Equilíbrio de Partículas no Espaço - Mecânica dos Sólidos

Prévia do material em texto

Equilíbrio de uma 
partícula no espaço
MECÂNICA DOS SÓLIDOS I
PROF. MURILO BARBOSA DE CARVALHO
UNIDADE I I – ESTÁTICA DAS PARTÍCULAS
Forças no espaço
 Os problemas já tratados se desenvolveram no plano – duas dimensões
 Passaremos a investigar também problemas no espaço – Três dimensões
Equilíbrio de uma partícula no espaço
 Três situações podem aparecer:
a) Caso em que a linha de ação da força é definida pelo
seu módulo e por três ângulos.
Equilíbrio de uma partícula no espaço
b) Caso em que a linha de ação da força é definida
pelo seu módulo e por dois ângulos.
Equilíbrio de uma partícula no espaço
c) Por meio de dois pontos da linha de ação da força e do seu módulo .
Equilíbrio de uma partícula no espaço
a) Caso em que a linha de ação da força é definida por três ângulos.
- Quando tivermos o módulo da força e os três ângulos x, y e z, as componentes Fx, 
Fy e Fz são calculadas geometricamente por meio dos seguintes triângulos de força.
Decomposição direta da força F por meio de 
seus cossenos diretores (definem a direção 
da força F entre 0° e 180°):
• Δ ODA: Fx = F cos x
• Δ OBA: Fy = F cos y
• Δ OEA: Fz = F cos z
(I)
Equilíbrio de uma partícula no espaço
- Então a força F pode ser dada em função dos vetores unitários i, j e k, orientados 
segundo os eixos x, y e z.
Ou seja:

(II)
222
zyx FFFF 
E substituindo (I ) em (II), teremos o produto do escalar F pelo vetor λ:
ou
λF F
Sendo o vetor l dado por:
Equilíbrio de uma partícula no espaço
- Consideremos as equações (I) e (III), repetidas a seguir:
• Fx = F cos x
• Fy = F cos y
• Fz = F cos z
(I) 222
zyx FFFF 
(III)
Delas podemos observar que:
222 )()()( zyx cosFcosFcosFF 
222
zyx coscoscosFF 

Logo:
1
222
 zyx coscoscos
Vetor λ é unitário, intensidade igual a 1 e 
direção e sentido iguais ao de F
Equilíbrio de uma partícula no espaço
- Da equação (V) pode-se concluir que o vetor l = cos xi + cos yj + cos zk
indicado pela equação (IV) , é unitário, intensidade igual a 1, direção e 
sentido iguais ao de F.
λF F
- E, da Álgebra Linear, sabemos que todo vetor pode ser caracterizado pelo produto 
do seu módulo pelo vetor unitário orientado segundo a sua linha de ação, conforme 
obtido na equação (IV).
- Observa-se assim, que as componentes escalares do vetor unitário l são os
cossenos diretores da linha de ação de F.
Equilíbrio de uma partícula no espaço
b) Caso em que a linha de ação da força é definida por dois ângulos.
- É traçado um plano OBAC contendo F
- A orientação do plano é definida pelo ângulo φ
que ele forma com plano xy
- A direção de F neste plano é definida pelo
ângulo θy com o eixo y
Equilíbrio de uma partícula no espaço
b) Caso em que a linha de ação da força é definida por dois ângulos.
- Quando tivermos o módulo da força e os ângulos y e f, as componentes Fx, Fy e Fz
são calculadas geometricamente pelos seguintes triângulos de força.
Decomposição inicial da força F (Δ OCA ):
•Componente Fy: Fy = F cos y
•Componente horizontal: Fh = F sen y
Decomposição de Fh segundo os eixos x e z (Δ OCD ):
•Componente Fx: Fx = Fh cos f  Fx = F sen y cos f 
•Componente Fz: Fz = Fh sen f  Fz = F sen y sen f
Equilíbrio de uma partícula no espaço
- Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos OCA e OCD da figura, teremos:
• Δ OCA: F² = Fh² + Fy²
• Δ OCD: Fh² = Fx² + Fz² 

