ilovepdf_merged

Prévia do material em texto

Slides da Aula 1 – Síncrono: 03/08/2021 - Word 
 
Conteúdo 1: Revisão de função: Função do 1º Grau, Função do 2º Grau, Função Modular, Função 
Logarítmica e Função definida por várias sentenças 
 
1. Função do 1º Grau 
 
 Uma função do 1º grau é toda função do tipo  f x mx b  com m, b e m 0 . Onde: 
 m: coeficiente angular, sendo m tg  ou 
y
m
x



; 
 b: coeficiente linear, sendo o valor de y quando a reta intercepta o eixo y no ponto (0,b); 
 a reta será crescente quando m > 0; 
 a reta será decrescente quando m < 0; 
 se y =0, então x = -b/m. 
 
Exemplo 1. Seja a função y 2x 6   . 
 
a) Calcular a raiz ou zero da função. 
 
Gabarito Comentado: 
 
 A raiz ou zero de uma função é o valor de x que anula o valor de y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Fazer um gráfico correlacionado em torno do zero da função. 
 
Gabarito Comentado: 
 
 x  f x 2x 6   
0  f 0 2 0 6 6     
2  f 2 2 2 6 2     
3  f 3 2 3 6 0     
4  f 4 2 4 6 2      
 
 
 
Estudante: ______________________________________ Data: ___/____/____ 
Prof. Dr. Antonio Rafael Bôsso Disciplina: Cálculo I 
Curso: Engenharia Civil Turma: _________________________ 
y 2x 6
y 0
2x 6 0
2x 6
6
x
2
x 3
  

  
  




 
y mx b
mx b 0
mx b
b
x
m
f x 0
 
 
 



 
c) Estudar os sinais da função. 
 
Gabarito Comentado: 
 
 Estudar os sinais de uma função é saber quando a função é nula, positiva ou negativa a partir do zero 
ou raiz da função. 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Com base no gráfico, escrever a função analítica. 
 
 
 
Gabarito Comentado: 
 
 Com base no gráfico, percebe-se que a função é do 1º grau. Sendo assim, tem a forma: 
 f x mx b  . 
 De acordo com o gráfico, temos que (0,6), logo b = 6. Para concluir a atividade, temos que calcular o 
valor de m. Veja: 
Usando os pontos B(2,2) e C(3,0), temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 2x 6
y 0
2x 6 0
2x 6
6
x
2
x 3
  

  
  




y 0 x 3
y 0 x 3
y 0 x 3
  
  
  
   
 
 
B 2, 2 e C 3,0
y
m
x
2 0
m
2 3
m 2
f x mx b
f x 2x 6






 
 
  
Com base no gráfico, percebe-se que a reta intercepta o eixo y no ponto (0,6), logo o valor de b = 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 Você poderia ter feito assim: 
 
 
Com base no gráfico, percebe-se que a reta intercepta o eixo y no ponto (0,6), logo o valor de b = 6. 
 
 
 
 
y mx 6
Usando o ponto 2, 2 :
y mx 6
2 m 2 6
m 2
 
 
  
 
180º
tg tg
  
   
cateto oposto
tg
cateto adjacente
6
tg
3
tg 2
 
 
 
tg tg
tg 2
   
  
m tg
m 2
 
 
A função analítica é:
y mx 6
y 2x 6
 
  
A função analítica é:
y mx 6
y 2x 6
 
  
 
 
 
 
 
Slides da Aula 2 – Síncrono: 10/08/2021 - Word 
 
Conteúdo 1: Revisão de função: Função do 1º Grau, Função do 2º Grau, Função Modular, Função 
Logarítmica e Função definida por várias sentenças 
 
1. O que vimos na Aula anterior? 
 
 Na Aula anterior vimos: 
 Plano de Ensino e o Contrato Pedagógico; 
 Função do 1º Grau. 
 
QUESTÃO 1. Numa concessionária de motos H os executivos de vendas recebem R$ 800,00 de salário fixo 
mais comissão sobre as vendas mensais. O gráfico abaixo representa o salário em função das vendas 
mensais dos executivos de vendas da concessionária. 
 
 
a) Qual é a porcentagem de comissão dos executivos de vendas da concessionária H? 
 
Gabarito comentado: 
 
 Você deve perceber que o salário mensal f(x) depende das vendas mensais x, e a função é do tipo
 f x mx b  . Vamos escolher no gráfico dois pontos quaisquer: 
   
1 1 2 2x y x y
2 1
2 1
60000; 1700 e 180000; 3500
y yy
m m
x x x
3500 1700
 m
180000 60000
 m 0,015
 m 1,5%

  
 





 
 
 
 
 
5300
4400
3500
2600
1700800
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 60000 120000 180000 240000 300000
Vendas (R$)
S
al
ár
io
 (
R
$)
Estudante: ______________________________________ Data: ___/____/____ 
Prof. Dr. Antonio Rafael Bôsso Disciplina: Cálculo I 
Curso: Engenharia Civil Turma: _________________________ 
b) Qual o salário mensal de um executivo de vendas da concessionária H em função das vendas mensais? 
 
Gabarito comentado: 
 
 Você deve perceber que o salário mensal f(x) depende das vendas mensais x, e a função é do tipo
 f x mx b  . Vamos escolher no gráfico dois pontos quaisquer: 
 
 
 
 
 
1 1x y
Usando o ponto 0; 800 :
f x mx b
f x 0,015 x b
800 0,015 0 b
b 800
f x 0,015 x
f x 0,015 x 8
b
00
 
 
 

  



 
 
 
c) Qual o salário de um executivo de vendas sabendo que ele vendeu no mês R$ 70.000,00? 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
f x 0,015 x 800
f 70000 0,015 70000 800
f 70000 R$ 1850,00
  
  

 
 
2. Função do 2º Grau 
 
 Função do 2º grau é toda função do tipo   2f x a x b x c     com a, b, c e a 0 . Onde: 
 O gráfico será uma parábola voltada para cima quando a > 0; 
 O gráfico será uma parábola voltada para baixo quando a < 0; 
 A parábola interceptará o eixo y no ponto (0; c); 
 O vértice da função é dado:  Vértice Vértice Vértice Vértice
b
Vértice x ; y em que x e y
2a 4a
 
   e 
2b 4 a c     ; 
 Uma função do 2º grau pode ter até dois zeros ou duas raízes: 
1 2
1 2
0 x x
0 x x
0
    
    
    1 2x , x 
 
 O 1 2Vértice
x x
 x
2

 , onde 1 2x e x são as raízes da função. 
 
 
 
Exemplo 1. Seja a função   2f x x x 6    . 
 
a) Calcular as raízes ou zeros da função. 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
2
2
2
2
1 2
1 1
2 2
a 1
f x x x 6 b 1
c 6
f x 0
x x 6 0
b 4 a c
1 4 1 6
25 x x
b
x
2a
1 25
x
2 1
1 5 4
x x 2
1 5 2 2x
1 5 62
x x 3
2 2
 
     
 

   
    
     
    
  

 

 
                     
  
 
 
b) Calcular o vértice da função. 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
Vértice Vértice
Vértice Vértice Vértice
Vértice Vértice Vértice
2
2
a 1
f x x x 6 b 1
c 6
Vértice x , y
b 1
x x x 0,5
2a 2 1
25
y y y 6,25
4a 4 1
Vértice 0,5;6,25
f x x x 6
1º Mod
f 0,5 1 0,5 0,5 6
f 0
o
2º M
,
o
5 6, 25
do
 
     
 
 
    
 

      
 
   
    

 
Vértice
Vértice 0,5;6,25
Como a 0, logo a função terá valor máximo, e será y 6, 25. 
 
c) Construir o gráfico em torno do vértice. 
 
Gabarito comentado: 
 
Você deve saber que o vértice será: (0,5; 6,25). 
 Você deverá escolher valores de x em torno do xVértice: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Estudar os sinais da função. 
 
Gabarito comentado: 
 
1º Passo: Calcular as raízes ou zeros da função: 
 
 
 
 
2
2
2
2
1 2
1 1
2 2
a 1
f x x x 6 b 1
c 6
f x 0
x x 6 0
b 4 a c
1 4 1 6
25 x x
b
x
2a
1 25
x
2 1
1 5 4
x x 2
1 5 2 2x
1 5 62
x x 3
2 2
 
     
 

   
    
     
    
  

 

 
                     
  
 
 
2º Passo: Fazer um esboço do gráfico 
 
x   2f x x x 6    
3   2f 3 3 3 6 0     
2    2f 2 1 2 2 6 4      
1   2f 1 1 1 6 6     
0,5 6,25 
0   2f 0 0 0 6 6     
-1      2f 1 1 1 1 6 4         
-2      2f 2 2 2 6 0        
 
 
 
 
y 0 2 x 3
y 0 x 2 ou x 3
y 0 x 2 ou x 3
    
    
    
 
 
Exemplo 2. O lucro mensal de uma empresa é dado por   2L x x 30x 5    , em que x é a quantidade 
mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo possível? 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     
2
2
Vértice
2
Vértice
Vértice
Vértice
Vér
Vértice
L x x 30x 5
1º modo :
y b 4ac
4a
880
y 30 4 1 5
4 1
 y 220900 20 880
2º mod
y
o :
b
x
a
?
2
x
   

    
        
 
     




 
 
 
 
 
tice Vértice
2
2
30
x 15
2 1
L x x 30x 5
L 15 15 30 15 5
L 15 225 450 5
L 15 220

  
 
   
    
   

 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
Vért
Vértice
ice
2
2
L x x 30x 5
3º modo :
L x x 30x 5
L x 2x 30 0
L x 2x 30
A derivada de primeira ordem igual a zero 
dará o ponto máximo e/ou mínimo local:
L x 0
2x 30 0
x 15
L x x 30x 5
L 15 15
y
30 15 5
L 15 2
?
   
