Sistema de Forças em Corpos Rígidos

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Sistema de forças –
Corpo Rígido
MECÂNICA DOS SÓLIDOS I
PROF. MURILO BARBOSA DE CARVALHO
UNIDADE I I I – CORPOS RÍGIDOS
Corpos rígidos
 Até agora tratamos o corpo como uma única partícula. Porém nem
sempre isso é possível, devendo ser considerado o tamanho e os
diferentes pontos de aplicação das forças sobre o corpo rígido
(combinação de uma grande número de partículas)
 Embora todos os corpos físicos sejam deformáveis, em muitas
situações, as deformações a que estão submetidos são tão pequenas
que os mesmos podem ser tratados como rígidos.
 Na disciplina de Mecânica dos Sólidos I os corpos são considerados
como sendo rígidos ou indeformáveis.
 No presente tópico objetiva-se analisar o efeito das forças externas
sobre um corpo rígido.
Forças externas e forças internas
 As forças que atuam cobre os corpos rígidos podem ser divididas em dois
grupos
• Forças Externas: Representam a ação de outros corpos sobre o corpo em
consideração
• Forças Internas: Forças que mantém a integridade do corpo rígido, mantém
juntas as partículas.
Forças externas
representadas
pelo DCL
Princípio da transmissibilidade
 A condição de repouso ou movimento de um corpo rígido não se altera
quando se modifica o ponto de aplicação de uma força sobre a sua mesma
linha de ação.
F

