = 3Va0Ia0* + 3Va1Ia1 + 3Va2Ia2* 
Ou seja: 
 [Va Vb Vc] 
I
I
I
V V V
I
I
I
S S
a
b
c
a a a
a
a
a
p c
�
�
�
�
�
�
	
=
�
�
�
�
�
�
	
→ =
*
[ ] [ ] [ ]3 30 1 2
0
1
2
 
 
Exemplo 2: 
Dados: Va = 10/30o, Vb = 30/-60o e Vc = 15/145o determinar as componentes simétricas 
correspondentes. 
Solução: 
Utilizando-se das equações (3.12), (3.13) e (3.14): 
(3.12): Va0 = 1/3(Va + Vb + Vc) = 1/3(10/30o + 30/60o + 15/145o) = 5,60/-47,4 
(3.13): Va1 = 1/3(Va + aVb + a2Vc) = 1/3(10/30o + a.30/-60o + 1/240o . 15/145o) 
 = 17,6/45o. 
(3.14): Va2 = 1/3(Va + a2Vb + aVc) = 1/3(10/30o + 1/240o . 30/60o + 1/120o x 
 15/145o = 8,25/-156,2o 
 
As equações (3.4) nos darão: 
 Vb1 = a2 . Va1 = 17,6/75o Vc1 = a Va1 = 17,6/165o 
 Vb2 = aVa2 Vc2 = a2Va2 
 Va0 = Vb0 = Vc0 
 
 
 
79
79
3o Exemplo: 
Dadas as componentes simétricas: 
Va0 = 100/30o, Va1 = 220/0o e Va2 = 100/-60o, determinar as tensões Va, Vb e Vc. 
 
 Solução: 
Da equação (3.8): 
V
V
V
a a
a a
V
V
V
a a
a
a
b
c
a
a
a
o
o
o
�
�
�
�
�
�
	
=
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
=
�
�
�
�
�
�
	
−
�
�
�
�
�
�
	
=
1 1 1
1
1
1 1 1
1
1 1
100 30
220 0
100 60
2
2
0
1
2
2
2
/
/
/
 
 
 
3.5 - Componentes simétricos das impedâncias: 
 
3.5.1 - Caso Geral 
 Para a figura (3.5), as relações para as correntes e tensões serão: 
M ab = M ba
M bc = M cb
M ca = M ac
Z aa
Z bb
Z cc
V a
V b
V c
a
b
c
 
Figura 3.5 - 
 Va = Zaaia + MabIb + MacIc 
 Vb = Mbaia + ZbbIb + MbcIc 
 Vc = McaIa + McbIb + ZccIc 
 
 
 
80
80
Matricialmente: 
V
V
V
Z M M
M Z M
M M Z
I
I
I
a
b
c
aa ab ac
ab bb bc
ca cb cc
a
b
c
�
�
�
�
�
�
	
=
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
 
ou: [Vp] = [Zpp].[Ip] (3.24) 
 
Em termos de componentes simétricos pode também ser escrito: 
 [Vc] = [Zcc] . [Ic] (3.25) 
 
Já foi visto anteriormente que: 
 [Vc] = [A-1][Vp] (3.26) 
 [Ic] = [A-1][ip] (3.27) 
 
Levando (3.26) e (3.27) em (3.25): [A-1][Vp] = [Zcc][A-1][Ip] 
 
Pré-multiplicando ambos membros por A: [Vp] = [A] [Zcc] [A-1] [Ip] (3.28) 
 
Fazendo a identidade de (3.28) com (3.24):[Zpp]= [A] [Zcc] [A-1]. 
Pré-multiplicando por [A-1]: [A-1] [Zpp] = [Zcc] [A-1] 
Pós-multiplicando esta última por [A]: [Zcc] = [A-1] [Zpp] [A] (3.29) 
 
Matricialmente, (3.29) ficará: 
[Zcc] = 1/3 
1 1 1
1
1
1 1 1
1
1
2
2
2
2
a a
a a
Z M M
M Z M
M M Z
a a
a a
aa ab ac
ba bb bc
ca cb cc
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
 (3.30) 
 
 
3.5.2 - Circuito equilibrado 
 
Estando as três fases equilibradas: Zaa = Zbb = Zcc = Z 
 Mab = Mba = Mcb = Mbc = Mac = Mca = M 
 
Substituindo na equação (3.30): 
 
 
81
81
 [Zcc] =1/3 
1 1 1
1
1
1 1 1
1
1
2
2
2
2
a a
a a
Z M M
M Z M
M M Z
a a
a a
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
 
resolvendo esta: 
 [Zcc] = 
( )
( )
( )
Z M
Z M
Z M
+
−
−
�
�
�
�
�
�
	
2 0 0
0 0
0 0
 (3.31) 
 
Como se vê, a matriz de impedância se diagonalizou. Caso o circuito não fôsse equilibrado, a 
matriz acima seria totalmente cheia. 
 