   
    
   
 
  

  
 


  
 20
Exemplo 3. Considere que o material usado na confecção de um certo tipo de tapete tem um custo de R$ 
10,00. O fabricante pretende colocar cada tapete à venda por x reais, e assim conseguir vender (30 – x) 
tapetes por mês. 
 
a) Nessas condições, para que, mensalmente seja obtido um lucro máximo, quanto deverá custar cada 
tapete? 
 
Gabarito comentado: 
 
   
Custo Venda
Custo Venda
P 10 P x
Q : Quantidade Q 30 x
C : Custo R : Receita
C x P Q R x P Q
 
 
   
       
   
     
   
 
 
2
2
2
2
C x 10 30 x R x x 30 x
C x R x
L : Lu
30x x
30x x
30x
cro
L x R x C x
L x
L x 300 10x
L x x 40x 300 Restrição
300 10x
300 10
x
 0
x
: x
     
 
 
 
  
   






 
 
 Neste item desejamos saber o Vérticex ? : 
 
 
 
 
 
2
Vértice Vértice Vértice
Vértice
L x x 40x 300 Restrição: x 0
1º modo:
b 40
x x x 20
2a 2 1
2º modo:
L x 2x 40
L x 0
2x 40 0
2x 40
x 20
    
 
    
 
   
 
  
  

 
 
b) Nessas condições, determine o lucro máximo. 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
2
Vértice
2
2
L x x 40x 300 Restrição: x 0
y ?
L x x 40x 300 
L 20 20 40 20 300 
L 20 100
    

   
    

 
 
c) Qual o preço do tapete para que haja o Break Even Point? 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
   
 
2
2
2
2
1 1
2 2
L x x 40x 300
L x 0
x 40x 300 0
b b 4ac
x
2a
40 40 4 1 300
x
2 1
40 20
x x 10
40 20 2x
40 202
x x 30
2
   

   
  

      

 
               
 
 
 
 
d) Determine os valores de preços para que haja prejuízo. 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 L x 0 0 x 10 ou x 30     
 
 
e) Determine os valores de preços para que haja lucro. 
 
Gabarito comentado: 
 
 Olhando no esboço do item anterior, chegamos a resposta:  L x 0 10 x 30    . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Slides da Aula 3 – Síncrono: 17/08/2021 - Word 
 
Conteúdo 1: Revisão de função: Função do 1º Grau, Função do 2º Grau, Função Modular, Função 
Logarítmica e Função definida por várias sentenças 
 
1. Função Modular 
 
 É toda função que envolve módulo. 
 
2. Módulo de um número 
 
Exemplo 1. Seja o módulo do número x: 
 
x se x 0
x
x se x 0

  
 
 
Veja a ilustração: 
 
 
5 x
5 5
7 x x 7
7 7
7 7


    
   
 
 
 
Exemplo 2. Escrever 2x 6 como uma função de duas sentenças. 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudante: ______________________________________ Data: ___/____/____ 
Prof. Dr. Antonio Rafael Bôsso Disciplina: Cálculo I 
Curso: Engenharia Civil Turma: _________________________ 
 
 
2x 6 se x 3
2x 6
2x 6 se x 3
       
Exemplo 3. Escrever 2x 10  como uma função de duas sentenças. 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4. Escrever 
t
12
3
  como uma função de duas sentenças. 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5. Escrever 2x 5x 6  como uma função de duas sentenças. 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2x 10 se x 5
2x 10
2x 10 se x 5
2x 10 se x 5
2x 10
2x 10 se x 5
        
  
     
t
12 se t 36
3t
12
t3
12 se t 36
3
      
        
 
 
 
2
2
2
1
2
x 5x 6 0
b 4 a c
5 4 1 6
1
b
x
2 a
5 1
x
2 1
5 1
x 3
5 1 2x
5 12
x 2
2
  
    
     
 
  


  


        

 
2
2
2
x 5x 6 se x 2 ou x 3
x 5x 6
x 5x 6 se 2 x 3
       
    
Exemplo 6. Escrever 2x 4x 4   como uma função de duas sentenças. 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Gráfico de uma função Modular 
 
Exemplo 7. Construir o gráfico das funções modulares a seguir. 
 
a)  f x x 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)  f x x 2  
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
x 4x 4 0
b 4
x x x x x x 4
a 1
c 4
x x x x x x 4
a 1
x x 2
   
 
       


       

  
 
2
2
2
x 4x 4 se x 2
x 4x 4
x 4x 4 se x 2
       
    
x 
 2 
 1 
 0 0 
 -1 
 -2 
 
 
x 
0 
-1 
-2 
-3 
-4 
 
c)  f x x 2 1    
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Função Logarítmica 
 
 Função logarítmica é toda função que envolve o logaritmo. Na Engenharia Civil a resistência do 
concreto é uma função que depende do tempo de cura de forma logarítmica. 
 
5. Logaritmo de um número 
 
c
alog b c a b
Onde :
a : base do logaritmo em a 0 e a 1
b: logaritmando em b 0
c: logaritmo
  
 

 
 
Exemplo 8. Calcular. 
 
a) 2log 16 
 
Gabarito comentado: 
 
x x 4
2log 16 x 2 16 2 2 x 4       
 
 
b) log1000 
 
Gabarito comentado: 
 
w w 3
10log 1000 w 10 1000 10 10 w 3       
 
 
c) 
5
log 0,00032 
 
Gabarito comentado: 
 
x 
4 
3 
2 
1 
0 
 
 
y y1 1 5
y
2 2
55
y y y5 51 1 1
52
12
2 2
1
2
32 2
log 0,00032 y 0,00032 5 5
100000 10
2 1 1
5 5 5 5 y 5 y 10
10
5
5
55
5
2

   
         
   
                           
        
 
 
 
d) 1
3
log 729 
 
Gabarito comentado: 
 
W W
6 W 6
1
3
1 1
log 729 w 729 3 3 3 w 6 w 6
3 3
                  
   
 
 
e) 
5 210
log 100000 
 
Gabarito comentado: 
 
5 2
x2x
4
10
5 2 5 2log 10000 x 10000 10 10 x 4 2x 210 0 x 10
5
 
           
 
 
 
 
5.1 Propriedades do Logaritmo 
 
5.1.1 Mlog M 1 
5.1.2 TMlog M T 
5.1.3 TW W
3
2 2log P T log P log 4 3 log 4     
5.1.4 Wlog 1 0 
 
 
6. Gráfico de uma função logarítmica 
 
Exemplo 9. Construir o gráfico das funções a seguir. 
 
a)   2f x log x 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)   1
2
f x log x 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 1/2 
 1 
 2 
 4 
 8 
 
x 
 1/2 -1 
 1 0 
 2 1 
 4 2 
 8 3 
 
x 
 1/2 1 
 1 0 
 2 -1 
 4 -2 
 8 -3 
 
 
 
 
 
 
Slides da Aula 4 – Síncrono: 20/08/2021 - Word 
 
Conteúdo 1: Revisão de função: Função do 1º Grau, Função do 2º Grau, Função Modular, Função 
Logarítmica e Função definida por várias sentenças 
 
1. Função definida por várias sentenças 
 
 
Exemplo 1. Seja a função   2
x 2 se x 3
g x
x 4 se 3 x
 
 
 
. 
 
a) Construir o gráfico correlacionado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudante: ______________________________________ Data: ___/____/____ 
Prof. Dr. Antonio Rafael Bôsso Disciplina: Cálculo I 
Curso: Engenharia Civil Turma: _________________________ 
 g x x 2 se x 3  
 
 3 
 4 
 5 
 6 
 
O ponto amarelo estará aberto no gráfico 
  2g x x 4 se x 3  
 
3 
 2 0 
 1 
 0 -4 
 -1 
 -2 0 
 -3 
 
O ponto azul ficará fechado no 
gráfico 
  2
1
2
Vértice
Vértice
g x x 4 se 3 x
x 2
x 2
x 0
y 4  
 


 
 
Exemplo 2. Seja a função   2
x 2 se x 3
g x
x 4 se 3 x
 
 
 
. 
 
a) Construir o gráfico correlacionado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 g x x 2 se x 3  
 
 3 
 4 
 5 
 6 
 
O ponto amarelo estará aberto no gráfico 
  2g x x 4 se x 3  
 
3 
 2 0 
 1 
 0 -4 
 -1 
 -2 0 
 -3 
 
O ponto amarelo ficará aberto no 
gráfico 
  2
1
2
Vértice
Vértice
g x x 4 se 3 x
x 2
x 2
x 0
y 4
  
 


 
 
Exemplo 3. Seja a função  
2
x 2 se x 3
g x 7 se x 3
x 4 se 3 x
  
 
  
. 
 
a) Construir o gráfico correlacionado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 g x x 2 se x 3  
 
 3 
 4 
 5 
 6 
 
O ponto amarelo estará aberto no gráfico 
  2g x x 4 se x 3  
 
3 
 2 0 
 1 
 0 -4 
 -1 
 -2 0 
 -3 
 
O ponto amarelo ficará aberto no 
gráfico 
  2
1
2
Vértice
Vértice
g x x 4 se 3 x
x 2
x 2
x 0
y 4
  
 


 
 
 
 
 
 
 
Slides da Aula 5 – Síncrono: 24/08/2021 - Word 
 
Conteúdo 2: Limite de uma função com uma variável 
 
1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
 
 No ensino médio você viu que a velocidade instantânea é dada por: 
 
t 0
s
v lim
t 



. 
 