222
zyx FFFF 
Equilíbrio de uma partícula no espaço
c) Por meio do módulo e de dois pontos da linha de ação da força
• Sabendo-se que todo vetor pode ser obtido pelo
produto do seu módulo pelo vetor unitário orientado
segundo a sua linha de ação, se na figura dada
tivermos as coordenadas dos pontos M e N e o
módulo da força agindo nesta direção, o vetor F será
dado por:
- Considere o vetor 𝑀𝑁, ligando os pontos M e N de
mesmo sentido que F
𝑀𝑁 = 𝑑𝑥𝒊 + 𝑑𝑦𝒋 + 𝑑𝑧𝒌
Equilíbrio de uma partícula no espaço
- O vetor unitário λ poderá ser obtido dividindo-se o vetor 𝑀𝑁 por sua intensidade MN, que é
igual a distância d entre os pontos M e N:
- O vetor F será dado por:
2
12
2
12
2
12
121212
)y-(y)y-(y)x-(x
)z-(z)y-(y)x-(x



kji
F
MN
FFλF
Ou:
 kjiF zyx ddd
d
F
F  l
MN
Equilíbrio de uma partícula no espaço
Onde,
222
zyx
zyx
ddd
ddd
MN



kji
 λ
MN é o vetor unitário na direção MN. 
Sendo os cossenos diretores do vetor unitário dados por:
E, assim os componentes escalares de F são:
Adição de forças concorrentes no espaço
 A resultante de duas ou mais forças no espaço, será determinada por meio da soma 
das componentes retangulares, como vimos anteriormente a notação vetorial se torna 
a mais prática e adequada.
 Para o cálculo da resultante, temos:
𝑅 = 𝐹
𝑅𝑥𝑖 + 𝑅𝑦𝑗 + 𝑅𝑧𝑘 = 𝐹𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑗 + 𝐹𝑧𝑘
= 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧 𝑘
Equilíbrio de uma partícula no espaço
 No espaço, uma partícula estará em equilíbrio se a resultante de todas as forças que 
atuam em um ponto material for zero.
 Desta forma, são condições necessárias e suficientes (no espaço):
 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑧 = 0
Exemplo 1
Determine (a) as componentes x, y e z da
força de 750 N e 900 N, (b) os ângulos θx, θy
e θz que as forças formam com os eixos
coordenados.
Exemplo 2
Uma torre de transmissão é sustentada por
três cabos de sustentação ancorados por
parafusos em B, C e D. Se a tração no cabo
AB é 2335 N, determine os componentes da
força exercida pelo cabo no parafuso em B.
Exemplo 3
Uma placa circular horizontal está suspensa,
como mostra a figura, por três fios que estão
ligados a um suporte D e formam ângulos de
30° com a vertical. Sabendo que o componente
x da força exercida pelo fio AD na placa é 110,3
N, determine (a) a tração no fio AD e (b) os
ângulos θx, θy, e θz que a força exercida em A
forma com os eixos coordenados.
Exemplo 4
Os cursores A e B são conectados por um
fio de 635 mm de comprimento e podem
deslizar livremente sobre as hastes sem
atrito. Se uma força Q de 267 N é aplicada
no cursor B, como mostrada na figura,
determine (a) a tração no fio quando x=228
mm, (b) a intensidade da força P necessária
para se manter o equilíbrio do sistema.
Exemplo 5
A chapa articulada é suportada pela
corda AB. Se a força na corda for F=340
lb, expresse essa força orientada de A
para B e como um vetor cartesiano.
Qual é o comprimento da corda ?
Exemplo 6
Determine o comprimento do
elemento AB da treliça,
estabelecendo primeiro um
vetor posição cartesiano de A
para B e depois determinando
sua intensidade.
Exemplo 7
Um caixote de 2670 N é
sustentado por vários sistemas
de corda e roldana como mostra
a figura. Determine para cada
caso a tração na corda. (a tensão
na corda é a mesma em cada lado
para uma roldana simples)
Exemplo 8
Determine a deformação necessária
em cada uma das molas para manter a
caixa de 20 kg na posição de equilíbrio
mostrada na figura. Cada mola tem
comprimento de 2m sem deformação
e rigidez k=300 N/m.