A equação (3.31) pode ainda ser assim escrita: 
 [Zcc] = 
Z
Z
Z
Z Z M
Z Z M
Z Z M
o o0 0
0 0
0 0
2
1
2
1
2
�
�
�
�
�
�
	
→
= +
= −
= −
�
�
�
�
 (3.32) 
 
Reescrevendo a equação (3.25): 
[Vc] = [Zcc] [Ic] =
V
V
V
Z
Z
Z
I
I
I
V Z I
V Z I
V Z I
o o o o o o
1
2
1
2
1
2
1 1 1
2 2 2
0 0
0 0
0 0
�
�
�
�
�
�
	
=
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
→
=
=
=
�
�
�
�
.
.
.
 (3.33) 
 
Significado físico da equação (3.33): 
1. Para sistemas equilibrados, a corrente de sequência zero flui apenas no circuito de 
sequência zero; corrente de sequência positiva no circuito de sequência positiva; 
corrente de sequência negativa no circuito de sequência negativa. 
2. A impedância do circuito pelo qual circula a corrente de sequência zero é denominada de 
“IMPEDÂNCIA DE SEQUÊNCIA ZERO”, o mesmo acontecendo para as demais 
sequências. 
3. A f.e.m. produzida pelos geradores é apenas de sequência positiva.. Consequentemente, 
no caso de uma carga equilibrada, teremos somente corrente de sequência positiva. 
3.6 - Impedâncias de sequência dos componentes do sistema: 
 
 
82
82
 
3.6.1 - Linhas e cabos 
 A solução do sistema 
Z Z M
Z Z M
Z Z M
0
1
2
2= +
= −
= −
�
�
�
�
, mostra que para as linhas transpostas, “Z0” é 
maior que “Z1” ou “Z2” e qu”Z1”é igual a “Z2”. 
 Normalmente a impedância de sequência zero é da ordem de 2,0 a 3,5 vezes o valor da 
impedância de sequência positiva ounegativa (em linhas aéreas ou cabos de 3 condutores). 
Isso ocorre porque as correntes de sequência zero estão em fase nos três condutores. 
 A soma das correntes de sequência zero das 3 fases sempre dará um resultado diferente 
de zero. Isso implica que, para elas existirem, deverá haver um caminho de retorno (neutro). A 
impedância deste retorno é “Zn”. O circuito de sequência zero unifilar, pelo qual normalmente 
passará apenas “Io” deverá, neste caso, ter uma impedância de retorno 3Zn. Assim, se mostra o 
efeito de uma corrente Io em uma impedância 3Zn: 3ZnI0. 
I o
I o
I o
3 I o( Retorno )
 
Figura 3.6 - 
 A esta impedância deverá ser acrescida a impedância própria dos condutores. Se o 
retorno é feito pela terra, será difícil obter um valor preciso para a impedância total dos 
condutores, pois o solo também é condutor. 
 
3.6.2 - Transformadores 
3.6.2.1 - Impedância de sequências positiva e negativa 
 Como nas linhas de transmissão, as impedâncias de sequência positiva e 
negativa dos transformadores devem ser iguais entre sí. Isso ocorre porque não há diferenças 
caso a energização dos mesmos ocorra com tensões de seq. (+) ou (-). Por outro lado, nos 
transformadores Y/∆ de polaridade subtrativa, as tensões do lado (∆ ) sofrem um 
 
 
83
83
deslocamento angular, em relação às correspondentes tensões do lado(Y), de -30o para as 
tensões de sequência positiva e de +30o para as correspondentes tensões de sequência 
negativa. Esse assunto será analisado, em maiores detalhes, no capítulo 4. 
 