No ensino médio você viu que a soma dos termos de uma progressão geométrica convergente é dada por: 
 
1
n n
a
S lim
1 q
 
   
. 
 
Exemplo 1. Seja a função  f x 2x 3  . 
 
a) Verificar o comportamento dessa função ao redor de x = 5. 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matematicamente, escrevemos assim: 
 
   
 
x 5
5
x
x
5
limli 
 lim 2x 3
m 2x 3 7
7
2x 3 7
 

 
 



 
 
 
Estudante: ______________________________________ Data: ___/____/____ 
Prof. Dr. Antonio Rafael Bôsso Disciplina: Cálculo I 
Curso: Engenharia Civil Turma: _________________________ 
x 
 4,9 
 4,99 
 4,999 
 5 
5,0001 
 5,001 
 5,01 
 5,1 
 
 
Exemplo 2. Calcular os seguintes limites usando uma calculadora. 
 
a)  
x 3
lim x 5

 
 
Gabarito comentado: 
 
 
       
 
x 3
x 3 x 3 x 3 x 3
x 3
lim x 5 8
Supondo: x 2,99 Supondo: x 3,001
lim x 5 lim 2,999 5 lim x 5 lim 3,001 5
lim x 5 8 
   


   

 
 
     
   
x 3
 lim x 5 8

 
 
 
 
b)  2
x 6
lim x 2

 
 
Gabarito comentado: 
 
    
    
22
x 6 x 6
22
x 6 x 6 x 6
lim x 2 34 lim 6 2 34
Supondo: x 6,001 Supondo: x 5,999
lim x 2 lim 6,001 2 lim
 
 
  
    
   
        
   
22
x 6
2 2
x 6 x 6
x 2 lim 5,999 2
lim x 2 34 lim x 2 34
 
 

 
   
   
 
 
 
c) 
2
x 3
x 9
lim
x 3


 
 
Gabarito comentado: 
 
 
2
x 3
22 2
x 3 x 3 x 3 x 3
x 9
lim 6
x 3
Usando a calculadora: 
Supondo: x 2,999 Supondo: x 3,001
2,999 9x 9 x 9
lim lim lim lim
x 3 2,999 3 x 3  

   



 
 
 
  
 2
2 2
x 3 x 3
3,001 9
3,001 3
x 9 x 9
lim lim
x 3 x
5,9 6 019 ,0
3
9

  


 
 
 
 
 
 
Como poderíamos encontrar essa resposta de forma analítica? 
 
   
   
   
2 2
x 3 x 3
2 2
2 2
2
x 3 x 3
Outro caminho fatoração, racionalização ou artifício mat
x 9 3 9 0
lim lim
x 3 3 3 0
Você viu no ensino fundamental e médio:
W P W P W P
x
Indetermin
3 x 3 x 3
x 3 x 3
ado
: 
x 9
lim lim
x
em tic
3
á o
 
 
 
  
 
    
    
  

 x 3
 
 
2
x 3 x 3
2
x 3 x 3
2
x 3
x 9
lim lim x 3 com x 3.
x 3
x 9
lim lim 3 3
x 3
x 9
lim 6
x 3
 
 


  


 



 
 
 
 
 
2. DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE 
 
Um limite de uma função f(x) quando x tende a a existe e vale L, que denotamos por:  
x a
lim f x L

 quando 
a afirmativa for verdadeira: Para todo 0 existe um 0  , tal que:  Se 0< x a , então f x L     . 
 
 
 
Exemplo 3. Provar que o limite existe:  
x 2
lim 3x 4 10

   . Considere um 0,03 . 
 
Gabarito comentado: 
 
   
 
   
x ax 2
lim 3x 4 10 lim f x L
Para todo 0 existe um 0, tal que:
Se 0 x a , então f x L
Se 0 x 2 , então 3x 4 10
Se 0 x 2 , então 3x 4 10
Se x 2 , então 3x 6 

   
  
     
        
      
    
 
3 x 2 3 x 2
 
3
1
3 
3
1
 0,03 
 a b a b
Se x 2 , então 3 x 2
Se x 2 , então 3 x 2
Se , e
 
ntão 
0,0
 
3
 0,01
3
 

  
     
     
    
    
   



 
 
 
 
 
Exemplo 4. Provar que o limite existe:  2
x 2
lim x 2x 1 1

   . Considere um 0,001 . 
 
Gabarito comentado: 
 
   
 
  
2
x 2 x a
2
2
lim x 2x 1 1 limf x L
Para todo 0 existe um 0, tal que:
Se 0 x a , então f x L
Se 0 x 2 , então x 2x 1 1
Se x 2 , então x 2x
Se x 2
x
, então x x 2
xSe , então2 x 
 
   
  
     
       
    
  
  




Precisamos obter uma relação para o Deveremos usar o d 1:
1 x 2 1
1 2 x 2 2 1 2
1 x 3 3
Com esse resultado iremos
x 2
x 2
 obter:
Se , então 
Se 3 , então 
1
3
3
Us
1
x 2 x 2
x
and
2
x . 
x
x
o
2 2x xx

   
      
   
  
  
    
  
 
 
 



 0,001
1
3
1 1 1
3 1000 3000
1
Resposta: 1,
3000

  
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Slides da Aula 6 – Síncrono: 31/08/2021 - Word 
 
Conteúdo 2: Limite de uma função com uma variável 
 
Questão 17 da página 63 do livro do Leithold – Volume 1. 
 
 2
2
lim 2 5 3 1 0,004
x
x x

    
 
Gabarito comentado: 
 
 
  
 
2
2
2
1 2
2
lim 2 5 3 1 0,004
Para todo 0 existe um 0, tal que: 2 5 2
1
Se 0< , então 2 5 2 2
2
x
x x
x x a x x x x
x a f x L x x x



   
      
               
  
   
  
  
2
22
2
2
1
Se 0< 2 , então 2 5 3 1 2 5 2 2 2
2
Se 2 , então 2 5 2
Se 2 , então 
2 5 2 2 1 2
2 1 2 
x x x
x
x x x x
x
x x x
x x x
xx x



 
              
 
     
  
   
      
Se 2 , então Se 2 , então 
Sabendo que 1, temos: Se 5 , ent
2 1 2 1
2
2 1
ão
2 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2
x
x x x x
x x
x
xx
x x
x
x
 
 
   
 
 
       

 
     
1
2 5
5
2 1 Para 0,004
1 2
x
x
x
        
  
   
1 4
1 
5 1000
1
2 2 4 2 
1250
2 3 2 4 3 2 3
x
x


 
    
      
1
 1;
1250
5 2 1 1
2 1 5
x
x
    
 
    
 
 
 
 
 
 
 
Estudante: ______________________________________ Data: ___/____/____ 
Prof. Dr. Antonio Rafael Bôsso Disciplina: Cálculo I 
Curso: EngenhariaCivil Turma: _________________________ 
Questão 20 da página 63 do livro do Leithold – Volume 1. 
 
2
1
3
9 1
lim 2 0,01
3 1x
x
x
 
   
 
 
Gabarito comentado: 
 
       
 
2
1
3
2 22
2
9 1
lim 2
3 1
Para todo 0 existe um 0, tal que: 9 1 3 1 
Se 0< , então 
1
Se 0< , então 2
3 3 1
3 1 3 1
1
S 
9
e
x
x
x
x x
x a f x L
x
x x
x
x




 
  
     
   
  



 

 1
, então 
3
3 1x
x 


 3 1
3 1
x
x
 

2
1
Se , então 2
3
1
Se , então 3 1
3
1 3 1
Se , então 
3 3 3
1 3 1
Se , então 
3 3 3 3
1 1
Se , então 
3 3 3
1
3
Para 0,01:
1 1 1
3 100 300
3 1x
x x
x
x
x
x
x
x
x






 
 
   
   
 
  

   

   
  



  
 
 
 
 
Questão 1 da página 72 do livro do Leithold – Volume 1. 
 
 
5
lim 3 7
x
x

 
 
Gabarito comentado: 
 
   
   
 
5 5
5 5
5
lim 3 7 lim 3 5 7
lim 3 7 lim 8
lim 3 7 8
x x
x x
x
x
x
x
 
 

   
 
 
 
 
 
Questão 14 da página 72 do livro do Leithold – Volume 1. 
 
3
3
5 2
lim
5 2x
x
x


 
 
Gabarito comentado: 
 
 
 
3 3
3 3
3 3
3 3
33
3 3
33
3
5 2 35 2
lim lim
5 2 5 2 3
5 2 5 6
lim lim
5 2 5 6
5 2 1
lim lim
5 2 11
5 2 1
lim
5 2 11
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 

  

   
 

 
 


 


 
 
 
 
 
Questão 24 da página 72 do livro do Leithold – Volume 1. 
 
