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olharemos para as forças.
Uma força é representada por um vetor porque tem módulo (medido em libras ou new-
tons), direção e sentido. Se várias forças estão agindo em um objeto, a força resultante
experimentada pelo objeto é o vetor soma dessas forças.
Uma carga de 100 kg de massa pende a partir de dois fios como é mostrado na
Figura 19. Encontre as tensões (forças) T1 e T2 em ambos os fios e suas magnitudes.
SOLUÇÃO Primeiro vamos exprimir T1 e T2 em função de suas componentes horizontal e
vertical. Da Figura 20 vemos que
T1 ! "#T1#cos 50º i $ #T1#sen 50º j
T2 ! #T2#cos 32º i $ #T2#sen 32º j.
A força de gravidade que age sobre a carga é F ! "100(9,8) j ! "980 j. A resultante 
T1 $ T2 contrabalança F de modo que 
T1 $ T2 ! "F ! 980j 
Logo,
( "#T1#cos 50º $ #T2#cos 32º) i $ ( #T1#sen 50º $ #T2#sen 32º)j ! 980j
Igualando as componentes, obtemos 
"#T1#cos 50º $ #T2#cos 32º ! 0
#T1#sen 50º $ #T2#sen 32º ! 980
Resolvendo a primeira destas equações para #T2# e substituindo na segunda, temos
#T1#sen 50º $ sen 32º ! 980
Ou seja, os módulos das tensões são
#T1# ! ! 839 N
e #T2# ! ! 636 N
Substituindo esses valores em e , obtemos os vetores tensão
T1 ! "539 i $ 643 jMMMMT2 ! 539 i $ 337 j
EXEMPLO 7
65
5
6
#T1#cos 50º
%%
cos 32º
980
%%
sen 50º $ tg 32º cos 50º
#T1#cos 50º
%%
cos 32º
718 CÁLCULO
FIGURA 20
FIGURA 19
100
T¡
50° 32°
T™
50°
F
T¡
50° 32°
32°
T™
1. Quais das seguintes grandezas são vetoriais ou escalares? Ex-
plique.
(a) O custo de um bilhete de cinema
(b) A correnteza em um rio
(c) A trajetória inicial do voo entre Houston e Dallas
(d) A população mundial
2. Qual a relação existente entre o ponto (4, 7) e o vetor k4, 7l?
Faça um esboço ilustrativo.
3. Indique os vetores iguais no paralelogramo mostrado.
B
E
A
D C
12.2 Exercícios
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
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VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 719
4. Escreva cada combinação de vetores como um único vetor.
(a) PQm $ QRm (b) RPm $ PSm
(c) QSm " PSm (d) RSm $ SPm $ PQm
5. Copie os vetores na figura e use-os para desenhar os seguintes
vetores.
(a) u $ v (b) u $ w 
(c) v $ w (d) u " v 
(e) v $ u $ w (d) u " w " v 
6. Copie os vetores na figura e use-os para desenhar os seguintes
vetores.
(a) a $ b (b) a " b 
(c) a (d) " 3b 
(e) a $ 2b (f) 2b " a 
7. Na figura, a ponta de c e a cauda de d são ambas o ponto médio
de QR. Expresse c e d em termos de a e b.
8. Se os vetores da figura satisfizerem #u# ! #v# ! 1 e u + v + w ! 0,
o que é #w#?
9–14 Determine o vetor a com representação dada pelo segmento 
de reta orientado AB
l
. Desenhe AB
l
e o equivalente com início na 
origem. 
9. A("1, 1),MMB(3, 2) 10. A("4, "1),MMB(1, 2)
11. A("1, 3),MMB(2, 2) 12. A(2, 1),MMB(0, 6) 
13. A(0, 3, 1),MMB(2, 3, "1) 14. A(4, 0, "2),MMB(4, 2, 1)
15–18 Determine a soma dos vetores dados e ilustre geometrica-
mente. 
15. k"1, 4l,MMk6, "2l 16. k3, "1l,MMk"1, 5l
17. k3, 0, 1l,MMk0, 8, 0l 18. k1, 3, "2l,MMk0, 0, 6l
19–22 Determine a $ b, 2a $ 3b, #a# e #a " b#.
19. a ! k5, "12l,MMb ! k"3, "6l
20. a ! 4i $ j,MMb ! i " 2j 
21. a ! i $ 2j " 3k,MMb ! "2i " j $ 5k
22. a ! 2i " 4j $ 4k,MMb ! 2j " k
23–25 Determine o vetor unitário com mesma direção e sentido que
o vetor dado. 
23. "3i $ 7j 24. k"4, 2, 4l
25. 8i " j $ 4k 
26. Ache um vetor que possui a mesma direção e o mesmo sentido
que k"2, 4, 2l mas tem comprimento 6. 
27–28 O que é o ângulo entre o vetor dado e o sentido positivo do
eixo x?
27. i $ j 28. 8i $ 6 j 
29. Se v está no primeiro quadrante e faz um ângulo de p/3 com o
eixo x positivo e #v# ! 4, encontre v em forma de componente.
30. Se uma criança puxa um trenó na neve com força de 50 N a um
ângulo de 38º com relação à horizontal, ache as componentes
horizontal e vertical da força.
31. Um quarterback lança uma bola de futebol com ângulo de ele-
vação 40º e velocidade de 60 pés/s. Encontre os componentes
horizontal e vertical do vetor velocidade.
32–33 Encontre o módulo da força resultante e o ângulo que ela faz
com o eixo x positivo.
32. 33.