3.6.2.2 - Impedância de sequência zero 
 As impedâncias de sequência zero dos transformadores dependem da conexão dos 
enrolamentos e da forma construtiva do núcleo. Essas impedâncias podem ser igual ou maior 
que as impedâncias de sequência positiva ou negativa (pode até ter um valor infinito). 
 Quando a impedância for de valôr finito e, desprezando a impedância de 
magnetização, tem-se: 
a) Um caminho de retorno para a corrente que circula para a terra em um dos lados do trafo, 
porque a corrente Io existe e é igual a 1/3 da corrente do neutro: Io = 1/3 (Ia + Ib + Ic). 
b) A f.e.m. causada pela circulação destas correntes através do enrolamento do transformador 
deve ser equilibrada por uma f.e.m. equivalente devido à circulação da corrente no outro 
enrolamento do transformador: 
Caminho para 
circulação da corrente
Camnho 
de Retorno
Gerador
L
L
L
L L
L
L
L
L
Figura 3.8 - 
 
Caminhos de Retorno
Gerador
L
L
L
L
L
L
L
L
L
 
Figura 3.9 - 
 
 
 
84
84
Gerador
L
L
L
L
L
L
L
L
L
não há
caminhos p/ corrente
de seq. zero
 
Figura 3.10 - 
 
Diagrama equivalente de sequência zero para transformadores de 2 
enrolamentos: 
 Um diagrama simples pode ser usado para representar todos os diagramas unifilares de 
sequência zero, para os transformadores: 
L
L
Chaves
série
Chaves
Shunt
Fonte
Ponto de
falta
Z
 
Figura 3.11 - 
 
 Para utilizar o diagrama anterior, procede-se da seguinte maneira: 
• Fechar a chave série para um enrolamento ESTRELA ATERRADO, que é o que 
proporciona um circuito de retorno para a corrente que circula pela terra. 
• Fechar a chave shunt para os enrolamentos em DELTA, pois este proporciona um circuito 
fechado para a corrente de compensação de f.m.m. 
 
Os circuitos equivalentes de sequência zero serão portanto: 
1) 
 
 
 
85
85
 
Figura 3.12 – 
 
 
2) 
 
 
Figura 3.13 – 
 
3) 
 
 
 
Figura 3.14 - 
4) 
 
 
86
86
 
Figura 3.15 - 
5) 
 
Figura 3.16 - 
Exemplo: Determine o circuito de sequência zero do sistema: 
N
M P
Q
T U
R S
V X
W Z
 
Figura 3.17 - 
Solução: 
X
Z
VS
W
Z
 
UT
R
L L
Z
 
L L
LL
LL
L
P
Q
M
N Z
 
 
Figura 3.18 - 
 
 
87
87
 
3.6.2.3 - Transformador de 3 enrolamentos 
 O circuito equivalente é idêntico aquele para o transformador de 2 enrolamentos. 
A chave shunt é fechada para o enrolamento em ∆ e a chave série para a conexão Y : 
L
L
L
Z p
Z s
Z t
Z m CONEXÃO GERAL
 
Figura 3.20 - 
 
Seja o trafo Y/∆/Y . O seu circuito de sequência zero é: 
L
L
L
Z p
Z s
Z t
Z m
P
S
F
T
TP
S
 
Figura 3.21 - 
 
Para o trafo ∆/∆/Y 
 
Figura 3.22 - 
 
 
88
88
 
3.6.3 - Máquinas síncronas 
 As impedâncias de sequência (+) e (-) das máquinas síncronas não são iguais entre sí 
mesmo se a máquina for eletricamente equilibrada. Isto ocorre porque as tensões de sequência 
(-), de sequência de fases, por exemplo, ACB, quando aplicadas a uma máquina que gira e 
produz tensões de sequência (+), de sequência de fases ABC, se comportarão como se 
houvesse uma outra máquina, dentro daquela primeira, porém, girando em sentido oposto. 
 
a) Impedância de sequência (+): 
 Esta é a impedância normal da máquina. Toma-se o valor subtransitório, transitório 
ou síncrono,(conforme a natureza do problema. 
 