21
3
3 1
lim
9 1x
x
x


 
 
Gabarito comentado: 
 
221 1
3 3
21 1
3 3
21 1
3 3
21 1
3 3
1
3 13 1 3lim lim
9 1 1
9 1
3
3 1 1 1
lim lim
19 1 9 1
9
3 1 1 1
lim lim
9 1 1 1
3 1 0
lim lim Indeterminado
9 1 0
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
 
 

    
 
 

  
 

 

 

 
Você precisa encontrar um caminho para resolver o problema. Pode ser: fatoração, racionalização ou artifício 
matemático. 
 
21 1
3 3
3 1 3 1
lim lim
9 1x x
x x
x 
 

  3 1x   
   
     
2
2 12
21 1
3 3
21 1
3 3
21
3
 9 1 3 1 3 1
3 1
3 1 1
lim lim 9 1 3 1
9 1 3 1
3 1 1
lim lim
19 1 3 1
3
3 1
lim
9
x x
x x
x
x x x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
 
 

    
 

   
 


    
 


  
  
  
  
21 1
3 3
2 22 21 1 1 1
3 3 3 3
2
1
3
1 3 1 1
lim lim
1 2 9 1 2
:
3 0,329 1 3 0,334 13 1 3 1
lim = lim 
Calcu
 lim lim
9 1 9 19 0,329 1 9 0,334 1
3 1
l
lim 0
adora
,
9 1
x x
x x x x
x
x
x
x x
x x
x
x
   

 
                 
       
  
 

  

    

    


 21
3
21
3
3 1
50327 lim 0,4995
9 1
3 1 1
 lim
9 1 2
x
x
x
x
x
x

  
 





 

 
 
 
Nas questões 36 a 39 da página 72 é preciso utilizar o teorema de D´Alembert: 
 
Seja ( ) um polinômio e ( ) 0, então ( ) é divisível pelo binômio x .P x P a P x a  
 
Questão 36 da página 72 do livro do Leithold – Volume 1. 
 
3 2
22
10
lim
3 2x
x x x
x x
  
 
 
 
Gabarito comentado: 
 
     
   
3 23 2
222 2
3 2
22 2
3 2
22
2 2 2 1010
lim lim
3 2 2 3 2 2
10 0
lim lim
3 2 0
Você precisa encontrar um caminho para resolver.
Você podeo usar o teore D´Alembertma de 
10
l
.
im
3
x x
x x
x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
 
 

       

      
  

 
  
 
   
   
   
3 2 2 10 3 2
2
 2 0 2 0
 e são divisivéis por
P x x x x Q x x x
P Q
P x Q x
      
   
  2 2x x   
 
 
Fazendo as divisões, você encontrará: 
   
   
 
2
3 2
22
2
2
2
3 2 3 5
2 1
210
lim l
3
10
im
3 2
2
x x
x x x
x x
xx x x
x x
x
x x
x x
 
       
   
  

 

 
 
2 3 5
2
x x
x
  
  
 
 
   
 
23 2
22 2
23 2
22 2
3 2
22
1
3 510
lim lim
3 2 1
2 3 2 510
lim lim
3 2 2 1
10
lim 15
3 2
x x
x x
x
x
x xx x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x
 
 

 
   

  
      

   
  
 
 
 
 
1. LIMITES LATERAIS 
 
Exemplo 1. Seja a função:  
2
2
4 se 1
2 se 1
x x
h x
x x
   
 
. 
a) Calcular  
1
lim
x
h x

. 
 
Gabarito comentado: 
 
   
   
    
 
2
21
2
1 1
2
1 1
1
Su
4 se 1
lim 
2 se 1
: 0,999
lim lim 4
lim lim 4 0,999
lim 3
pondo
x
x x
x x
x
x x
h x h x
x x
x
h x x
h x
h x

 
 


 
 

   
 

 
 

 
 
b) Calcular  
1
lim
x
h x

. 
 
Gabarito comentado: 
 
   
   
    
 
2
21
2
1 1
2
1 1
1
Su
4 se 1
lim 
2 se 1
: 1,001
lim lim 2
lim lim 2 1,001
lim 3
pondo
x
x x
x x
x
x x
h x h x
x x
x
h x x
h x
h x

 
 


 
 

   
 

 
 

 
 
 
c) Calcular  
1
lim
x
h x

. 
 
Gabarito comentado: 
 
 Você deve saber que o limite de uma função só existe se os limites laterais existirem e forem iguais e 
finitos. 
 
     
 
11 1
1
Como os limites laterais lim e lim existem e são iguais, logo o lim existe e vale 3.
lim 3
xx x
x
h x h x h x
h x
   


 
 
 
 
Exemplo 2. Seja a função:  
2
2
4 se 2
2 se 2
x x
t x
x x
   
 
. 
a) Calcular  
2
lim
x
t x

. 
 
Gabarito comentado: 
 
   
   
    
 
2
22
2
2 2
2
2 2
2
Sup
4 se 2
lim 
2 se 2
: 1,999
lim lim 4
lim lim 4 1,999
lim 0
ondo
x
x x
x x
x
x x
t x h x
x x
x
t x x
t x
t x

 
 


 
 

   
 

 
 

 
 
b) Calcular  
2
lim
x
t x

. 
 
Gabarito comentado: 
 
   
   
    
 
2
22
2
2 2
2
2 2
2
Sup
4 se 2
lim 
2 se 2
: 2,001
lim lim 2
lim lim 2 2,001
lim
o do
6
n
x
x x
x x
x
x x
t x t x
x x
x
t x x
t x
t x
 
   
   
 
   
 

 
 

 
 
 
c) Calcular  
2
lim
x
t x

. 
 
Gabarito comentado: 
 
 Você deve saber que o limite de uma função só existe se os limites laterais existirem e forem iguais e 
finitos. 
 
     
22 2
Como os limites laterais lim e lim existem e são diferentes, logo o lim não existe.
xx x
t x t x t x
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Slides da Aula 7 – Síncrono: 14/09/2021 - Word 
 
Conteúdo 2: Limite de uma função com uma variável 
 
1. LIMITES INFINITOS 
 
Exemplo 1. Calcular o valor do limite. 
 
a) 
x 2
5
lim
2 x 
 
 
Gabarito comentado: 
 
x 2
x 2 x 2
x 2 x 2
x 2 x 2
x 2
5
lim ?
2 x
Supondo :
x 2,001
5 5
lim lim
2 x 2 2,001
5 5
lim lim
2 x 0,001
5 5
lim lim
2 x 0
5
lim
2 x

 
 
 


 
 
 





 

 


 

 
 
b) 
x 1
12
lim
x 1 
 
 
Gabarito comentado: 
 
x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
12
lim ?
x 1
Supondo :
x 1,001
12 12
lim lim
x 1 x 1
12 12
lim lim
x 1 1,001 1
12 12
lim lim
x 1 0
12
lim
x 1

 
 
 


 
 
 





 

 


 

 
 
Estudante: ______________________________________ Data: ___/____/____ 
Prof. Dr. Antonio Rafael Bôsso Disciplina: Cálculo I 
Curso: Engenharia Civil Turma: _________________________ 
c) 
2
x 4
x 4
lim
x 4


 
 
Gabarito comentado: 
 
2
x 4
22
x 4 x 4
2
x 4 x 4
2
x 4
x 4
lim ?
x 4
Supondo :
x 3,999
x 4 x 4
lim lim
x 4 x 4
x 4 12
lim lim
x 4 0
x 4
lim
x 4

 
 


 
 





 

 




 

 
 
d) 
2
x 2
x 4
lim
x 2


 
 
Gabarito comentado: 
 
 
2
x 2
2 2
x 2 x 2
2
x 2 x 2
x 4
lim ?
x 2
Supondo :
x 2,001
x 4 x 4
lim lim
x 2 x 2
x 2x 4
lim lim
x 2

 
 

 
 



 
 

 



 x 2
x 2


 
 
2
x 2 x 2
2
x 2 x 2
2
x 2
x 4
lim lim x 2
x 2
x 4
lim lim 2,001 2
x 2
x 4
lim 4
x 2
 
 

 
 


 


  


 

 
 
2.1 Assíntota Vertical 
 
 
 
 
QUESTÃO 42. Página 88 do livro do Leihold. Calcular as assíntotas verticais e fazer um esboço. 
  2
1
f x
x 5x 6

 
 
Gabarito comentado: 
 
 
           
 
2
22 1 1
2 2
2 2 2
1 2
x 1 x
Passo 1: Calcular a raiz do denominador x 5x 6 0
5 7
x x 15 5 4 1 6b b 4ac 5 7 2x x x
5 72a 2 1 2
x x 6
2
x 5x 6 a x x x x x 5x 6 1 x 1 x 6 x 5x 6 1 x 1 x 6
Para x 1:
lim f x lim
 
  
                           

                 


       1 x 1 x 1
1 1
 lim f x lim
x 1 x 6 x 1 x 6
Supondo : Supondo :
x 0,999 
   

   

         
    
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
 x 1,001
1 1
lim f x lim lim f x lim
x 1 x 6 1,001 1 1,001 6
1
lim f x lim 
0,999 1 0,999 6
   
 
   
 

 
   

 
 
   
 
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
1
 lim f x lim
0 7
1 w
lim f x lim lim f x lim onde w é uma constante positiva
0 7 0
w
lim f x lim onde w é uma c
0
 
   
 
 
    
 


 

  
 
         
x 1
x 1
x 6 x 1 x 6 x 1
onstante positiva lim f x
lim f x 
Para x 6 :
1 1
lim f x lim lim f x lim
x 1
 
x 6 x 1 x 6
Supondo : 
 Resposta 2
 
 Resposta 1


   


