BIOESTATÍSTICA - REGRESSÃO

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Gráfico de linhas
Estudar como uma variável se comporta em relação a outra se torna mais fácil e deve ser feita com o auxílio de um gráfico de linhas. 
Na construção desse tipo de gráfico pensamos em duas variáveis, X, a variável explanatória e expressa no eixo das abscissas do plano cartesiano, e Y, a variável dependente, expressa no eixo das ordenadas.
	Na área de saúde é comum ver estudos em que se estudam determinada variável Y, em função do tempo, X.
	Para elaboração desse tipo de gráfico, temos o seguinte passo a passo:
1 – Coleta de dados da variável Y nos intervalos de tempo que se quer estudar;
2 – Traçar os eixos cartesianos com o tempo(X) no eixo abscissa e variável Y no eixo das ordenadas;
3 – Estabelecer as escalas e graduações necessárias em cada eixo;
4 – Nomear as variáveis em seus eixos;
5 – Marcar cada ponto representativo do par ordenado;
6 – Unir os pontos, por meio de segmentos de retas;
7 – Intitular o gráfico.
	
Reta de regressão
A reta de regressão é a que tem mais as propriedades estatísticas desejáveis dentre as traças em meio aos pontos marcados no gráfico de linhas. Para calcular a reta de regressão é preciso primeiro achar os coeficientes linear e angular da reta.
Sabendo que Y=a + bX, representa matematicamente uma reta e que a é o valor do coeficiente linear a reta e estabelece a altura em que a reta irá tocar o eixo das ordenadas e o que b representa o coeficiente angular da reta, o qual determina a inclinação da mesma. Temos que:
– Para valores de coeficientes lineares maiores que zero, a reta tocará o eixo das ordenadas acima da origem; para valores menores que zero, a reta tocará o mesmo abaixo da origem e quando o coeficiente for zero, a reta tocará na origem dos eixos.
– Para valores de coeficiente angular positivos, temos uma reta com inclinação ascendente; para valores negativos inclinação descendente e para valor igual a zero, temos uma reta que passa paralela ao eixo das abscissas.
Estatisticamente podemos calcular o coeficiente angular a partir da seguinte fórmula:
E para o cálculo do coeficiente linear temos a seguinte fórmula:
Em que, representam as médias de Y e X, respectivamente.
Vale salientar que, para calcular uma reta de regressão é preciso, primeiramente, dar valores numéricos a X e a Y.
A equação da reta de regressão é útil em casos que o pesquisador queira estimar valores de Y em função de valores de X que não estão intervalo. Entretanto deve-se ter cuidado para não chegar a extrapolação, quando o pesquisador quer estimar valores de Y para valores de X muito distantes dos valores do intervalo. É valido lembrar que a relação linear entre X e Y se dá com certeza dentro deste intervalo e pode não ir além dos limites do mesmo, o que pode levar a resultados errôneos e desastrosos.
A escolha de um variável explanatória
A determinação dos valores de uma variável explanatória, X, pode ser feita de forma anteriormente a coleta de dados, ou pode ser feita posteriormente a coleta de dados, depois de iniciado o trabalho dos dados.
Na primeira situação podemos dizer que, temos uma regressão ajustada de Y contra X. Os valores de Y irão sempre variar de acordo com a medida de X e nunca o contrário. É comum ver este tipo de regressão quando se quer pesquisar o número de um determinado fator (Y) em função do tempo (X).
Já na segunda situação a regressão pode ser ajustada tanto de Y contra X, quanto de X contra Y. Entretanto, recomenda-se que identificar a variável que deve ser prevista, conhecido o valor da outra variável e ajustar a regressão de Y contra X toda vez que se pretende estudar a variação de Y (prever Y) em função da variação de X.
Coeficiente de determinação
Há dois tipos de relação entre as variáveis. A determinista, como a relação entre o lado e a área de um quadrado, que permite previsões sem erros, e a probabilística, que permite previsões, porém com margens de erro. Em geral as variáveis estimadas para a área da saúde permitem relações probabilísticas.
Ao valor numérico que representa a variação de Y, em função de X, damos o nome de coeficiente de determinação e para calculá-lo basta elevar ao quadrado o coeficiente de correlação. Assim teremos sempre um valor positivo entre 0 e 1, o qual pode ser expresso em porcentagem, quando multiplicado por 100.
Interpretação de uma regressão
Para interpretar uma regressão é preciso ter ciência de como se deu a obtenção de tais resultados. Isto se faz importante pois, o ajuste de uma regressão linear simples de X contra Y só pode ser feita se os dados tanto de X, quanto de Y, foram obtidos com uma certa independência.
Falácias 
Falácias são regressões obtidas quando não se pode fazer uma regressão da diferença entre as variáveis e o valor inicial.
Outros tipos de regressão
Existem situações em que os pares ordenados não se distribuem de forma linear em torno de uma reta. No exemplo a seguir é possível observar uma regressão não linear.
Neste caso aconselha-se transformar a variável Y. Ao invés de utilizar os valores de Y no diagrama, devemos trocar seus valores pelos valores do logaritmo neperiano de Y. Para os dados apresentados neste exemplo, os valores de X e dos logaritmos neperianos de Y são apresentados na Tabela 7.8, abaixo.
No diagrama montado a partir dos valores dos logaritmos neperianos de Y, na Figura 7.11 acima, podemos observar que os pontos se distribuem de maneira quase totalmente linear, o que torna possível o ajuste de uma regressão de lnY contra X.
Para o cálculo de a e b, nestes casos, são necessários alguns cálculos intermediários, os quais podem ser observados na Tabela 7.9 abaixo.
Com base neste cálculo é possível encontrar:
A equação da reta de regressão de lnY contra X é: 
E para voltar ao valor da variável Y, basta calcular o antilogaritmo da equação, a qual é chamada de exponencial porque traz como expoente a variável explanatória.
Em geral, para que a regressão linear seja ajustada basta que uma das variáveis seja transformada, mas podem ocorrer casos em que as duas variáveis precisam ser transformadas. Além da transformação logarítmica temos, a inversão e a extração da raiz, entre outras.
Normalmente a transformação se dá de forma empírica e diversas tentativas devem ser feitas até que se ache a transformação ideal, que permita o ajuste da regressão linear dos pares de dados. Entretanto, há situações em que temos um modelo teórico especificado. Um exemplo é a equação de Arrenhius que dá a velocidade de uma reação química em função da temperatura em que a reação se processa. Se T é a temperatura em graus Kelvin em que ocorre a reação química, esta equação propõe que a velocidade V é dada por:
em que lnV é o logaritmo neperiano da reação química à temperatura T e R é uma constante. 
Para o ajuste desta equação é preciso transformar as variáveis, sendo a velocidade V transformada em logaritmo neperiano, e a temperatura T, transformada em seu inverso. Em seguida ajusta-se uma regressão linear de lnV contra o inverso de T, ou seja:
Vale salientar que, antes de ajustar um reta de regressão deve-se sempre, analisar bem os dados. Os pontos devem ser marcados em um diagrama de dispersão e comparar com o que diz a literatura. A partir disto é possível ajustar os dados a mais de um modelo e no final escolher o que melhor se encaixar, segundo as estatísticas obtidas.
Referências
VIEIRA, S. Noções sobre correlação; In Introdução a Bioestatística – 4. Ed. - Rio de Janeiro: Elsevier, 2008. Capitulo 6, página 107 a 130.
VIEIRA, S. Noções sobre Regressão; In Introdução a Bioestatística – 4. Ed. - Rio de Janeiro: Elsevier, 2008. Capitulo 7, página 131 a 159.