b) Impedância de sequência (-): 
 A f.m.m. produzida pela corrente de sequência (-) fluindo no estator , dá origem a um 
campo rotativo, cujo sentido de rotação é oposto àquele do rotor, com a mesma velocidade 
síncrona “ω”, do rotor. Assim, o fluxo produzido varre rapidamente o rotor, induzindo 
correntes nos enrolamentos de campo, amortecedores e na superfície do rotor, evitando assim 
que o fluxo penetre no rotor, e dando origem a um baixo valor de reatância. 
 Esse campo oposto tira a máquina do seu regime normal, provocando instabilidade, 
como se fosse colocada ou retirada carga da máquina. A impedância “Z2” varia 
continuamente do eixo “d” para o “q”, em consequência, toma-se a média das reatâncias sub-
transitórias X”d e X”q: 
 Z2 = 
X Xd q
,, ,,+
2
 
 
c) Impedância de sequência zero: 
 A f.m.m. produzida pela corrente de sequência zero terá o mesmo valor instantâneo em 
todas as fases. Assim, para um enrolamento trifásico uniforme, a f.m.m. em qualquer ponto, 
será a soma de 3 ondas senoidais idênticas, deslocadas entre si de 120o. 
 Portanto o fluxo resultante é zero e não haverá reatância, exceto aquela devido ao 
fluxo de dispersão (e imperfeições no enrolamento). Consequentemente, a impedância “Zo” 
será composta da resistência do enrolamento mais uma pequena reatância. 
 
 
89
89
- Note-se a diferença do efeito da sequência (0) nos trafos e nas máquinas síncronas. 
 
Na figura 3.23 abaixo tem-se um gerador que alimenta uma caerga resistiva, através de uma 
linha. A representação deste gerador, em seus circuitos de sequência (+), (–) e (0), está nas 
figuras 3.24, 3.25 e 3.26: 
L R
L
L
R
R
X
XL
L
XL
R L
R L
R L
A
Zg
Zg
Zg
E a N
N N E a 120 
o
E a 240 o
L
L L
R
R
R
L
L
L
 
Figura 3.23 - 
 
Diagrama de sequência (+) 
E a
E b
L
L LE c
I a1
I b1
I c1
c b
a
Z 1
Z 1Z 1
E a
L Z 1
I a1
a
 
Figura 3.24 - 
Diagrama de sequência (-) 
 
Figura 3.25 - 
 
 
 
 
 
 
90
90
Diagrama de sequência (0) 
 
Figura 3.26 - 
3.7 - Exercícios: 
 
1) Fazer o circuito da sequência (0) do diagrama unifilar: 
L
 ~ ~NM
SQ
R T
P
Z n
 
Figura 3.27 - 
 
Solução: 
P
Q
R
S
T
M N
L
L
T
T
L
L L
L
LL
L
L
 
Figura 3.28 - 
 
 
 
 
 
 
91
91
2) Fazer os circuitos de sequência (+), (-) e (0) do diagrama unifilar: 
 ~
 ~N
M
P
Z 
 ~
O
L L
Z L
R
A
B
R S
ZT
 
Figura 3.29 - 
 
Solução:Diagramas de sequência (+) e (-): 
L
L
L
L
L
L
L
L
Z , Z1 A 2 A
Z = ZT1 T2
Z , Z1 B 2 B
Z = ZT1 T2
Z = ZL1 L2
Z = ZL1 L2
Z = Z1 C 2 C
Z = ZT 1 T 2
Seq.
( + ) e ( - )
 
Figura 3.30 - 
Diagrama de sequência zero: 
L
Z A 0
ZC 0
ZT 0
ZT 0
ZT 0
ZL 0
ZL 0
ZB 03 RR L
L
LL
L
L
L
M
N
P
O
R S
Seq. Zero
 
Figura 3.31- 
 
3) Esquematize o circuito de sequência zero para o sistema abaixo. Considere que as 
reatâncias de sequência zero dos geradores e motores valem 0,05 pu. Os reatores para a 
limitação de corrente valem 2,0 Ω. A reatância de sequência (0) da L.T. é de 250 Ω. 
 
 
 
92
92
 
Figura 3.32 - 
 
1) Reatância de sequência (0) dos transformadores: Zo 
 Zo = Z1 
 É dado que: Z1 = 0,1 p/ MB = 35 MVA 
 UB = 13,2 KV/115KV 
 Para a base
MA MVA
UA KV
=
=
�
�
30
13 8,
 Z’1 = 0,1
30
35
13 2
13 8
0 0784
2
,
,
,
�
�
�
�
�
� = pu 
∴ Zo = 0,0784 pu 
2) Gerador: Zo = 0,05 pu 
 