   
 
 
 
 
   
    x 6 x 1
 Supondo :
x 6,001 x 5,999
1
lim f x lim 
x 1 x 6  
   

 
    
         
 
x 6 x 1
x 6 x 1 x 6 x 1
x 6 x 1 x 6
1
 lim f x lim
x 1 x 6
1 1
lim f x lim lim f x lim
6,001 1 6,001 6 5,999 1 5,999 6
1
lim f x lim lim
7 0
 
   
 
 
   
  

 
 
       

 
 
   
   
x 1
x 6 x 1 x 6 x 1
x 6 x 6
1
f x lim
7 0
M M
lim f x lim M é uma constante negativa lim f x lim M é um
 Resposta 3
a constante negativa
0 0
lim f x lim f x 
 
   
 

    
 

 
 
    Resposta 4
 
 
 
Exemplo 2. Calcular os limites. 
 
a) 
 2t 2
t 2
lim
t 2
 

 
 
Gabarito comentado: 
 
 
   
   
 
   
 
 
2t 2
2 2
t 2 t 2
2 2
t 2 t 2
2t 2 t 2
2 2t 2 t 2
2t 2 t 2
t 2
lim ?
t 2
Supondo :
t 1,999
t 2 t 2
lim lim
t 2 t 2
t 2 1,999 2
lim lim
t 2 1,999 2
t 2 0
lim lim Indeterminado
0t 2
t 2 t 2
lim lim
t 2 t 2
1t 2
lim lim
t 2

 
 
 
 
 

 
 

 
 
 
 



   

 
   

 
 
 

   

 
  


 t 2
   t 2 t 2 
 
 
   
 
   
 
 2 2 2 2t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 2
1 1 1t 2 t 2 t 2 t 2
lim lim lim lim lim lim lim
t 2 1,999 2 0t 2 t 2 t 2 t 2      
      
         
       
    
 
 
 
 
2. LIMITES NO INFINITO 
 
Exemplo 3. Calcular. 
 
a) 
x
2x 5
lim
x 6


 
 
Gabarito comentado: 
 
 
x
8
x x
8
8x x
x
x x
x x
x
2x 5
lim ?
x 6
Supondo :
x 9 10
2x 5 2x 5
lim lim
x 6 x 6
2x 5 2 9 10 5
lim lim
x 6 9 10 6
2x 5
lim 2
Sem
x 6
2x 5 2x 5
lim lim
x 6 x 6
2 52x 5
lim lim
x 6 6
2
 a calculadora:
lim

 
 

 
 




 
 

 
   

  



 

 
 

  
x
x x
x x
x x
x
x 5
lim Indeterminado
x 6
Dividir a fração pelo termo que tem maior expoente no denominador:
2x 5
2x 5
lim lim
66
5
22x 5
lim lim
66
5
22x 5
lim lim
66
l
x x
xx
x x
x
x 1
x
x
im
1

 
 
 

 
 
 


 


 
 
 

x
x
x 1
2x 5 2 0
lim
6 0
2x 5
l
6x
im 2


 

 



 
 
 
 
 
2.1 Assíntota Horizontal 
 
 
 
Exemplo 4. Calcular as assíntotas verticais e horizontais e fazer um esboço. 
 
a)  
2
2
4x
G x
x 9


 
 
Gabarito comentado: 
 
 
  
    
2
2
2
12 2
2
2
x 3 x 3
Assíntotas Verticais: x a x 3 e x 3
4x
G x
x 9
Passo 1: Calcular as raízes do denominador x 9 :
x 3
x 9 0 x 9 x 3 x 3
x 3
Para x 3
4x
lim G x lim 
x 3 x 3  
    



 
       


 
    
      
2
x 3 x 3
2
x 3 x 3 x 3 x 3
4x
 lim G x lim
x 3 x 3
Supondo : x 2,999 Supondo : x 3,001
4 2,999 4 3,001
lim G x lim lim G x lim
2,999 3 2,999 3
 
   
 
   

 
 
 
 
     
   
   
2
x 3 x 3 x 3 x 3
x 3 x 3 x 3 x 3
3,001 3 3,001 3
36 36
lim G x lim lim G x lim
0 6 0 6
6 6
lim G x lim lim G x lim
0 0
   
   
    
    
 
 
 
 
   
         
x 3 x 3
2 2
x 3 x 3 x 3 x 3
lim G x lim G x 
Para x 3
4x 4x
lim G x lim 
Resposta 1 Resposta
 lim G x lim
x 3 x 3 x 3 x 3
Su
 
p do
2
on
 
   
 
   
   
 
 
   
       
 
   
 
2 2
x 3 x 3 x 3 x 3
x 3 x 3
: x 3,001 Supondo : x 2,999
4 3,001 4 2,999
lim G x lim lim G x lim
3,001 3 3,001 3 2,999 3 2,999 3
36
lim G x lim
   
 
   
 
   
   
 
       
  
   
 
x 3 x 3
x 3 x 3 x 3 x 3
x 3
36
 lim G x lim
6 0 6 0
6 6
lim G x lim lim G x lim
0 0
Reslim G x post a 3
 
   

  
    


   
 
 
   
x 3
 Resposta 4 lim G x 

 
 
   
 
2 2
x x x x
2
x
2
x
2 2
2
2
2
Assíntotas Horizontais: y b y 4
4x 4x
lim G x lim 
x x
x
x
x
 lim G x lim
9 9
4x
lim G x lim 
x
9
   
 
  
 
 


 
   
 
 
2
x x
x x x x
x
2
2
x
2
2
2
2 2
4x
 lim G x lim
9
4 4
lim G x lim lim G x lim
9 9
4
lim G x lim 
x
x
x x
1 1
x x
 
1
 li
9
 
   
 


 
 



 
 
   
   
x x
x x x x
2
x x
4
m G x lim
9
4 4
lim G x lim lim G x lim
lim G x 4 Resposta lim G x
1
5 Re
1 0
 s
0
4
1
 
  
 




 



posta 6 
 
 
 
 
QUESTÃO 48. Página 98 do livro do Leithold. Calcular as assíntotas verticais e horizontais e fazer um 
esboço. 
 
 
  
 
  
 
  
 
  
2
x 3 x 3 x 3 x 3
x 3 x 3 x 3 x 3
x
h x
x 9
Assíntotas Verticais: x 3 e x 3
x x
lim h x lim lim h x lim
x 3 x 3 x 3 x 3
Supondo :
x x
lim h x lim lim h x lim
x 3 x 3 x 3 x 3
Su
   
   
   
   


  
 
   
 
   
 
  
 
   
 
  
x 3 x 3 x 3 x 3
x 3 x 3
pondo : x 2,999 Supondo : x 3,001
x 3,001
lim h x lim lim h x lim
x 3 x 3 3,001 3 3,001 3
2,999
lim h x lim 
2,999 3 2,999 3
   
 
   
 
 
 
   

 
 
   
 
x 3 x 3
x 3 x 3 x 3 x 3
x 3
3,001
 lim h x lim
0 6
2,999 3,001
lim h x lim lim h x lim
0 6 0
lim h x
 
   

 
    



 

   
 
   
x 3
2
2
2
2 2
x lim h x
x
h x
x 9
x se x 0
Assíntotas Horizontais: y b y 1 e y 1 x x
x se x 0
x
x xh x h x
x 9 x

  



        
  


     
   
   
2
2
2 22
x x x x
x x x
xx
x xxh x h x h x
x1 09 x 9
x xx
x x
lim h x lim lim h x lim
x x
x
lim h x lim lim h x
x
   
  
     
 
 
 

   
x
x x
x
lim
x
lim h x 1 lim h x 1

 
  
 
 
Você tem que terminar a questão antes e o esboço do gráfico antes do almoço. 
 
 
 
 
 
 Atividade 1 – Aula 7: 14/09/2021 
 
Conteúdo 2: Limite de uma função de uma variável 
 
Olá Estudante! Essa Atividade será destinada para a obtenção de frequência do dia 14/09/2021. Para 
isso, as condições são: 
 A resolução deve ser manuscrita; 
 A resolução deve ser completa e detalhada; 
 A resolução deve ser organizada; 
 Em todas as folhas deve ter o nome do Estudante; 
 A resolução deve ser postada em PDF num único arquivo (https://www.ilovepdf.com/pt); 
 A resolução deve ser postada no local definido (Moodle / Aula 7) e na data definida (8 h do dia 
21/09/2021). 
 
QUESTÃO 1. Fazer um comentário em torno de 15 linhas sobre os assuntos abordados em aula. 
 
QUESTÃO 2. Resolver os exemplos contidos no arquivos – Slides da Aula 7 – Word . 
 