34. O módulo de uma velocidade é chamado velocidade escalar.
Suponha que um vento esteja soprando na direção N45º W a
uma velocidade de 50 km/h. (Isso significa que a direção de onde
sopra o vento é de 45º oeste da direção norte.) Um piloto está pi-
lotando um avião na direção N60ºE em uma velocidade (velo-
cidade no ar parado) de 250 km/h. O verdadeiro curso, ou
caminho, do avião é o sentido da resultante dos vetores veloci-
dade do avião e do vento. A velocidade escalar em relação ao
solo do avião é o módulo da resultante. Determine o curso real
e a velocidade escalar em relação ao solo do avião.
35. Uma mulher caminha para oeste no convés de um navio, a 
5 km/h. O navio está se movendo para o norte a uma velocidade
s3
1
2
300 N
200 N
600
0
y
x
20 N
16 N
450
0
y
x300
u
v
w
b
a c
d
P
Q
R
b a
wvu
Q
R
S
P
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720 CÁLCULO
de 35 km/h. Encontre a velocidade e direção da mulher em re-
lação à superfície da água.
36. Cordas de 3 m e 5 m de comprimento são atadas à decoração
natalina suspensa sobre uma praça. A decoração tem uma massa
de 5 kg. As cordas, atadas em diferentes alturas, fazem ângulos
de 52º e 40º com a horizontal. Determine a tensão em cada fio e
o módulo de cada tensão.
37. Um varal de roupas é estendido entre dois postes, 8 m distantes
um do outro. O fio do varal está bastante esticado, de forma a ser
considerado horizontal. Quando uma camisa molhada com
massa de 0,8 kg é pendurada no meio do varal, esse ponto cen-
tral é deslocado para baixo 8 cm. Determine a tensão em cada
metade do varal.
38. A tensão T em cada extremidade da corrente tem magnitude 25
N (veja a figura). Qual o peso da corrente?
39. Um barqueiro quer atravessar um canal que fica a 3 km de lar-
gura e quer atracar em um ponto 2 km rio acima do seu ponto de
partida. A corrente flui no canal a 3,5 km/h e a velocidade do
seu barco é 13 km/h.
(a) Em que direção ele deve dirigir?
(b) Quanto tempo a viagem vai demorar?
40. Três forças atuam sobre um objeto. Duas das forças estão a um
ângulo de 100º entre si e têm magnitudes de 25 N e 12 N. O ter-
ceiro é perpendicular ao plano das duas forças e tem magnitude
4 N. Calcule o valor da força que exatamente iria contrabalan-
çar essas três forças.
41. Encontre os vetores unitários que são paralelos à reta tangente à
parábola y ! x2 no ponto (2, 4).
42. (a) Encontre os vetores unitários que são paralelos à reta tan-
gente à curva y ! 2 sen x no ponto (p/6, 1).
(b) Encontre os vetores unitários que são perpendiculares à reta
tangente.
(c) Esboce a curva y ! 2 sen x e os vetores nas partes (a) e (b),
todos começando em (p/6, 1).
43. Se A, B e C são vértices de um triângulo, determine 
AB
l 
$ BC
l 
$ CA
l
.
44. Seja C o ponto no segmento de reta AB que está duas vezes mais
distante de B que de A. Se a ! OAm, b ! OBm e c ! OCm, mostre
que c ! a $ b.
45. (a) Desenhe os vetores a ! k3, 2l, b ! k2, "1l e c ! k7, 1l.
(b) Mostre, por um esboço, que existem escalares s e t tais que
c ! sa $ tb.
(c) Use o esboço para estimar os valores de s e t.
(d) Determine os valores exatos de s e t.
46. Suponha que a e b sejam vetores não nulos, que não sejam pa-
ralelos e c seja qualquer vetor no plano determinado por a e b.
Dê um argumento geométrico para mostrar que c pode ser es-
crito como c ! sa $ tb para escalares adequados s e t. Em se-
guida, dê um argumento usando componentes.
47. Se r ! kx, y, zl e r0 ! kx0, y0, z0l, descreva o conjunto de todos
os pontos (x, y, z) de tal forma que #r " r0# ! 1.
48. Se r ! kx, yl, r1 ! kx1, y1l e r2 ! kx2, y2l, descreva o conjunto de
todos os pontos (x, y) de tal forma que #r " r1# $ #r " r2# ! k,
onde k & #r1 " r2#. 
49. A Figura 16 fornece uma demonstração geométrica da Proprie-
dade 2 dos vetores. Use as componentes para dar uma demons-
tração algébrica desse fato no caso n ! 2.
50. Demonstre a Propriedade 5 de vetores algebricamente para o
casode n ! 3. Em seguida, use semelhança de triângulos para
dar uma prova geométrica.
51. Utilize vetores para demonstrar que uma reta unindo os pontos
médios de dois lados de um triângulo é paralela ao terceiro lado
e tem metade de seu comprimento.
52. Suponha que os três planos coordenados sejam todos espelhados
e que um raio de luz dado pelo vetor a ! ka1, a2, a3l atinja pri-
meiro o plano xz, como mostrado na figura. Use o fato de os
ângulos de incidência e de reflexão serem iguais para mostrar
que a direção do raio refletido é dada por b ! ka1, "a2, a3l. De-
duza que, após ser refletido em todos os três espelhos perpendi-
culares, o raio resultante é paralelo ao raio inicial. (Cientistas
norte-americanos usaram esse princípio, juntamente com um
feixe de laser e um conjunto de espelhos em cantoneira na Lua,
para calcular de modo preciso a distância da Terra à Lua.x)
b
a
z
x
y
1
3
2
3
37° 37°
3 m 5 m
52°
40°
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