3) Motores: 
 M1 : Zo = 0,05 . 
30
20
12 5
13 8
2
,
,
�
�
�
�
�
� = 0,061 pu 
 
 M2 : Zo = 0,05 . 
30
10
12 5
13 8
2
,
,
�
�
�
�
�
� = 0,123 pu 
 
4) Reatores limitadores de corrente: 
 Zbase = 
U
M
base
base
2 3 2
6
13 8 10
30 10
=
( , . )
.
 = 6,35Ω 
 
 Zo(pu) = 
2
6 35,
= 0,315 pu 
 
 
93
93
No diagrama unifilar: 
 3Zn = 3 . 0,315 = 0,945 pu 
 
5) Linha de transmissão: 
 Zbase = 
( , )120 23
30
482
2KV
MVA
= Ω 
 Zo(pu) = 250/482 = 0,521 pu 
j 0,945
j 0,05
k j 0,0784
L
j 0,521
m
j 0,0784 n
p r
j 0,123
j 0,945
j 0,061LL
L
LLL
L
L
 
Figura 3.33 - 
 
4) Desenhe os circuitos de impedância de sequência negativa e de sequência zero para o 
sistema de potência da figura 3.34. Dê os valores de todas as reatâncias em p.u. numa base 
de 30.000 KVA, 6,9 KV no circuito do gerador 1. Assinale os circuitos de maneira 
correspondente ao diagrama unifilar. Os neutros dos geradores 1 e 2 estão ligados à terra 
através de reatores limitadores de corrente com reatância de 5%, cada qual tendo como base 
os valores da máquina à qual estão ligados. Cada gerador possui reatâncias de sequências 
negativa e zero de 15% e 5%, respectivamente, com base em seus próprios valores nominais. 
A reatância de sequência zero da linha de transmissão é 250 ohms de B a C e 210 ohms de C 
a E. 
L
A
A
EB FT CT A
T B
C
L
B
6,9 / 115
6,9 / 115
 
Figura 3.34 - 
 
 
94
94
GERADORES: 
 Reatores dos Geradores: → Zn = 5% 
 
GA MVA KV
GB MVA KV
GC MVA KV
: ,
: ,
: ,
20 6 9
10 6 9
30 6 9
−
−
−
�
�
�
�
�
 x”= 0,15 pu e Z2 = 15%, Zo = 5% 
 
TRANSFORMADORES: 
 TA: 25MVA; 6,9∆ - 115 Y [KV]; x = 10% 
 TB: 12,5MVA; 6,9∆ - 115Y [KV]; x = 10% 
 TC: 3 trafos monofásicos, cada: 10MVA; 7,5-75KV; x = 10% 
 
Linhas: 
 BC→ Zo = 250 Ω; Z1 = Z2 =100 Ω 
 CE → 210Ω; Z1= Z2 = 80 Ω 
Adotar: UB = 6,9 KV; MB = 30 MVA → nos geradores GA e GB 
 
Solução: 
 
UB(BC e CE) = 115 KV 
UB(gerador “C”) = 7,5 3 75 3← 
 x ← 115 x = 11,5 KV 
 
Reatâncias: 
Geradores: 
 GA: 
Z Z pu
Z
Z pu
A A
A
n
1 2
2
0
0 15 6 9
6 9
30
20
0 225
0 05 30
20
0 075
3 3 0 05 30 20 0 225
= =
�
�
�
�
�
� =
= =
= =
�
�
�
�
��
�
�
�
�
,
,
,
. ,
, . ,
( , / ) ,
 
 
 
95
95
 GB: 
Z Z
Z Z
B B
B n
1 2
0
0 15 30
10
0 45
0 05 30
10
0 15 3 0 45
= = =
= = =
�
�
��
�
�
, ,
, . , ; ,
 
 Gc: 
Z Z pu
Z pu
C C
C
1 2
2
0
2
0 15 13 8
11 5
30
30
0 216
0 05 13 8
115
0 072
= =
�
�
�
�
�
� = =
=
�
�
�
�
�
� =
�
�
�
�
�
�
,
,
,
,
,
,
,
,
 
 
Transformadores: 
 ZTA1 = ZTA2 = 0,1 . 30/25 = 0,12 pu = ZTA0 
 ZTB1 = ZTB2 = 0,1 . 30/125 = 0,24 pu = ZTB0 
 ZTC1 = ZTC2 = ZTC0 = 0,1 
130
115
30
30
0 1277
2
�
�
�
�
�
� =. , pu 
 