 
Recomendação de estudo: Resolver as: 
 questões 13 a 32; 35 a 42 – página 88; 
 questões 11 a 30; e 37 a 48 – página 98. 
Estudante: ______________________________________ Data: ___/____/____ 
Prof. Dr. Antonio Rafael Bôsso Disciplina: Cálculo I 
Curso: Engenharia Civil Turma: _________________________ 
 
https://www.ilovepdf.com/pt
Vetor (matemática)
elemento de um espaço vetorial
euclidiano
Em geometria analítica, um vetor é uma classe de equipolência de segmentos de reta
orientados, que possuem todos a mesma intensidade (também designada por norma ou
módulo), mesma direção e mesmo sentido.[1] Em alguns dos casos, a expressão vetor
espacial também é utilizada.[carece de fontes
?
]
Esta página cita fontes, mas estas não cobrem todo o conteúdo.
Saiba mais
Representação gráfica de um vetor.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:P%C3%A1gina_principal
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Classe_(teoria_dos_conjuntos)
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Equipol%C3%AAncia
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Segmento_de_recta
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Cite_as_fontes
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Cite_as_fontes
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:VectorAB.svg
A Wikipédia possui o: 
Portal da Matemática
Neste contexto, um vetor pode ser representado por qualquer segmento de reta orientado,
que seja membro da classe deste vetor (isto é, por qualquer segmento de reta orientado que
possua o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido de qualquer outro segmento da
referida classe). Se o segmento (segmento de reta orientado do ponto A para o ponto B)
for um representante do vetor então podemos dizer que o vetor é igual ao vetor 
Podemos ainda representar um vetor como um número complexo na forma ,
onde representa a abcissa e representa a ordenada desse vetor.[2]
Um vetor é definido como sendo uma classe de equipolência de segmentos de reta
orientados de [3], em que representa um espaço vetorial de n dimensões. Assim
sendo, em um espaço vetorial de 3 dimensões ( ), cada vetor será dotado de três
coordenadas, comumente denominadas x, y e z.
Os vetores desempenham um papel importante na física: velocidade e aceleração de um
objeto e as forças que agem sobre ele são descritas por vetores. Os componentes de um
vetor dependem do sistema de coordenadas usado para descrevê-lo. Outros objetos usados
para descrever quantidades físicas são os pseudovetores e tensores.
Os vetores têm aplicação em várias áreas do conhecimento, tanto técnico quanto científico,
como física, engenharia e economia, por exemplo, sendo os elementos a partir dos quais se
constrói o Cálculo Vetorial.
O módulo, norma, magnitude ou intensidade, de um vetor representa-se por e
corresponde, do ponto de vista geométrico, ao seu comprimento[4] (que, na figura acima,
seria a distância AB).
Fórmula de cálculo (para uma base ortonormal):
Definição formal
Importância dos vetores
Módulo ou norma do vetor
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Portal:Matem%C3%A1tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Reta
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Equipol%C3%AAncia
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Velocidade
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Acelera%C3%A7%C3%A3o
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Tensor
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Engenharia
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Economia
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Vetorial
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Comprimento
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Base_ortonormal
 (dedução a partir do Teorema de Pitágoras)
Muitas operações algébricas nos números reais possuem formas análogas para vetores. Os
vetores podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados por um número e invertidos. Essas
operações obedecem às conhecidas leis da álgebra: comutatividade, associatividade e
distributividade. A soma de dois vetores com o mesmo ponto inicial pode ser encontrada
geometricamente usando a regra do paralelogramo. A multiplicação por um número positivo
(comumente chamado escalar), nesse contexto, se resume a alterar a magnitude do vetor,
isto é, alongando ou encurtando-o porém mantendo o seu sentido. A multiplicação por -1
preserva a magnitude mas inverte o sentido. As coordenadas cartesianas fornecem uma
maneira sistemática de descrever e operar vetores. Como não há a multiplicação nem a
divisão, também não há a potenciação nem a radiciação.
Adição
A decomposição dos vetores nos seus componentes horizontais e verticais, nos revela
componentes de triângulos retângulos, nos quais podemos observar claramente a
propriedade da adição[5] dos vetores.
Observemos o gráfico:
Operações com vetores
Adição vetorial pela regra do paralelogramo.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras#Teorema_de_Pit%C3%A1goras
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Opera%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Analogia
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Adi%C3%A7%C3%A3ohttps://pt.m.wikipedia.org/wiki/Subtra%C3%A7%C3%A3o
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Comutatividade
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Associatividade
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Distributividade
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Regra_do_paralelogramo
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Escalar
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vector_Addition.svg
Podemos verificar que:
e que:
assim como:
Logo temos que, dados dois vetores:
a sua adição resulta em:
Expandindo para a forma tridimensional temos:
Subtração
Adição de vetores
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vetor_soma.png
Da mesma forma que no caso anterior temos a subtração[5] como já aprendemos, também
podemos demonstrar esta propriedade usando a decomposição em triângulos retângulos:
Observemos o gráfico:
Podemos verificar que:
e que:
Subtração de vetores
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vector_subtraction.png
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vetor_subtrac.png
assim como:
Logo temos que, dados dois vetores:
a sua subtração resulta em:
Expandindo para a forma tridimensional temos:
Multiplicação por escalares[5]
Definimos que se expressando apenas valor numérico, então o denominamos
escalar.
O produto de um escalar por um vetor é encontrado pela notação
que operamos:
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Scalar_multiplication_of_vectors.png
onde:
 é o vetor resultante;
 é o vetor parâmetro original;
 é o escalar.
Esta operação pode ser observada graficamente ao lado:
Note que todos os vetores gerados pela multiplicação por escalares são paralelos ao
original, quando multiplicamos um vetor por temos uma inversão de sentido e
qualquer valor de escalar diferente de altera a magnitude do vetor.
Produto escalar
O produto escalar, também denominado produto interno, é o produto de dois vetores que
resulta em um escalar, a operação que define o seu valor definimos abaixo.
Consideremos dois vetores cujos componentes são notados por e 
respectivamente, sendo uma das dimensões: então o produto escalar é definido
como:
[4]
Propriedades do produto escalar
As propriedades[4] do produto escalar são facilmente demonstráveis e estão na tabela
abaixo, na mesma convencionamos que:
 são vetores em 
 é um escalar.
Propriedade Operação
Produto nulo
Comutativa do produto escalar
Associativa entre produto escalar e produto por escalares
Distributiva
Escalar quadrado
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Produto_escalar
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Produto_interno
A demonstração das propriedades não é difícil, uma vez que todas são intuitivas. Para isto,
basta efetuar a operação do produto escalar e utilizar regras básicas de operações
algébricas.
Produto vetorial
As operações com vetores podem, muitas vezes, parecer estranhas a princípio, porém
depois que entendemos a sua finalidade e o conceito do fundamento que está por trás de
seu comportamento nos habituamos, podendo aproveitar dos recursos que estas operações
podem nos oferecer. Um dos cálculos mais intrigantes dentro do universo dos vetores é o
chamado produto vetorial, que é definido pela seguinte operação:
Sejam os vetores o produto vetorial dos mesmos é:
A razão desta definição está na operação geométrica entre dois vetores, que neste caso,
objetiva-se em encontrar um vetor que seja, ao mesmo tempo, perpendicular aos dois
vetores operados. Como a operação resulta em um novo vetor, ela é denominada de produto
vetorial.
A operação resume-se em encontrar coordenadas em cada eixo que sejam perpendiculares
entre elas e de módulo igual a área formada pelo paralelogramo criado pela imagem dos
dois vetores em cada um dos planos primários.
Podemos observar que cada componente é igual à resultante de um determinante, o que nos
habilita representá-los da seguinte forma:
Como temos um vetor tridimensional, podemos adotar a notação:
Que pode ser simplificada ainda mais se adotarmos a notação de determinante com três
variáveis:
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Produto_vetorial
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Paralelogramo
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Determinante
Em decorrência disto, temos um produto que se comporta de maneira idêntica a um
determinante, onde todas as propriedades são iguais às apresentadas pelos mesmos.
Propriedades do produto vetorial
O produto vetorial é basicamente uma operação em forma de determinante. A tabela abaixo
introduz as propriedades do mesmo:
 são vetores em 
 é um escalar.
Propriedade Operação
Produto vetorial inverso
múltiplo de escalar por produto vetorial
Distributiva a direita
Distributiva a esquerda
Conversão em vetores com produtos escalares
Ângulo entre dois vetores
Observemos o gráfico:
Relação entre o ângulo e o produto escalar de dois vetores
Dados dois vetores é possível demonstrar que o cosseno do ângulo entre os dois
vetores é proporcional ao produto interno (escalar), relacionando-se da seguinte forma:
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Angle_between_two_vectors.svg
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo
Demonstração:
Observemos o gráfico abaixo:
O gráfico mostra dois vetores relacionados pelo ângulo É importante notar que temos um
triângulo, que pode ser generalizado pela lei dos cossenos, o que permite fazer a relação
entre o ângulo e os dois vetores.
Considerando os vetores na ilustração acima, é possível fazer o cálculo do módulo de sua
diferença utilizando a conhecida relação da lei dos cossenos para o triângulo:
Portanto:
Relação entre produto vetorial e ângulo entre vetores
Seja os vetores e vetores em é possível provar que o módulo do vetor resultante do
produto vetorial destes, é proporcional ao seno do ângulo entre os dois vetores,
relacionando-se da seguinte forma:
 Comprovação: Façamos a operação conforme indicado na
definição para verificar a evolução:
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Angulo_vetores.png
De onde calculamos o seu módulo:
Como já sabemos, podemos aplicar as propriedades já estudadas para os vetores:
Lembremos que, se:
Quando 
logo:
Interpretação do produto vetorial
O vetor resultante do produto vetorial apresenta módulo igual à área do paralelogramo
delimitado pelos dois vetores que lhe deram origem, observemos o gráfico abaixo:
Como já sabemos, os vetores que mantêm
um ângulo entre eles, quando multiplicados,
podem ser expressos desta forma:
Considere a seguinte separação:
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Prod_vetorial.png
Muito convenientemente, podemos verificar que é a altura do paralelogramo, que
multiplicado pela norma do vetor nos dá a área do paralelogramo. Da mesma forma
verifiquemos que o produto vetorial nos fornece um vetor perpendicular aos dois que lhe
deram origem... Façamos:
Pelas propriedades dos determinantes e do produto escalar temos:
Sendo o determinante acima nulo, uma vez que uma das suas linhas é múltipla de outra:
Também teremos o mesmo resultado para o segundo vetor, visto que o mesmo também é
uma das linhas do determinante, portanto o produto vetorial fornece um vetor perpendicular
aos dois que lhe deram origem, visto que o cosseno do ângulo é nulo, ou seja, o ângulo é 
Ângulos diretores
A relação entre produto escalar e cosseno do ângulo entre os vetores nos fornece uma outra
possibilidade de referenciar os vetores aos eixos do sistema cartesiano, uma vez que temos
versores primários para os eixos, podemos verificar qual o resultado do produto escalar
entre estes e um vetor qualquer no espaço. Seja o vetor calculemos o
produto escalar entre ele e os vetores relacionados aos eixos: 
Para este caso inicialmente façamos uma breve reflexão:
Se para cada vetor de módulo unitário for feita a mesma operação acima, teremos três
ângulos para os quais são os ângulos do vetor no espaço em relação aos eixos, por estarazão convencionou-se chamá-los de nomes especiais, que são respectivamente,
para os vetores Observemos, também, que a operação será sempre a mesma para
cada eixo e o resultado será o valor da componente do vetor para o eixo dividido pela norma
do mesmo, o que nos fornece três cossenos:
Os quais chamamos de cossenos diretores, pois direcionam o vetor no espaço sob a
referência dos eixos. Em consequência disto, também chamamos os ângulos de ângulos
diretores.
Em conseqüência do que já vimos nas seções anteriores, temos a seguinte equação:
Também temos outra forma de referenciar o vetor, usando os cossenos diretores:
Que será útil em determinadas análises, inclusive quando parâmetros polares forem
considerados.
Projeções sobre vetores
O produto escalar nos dá a possibilidade de encontrar a projeção de um vetor sobre o outro
sem a necessidade de sabermos qual o ângulo entre os dois, isto é possível devido à
equivalência algébrica do produto escalar com o cosseno do ângulo entre os dois vetores
como vimos anteriormente.
Sejam os vetores o produto escalar dos mesmos é:
de onde concluímos que:
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o
Observando o lado direito da equação observamos que a expressão corresponde à projeção
do vetor sobre o vetor porém sob a forma escalar, ou seja, o valor corresponde ao
comprimento (norma) da projeção, não contendo a informação acerca da direção e do
sentido. Definimos, então, a projeção escalar do vetor sobre o vetor como:
Observemos ainda outro fato esclarecedor: a projeção escalar de um vetor sobre o outro é o
produto escalar do versor do vetor sobre o qual será projetado e o outro vetor. Intuitivamente,
percebemos que o versor que contém a informação sobre a direção e sentido do vetor onde
será projetado o valor e portanto, determina-o, visto que é no mesmo onde temos a
informação sobre a inclinação.
Seguindo este mesmo raciocínio, se multiplicarmos esta projeção, que é um valor escalar,
pelo vetor unitário (versor), que usamos no cálculo anterior, teremos um vetor projeção
criado como "imagem" do outro. Fazendo isto teremos:
A desigualdade de Cauchy-Schwarz
Sejam os vetores é possível provar que o produto
escalar relaciona-se com os módulos dos vetores de forma a satisfazer a seguinte
desigualdade
Comprovação:
Analisemos o produto escalar separadamente:
Se quisermos o módulo do produto escalar teremos:
porém,
então:
Como o lado esquerdo da inequação faz parte do módulo, podemos simplificar para:
Sejam os vetores em sobre estes definimos o produto misto como:
Produto misto
Produto misto
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Prod_misto.png
Em síntese, a operação do produto vetorial nos fornece um novo vetor perpendicular aos
dois que lhe deram origem, por outro lado, o produto escalar deste vetor por outro nos
fornece um escalar, que representa o produto misto. Observando estas operações mais
detalhadamente, quando operamos o produto vetorial temos um vetor definido com os
versores primários, sendo temos:
logo:
Que nos dá:
Propriedades do produto misto
As propriedades do produto misto são análogas às dos determinantes em geral, apenas uma
operação algébrica entre produtos devemos destacar:
Comutativa entre produto escalar e produto vetorial em um produto misto:
Dados três vetores: em podemos comutar os vetores e produtos tais que:
No que se refere à operação em determinantes, a operação:
enquanto que:
Para fazer com que o primeiro determinante se torne o segundo basta permutar a mesma
linha duas vezes dentro do determinante, ou seja, inverter o sinal do mesmo duas vezes, o
que faz com que este retorne ao valor original. Algebricamente, os dois determinantes
definem o mesmo valor quando operados. Isto define a operação como válida.
Vetores velocidade e aceleração
A trajetória de um ponto em movimento pode ser definida em cada instante t através do
vetor de posição do ponto
Cada uma das três componentes, x(t), y(t) e z(t), é uma função do tempo. Num intervalo de
tempo o deslocamento do ponto é:
onde e são os vetores posição nos instantes e O vetor obtido dividindo o
deslocamento por é o vetor velocidade média, com a mesma direção e sentido do
deslocamento 
Vetores na Física
Trajetória de um ponto e deslocamento entre dois instantes e 
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Posi%C3%A7%C3%A3o
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Deslocamento
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vetores_2.png
Define-se o vetor velocidade em cada instante, igual ao deslocamento dividido por no
limite em que se aproxima de zero:
e as suas componentes serão as derivadas das componentes da velocidade:
As equações de vetor velocidade e suas componentes da velocidade são as equações de
movimento em 3 dimensões, escritas de forma vetorial. Como a igualdade de dois vetores
implica a igualdade das suas componentes, temos e equações
semelhantes para as componentes y e z. Portanto, o movimento em 3 dimensões é a
sobreposição de 3 movimentos em uma dimensão, ao longo dos eixos x, y e z, e para cada
um desses 3 movimentos verificam-se as equações de movimento ao longo de um eixo.
Para cada uma das componentes cartesianas existe uma equação de movimento que
relaciona a aceleração com a velocidade e a posição:
Velocidade e aceleração relativas
A figura abaixo mostra os vetores posição de um mesmo ponto P em dois referenciais
diferentes. O primeiro referencial tem eixos x, y, z e origem O. Os eixos e origem do segundo
referencial foram designados e 
A relação que existe entre o vetor posição em relação à origem O e o vetor posição em
relação à origem é a seguinte:
onde é o vetor de posição da primeira origem O em relação à segunda origem.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vetor_3.png
Derivando essa expressão em relação ao tempo, obtemos a relação entre as velocidades:
e derivando novamente obtemos a relação entre as acelerações:
Consequentemente, a velocidade vetorial em relação a um segundo referencial é igual à
velocidade vetorial em relação ao primeiro referencial, mais a velocidade vetorial do primeiro
referencial em relação ao segundo. O mesmo princípio aplica-se ao vetor aceleração. Assim,
por exemplo, se nos deslocarmos com velocidade vetorial dentro de um comboio, para
obtermos a nossa velocidade vetorial em relação à Terra, teríamos de somar a velocidade
vetorial do comboio em relação à Terra.[6]
Relação entre os vetores posição de um ponto em dois referenciais diferentes
A aceleração de um corpo em queda livre, em relação a um referencial que também está em queda livre, é nula.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vetor_3.png
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vetor_avi%C3%A3o.png
Mas como a Terra se desloca em relação ao Sol, para encontramos a nossa velocidade em
relação ao Sol teríamos de somar também a velocidade vetorial do ponto da Terra onde nos
encontrarmos, em relação ao Sol. Em relação à Galaxia teríamos de somar a velocidade
vetorial do Sol na galaxia, e assim sucessivamente.
O princípio de adição de acelerações vetoriais relativas é aproveitado para treinar os
candidatos a astronautas. Se o astronauta, a bordo de um avião, tropeça e cai para o chão, a
sua aceleração vetorial durante a queda, em relação à Terra, é o vetor que aponta para o
centro da Terra e tem módulo igual à aceleração da gravidade. Mas se o avião também
estiver a cair livremente, a sua aceleração vetorial em relação à Terra será o mesmo vetor 
Portanto, a aceleração vetorial do astronauta em relação ao avião será a diferença entre
essas duas acelerações em relação à Terra, que é zero. Em relação ao avião, o astronauta
não acelera em nenhuma direção, mas flutua no meio do avião, durante os segundos que o
piloto conseguir manter o avião em queda livre.[6]
Produto escalar
O produto escalar entre dois vetores e e o ângulo formado pelas duas direções. O
produto a cos é igual à componente do vetor a direção paralela ao vetor e oproduto b
cos é igual à componente do vetor b na direção paralela ao vetor a. Assim, o produto
escalar é igual ao produto do módulo de um dos vetores vezes a componente do segundo
vetor na direção paralela ao primeiro.
Dois vetores e e o ângulo entre as suas direções.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vetor_cosceno.png
É designado de produto escalar, porque os módulos dos dois vetores e o ângulo entre as
direções são grandezas escalares, que não dependem do referencial usado para os medir;