r
r
F

=
F -F F-F
A B
Na mecânica dos corpos rígidos as situações A e B
são equivalentes
Momento de uma força
 O momento de uma força (também chamado de torque) em relação a um eixo,
representa a tendência desta força em provocar um movimento de rotação do corpo
em torno do eixo.
Revisão sobre produto vetorial
 Na figura ao lado é apresentado o vetor V que
representa o produto vetorial entre os vetores P e
Q.
• O vetor V é perpendicular ao plano formado pelos 
vetores P e Q ;
• Seu sentido é dado pela regra da mão direita;
• Seu módulo é dado por: 
• O produto vetorial é igual a área do paralelogramo 
que tem P e Q como lados; 
• Quando dois vetores P e Q tem a mesma direção, 
seu produto vetorial é nulo.
V = PQ sen q
𝑃 × 𝑄 ≠ 𝑄 × 𝑃
𝑃 × 𝑄 = − 𝑄 × 𝑃
𝑃 × 𝑄1 + 𝑄2 = P × 𝑄1 + 𝑃 × 𝑄2
Revisão sobre produto vetorial
Revisão sobre produto vetorial
 Assim sendo, o produto vetorial entre os vetores unitários i, j e k num 
sistema cartesiano será dado por:
| i | = | j | = | k | = 1Por definição:
Produto Vetorial Expresso em 
Componentes Cartesianas
 O produto vetorial também pode ser expresso por meio de um
determinante:
 Assim as componentes cartesianas Vx, Vy e Vz do produto vetorial
serão dadas por:
Produto Vetorial Expresso em 
Componentes Cartesianas
Momento de uma força em relação a um 
ponto
 O momento da força F em torno do ponto O da figura pode ser obtido 
por meio do seguinte produto vetorial:
 A intensidade do momento é dada por:
MO = r x F
Onde: r = vetor posição
MO = rF senq  MO = Fd
Momento de uma força em relação a um 
ponto
Regra da mão direita
Teorema de VARIGNON
 O momento produzido por uma força em torno de um ponto é igual à soma
dos momentos produzidos pelas componentes desta força em torno do
mesmo ponto.
 Sejam os vetores P e Q duas componentes não retangulares de R, onde:
R = P + Q
Temos ainda:
MO = r x R
MO = r x (P + Q) MO = r x P + r x Q
P
Q
R
O
r
Componentes cartesianas do momento 
de uma força
 O momento M de uma força pode ser expresso em função de suas componentes 
cartesianas Mx, My e Mz de acordo com os dos vetores unitários i, j e k. 
 Para isso podemos calcular o momento da força F
em relação à origem O do sistema de eixos
cartesianos.
 Basta então escrevermos o vetor posição r e a
força F em suas componentes retangulares:
Componentes cartesianas do momento 
de uma força
 O momento da força F em torno do ponto O da figura pode ser calculado por: MO = r x F
kji
kji
zyx
zyx
O MMM
FFF
zyx M
Onde:
Componentes cartesianas do momento 
de uma força
 De igual forma também podemos determinar o momento de uma força F em relação a 
um ponto arbitrário (qualquer), onde:
• F: Força aplicada em A;
• B: Ponto arbitrário;
• rA/B: Vetor posição dado pelo vetor BA.
Componentes cartesianas do momento 
de uma força
 Sendo:
kji zyxBA /r
 E:
Portanto:
E assim:
Exemplo 1
Uma válvula de pedal para um sistema pneumático é articulada em B. Sabendo que α=28°,
determine o momento de uma força de 16N em relação ao ponto B decompondo a força em
componentes horizontal e vertical.
Produto escalar de dois vetores
 É definido como sendo o produto dos módulos dos vetores P e Q pelo
cosseno do ângulo formado entre eles.
 Portanto, o produto escalar dos vetores P e Q será o escalar dado por:
 Suas propriedades são:
• Comutativa:
• Distributiva:
P.Q = PQ cos q (I)
Produto escalar de dois vetores
 O produto escalar de P por Q pode ser expresso em termos das coordenadas
cartesianas como:
 No caso particular em que P e Q são iguais:
 P.Q = PxQx + PyQy + PzQz (II)
Aplicações do produto interno
 Lembrando:
 Determinação de ângulo entre vetores (igualando I e II):
P.Q = PQ cos q (I)
e
P.Q = PxQx + PyQy + PzQz (II)
Aplicações do produto interno
 Projeção de um vetor sobre um determinado eixo dado:
• A projeção de P sobre o eixo OL é definida como sendo o escalar:
OBS: A projeção POL é igual ao comprimento do
segmento OA, sendo positiva se OA tem o mesmo 
sentido do eixo OL, e negativa em caso contrário. 
Aplicações do produto interno
 Considerando, agora, um vetor Q orientado segundo OL, o produto escalar de P e Q 
pode ser expresso na forma:
 Lembrando que:
 De (III) e (II), teremos:
(III)
(II)
Aplicações do produto interno
𝑃𝑂𝐿 = 𝑃𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 + 𝑃𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 + 𝑃𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧
Produto Misto de três Vetores 
 Por definição o produto misto de três vetores S, P
e Q é definido pela expressão:
 Neste caso, o produto misto representa o produto
interno do vetor S com o vetor (P X Q), cujo
resultado é um escalar.
* Produto misto é igual ao volume do 
paralelepípedo formado
Produto Misto de três Vetores 
 O produto misto pode ser calculado por meio de um determinante, conforme
mostrado abaixo.
𝑆𝑥 𝑃𝑦𝑄𝑧 − 𝑃𝑧𝑄𝑦 + 𝑆𝑦 𝑃𝑧𝑄𝑥 − 𝑃𝑥𝑄𝑧 + 𝑆𝑧 𝑃𝑥𝑄𝑦 − 𝑃𝑦𝑄𝑥
Momento de uma força F em relação a 
um eixo qualquer
 Seja OL um eixo que passa por O,
definimos o momento MOL de F em
relação a OL como sendo a projeção OC
do momento MO sobre o eixo OL.
MOL = l . MO = l . ( r x F)
Exemplo 2
A estrutura mostrada está submetida a uma força horizontal F = (300 j) N.
Determine a intensidade dos componentes da força paralela e perpendicular ao
elemento AB.
Exemplo 3
Uma força de 200 N é aplicada em
um suporte ABC como mostrado na
figura. Determine o momento da
força sobre A.
Exemplo 4
Considere a rede de voleibol
mostrada na figura. Determine o
ângulo formado pelos cabos de
sustentação AB e AC
Exemplo 5
Determine o momento da força F em
relação a um eixo que se estende
entre A e C. Expresse o resultado
como um vetor cartesiano.