Linhas: 
Sendo: ZB = UB2/MB = 
( )
,
115
30000
440 83
2KV
KVA
= Ω 
 BC: 
Z Z
Z
BC BC
BC
1 2
0
100
440 83
0 2268
250
440 83
0 5671
= = =
= =
�
�
��
�
�
,
,
,
,
 
 CE: 
Z Z pu
Z
CE1 CE
CE
= =
= =
�
�
��
�
�
2
0
80
440 83
0 181
210
440 83
0 4764
,
,
,
,
 
 
 
 
 
 
 
 
96
96
CIRCUITOS: 
1) de sequência negativa: 
j 0,12 j 0,2268 j 0,181
j 0,216
j 0,45
j 0,24
L
L
L
LLL
j 0,225L
L
F
E
C
B
A j 0,1277
 
Figura 3.35 - 
 
2) de sequência nula: 
j 0,225
j 0,075
j 0,1277
j 0,072LL
L
LLL
L
L L
L FEj 0,5671C
B
j 0,5671j 0,12
j 0,15
j 0,45
A
 
Figura 3.36 - 
 
 
5) Desenhe os circuitos de sequência negativa e de sequência zero para o sistema de potência 
do exercicio 6 do capítulo 1. Escolha uma base de 50.000 KVA, 138 KV na linha de 
transmissão de 40 ohms e dê as reatâncias em p.u.. A reatância de sequência negativa de 
cada máquina síncrona é igual à respectiva reatância subtransitória. A reatância de 
sequência zero de cada máquina é de 8% com base nos próprios valores nominais. Os 
neutros das máquinas estão ligados à terra através de reatores cujas reatâncias valem 5%, 
com base nos valores nominais das respectivas máquinas. Suponha que as reatâncias de 
sequência zero das linhas de transmissão valem 300% das respectivas reatâncias de 
sequência positiva. 
 
 
97
97
A Bj 40 W
j 20 W Wj 20
M
C
BA
L
L L
 
Figura 3.37 - 
Solução: 
 UB = 138 KV (nas linhas); MB = 50 MVA 
 GA = GB → 20 MVA; 13,2 KV; x” = 15%; Zn = 5%; Z0 = 8%. 
 ZA1 = ZA2 = ZB1 = ZB2 = 0,15 
13 2
13 8
50
20
0 3421
2
,
,
. ,
�
�
�
�
�
� = pu 
 ZA0 = ZB0 = 0,08
13 2
13 8
50
20
0 183
2
,
,
. ,
�
�
�
�
�
� = 
 Zn = 0,05
13 2
13 8
50
20
0 1143
2
,
,
. , ;�
�
�
�
�
� = 3Zn = 0,343 
 
MOTOR M: 30 MVA; 6,9 KV, x” = 20% 
 ZM1 = ZM2 = 0,2 . 
50
30
0 333= , 
 ZM0 = 0,08 . 
50
30
 = 0,133 
 Zn = 0,05 . 
50
30
 = 0,0833; 3Zn = 0,25 
 
Transformadores: 
 
YY MVA Y Y x Z
Y MVA Y x Z
: ; , ; , ,
: ; , ; , ,
20 13 8 138 10% 0 150
20
0 25
15 6 9 138 10% 0 150
15
0 333
− = → = =
− = → = =
�
�
��
�
�
�∆ ∆
Z1 = Z2 = Z0 
 
 
98
98
Linhas: 
 ZB = 1382/50 = 380,88Ω 
 AB: Z1 = Z2 = 40/380,88 = 0,1051 
 Z0 = 3Z, (dado do ex.) = 0,3153 
 AC = CB: Z1 = Z2 = 20/380,88 = 0,05251 
 Z0 = 3Z1 = 0,1575 
j 0,3421
L
A
L
LL
L
L
LL
L
L
L
L
j 0,3431j 0,333
j 0,333j 0,333 j 0,25j 0,25j 0,25j 0,25
j 0,05251j 0,05251
j 0,1051
 
Figura 3.38 - 
j 0,343
j 0,183
j 0,333
L
L
L
LL
L
L
L
j 0,1575
j 0,133
j 0,25
A L
C
B
j 0,25
j 0,25 j 0,3153
j 0,343
j 0,183
j 0,25
j 0,25
j 0,1575j 0,333
L
L
L
LLL
 
 
Figura 3.39 -