consequentemente, o produto ab cos é também um escalar, independente do sistema de
eixos usado. Duas retas que se cruzam num ponto definem dois ângulos e No
caso dos vetores, não há ambiguidade na definição do ângulo, porque se deslocarmos os
vetores para um vértice comum, o ângulo será a região dos pontos que estão deslocados no
sentido dos dois vetores em relação ao vértice. O produto escalar entre dois vetores com
módulos a e b estará sempre dentro do intervalo [ -ab, ab]. Se o ângulo entre os vetores for
agudo, cos o produto será positivo, no contrário será obtuso o produto sendo
negativo. Se os vetores forem perpendiculares, o produto será nulo.
O valor mínimo do produto, - ab, obtém-se no caso em que os vetores tenham a mesma
direção mas sentidos opostos. O valor máximo, ab, é obtido no caso em que os vetores
tenham a mesma direção e sentido.
Como os versores têm todos módulo igual a 1, o produto entre dois versores é sempre igual
ao cosseno do ângulo entre as suas direções. Assim, o ângulo entre duas direções no
espaço é igual ao arco cosseno do produto escalar entre dois versores nessas direções:
No caso dos três versores cartesianos o produto escalar entre dois versores
diferentes é zero, por serem perpendiculares, e o produto de um dos versores consigo
próprio é 1. Esse resultado pode ser usado para obter outra expressão para o cálculo do
produto escalar entre dois vetores e Usando a propriedade distributiva do produto
escalar temos:
O produto escalar entre dois vetores é positivo se o ângulo entre os vetoresfor agudo, nulo se os vetores forem
perpendiculares, ou negativo,se o ângulo for obtuso.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vetor_cos_escalar.png
ou seja:
As componentes dos dois vetores são diferentes em diferentes referenciais, mas o produto
(ax bx + ay by + az bz)deverá dar o mesmo resultado em qualquer referencial, já que é
um escalar.
Para calcularmos o produto escalar de um vetor consigo próprio, temos que elevar ao
quadrado todos seus componentes vetoriais:
Assim, para calcular o módulo de um vetor com componentes (ax , ay , az ) usa-se a
expressão:
Vetores deslizantes
Os vetores que são mais comumente estudados são denominados de vetores livres, que são
considerados iguais se tiverem o mesmo módulo, direção e sentido, independentemente do
ponto do espaço onde se encontrem. No caso das forças, não basta saber o módulo, direção
e sentido. Se fixarmos o módulo, direção e sentido de uma força que vai ser aplicada numa
porta para fechá-la, a forma como a porta será fechada dependerá também do ponto de
aplicação dessa força. Quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força, mais fácil
Três forças com o mesmo módulo, direção e sentido. F1 E F2 são equivalentes,mas são diferentes de F3
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vetor_deslizante.png
será fechar a porta; experimente a fechar uma porta aplicando uma força a 1 cm das
dobradiças!
Assim, as forças são realmente vetores deslizantes, que produzem o mesmo efeito em
qualquer ponto da linha de ação (a linha reta que passa pelo ponto onde a força é aplicada,
seguindo a direção da força) mas produzem efeitos diferentes quando aplicadas em
diferentes linhas paralelas. No exemplo apresentado na figura , as três forças 
têm o mesmo módulo, direção e sentido; F1 e F2 são iguais, por terem também a mesma
linha de ação, mas são diferentes de F3 que atua noutra linha de ação diferente.
Adição de forças
Duas forças com a mesma linha de ação podem ser deslocadas para um ponto
comum e somadas nesse ponto. A força resultante estará na mesma linha de ação. Se as
linhas de ação das duas forças forem diferentes, mas tiverem um ponto em comum, R, como
acontece com as forças na figura a seguir, podemos somá-las como se mostra no lado
direito da figura: deslocam-se as duas forças para o ponto de interseção R e nesse ponto
aplica-se a regra do paralelogramo; a linha de ação da força resultante será a reta que passa
por esse ponto de interseção.
Quando as duas linhas de ação são paralelas, como é o caso da próxima figura, podemos
usar o seguinte procedimento, ilustrado no lado direito da figura: desloca-se a força na
sua linha de ação com a perpendicular que passa pelo ponto P. Nos pontos P e R
podemos adicionar duas forças e com a mesma linha de ação, já que a soma
dessas duas forças é nula.
Adição de forças com linhas de ação que se cruzam num ponto comum.
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Interse%C3%A7%C3%A3o
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vetor_deslizante_2.png
No ponto P somamos as forças e sendo substituídas pela resultante No ponto R
somamos as forças e substituindo-as pela resultante As linhas de ação das
forças F4 e F5 terão sempre um ponto de interseção S, onde podemos somá-las obtendo o
resultado final no ponto S.
Observe na figura que, sempre que as direções e sentidos das forças forem iguais, o módulo
da força resultante será igual à soma dos módulos das forças somadas 
Para calcular as distâncias d1 e d2, entre as linhas de ação das forças somadas e a linha de
ação da força resultante, vemos na figura que h pode ser calculada nos dois triângulos:
Um versor é um vetor de norma unitária, utilizado para indicar uma dada direcção, sentido e
o ângulo formado com o eixo referencial.
Dado um vetor (de norma arbitrária) com a direção e sentido que pretendemos representar,
o versor com as mesmas caraterísticas obtém-se fazendo:
Versores podem ser utilizados como bases de um dado espaço vetorial A condição
necessária e suficiente para tanto, é que tais versores sejam linearmente independentes
entre si. Uma propriedade altamente conveniente é que todo vetor pertencente ao espaço
vetorial de base pode ser expresso como uma combinação linear dos
Adição de forças paralelas.
Versor
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Base_(%C3%A1lgebra_linear)
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Linearmente_independentes
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Combina%C3%A7%C3%A3o_linear
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vetor_deslizante_3.png
versores base. Assim, dado um vetor genérico temos que 
 em que são números reais.
Versor
Espaço vetorial
Espaço afim, que distingue vetores e pontos
Quadrivetor, a especialização para o espaço-tempo na teoria da relatividade
Vetor normal
Vetor nulo
Vetor unitário
Cálculo vetorial
Fibrado vetorial
Fasor (vetor de rotação)
Polígono funicular
1. SANTOS, Reginaldo J. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. Minas Gerais: UFMG, 2010.
709 págs (http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt1.pdf) . ISBN 85-7470-014-2. Acesso
em 17 jan. 2011.
2. Beirigo, Thiago (2016). Números complexos: uma metodologia baseada na história para
obtenção de conceito. Confresa: Clube de Autores
3. CRUZ, Luiz Francisco da. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica (http://wwwp.fc.unesp.br/
~lfcruz/GA_cap_01.pdf) . Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da
UNESP, Cap. 1, pág. 5. Acesso em 09/05/2011.
4. «Comprimento, ângulos e o produto escalar» (https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/
livro/s12-comprimento_x00e2ngulos_e_o_produto_escalar.html) . REAMAT, Recursos
Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 18 de julho de 2018
Ver também
Referências
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Versor
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_afim
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Ponto_(geometria)https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Quadrivetor
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Teoria_da_relatividade
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Vetor_normal
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Vetor_nulo
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Vetor_unit%C3%A1rio
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vetorial
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Fibrado_vectorial
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Fasor
https://pt.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Pol%C3%ADgono_funicular&action=edit&redlink=1
http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt1.pdf
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/8574700142
http://wwwp.fc.unesp.br/~lfcruz/GA_cap_01.pdf
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/UNESP
https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s12-comprimento_x00e2ngulos_e_o_produto_escalar.html
 Última modificação há 7 meses por LeoAShima 
Conteúdo disponibilizado nos termos da CC BY-
SA 3.0 , salvo indicação em contrário.
5. «Vetores» (https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s2-vetores.html) . REAMAT,
Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 18 de julho de 2018
�. Jaime E. Villate. Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de
2013. 267 págs (http://villate.org/doc/fisica1/dinamica_20130320.pdf) . Creative
Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-1-7. Acesso em 06 jun.
2013.
Apostila on-line da Fundação CECIERJ (http://www.lizardonunes.pro.br/PDFs/Cinematica_
Aula5.pdf)
«Módulo 'vetores' » (http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/vetores/) . no sistema
e-física do Instituto de Física da USP.
História dos vetores (http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/m
edialib/custom3/topics/vectors.htm)
O que é vetor (arte vetorial) (http://www.vetorizando.com.br/tutor_oqevetor/oqueevetor.ht
m)
Obtida de "https://pt.wikipedia.org/w/index.php?
title=Vetor_(matemática)&oldid=60498084"
Ligações externas
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Especial:History/Vetor_(matem%C3%A1tica)
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/User:LeoAShima
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s2-vetores.html
http://villate.org/doc/fisica1/dinamica_20130320.pdf
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9789729939617
http://www.lizardonunes.pro.br/PDFs/Cinematica_Aula5.pdf
http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/vetores/
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Instituto_de_F%C3%ADsica_da_Universidade_de_S%C3%A3o_Paulo
http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/vectors.htm
http://www.vetorizando.com.br/tutor_oqevetor/oqueevetor.htm
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Vetor_(matem%C3%A1tica)&oldid=60498084
 INSTITUTO FEDERAL DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
CURSO:__ Eng. Civil ___ PROFESSOR: CARLOS EDUARDO DATA __________
COMPONENTE CURRICULAR: Geometria Analítica PERÍODO: 2021.2 
ALUNO: _______________________________________________________ Matricula__________________ 
Lista de Atividades – Ângulos
	INSTITUTO FEDERAL DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA