Electrodinámica : Notas de Clase Rodolfo Alexander Diaz Sanchez Universidad Nacional de Colombia Departamento de Física Bogotá, Colombiambia

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Electrodina´mica: Notas de Clase
Rodolfo Alexander Diaz Sanchez
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de F´ısica
Bogota´, Colombia
The Date
ii
I´ndice general
Introduction XIII
I Campos ele´ctricos y magne´ticos independientes del tiempo 1
1. Electrosta´tica 3
1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Campo ele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Distribuciones de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Funcio´n delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.1. Ley de Gauss en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2. Potencial electrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.3. Potencial y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6. Energ´ıa potencial electrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1. Distribuciones cont´ınuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.1. Ca´lculo de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9. Teoremas de unicidad para campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11. Discontinuidades en el campo ele´ctrico y en el potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.11.1. Capa dipolar superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Suplemento matema´tico: completez y ortonormalidad de funciones 31
2.1. Expansio´n en funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Ejemplos de funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1. Ejemplos de conjuntos discretos de funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2. Ejemplos de conjuntos cont´ınuos de funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3. Ecuacio´n de Laplace 37
3.1. Propiedades de las funciones armo´nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Unicidad de la ecuacio´n de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Ecuacio´n de Laplace en dos dimensiones: coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1. Ejemplo de solucio´n en 2D con coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Ecuacio´n de Laplace en dos dimensiones: Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.1. Ejemplo: Interseccio´n entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2. Cilindro infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5. Ecuacio´n de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1. Caja de lados a, b, c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
iii
iv I´NDICE GENERAL
4. Ecuacio´n de Laplace en coordenadas esfe´ricas 53
4.1. Operador momento angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Separacio´n de variables para la ecuacio´n de Laplace en coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1. Solucio´n de la ecuacio´n radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2. Solucio´n de la ecuacio´n angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3. Solucio´n angular con m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4. Solucio´n de la ecuacio´n de Laplace con m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5. Propiedades de Pl (cos θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6. Ejemplos de aplicacio´n de la Ec. de Laplace con simetr´ıa azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6.1. Esfera con φ = V (θ) en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6.2. Cascarones esfe´ricos conce´ntricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7. Problemas con condiciones que no son de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.8. Expansio´n de 1|r−r′| en polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.8.1. Ejemplos de aplicacio´n en evaluacio´n de potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.9. Funciones asociadas de Legendre y Armo´nicos Esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5. Ecuacio´n de Laplace en coordenadas cil´ındricas, Funciones de Bessel 69
6. Conductores electrosta´ticos 71
6.1. Cavidades en conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2. Sistemas de conductores como dispositivos de almacenamiento: Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3. Sistemas con N conductores: Coeficientes de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4. Propiedades adicionales de la matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.5. El caso de dos conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5.1. Esferas conce´ntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.6. Esfera conductora so´lida y dos cascarones conductores esfe´ricos conce´ntricos . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.7. Dos conductores internos y un conductor envolvente conectado a tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.8. Energ´ıa electrosta´tica y matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.8.1. Simetr´ıa de los Cij por argumentos de energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.8.2. Energ´ıa electrosta´tica y capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.9. Teorema de reciprocidad para cargas y potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.10. Positividad de la matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7. Funciones de Green y ecuacio´n de Poisson en electrosta´tica 91
7.1. Teoremas de Green en electrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2. Ecuacio´n de Green y potencial electrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3. Interpretacio´n de la funcio´n de Green en electrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4. Un teorema sobre las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.5. Ca´lculo de funciones de Green unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 96
7.6. Evaluacio´n de la funcio´n de Green en una dimensio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.6.1. Expansio´n ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.6.2. Uso del teorema (7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.6.3. Me´todo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.7. Funcio´n de Green bidimensional en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.7.1. Utilizacio´n del teorema (7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.7.2. Combinacio´n de me´todo directo con expansio´n ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.7.3. Me´todo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.8. Problema bidimensional semi-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.8.1. Expansio´n ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.8.2. Uso del teorema de valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.8.3. Combinacio´n de expansio´n ortonormal con me´todo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.8.4. Combinacio´n de me´todo directo con expansio´n cont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.9. Anotaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.10. Funcio´n de Green en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
I´NDICE GENERAL v
7.11. Funcio´n de Green para espacio infinito en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8. Me´todo de ima´genes 125
8.1. Me´todo de ima´genes y teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2. Carga frente a un plano equipotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.2.1. L´ınea de carga finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.3. Carga puntual frente a una esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.3.1. Funcio´n de Green para el exterior e interior de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.3.2. Densidad superficial sobre la esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3.3. L´ımite de carga cercana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3.4. Fuerza de la esfera sobre la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.4. Esfera conductora con hemisferios a diferente potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.5. Carga puntual frente a esfera conductora cargada y aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.6. Carga puntual en frente de un conductor esfe´rico a potencial V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.7. Esfera conductora colocada en campo ele´ctrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.8. Me´todo de las ima´genes como problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.9. Energ´ıa interna electrosta´tica usando el me´todo de ima´genes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.10. Ejemplos de ca´lculo de energ´ıa interna por me´todo de ima´genes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.10.1. Energ´ıa interna de plano conductor infinito conectado a tierra frente a una carga puntual . . . 141
8.10.2. Energ´ıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor cargado y aislado 141
8.10.3. Energ´ıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor conectado a una
bater´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.10.4. Energ´ıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor esfe´rico conectado
a una bater´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.10.5. Energ´ıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor esfe´rico cargado
y aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.10.6. Energ´ıa interna de un sistema de plano conductor en presencia de un alambre infinito . . . . . 145
9. Funcio´n de Green y ecuacio´n de Poisson en coordenadas esfe´ricas 147
9.1. Delta de Dirac en coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2. Funcio´n de Green para espacio infinito en coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.1. Teorema de adicio´n de armo´nicos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.3. Esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.4. Funcio´n de Green para exterior e interior de la esfera combinando ima´genes con autofunciones . . . . . 151
9.5. Funcio´n de Green para espacio comprendido entre dos cascarones esfe´ricos conce´ntricos con G = 0 en
la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.6. Potencial en el espacio entre dos cascarones esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.7. Disco cargado uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.8. Condicio´n de frontera en esfera con varilla interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.9. Carga superficial en semic´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.10. Distribucio´n poligonal de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.Funciones de Green en coordenadas cil´ındricas 159
11.Multipolos ele´ctricos 161
11.1. Expansio´n multipolar cartesiana del potencial electrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2. Multipolos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.3. Relacio´n entre los multipolos cartesianos y esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.4. Ilustracio´n de los te´rminos monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.5. Promedio volume´trico del campo ele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.6. Aproximacio´n dipolar para campos cercanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.7. Multipolos de carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.7.1. Multipolos cartesianos para carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
vi I´NDICE GENERAL
11.7.2. Multipolos esfe´ricos de carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.7.3. Multipolos esfe´ricos de tres cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.8. Multipolos de una esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.9. Esfera deformada con momento cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.10.Expansio´n multipolar de la energ´ıa potencial externa . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.11.Expansio´n multipolar de la fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.12.Expansio´n multipolar del torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12.Electrosta´tica de medios materiales 181
12.1. Polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.1.1. Materiales diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.1.2. Momentos dipolares inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.1.3. Momentos dipolares permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.1.4. Materiales con momentos dipolares permanentes en campos ele´ctricos externos . . . . . . . . . 183
12.1.5. Definicio´n del vector de polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.2. Campo ele´ctrico en el exterior de un diele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
12.3. Interpretacio´n F´ısica de las cargas de polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.4. Campo en el interior de un diele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
12.5. Ecuaciones de campo en presencia de diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12.6. Susceptibilidad ele´ctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12.7. Condiciones de frontera en la interfase entre diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
12.7.1. Problema con interfase utilizando ima´genes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
12.8. Funcio´n de Green para espacio infinito con semiespacios diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.9. Esfera diele´ctrica de radio a colocada en diele´ctrico ∞. Carga puntual en r′ > a. . . . . . . . . . . . . 196
12.10.Energ´ıa potencial en presencia de diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
12.10.1.Distribucio´n sobre esfera diele´ctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.11.Energ´ıa de un diele´ctrico en un campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
13.Magnetosta´tica 203
13.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13.2. El concepto de flujo de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13.3. Conservacio´n de la carga ele´ctrica y ecuacio´n de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
13.4. Ecuacio´n de continuidad y re´gimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
13.5. Leyes de Ampere y Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
13.6. Extensio´n volume´trica de las leyes de Ampe´re y Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
13.7. Corrientes superficiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
13.8. Ecuaciones diferenciales e integrales de la magnetosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
13.9. Invarianza Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
13.10.Rango de validez de la formulacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
13.11.Formalismo de Green en magnetosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
13.11.1.Espira circular de corriente constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.12.Multipolos magne´ticos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
13.12.1.Monopolo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.12.2.Momento de dipolo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.12.3.Te´rmino cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
13.12.4.Expansio´n multipolar cartesiana de A (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
13.13.Multipolos magne´ticos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
13.14.Dipolo magne´tico de una espira de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
13.15.Flujo de part´ıculas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.16.Expansio´n multipolar de fuerza y torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.17.Promedio volume´trico del campo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
13.18.Aproximacio´n dipolar del campo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
13.19.Ejemplo: densidad de corriente en un estado ato´mico excitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
I´NDICE GENERAL vii
13.20.Ejemplo: Sistema de dos anillos paralelos conce´ntricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.20.1.Caso particular: anillos de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
14.Magnetosta´tica de medios materiales 233
14.1. Magnetizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
14.1.1. Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
14.1.2. Diamagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
14.1.3. Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
14.1.4. Consecuencias de la ausencia de monopolos magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
14.2. Campo generado por objetos magnetizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
14.3. Interpretacio´n de las corrientes de magnetizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
14.3.1. Corriente superficial de magnetizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
14.3.2. Corriente volume´trica de magnetizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
14.4. Campos magne´ticos en el interior de los materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
14.5. Ecuaciones de campo en medios magnetizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
14.6. Condiciones de frontera en materiales magnetizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
14.7. Ca´lculo de potenciales y campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
14.7.1. Formalismo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
14.7.2. Vector de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
14.7.3. Densidades de corriente de magnetizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
14.7.4. Potencial escalar magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
14.8. Ejemplo: esfera uniformemente magnetizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
14.8.1. Me´todo 1: Ca´lculo del potencial escalarmagne´tico via cargas magne´ticas efectivas . . . . . . . 246
14.8.2. Me´todo 2: Ca´lculo del potencial escalar magne´tico via vector de Hertz magne´tico . . . . . . . . 247
14.8.3. Me´todo 3: Potencial vectorial magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.9. Ejemplo: Esfera con magnetizacio´n radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
14.10.Ejemplo: Apantallamiento magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
II Campos ele´ctricos y magne´ticos dependientes del tiempo 257
15.Ecuaciones de Maxwell 259
15.1. Ley de induccio´n de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
15.1.1. Algunas sutilezas sobre el concepto de fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
15.1.2. Fuerza de Lorentz y ley de induccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
15.1.3. Forma diferencial de la ley de induccio´n de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
15.1.4. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
15.1.5. Energ´ıa almacenada en el campo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
15.2. Ecuacio´n de Ampere Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
15.2.1. Forma integral de la cuarta ecuacio´n de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
15.3. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
15.4. Potenciales A y φ, transformaciones gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
15.4.1. Gauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
15.4.2. Gauge de Coulomb o transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
15.5. Ecuaciones de Maxwell en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
15.5.1. Corriente de Polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
16.Leyes de conservacio´n 277
16.1. Conservacio´n de la energ´ıa: Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
16.2. Conservacio´n del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
16.3. Presio´n ejercida por el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
16.4. Teorema de Poynting para vectores de campo complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
16.4.1. Definicio´n de impedancia en te´rminos de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
viii I´NDICE GENERAL
17.Soluciones de la ecuacio´n de onda 291
17.1. Unicidad de la ecuacio´n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
17.2. Solucio´n a la ecuacio´n de onda homoge´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
17.2.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
17.2.2. Coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
17.3. Solucio´n a la ecuacio´n de onda inhomoge´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
17.3.1. Funcio´n de Green para la ecuacio´n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
17.3.2. Funcio´n de Green y transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
17.3.3. Funcio´n de Green para espacio tiempo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
17.3.4. Condicio´n de radiacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
17.3.5. Evaluacio´n de la funcio´n de Green para la ecuacio´n de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
17.3.6. Otra forma de evaluacio´n de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
17.3.7. Funcio´n de Green para espacio infinito en coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
17.3.8. Expansio´n de una onda plana en armo´nicos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
17.3.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
17.3.10.Ejercicio: carga puntual en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
17.3.11.Dipolo puntual oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
17.4. Transformada de Fourier de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
18.Ondas electromagne´ticas planas 321
18.1. Caracter´ısticas ba´sicas de una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
18.1.1. Transporte de momento y energ´ıa en una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
18.1.2. Ondas planas con vector de onda complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
18.2. Polarizacio´n de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
18.3. Reflexio´n y transmisio´n de ondas planas cuando se cambia de medio diele´ctrico . . . . . . . . . . . . . 328
18.3.1. Reflexio´n y transmisio´n con incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
18.3.2. Reflexio´n y transmisio´n con incidencia obl´ıcua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
18.3.3. Reflexio´n total interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
18.4. Absorcio´n y dispersio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
18.4.1. Ondas planas en medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
18.4.2. Reflexio´n y transmisio´n en superficies meta´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
18.5. Dispersio´n de ondas en un medio diele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
19.Gu´ıas de onda y cavidades resonantes 343
19.0.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
19.1. Clasificacio´n de las ondas en una gu´ıa: modos TM, TE y TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
19.2. Cable coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
19.2.1. Propagacio´n de modos TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
19.2.2. Propagacio´n de modos TM y TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
19.3. Velocidad de fase y de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
19.4. Velocidad de fase y de grupo en una gu´ıa de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
19.5. Gu´ıa de onda rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
19.6. Cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
19.6.1. Cavidad resonante cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
20.Radiacio´n 361
20.1. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
20.2. Ecuaciones de Jefimenko para los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
20.3. Ecuacionesde Jefimenko en el formalismo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
20.4. Potenciales generados por cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
20.4.1. Potenciales de Lie´nard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
20.5. Campos ele´ctrico y magne´tico asociados a cargas puntuales mo´viles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
20.6. Radiacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
20.7. Radiacio´n de dipolo ele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
I´NDICE GENERAL ix
20.8. Radiacio´n de dipolo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
20.9. Radiacio´n generada por un distribucio´n arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
20.10.Radiacio´n de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
20.10.1.Radiacio´n de Frenado (bremsstrahlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
20.10.2.Radiacio´n de Ciclotro´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
21.Relatividad especial 387
21.1. Propiedades de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
21.2. Transformaciones de Lorentz usando espacios de Riemann de cuatro dimensiones . . . . . . . . . . . . 394
21.3. Formulaciones covariantes en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
21.4. Fuerza y energ´ıa en relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
21.5. Formulacio´n Lagrangiana de la meca´nica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
21.5.1. Formulacio´n no manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
22.Electrodina´mica y relatividad 413
22.1. Ecuaciones de Maxwell en forma manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
22.2. Fuerza de Lorentz en forma tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
22.3. Pruebas de consistencia de la formulacio´n covariante de Maxwell (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 415
22.4. Ecuaciones de onda e invarianza gauge en notacio´n tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
22.4.1. Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
22.5. Conservacio´n de momento y energ´ıa del campo electromagne´tico: tensor momento energ´ıa . . . . . . . 417
22.6. Conservacio´n del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
22.7. Aplicaciones de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
22.7.1. Cuadrivectores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
22.7.2. Tensores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
A. Teoremas de unicidad de la ecuacio´n de Poisson 421
B. Coeficientes de capacitancia 423
B.1. Pruebas de consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
B.2. Derivacio´n alternativa de la Ec. (6.13) Pa´g. 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
C. Multipolos ele´ctricos 425
C.1. Ca´lculo del campo generado por un dipolo puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
C.2. Integral volume´trica del campo sobre una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
D. Ondas planas 431
D.1. Incidencia obl´ıcua de onda plana perpendicular al plano de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
x I´NDICE GENERAL
Preface
This is the preface. It is an unnumbered chapter. The markboth TeX field at the beginning of this paragraph
sets the correct page heading for the Preface portion of the document. The preface does not appear in the table of
contents.
xi
xii PREFACE
Introduction
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xiii
xiv INTRODUCTION
Parte I
Campos ele´ctricos y magne´ticos
independientes del tiempo
1
Cap´ıtulo 1
Electrosta´tica
El concepto de carga ele´ctrica es relativamente cercano a nuestra experiencia diaria. Comenzaremos analizando el
feno´meno de electrizacio´n, y a aquellos materiales que adquieren tal propiedad los denominaremos cargas ele´ctricas.
La interaccio´n entre cargas ele´ctricas que se encuentran en reposo con respecto a un sistema de referencia inercial,
sera´ el motivo de estudio de la electrosta´tica. Esta es obviamente la ma´s simple de las configuraciones de cargas y
constituye el punto de partida para el posterior estudio de las cargas en movimiento.
1.1. Ley de Coulomb
La interaccio´n ele´ctrica se obtuvo inicialmente por frotamiento1. Los materiales que son frotados adquieren una
propiedad que denominaremos electrizacio´n y que genera una serie de feno´menos que describiremos a continuacio´n.
Experimentalmente se encuentra que si tenemos dos cuerpos electrizados en reposo con respecto a algu´n sistema
inercial, y que esta´n a distancias muchos mayores que sus dimensiones entonces
Dicha fuerza es central, es decir actu´a a lo largo de la l´ınea que une los objetos electrizados.
F es proporcional a 1/r2 siendo r la distancia que separa las cargas (i.e. los objetos que se han electrizado).
Solo hay dos tipos de electrizacio´n (que definimos como electrizacio´n positiva y negativa), part´ıculas con elec-
trizaciones semejantes se repelen en tanto que si ellas tienen electrizaciones diferentes se atraen. Esto puede
verse fa´cilmente con experimentos de frotacio´n. Por ejemplo si frotamos dos materiales ide´nticos con pan˜os
ide´nticos, podemos suponer razonablemente que han adquirido el mismo tipo de electrizacio´n, y al acercarlos
estos se repelen mostrando que electrizaciones iguales se repelen. Si llamamos electrizacio´n A a la adquirida
por un material dado y luego electrizamos otro material, vemos que en algunos casos se repelen y en otros
se atraen. Denominaremos electrizacio´n B a la de un material que se atrae con el de electrizacio´n A. La pre-
gunta natural es ¿existe una tercera electrizacio´n C?. Para responder a esta pregunta electrizamos un tercer
material. Los experimentos muestran que si electrizo cualquier otro material, y si al acercarlo al material con
electrizacio´n A se atrae con e´l, entonces se repele con el material de electrizacio´n B, con lo cual se concluye
que el nuevo material tiene electrizacio´n B. Similarmente, si el nuevo material electrizado se repele con el de
electrizacio´n A, se atraera´ con el de electrizacio´n B mostrando que el nuevo material tiene electrizacio´n tipo
A. Tendr´ıamos un conflicto con esta imagen si al electrizar el material se atrajera (o se repeliera) con ambos
materiales de electrizacio´n tipo A y B. En tal caso, tendr´ıa que contemplarse la posibilidad de tres o ma´s tipos
de electrizaciones. Los experimentos de frotacio´n muestran sin embargo, que este no es el caso.
La fuerza es proporcional al producto de las cargas. El sentido de la fuerza lo determina el signo del producto
de las cargas. Si tal signo es positivo (negativo) la fuerza entre las cargas sera´ repulsiva (atractiva). La carga es
una cantidad escalar y aditiva lo cual se puede ver midiendo la fuerza que una carga q1 hace sobre una carga
q y luego reemplazando la carga q1 por una carga q2 en la misma posicio´n, para medir ahora la fuerza de q2
1Por supuesto, el rayo, las auroras boreales, la esta´tica generada esponta´neamente en ciertos materiales,etc. son feno´menos naturales
de origen ele´ctrico que fueron parte de la experiencia diaria a lo largo de la historia de la humanidad. No obstante, el frotamiento fue´
la primera forma de tener control sobre los feno´menos ele´ctricos. Adema´s, el origen ele´ctrico de los diversos feno´menos naturales fue´
establecido mucho despue´s.
3
4 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
sobre q. Finalmente se juntan las dos cargas en la misma posicio´n en la que se colocaron antes y se observa que
la fuerza resultante coincide con la suma vectorial de las fuerzas que se obtuvieron en los dos casos anteriores.
Es decir se obtiene el resultado correcto si lo vemos como la interaccio´n de la carga q1 + q2 con la carga q.
Convencionalmente se llamo´ positiva a la electrizacio´n que adquiere el vidrio frotado y negativa a la electrizacio´n
que adquiere el a´mbar frotado.
Cuando tenemos una distribucio´n de cargas que actu´an sobre una carga pequen˜a, la fuerza y campo totales obede-
cen el principio de superposicio´n. Este principio de superposicio´n se puede extrapolar cuando tenemos distribuciones
cont´ınuas de carga.
Sean dos cargas ele´ctricas q1 y q2, ambas en reposo con respecto a un sistema de referencia inercial. Asumiremos
que estas cargas son puntuales de modo que esta´n localizadas en posiciones bien definidas r1 y r2 respectivamente
2.
Los experimentos muestran que bajo tales condiciones, la fuerza que la carga q1 ejerce sobre la carga q2 viene dada
por
Fq1→q2 = Kc
q1q2 (r2 − r1)
|r2 − r1|3
(1.1)
donde r1, r2 son las posiciones de las cargas con respecto a algu´n sistema de referencia inercial, y Kc es una constante
universal de proporcionalidad. En principio, todo el contenido F´ısico de la electrosta´tica yace en la ley de Coulomb
y el principio de superposicio´n. La escogencia de la constante de proporcionalidad determina la unidad de carga.
No´tese que la ley de Coulomb nos fija las dimensiones del producto Kcq1q2 pero no de las cantidades Kc y q por
aparte, por esta razo´n es posible fijar las dimensiones de Kc para obtener en consecuencia las dimensiones de q, o por
otro lado fijar las unidades de q (como unidades independientes de las unidades ba´sicas de longitud tiempo y masa)
con lo cual quedar´ıan fijadas las unidades de Kc. Esto nos lleva a dos tipos de unidades que son las mas comu´nmente
usadas
Unidades electrosta´ticas (e.s.u): Basado en el sistema c.g.s. En este sistema fijamos las unidades de Kc eligiendo
Kc = 1 (adimensional) de modo que la carga queda con dimensiones de cm
3/2g1/2s−1. A la cantidad q =
1cm3/2g1/2s−1 la denominamos una unidad electrosta´tica o statcoulomb. En este sistema de unidades, q =
1 statcoul cuando ejerce una fuerza de una dina sobre otra carga ide´ntica colocada a un cent´ımetro.
MKSA o sistema internacional SI: Este sistema fija a la carga como unidad independiente (coulombio) en
cuyo caso la constante Kc queda con unidades definidas. Se define a su vez la constante Kc = 1/ (4πε0) con
ε0 = 8,85 × 10−12C2/Nm2. Definimos en este sistema la carga unidad q = 1 coulomb cuando dos cargas
ide´nticas separadas un metro experimentan una fuerza mutua de 14piε0Newtons. La relacio´n entre las unidades
SI y las unidades electrosta´ticas esta´ dada por 1Coul = 3× 109Statcoul.
Las cargas son cantidades algebraicas reales positivas o negativas. La ley de Coulomb obedece automa´ticamente
la ley de accio´n y reaccio´n. Por otra parte, si asumimos que la Meca´nica Newtoniana es una descripcio´n adecuada de
la naturaleza, el principio de superposicio´n esta´ contenido en la segunda ley de Newton, de tal forma que la ley de
Coulomb se puede ver como un caso particular de fuerza que al obedecer la segunda ley debe cumplir el principio de
superposicio´n. Efectivamente, en el dominio de la meca´nica cla´sica el principio de superposicio´n esta´ bien soportado a
trave´s de diversas pruebas experimentales3. No obstante, en los dominios de la meca´nica cua´ntica, se pueden observar
pequen˜as desviaciones debidas a procesos como la dispersio´n luz por luz y la polarizacio´n del vac´ıo. De igual forma,
existe una fuerte base experimental para la ley del inverso cuadrado tanto en el dominio microsco´pico como en el
macrosco´pico.
1.2. Campo ele´ctrico
El campo ele´ctrico es un vector que mide la capacidad de interaccio´n o “influencia” que una carga o conjunto de
cargas tiene con respecto a otra carga externa. Experimentalmente, el campo ele´ctrico en una posicio´n r generado
por una carga o conjunto de cargas, se mide colocando una carga de prueba q′ en r y midiendo la fuerza que dicha
2En la pra´ctica, esto significa que las dimensiones de los objetos electrizados son mucho menores que la distancia relativa entre ellos, y
tambie´n mucho menores que cualquier otra dimensio´n que pueda estar involucrada en el feno´meno.
3No´tese que el principio de superposicio´n depende fuertemente de la naturaleza aditiva de las cargas.
1.3. DISTRIBUCIONES DE CARGA 5
carga experimenta. Formalmente la medicio´n del campo ele´ctrico requiere tomar el l´ımite cuando la carga de prueba
es arbitrariamente pequen˜a
E = l´ım
q′→0
F
q′
(1.2)
con el fin de asumir que q′ no altera la distribucio´n de carga original al aproximarse a tal distribucio´n4. Esta
definicio´n formal de campo no se puede aplicar con todo rigor en la realidad F´ısica, puesto que no podemos tener
hasta el momento, valores de carga menores que la carga electro´nica. No obstante, la carga electro´nica es muy pequen˜a
cuando tratamos feno´menos macrosco´picos y la ecuacio´n anterior nos da una buena descripcio´n de la realidad. Pasando
la carga a multiplicar queda
F = q′E
esta ecuacio´n se puede tomar como definicio´n alternativa de campo, y tiene la ventaja de independizar el campo
de sus fuentes. Si para dos distribuciones de carga diferentes el campo es el mismo en un determinado punto, la
fuerza que experimenta una carga de prueba en dicho punto sera´ la misma, aunque las fuentes de cada campo sean
muy distintas. A priori, esta redefinicio´n parece trivial, sin embargo nos sera´ de gran utilidad cuando estudiemos la
generacio´n de campos ele´ctricos que no dependen de fuentes.
Si una carga puntual q esta´ ubicada en alguna posicio´n dada por r′ (con respecto a algu´n sistema de referencia
inercial) entonces segu´n la ley de Coulomb (1.1), la fuerza que esta carga ejerce sobre una carga de prueba q¯ ubicada
en la posicio´n r, vendra´ dada por
F = Kc
q¯q (r− r′)
|r− r′|3
y apelando a la definicio´n (1.2) el campo ele´ctrico sera´
E = l´ım
q¯→0
F
q¯
= Kc
q (r− r′)
|r− r′|3
En conclusio´n, si una carga puntual q esta´ ubicada en alguna posicio´n dada por r′ (con respecto a algu´n sistema
de referencia inercial) el campo ele´ctrico generado por e´sta, evaluado en alguna posicio´n r viene dado por
E (r) = Kc
q (r− r′)
|r− r′|3
este campo es central y por tanto conservativo. Adema´s el campo satisface el principio de superposicio´n, el cual es
herencia directa del mismo principio aplicado a las fuerzas. Cuando tenemos una distribucio´n de cargas se usa el
principio de superposicio´n para calcular el campo generado por dicha distribucio´n en cualquier punto del espacio.
La ley de Coulomb tambie´n puede pensarse como la interaccio´n de q2 con el campo generado por q1. Definimos
E1 ≡ Fq1→q2
q2
=
Kcq1 (r2 − r1)
|r2 − r1|3
de modo que F2 = q2E1. El campo as´ı definido solo depende de la fuente y no de la carga de prueba. Ana´logamente,
se puede definir el campo generado por q2.
1.3. Distribuciones de carga
El descubrimiento de la estructura ato´mica de la materia nos enfrenta con distribuciones de carga de naturaleza
granular, que en muchas circunstancias se puede aproximar razonablemente a cargas puntuales. Incluso en el caso
macrosco´pico, cuando la distribucio´n de carga esta´ confinada a un taman˜o mucho menor que las distancias de intere´s,
la aproximacio´nde carga puntual nos da una buena descripcio´n de la mayor´ıa de feno´menos ele´ctricos. Por otra
parte, cuando tenemos distribuciones macrosco´picas con una gran cantidad de a´tomos y queremos tener en cuenta
los efectos que produce la extensio´n de dicha distribucio´n, es u´til considerar que la densidad de carga es una funcio´n
cont´ınua de las tres dimensiones espaciales. En consecuencia el campo ele´ctrico se puede modelar en te´rminos de
distribuciones de carga cont´ınuas o discretas
4De acuerdo con la ley de Coulomb, la carga q′ genera fuerzas ele´ctricas sobre cada una de las cargas de la distribucio´n cuyo campo se
quiere medir. Esto genera que las cargas se aceleren y se altere la distribucio´n, de modo que alteramos lo que se quiere medir. Es por esta
razo´n que se toma el l´ımite cuando la carga de prueba q′ tiende a cero a fin de que la fuerza de e´sta sobre las cargas de la distribucio´n
tienda a cero.
6 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
Discretas: cuando asumimos que las cargas son puntuales, es decir la distribucio´n de carga tendra´ una estructura
granular y el campo ele´ctrico es una suma discreta de los campos generados por cada part´ıcula.
E (r) = Kc
n∑
i=1
qi (r− ri)
|r− ri|3
Cont´ınuas: cuando asumimos que la distribucio´n es “gelatinosa” de modo que puede describirse por una densidad
cont´ınua ρ (r′). En tal caso, la suma sobre las fuentes que generan el campo ele´ctrico es una suma en el cont´ınuo
(integral)
E (r) = Kc
∫
dq (r′) (r− r′)
|r− r′|3 = Kc
∫
ρ (r′) (r− r′)
|r− r′|3 dV
′
Las distribuciones cont´ınuas pueden ser lineales λ, superficiales σ, o volume´tricas ρ. Tambie´n es posible tener
densidades mixtas.
1.4. Funcio´n delta de Dirac
Como veremos a continuacio´n la funcio´n delta de Dirac es un excelente instrumento para convertir densidades
puntuales, lineales y superficiales, en densidades volume´tricas equivalentes. Esto tiene un gran intere´s ya que la
ecuacio´n de Poisson es para densidades volume´tricas y no posee ana´logo en menores dimensiones, puesto que dicha
ecuacio´n proviene del teorema de la divergencia el cual no tiene ana´logo en dimensiones menores a tres. Es importante
enfatizar que la funcio´n delta de Dirac mas que una funcio´n es una distribucio´n. En el lenguaje del ana´lisis funcional,
es una uno-forma que actu´a en espacios vectoriales de funciones, asigna´ndole a cada elemento del espacio, un nu´mero
real de la siguiente forma: Sea V el espacio vectorial de las funciones definidas en el dominio (b, c) con ciertas
propiedades de continuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc. La distribucio´n delta de Dirac es un mapeo que asigna
a cada elemento f (x) de V un nu´mero real con el siguiente algoritmo5∫ c
b
f (x) δ (x− a) dx =
{
f (a) si a ∈ (b, c)
0 si a /∈ [b, c]
Con esta distribucio´n es posible escribir una densidad de carga puntual (ubicada en r0) como una densidad
volume´trica equivalente
ρ
(
r′
)
= qδ
(
r′ − r0
)
(1.3)
esta densidad reproduce adecuadamente tanto la carga total como el campo ele´ctrico que genera
q =
∫
ρ
(
r′
)
dV ′ =
∫
q δ
(
r′ − r0
)
d3r′
E (r) = Kc
∫
(r− r′) dq (r′)
|r− r′|3 = Kc
∫
(r− r′) ρ (r′)
|r− r′|3 d
3r′ = Kc
∫
(r− r′) q δ (r′ − r0)
|r− r′|3 d
3r′ (1.4)
E (r) =
Kcq (r− r0)
|r− r0|3
(1.5)
ma´s adelante veremos que otra cantidad importante, el potencial ele´ctrosta´tico, tambie´n se reproduce adecuadamente.
Hay varias sucesiones de distribuciones que convergen a la funcio´n Delta de Dirac (para mas detalles ver por ejemplo
[2, 3]) una de las mas utilizadas es la sucesio´n definida por
fn (x− a) = n√
π
e−n
2(x−a)2
se puede demostrar que al tomar el l´ımite cuando n→∞ se reproduce la definicio´n y todas las propiedades ba´sicas
de la distribucio´n delta de Dirac. No´tese que todas las distribuciones gaussianas contenidas en esta sucesio´n tienen
5Es usual definir la “funcio´n” delta de Dirac como δ (r) =
{
∞ si r = 0
0 si r 6= 0
y
∫
δ (x) dx = 1. Esta definicio´n se basa en una
concepcio´n erro´nea de la distribucio´n delta de Dirac como una funcio´n. A pesar de ello, hablaremos de ahora en adelante de la funcio´n
delta de Dirac para estar acorde con la literatura.
1.5. LEY DE GAUSS 7
a´rea unidad y esta´n centradas en a. De otra parte, a medida que aumenta n las campanas gaussianas se vuelven ma´s
agudas y ma´s altas a fin de conservar el a´rea. Para valores de n suficientemente altos, el a´rea se concentra en una
vecindad cada vez ma´s pequen˜a alrededor de a. En el l´ımite cuando n→∞, toda el a´rea se concentra en un intervalo
arbitrariamente pequen˜o alrededor de a.
Algunas propiedades ba´sicas son las siguientes:
1.
∫∞
−∞ δ (x− a) dx = 1
2.
∫∞
−∞ f (x) ∇δ (r− r0) dV = − ∇f |r=r0
3. δ (ax) = 1|a|δ (x)
4. δ (r− r0) = δ (r0 − r)
5. xδ (x) = 0
6. δ
(
x2 − e2) = 12|e| [δ (x+ e) + δ (x− e)]
Vale enfatizar que debido a su naturaleza de distribucio´n, la funcio´n delta de Dirac no tiene sentido por s´ı sola,
sino u´nicamente dentro de una integral. Por ejemplo cuando decimos que δ (ax) = 1|a|δ (x), no estamos hablando de
una coincidencia nume´rica entre ambos miembros, sino de una identidad que se debe aplicar al espacio vectorial de
funciones en que estemos trabajando, es decir∫ c
b
f (x) δ (ax) dx =
∫ c
b
f (x)
1
|a|δ (x) dx ∀ f (x) ∈ V y ∀ a ∈ R
Estrictamente, el mapeo tambie´n se puede hacer sobre los nu´meros complejos con propiedades ana´logas. En este
mismo esp´ıritu, es necesario aclarar que la densidad volume´trica equivalente de una carga puntual (y todas las
densidades equivalentes que nos encontremos de aqu´ı en adelante) es realmente una distribucio´n. Por ejemplo, la
densidad descrita por (1.3), solo tiene realmente sentido dentro de integrales tales como las expresadas en (1.4).
Las densidades ordinarias son funciones, pero las densidades equivalentes son distribuciones. En s´ıntesis, lo que se
construye con la densidad volume´trica equivalente es una distribucio´n que me produzca el mapeo adecuado para
reproducir la carga total y el potencial6.
En ma´s de una dimensio´n la delta se convierte simplemente en productos de deltas unidimensionales, la propiedad∫
δ(n) (x) dnx = 1, aplicada a n dimensiones, nos dice que la delta no es adimensional, sus dimensiones son de
x−n.
1.5. Ley de Gauss
La ley de Coulomb junto con el principio de superposicio´n conducen a una forma integral muy u´til conocida como
ley de Gauss. La ley de Gauss en su forma integral, es u´til cuando queremos evaluar E en una distribucio´n de cargas
con cierta simetr´ıa, o cuando queremos evaluar la carga total encerrada en cierto volumen. Finalmente, la forma
integral nos conduce a una forma diferencial con la cual se pueden abordar casos ma´s generales. De acuerdo con la
figura 1.1, dado un origen de coordenadas O y un punto donde se ubica la carga O′ podemos construir un diferencial
de flujo en la vecindad de la posicio´n definida por el vector r. El campo electrosta´tico viene dado por
E (r) = Kc
q (r− r′)
|r− r′|3
y el flujo de un campo E (r) sobre un diferencial de superficie dS centrada en r esta´ dado por
E (r) · dS (r) = Kc q (r− r
′) · dS (r)
|r− r′|3
6Estos dos mapeos se definen en el espacios de las funciones q (r0) y q (r0) / |r− r
′| en el caso de cargas puntuales. Para cargas lineales
ser´ıan en el espacio de funciones λ (x) y λ (x) / |r− r′|.
8 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
Figura 1.1: Ilustracio´n del a´ngulo so´lido subtendido por una superficie dS con respecto al origen O′ en el cual se
encuentra la carga, y que esta´ en la posicio´n r′ con respecto al origen O del sistema coordenado. El a´ngulo θ mide la
inclinacio´n del vector diferencial de superficie dS con respecto al radio vector r− r′ que va desde O′ hasta el punto
donde esta´ centrada dicha superficie. Este a´ngulo tambie´n mide la inclinacio´n de la superficiecon respecto al campo
ele´ctrico generado por la carga puntual en O′.
donde r′ define la posicio´n de la carga que genera el campo (con respecto a O). Integrando sobre una superficie
cerrada, se obtiene ∮
E (r) · dS (r) = Kc q
∮
(r− r′) · dS (r)
|r− r′|3
es bien conocido que el integrando del miembro derecho define el diferencial de a´ngulo so´lido subtendido por el a´rea
dS tomando como ve´rtice el punto O′, como se aprecia en la Fig. 1.1∮
(r− r′) · dS (r)
|r− r′|3 =
∮
dΩ (1.6)
donde ∮
dΩ =
{
4π si O′ esta´ dentro de la superficie cerrada
0 si O′ esta´ fuera de la superficie cerrada (1.7)
con lo cual resulta ∮
E (r) · dS (r) = Kc q
∮
dΩ
1.5. LEY DE GAUSS 9
y teniendo en cuenta (1.7), este resultado se puede expresar de manera equivalente as´ı∮
E · dS = 4πKcq
∫
δ
(
r− r′) dV = 4πKcq{ 1 si O′ esta´ dentro0 si O′ esta´ fuera
apelando al principio de superposicio´n esta ley se puede aplicar a cualquier distribucio´n de cargas. Para el flujo de
campo solo contribuye la carga neta que esta´ adentro (suma algebraica de cargas). Obse´rvese que la ley de Gauss
se basa en tres suposiciones fundamentales a) La ley del inverso cuadrado del campo de cargas puntuales7, b) el
principio de superposicio´n, c) la naturaleza central de la fuerza.
La expresio´n (1.6) para el a´ngulo so´lido puede entenderse cualitativamente en el ana´logo bidimensional, supon-
gamos que queremos hacer la integral ∮
dθ
en el plano. Si el lazo cerrado simple8 contiene al origen y comenzamos desde cierta posicio´n r0 de un punto sobre el
lazo, al realizar el giro completo en direccio´n antihoraria hemos barrido un a´ngulo 2π ya que el sentido de giro (con
respecto al sistema coordenado) del vector posicio´n nunca se invierte. Por tanto∮
dθ =
∫ θ0+2pi
θ0
dθ = 2π si el lazo encierra al origen
en contraste si el lazo cerrado simple no encierra al origen, vemos que el vector posicio´n inicial de giro r0 al realizar
un giro antihorario completo sobre el lazo, debe invertir su sentido de giro con respecto al sistema coordenado para
volver a su posicio´n inicial. En un giro completo el vector posicio´n “va y vuelve” con respecto a la coordenada angular
θ dentro de cierto intervalo [θ0, θma´x] siendo θ0 el a´ngulo inicial. Por esta razo´n la integral angular se anula en este
caso9 ∮
dθ =
∫ θma´x
θ0
dθ +
∫ θ0
θma´x
dθ = 0 si el lazo no encierra al origen
Por supuesto podemos hacer un ana´lisis similar si el origen para realizar el barrido del lazo esta´ desplazado con
respecto al origen de coordenadas. Es decir si r se reemplaza por r− r′ siendo r′ fijo y haciendo el barrido con el
vector relativo r− r′. En este caso lo que es relevante es si r′ esta´ dentro o fuera del lazo. Situacio´n similar ocurre
con el a´ngulo so´lido dependiendo de si la superficie cerrada (en 3 dimensiones) encierra o no al origen con respecto
al cual se hace el barrido. Cuando la superficie encierra a tal origen, se barre el a´ngulo so´lido completo 4π (as´ı como
en el caso dos dimensional se barre el a´ngulo plano completo 2π) y hay un efecto de cancelacio´n cuando dicho origen
no esta´ contenido en la superficie cerrada.
La expresio´n (1.6) para el a´ngulo so´lido nos permitira´ desarrollar una importante identidad que sera´ de uso
frecuente en nuestros desarrollos, calculemos la divergencia del gradiente de la funcio´n |r− r′|−1
∇ ·
(
∇ 1|r− r′|
)
≡ ∇2
(
1
|r− r′|
)
el operador ∇ se refiere a las coordenadas no primadas. Haciendo el cambio de variable r¯ = r− r′ y teniendo en
cuenta que ∇r¯ = ∇ tenemos que
∇2
(
1
|r− r′|
)
= ∇2r¯
(
1
r¯
)
esto es equivalente a redefinir el origen en r′ = 0. Olvidemos la notacio´n r¯ y calculemos expl´ıcitamente esta cantidad
para r 6= 0; en tal caso escribiendo el operador laplaciano en coordenadas esfe´ricas vemos que solo aparece la derivada
con respecto a la coordenada r debido a la simetr´ıa esfe´rica de 1/r
∇2
(
1
r
)
=
1
r
∂2
∂r2
(
r
1
r
)
= 0
7Si el campo ele´ctrico fuera proporcional por ejemplo a r−3, no obtendr´ıamos el a´ngulo so´lido en la expresio´n (1.6).
8Por lazo cerrado simple indicamos un lazo que no se intersecta a s´ı mismo, por ejemplo un lazo en forma de 8 NO es un lazo simple.
Aunque no lo decimos expl´ıcitamente, usaremos lazos cerrados simples a menos que se indique lo contrario.
9Estrictamente, este ana´lisis solo es va´lido cuando la curva cerrada tiene la misma concavidad en todos sus puntos, vista por un punto
interior al lazo. Cuando este no es el caso, puede haber varios intervalos de ida y vuelta pero au´n as´ı la cancelacio´n ocurre.
10 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
pero para r = 0 esta expresio´n esta´ indeterminada. No obstante, veremos el comportamiento de esta expresio´n bajo
una integral de volumen en una cierta vecindad de r = 0∫
V
∇2
(
1
r
)
dV =
∫
∇ ·
[
∇
(
1
r
)]
dV =
∮ [
∇
(
1
r
)]
· n dS
=
∮ [
− r
r3
]
· dS = −
∮
dΩ = −4π
{
1 si O′ esta´ dentro
0 si O′ esta´ fuera (1.8)
donde hemos aplicado el teorema de Gauss o teorema de la divergencia as´ı como la Ec. (1.6). Vemos entonces que
∇2 (1r) = 0 para r 6= 0 en tanto que su integral en un volumen que contiene a r = 0 es 4π, reasignando r→ r− r′
resulta entonces que ∫
V
∇2
(
1
|r− r′|
)
dV = −4π
{
1 si el volumen incluye al punto r′
0 si el volumen no incluye a r′
(1.9)
no´tese que en (1.8) hemos usado el teorema de Gauss a pesar de que la funcio´n no es bien comportada en el
volumen en cuestio´n, esto es inconsistente si tomamos a∇2
(
|r− r′|−1
)
como una funcio´n ordinaria. Lo que realmente
estamos haciendo es considerando a ∇2
(
|r− r′|−1
)
como una distribucio´n y encontrando cual es el mapeo que nos
permite asignar un valor a la integral de volumen de modo que nos permita usar el teorema de Gauss. Notemos que
precisamente la Ec. (1.9) emula la propiedad fundamental de la delta de Dirac en tres dimensiones de modo que
∇2
(
1
|r− r′|
)
= −4πδ (r− r′) (1.10)
esta identidad sera´ de uso muy frecuente.
1.5.1. Ley de Gauss en forma diferencial
Partiendo de la ley de Gauss, escribimos la carga total como una integracio´n volume´trica de la densidad∮
E · dS = 4πKcq = 4πKc
∫
ρ (r) dV
esto siempre es posible incluso si la densidad es lineal, superficial o puntual, ya que podemos constru´ır una densidad
volume´trica equivalente, como veremos ma´s adelante. Por otro lado el teorema de la divergencia nos dice que∮
E · dS =
∫
(∇ ·E) dV
comparando las integrales de volumen ∫
(∇ ·E) dV = 4πKc
∫
ρ (r) dV
al ser esto va´lido para un volumen arbitrario en forma y taman˜o se tiene
∇ · E = 4πKcρ (r)
Esta ecuacio´n es va´lida para cualquier distribucio´n esta´tica de cargas, y me dice que las cargas positivas (negativas)
son fuentes (sumideros) de l´ıneas de campo ele´ctrico. Sin embargo, veremos ma´s adelante que esta ecuacio´n se
extrapola al caso de campos dependientes del tiempo.
1.5.2. Potencial electrosta´tico
El campo ele´ctrico generado por una carga puntual esta´tica es conservativo en virtud de su naturaleza central y
de su independencia temporal. Por otro lado, la superposicio´n de campos conservativos genera otro campo tambie´n
conservativo, de lo cual se sigue que cualquier campo ele´ctrico generado por una distribucio´n esta´tica de cargas
1.5. LEY DE GAUSS 11
(cont´ınuas o discretas) es conservativo. Matema´ticamente, un campo conservativo se puede escribir como E = −∇φ,
siendo φ una funcio´n escalar. La funcio´n escalar asociada al campo ele´ctrico se conoce como potencial
Por otro lado, si recordamos que F = qE para una carga de prueba q, resulta que la fuerza F sobre la carga de
prueba es conservativa y se le asocia una energ´ıa potencial F = −∇Ep. De esto se deduce que φ = Ep/q de modo
que el potencial es la energ´ıa potencialpor unidad de carga generada por cierta distribucio´n.
Escribamos el campo ele´ctrico para una distribucio´n arbitraria de cargas
E (r) = Kc
∫
dq (r′) (r− r′)
|r− r′|3
Va´lido para distribucio´n cont´ınua. Usando
−∇
(
1
|r− r′|
)
=
r− r′
|r− r′|3 (1.11)
el campo queda
E (r) = −Kc
∫
dq
(
r′
) ∇( 1|r− r′|
)
y como ∇ opera sobre la variable r pero no sobre r′, puede salir de la integral
E (r) = −∇
[
Kc
∫
dq (r′)
|r− r′|
]
Definiendo
E = −∇φ (r) ; φ (r) ≡ Kc
∫
dq (r′)
|r− r′| (1.12)
obtenemos una funcio´n escalar φ (r) asociada al campo ele´ctrico E, tal funcio´n escalar es el denominado potencial
escalar electrosta´tico10 . En esta ecuacio´n podemos tomar ∇2 a ambos lados
∇2φ (r) ≡ Kc∇2
∫
dq (r′)
|r− r′| = Kc
∫
dq
(
r′
) ∇2( 1|r− r′|
)
usando la identidad (1.10)
∇2
(
1
|r− r′|
)
= −4πδ (r− r′) (1.13)
queda
∇2φ (r) = −4πKc
∫
dq
(
r′
)
δ
(
r− r′) = −4πKc ∫ ρ (r′) δ (r− r′) dV ′ = −4πKcρ (r)
Con lo cual queda
∇2φ (r) = −4πKcρ (r) (1.14)
Conocida como la ecuacio´n de Poisson para el potencial escalar. Esta ecuacio´n tambie´n se puede obtener de la ley
de Gauss en forma diferencial junto con la conservatividad del campo
∇ ·E = 4πKcρ (r)⇒ ∇ · (−∇φ) = 4πKcρ (r)⇒ ∇2φ (r) = −4πKcρ (r)
Para un conjunto de cargas puntuales qi ubicadas en las posiciones ri, se puede definir una densidad volume´trica
equivalente que me permite usar la formulacio´n en el cont´ınuo, tal distribucio´n equivalente se describe por
ρ
(
r′
)
=
N∑
i=1
qiδ
(
r′−ri
)
10Esta expresio´n para el potencial depende de que se defina el cero de potencial en el infinito. Por esta razo´n, la forma integral t´ıpica
del potencial puede diverger cuando se trabajan distribuciones de carga no localizadas.
12 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
cualitativamente, esto se puede ver teniendo en cuenta que la densidad de un conjunto de cargas puntuales es cero en
los puntos donde no hay carga, e infinita en cada punto donde hay una carga. Adema´s al integrar ρ (r′) sobre todo
el espacio, se obtiene la carga total en virtud de la normalizacio´n de la delta de Dirac∫
ρ
(
r′
)
dV ′ =
N∑
i=1
qi
∫
δ
(
r′−ri
)
d3r′ =
N∑
i=1
qi
finalmente, podemos verificar que el ρ equivalente para una distribucio´n discreta nos da el potencial correcto asociado
a dicha distribucio´n
φ (r) = Kc
∫
ρ (r′)
|r− r′|dV
′ = Kc
N∑
i=1
qi
∫
δ (r′−ri)
|r− r′| dV
′ = Kc
N∑
i=1
qi
|r− ri|
por otro lado
∇×E = −∇× (∇φ) = 0 (1.15)
ya que el rotacional del gradiente de una funcio´n escalar bien comportada es siempre cero. Esta es otra forma
equivalente de ver la conservatividad del campo, todos los campos conservativos son irrotacionales y viceversa (siempre
y cuando el campo dependa exclusivamente de la posicio´n).
La ecuacio´n E = −∇φ nos dice que dado el potencial se puede calcular el campo ele´ctrico de manera u´nica.
El hecho de que el potencial sea una cantidad escalar con la misma informacio´n F´ısica del campo, es una ventaja
operativa, pero tambie´n surge la pregunta ¿como un objeto con un solo grado de libertad puede contener la misma
informacio´n que uno de tres grados de libertad?, la respuesta es que las componentes del campo ele´ctrico no son
realmente independientes, puesto que ∇× E = 0 y ∇ · E = 4πKcρ, de modo que tenemos 6 ecuaciones diferenciales
para las componentes de dicho campo11. Cabe mencionar que el potencial obedece a un principio de superposicio´n,
heredado del campo. Finalmente, es importante tener en cuenta que existe una arbitrariedad en la definicio´n del
potencial, para lo cual es necesario fijar el punto del espacio en el cual definimos el potencial cero. Esto no es ninguna
contradiccio´n ya que el potencial no es un observable f´ısico como veremos ma´s adelante, el observable es la diferencia
de potencial. El campo ele´ctrico en cambio s´ı es un observable.
Retomando la Ec. (1.15) que es equivalente a la conservatividad y usando el teorema de Stokes, se tiene∫
S
(∇×E) · dS =
∮
C
E · dl = 0
donde S es cualquier superficie delimitada por el lazo cerrado C. Vemos entonces que toda integral de l´ınea cerrada
del campo electrosta´tico es cero. Ahora sean dos caminos que pasan por los mismos puntos A y B ⇒∮
E · dl =
∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C1
+
∫ A
B
E · dl
∣∣∣∣
C2
= 0
⇒
∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C1
−
∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C2
= 0
de lo cual se deduce que ∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C1
=
∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C2
y como los puntos A y B son arbitrarios (en virtud de la arbitrariedad de los lazos cerrados originales), se deduce
que la integral de l´ınea del campo ele´ctrico es independiente del camino y solo depende de los extremos. Esta es otra
forma de definir a un campo conservativo, y de hecho es la que mayores implicaciones f´ısicas tiene. Hay que tener
especial cuidado con los campos mal comportados. Como ejemplo, sea F (r) = (A/r)uθ, una fuerza restringida a
dos dimensiones. El diferencial de trabajo es dW = F · dr = (A/r)uθ · (dr ur + r dθ uθ) = (A/r) r dθ calculemos el
trabajo para varias trayectorias
11Es importante enfatizar que au´n quedan grados de libertad, gracias a que estas 6 ecuaciones son ecuaciones diferenciales de primer
orden (estos grados de libertad se traducen en el potencial y en la arbitrariedad para definirlo). Si estas ecuaciones fueran lineales en el
campo, e´ste estar´ıa de hecho sobredeterminado. Ma´s adelante veremos que la determinacio´n del rotacional y la divergencia de un campo
vectorial, au´n no son suficientes para darle unicidad a la solucio´n de tal campo vectorial.
1.5. LEY DE GAUSS 13
1) Trayectoria cuyos vectores posicio´n inicial y final esta´n a un a´ngulo θ1 y θ2 respectivamente
W =
∫
Adθ = A (θ2 − θ1)
independiente de la trayectoria, solo importan los extremos e incluso solo el a´ngulo (no la distancia)
2) Trayectoria cerrada que no encierra al origen
W =
∫ r2
r1
A dθ +
∫ r1
r2
A dθ = A (θ2 − θ1) +A (θ1 − θ2) = 0
da cero independiente de la forma espec´ıfica de la trayectoria (siempre que no incluya el origen)
3) Trayectoria cerrada que encierra al origen
W =
∫ 2pi
0
A dθ = 2πA 6= 0
Luego la fuerza no es conservativa, la cuestio´n es que ∇ × F = 0 en todo el espacio excepto en el origen, de modo
que un camino cerrado que contenga al origen no da necesariamente cero.
Se puede probar que un campo central de la forma E (r) = E (ρ) uρ con ρ en coordenadas esfe´ricas es conservativo
si E (ρ) es una funcio´n bien comportada. Se puede calcular el rotacional de este campo y verificar que es cero en todo
el espacio. De especial intere´s son los campos de la forma
M (r) = k
∫
df (r′) (r− r′)
|r− r′|n+1 n = real
Se puede verificar que ∇×M = 0, y el potencial asociado se puede encontrar teniendo en cuenta que
(r− r′)
|r− r′|n+1 =
{
1
n−1∇
(
1
|r−r′|n−1
)
si n 6= 1
∇ ln |r− r′| si n = 1
1.5.3. Potencial y trabajo
La coleccio´n de todos los puntos con el mismo potencial forma las llamadas superficies equipotenciales. Como
E = −∇φ, las l´ıneas de campo son perpendiculares a tales superficies, y el campo va en la direccio´n en la cual
el potencial disminuye, veamos el sentido F´ısico del potencial: consideremos el trabajo realizado sobre una carga q
puntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de un campo ele´ctrico
Wa→b =
∫ b
a
Fext · dr = −q
∫ b
a
E · dr = q
∫ b
a
∇φ · dr
Wa→b = q
∫ b
a
dφ = q [φ (b)− φ (a)]
el signo menos proviene del hecho de que lo que se esta´ calculando es el trabajo hecho por el agente externo sobre
la carga, como e´sta debe ir con velocidad constante, la fuerza externa debe ser igual en magnitud pero opuesta en
direccio´n a la fuerza del campo sobre la carga. Dividiendo esta ecuacio´n por la carga
Wa→b
q
= φ (b)− φ (a) = −
∫ b
a
E· dr
De modo que la diferencia de potencial asociada al campo E es el trabajo realizado sobre una carga unidad q puntual
para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de dicho campo ele´ctrico.
Es importante mencionar que el trabajo solo depende de la diferencia de potencial y que E = −∇φ deja una
constante arbitraria por definir en el potencial. Por tanto, el potencial φ′ ≡ φ+ c (siendo c una constante) describe la
misma F´ısica que φ. Esto se llama una transformacio´n Gauge o de calibracio´n (transformacio´n del campo). El campo
y el trabajo son invariantes Gauge. La forma ma´s general del potencial es entonces
14 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
φ (r) = Kc
∫
ρ (r′) dV ′
|r− r′| + φ0
Para fijar la constante escojemos un punto de referencia para definir el cero de potencial. Tomemos el ejemplo de la
carga puntual; en coordenadas polares tenemos:∫ b
a
E · dr = KcQ
∫ b
a
1
r2
ur · (dr ur + rdθ uθ) = Kc
∫ b
a
Q
r2
dr = −Kc Q
r
∣∣∣∣b
a
= KcQ
(
1
ra
− 1
rb
)
= φ (a)− φ (b)
de modo que
φ (a) = KcQ
(
1
ra
− 1
rb
)
+ φ (b)
si hacemos ra = r, rb →∞ tenemos que
φ (r) =
KcQ
r
+ φ (∞)
la escogencia φ (∞) = 0 siempre es posible en distribuciones localizadas de carga, pues estas se ven de lejos siempre
como puntuales. Cuando hay distribuciones de carga no localizadas como en el caso de un alambre infinito, la
escogencia del cero de potencial en el infinito conduce por lo general a divergencias.
Discusio´n: En general s´ı es posible definir el cero de potencial en un punto en el infinito incluso cuando la carga
no esta´ localizada. Sin embargo, en tal caso no es correcto definir el potencial cero cuando r → ∞ (r distancia del
punto a un origen de coordenadas). La razo´n para ello es que r → ∞ no define un punto sino una superficie, y no
debemos perder de vista que el potencial debe ser fijado en un punto y no en una superficie. La pregunta natural es
¿porque´ la definicio´n del cero de potencial en r → ∞ es va´lida para distribuciones localizadas?, la respuesta radica
en el hecho de que para distancias suficientemente grandes, la distribucio´n se puede ver como una carga puntual, esto
significa que para una esfera suficientemente grande y “centrada” en la distribucio´n, la superficie de dicha esfera es
equipotencial, de modo que definir cero el potencial en un punto de su superficie equivale a definirlo cero en todos los
puntos de la superficie. Cuando la distribucio´n no es localizada, no podemos verla como puntual, incluso aleja´ndonos
indefinidamente, por tanto esta enorme esfera no define una superficie equipotencial.
Veamos el ejemplo espec´ıfico de un alambre infinito, si ri define la distancia del punto Pi al alambre, tenemos que
φ21 = −
∫ P2
P1
E · dS = −2λ ln r2 + 2λ ln r1 = −2λ ln r + const
Escogemos φ (a) = 0 con a arbitrario (a 6= 0, a 6= ∞). Si elegimos el cero de potencial en un punto espec´ıfico en el
infinito (por ejemplo el punto (0, 0, z →∞)), vamos a obtener potenciales infinitos en todo el espacio. Sin embargo,
las diferencias de potencial (que son los verdaderos observables f´ısicos) van a continuar siendo finitas. Hay que tener
en cuenta sin embargo que las distribuciones reales son localizadas.
1.6. Energ´ıa potencial electrosta´tica
Dado el cara´cter conservativo del campo electrosta´tico, el trabajo realizado para traer una carga desde a hasta b
en un potencial externo φ (r) es
Wa→b = −q
∫ b
a
E · d~l = q [φ (b)− φ (a)]
De esta manera podemos asociar una energ´ıa potencial a una carga q, en cada punto r del espacio, y sera´ equivalente
al trabajo necesario para mover la carga desde un punto de referencia donde el potencial es cero hasta el punto r en
cuestio´n12. Para distribuciones localizadas de carga es usual definir el cero de potencial en el infinito, en tal caso
W∞→r = qφ (r) = U (r) = energı´a potencial asociada a la carga q
12Esto es ana´logo a la energ´ıa potencial asociada a una part´ıcula en un campo gravitatorio. Cuando estamos en un campo gravitatorio
constante la energ´ıa potencial es mgh donde h = 0 se define por ejemplo en el suelo. Esta energ´ıa potencial es justamente el trabajo
necesario para que una part´ıcula de masa m se traslade desde el cero de potencial hasta un punto con altura h.
1.6. ENERGI´A POTENCIAL ELECTROSTA´TICA 15
Calculemos ahora el trabajo necesario para formar una distribucio´n esta´tica de cargas puntuales.
Para estimar este trabajo podemos razonar del siguiente modo: El trabajo necesario para traer la primera carga
es cero, ya que no hay fuerzas ni campos a los cuales oponerse, de modo que el trabajo necesario para traer la primera
carga desde el infinito hasta su posicio´n final r1 (denotado porW1) es nulo. Al traer la segunda carga desde el infinito
hasta su posicio´n final r2, e´sta ya se mueve en el campo generado por la primera, y como la primera carga genera un
potencial φ1 (r) entonces el trabajo para traer la segunda carga desde el infinito hasta una cierta posicio´n r2 es
W2 = q2φ1 (r2) = Kcq2
q1
|r2 − r1| = Kc
q1q2
r12
; rij ≡ |rj − ri| = rji
ana´logamente, la tercera carga se mueve en el campo generado por las dos primeras desde el infinito hasta su posicio´n
r3
W3 = q3 [φ1 (r3) + φ2 (r3)] = Kcq3
(
q1
r13
+
q2
r23
)
= Kc
(
q1q3
r13
+
q2q3
r23
)
si el sistema solo consta de tres cargas el trabajo total es
WT =W1 +W2 +W3 = Kc
(
q1q2
r12
+
q1q3
r13
+
q2q3
r23
)
esto sugiere que para n cargas la expresio´n sea
WT =
n−1∑
i=1
n∑
k>i
Kcqiqk
rik
se sugiere al lector demostrar la anterior expresio´n por induccio´n matema´tica. Tambie´n se deja al lector la tarea de
demostrar que este trabajo total coincide con el valor de la energ´ıa potencial interna del sistema Uint, es decir la
energ´ıa potencial asociada con las fuerzas internas. Esta expresio´n se puede escribir de una forma ma´s sime´trica si
tenemos en cuenta que para un par dado i, k podemos escribir
qiqk
rik
=
1
2
(
qiqk
rik
+
qkqi
rki
)
de manera que podemos reemplazar la restriccio´n k > i por la restriccio´n k 6= i introduciendo un factor 1/2. La
energ´ıa interna se escribira´ entonces en la forma
WT = Uint =
1
2
n∑
i=1
n∑
k 6=i
Kcqiqk
rik
(1.16)
donde el factor 1/2 se coloca debido al doble conteo de te´rminos, adema´s k 6= i lo cual implica que una part´ıcula no
interactu´a consigo misma. Veremos adema´s que esta expresio´n es ma´s adecuada para hacer el paso al cont´ınuo.
Por otro lado, si tenemos en cuenta que
φi =
n∑
k 6=i
Kcqk
rik
donde φi es el potencial asociado a la carga qi debido a su interaccio´n con las otras cargas. La energ´ıa interna se
puede escribir como
Uint =
1
2
n∑
i=1
qiφi (1.17)
Esta expresio´n no contiene la autoenerg´ıa asociada a cada carga individual, pues asume que las cargas ya esta´n
armadas, esto se ve´ en el hecho de que φi es el potencial debido a todas las cargas excepto la i − e´sima. Solo
contiene los te´rminos debidos a la interaccio´n entre las cargas. Estas autoenerg´ıas son divergentes pero se pueden
renormalizar13. Como veremos ma´s adelante, cuando asumimos distribuciones cont´ınuas de cargas estos te´rminos
de autoenerg´ıa aparecen en la formulacio´n sin dar divergencias (siempre y cuando la densidad sea finita en todo el
espacio).
13El hecho de que las autointeracciones diverjan tiene que ver con el hecho de que se necesita una energ´ıa infinita para ensamblar una
carga puntual.
16 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
1.6.1. Distribuciones cont´ınuas de carga
Formaremos la distribucio´n volume´trica trayendo elementos diferenciales de carga desde el infinito. La natura-
leza conservativa de las interacciones electrosta´ticas nos garantiza que la energ´ıa total final de la distribucio´n es
independiente del orden en que se traigan las cargas (de lo contrarioesta cantidad no tendr´ıa ningu´n significado
intr´ınseco).
Pensemos que queremos concentrarnos en armar la carga que finalmente quedara´ en un volumen dV (r), denotemos
el valor final de la densidad asociada a dV (r) como ρ (r). Supongamos que en cierta etapa del proceso hemos
acumulado una carga dq′ en el volumen dV (r), por lo tanto se tiene que dq′ = ρ′ (r) dV (r) de modo que ρ′ (r) es la
densidad de carga en r en esta etapa del proceso. Parametricemos ρ′ (r) = αρ (r) donde 0 ≤ α ≤ 1. Si asumimos que
α es independiente de la posicio´n y tomamos la ecuacio´n de Poisson ∇2φ (r) = −4πKcρ⇒ ∇2 [αφ ( r)] = −4πKc (αρ)
y como ∇2φ′ (r) = −4πKcρ′ = −4πKc (αρ) se concluye que
∇2 [αφ (r)− φ′ (r)] = 0
puesto que esto debe ser va´lido en todo el espacio, se tiene que αφ (r)− φ′ (r) = constante (veremos las condiciones
de unicidad de la Ec. de Laplace en la seccio´n 3.2, Pa´g. 40). En particular cuando α = 1 y se haya completado el
proceso, debe cumplirse que φ′ (r) = φ (r) con lo cual la constante debe anularse y por tanto φ′ (r) = αφ (r).
Ahora traemos desde el infinito una carga adicional dq hasta el elemento de volumen dV (r), la carga en este
volumen es ahora dq” (r) = (α+ dα) ρ (r) dV (r). El incremento es claramente dq (r) = (dα) ρ (r) dV (r). El trabajo
realizado para traer dq es
dW = φ′ (r) dq = [αφ (r)] [(dα) ρ (r) dV (r)] = αdα ρ (r)φ (r) dV (r)
Ahora bien, para traer elementos dq (r) para cada elemento de volumen dV (r) se requiere un trabajo
dW ′ = α dα
∫
V
ρ (r)φ (r) dV (r)
este trabajo au´n no es el trabajo total, ya que todav´ıa falta seguir trayendo cargas diferenciales a cada elemento de
volumen hasta completar la carga total que debe tener cada dV (r), es decir hasta que la densidad sea ρ (r). Esto se
describe matema´ticamente integrando en α desde cero hasta uno.
WT =
∫ 1
0
α dα
∫
V
ρ (r)φ (r) dV (r)
WT = Uint =
1
2
∫
V
ρ (r)φ (r) dV (1.18)
obse´rvese que hemos supuesto que α no depende del elemento de volumen en el cual este´ definido, es decir no depende
de la posicio´n. Esto simplemente implica que para cada elemento de volumen se trae un dq (r) que contenga la misma
fraccio´n de la carga total final en cada elemento de volumen, pero como el me´todo de construccio´n no afecta, esto
no le quita generalidad al problema. Se puede observar que la expresio´n (1.18) coincide con el paso al cont´ınuo de la
expresio´n (1.17).
La integral de volumen se realiza solo donde hay carga. Sin embargo, la integral se puede extender sobre todo
el espacio teniendo en cuenta que en las regiones donde no hay carga ρ = 0, y no van a contribuir. Al usar todo el
espacio podemos escribir
φ (r) =
∫
ρ (r′) dV ′
|r− r′| (1.19)
de modo que
WT = Uint =
1
2
∫ ∫
ρ (r) ρ (r′) dV dV ′
|r− r′| (1.20)
que coincide con el paso al cont´ınuo de (1.16). Este me´todo de ca´lculo nos asocia la energ´ıa directamente a las cargas,
como si la energ´ıa residiera en las cargas ya que en los sitios de ρ = 0 no hay contribucio´n a Uint.
1.6. ENERGI´A POTENCIAL ELECTROSTA´TICA 17
Un desarrollo adicional permite asociar la energ´ıa con el campo electrosta´tico (como si la energ´ıa residiera en el
campo). Partiendo de (1.18) y usando la ley diferencial de Gauss, escribimos
Uint =
1
2
∫
V
ρφ dV =
1
8πKc
∫
V
(4πKcρ)φ dV =
1
8πKc
∫
V
φ (∇ · E) dV
=
1
8πKc
∫
V
[∇ · (Eφ)−E · ∇φ] dV
usando el teorema de la divergencia y el hecho de que E = −∇φ obtenemos
Uint =
1
8πKc
∫
Eφ·dS+ 1
8πKc
∫
E2dV (1.21)
Para dilucidar sobre que´ volumen estamos integrando, recordemos que se partio´ de la Ec. (1.18). Por tanto el volumen
de integracio´n es aque´l que contiene a toda la distribucio´n de carga. Sin embargo, podemos extender el volumen sin
alterar la integral puesto que las partes del volumen que no contienen carga no contribuyen a dicha integral. En
consecuencia, la expresio´n (1.21), es va´lida para cualquier volumen y superficie que lo delimita, siempre y cuando
toda la carga este´ contenida en el volumen. Una eleccio´n astuta para distribuciones localizadas de carga es extender
el volumen y la superficie hasta el infinito de modo que E ≃ Q/r2, φ ≃ Q/r y S ∼ r2 de modo que todo el integrando
de superficie se comporta como 1/r y tiende a cero. Finalmente tenemos
Uint =
1
8πKc
∫
todo el espacio
E2dV (1.22)
De modo que la energ´ıa aparece como almacenada en el campo. Esta interpretacio´n nos permite definir la densidad
de energ´ıa del campo electrosta´tico como
ε ≡ E
2
8πKc
; Uint =
∫
ε dV
Queda la pregunta, A que se asocia la energ´ıa a las cargas o al campo?, la respuesta es que la energ´ıa se asocia al
sistema de part´ıculas pero no se puede asociar a porciones de carga o a porciones del espacio (el te´rmino E2/8πKc
que definimos como densidad de energ´ıa, no se puede medir experimentalmente14). A priori podr´ıamos pensar que
a cada carga se le puede asociar una porcio´n de esta energ´ıa, si esto es posible debe ser de una manera un´ıvoca.
Pensemos que al armar un sistema de cargas puntuales asociamos a cada part´ıcula la porcio´n de energ´ıa asociada al
potencial en el cual se movio´ cuando se trajo desde el infinito, en ese caso a la primera no le corresponde nada, a la
segunda le corresponde la energ´ıa necesaria para traerla desde el infinito hasta el punto donde se dejo´, lo cual se hizo
en presencia del campo generado por la primera carga y as´ı sucesivamente, pero esta forma no es un´ıvoca ya que las
cargas se pueden traer en cualquier orden y las porciones asignadas son diferentes para cada orden.
En conclusio´n, las interpretaciones como energ´ıa asociada a la carga o al campo son solo me´todos de ca´lculo, en
la primera interpretacio´n con cargas solo importa el espacio que tiene carga, en el segundo solo importan las regiones
donde hay campo. Son dos formas diferentes de sumar, as´ı como lo son las diferentes maneras de traer las cargas,
pero el me´todo particular de hacer la suma no tiene significado intr´ınseco15.
Cuando intentamos calcular la energ´ıa potencial de una distribucio´n de cargas puntuales a trave´s de la expresio´n
(1.22) obtenemos divergencias debido a la autoenerg´ıas de las part´ıculas. Veamos un ejemplo concreto: dos cargas
puntuales q1, q2 ubicadas en las coordenadas r1 y r2. El campo ele´ctrico esta´ descrito por
E = Kc
[
q1 (r− r1)
|r− r1|3
+
q2 (r− r2)
|r− r2|3
]
E2
8πKc
=
K2c q
2
1
8πKc |r− r1|4
+
K2c q
2
2
8πKc |r− r2|4
+
K2c q1q2 (r− r1) · (r− r2)
4πKc |r− r1|3 |r− r2|3
14Obse´rvese adema´s que la Ec. (1.18) nos brinda otra posible definicio´n de densidad de energ´ıa i.e. ε = 1
2
ρφ. De acuerdo con esta
definicio´n la densidad de energ´ıa en las regiones sin carga es cero, lo cual en general no es cierto cuando asumimos ε = E2/8piKc.
15Cuando estudiemos campos dependientes del tiempo, veremos que la forma E2/8pi es la mas adecuada para definir densidad de energ´ıa.
Pero en el caso esta´tico, la densidad de energ´ıa no tiene significado F´ısico, debido a que ninguna porcio´n de volumen esta´ intercambiando
energ´ıa con otra.
18 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
los dos primeros te´rminos correspondientes a la autoenerg´ıa de las part´ıculas son intr´ınsecos de las part´ıculas y no se
intercambian ni se modifican por el hecho de que las part´ıculas se muevan, solo podr´ıan ser relevantes si la interaccio´n
entre las part´ıculas es tan fuerte que revela su estructura interna, en cuyo caso tenemos que abandonar la abstraccio´n
de part´ıculas puntuales. Las autoenerg´ıas divergen debido a que se producen singularidades para r → r1 y para
r→ r2. Recordemos que este es el reflejo de que se requiere una energ´ıa infinita para emsamblar una carga puntual.
El u´ltimo te´rmino se debe a la interaccio´n entre las dos part´ıculas y su integral de volumen se puede calcular de la
forma siguiente.
Uint = Kc
∫
q1q2 (r−r1) · (r− r2)
4π |r− r1|3 |r− r2|3
dV =
Kcq1q2
4π
∫
∇
(
1
|r− r1|
)
· ∇
(
1
|r− r2|
)
dV
=
Kcq1q2
4π
{∫
∇ ·
[
1
|r− r1|∇
(
1
|r− r2|
)]
dV −
∫
1
|r− r1| ∇
2
[(
1
|r− r2|
)]
dV
}
=
Kcq1q2
4π
{∫ [
1
|r− r1|∇
(
1
|r− r2|
)]
· dS+ 4π
∫
δ (r− r2)
|r− r1| dV
}
Uint =
Kcq1q2
4π
{∫ [
(r2 − r)
|r− r1| |r− r2|3
]
· dS+ 4π 1|r2 − r1|
}
donde hemos usado el teorema de la divergencia, as´ı como las ecuaciones (1.10) y (1.11). La superficie donde se define
la primera integral esta´ en el infinito en el cual el integrando decae como 1/r3, en tanto que la superficie crece como
r2 de modo que esta integral se anula. El te´rmino de interaccio´n queda
Uint =
Kcq1q2
|r2 − r1|
el cual coincide con el ca´lculo ya realizado en el caso discreto, Ec. (1.16) con n = 2. Sin embargo, cuando se usa (1.16)
o (1.17), no resultan los infinitos de autoenerg´ıa como ya se discutio´, la razo´n es que en el caso discreto hemos exclu´ıdo
la contribucio´n de las autointeracciones. En contraste, se puede ver que en el caso cont´ınuo descrito por (1.18) [o
equivalentemente por (1.20) o (1.22)], el potencial φ (r) s´ı incluye la contribucio´n del diferencial de carga centrado en
r. Cuando la densidad es bien comportada, la inclusio´n de este te´rmino no afecta el resultado ya que es despreciable,
pero para puntos en donde la densidad tiene singularidades (como en cargas puntuales), estas contribuciones divergen
16.
————————————————-
Calculemos ahora la fuerza experimentada por la superficie de un conductor de carga superficial σ. En este caso
la densidad y el campo ele´ctrico esta´n relacionados de modo que
ε =
E2
8πKc
=
2π
Kc
σ2
para llevar un elemento de superficie de 1 a 2 se realiza un trabajo ∆W = ∆F ∆x = ε∆V
∆F =
ε∆V
∆x
= ε∆A⇒ ∆F
∆A
= ε =
2π
Kc
σ2
este resultado tambie´n se puede derivar tomando εσ teniendo presente que el campo ele´ctrico debido al elemento
mismo debe ser exclu´ıdo (Jackson second ed. pag. 48).
1.7. Ecuaciones de campo
Tenemos las dos ecuaciones de campo
∇ ·E = 4πKcρ (r) ; ∇×E = 0 (1.23)
16Obse´rvese por ejemplo que si las cargas q1 y q2 son de signo opuesto, el ca´lculo con (1.17) da un valor negativo en tanto que la Ec.
(1.22) esta´ definida positiva. Esto se debe a que las autoenerg´ıas son divergentes positivas.
1.7. ECUACIONES DE CAMPO 19
El conocimiento de la divergencia y el rotacional de un campo en todo el espacio especifican el valor del campo, salvo
por un factor adicional que ser´ıa el gradiente de una funcio´n escalar que satisfaga la ecuacio´n de Laplace en todo el
espacio. Es decir si E es solucio´n de estas ecuaciones vectoriales entonces E′ tambie´n es solucio´n si
E′ = E+∇ϕ con ∇2ϕ = 0 en todo el espacio
pero si ∇2ϕ = 0 en todo el espacio entonces ϕ puede ser a lo ma´s una constante (veremos las condiciones de
unicidad de la Ec. de Laplace en la seccio´n 3.2, Pa´g. 40), de modo que E′ = E. Sin embargo, en la mayor´ıa de
problemas reales de la F´ısica, conocemos la densidad ρ solo en una cierta regio´n R del espacio y no en todo el
espacio. En tal caso conocemos la divergencia y el rotacional del campo electrosta´tico pero solo dentro de la regio´n
R. Esto nos indica que ∇2ϕ = 0 en la regio´n R, pero no necesariamente en todo el espacio, lo cual implica que
la solucio´n para ϕ puede ser no trivial y tenemos problemas con la unicidad de E. Desde el punto de vista F´ısico,
esto es de esperarse puesto que el conocimiento de la densidad en cierta regio´n del espacio, no nos excluye de la
influencia de las densidades externas, las cuales por principio de superposicio´n tambie´n afectara´n el campo. Este
sencillo argumento F´ısico nos dice que hay infinitas soluciones para E cuando solo se conoce la densidad en una cierta
regio´n del espacio. Esto indica que las ecuaciones anteriores solo son u´tiles en alguno de los siguientes casos
Conocemos la distribucio´n de carga en todo el universo
La distribucio´n de carga en R esta´ lo suficientemente aislada de otras cargas, con lo cual asumir que la densidad
de carga es ρ (r) en el interior de R y cero fuera de R constituye una aproximacio´n razonable.
Conocemos la densidad de carga en R e ignoramos la carga fuera de dicha regio´n, pero en cambio conocemos
ciertas condiciones en la frontera de R que hacen que la solucio´n de la ecuaciones anteriores sean u´nicas.
Esta u´ltima posibilidad esta´ inspirada en un argumento F´ısico y otro Matema´tico. F´ısicamente, sabemos que
en algunos sistemas como los conductores electrosta´ticos, aunque no conozcamos la distribucio´n de carga exterior,
conocemos ciertos efectos netos que la interaccio´n de la carga externa con la interna producen: que la superficie
del conductor sea un equipotencial. Desde el punto de vista matema´tico, sabemos que las ecuaciones diferenciales
parciales tienen solucio´n u´nica bajo cierto tipo espec´ıfico de condiciones en la frontera.
Como ya vimos, las ecuaciones (1.23) se pueden sintetizar en una sola: la ecuacio´n de Poisson (1.14), que en el
caso homoge´neo se reduce a la ecuacio´n de Laplace. Esta ecuacio´n muestra de nuevo las ventajas de trabajar con el
potencial
1. La ecuacio´n para el potencial (Poisson o Laplace) es una sola, en tanto que las ecuaciones de los campos son
dos (divergencia y rotacional).
2. Esta u´nica ecuacio´n se define sobre un campo escalar, y no sobre un campo vectorial.
3. En esta ecuacio´n es mas fa´cil acomodar las condiciones de frontera.
1.7.1. Ca´lculo de campos
Hay varias te´cnicas para calcular campos electrosta´ticos
1. Utilizando E (r) = Kc
∫ ρ(r′) (r−r′)
|r−r′|3 dV
′ para usarla requerimos saber la distribucio´n de carga en el universo, o
hacer la aproximacio´n de que la distribucio´n de carga que conocemos es la u´nica en el universo (i.e. asumir que
el sistema en cuestio´n esta lo suficientemente aislado).
2. Usar φ (r) = Kc
∫ ρ(r′)
|r−r′|dV
′ + φ0 y luego E = −∇φ se usa bajo las mismas condiciones anteriores pero con la
ventaja de que se realiza una integracio´n escalar y no vectorial.
3. Utilizando ley de Gauss
∮
E · dS = 4πKcq, aunque tiene validez general, solo es u´til para casos especiales
con muy alta simetr´ıa. Espec´ıficamente, su utilidad se restringe al caso en el cual se conoce la forma de las
superficies equipotenciales. En caso contrario resulta ser una ecuacio´n integral muy dif´ıcil de resolver.
20 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
4. Me´todo de ima´genes: tambie´n aplicable solo bajo simetr´ıas muy especiales. Requiere del conocimiento de algunas
superficies equipotenciales.
5. Usando el me´todo de transformaciones conformes: Aplicacio´n de la teor´ıa de la variable compleja a la ecuacio´n
de Laplace. Solo vale para problemas bidimensionales y es en la pra´ctica aplicable solo para problemas con alta
simetr´ıa.
6. Usando las formas diferenciales ∇2φ = −4πKcρ, o´ ∇2φ = 0, junto con ciertas condiciones de frontera, como
veremos este es el me´todo mas fruct´ıfero.
Con mucha frecuencia lo que conocemos es la distribucio´n de carga en el interior de una regio´n y cierta condicio´n
sobre la frontera que encierra a dicha regio´n, pero desconocemos la distribucio´n de carga en el exterior y en la frontera.
Es en estos casos en donde la ecuacio´n de Poisson con condiciones de frontera resulta provechosa.
Veamos un caso particular
Example 1 Placa plana conductora infinita que yace a potencial cero sobre el plano XY, y una carga q en z = h.
Al tratar de usar los me´todos tradicionales se tiene
φ (r) = Kc
∫
ρ (r′) dV ′
|r− r′| + φ0 ; ρ
(
r′
)
= qδ
(
r′ − huz
)
+ ρ′
(
r′
)
= qδ
(
r′ − huz
)
+ σ
(
r′
)
δ (z)
donde ρ′ (r′) es la carga volume´trica equivalente a la carga superficial σ (r′). El potencial queda
φ (r) = Kcq
∫
δ (x′) δ (y′) δ (z′ − h) dV ′√
(x− x′)2 + (y − y′)2+ (z − z′)2
+Kc
∫
ρ′ (r′) dV ′
|r− r′| + φ0
φ (r) =
Kcq√
x2 + y2 + (z − h)2
+Kc
∫
σ (r′) δ (z) dV ′
|r− r′| + φ0
pero σ (r′) es desconocido y no se puede inferir fa´cilmente con la informacio´n sobre el potencial (φ = 0 en z = 0),
lo ma´ximo que podemos hacer es reducir la integral por medio de la delta de dirac usando coordenadas cartesianas o
cil´ındricas (la simetr´ıa indica en todo caso que las coordenadas cil´ındricas son mas apropiadas). Tambie´n podemos
decir que por simetr´ıa la densidad en el plano es solo funcio´n de la distancia al origen, con esto la integral triple se
convierte en simple pero no es suficiente para realizar el u´ltimo paso.
En general, las formas integrales no pueden inclu´ır fa´cilmente las condiciones de frontera. En este caso particular
conocemos fa´cilmente una superficie equipotencial del sistema (plano XY) y se puede usar el me´todo de ima´genes,
pero en casos mas complejos el me´todo resulta inmanejable.
Ahora consideremos el uso de las formas diferenciales. La ecuacio´n de Laplace se puede resolver por separacio´n de
variables en 11 sistemas coordenados diferentes que incluyen pra´cticamente todos los sistemas coordenados de intere´s
f´ısico. Las constantes de integracio´n usualmente se acoplan con facilidad a las condiciones de frontera y las soluciones
pueden generalmente expresarse con facilidad en te´rminos de funciones ortogonales. Por supuesto, tal ecuacio´n solo
es va´lida en regiones con ausencia de carga.
La ecuacio´n de Poisson que nos permite solucionar el problema esta´tico mas general, es una ecuacio´n inhomoge´nea
y no admite separacio´n de variables salvo en caso muy simples. Sin embargo, la te´cnica de Green que veremos mas
adelante, hace que el me´todo sea mas manejable.
1.8. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann
En general la solucio´n de las ecuaciones diferenciales parciales requiere de condiciones de frontera. En el caso
espec´ıfico electrosta´tico, con frecuencia se conoce el potencial en la superficie (condiciones de Dirichlet) o la compo-
nente normal del campo (equivalentemente la derivada normal del potencial). Si estas condiciones se definen sobre
una superficie cerrada S que delimita a un volumen V , y adema´s conocemos la densidad de carga volume´trica dentro
de dicho volumen, entonces la solucio´n es u´nica como demostraremos a continuacio´n.
1.8. UNICIDAD DEL POTENCIAL CON CONDICIONES DE DIRICHLET Y NEUMANN 21
Desarrollemos un par de identidades integrales, partiendo del teorema de la divergencia∫
∇ ·A dV =
∮
A · dS (1.24)
tomaremos A ≡ φ∇ψ, donde por el momento φ, ψ son campos escalares arbitrarios. Reemplazando esta expresio´n
en el teorema de la divergencia ∫ [
φ∇2ψ +∇ψ · ∇φ] dV = ∮ [φ∇ψ] · dS (1.25)
La Ec. (1.25) se conoce como primera identidad de Green. Escribiendo de nuevo esta identidad con el
intercambio ψ ↔ φ, y restando ∫ [
φ∇2ψ − ψ∇2φ] dV = ∮ [φ∇ψ − ψ∇φ] · dS (1.26)
Esta expresio´n se conoce como segunda identidad de Green o teorema de Green. No´tese que es fundamental
que la superficie sea cerrada ya que partimos del teorema de la divergencia. Lo que se busca es demostrar la unicidad
de la solucio´n de la ecuacio´n de Poisson dentro de un volumen V, sujeto a condiciones de frontera sobre la superficie
S que delimita a dicho volumen. Utilizaremos condiciones de frontera de tipo Dirichlet o Neumann.
Para realizar esta demostracio´n supongamos que existen dos soluciones φ1 y φ2 que satisfacen la misma ecuacio´n de
Poisson dentro del volumen V [es decir que ρ1 (r) = ρ2 (r) ≡ ρ (r) dentro de dicho volumen] y las mismas condiciones
de frontera sobre S.
1. Para Dirichlet: φ1|S = φ2|S = φS
2. Para Neumann: ∂φ1∂n
∣∣∣
S
= ∂φ2∂n
∣∣∣
S
= ∂φS∂n
Sea U ≡ φ2 − φ1, entonces ∇2U = ∇2φ2 −∇2φ1 = −4πKcρ+ 4πKcρ = 0
1. US = φ2|S − φ1|S = 0 (Dirichlet)
2. ∂US∂n =
∂φ2
∂n
∣∣∣
S
− ∂φ1∂n
∣∣∣
S
= 0 (Neumann).
Usando la primera identidad de Green (1.25) con φ = ψ = U se obtiene∫ [
U∇2U︸︷︷︸
=0
+ |∇U |2
]
dV =
∮
[U∇U ] · ndS
pero ∇U · n = ∂U/∂n y tenemos ∫
|∇U |2 dV =
∮ [
U
∂U
∂n
]
dS
La integral de superficie es cero para las condiciones de Dirichlet (US = 0), y las de Neumann (∂nUS = 0). De modo
que17 ∫
|∇U |2 dV = 0⇒ ∇U = 0 (1.27)
puesto que |∇U |2 dV ≥ 0. Esto nos indica que U = cte.
1. Condiciones de Dirichlet: φ2|S = φ1|S ⇒ US = 0 = cte. Por tanto U = 0 y la solucio´n es u´nica.
2. Neumann: ∂US∂n = 0 =
∂(φ2−φ1)S
∂n ⇒ φ2 − φ1 = cte.
17Estrictamente, solo se obtiene la condicio´n de que ∇U es una funcio´n de medida nula. Sin embargo, para funciones bien comportadas
podemos garantizar la nulidad de la funcio´n ∇U en s´ı.
22 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
Estos resultados son lo´gicos ya que el conocimiento de φ en la superficie requiere de haber definido el cero de
potencial en tanto que el conocimiento de la derivada au´n deja la constante arbitraria sin fijar.
En general la especificacio´n de condiciones de Neumann y Dirichlet simulta´neamente sobre una regio´n de la
superficie conduce a contradiccio´n. Sin embargo, la unicidad de la solucio´n (salvo una posible constante), se sigue
cumpliendo si empleamos condiciones mixtas, en donde las regiones de Dirichlet y Neumann sean disyuntas y comple-
mentarias. Vale mencionar que estos teoremas de unicidad son teoremas matema´ticos va´lidos para funciones escalares
arbitrarias φ y ρ que cumplan con la ecuacio´n de Poisson, aunque estas funciones no tengan ninguna relacio´n con
problemas electrosta´ticos.
1.9. Teoremas de unicidad para campos vectoriales
Como corolario de los anteriores teoremas de unicidad obtenemos el siguiente teorema de unicidad para un campo
vectorial (en nuestro caso los campos vectoriales de intere´s sera´n el campo ele´ctrico y el campo magne´tico)
Theorem 2 Un campo vectorial esta´ un´ıvocamente especificado si se conocen la divergencia y el rotacional dentro
de una regio´n simplemente conexa y su componente normal en la superficie que delimita a dicha regio´n.
Asumamos que en la regio´n en cuestio´n la divergencia y el rotacional del campo vectorial V esta´n dadas por
∇ ·V = s ; ∇×V = c (1.28)
a s usualmente se le llama un te´rmino de fuente (densidad de carga en nuestro caso) y a c una densidad de circulacio´n
(densidad de corriente en nuestro caso). Asumiendo que conocemos la componente normal Vn del campo vectorial en
la superficie que delimita la regio´n, supongamos que existen dos soluciones V1 y V2 que satisfacen estas condiciones
de frontera, con lo cual definimos
W = V1 −V2
claramente el rotacional y divergencia de W son nulos
∇ ·W = 0 ; ∇×W = 0 (1.29)
dado que W es irrotacional, podemos expresarlo como
W = −∇φ (1.30)
y tomando la divergencia a ambos lados de (1.30) y teniendo en cuenta (1.29) queda
∇ ·W = −∇ · ∇φ = 0 ⇒ ∇2φ = 0
claramente tenemos que
Wn,s = V1n,s − V2n,s = 0
y
Wn,s = (W · n)s = − ∇φ · n|s = −
∂φ
∂n
∣∣∣∣
s
= 0
con lo cual la ecuacio´n para el escalar φ junto con sus condiciones de frontera son
∇2φ = 0 ; ∂φ
∂n
∣∣∣∣
S
= 0
es decir ecuacio´n de Laplace con condiciones de Neumann. Por los teoremas de la seccio´n anterior, la solucio´n para
φ es u´nica salvo por una constante aditiva, por tanto su gradiente es u´nico y W = 0 en toda la regio´n con lo cual
V1 = V2 y el campo vectorial es u´nico. Es necesario enfatizar que estos teoremas de unicidad son va´lidos para
campos escalares y vectoriales arbitrarios y no solo para el potencial o el campo ele´ctrico.
Como comentario final, para campos escalares el conocimiento de las condiciones en el potencial o su derivada
normal en la superficie, constituyen una condicio´n de suficiencia pero no de necesidad, en realidad existen mu´ltiples
condiciones posibles de unicidad. Un argumento similar se sigue para campos vectoriales. A manera de ilustracio´n
1.10. TEOREMA DE HELMHOLTZ 23
de estehecho, en el ape´ndice A se demuestra que dada una regio´n equipotencial cerrada S, dentro de la cual hay
un conjunto de n conductores, el campo ele´ctrico esta´ un´ıvocamente determinado en la regio´n comprendida entre
los conductores y la regio´n encerrada por S, si se conocen (a) la carga neta total de cada conductor Qi, i = 1, ..., n
(b) la densidad de carga en la regio´n comprendida entre los conductores y el interior de S 18. Por supuesto, si los
conductores carecen de cavidades, se conoce en principio el campo en casi todo el interior de S, puesto que en el
interior de los conductores el campo es cero. Los u´nicos puntos conflictivos para la evaluacio´n del campo son los de la
superficie de los conductores, ya que la carga superficial produce un discontinuidad del campo en estos puntos como
veremos en la seccio´n 1.11.
Vamos a discutir ahora un teorema que sera´ de gran utilidad cuando trabajemos campos dependientes del tiempo
pero que de nuevo es va´lido para campos vectoriales arbitrarios
1.10. Teorema de Helmholtz
Antes que nada debemos hacer algunas definiciones: Cuando la divergencia de un campo vectorial sea nula,
diremos que el campo es solenoidal. Similarmente cuando el rotacional de un campo sea nulo, diremos que es un
campo irrotacional. El teorema de Helmholtz nos dice que
Theorem 3 Si la divergencia y el rotacional de un campo vectorial F (r) esta´n especificados en todo el espacio por
las funciones D (r) y C (r) respectivamente, y si ambas funciones tienden a cero ma´s ra´pido que 1/r2 cuando r →∞,
entonces F (r) se puede escribir como la suma de un campo irrotacional con otro campo solenoidal. Si adicionalmente,
se exige que F (r)→ 0 cuando r →∞ entonces la funcio´n F (r) es u´nica (Teorema de Helmholtz).
Demostracio´n: Tomemos la divergencia y el rotacional de F
∇ · F = D ; ∇× F = C
dado que la divergencia de un rotacional de un funcio´n de clase C2 debe ser cero, se tiene que por consistencia el campo
C (r) debe ser solenoidal. Escribiremos un ansatz para F de modo que quede la suma de un te´rmino irrotacional y
otro solenoidal
F = −∇U +∇×W (1.31)
Definamos las funciones
U (r) ≡ 1
4π
∫
D (r′)
|r− r′| dV
′ ; W (r) ≡ 1
4π
∫
C (r′)
|r− r′| dV
′ (1.32)
donde las integrales se definen en todo el espacio. No´tese que estas funciones tienen estructura similar a los potenciales.
Calculemos la divergencia de F
∇ · F = −∇2U = − 1
4π
∫
D
(
r′
) ∇2( 1|r− r′|
)
dV ′ =
∫
D
(
r′
)
δ3
(
r− r′) dV ′ = D (r)
hemos usado el hecho de que la divergencia de un rotacional es cero, y hemos tenido en cuenta que la derivada es
con respecto a las variables no primadas. La divergencia reproduce el valor adecuado. Veamos lo que ocurre con el
rotacional
∇× F = ∇× (∇×W) = −∇2W +∇ (∇ ·W) (1.33)
hemos usado el hecho de que el rotacional de un gradiente es cero. Calculemos entonces cada te´rmino usando la forma
expl´ıcita de W
−∇2W = − 1
4π
∫
C
(
r′
) ∇2( 1|r− r′|
)
dV ′ =
∫
C
(
r′
)
δ3
(
r− r′) dV ′ = C (r) (1.34)
la Ec. (1.34) nos muestra que −∇2W ya reproduce el valor correcto del rotacional. Es condicio´n de suficiencia (no
de necesidad) que ∇ ·W sea cero para que el ansatz (1.31) sea consistente19. Utilizando la identidad
∇′
(
1
|r− r′|
)
= −∇
(
1
|r− r′|
)
(1.35)
18Es probablemente mas conveniente estudiar este teorema en detalle despue´s del estudio del cap´ıtulo 6
19Como se ve´ en la Ec. (1.33), lo que se necesita es que ∇ (∇ ·W) = 0 es decir que ∇ ·W sea constante.
24 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
evaluemos entonces ∇ ·W
∇ ·W = 1
4π
∫
C
(
r′
) · ∇( 1|r− r′|
)
dV ′ = − 1
4π
∫
C
(
r′
) · ∇′( 1|r− r′|
)
dV ′
∇ ·W = 1
4π
∫ ∇′ ·C (r′)
|r− r′| dV
′ − 1
4π
∮
∇′ ·
[
C (r′)
|r− r′|
]
dV ′
∇ ·W = 1
4π
∫ ∇′ ·C (r′)
|r− r′| dV
′ − 1
4π
∮
C (r′)
|r− r′| · dS
′ (1.36)
El primer te´rmino integral de la derecha en (1.36) se anula porque C debe ser solenoidal. As´ı mismo es condicio´n
suficiente para la anulacio´n de la segunda integral si imponemos que C vaya a cero con r →∞ mas ra´pido que 1/r2.
Adicionalmente, es necesario que las integrales (1.32) converjan para que las funciones U y W existan. En el l´ımite
r′ →∞, se tiene |r− r′| ∼= r′ y las integrales adquieren la forma∫ ∞ X (r′)
r′
r′2 dr′ =
∫ ∞
r′X
(
r′
)
dr′
siendo X cualquiera de los campo D o´ C. No´tese que si X (r′) ∼ 1/r′2 la integral es au´n logar´ıtmica y puede diverger,
pero cualquier potencia de la forma 1/r2+k con k > 0 permite la convergencia de esta integral. Por tanto, es condicio´n
de suficiencia que D y C decrezcan ma´s ra´pido que 1/r2 en su re´gimen asinto´tico.
Se observa que si agregamos a F una funcio´n M tal que
F′ = F+M ; ∇×M = ∇ ·M = 0
la nueva F′ tiene la misma divergencia y rotacional que F. Pero si exigimos que F (r)→ 0 cuando r →∞ el campo
M debe ser cero en el infinito con lo cual M = 0 en todo el espacio por unicidad y F es u´nico. Ba´sicamente hemos
agregado una condicio´n de contorno para garantizar la unicidad de la solucio´n.
No´tese que de este teorema se desprende un corolario interesante que se obtiene de las ecuaciones (1.31, 1.32):
Corollary 4 Cualquier funcio´n diferenciable F (r) que va a cero ma´s ra´pido que 1/r cuando r→∞ se puede expresar
como el gradiente de un escalar ma´s el rotacional de un vector
F (r) = ∇
(
− 1
4π
∫ ∇′ · F (r′)
|r− r′| dV
′
)
+∇×
(
1
4π
∫ ∇′ × F (r′)
|r− r′| dV
′
)
(1.37)
Un caso muy simple de aplicacio´n de este corolario lo constituyen la electrosta´tica y la magnetosta´tica. Si hacemos
F→ E (campo ele´ctrico) y aplicamos (1.37) junto con las ecuaciones de campo
∇ ·E = 4πKcρ ; ∇×E = 0
se tiene
E (r) = ∇
(
− 1
4π
∫ ∇′ · E (r′)
|r− r′| dV
′
)
+∇×
(
1
4π
∫ ∇′ ×E (r′)
|r− r′| dV
′
)
E (r) = − 1
4π
∇
(∫
4πKcρ (r
′)
|r− r′| dV
′
)
= −∇
(∫
Kcρ (r
′)
|r− r′| dV
′
)
= −∇φ (r)
que es el resultado conocido. Similarmente en magnetosta´tica F→ B (campo magne´tico) y aplicando
∇ ·B = 0 ; ∇×B = 4π
c
J
se tiene
B (r) = ∇
(
− 1
4π
∫ ∇′ ·B (r′)
|r− r′| dV
′
)
+∇×
(
1
4π
∫ ∇′ ×B (r′)
|r− r′| dV
′
)
B (r) = ∇×
(
1
c
∫
J (r′)
|r− r′| dV
′
)
≡ ∇×A
siendo J la densidad de corriente y A el potencial vectorial magne´tico (ver cap´ıtulo 13).
1.11. DISCONTINUIDADES EN EL CAMPO ELE´CTRICO Y EN EL POTENCIAL 25
Figura 1.2: (Derecha) superficie gaussiana que contiene unca carga superficial dentro de la superficie Sb. Puesto que
la altura de esta superficie es diferencial las superficies S1, S2 y Sp coinciden en magnitud. (Izquierda) lazo cerrado
donde las l´ıneas perpendiculares a la superficie son infinitesimales y las localmente paralelas a la superficie son de
longitud finita.
1.11. Discontinuidades en el campo ele´ctrico y en el potencial
Asumamos la existencia de una interfaz bidimensional con una cierta distribucio´n de carga superficial. Tomemos
una superficie gaussiana que cruza la superficie de la interfaz como se ve´ en la Fig. 1.2. Esta superficie gaussiana es
tal que su altura es diferencial y sus tapas (de taman˜o finito) a lado y lado de la interfaz, son localmente paralelas a
la superficie de la interfaz. Como la altura es diferencial, despreciamos el flujo lateral y solo se considera el flujo por
las tapas.
Por otro lado, la altura diferencial junto con el hecho de que las tapas sean localmente paralelas a la superficie
nos garantizan que n1 = −n2 y que las tapas y la superficie de la interfaz encerrada sean todas iguales i.e. |S1| =
|S2| = |Sb|. Esto se aprecia en la Fig. 1.2.
Usando los hechos anteriores y la ley de Gauss tenemos∮
E · dS =
∫
S1
E1 · dS1 +
∫
S2
E2 · dS2 =
∫
S1
E1 · n1 dS1 +
∫
S1
E2 · (−n1) dS1 = 4πKcq = 4πKc
∫
Sb
σ dSb
⇒
∫
(E1 −E2) · n1 dS1 = 4πKc
∫
S1
σ dS1
como esto es va´lidopara cualquier taman˜o y forma de la superficie de las tapas (siempre y cuando la superficie no
sea infinitesimal20), se concluye que
(E1 −E2) · n1 = 4πKcσ (1.38)
Esta ecuacio´n nos indica que hay una discontinuidad de la componente normal del campo cuando consideramos una
superficie con una cierta densidad superficial, pues debemos recordar que E1 y E2 esta´n evaluados arbitrariamente
cerca a la interface, aunque en lados opuestos.
Obse´rvese que si existe adema´s una densidad volume´trica (finita) en el entorno de la interfaz, el resultado no
se afecta. La razo´n es que la cantidad de carga volume´trica encerrada en la superficie gaussiana tender´ıa a cero (al
tender a cero el volumen), mas no la carga superficial encerrada (ya que la superficie que contiene carga superficial
es finita). Esto nos indica que la singularidad inherente a la naturaleza superficial de la carga es lo que me produce
la discontinuidad. Efectivamente, si en vez de considerar una superficie consideramos una capa muy delgada pero
con volumen, la discontinuidad desaparece y se ve reemplazada por un cambio brusco pero cont´ınuo del campo (ver
Berkeley vol II segunda ed. seccio´n 1.14).
20No´tese que si la superficie de las tapas fuera infinitesimal, no se podr´ıa en general despreciar el flujo lateral.
26 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
Usando la naturaleza conservativa del campo electrosta´tico podemos demostrar que la componente paralela es
cont´ınua. Partiendo de la expresio´n ∮
E · dr = 0
formemos un lazo cerrado con dos lados perpendiculares a la superficie y de longitud diferencial, los otros dos lados
sera´n finitos y localmente paralelos a la superficie (ver Fig. 1.2). Puesto que los lados perpendiculares a la superficie
son infinitesimales, solo los lados paralelos contribuyen a la circulacio´n y son de la misma longitud l1 = l2∮
E · dr = 0 =
∫
l1
E1 · dr1 +
∫
l2
E2 · dr2 =
∫
l1
E1 · dr1 +
∫
l1
E2 · (−dr1)
0 =
∫
l1
(E1 −E2) · dr1
en este caso el producto punto da la componente paralela ya que dr1 es localmente paralelo a la superficie
0 =
∫ (
E1,‖ − E2,‖
) · dr1
y como la relacio´n es va´lida para cualquier longitud y orientacio´n localmente paralela del lazo, se concluye que
E1,‖ = E2,‖ (1.39)
veamos lo que ocurre con el potencial, si φ tuviera discontinuidades en algu´n punto, entonces en ese punto tendr´ıamos
que |∇φ| → ∞ y la magnitud del campo no estar´ıa acotada. Observemos sin embargo, que el valor del campo esta´
acotado aunque sea discont´ınuo, por lo tanto el potencial es cont´ınuo en todas partes, pero no es derivable en los
puntos sobre la superficie, y esta no derivabilidad es la que produce la discontinuidad en la componente normal del
campo.
En el caso de conductores electrosta´ticos, la discontinuidad (1.38) toma una forma particularmente simple. Como
veremos en el cap´ıtulo 6, se tiene que el campo en el interior de un conductor perfecto es cero y la carga se acumula en
su superficie. Adema´s el campo ele´ctrico es perpendicular a la superficie en la vecindad exterior a e´sta. Si definimos
n1 como la normal sobre la superficie del conductor hacia afuera, y a σ (r) como la densidad superficial sobre el
conductor, tenemos que E2 = 0 y E1 · n1 = E1 con lo cual la discontinuidad (1.38) queda
E1 = 4πKcσ ⇒ σ = E1
4πKc
o en te´rminos del potencial
σ =
E1
4πKc
=
E1 · n1
4πKc
= −∇φ · n1
4πKc
(1.40)
∇φ·n1 es la derivada direccional del potencial en la direccio´n normal hacia afuera del conductor. Por tanto la densidad
superficial sobre un conductor ideal viene dada por
σ =
E1 · n1
4πKc
= − 1
4πKc
∂φ
∂n1
(1.41)
donde n1 es un vector normal a la superficie que apunta hacia afuera del conductor y E1 es el campo generado en la
vecindad exterior del conductor.
Existen adicionalmente, casos en los cuales aparece discontinuidad del potencial, debidos a singularidades “de
orden superior” a la correspondiente a una distribucio´n superficial de carga. Tal es el caso de distribuciones lineales,
puntuales o de capas dipolares. Analizaremos este u´ltimo caso debido a su importancia posterior en la interpretacio´n
de la formulacio´n de Green para el potencial
1.11. DISCONTINUIDADES EN EL CAMPO ELE´CTRICO Y EN EL POTENCIAL 27
Figura 1.3: Dos capas localmente paralelas cuyos elementos diferenciales de superficie pueden verse como dipolos
puntuales. El vector n d (r′) va desde el elemento de superficie con carga negativa hacia su elemento contrapuesto de
carga positiva.
1.11.1. Capa dipolar superficial
Pensemos en una capa de densidad superficial σ y otra muy cercana (y localmente paralela) de densidad de carga
−σ como se observa en la Fig. 1.3. Si nos concentramos en un par de elementos diferenciales de a´rea dA′ que esta´n en
contraposicio´n, podemos ver este par de elementos como un dipolo puntual. Para usar la aproximacio´n de dipolo es
necesario asumir que la distancia d (r′) entre las capas tiende a cero en tanto que la densidad superficial σ (r′) tiende
a infinito, de tal manera que podamos definir una densidad superficial de momento dipolar finito D (r′) a trave´s del
producto
l´ım
d(r′)→∞
σ
(
r′
)
d
(
r′
)
= n l´ım
d(r′)→∞
σ
(
r′
)
d
(
r′
) ≡ D (r′) = nD (r′)
esta densidad superficial de momento dipolar va en la direccio´n normal a la superficie y en el sentido desde las cargas
negativas a las positivas. El ca´lculo del potencial se puede realizar de manera directa como la superposicio´n de los
potenciales generados por cada capa (ver Fig. 1.3)
φ (r) =
∫
Sa
dq (r′)
|r− r′| −
∫
Sb
dq (r′)
|r− [r′ − n d (r′)]| =
∫
Sa
σ (r′) dA′
|r− r′| −
∫
Sb
σ (r′) dA′
|r− r′ + n d (r′)|
vamos a asumir que ∣∣r− r′∣∣ >> ∣∣n d (r′)∣∣
es decir que la distancia entre el punto de evaluacio´n del potencial y la fuente dipolar (las dos areas diferenciales de
magnitud dA′) es mucho mayor que la distancia d (r′) entre las cargas que generan el dipolo (como corresponde en
la aproximacio´n dipolar). Con esta aproximacio´n tenemos
1
|r− r′ + n d (r′)| =
1√
(r− r′)2 + 2 (r− r′) · n d (r′) + d (r′)2
≈ 1√
(r− r′)2 + 2 (r− r′) · n d (r′)
=
1
|r− r′|
√
1 + 2(r−r
′)·n d(r′)
|r−r′|2
usando 1√
1+2x
≈ 1− x si x << 1, tenemos
1
|r− r′ + n d (r′)| ≈
1
|r− r′|
[
1− (r− r
′) · n d (r′)
|r− r′|2
]
28 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
usando esta aproximacio´n en el potencial
φ (r) =
∫
σ (r′)
|r− r′| dA
′
[
1− 1 + (r− r
′) · n d (r′)
|r− r′|2
]
φ (r) =
∫
σ (r′) (r− r′) · n d (r′)
|r− r′|3 dA
′ = −
∫
d
(
r′
)
σ
(
r′
)︸ ︷︷ ︸
D(r′)
[
(r′ − r) · ndA′
|r− r′|3
]
︸ ︷︷ ︸
dΩ
φ (r) = −
∫
D
(
r′
)
dΩ ; dΩ ≡ (r
′ − r) · ndA′
|r− r′|3 =
cos θ dA′
|r− r′|2 (1.42)
donde dΩ es el a´ngulo so´lido subtendido por el a´rea dA′ vista desde la posicio´n r donde se mide el potencial (ver
Figura 1.4: Ilustracio´n del a´ngulo so´lido dΩ subtendido por el a´rea dA′ tomando el origen en la posicio´n r. El vector
que va desde la posicio´n r hasta el centro del rea que subtiende el ngulo slido, es el vector r′ − r.
Fig. 1.4)21. Si el a´ngulo θ entre el vector dA′ y el vector r− r′ es agudo, el a´ngulo so´lido dΩ es positivo ya que desde
r se ve la cara interna de la capa dipolar.
Si la densidad superficial de momento dipolar es uniforme, vemos que el potencial generado por la capa dipolar
depende solo del a´ngulo so´lido con que se ve´ la superficie desde el punto de observacio´n y no de la forma espec´ıfica
de la capa.
En este caso podemos ver una discontinuidad en el potencial, ya que si D (r′) es constante, la integracio´n es
u´nicamente sobre el a´ngulo so´lido. Por simplicidad, asumamos que la capa dipolar es cerrada (por ejemplo dos esferas
conce´ntricas de radio muy similar) dicha integral es 4π si el punto de observacio´n esta´ dentro de la capa y cero
si estamos afuera, hay entoncesuna discontinuidad de 4πD en el potencial al atravesar las dos capas (recordemos
que la distancia entre ellas tiende a cero). Para entender esta discontinuidad observemos que tenemos dos capas con
densidad superficial que producen discontinuidad del campo al atravesar cada capa. Sin embargo, el campo que hay
entre las capas es en principio infinito debido a que σ (r′) tiende a infinito, por tanto en este caso el campo no esta´
acotado y a esto se debe la discontinuidad en el potencial. En ese sentido tenemos un “singularidad superior” a la
simple presencia de densidad superficial, puesto que adema´s tenemos un campo ele´ctrico y una densidad superficial
infinitos.
Tambie´n podemos calcular este potencial como la superposicio´n de potenciales de dipolo puntual, los momentos
dipolares diferenciales son dP = Dn dA′ el potencial en r causado por un dipolo en r′ es [ver Ec. (11.4) Pa´g. 162]
dφ (r) =
dP · (r− r′)
|r− r′|3
21Comparando la expresio´n (1.6) con la expresio´n (1.42) vemos que hay una diferencia de signo, la cual se debe a que en (1.6) el a´ngulo
so´lido se mide con respecto a la posicio´n r′, en tanto que en (1.42) tal a´ngulo se mide con respecto a la posicio´n r. Esto se puede ver
comparando las figuras 1.1 y 1.4.
1.11. DISCONTINUIDADES EN EL CAMPO ELE´CTRICO Y EN EL POTENCIAL 29
en te´rminos de θ
dφ (r) =
dP · (r− r′)
|r− r′|3 =
Dn dA′ · (r− r′)
|r− r′|3 =
D cos θ dA′
|r− r′|2 = −D dΩ
30 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
Cap´ıtulo 2
Suplemento matema´tico: completez y
ortonormalidad de funciones
Las ecuaciones diferenciales lineales y homoge´neas tienen la propiedad de que la combinacio´n lineal de soluciones
tambie´n es una solucio´n. En general, es posible encontrar el conjunto de todas las funciones {Un (r)} linealmente
independientes que son soluciones de la ecuacio´n diferencial en cuestio´n. Ahora bien, puesto que la combinacio´n
lineal de estas funciones tambie´n es solucio´n de la ecuacio´n diferencial, es posible demostrar que el espacio vectorial
generado con todas las combinaciones lineales del conjunto {Un (r)} forman el conjunto ma´s general de soluciones
de la ecuacio´n diferencial1. En el caso ma´s general, el conjunto {Un (r)} es infinito y la solucio´n ma´s general ψ (r) se
escribe como una serie
ψ (r) =
∑
n
CnUn (r) (2.1)
siempre y cuando la serie converja dentro del espacio vectorial de soluciones de la ecuacio´n diferencial. Puesto
que {Un (r)} genera al espacio vectorial de soluciones de la ecuacio´n diferencial, decimos que esta es una base
o un conjunto completo de funciones en dicho espacio vectorial. Adicionalmente, veremos que en estos espacios
vectoriales de funciones es posible definir un producto interno con el cual podemos definir a su vez el concepto de
ortonormalidad. De hecho, por facilidad operativa es usual construir una base o conjunto completo de funciones
{Un (r)} que adema´s de la independiencia lineal, forme un conjunto ortonormal. Una te´cnica muy usual para resolver
estas ecuaciones diferenciales consiste en hacer una expansio´n del tipo (2.1) y encontrar los coeficientes Cn que se
ajusten a las condiciones iniciales y/o de frontera que imponga la ecuacio´n. Finalmente, en algunos casos la base
puede ser cont´ınua, en cuyo caso las series se transforman en integrales.
2.1. Expansio´n en funciones ortonormales
Sea una espacio vectorial de funciones definidas sobre sobre un intervalo [a, b] en x, con ciertas propiedades de
continuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc. Como todo espacio vectorial, se puede definir una base ortonormal
de vectores, por el momento asumamos que las funciones de la base son numerables {Un (x)}, antes de definir
ortonormalidad es necesario definir un producto interno, definamos
(φ,ψ) =
∫ b
a
φ∗ (x)ψ (x) dx
se puede demostrar que la relacio´n anterior cumple todas las propiedades de un producto interno. Como es bien
sabido, la definicio´n de un producto interno nos induce automa´ticamente una norma para los vectores
‖φ (x)‖2 ≡ (φ, φ) =
∫ b
a
|φ (x)|2 dx ≥ 0
1Usualmente, estamos interesados en soluciones que adema´s cumplan alguna propiedad adicional de acotacio´n, derivabilidad, integra-
bilidad etc. Esto restringe el espacio vectorial de soluciones.
31
32 CAPI´TULO 2. SUPLEMENTO MATEMA´TICO: COMPLETEZ Y ORTONORMALIDAD DE FUNCIONES
un producto interno permite adema´s definir la ortogonalidad entre elementos del espacio vectorial en cuestio´n. φ es
ortogonal con ψ cuando
(φ,ψ) =
∫ b
a
φ∗ (x)ψ (x) dx = 0
esto define entonces la ortonormalidad de una base en este espacio
(Un, Um) = δnm =
∫ b
a
U∗n (x) Um (x) dx
una funcio´n f (x) perteneciente a este espacio vectorial puede expandirse a trave´s de una combinacio´n lineal de los
elementos de la base (estos espacios vectoriales son en general de dimensio´n infinita)
f (x) =
∑
n=1
CnUn (x)
Los coeficientes Cn se pueden evaluar as´ı
(Um, f) =
(
Um,
∑
n=1
CnUn
)
=
∑
n=1
Cn (Um, Un) =
∑
n=1
Cnδnm = Cm
de lo cual nos queda que
Cm = (Um, f) =
∫ b
a
U∗n
(
x′
)
f
(
x′
)
dx′ (2.2)
Las Cm son las componentes de f (x) a lo largo de los vectores unitarios Um (x). Esto puede verse teniendo en cuenta el
significado geome´trico del producto interno (Um, f), el cual nos da la proyeccio´n del vector f (x) a lo largo de Um (x).
Naturalmente, para que todo vector arbitrario f (x) de este espacio sea expandible en estos vectores unitarios, es
necesario que el conjunto que define la base sea completo, la condicio´n de completez puede obtenerse reemplazando
Cn en la expansio´n de f (x)
f (x) =
∑
n
CnUn (x) =
∑
n
(Un, f)Un (x) =
∑
n
∫ b
a
f
(
x′
)
U∗n
(
x′
)
Un (x) dx
′
f (x) =
∫ b
a
f
(
x′
) [∑
n
U∗n
(
x′
)
Un (x)
]
dx′
por otro lado
f (x) =
∫ b
a
f
(
x′
)
δ
(
x− x′) dx′
Igualando las dos u´ltimas expresiones, y teniendo en cuenta que f (x′) es arbitraria se obtiene∑
n
U∗n
(
x′
)
Un (x) = δ
(
x− x′) (2.3)
retrocediendo en nuestros pasos vemos que la relacio´n anterior nos garantiza que cualquier funcio´n arbitraria dentro
del espacio se puede expandir en te´rminos del conjunto {Un (x)}. Por tanto a la Ec. (2.3), se le conoce como relacio´n
de completez.
Por otro lado, tambie´n existen bases cont´ınuas para ciertos espacios vectoriales de funciones. En tal caso definimos
los vectores unitarios de la base como {U (k, x)} donde k es una variable cont´ınua definida en un intervalo [c, d], que
hace las veces de n en las bases discretas. Para estas bases cont´ınuas la ortonormalidad se plantea como
(Uk, Uk′) =
∫ b
a
U∗ (k, x) U
(
k′, x
)
dx = δ
(
k − k′) (2.4)
veremos de aqu´ı en adelante que esta definicio´n de ortogonalidad reproduce los resultados anteriores para el caso
discreto. Expandiendo f (x) arbitraria como una combinacio´n lineal cont´ınua de la base
f (x) =
∫ d
c
C (k) U (k, x) dk
2.2. EJEMPLOS DE FUNCIONES ORTOGONALES 33
tenemos que
(Uk′ , f) =
(
Uk′ ,
∫ d
c
C (k) U (k, x) dk
)
=
∫ d
c
C (k) (Uk′ , Uk) dk
=
∫ d
c
C (k) δ
(
k − k′) dk = C (k′)
con lo cual los coeficientes de la expansio´n cont´ınua se evalu´an como
C
(
k′
)
= (Uk′ , f) (2.5)
vemos por tanto que en te´rminos de producto interno, el ca´lculo de los coeficientes en una base cont´ınua Ec. (2.5)
es igual que en el caso discreto Ec. (2.2), esto depende fuertemente de nuestra definicio´n de ortonormalidad en el
cont´ınuo Ec. (2.4) mostrando la consistencia de dicha definicio´n.
Veamos la completez
f (x) =
∫ d
c
C (k) U (k, x) dk =
∫ d
c
(Uk, f) U (k, x) dk
f (x) =
∫ d
c
[∫ b
a
U∗
(
k, x′
)
f
(
x′
)
dx′
]
U (k, x) dk
f (x) =
∫ b
a
[∫ d
c
U∗
(
k, x′
)
U (k, x) dk
]
f
(
x′
)
dx′
por otro lado f (x) =
∫ b
a δ (x− x′) f (x′) dx′ con lo cual resulta∫ d
c
U∗
(k, x′
)
U (k, x) dk = δ
(
x− x′) (2.6)
que nos define la relacio´n de completez para una base cont´ınua {U (k, x)}. De lo anterior puede verse que las relaciones
de completez para bases cont´ınuas o discretas, pueden interpretarse como representaciones de la funcio´n delta de
Dirac. Lo mismo ocurre con la relacio´n de ortonormalidad pero solo para bases cont´ınuas. Al respecto vale la pena
aclarar que una representacio´n dada de la delta en un cierto espacio no puede ser aplicada a otro espacio, por ejemplo
es posible tener un espacio vectorial r−dimensional de funciones V1 con una base Vn (x), que define una relacio´n de
completez
∑r
n=1 V
∗
n (x
′)Vn (x) = δ1 (x− x′), pensemos en otro espacio vectorial r + k dimensional que denotaremos
por V2 y tal que V2 ⊃ V1, de modo que una base {Um} de V2 incluye a la base anterior mas otros vectores linealmente
independientes; la relacio´n de completez es:
∑r+k
n=1 U
∗
n (x
′)Un (x) = δ2 (x− x′). ¿Cua´l es la diferencia entre δ1 (x− x′)
y δ2 (x− x′)?, la respuesta esta´ en el cara´cter de distribucio´n de la mal llamada funcio´n delta de Dirac; la propiedad
fundamental de esta distribucio´n me dice que para toda funcio´n f (x′) que pertenece al espacio V1 tenemos que
f (x) =
∫
f
(
x′
) [∑
n
V ∗n
(
x′
)
Vn (x)
]
dx′ =
∫
f
(
x′
)
δ1
(
x− x′) dx′
sin embargo, si la funcio´n f (x) no pertenece a V1 pero si pertenece a V2 entonces δ1 (x− x′) no es una distribucio´n
adecuada para representar a esta funcio´n. Esta es una propiedad general de las distribuciones, ya que estas solo se
definen a trave´s de sus propiedades de transformacio´n con las funciones del espacio vectorial, una representacio´n de
la delta de Dirac (y en general de cualquier distribucio´n) esta´ ligada a un espacio vectorial espec´ıfico.
2.2. Ejemplos de funciones ortogonales
2.2.1. Ejemplos de conjuntos discretos de funciones ortonormales
Consideremos un conjunto de funciones numerables {Un (x)} reales o complejas, y sea un espacio vectorial de
funciones f (x) definidas en un intervalo [a, b] que sean de cuadrado integrable (acotadas), es decir tales que
‖f‖2 ≡ (f, f) =
∫ b
a
f∗ (x) f (x) dx =
∫ b
a
|f (x)|2 dx <∞ (2.7)
Los siguientes son conjuntos ortonormales discretos que generan funciones acotadas.
34 CAPI´TULO 2. SUPLEMENTO MATEMA´TICO: COMPLETEZ Y ORTONORMALIDAD DE FUNCIONES
Un (x) =
1√
a
sin
(
npix
a
)
ortonormal en (−a, a) o´ (0, 2a) una funcio´n impar f (x) en este dominio puede expandirse
en senos. Por otro lado, una funcio´n arbitraria f (x) definida en (0, a) admite expansio´n en senos si en (−a, 0) se
asume de la forma −f (−x) con lo que obtenemos una funcio´n impar en (−a, a).
Un (x) =
1√
a
cos
(
npix
a
)
ortonormal en (−a, a) o´ (0, 2a) una funcio´n par f (x) en este dominio puede expandirse
en cosenos. Una funcio´n arbitraria f (x) en (0, a) admite expansio´n en cosenos si en (−a, 0) se asume de la
forma f (−x).
Un (x) =
1√
a
cos
(
npix
a
)
; Vm (x) =
1√
a
sin
(
mpix
a
)
conjunto ortonormal en (−a, a). la completez se expresa por
1
a
∑∞
n=0 cos
[
npi
a (x− x′)
]
= δ (x− x′). Obse´rvese que al expandir esta suma de argumentos aparecen tanto la
funcio´n seno como la coseno. La ortonormalidad se representa por la propiedad
1
a
∫ a
−a
sin
(nπ
a
x
)
sin
(mπ
a
x
)
dx = δnm
1
a
∫ a
−a
sin
(nπ
a
x
)
cos
(mπ
a
x
)
dx = 0
1
a
∫ a
−a
cos
(nπ
a
x
)
cos
(mπ
a
x
)
dx = δnm
Un (x) =
ei
npi
a x√
2a
ortonormal y completa en (−a, a). La ortonormalidad y completez se expresan como
1
2a
∫ a
−a
ei(n−m)
pix
a dx = δnm ;
1
2a
∞∑
−∞
ei
npi
a
(x−x′) = δ
(
x− x′) (2.8)
2.2.2. Ejemplos de conjuntos cont´ınuos de funciones ortonormales
Las bases cont´ınuas pueden generar tanto funciones acotadas como no acotadas. En tal sentido expanden espacios
vectoriales ma´s amplios que los de sus contrapartidas discretas. Veremos algunos ejemplos
U (k, x) = e
ikx√
2pi
con propiedades de ortonormalidad y completez:
1
2π
∫ ∞
−∞
ei(k−k
′)xdx = δ
(
k − k′)
1
2π
∫ ∞
−∞
eik(x−x
′)dk = δ
(
x− x′)
U (k, x) = sinkx√
pi ∫ ∞
−∞
sin kx sin k′x dx = πδ
(
k − k′)∫ ∞
−∞
sin kx sin kx′ dk = πδ
(
x− x′)
Comentarios: Obse´rvese que la ortonormalidad y completez de las funciones de la forma eikx, tanto en el discreto
como en el cont´ınuo, son la base para el ana´lisis de Fourier para funciones perio´dicas y no perio´dicas respectivamente.
Por ejemplo una funcio´n definida en todos los reales se escribe
F (x) =
1√
2π
∫ ∞
−∞
C (k) eikxdk
los coeficientes de esta combinacio´n lineal se calculan de la manera tradicional y se les conoce como transformada de
fourier
C (k) = (Uk, F ) =
1√
2π
∫ ∞
−∞
F (x) e−ikxdx
2.2. EJEMPLOS DE FUNCIONES ORTOGONALES 35
con frecuencia se denota C (k)→ F˜ (k).
Si las funciones a expandir son de dos variables, la expansio´n queda
f (x, y) =
∑
m,n
CmnUm (x)Vn (y)
con
Cmn =
∫ d
c
∫ b
a
U∗m (x)Vn (y) f (x, y) dx dy
donde Um (x), Vm (y) son cada uno, un conjunto ortonormal y completo en cada variable, definidos en los intervalos
[a, b] y [c, d] respectivamente.
36 CAPI´TULO 2. SUPLEMENTO MATEMA´TICO: COMPLETEZ Y ORTONORMALIDAD DE FUNCIONES
Cap´ıtulo 3
Ecuacio´n de Laplace
En la seccio´n 1.5.2, vimos que la ecuacio´n de Poisson Ec. (1.14) Pa´g. 11, describe el comportamiento del potencial
asociado a una distribucio´n electrosta´tica de cargas. En las regiones del espacio donde no hay densidad de carga
ele´ctrica i.e. ρ = 0, la ecuacio´n de Poisson adquiere la forma particular
∇2φ = 0 (3.1)
Conocida como ecuacio´n de Laplace. De hecho, la ecuacio´n (3.1) aparece con frecuencia no solo en la electrodina´mica
sino en muchas teor´ıas cla´sicas de campos, de modo que el estudio de sus soluciones es de importancia mayor.
La ecuacio´n de Laplace es una ecuacio´n diferencial parcial lineal y homoge´nea. Como ya mencionamos, esta ecua-
cio´n admite separacio´n de variables en 11 sistemas coordenados diferentes. Sus soluciones se denominan funciones
armo´nicas, y con frecuencia estas soluciones se obtienen realizando expansiones en funciones ortonormales y com-
pletas en cierto espacio vectorial de soluciones. En el presente cap´ıtulo, estudiaremos las propiedades generales de
la ecuacio´n de Laplace y encontraremos soluciones en algunos sistemas coordenados utilizando ciertos conjuntos de
funciones ortonormales.
3.1. Propiedades de las funciones armo´nicas
Figura 3.1: Si no hay carga en el interior ni en la superficie de la esfera, el valor del potencial φc en el centro de la
esfera, coincide con el valor promedio del potencial evaluado sobre la superficie de la esfera.
En primer lugar, el cara´cter lineal y homoge´neo de la ecuacio´n de Laplace hace que la combinacio´n lineal de
soluciones tambie´n sea una solucio´n. Decimos entonces que las funciones armo´nicas obedecen una propiedad de
linealidad. Estas funciones poseen adema´s la siguiente propiedad importante
Theorem 5 Si φ (x, y, z) satisface la ecuacio´n de Laplace en una cierta regio´n esfe´rica (incluyendo la superficie), el
valor promedio de esta funcio´n sobre la superficie de la esfera coincide con el valor de φ en el centro de e´sta.
37
38 CAPI´TULO 3. ECUACIO´N DE LAPLACE
Este hecho se ilustra en la figura 3.1 y es va´lido para cualquier funcio´n armo´nica. En particular, es fa´cil ver que el
potencial electrosta´tico cumple esta condicio´n. Supongamos que tenemos una carga puntual q y una esfera de radio
a cargada uniformemente sobre la superficie con carga q′ (aislante para que en todo instante la carga permanezca
uniformemente distribuida en la superficie). Asumamos que manteniendo la esfera en una posicio´n fija, traemos la
carga puntualdesde el infinito hasta una distancia R con respecto al centro de la esfera, con R > a. La energ´ıa
potencial necesaria para ensamblar el sistema en esa configuracio´n es UA = Kcqq
′/R ya que la esfera actu´a en todo
el proceso como el equivalente a una carga puntual de carga q′ y ubicada en el centro de la esfera.
Ahora procedemos al contrario, manteniendo la carga puntual q fija en el origen de coordenadas, y trayendo la
esfera desde el infinito hasta ubicarla a una distancia R > a desde el centro de la esfera hasta la carga q. En este caso
el trabajo para ensamblar el sistema se puede calcular de la siguiente manera: La energ´ıa potencial se puede calcular
de la energ´ıa potencial asociada al par de cargas q y dq′ donde dq′ se integrar´ıa sobre toda la esfera1,
dUB =
Kcq dq
′
|r| ⇒ UB = Kc
∫
q dq′
|r| = Kc
∫
q σdA′
|r|
donde |r| se refiere a la distancia entre q y dq′ y σ es la densidad superficial (constante) de la esfera. Definiendo A
como la superficie de la esfera, la energ´ıa potencial queda
UB = Kc
σA
A
∫
q dA′
|r| =
q′
A
∫
Kcq
|r| dA
′
donde Kcq/ |r| es el potencial que la carga q genera sobre un punto en la superficie de la esfera, lo denotaremos φq.
UB = q
′
(
1
A
∫
φq dA
′
)
claramente el te´rmino entre pare´ntesis corresponde al potencial promedio sobre la superficie de la esfera generado
por la carga puntual q. Por otro lado, el cara´cter conservativo de las fuerzas electrosta´ticas nos da como resultado la
igualdad de la energ´ıa potencial al usar ambos procedimientos de modo que
UA = UB ⇒ Kcqq
′
R
= q′
(
1
A
∫
φq dA
′
)
⇒ Kcq
R
=
(
1
A
∫
φq dA
′
)
el te´rmino de la izquierda es el valor del potencial generado por la carga puntual q en el centro de la esfera, que
resulta ser igual al promedio del potencial generado por la misma carga sobre la superficie de la esfera, esto prueba
la afirmacio´n para una carga puntual. Para un sistema de cargas basta con apelar al principio de superposicio´n para
el potencial. Esta demostracio´n tambie´n se puede hacer por ca´lculo directo del potencial promedio generado por
una carga puntual sobre una esfera que no contiene a dicha carga (ver Ref. [13]). El lector puede demostrar que
esta propiedad tambie´n se cumple en una dimensio´n (tomando un intervalo) y en dos dimensiones (tomando una
circunferencia). El hecho de que el potencial en un punto sea igual al promedio en una vecindad del punto, sirve como
base de un me´todo nume´rico para el ca´lculo de las soluciones de la ecuacio´n de Laplace, conocido como me´todo de
relajacio´n (ver [1]).
Finalmente, una demostracio´n alternativa (ma´s general) se obtiene a partir del teorema de Green Ec. (1.26)∫ [
φ∇2ψ − ψ∇2φ] dV = ∮ [φ∇ψ − ψ∇φ] · dS (3.2)
eligiendo ψ = |r− r′|−1 y tomando a φ tal que ∇2φ = 0 en el volumen de integracio´n, el teorema de Green (3.2) nos
da ∫
φ
(
r′
) ∇′2( 1|r− r′|
)
dV ′ =
∮ [
φ
(
r′
) ∇′( 1|r− r′|
)
− 1|r− r′|∇
′φ
(
r′
)] · dS′ (3.3)
1A priori uno podr´ıa pensar que es necesario inclu´ır el trabajo necesario para ensamblar las cargas primadas en la esfera. Sin embargo,
en ambos casos estamos considerando que la esfera ya esta´ armada y por tanto ignoramos ese trabajo. Si decidimos incluirlo aparecera
igualmente en UA y en UB de modo que no altera el resultado que aqu´ı se obtiene.
3.1. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES ARMO´NICAS 39
usando las propiedades (1.11, 1.13), as´ı como la Ec. (1.6)
∇′
(
1
|r− r′|
)
=
r− r′
|r− r′|3 ; ∇
′2
(
1
|r− r′|
)
= −4πδ (r− r′) ; (r′ − r) · dS (r′)|r− r′|3 = dΩ (3.4)
donde dΩ es el a´ngulo so´lido subtendido por la superficie dS (r′) visto desde la posicio´n r. Utilizando (3.4) en (3.3)
obtenemos
−4π
∫
V
φ
(
r′
)
δ
(
r− r′) dV ′ = ∮
S
[
φ
(
r′
) r− r′
|r− r′|3 −
1
|r− r′|∇
′φ
(
r′
)] · dS′
φ (r) =
1
4π
∮
S
[
1
|r− r′|∇
′φ
(
r′
)− φ (r′) (r− r′)|r− r′|3
]
· dS′
φ (r) =
1
4π
[∮
S
1
|r− r′|∇
′φ
(
r′
) · dS′ + ∮
S
φ
(
r′
)
dΩ
]
(3.5)
esto es va´lido en cualquier punto r siempre que la superficie S contenga a dicho punto, es decir r es interior a V
(ya que de lo contrario la delta de Dirac anular´ıa el te´rmino que contiene al potencial), y la funcio´n φ cumpla con
la ecuacio´n de Laplace en la superficie S y en el volumen V . En particular, es va´lido para una superficie esfe´rica
S centrada en r y de radio R en cuyo volumen y superficie sea va´lida la ecuacio´n de Laplace 2. Por simplicidad,
redefinamos el origen de coordenadas de modo que r = 0, con lo cual la esfera esta´ centrada en el nuevo origen. De
esta forma, es claro que la posicio´n de un punto de S se puede escribir como r′ = Rur. La Ec. (3.5) queda
φ (0) =
1
4π
[∮
S
1
|r′|∇
′φ
(
r′
) · dS′ + ∮
S
φ
(
r′
)
dΩ
]
=
1
4π
[
1
R
∮
S
∇′φ (r′) · dS′ + 1
R2
∮
S
φ
(
r′
)
R2dΩ
]
en este caso dΩ se mide desde el origen y esta´ subtendido por una porcio´n infinitesimal de la superficie de la esfera
de radio R. Por tanto, dS′ = R2dΩ. Usando este hecho y el teorema de la divergencia tenemos
φ (0) =
[
1
4πR
∮
V
∇′2φ (r′) dV ′ + 1
4πR2
∮
S
φ
(
r′
)
dS′
]
como φ obedece a la ecuacio´n de Laplace en el volumen se anula la primera integral y se tiene
φ (0) =
1
S
∮
φ
(
r′
)
dS′ = φ¯S
que es lo que se quer´ıa demostrar. Como el origen elegido es arbitrario entonces se deduce que la relacio´n es va´lida
para cualquier valor del punto r y del radio de la esfera centrada en tal punto, siempre que φ sea armo´nica en el
volumen y superficie de la esfera. No´tese que esta u´ltima demostracio´n es mucho ma´s general ya que no presupone
que la funcio´n armo´nica tenga que proceder de una configuracio´n electrosta´tica. El resultado anterior nos conduce a
un hecho muy importante:
Theorem 6 Ninguna distribucio´n electrosta´tica nos genera una configuracio´n de equilibrio estable para una carga
de prueba en el espacio vac´ıo (teorema de Earnshaw).
Para verlo razonaremos de la siguiente forma: para que una carga positiva en el punto P este´ en equilibrio estable,
es necesario que en cierta vecindad alrededor de P , el potencial sea mayor que el potencial en P en todas direcciones,
esto implica que podemos construir una esfera contenida en esa vecindad, para la cual claramente el promedio en
la superficie ser´ıa mayor que su valor en el centro, de modo que la existencia de un punto de equilibrio estable nos
implicar´ıa una violacio´n del teorema 5. Similarmente, para una carga negativa el equilibrio estable implica que el
promedio en la superficie ser´ıa menor que su valor en el centro. Matema´ticamente hablando, esto implica que
Theorem 7 Una funcio´n armo´nica (en nuestro caso el potencial electrosta´tico) no puede tener ma´ximos ni mı´nimos
locales dentro de la regio´n en donde es va´lida la ecuacio´n de Laplace.
2Al ser r interior a V siempre existe una esfera que este´ completamente contenida en V .
40 CAPI´TULO 3. ECUACIO´N DE LAPLACE
La ausencia de ma´ximos y mı´nimos locales en el volumen donde es va´lida la ecuacio´n de Laplace tambie´n se puede
ver teniendo en cuenta que la existencia de un ma´ximo local requiere que ∂2ψ/∂x2i < 0, pero la ecuacio´n de Laplace
nos dice que ∇2ψ = 0, algo similar ocurre con la posible existencia de mı´nimos locales3.
Otra manera de probar la ausencia de puntos de equilibrio estable implica el uso del teorema de Gauss: asumamos
que existe un punto P de equilibrio estable y ubicamos una carga positiva en e´l, al ser estable cualquier desplazamiento
debe generar una fuerza restauradora que lo intente regresar a P , esto implica que al construir una esfera alrededor
de P el campo debe apuntar hacia el interior de la esfera en todas direcciones; pero esto contradice la ley de Gauss
ya que no hay cargas negativasen el interior (la carga q es positiva y adema´s no cuenta ya que estamos hablando
del campo que generan las fuentes a las cuales esta´ sometida la carga de prueba, pues ciertamente su propio campo
no actu´a sobre ella). Similarmente al poner una carga negativa no es posible que el campo apunte hacia afuera en la
esfera alrededor de P . Por tanto no hay equilibrio estable.
No obstante, es necesario aclarar que s´ı existen puntos de equilibrio electrosta´tico, solo que no son estables. Sin
embargo, campos magne´ticos o campos electromagne´ticos variables en el tiempo pueden mantener una carga en
equilibrio estable.
3.2. Unicidad de la ecuacio´n de Laplace
La unicidad de la ecuacio´n de Laplace con condiciones de Dirichlet o Neumann, se puede ver como un caso
particular de la unicidad de la solucio´n de la ecuacio´n de Poisson bajo tales condiciones (ver seccio´n 1.8, Pa´g. 20).
Sin embargo, es interesante ver un modo alternativo para establecer la unicidad de esta ecuacio´n para condiciones de
Dirichlet. Una vez establecida la existencia, la demostracio´n de la unicidad resulta sencilla gracias a la propiedad de
linealidad de la ecuacio´n de Laplace. Asumamos que φ (x, y, z) es una solucio´n de la ecuacio´n con ciertas condiciones
de frontera, imaginemos que existe una segunda solucio´n ϕ (x, y, z) con las misma condiciones de frontera. Si
ambas son soluciones, tambie´n lo es una combinacio´n lineal de e´stas, en particularW (x, y, z) = φ (x, y, z)−ϕ (x, y, z).
W (x, y, z) no satisface las condiciones de frontera ya que en este caso al tomar los puntos en las fronteras φ (x, y, z)
y ϕ (x, y, z) toman los mismos valores.W (x, y, z) es la solucio´n de otro problema electrosta´tico con todas las superficies
a potencial cero. Adicionalmente si W es cero en todas las superficies, debe ser cero en todo el espacio donde no hay
carga por la siguiente razo´n: si el potencial no es nulo en todo el espacio vac´ıo entonces deben haber al menos un
punto que sea ma´ximo o mı´nimo local, pero como ya vimos, las soluciones armo´nicas no permiten estos extremos, de
modo que W debe ser cero en todo punto, y la solucio´n es u´nica4.
El argumento anterior es particularmente simple en una dimensio´n. Si W (x) satisface la ecuacio´n de Laplace en
el intervalo [a, b] tal que W (a) =W (b) = 0, es necesariamente cont´ınua (de hecho derivable al menos hasta segundo
orden) en el interior de dicho intervalo. Por tanto si la funcio´n es no trivial, existe un x0 ∈ (a, b) tal que W (x0) 6= 0.
Asumamos que W (x0) < 0, al ser la funcio´n cont´ınua y derivable debe existir al menos un mı´nimo local para que la
funcio´n se anule en los extremos del intervalo. Similarmente, si W (x0) > 0 debe existir al menos un ma´ximo local
para que la funcio´n cumpla las condiciones de frontera. Esto contradice la propiedad de relajacio´n de la ecuacio´n de
Laplace. Por tanto W (x) = 0 en todo el intervalo.
La solucio´n de la ecuacio´n de Laplace suele realizarse sobre un volumen V delimitado por las condiciones de
frontera en una superficie cerrada S. Si queremos solucionarla en el exterior de este volumen, debemos asumir
condiciones de frontera en la superficie S y en una superficie “cerrada” S∞ en el infinito (es decir siempre formando
un volumen comprendido entre las superficies cerradas y colocando condiciones de frontera en estas superficies).
Finalmente, es importante mencionar que al solucionar la ecuacio´n de Laplace en el interior de una regio´n
acotada con ciertas condiciones de frontera, debemos tener presente que hay ciertas cargas exteriores a la regio´n
(o eventualmente en su superficie), que esta´n generando tales condiciones de frontera. Lo interesante es que no
necesitamos conocer la distribucio´n de estas cargas exteriores o superficiales para solucionar el problema en el interior
de la regio´n en cuestio´n. Su efecto esta´ todo condensado en la condiciones de frontera. Si las cargas exteriores o
superficiales se redistribuyen esto se traduce en un cambio en las condiciones de frontera.
3Esto significa que la ecuacio´n podr´ıa presentar extremos tipo “punto de silla” o puntos de inflexio´n en el caso unidimensional.
4Este argumento tambie´n nos lleva a la unicidad de la ecuacio´n de Poisson bajo condiciones de Dirichlet, ya que au´n en presencia de
carga, W continu´a obedeciendo a la ecuacio´n de Laplace.
3.3. ECUACIO´N DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES: COORDENADAS CARTESIANAS 41
3.3. Ecuacio´n de Laplace en dos dimensiones: coordenadas cartesianas
Con el soporte de los teoremas de unicidad, podemos resolver la ecuacio´n de Laplace en un contorno bidimensional
cerrado en el cual conozcamos el potencial o su derivada normal. En el presente manuscrito nos limitaremos a trabajar
condiciones de Dirichlet. El primer paso es construir la solucio´n ma´s general en algu´n sistema coordenado. La solucio´n
general queda en te´rminos de algunas constantes a determinar. Para un problema espec´ıfico se procede a ajustar las
constantes indeterminadas de la solucio´n general, con el fin de que cumplan las condiciones de contorno.
En coordenadas cartesianas, la ecuacio´n de Laplace en dos dimensiones se escribe(
∂2x + ∂
2
y
)
φ (x, y) = 0
realizando separacio´n de variables
φ (x, y) = Ψ (x) Φ (y) (3.6)
y dividiendo la ecuacio´n por Ψ (x) Φ (y) se obtiene
1
Ψ (x)
d2Ψ(x)
dx2
+
1
Φ (y)
d2Φ (y)
dy2
= 0
como el primer sumando solo depende de x y el segundo solo de y, entonces cada sumando debe ser igual a una
constante
1
Ψ (x)
d2Ψ(x)
dx2
= −α2 ; 1
Φ (y)
d2Φ (y)
dy2
= α2 ⇒
d2Ψ(x)
dx2
+ α2Ψ(x) = 0 ;
d2Φ (y)
dy2
− α2Φ (y) = 0
la asignacio´n de ±α, es arbitraria (se pudo haber hecho al contrario). Pero dado que α es en general complejo, esto
no supone ninguna limitacio´n. Las soluciones en el caso α 6= 0 son
Ψ (x) = Aeiαx +Be−iαx ; Φ (y) = Ceαy +De−αy (3.7)
la solucio´n para α = 0, nos da
Ψ (x) = a′x+ b′ ; Φ (y) = c′y + d′ (3.8)
Sustituyendo (3.7) y (3.8) en (3.6), obtenemos φ (x, y) para α 6= 0 y para α = 0
φ (x, y) =
(
Aeiαx +Be−iαx
) (
Ceαy +De−αy
)
; α 6= 0 (3.9)
φ (x, y) =
(
a′x+ b′
) (
c′y + d′
)
= a′c′xy + a′d′x+ b′c′y + d′b′ ; α = 0
φ (x, y) ≡ axy + bx+ cy + d ; α = 0 (3.10)
donde hemos redefinido las constantes para la solucio´n con α = 0. Ahora bien, puesto que la superposicio´n de
soluciones tambie´n es solucio´n, podemos superponer la solucio´n con α 6= 0 y la solucio´n con α = 0, para obtener una
solucio´n ma´s general
φ (x, y) =
(
Aeiαx +Be−iαx
) (
Ceαy +De−αy
)
+ axy + bx+ cy (3.11)
donde hemos redefinido adecuadamente las constantes. Obse´rvese que la constante que aparece en la solucio´n con
α = 0 Ec. (3.10), no se incluye expl´ıcitamente en (3.11). Sin embargo, un te´rmino constante aparece cuando hacemos
α = 0 en la ecuacio´n (3.11), de manera que hemos absorbido la constante d en la constante que resulta evaluando
la ecuacio´n (3.11) en α = 0. Recordemos que una constante puede ser relevante aqu´ı, puesto que con condiciones de
Dirichlet ya se ha fijado el cero de potencial y dicha constante ya no es arbitraria. Las constantes esta´n determinadas
por las condiciones de frontera.
Las soluciones para α = 0 y para α 6= 0 son aparentemente excluyentes, de modo que no tendr´ıa sentido inclu´ır
los dos tipos de soluciones en una sola expresio´n. Sin embargo, si rotulamos estas soluciones como φα (x, y) donde
α ≥ 0, una superposicio´n de ellas es tambie´n solucio´n y en muchos casos la superposicio´n es obligatoria para obtener
las condiciones de frontera (esta superposicio´n puede ser sobre el discreto o sobre el cont´ınuo dependiendo de los
valores posibles de α). Esto hace indispensable inclu´ır la solucio´n con α = 0 como parte de la superposicio´n.
42 CAPI´TULO 3. ECUACIO´N DE LAPLACE
Figura 3.2:
3.3.1. Ejemplo de solucio´n en 2D con coordenadas cartesianas
Vamos a resolver la ecuacio´n deLaplace para el potencial electrosta´tico en la regio´n bidimensional comprendida
por 0 ≤ x ≤ L; 0 ≤ y <∞, con las condiciones de frontera siguientes (ver Fig. 3.2): φ = 0, en x = 0, en x = L, y en
y →∞. φ = V (x) en y = 0. Con estas condiciones de frontera y tomando la ecuacio´n (3.11) tenemos que
a) φ = 0 en x = 0, ∀y conduce a
φ(0, y) = (A+B)
(
Ceαy +De−αy
)
+ cy = 0
esto solo se cumple ∀y si B = −A, y c = 0, dejando
φ (x, y) = A
(
eiαx − e−iαx) (Ceαy +De−αy)+ axy + bx
φ (x, y) = sinαx
(
Ceαy +De−αy
)
+ axy + bx
donde la constante A (y las constantes necesarias para armar el seno) se han absorbido en C y D. Estrictamente
deber´ıamos cambiar la notacio´n a digamos C ′, D′ pero como estas constantes son au´n desconocidas, esto no hace
ninguna diferencia.
b) φ = 0 en x = L⇒
φ (L, y) = sinαL
(
Ceαy +De−αy
)
+ aLy + bL = 0
como φ (L, y) = 0 para todo y tenemos que sinαL = 0, a = b = 0 de modo que α = αn = nπ/L. La solucio´n se
reduce a
φ (x, y) = sinαnx
(
Cne
αny +Dne
−αny)
Y dado que la solucio´n es va´lida para todo n entero (positivo o negativo), tenemos que la solucio´n ma´s general es
una superposicio´n de estos modos (linealidad en accio´n).
φ (x, y) =
∞∑
n=−∞
sinαnx
(
Cne
αny +Dne
−αny)
c) φ→ 0, en y →∞, este requerimiento impide que existan valores positivos y negativos de n (y por tanto de αn)
al mismo tiempo, ya que con αn positivo se requiere que Cn = 0 (con el fin de evitar que la solucio´n diverja cuando
y → ∞), y con αn negativo se requiere que Dn = 0, esto es incompatible con las otras condiciones de frontera. Por
tanto, es cuestio´n de convencio´n si utilizamos αn positivos o´ αn negativos. Usaremos los valores de αn positivos, y
esta condicio´n conduce a Cn = 0, la solucio´n queda
φ (x, y) =
∞∑
n=1
Dne
−αny sinαnx
d) φ (x, 0) = V (x). Tenemos que
φ (x, 0) = V (x) =
∞∑
n=1
Dn sinαnx
3.4. ECUACIO´N DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES: COORDENADAS POLARES 43
multiplicando la ecuacio´n por 2L sinαmx dx e integrando entre 0 y L
2
L
∫ L
0
V (x) sinαmx dx =
2
L
∞∑
n=1
Dn
∫ L
0
sinαnx sinαmx dx =
∞∑
n=1
Dnδmn
Dm =
2
L
∫ L
0
V (x) sinαmx dx
con lo cual la expresio´n final para el potencial queda
φ (x, y) =
2
L
∞∑
n=1
e−
npi
L
y sin
(nπ
L
x
)∫ L
0
V
(
x′
)
sin
(nπ
L
x′
)
dx′ (3.12)
En el caso particular en el cual V (x) = V , obtenemos
φ (x, y) =
2V
L
∞∑
n=1
e−
npi
L
y sin
(nπ
L
x
)∫ L
0
sin
(nπ
L
x′
)
dx′
φ (x, y) =
2V
L
∞∑
n=1
e−
npi
L
y sin
(nπ
L
x
) (
− 1
π
L
n
cos
π
L
nx
)∣∣∣∣L
0
φ (x, y) = −2V
π
∞∑
n=1
e−
npi
L
y
n
sin
(nπ
L
x
)
[(−1)n − 1]
la suma solo sobrevive para te´rminos impares de modo que hacemos n ≡ 2k + 1 quedando
φ (x, y) =
4V
π
∞∑
k=0
e−
(2k+1)pi
L
y
2k + 1
sin
(
(2k + 1) π
L
x
)
(3.13)
esta forma del potencial se puede llevar a una forma cerrada (ver Refs. [12, 14])
φ (x, y) =
2V
π
tan−1
[
sin
(
pi
Lx
)
sinh
(
pi
Ly
)] (3.14)
es importante hacer notar que la serie converge ra´pidamente para y & a/π, pero para valores mucho mas pequen˜os
que esta cantidad, se necesitan muchos te´rminos para lograr una buena aproximacio´n.
3.4. Ecuacio´n de Laplace en dos dimensiones: Coordenadas polares
La ecuacio´n de Laplace en coordenadas polares se escribe como
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂φ
∂ρ
)
+
1
ρ2
(
∂2φ
∂ϕ2
)
= 0 (3.15)
de nuevo suponemos separacio´n de variables
φ (ρ, ϕ) = R (ρ)Ψ (ϕ) (3.16)
insertando (3.16) en (3.15) tenemos
1
ρ
[
d
dρ
(
ρ
dR (ρ)
dρ
)]
Ψ(ϕ) +
R (ρ)
ρ2
(
d2Ψ(ϕ)
dϕ2
)
= 0
multiplicando la ecuacio´n por ρ
2
R(ρ)Ψ(ϕ)
ρ
R
d
dρ
(
ρ
dR (ρ)
dρ
)
+
1
Ψ
(
d2Ψ(ϕ)
dϕ2
)
= 0
44 CAPI´TULO 3. ECUACIO´N DE LAPLACE
el primer te´rmino solo depende de ρ y el segundo depende exclusivamente de ϕ, de modo que cada uno de ellos debe
ser una constante, hacemos entonces
1
Ψ
(
d2Ψ(ϕ)
dϕ2
)
= −ν2 ; ρ
R
d
dρ
(
ρ
dR (ρ)
dρ
)
= ν2
asumiendo ν2 6= 0, la ecuacio´n para Ψ (ϕ) es
d2Ψ(ϕ)
dϕ2
+ ν2Ψ(ϕ) = 0 ⇒ (3.17)
Ψ (ϕ) =
[
Ceiνϕ +De−iνϕ
]
(3.18)
y la ecuacio´n para R (ρ) queda
ρ
d
dρ
(
ρ
dR
dρ
)
−Rν2 = 0⇒
ρ
(
dR
dρ
)
+ ρ2
d2R
dρ2
−Rν2 = 0 (3.19)
Esta ecuacio´n es homoge´nea en ρ y se puede resolver con
ρ = eµ ⇒ dρ
dµ
= eµ = ρ,
dµ
dρ
= e−µ =
1
ρ
dR
dρ
=
dµ
dρ
dR
dµ
=
1
ρ
dR
dµ
; (3.20)
d2R
dρ2
=
d
dρ
(
dR
dρ
)
=
dµ
dρ
d
dµ
(
dR
dρ
)
=
1
ρ
d
dµ
(
e−µ
dR
dµ
)
d2R
dρ2
= −1
ρ
e−µ
dR
dµ
+
1
ρ
e−µ
(
d2R
dµ2
)
= − 1
ρ2
dR
dµ
+
1
ρ2
(
d2R
dµ2
)
(3.21)
reemplazando (3.20) y (3.21) en (3.19) resulta
ρ
(
1
ρ
dR
dµ
)
+ ρ2
[
− 1
ρ2
dR
dµ
+
1
ρ2
(
d2R
dµ2
)]
−Rν2 = 0
dR
dµ
− dR
dµ
+
(
d2R
dµ2
)
−Rν2 = 0(
d2R
dµ2
)
−Rν2 = 0 (3.22)
la solucio´n es
R (µ) = Aeνµ +Be−νµ = A (eµ)ν +B (eµ)−ν
R (ρ) = Aρν +Bρ−ν (3.23)
Sustituyendo (3.18) y (3.23) en (3.16), tenemos la solucio´n para ν2 6= 0
φ (ρ, ϕ) =
[
Aρν +Bρ−ν
] [
Ceiνϕ +De−iνϕ
]
(3.24)
para ν2 = 0 las ecuaciones (3.17) y (3.22) quedan
d2Ψ
dϕ2
= 0⇒ Ψ = aϕ+ b(
d2R
dµ2
)
= 0⇒ R (µ) = (Eµ+ F )
3.4. ECUACIO´N DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES: COORDENADAS POLARES 45
pero ρ = eµ ⇒ µ = ln ρ
R (ρ) = E ln ρ+ F
de modo que la solucio´n para ν = 0 es
φ (ρ, ϕ) = (aϕ+ b) (E ln ρ+ F ) (3.25)
Superponiendo la solucio´n (3.24) para ν 6= 0 con la solucio´n (3.25) para ν = 0, obtenemos una solucio´n ma´s general
φ (ρ, ϕ) =
[
Aρν +Bρ−ν
] [
Ceiνϕ +De−iνϕ
]
+ (aϕ+ b) (E ln ρ+ F )
o alternativamente
φ (ρ, ϕ) =
[
Aρν +Bρ−ν
]
[C cos νϕ+D sin νϕ] + (aϕ+ b) (E ln ρ+ F ) (3.26)
La solucio´n general es la superposicio´n de todas las soluciones encontradas, los valores permitidos de ν (sobre los
cuales se hace la suma discreta o cont´ınua) dependen del problema particular. En general las soluciones con ν = 0
y con ν 6= 0 deben ser inclu´ıdas por completez, al ignorar alguna de ellas es posible que no sea posible ajustar las
condiciones de frontera.
3.4.1. Ejemplo: Interseccio´n entre dos planos
Evaluaremos el potencial en la regio´n comprendida entre la interseccio´n de dos planos que forman un a´ngulo
diedro β, con un plano a potencial V y el otro a potencial V ′. Este caso puede corresponder a dos conductores planos
con superficies equipotenciales V y V ′ donde la esquina tiene un segmento aislante para evitar que se igualen los
potenciales de los dos conductores. Si los conductores se colocan en contacto directo obtenemos inmediatamente que
V = V ′.
Por comodidad colocamos el eje Z a lo largo de la interseccio´n entre los dos planos, de modo que el plano a
potencial V coincida con el plano XZ. Denotando el a´ngulo azimutal como ϕ y al potencial como φ, las condiciones
de frontera en coordenadas polares quedan en la forma:
φ (ρ, ϕ = 0) = V ; φ (ρ, ϕ = β) = V ′ (3.27)
Un sistema adecuado de coordenadas son las coordenadas cil´ındricas (ρ, ϕ, z), pero la geometr´ıa nos muestra que
el potencial no depende de z (no hay punto de z que sea preferencial con respecto a otro punto z′), de modo que el
problema se puede resolver solo con las coordenadas polares. El punto ρ = 0 esta´ inclu´ıdo en la regio´n por lo cual hay
que evitar las divergencias que surgen al tomar ρ = 0 en la Ec. (3.26). Este hecho prohibe que existan valores de ν
positivos y negativos al mismo tiempo, ya que para ν negativo se requiere que A = E = 0, para evitar la divergencia
en ρ = 0 y para ν positivo se requiere que B = E = 0. El lector puedecomprobar que con A = B = E = 0 no es
posible ajustar las dema´s condiciones de frontera. Por tanto tomaremos ν positivos de modo que B = E = 0, en
(3.26) para evitar una divergencia en el potencial. La solucio´n queda entonces
φ (ρ, ϕ) = ρν [C cos νϕ+D sin νϕ] + (aϕ+ b) ; ν > 0 (3.28)
Donde las constantes A y F de la Ec. (3.26) se han absorbido en las otras constantes. Obse´rvese que en la esquina
tenemos que el potencial tiende a V por un lado y a V ′ por el otro, luego el campo deber´ıa tener una divergencia, al
menos si V 6= V ′. Sin embargo, E y B deben ser cero ya que aunque el campo puede en general diverger, el potencial
s´ı se mantiene acotado. Procedemos entonces a ajustar las dema´s constantes a trave´s de las condiciones de frontera
1. En ϕ = 0, φ = V . Sustituyendo esta condicio´n en (3.28) se obtiene
φ (ρ, 0) = V = Cρν + b
solo es posible para todo ρ, si C = 0, y b = V , con lo cual el potencial (3.28) queda
φ (ρ, ϕ) = aϕ+ V +Dρν sin νϕ (3.29)
obse´rvese que el coeficiente b es parte de la solucio´n con ν = 0, si no hubie´ramos inclu´ıdo esta contribucio´n, no
hubiese sido posible satisfacer las condiciones de frontera.
46 CAPI´TULO 3. ECUACIO´N DE LAPLACE
2. En ϕ = β, φ = V ′ con lo cual (3.29) queda
φ (ρ, β) = V ′ = aβ + V +Dρν sin νβ
como esto debe ser va´lido ∀ρ ⇒ D = 0 o´ sin νβ = 0 se puede ver que la primera alternativa no es compatible
con las condiciones de frontera completas5. Con la segunda condicio´n sin νβ = 0 tenemos que νβ = mπ de
modo que los valores permitidos para ν (con ν 6= 0) son
ν = νm =
mπ
β
(3.30)
m es entero positivo o negativo, pero ρν produce divergencia en ρ→ 0 cuando se toma m negativo, por lo tanto
m > 0 ⇒ ν > 0 y m es entero positivo. Como la solucio´n ν = 0 ya ha sido inclu´ıda, entonces m = 1, 2, 3, ....
(efectivamente m = 0 nos deja solo con coeficientes que provienen de la solucio´n con ν = 0, para todo ρ y para
todo ϕ). El potencial para ϕ = β queda
φ (ρ, β) = V ′ = aβ + V
con lo cual
a =
V ′ − V
β
(3.31)
sustituyendo (3.30) y (3.31) en (3.29) y realizando la combinacio´n lineal de la solucio´n para cada m, obtenemos
la solucio´n general en la forma
φ (ρ, ϕ) = V +
(
V ′ − V
β
)
ϕ+
∞∑
m=1
Dmρ
mpi/β sin
(
mπ
β
ϕ
)
(3.32)
La determinacio´n de los coeficientes Dm requiere conocer las condiciones de frontera que cierran el contorno, ya
que la unicidad del potencial solo se puede garantizar cuando las condiciones de frontera son sobre un contorno
cerrado.
3. Por ejemplo sea φ (R,ϕ) = V (ϕ) y V = V ′. Haciendo ρ = R en (3.32), estas condiciones de contorno conducen
a
φ (R,ϕ) = V (ϕ) = V +
∞∑
m=1
DmR
mpi/β sin
(
mπ
β
ϕ
)
(3.33)
multiplicando por sin npiϕβ e integrando en ϕ ∈ (0, β) queda
∞∑
m=1
DmR
mpi/β
∫ β
0
sin
(
mπ
β
ϕ
)
sin
(
nπ
β
ϕ
)
dϕ =
∫ β
0
[V (ϕ)− V ] sin
(
nπ
β
ϕ
)
dϕ
∞∑
m=1
DmR
mpi/β
(
β
2
δnm
)
=
∫ β
0
[V (ϕ)− V ] sin
(
nπ
β
ϕ
)
dϕ
los coeficientes Dn quedan entonces
Dn =
2
β
R−npi/β
[∫ β
0
[
V
(
ϕ′
)− V ] sin(nπ
β
ϕ′
)]
dϕ′ (3.34)
con lo cual el potencial (3.33) queda
φ (ρ, ϕ) = V +
∞∑
m=1
{
2
β
R−mpi/β
[∫ β
0
[
V
(
ϕ′
)− V ] sin(mπ
β
ϕ′
)]
dϕ′
}
ρmpi/β sin
(
mπ
β
ϕ
)
se puede verificar que la condicio´n φ (R,ϕ) = V (ϕ) se cumple. Por otro lado si todas las paredes son equipoten-
ciales i.e. V (ϕ) = V = V ′ se cumple que φ (ρ, ϕ) = V y por tanto E = 0 en la regio´n de evaluacio´n. Este caso
se dar´ıa por ejemplo si la cun˜a define un conductor cerrado (o la cavidad de un conductor). En este problema,
la superficie equipotencial cerrada es en general un lugar geome´trico.
5Utilizando D = 0 y ajustando la condicio´n φ = V ′ cuando ϕ = β se obtiene φ (ρ,ϕ) =
(
V ′−V
β
)
ϕ + V . En esta solucio´n no quedan
constantes para ajustar la condicio´n de frontera que cierra el contorno. Ajustar estas condiciones requiere de constantes adicionales como
las Dm que aparecen en la solucio´n (3.32).
3.4. ECUACIO´N DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES: COORDENADAS POLARES 47
Veamos lo que ocurre en el caso general para ρ pequen˜o, cuando au´n no se ha evaluado Dm. Dado que la
dependencia en ρ es de la forma ρmpi/β puede concluirse que cerca de ρ = 0, el potencial depende mayormente del
primer te´rmino en la serie (mas exactamente de los dos primeros con ν = 0 y el segundo con m = 1). Asumiendo
adema´s que V = V ′ el potencial (3.32) queda
φ (ρ, ϕ) = V +
∞∑
m=1
Dmρ
mpi/β sin
(
mπ
β
ϕ
)
(3.35)
φ (ρ ∼ 0, ϕ) ≈ V +D1ρpi/β sin
(
π
β
ϕ
)
(3.36)
queremos evaluar la densidad de carga σ en la vecindad de ρ = 0. Para ello aplicamos la relacio´n (1.41), va´lida para
conductores ideales
σ =
1
4πKc
n ·E (3.37)
donde n es un vector unitario normal a la superficie del conductor apuntando hacia afuera de e´ste. Para usar (3.37)
debemos evaluar el campo ele´ctrico en las vecindades de ρ = 0, para lo cual usamos la expresio´n aproximada (3.36)
E = −∇φ = −∂φ
∂ρ
uρ − 1
ρ
∂φ
∂ϕ
uϕ ; Eρ = −∂φ
∂ρ
; Eϕ = −1
ρ
∂φ
∂ϕ
Eρ = −D1π
β
ρ
(
pi
β
−1
)
sin
(
πϕ
β
)
; Eϕ = −D1π
β
ρ
(
pi
β
−1
)
cos
(
πϕ
β
)
(3.38)
estas expresiones son estrictamente correctas cuando asumimos conductores volume´tricos. Por tanto, debemos asumir
que los conductores planos son realmente volu´menes de espesor muy delgado. Las superficies de los conductores en
donde evaluaremos las densidades son aquellas que delimitan a la regio´n de evaluacio´n. Observemos que para el
conductor en ϕ = 0, el vector normal en la superficie y que apunta hacia afuera del conductor va en la direccio´n uϕ
en tanto que para el conductor en ϕ = β se tiene que el vector normal hacia afuera del conductor va en la direccio´n
−uϕ. Teniendo en cuenta este hecho y sustituyendo (3.38) en (3.37) las densidades son
σ0 =
1
4πKc
n ·E
∣∣∣∣
ϕ=0
=
1
4πKc
uϕ · E
∣∣∣∣
ϕ=0
=
1
4πKc
Eϕ
∣∣∣∣
ϕ=0
= − D1
4βKc
ρ
(
pi
β
−1
)
σβ =
1
4πKc
n ·E
∣∣∣∣
ϕ=β
= − 1
4πKc
uϕ ·E
∣∣∣∣
ϕ=β
= − 1
4πKc
Eϕ
∣∣∣∣
ϕ=β
= − D1
4βKc
ρ
(
pi
β
−1
)
= σ0
σ0 = σβ = − D1
4βKc
ρ
(
pi
β
−1
)
(3.39)
por tanto en la vecindad de ρ = 0, las densidades en ambos planos coinciden, como era de esperarse por la isotrop´ıa
del espacio. Para diferentes valores de β tenemos diferentes comportamientos de σ en ρ→ 0 es decir en las esquinas.
1. Para ξ ≡ piβ −1 > 0, con ρ pequen˜o, la densidad tiende a cero. No hay casi acumulacio´n de carga en las esquinas.
Especialmente si ξ es grande (β pequen˜o).
2. Para β ≈ pi2 ⇒ |σ| ≈ D12piKc ρ y tambie´n disminuye al acercarse a la esquina
3. Para β ≈ π ⇒ |σ| ≈ D14piKc independiente de ρ, lo cual es de esperarse ya que se convierte en un plano infinito.
Desaparece la esquina.
4. Para β ≈ 3pi2 ⇒ |σ| ≈ D16piKc ρ(−1/3) tanto el campo como la densidad de carga son singulares en ρ = 0.
5. Para β ≈ 2π ⇒ |σ| ≈ D18piKcρ(−1/2). La carga se acumula en las esquinas mas ra´pidamente que en el caso anterior.
La diferencia entre β pequen˜o y β → 2π consiste en que en el segundo caso la regio´n que consideramos interior es
casi todo el espacio en tanto que para β pequen˜o el interior es una cun˜a muy estrecha. Como se ve en este ana´lisis,
la carga tiende a acumularse en las esquinas en algunos casos. Estas acumulaciones de carga producen campos muy
intensos. No obstante, el lector puede comprobar que au´n en los casos en que existen singularidades de la densidad
48 CAPI´TULO 3. ECUACIO´N DE LAPLACE
superficial σ en las vecindades de ρ, la carga total en una superficie finita en las vecindades de ρ es una cantidad
finita.
La acumulacio´n de carga en las esquinas o puntas con la correspondiente alta intensidad de campo ele´ctrico es
un rasgo general de configuracionesgeome´tricas de conductores con este tipo de singularidades6. En este sencillo
principio se basa el pararrayos.
Finalmente, vale la pena mencionar que el comportamiento funcional de la densidad superficial en las vecidades
de ρ = 0 es pra´cticamente independiente de la condicio´n de frontera “remota” que cierra el contorno. El ana´lisis se
realizo´ con la expresio´n (3.35) en la cual no se han evaluado los Dm, es decir no se ha usado la condicio´n de frontera
que cierra el contorno. Por supuesto el valor exacto de D1 depende de esta condicio´n de frontera y por tanto el valor
exacto de σ, pero no su comportamiento funcional con ρ.
3.4.2. Cilindro infinito
Consideremos un cilindro infinito de radio R a potencial V (ϕ) en su superficie. Por simplicidad ubicamos el
eje Z sobre el eje de simetr´ıa del cilindro. El potencial es independiente de Z lo que lo convierte en un problema
bidimensional. Tomemos la solucio´n bidimensional general
φ (ρ, ϕ) =
[
Aρν +Bρ−ν
]
[C cos νϕ+D sin νϕ] + (aϕ+ b) (E ln ρ+ F )
el potencial debe ser el mismo en ϕ = 0 y en ϕ = 2nπ (condicio´n de periodicidad o univaluacio´n)7. Esto implica
a = 0, y que ν debe ser entero. Un razonamiento similar a los ya realizados muestra que no es posible tener valores
de ν positivos y negativos al mismo tiempo. Por tanto, eligiendo ν como enteros positivos, se obtiene que E = B = 0
para evitar divergencias en ρ→ 0. La solucio´n queda
φ (ρ, ϕ) = ρν [C cos νϕ+D sin νϕ] + F
teniendo presente que ν debe ser entero positivo, la solucio´n general es
φ (ρ, ϕ) = F +
∞∑
ν=1
ρν [Cν cos νϕ+Dν sin νϕ] (3.40)
usando la condicio´n φ = V (ϕ) en ρ = R
φ (R,ϕ) = V (ϕ) = F +
∞∑
ν=1
Rν [Cν cos νϕ+Dν sin νϕ] (3.41)
multiplicando por sin ν ′ϕ dϕ e integrando∫ 2pi
0
V (ϕ) sin ν ′ϕ dϕ =
∫ 2pi
0
F sin ν ′ϕ dϕ
+
∞∑
ν=1
Rν
[
Cν
∫ 2pi
0
cos νϕ sin ν ′ϕ dϕ+Dν
∫ 2pi
0
sin νϕ sin ν ′ϕ dϕ
]
∫ 2pi
0
V (ϕ) sin ν ′ϕ dϕ =
∞∑
ν=1
RνDν
∫ 2pi
0
sin νϕ sin ν ′ϕ dϕ =
∞∑
ν=1
RνDνπδνν′∫ 2pi
0
V (ϕ) sin ν ′ϕ dϕ = πRν
′
Dν′
6Naturalmente estas son solo aproximaciones, ya que f´ısicamente las “puntas” o “esquinas” suelen tener un comportamiento suave
cuando se miran microsco´picamente. Sin embargo, el comportamiento funcional de este caso ideal funciona bien en las vecindades de
ρ→ 0, aunque no coincide con el valor f´ısico cuando ρ = 0.
7No´tese que esta condicio´n de periodicidad o univaluacio´n del potencial en ϕ solo aparece cuando la regio´n de Dirichlet barre todos los
valores de ϕ entre 0 y 2pi. Por esta razo´n, esta condicio´n no aparece en el problema entre dos planos con a´ngulo diedro β, ya que ϕ ∈ [0, β]
en la regio´n de Dirichlet con β < 2pi.
3.5. ECUACIO´N DE LAPLACE EN TRES DIMENSIONES, COORDENADAS CARTESIANAS 49
α 6= 0, β 6= 0 α = 0, β = γ 6= 0 β = 0, α = γ 6= 0 α = 0, β = γ = 0
Ω (x) Aeiαx +Be−iαx ax+ b Leiαx +Me−iαx ex+ f
∆(y) Ceiβy +De−iβy Geiβy +He−iβy cy + d gy + h
Ψ(z) Eeγz + Fe−γz Jeβz +Ke−βz Neαz + Pe−αz jz + k
Cuadro 3.1: Soluciones a la ecuacio´n de Laplace en tres dimensiones en coordenadas cartesianas, usando separacio´n
de variables. Nos restringimos a las soluciones con α, β, γ reales.
se obtiene
Dν =
1
πRν
∫ 2pi
0
V
(
ϕ′
)
sin νϕ′ dϕ′ (3.42)
similarmente se obtiene Cν al multiplicar por cos ν
′ϕ
Cν =
1
πRν
∫ 2pi
0
V
(
ϕ′
)
cos νϕ′ dϕ′ (3.43)
integrando (3.41) en ϕ se tiene∫ 2pi
0
V (ϕ) dϕ =
∫ 2pi
0
F dϕ+
∞∑
ν=1
Rν
[
Cν
∫ 2pi
0
cos νϕ dϕ+Dν
∫ 2pi
0
sin νϕ dϕ
]
F =
1
2π
∫ 2pi
0
V
(
ϕ′
)
dϕ′ (3.44)
sustituyendo (3.42, 3.43) y (3.44) en (3.40) la solucio´n queda entonces
φ (ρ, ϕ) =
1
2π
∫ 2pi
0
V
(
ϕ′
)
dϕ′ +
1
π
∞∑
ν=1
( ρ
R
)ν ∫ 2pi
0
[
cos νϕ′ cos νϕ+ sin νϕ′ sin νϕ
]
V
(
ϕ′
)
dϕ′
φ (ρ, ϕ) =
1
2π
∫ 2pi
0
V
(
ϕ′
)
dϕ′ +
1
π
∞∑
ν=1
( ρ
R
)ν ∫ 2pi
0
V
(
ϕ′
)
cos
[
ν
(
ϕ− ϕ′)] dϕ′
obse´rvese que a priori parece que no se esta´n definiendo las condiciones de frontera sobre una superficie cerrada (no
se definio´ el potencial en las tapas del infinito), y sin embargo se obtiene una solucio´n u´nica. Esto tiene que ver con
el hecho de que un cilindro infinito es topolo´gicamente equivalente a un toro de radio infinito. Si pensamos en un
toro de radio R y definimos condiciones de frontera en una superficie cerrada del toro, este problema se convierte en
el aqu´ı descrito cuando R→∞.
3.5. Ecuacio´n de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas
La ecuacio´n de Laplace en tres dimensiones en coordenadas cartesianas se escribe en la forma
∇2φ (x, y, z) = 0⇒
(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
)
φ (x, y, z) = 0
asumiendo separacio´n de variables φ = Ω(x)∆ (y)Ψ (z) y dividiendo la ecuacio´n por Ω (x)∆ (y)Ψ (z) se obtiene
1
Ω
d2Ω
dx2︸ ︷︷ ︸
−α2
+
1
∆
d2∆
dy2︸ ︷︷ ︸
−β2
+
1
Ψ
d2Ψ
dz2︸ ︷︷ ︸
γ2
= 0⇒ γ2 = α2 + β2
Para obtener la solucio´n ma´s general debemos obtener todas las combinaciones con α, β, γ iguales a cero o diferentes
de cero, la solucio´n ma´s general requiere que α, β, γ sean complejos. En esta seccio´n nos restringiremos al caso en
que estos para´metros son reales, de modo que α2, β2 y γ2 son reales no negativos. La ligadura γ2 = α2 + β2 prohibe
50 CAPI´TULO 3. ECUACIO´N DE LAPLACE
la posibilidad de α = β 6= 0, γ = 0, (aunque esta posibilidad existe cuando asumimos que estos para´metros son
complejos). De acuerdo con la tabla 3.1, la solucio´n cuasi general queda
φ (x, y, z) =
(
Aeiαx +Be−iαx
) (
Ceiβy +De−iβy
) (
Eeγz + Fe−γz
)
+(ax+ b)
(
Geiβ
′y +He−iβ
′y
)(
Jeβ
′z +Ke−β
′z
)
+
(
Leiα
′x +Me−iα
′x
)
(cy + d)
(
Neα
′z + Pe−α
′z
)
+(ex+ f) (gy + h) (jz + k) (3.45)
donde α,α′, β, β′ son reales. No´tese que en esta expresio´n final las constantes α,α′, β, β′ pueden tomar el valor cero.
Cuando todos ellos toman el valor cero, se obtiene una constante por lo cual uno podr´ıa remover la constante que
aparece en la expresio´n para el potencial, que es fhk.
La solucio´n mas general implica sumatorias y/o integrales en α,α′, β, β′ y las constantes esta´n determinadas por
las condiciones de frontera.
3.5.1. Caja de lados a, b, c
Asumamos una caja (paralelep´ıpedo) de lados a, b, c. Por simplicidad ubicamos la caja en el primer octante de
modo que un ve´rtice coincida con el origen y tres aristas de longitud a, b, c coincidan con los ejesXY Z respectivamente.
Asumiremos que el potencial es cero en todas las caras excepto en la cara paralela al plano XY a una distancia c
de dicho plano, en esta cara el potencial es V (x, y). Este problema se resuelve fa´cilmente proponiendo una solucio´n
en funciones senoidales en x, y y una funcio´n libre en z (ver Ref. [12]). Sin embargo, aqu´ı llegaremos a la solucio´n
partiendo de la expresio´n general (3.45). Aunque el procedimiento es mucho mas largo que el antes mencionado, nos
dara´ cierta habilidad en el empleo de la fo´rmula general. Comenzaremos ajustando las condiciones de frontera
1. Se debe cumplir que φ = 0 en x = 0, la solucio´n (3.45) queda
φ (0, y, z) = (A+B)
(
Ceiβy +De−iβy
) (
Eeγz + Fe−γz
)
+ b′
(
Geiβ
′y +He−iβ
′y
)(
Jeβ
′z +Ke−β
′z
)
+(L+M)
(
c′y + d
) (
Neα
′z + Pe−α
′z
)
+ f (gy + h) (jz + k) (3.46)
que se puede reescribir como
φ (0, y, z) = (A+B)Φ1 (y, z) + b
′Φ2 (y, z) + (L+M) Φ3 (y, z) + fΦ4 (y, z) = 0
Φ1 ≡
(
Ceiβy +De−iβy
) (
Eeγz + Fe−γz
)
; Φ2 ≡
(
Geiβ
′y +He−iβ
′y
)(
Jeβ
′z +Ke−β
′z
)
Φ3 ≡
(
c′y + d
) (
Neα
′z + Pe−α
′z
)
; Φ4 ≡ (gy + h) (jz + k)
donde hemos usado la notacio´n a′, b′, c′ para los coeficientes en el potencial, a fin de no confundirlos con las
dimensiones del paralelep´ıpedo. Como cada Φi (y, z) es linealmente independiente, entonces cada coeficiente
que acompan˜aa los Φi (y, z) se debe anular
A+B = 0 ; b′ = 0 ; (L+M) = 0 ; f = 0 (3.47)
sustituyendo (3.47) en (3.45), la solucio´n queda
φ (x, y, z) = sinαx
(
Ceiβy +De−iβy
) (
Eeγz + Fe−γz
)
+ x
(
Geiβ
′y +He−iβ
′y
)(
Jeβ
′z +Ke−β
′z
)
+sinα′x
(
c′y + d
) (
Neα
′z + Pe−α
′z
)
+ x (gy + h) (jz + k) (3.48)
2. Aplicando la condicio´n φ = 0, en y = 0 en la Ec. (3.48) nos queda
φ (x, 0, z) = sinαx (C +D)
(
Eeγz + Fe−γz
)
+ x (G+H)
(
Jeβ
′z +Ke−β
′z
)
+d sinα′x
(
Neα
′z + Pe−α
′z
)
+ xh (jz + k) = 0
3.5. ECUACIO´N DE LAPLACE EN TRES DIMENSIONES, COORDENADAS CARTESIANAS 51
un argumento similar al anterior nos da
C +D = 0 ; G+H = 0; d = 0, h = 0 (3.49)
Reemplazando (3.49) en (3.48), la solucio´n queda
φ (x, y, z) = sinαx sin βy
(
Eeγz + Fe−γz
)
+ x sin β′y
(
Jeβ
′z +Ke−β
′z
)
+y sinα′x
(
Neα
′z + Pe−α
′z
)
+ xy (jz + k) (3.50)
3. Usando φ = 0 para z = 0 en la Ec. (3.50)
φ (x, y, 0) = sinαx sin βy (E + F ) + x sinβ′y (J +K) + y sinα′x (N + P ) + xyk = 0
conduce a
(E + F ) = (J +K) = (N + P ) = k = 0 (3.51)
la sustitucio´n de (3.51) en (3.50) nos da
φ (x, y, z) = E sinαx sin βy sinh γz + Jx sin β′y sinh β′z +Ny sinα′x sinhα′z + jxyz (3.52)
4. La condicio´n φ = 0 en x = a aplicada a (3.52) queda en la forma
φ (a, y, z) = E (sinαa) sin βy sinh γz + Ja sin β′y sinhβ′z +Ny
(
sinα′a
)
sinhα′z + jayz = 0
y conduce a
sinαa = 0 ; J = 0 ; sinα′a = 0, j = 0 ⇒
αn =
nπ
a
; α′k =
kπ
a
de lo cual la Ec. (3.52) queda
φ (x, y, z) = En sinαnx sin βy sinh γz +Nky sinα
′
kx sinhα
′
kz (3.53)
αn =
nπ
a
; α′k =
kπ
a
5. La condicio´n φ = 0 en y = b en (3.53) nos da
φ (x, b, z) = En sinαnx (sinβb) sinh γz +Nkb sinα
′
kx sinhα
′
kz = 0
que conduce a Nk = 0, β = βm =
mpi
b y el potencial (3.53) queda
φ (x, y, z) = Enm sinαnx sin βmy sinh γnmz
y dado que cada valor de n y m nos da una solucio´n, la solucio´n ma´s general sera´ una superposicio´n de estas
soluciones
φ (x, y, z) =
∞∑
n=1
∞∑
m=1
Enm sinαnx sin βmy sinh γnmz (3.54)
6. Finalmente la condicio´n φ = V (x, y) en z = c aplicada sobre (3.54) nos da
φ (x, y, c) = V (x, y) =
∞∑
n=1
∞∑
m=1
Enm sinαnx sin βmy sinh γnmc
multiplicando ambos miembros por 1ab sinαn′x sinβm′y e integrando, se obtiene
1
ab
∫ a
0
∫ b
0
V (x, y) sinαn′x sinβm′y dx dy
52 CAPI´TULO 3. ECUACIO´N DE LAPLACE
=
∞∑
n=1
∞∑
m=1
Enm sinh γnmc
[
1
a
∫ a
0
sinαnx sinαn′x dx
] [
1
b
∫ b
0
sin βmy sin βm′y dy
]
(3.55)
donde los l´ımites de integracio´n los hemos definido en la regio´n (x, y) en la cual esta´ definido el potencial
V (x, y). Teniendo en cuenta la relacio´n de ortonormalidad para los senos y el hecho de que sinαnx sinαn′x es
una funcio´n par en x tenemos que
1
a
∫ a
−a
sinαnx sinαn′x dx = δnn′ =
2
a
∫ a
0
sinαnx sinαn′x dx
⇒ 1
a
∫ a
0
sinαnx sinαn′x dx =
δnn′
2
y similarmente ocurre para y. Por tanto la relacio´n (3.55) queda en la forma
1
ab
∫ a
0
∫ b
0
V (x, y) sinαn′x sin βm′y dx dy =
1
4
∞∑
n=1
∞∑
m=1
δnn′δmm′Enm sinh γnmc =
1
4
En′m′ sinh γn′m′c
de modo que los coeficientes Enm quedan en la forma
Enm =
4
ab sinh γmnc
∫ a
0
dx′
∫ b
0
V
(
x′, y′
)
sinαnx
′ sin βmy′ dy′ (3.56)
αn ≡ nπ
a
; βm =
mπ
b
; γmn ≡
√
α2n + β
2
m = π
√
n2
a2
+
m2
b2
(3.57)
la solucio´n final se obtiene entonces sustituyendo (3.56) en (3.54). A manera de consistencia se puede ver que
si V (x, y) = 0, el potencial en el interior nos da φ = 0. Este ser´ıa el caso de un paralelep´ıpedo conductor
conectado a tierra.
Cap´ıtulo 4
Ecuacio´n de Laplace en coordenadas esfe´ricas
4.1. Operador momento angular orbital
Un operador momento angular es un operador con tres componentes Jˆ1, Jˆ2, Jˆ3 donde cada componente es hermı´tica
y satisface las relaciones de conmutacio´n [
Jˆi, Jˆj
]
= iεkijJk
el cuadrado de este operador se define como
Jˆ2 = Jˆ21 + Jˆ
2
2 + Jˆ
2
3
se puede verificar que cada componente conmuta con Jˆ2[
Jˆ2, Jˆj
]
= 0
esto implica que Jˆ2 y una de las componentes de J admiten un conjunto comu´n de funciones propias1. Elijamos Jˆ3
para encontrar este conjunto comu´n, se cumple que:
Jˆ2Ψjm = j (j + 1)Ψjm ; Jˆ3Ψjm = mΨjm
j = 0,
1
2
, 1,
3
2
, 2, ...; m = j, j − 1, j − 2, ..,− (j − 2) ,− (j − 1) ,−j(
Ψjm,Ψj′m′
)
= δj′jδmm′
El operador momento angular orbital cla´sico es Lˆ = −ir×∇ se puede ver que este operador cumple con las propiedades
de un momento angular, por otro lado la exigencia de periodicidad en 2π nos exige excluir los valores semienteros de
j. Es notable el hecho de que la estructura de los valores propios solo depende de la hermiticidad de los operadores
y de su a´lgebra de Lie, pero no de su forma expl´ıcita (ver por ejemplo la Ref. [3]).
4.2. Separacio´n de variables para la ecuacio´n de Laplace en coordenadas esfe´ri-
cas
La ecuacio´n de Laplace en coordenadas esfe´ricas queda
1
r2
∂
∂r
(
r2
∂φ
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂φ
∂θ
)
+
1
r2 sin2 θ
∂2φ
∂ϕ2
= 0
utilizando la identidad
1
r2
∂
∂r
(
r2
∂φ
∂r
)
=
1
r
∂2
∂r2
(rφ)
escribimos
1
r
∂2
∂r2
(rφ) +
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂φ
∂θ
)
+
1
r2 sin2 θ
∂2φ
∂ϕ2
= 0
1No podemos elegir un conjunto comu´n de vectores propios asociados a varias componentes de J, ya que e´stas no conmutan entre s´ı.
53
54 CAPI´TULO 4. ECUACIO´N DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFE´RICAS
hacemos separacio´n de variables de la forma
φ (r, θ, ϕ) =
U (r)
r
Y (θ, ϕ) (4.1)
reemplazamos
1
r
Y (θ, ϕ)
∂2U
∂r2
+
U (r)
r
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂Y (θ, ϕ)
∂θ
)
+
U (r)
r
1
r2 sin2 θ
∂2Y (θ, ϕ)
∂ϕ2
= 0
y multiplicamos por r3/ (UY )
r2
U (r)
d2U
dr2
+
1
sin θ Y (θ, ϕ)
∂
∂θ
(
sin θ
∂Y (θ, ϕ)
∂θ
)
+
1
sin2 θ Y (θ, ϕ)
∂2Y (θ, ϕ)
∂ϕ2
= 0
r2
U (r)
d2U
dr2
+
1
Y (θ, ϕ)
[
1
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂Y (θ, ϕ)
∂θ
)
+
1
sin2 θ
∂2Y (θ, ϕ)
∂ϕ2
]
= 0
ahora bien, el te´rmino entre pare´ntesis es justamente el operador momento angular orbital cla´sico al cuadrado (con
signo menos) aplicado sobre la funcio´n angular Y (θ, ϕ)
Lˆ = −ir×∇ ⇒ Lˆ2=(−ir×∇)2= −
[
1
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂
∂θ
)
+
1
sin2 θ
∂2
∂ϕ2
]
(4.2)
Lˆ2Y (θ, ϕ) = −
[
1
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂Y (θ, ϕ)
∂θ
)
+
1
sin2 θ
∂2Y (θ, ϕ)
∂ϕ2
]
(4.3)
la ecuacio´n se reduce a
r2
U (r)
d2U
dr2︸ ︷︷ ︸
l(l+1)
− Lˆ
2Y (θ, ϕ)
Y (θ, ϕ)︸ ︷︷ ︸
l(l+1)
= 0
y puesto que Lˆ2 es un operador puramente angular, el primer sumando depende solo del radio y el segundo solo de
variables angulares, quedando las ecuaciones
r2
U (r)
d2U
dr2
= l (l + 1) ;
Lˆ2Y (θ, ϕ)
Y (θ, ϕ)
= l (l + 1) ⇒
d2U
dr2
− l (l + 1)
r2
U = 0 ; Lˆ2Y (θ, ϕ) = l (l + 1)Y (θ, ϕ) (4.4)
4.2.1. Solucio´n de la ecuacio´n radial
La ecuacio´n radial
d2U
dr2
− l (l + 1)
r2
U = 0 (4.5)
es homoge´nea para r de modo que podemos hacer
r = eµ ; dr = eµdµ ;
dµ
dr
= e−µ =
1
r
d2U
dr2
=
d
dr
(
dU
dr
)
=
dµ
dr
d
dµ
(
dµ
dr
dU
dµ
)
= e−µ
d
dµ
(
e−µ
dU
dµ
)
= −e−2µ dU
dµ
+ e−2µ
d2U
dµ2
d2U
dr2
= e−2µ
(
d2U
dµ2
− dU
dµ
)
;
l (l + 1)
r2
U = l (l + 1) e−2µU (4.6)
sustituyendo (4.6) en la ecuacio´n radial (4.4), esta u´ltima queda en la forma
d2U
dµ2
− dU
dµ
− l (l + 1)U = 0 (4.7)
4.2. SEPARACIO´N DE VARIABLES PARA LA ECUACIO´N DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFE´RICAS55denotando D ≡ d/dµ como el operador derivada, esta ecuacio´n queda[
D2 −D − l (l + 1)]U = 0 ⇒ [D − (1 + l)] [D + l]U = 0 (4.8)
dado que los operadores diferenciales entre pare´ntesis conmutan, U es solucio´n de la ecuacio´n diferencial de segundo
orden dada por (4.8) si es solucio´n de alguna de las ecuaciones de primer orden dadas por
[D + l]U1 = 0 ; [D − (1 + l)]U2 = 0
por tanto, las soluciones vienen dadas por
U1 (r) = e
(1+l)µ = rl+1 ; U2 (r) = e
−lµ = r−l
la solucio´n para r es entonces una superposicio´n de las dos soluciones
Ul (r) = Ar
l+1 +Br−l (4.9)
4.2.2. Solucio´n de la ecuacio´n angular
Veamos la solucio´n para la ecuacio´n diferencial angular dada por las Ecs (4.3, 4.4)[
1
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂Y (θ, ϕ)
∂θ
)
+
1
sin2 θ
∂2Y (θ, ϕ)
∂ϕ2
]
+ l (l + 1)Y (θ, ϕ) = 0 (4.10)
separamos variables
Y (θ, ϕ) = P (θ)Q (ϕ) (4.11)[
Q (ϕ)
sin θ
d
dθ
(
sin θ
dP (θ)
dθ
)
+
P (θ)
sin2 θ
∂2Q (ϕ)
∂ϕ2
]
+ l (l + 1)P (θ)Q (ϕ) = 0
multiplicamos por sin2 θ/ (PQ)[
sin θ
P (θ)
d
dθ
(
sin θ
dP (θ)
dθ
)
+ l (l + 1) sin2 θ
]
︸ ︷︷ ︸
m2
+
1
Q (ϕ)
∂2Q (ϕ)
∂ϕ2︸ ︷︷ ︸
−m2
= 0
la solucio´n se escogio´ de tal manera que para Q (ϕ) haya soluciones armo´nicas con m2 positivo.
∂2Q (ϕ)
∂ϕ2
+m2Q (ϕ) = 0⇒ Q (ϕ) =
{
Ceimϕ +De−imϕ si m 6= 0
aϕ+ b si m = 0
(4.12)
la ecuacio´n diferencial en θ es
sin θ
P (θ)
d
dθ
(
sin θ
dP (θ)
dθ
)
+ l (l + 1) sin2 θ −m2 = 0
sustituyamos
x = cos θ ⇒ dx
dθ
= − sin θ ; sin2 θ = 1− x2 (4.13)
dP
dθ
=
dx
dθ
dP
dx
= − sin θdP
dx
sustituyendo esta derivada en la ecuacio´n
− sin θ
P (θ)
d
dθ
(
sin θ sin θ
dP
dx
)
+ l (l + 1) sin2 θ −m2 = 0
56 CAPI´TULO 4. ECUACIO´N DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFE´RICAS
dividiendo por sin2 θ
1
P (θ)
(
− 1
sin θ
)
d
dθ
(
sin2 θ
dP
dx
)
+ l (l + 1)− m
2
sin2 θ
= 0
1
P (θ)
(
dθ
dx
)
d
dθ
[(
1− x2) dP
dx
]
+ l (l + 1)− m
2
(1− x2) = 0
1
P (θ)
d
dx
[(
1− x2) dP
dx
]
+ l (l + 1)− m
2
(1− x2) = 0
multiplicando por P
d
dx
[(
1− x2) dP
dx
]
+ l (l + 1)P − m
2P
(1− x2) = 0 (4.14)
o equivalentemente (
1− x2) d2P
dx2
− 2xdP
dx
+ l (l + 1)P − m
2P
(1− x2) = 0 (4.15)
la cual se conoce como ecuacio´n asociada de Legendre.
4.3. Solucio´n angular con m = 0
Consideremos primeramente la ecuacio´n (4.15) correspondiente a m = 0
(
1− x2) d2P
dx2
− 2xdP
dx
+ l (l + 1)P = 0 (4.16)
denominada ecuacio´n ordinaria de Legendre. Consideremos una solucio´n en series de potencias
P (x) = xα
∞∑
j=0
ajx
j (4.17)
α es un para´metro a determinar, al introducirlo en la ecuacio´n ordinaria de Legendre, se tiene
(
1− x2) d2
dx2
 ∞∑
j=0
ajx
j+α
− 2x d
dx
 ∞∑
j=0
ajx
j+α
+ l (l + 1)
 ∞∑
j=0
ajx
j+α
 = 0
(
1− x2) d
dx
 ∞∑
j=0
aj (j + α) x
j+α−1
− 2x
 ∞∑
j=0
aj (j + α) x
j+α−1
+ l (l + 1)
 ∞∑
j=0
ajx
j+α
 = 0
(
1− x2) ∞∑
j=0
[
aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2
]− ∞∑
j=0
[
2aj (j + α) x
j+α
]
+ l (l + 1)
∞∑
j=0
[
ajx
j+α
]
= 0
———————————————————————-
0 =
∞∑
j=0
aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2 −
∞∑
j=0
aj (j + α) (j + α− 1) xj+α
−
∞∑
j=0
[
2aj (j + α) x
j+α
]
+ l (l + 1)
∞∑
j=0
(
ajx
j+α
)
0 =
∞∑
j=0
[
aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2
]− ∞∑
j=0
[2aj (j + α) + aj (j + α) (j + α− 1)− aj l (l + 1)] xj+α
4.3. SOLUCIO´N ANGULAR CON M = 0 57
0 =
∞∑
j=0
aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2 −
∞∑
j=0
[(j + α) (j + α+ 1)− l (l + 1)] ajxj+α
0 =
∞∑
j=0
aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2 −
∞∑
n=0
[(n+ α) (n+ α+ 1)− l (l + 1)] anxn+α
para la segunda suma hacemos el cambio de ı´ndice j ≡ n+ 2⇒ n ≡ j − 2
0 =
∞∑
j=0
aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2 −
∞∑
j=2
[(j + α− 2) (j + α− 1)− l (l + 1)] aj−2xj+α−2
y separamos expl´ıcitamente los dos primeros te´rminos en la primera sumatoria
0 = a0α (α− 1) xα−2 + a1 (1 + α)αxα−1 +
∞∑
j=2
aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2
−
∞∑
j=2
[(j + α− 2) (j + α− 1)− l (l + 1)] aj−2xj+α−2
0 = a0α (α− 1) xα−2 + a1α (1 + α) xα−1
+
∞∑
j=2
{aj (j + α) (j + α− 1)− [(j + α− 2) (j + α− 1)− l (l + 1)] aj−2}xj+α−2 (4.18)
—————————————-
Cada coeficiente en la serie de potencias debe ser cero por separado por tanto
a0α (α− 1) = 0 ; a1α (α+ 1) = 0 (4.19)
aj (j + α) (j + α− 1)− [(j + α− 2) (j + α− 1)− l (l + 1)] aj−2 = 0 (4.20)
De las Ecs. (4.19) vemos que si a0 6= 0 ⇒ α solo puede tomar los valores cero o uno. Si a1 6= 0 entonces α = 0,−1.
Adicionalmente, la Ec. (4.20) es una relacio´n de recurrencia para j que se puede reescribir tomando j ≡ n+ 2
an+2 (n+ α+ 2) (n+ α+ 1)− [(n+ α) (n+ α+ 1)− l (l + 1)] an = 0
an+2 (α+ n+ 2) (α+ n+ 1) = [(α+ n) (α+ n+ 1)− l (l + 1)] an
como j comienza en dos, n comienza en cero. Volviendo a la notacio´n n ≡ j queda finalmente
aj+2 =
[
(α+ j) (α+ j + 1) − l (l + 1)
(α+ j + 1) (α+ j + 2)
]
aj (4.21)
las dos relaciones (4.19) son en realidad equivalentes de modo que podemos elegir a0 6= 0 o´ a1 6= 0, pero no los dos al
tiempo. Eligiendo a0 6= 0 obtenemos que α = 0 o´ α = 1. La relacio´n de recurrencia muestra que la serie de potencias
tiene solo potencias pares (α = 0) o impares (α = 1).
Ya vimos que α resulta ser cero o uno. Para ambos valores de α la serie converge para x2 < 1, y diverge en x = ±1
a menos que la serie sea truncada, convirtie´ndose entonces en un polinomio2, esto solo es posible si l es cero o entero
positivo. Adicionalmente, para l par (impar) se exige α = 0 (α = 1).
Los polinomios se normalizan de tal manera que valgan 1 en x = 1 y se denominan polinomios de Legendre. En
forma general estos polinomios esta´n dados por
Pl (x) =
1
2ll!
dl
dxl
(
x2 − 1)l (4.22)
2Recordemos que x = ±1 corresponde a θ = 0, pi. Es claro que para θ = 0, pi debemos exigir convergencia, ya que en general es parte
de la regio´n de Dirichlet.
58 CAPI´TULO 4. ECUACIO´N DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFE´RICAS
los cuales forman la solucio´n de la funcio´n P (θ) definida en (4.11), para m = 0 i.e.
P (θ) ≡ Pl (cos θ) (4.23)
Los polinomios de Legendre Pl (x) forman un conjunto ortogonal y completo en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1∫ 1
−1
Pl (x)Pl′ (x) dx =
2
2l + 1
δll′
1
2
∞∑
l=0
(2l + 1)Pl (x)Pl
(
x′
)
= δ
(
x− x′)
y teniendo en cuenta las relaciones (4.13) se obtiene en te´rminos de θ
x = cos θ ⇒ dx = − sin θ dθ; x = −1⇒ θ = π ; x = 1⇒ θ = 0
∫ 1
−1
Pl (x)Pl′ (x) dx =
∫ 0
pi
Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) [− sin θ dθ]
=
∫ pi
0
Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ
las relaciones de ortogonalidad y completez quedan∫ pi
0
Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ =
2
2l + 1
δll′ (4.24)
1
2
∞∑
l=0
(2l + 1)Pl (cos θ)Pl
(
cos θ′
)
= δ
(
cos θ − cos θ′) (4.25)
cualquier funcio´n regular definida en el intervalo [−1, 1] puede escribirse
f (x) =
∞∑
l=0
AlPl (x) ⇒ Al = 2l + 1
2
∫ 1
−1
f
(
x′
)
Pl
(
x′
)
dx′
la solucio´n de la parte angular con m = 0 se obtiene entonces reemplazando (4.12) y (4.23) en (4.11) usando m = 0:
Ym=0 (θ, ϕ) = (aϕ+ b)Pl (cos θ) (4.26)
4.4. Solucio´n de la ecuacio´n de Laplace con m = 0
La solucio´n a la ecuacio´n de Laplace con m = 0 se obtiene reemplazando (4.9, 4.26) en (4.1) y teniendo en cuenta
que la superposicio´n de soluciones tambie´n es solucio´n.
φ (r, θ, ϕ) = (aϕ+ b)
∞∑
l=0
(
Arl+1 +Br−l
)
r
Pl (cos θ) (4.27)
si asumimos simetr´ıa azimutal (i.e. independencia con respecto a ϕ), entonces a = 0, y la solucio´n queda
φ (r, θ) =
∞∑
l=0
[
Alr
l +
Bl
rl+1
]
Pl (cos θ) (4.28)
puede verse efectivamente que las soluciones con m 6= 0 ya no tienen simetr´ıa azimutal ya que tienensoluciones no
triviales en ϕ. Al, Bl se determinan con las condiciones de frontera.
4.5. PROPIEDADES DE PL (COS θ) 59
4.5. Propiedades de Pl (cos θ)
Hemos visto que los polinomios de Legendre surgen como una solucio´n de la ecuacio´n diferencial (4.16) Pa´g. 56
(
1− x2) d2P
dx2
− 2xdP
dx
+ l (l + 1)P = 0
la solucio´n se puede escribir en la forma (4.22)
Pl (x) =
1
2ll!
dl
dxl
(
x2 − 1)l (4.29)
tales funciones cumplen relaciones de ortogonalidad y completez para funciones regulares con simetr´ıa azimutal
∫ 1
−1
Pl (x)Pl′ (x) dx =
2
2l + 1
δll′ (4.30)
1
2
∞∑
l=0
(2l + 1)Pl (x)Pl
(
x′
)
= δ
(
x− x′) (4.31)
o haciendo x = cos θ estas relaciones se escriben como∫ pi
0
Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ =
2
2l + 1
δll′ (4.32)
1
2
∞∑
l=0
(2l + 1)Pl (cos θ)Pl
(
cos θ′
)
= δ
(
cos θ − cos θ′) (4.33)
De la definicio´n (4.29) podemos ver que
Pl (−x) = (−1)l Pl (x) (4.34)
de modo que Pl (x) es impar (par) con respecto a x = 0 si l es impar (par). Los primeros polinomios de Legendre
vienen dados por
P0 (x) = 1 ; P1 (x) = x ; P2 (x) =
1
2
(
3x2 − 1)
P3 (x) =
1
2
(
5x3 − 3x) ; P4 (x) = 1
8
(
35x4 − 30x2 + 3)
Teniendo en cuenta P0 (x) = 1 y las relaciones de ortogonalidad (4.32), tenemos que∫ 1
−1
Pl (x) dx =
∫ 1
−1
Pl (x) P0 (x) dx = 2δl,0 (4.35)
combinando las ecuaciones (4.35) y (4.34) se encuentra que
2δl,0 =
∫ 1
−1
Pl (x) dx =
∫ 0
−1
Pl (x) dx+
∫ 1
0
Pl (x) dx
=
∫ 0
1
Pl (−x) d (−x) +
∫ 1
0
Pl (x) dx =
∫ 1
0
Pl (−x) dx+
∫ 1
0
Pl (x) dx
2δl,0 =
∫ 1
0
[
(−1)l + 1
]
Pl (x) dx (4.36)
haciendo l = 0, se puede ver simplemente que los dos miembros son iguales. Si l es par diferente de cero la ecuacio´n
(4.36) nos da
2
∫ 1
0
Pl (x) dx = 0 ; l = 2, 4, 6, 8, . . .
60 CAPI´TULO 4. ECUACIO´N DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFE´RICAS
en tanto que si l es impar la ecuacio´n (4.36) no brinda ninguna informacio´n. Utilizando las fo´rmulas de Rodrigues es
posible demostrar la relacio´n ∫ 1
0
Pl (x) dx =
(
−1
2
) (l−1)
2 (l − 2)!!
2
(
l+1
2
)
!
con l impar (4.37)
con lo cual tenemos finalmente∫ 1
0
Pl (x) dx =

(−12) (l−1)2 (l−2)!!2( l+12 )! si l es impar
δl,0 si l es par
(4.38)
con un argumento similar se puede demostrar que∫ 1
0
Pl (x)Pl′ (x) dx =
δll′
(2l + 1)
(4.39)
otras propiedades relevantes son las siguientes
Pl (±1) = (±1)l ; P2l+1 (0) = 0 ; P2l (0) = (−1)
l (2l − 1)!!
2ll!
=
(−1)l (2l − 1)!
22l−1l! (l − 1)! (4.40)
donde hemos tenido en cuenta las relaciones
(2n)!! ≡ 2n× (2n − 2)× (2n− 4)× . . .× 6× 4× 2 (4.41)
(2n+ 1)!! = (2n + 1)× (2n− 1)× (2n− 3)× . . .× 5× 3× 1 (4.42)
(2n)!! = 2nn! ; (2n+ 1)!! =
(2n+ 1)!
2nn!
; (2n − 1)!! = (2n − 1)!
2n−1 (n− 1)! (4.43)
4.6. Ejemplos de aplicacio´n de la Ec. de Laplace con simetr´ıa azimutal
4.6.1. Esfera con φ = V (θ) en la superficie
Figura 4.1:
Evaluaremos el potencial φ en el interior de una esfera de radio a, sin carga en su interior y bajo la condicio´n de
frontera φ = V (θ) en la superficie (ver Fig. 4.1). Debido a que la condicio´n de frontera no depende de ϕ, el problema
tiene simetr´ıa azimutal de modo que podemos utilizar la expansio´n (4.28). Ahora bien, puesto que r = 0 es parte de
la regio´n de Dirichlet, se hace Bl = 0 en (4.28) para evitar divergencia en φ (0, θ), con lo cual se obtiene
φ (r, θ) =
∞∑
l=0
Alr
lPl (cos θ) (4.44)
4.6. EJEMPLOS DE APLICACIO´N DE LA EC. DE LAPLACE CON SIMETRI´A AZIMUTAL 61
ahora aplicamos la condicio´n de frontera de modo que φ (r = a, θ) = V (θ)
φ (a, θ) = V (θ) =
∞∑
l=0
Ala
lPl (cos θ) (4.45)
multiplicamos por Pl′ (cos θ) sin θ dθ e integramos entre 0 y π para utilizar las relaciones de ortogonalidad (4.32).∫ pi
0
V (θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ =
∞∑
l=0
Ala
l
∫ pi
0
Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ
=
∞∑
l=0
Ala
l 2
2l + 1
δll′ =
2Al′a
l′
2l′ + 1
despejando Al nos queda
Al =
2l + 1
2al
∫ pi
0
V
(
θ′
)
Pl
(
cos θ′
)
sin θ′ dθ′ (4.46)
sustituyendo (4.46) en (4.44) resulta
φ (r, θ) =
∞∑
l=0
[
2l + 1
2al
∫ pi
0
V
(
θ′
)
Pl
(
cos θ′
)
sin θ′ dθ′
]
rlPl (cos θ)
φ (r, θ) =
∞∑
l=0
2l + 1
2
(r
a
)l
Pl (cos θ)
[∫ pi
0
V
(
θ′
)
Pl
(
cos θ′
)
sin θ′ dθ′
]
si se quiere calcular el potencial por fuera de la esfera con φ (a, r) = V (θ) y con condicio´n de frontera cero en el
infinito, basta con reemplazar (r/a)l → (a/r)l+1.
4.6.2. Cascarones esfe´ricos conce´ntricos
Calcularemos la solucio´n de la ecuacio´n de Laplace en la regio´n comprendida entre dos cascarones esfe´ricos
conce´ntricos de radios a y b con b > a. Por comodidad se hace coincidir el origen con el centro de las esferas. Puesto
que la regio´n de Dirichlet no contiene las regiones con r → 0 ni con r →∞, no es necesario evitar estas divergencias
de modo que Al y Bl son en general no nulos en la expansio´n (4.28). El cascaro´n de radio b esta´ a potencial V0, en
tanto que el potencial en el cascaro´n de radio a esta´ dado por
V (θ) =
{
V para 0 ≤ θ ≤ π/2
0 para π/2 ≤ θ ≤ π (4.47)
es decir, para el cascaro´n de radio a, el potencial es V en el “hemisferio norte” y cero en el “hemisferio sur”. De
nuevo es claro que el problema tiene simetr´ıa azimutal. Aplicando φ (r = b, θ) = V0 en la Ec. (4.28) resulta
V0 =
∞∑
l′=0
[
Al′b
l′ +
Bl′
bl′+1
]
Pl′ (cos θ)
multiplicamos por Pl (x) integramos y tenemos en cuenta la relacio´n (4.35), as´ı como las condiciones (4.30) de
ortogonalidad
V0
∫ 1
−1
Pl (x) dx =
∞∑
l′=0
[
Al′b
l′ +
Bl′
bl′+1
] ∫ 1
−1
Pl′ (x)Pl (x) dx
2V0δl,0 =
∞∑
l′=0
[
Al′b
l′ +
Bl′
bl′+1
](
2
2l′ + 1
)
δll′
V0δl,0 =
(
1
2l + 1
)[
Alb
l +
Bl
bl+1
]
62 CAPI´TULO 4. ECUACIO´N DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFE´RICAS
por tanto se obtiene {
A0 +
B0
b = V0 si l = 0
Alb
l + Bl
bl+1
= 0 si l ≥ 1 (4.48)
ahora aplicamos φ (a, θ) = V (θ) en (4.28), con V (θ) definido por (4.47). Usando de nuevo la ortogonalidad de los
polinomios de Legendre
φ (a, θ) = V (θ) =
∞∑
m=0
[
Ama
m +
Bm
am+1
]
Pm (cos θ)
V (x) =
∞∑
m=0
[
Ama
m +
Bm
am+1
]
Pm (x) ; x ≡ cos θ∫ 1
−1
V (x)Pl (x) dx =
∞∑
m=0
[
Ama
m +
Bm
am+1
] ∫ 1
−1
Pm (x)Pl (x) dx∫ 1
−1
V (x)Pl (x) dx =
2
2l + 1
(
Ala
l +
Bl
al+1
)
(4.49)
y separando la integral del potencial entre los hemisferios norte y sur resulta∫ 1
−1
V (x)Pl (x) dx =
∫ 0
−1
0 · Pl (x) dx+
∫ 1
0
V · Pl (x) dx = V
∫ 1
0
Pl (x) dx
y utilizando (4.38) resulta
∫ 1
−1
V (x)Pl (x) dx =
{
V Kl si l es impar
V δl,0 si l es par
; Kl ≡
(
−1
2
) (l−1)
2 (l − 2)!!
2
(
l+1
2
)
!
(4.50)
sustituyendo (4.50) en (4.49) obtenemos
Ala
l +
Bl
al+1
=
2l + 1
2
∫ 1
−1
V (x)Pl (x) dx ⇒ (4.51){
Ala
l + Bl
al+1
= 2l+12 V Kl si l es impar
Ala
l + Bl
al+1
= 12V δl,0 si l es par
(4.52)
Al y Bl se pueden calcular de (4.48, 4.52). Tenemos dos ecuaciones con dos inco´gnitas que por comodidad separaremos
para l = 0, l par diferente de cero y l impar
A0 +
B0
b
= V0 , A0 +
B0
a
=
V
2
; l = 0
Alb
l +
Bl
bl+1
= 0 , Ala
l +
Bl
al+1
= 0 ; l 6= 0 y l ≡ par
Alb
l +
Bl
bl+1
= 0 , Ala
l +
Bl
al+1
=
2l + 1
2
V Kl ; l ≡ impar
resolviendo este sistema lineal se encuentran las soluciones.
4.7. Problemas con condiciones que no son de frontera
Supongamos que tenemos condiciones de Dirichlet, o Neumann, o cualquier otro conjunto de condiciones que
conduzcan a la unicidad de la ecuacio´n de Laplace. La unicidad de la solucio´n (4.28), nos conduce a que si encontramos
cualquier me´todo para hallar Al y Bl, estos valores sera´nu´nicos. En algunas ocasiones es posible encontrar estos
coeficientes sin recurrir en forma expl´ıcita a las condiciones de frontera, conociendo por ejemplo el potencial en cierta
4.7. PROBLEMAS CON CONDICIONES QUE NO SON DE FRONTERA 63
regio´n (que no necesariamente pertenece a la frontera), usualmente el eje de simetr´ıa3. Cuando aplicamos la solucio´n
general Eq. (4.28) a dicho eje obtenemos
φ (r = z, θ = 0) =
∞∑
l=0
[
Alz
l +
Bl
zl+1
]
(4.53)
donde hemos usado que Pl (1) = 1. Para la parte negativa del eje i.e. θ = π, tenemos que introducir un factor
Pl (−1) = (−1)l. Si el potencial en esta regio´n puede desarrollarse en series de potencias, entonces podemos encontrar
los coeficientes ya mencionados por comparacio´n de la serie de potencias con la Ec. (4.53).
Para ilustrar este me´todo, tomemos una esfera centrada en el origen con radio a, y con potenciales ±V en las
superficies de los hemisferios norte y sur respectivamente. Si a esto le adicionamos la condicio´n de potencial cero
en el infinito, tenemos condiciones de Dirichlet que nos garantizan la unicidad de la solucio´n en la regio´n exterior
a la esfera. Como veremos ma´s adelante (seccio´n 8.4), es plausible obtener una solucio´n al potencial generado en el
exterior de la esfera evaluado sobre el eje de simetr´ıa (eje Z), y viene dado por la Ec. (8.30)
φ (z) = V
[
1−
(
z2 − a2)
z
√
a2 + z2
]
; z > a
dado que z > a, la variable adecuada para la expansio´n es a/z
φ (z) = V
1− (z2−a2)z2 z2
z2
√
a2+z2
z2
 = V
1− 1− (az )2√
1 +
(
a
z
)2

una expansio´n de Taylor de esta funcio´n nos da (ejercicio!)
φ (z) =
V√
π
∞∑
j=1
(−1)j−1
(
2j − 12
)
Γ
(
j − 12
)
j!
(a
z
)2j
(4.54)
comparando esta ecuacio´n con (4.53) tenemos
∞∑
l=0
[
Alz
l +
Bl
zl+1
]
=
V√
π
∞∑
j=1
(−1)j−1
(
2j − 12
)
Γ
(
j − 12
)
j!
(a
z
)2j
comparando las potencias de z se ve que a la derecha no hay potencias positivas ni cero de e´sta. Por tanto Al = 0.
∞∑
l=0
Bl
1
zl+1
=
V√
π
∞∑
j=1
[
(−1)j−1
(
2j − 12
)
Γ
(
j − 12
)
j!
a2j
]
1
z2j
De esta expresio´n se ve que al lado izquierdo solo deben contribuir las potencias pares en l+1, es decir impares en l.
De modo que Bl = 0 si l es par, por esta razo´n podemos escribir la suma de la izquierda con l + 1 ≡ 2j, y dado que
solo contribuyen los valores l = 1, 3, 5, 7, .. la suma se expresa como
∞∑
j=1
B2j−1
1
z2j
=
V√
π
∞∑
j=1
[
(−1)j−1
(
2j − 12
)
Γ
(
j − 12
)
j!
a2j
]
1
z2j
quedando
B2j−1 =
V√
π
(−1)j−1
(
2j − 12
)
Γ
(
j − 12
)
j!
a2j (4.55)
el valor B2j−1 es u´nico y va´lido para todas las regiones de la esfera exterior au´n fuera del eje. Resumiendo hemos
encontrado que Al = 0, B2j = 0 para j entero, y B2j−1 esta´ dado por la Ec. (4.55), de modo que la solucio´n general
(4.28) para el potencial fuera de la esfera es
φ (r, θ) =
∞∑
j=1
B2j−1
1
r2j
P2j−1 (cos θ)
3Con frecuencia ocurre que calcular el potencial sobre un eje de simetr´ıa es mucho ma´s fa´cil que en cualquier otro punto de la regio´n
donde ocurre unicidad.
64 CAPI´TULO 4. ECUACIO´N DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFE´RICAS
quedando
φ (r, θ) =
∞∑
j=1
[
V√
π
(−1)j−1
(
2j − 12
)
Γ
(
j − 12
)
j!
a2j
]
1
r2j
P2j−1 (cos θ)
φ (r, θ) =
V√
π
∞∑
j=1
[
(−1)j−1
(
2j − 12
)
Γ
(
j − 12
)
j!
](a
r
)2j
P2j−1 (cos θ) (4.56)
Recordemos que en realidad se usaron condiciones de Dirichlet para garantizar la unicidad, esto nos permite asegurar
que una vez encontrados Al y Bl por cualquier me´todo, estos conducen a la solucio´n (u´nica) en toda la regio´n.
4.8. Expansio´n de 1|r−r′| en polinomios de Legendre
Una importante aplicacio´n de la te´cnica anterior nos posibilita expandir la funcio´n 1|r−r′| (la cual sera´ muy
importante en aplicaciones subsecuentes) en polinomios de Legendre. Para ello consideraremos que |r− r′|−1 es una
funcio´n de r en tanto que r′ es un para´metro arbitrario pero fijo. Esta funcio´n satisface la ecuacio´n de Laplace para
r 6= r′. Definiremos γ como el a´ngulo entre los vectores r y r′. Si rotamos los ejes de tal forma que r′ quede a lo largo
de Z (ya que r′ es fijo en el proceso), el a´ngulo γ coincidira´ con el a´ngulo polar θ de las coordenadas esfe´ricas. Adema´s,
es claro que la magnitud |r− r′| solo depende del a´ngulo polar γ. Tenemos entonces una funcio´n que satisface la
ecuacio´n de Laplace y posee simetr´ıa azimuthal, de modo que podemos usar (4.28)
Fr′ (r) ≡ 1|r− r′| =
∞∑
l=0
[
Al
(
r′
)
rl +
Bl (r
′)
rl+1
]
Pl (cos γ) (4.57)
Naturalmente, Al y Bl son en general funciones de r
′, pero son independientes de r y γ. Por tanto Al y Bl solo son
funciones de |r′| ≡ r′.
Examinemos las condiciones de frontera
1. Para r < r′ puesto que r′ es arbitrario pero fijo y con 1|r−r′| 6= ∞, tenemos que cuando r → 0 esta funcio´n
tiende a 1/r′, de modo que hay que evitar la divergencia que se genera en (4.57) cuando r → 0. Por tanto, se
tiene que Bl = 0 en (4.57)
1
|r− r′| =
∞∑
l=0
Al r
lPl (cos γ) (4.58)
a continuacio´n introduciremos la siguiente notacio´n: r> denota al mayor entre r y r
′; similarmente r< simboliza
al menor entre r y r′. En esta notacio´n, la expansio´n (4.58) se escribe:
1
|r− r′| =
∞∑
l=0
Alr
l
<Pl (cos γ) (4.59)
2. Para r > r′ con 1|r−r′| 6=∞, hay que evitar divergencia en r→∞ (de hecho, puesto que r′ es arbitrario pero fijo,
en este l´ımite la funcio´n debe tender a cero). Entonces A¯l = 0 en (4.57) en este re´gimen
4
1
|r− r′| =
∞∑
l=0
B¯l
rl+1>
Pl (cos γ) (4.60)
3. Una solucio´n va´lida en ambas regiones se obtiene haciendo el producto entre los coeficientes de Pl (cos γ) de
(4.59) con los de (4.60) y sumando5 sobre l.
1
|r− r′| =
∞∑
l=0
Cl
(
rl<
rl+1>
)
Pl (cos γ) (4.61)
4Aqu´ı utilizamos la notacio´n A¯l y B¯l para los coeficientes de la expansio´n del tipo (4.57), cuando r > r
′. Esto debido a que los casos
r < r′ y r > r′ generan expansiones independientes.
5El hecho de poder escribir la solucio´n va´lida en ambas regiones como un producto que proviene de las soluciones en cada regio´n, es una
caracter´ıstica general cuando dichas soluciones se escriben en la notacio´n r<, r>. En realidad, esa es la motivacio´n para introducir dicha
notacio´n. No´tese sin embargo, que NO se hace el producto de las soluciones 4.59) y (4.60), ni siquiera es el producto de los sumandos, sino
solo el producto de los coeficientes de Pl (cos γ) que luego se suporponen por linealidad.
4.8. EXPANSIO´N DE 1|R−R′| EN POLINOMIOS DE LEGENDRE 65
Para ver que (4.61) es la solucio´n va´lida en ambas regiones, examinamos la forma de la solucio´n en ambas
regiones. (a) Cuando r < r′ sustitu´ımos r< = r y r> = r′ en (4.61) y se obtiene
1
|r− r′| =
∞∑
l=0
Cl
(
rl
r′l+1
)
Pl (cos γ) =
∞∑
l=0
Cl
r′l+1
rl< Pl (cos γ)
1
|r− r′| =
∞∑
l=0
Al r
l
< Pl (cos γ) ; Al
(
r′
)
=
Cl (r
′)
r′l+1
que coincide con (4.58) o equivalentemente con (4.59). (b) Con r > r′ sustitu´ımos r< = r′ y r> = r en (4.61) y
se obtiene
1
|r− r′| =
∞∑
l=0
Cl
(
r′l
rl+1
)
Pl (cos γ) =
∞∑
l=0
Cl r
′l
(
1
rl+1
)
Pl (cos γ)
1
|r− r′| =
∞∑
l=0
B¯l
(
1
rl+1>
)
Pl (cos γ) ; B¯l
(
r′
)
= Cl
(
r′
)
r′l
que coincide con (4.60). En estas expresiones hemos tenido en cuenta que los coeficientes son en general funciones
de r′.
Para evaluar Cl consideramos el caso en que r y r
′ son colineales i.e. γ = 0. Esto permite hacer fa´cilmente una
expansio´n en series de potencias. Para el caso r > r′ la expansio´n adecuada es en r′/r
1
|r− r′| =
1
(r − r′) =
∞∑
l=0
Cl
(
rl<
rl+1>
)
Pl (cos 0
◦) =
1r>
∞∑
l=0
Cl
(
r<
r>
)l
Pl (1)
1
|r− r′| =
1
r>
∞∑
l=0
Cl
(
r<
r>
)l
=
1
r
[
C0 + C1
r′
r
+ C2
(
r′
r
)2
+ ...
]
r>r′
(4.62)
pero a su vez en este mismo re´gimen se puede expandir en una serie de potencias en r′/r
1
|r− r′| =
1
(r − r′) =
1
r
(
1− r′r
) = 1
r
(
1− r
′
r
)−1
=
1
r
[
1 +
r′
r
+
(
r′
r
)2
+ ...
]
r>r′
(4.63)
comparando las expansiones (4.62) y (4.63) se sigue que Cl = 1 (independiente de r
′). El lector puede demostrar que
esto tambie´n es va´lido para el caso r < r′, y como Cl (r′) no es funcio´n de γ, estos valores tambie´n son va´lidos para
el caso en el cual r y r′ forman un a´ngulo γ entre ellos. Por tanto podemos sustituir Cl (r′) = 1 en (4.61) quedando
finalmente
1
|r− r′| =
∞∑
l=0
(
rl<
rl+1>
)
Pl (cos γ) (4.64)
4.8.1. Ejemplos de aplicacio´n en evaluacio´n de potenciales
La expresio´n (4.64) se puede aplicar para evaluar potenciales. En particular la expresio´n (4.64) combinada con
los me´todos de la seccio´n 4.7 puede resultar muy fruct´ıfera como veremos en el ejemplo siguiente: Consideremos un
anillo con densidad lineal de carga uniforme (ver Fig. 4.2), cuyo plano es paralelo al plano XY a una distancia b de
dicho plano, y el eje Z pasa por su centro, sea a el radio del anillo y c la distancia desde el origen a un punto en el
borde del anillo, el problema tiene claramente simetr´ıa azimutal.
En primer lugar, la Ec. (4.28) nos dice que en este caso Al = 0 para evitar divergencias en r→∞ quedando
φ (r, θ) =
∞∑
l=0
Bl
rl+1
Pl (cos θ) (4.65)
66 CAPI´TULO 4. ECUACIO´N DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFE´RICAS
Figura 4.2:
Es muy fa´cil evaluar el potencial sobre el eje de simetr´ıa Z, el cual viene dado por
φ (z) =
∫
Kc dq√
a2 + (z − b)2
=
Kcq√
a2 + (z − b)2
=
Kcq√
a2 + b2 + z2 − 2zb
=
Kcq√
c2 + z2 − 2cz cosα =
Kcq√
(z− c) · (z− c)
φ (z) =
Kcq
|z− c|
usando la expansio´n (4.64) para z > c
φ (z) =
Kcq
|z− c| = Kcq
∞∑
l=0
cl
zl+1
Pl (cosα) ; z > c (4.66)
donde estamos expandiendo el potencial en el eje. Por otro lado, este potencial se puede obtener haciendo r = z y
θ = 0 en la Ec. (4.65)
φ (z) =
∞∑
l=0
Bl
zl+1
(4.67)
igualando las Ecs. (4.66) y (4.67) obtenemos
Kcq
∞∑
l=0
cl
zl+1
Pl (cosα) =
∞∑
l=0
Bl
zl+1
⇒
Bl = Kcqc
lPl (cosα) (4.68)
Bl no es funcio´n de θ de modo que su valor sobre el eje Z coincide con su valor en cualquier orientacio´n. En
consecuencia, podemos sustituir (4.68) en (4.65), de lo cual el potencial para r > c en cualquier orientacio´n se escribe
en la forma
φ (r) = Kcq
∞∑
l=0
cl
rl+1
Pl (cosα)Pl (cos θ) ; r > c
ana´logamente para r < c
φ (r) = Kcq
∞∑
l=0
rl
cl+1
Pl (cosα)Pl (cos θ) ; r < c
4.9. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE Y ARMO´NICOS ESFE´RICOS 67
4.9. Funciones asociadas de Legendre y Armo´nicos Esfe´ricos
Hasta el momento hemos solucionado la ecuacio´n de Laplace solo en el caso de simetr´ıa azimutal que surge
cuando se hace m = 0 en la Ec. (4.15). Ahora consideremos la situacio´n general con m 6= 0, la cual sera´ necesaria si
el problema no presenta simetr´ıa azimuthal. Retornamos a la ecuacio´n diferencial general Eq. (4.15)
(
1− x2) d2P
dx2
− 2xdP
dx
+ l (l + 1)P − m
2P
(1− x2) = 0
Que nos brinda la solucio´n ma´s general para la funcio´n P (θ) definida en (4.11) que naturalmente dependera´ ahora
de l y m
P (θ) ≡ Pml (cos θ) (4.69)
Las soluciones finitas en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1, solo se pueden obtener con l = 0 o entero positivo y si m toma
valores entre −l,− (l − 1) , ..., 0, ..., l−1, l. Lo cual concuerda con la ecuacio´n de valores propios para Lˆ2 y la exigencia
de periodicidad en la funcio´n. La solucio´n es conocida como funcio´n asociada de Legendre Pml (x), con
Pml (x) = (−1)m
(
1− x2)m/2 dm
dxm
Pl (x) =
(−1)m
2ll!
(
1− x2)m/2 dl+m
dxl+m
(
x2 − 1)l
puede demostrarse que
P−ml (x) = (−1)m
(l −m)!
(l +m)!
Pml (x)
Los Pml (x) forman un conjunto ortogonal para cada m, sobre el intervalo −1 ≤ x ≤ 1.∫ 1
−1
Pml (x)P
m
l′ (x) dx =
2
2l + 1
(l +m)!
(l −m)!δll′
donde P 0l (x) ≡ Pl (x).
La solucio´n ma´s general para la parte angular de la ecuacio´n de Laplace en coordenadas esfe´ricas se obtiene
reemplazando (4.12) y (4.69) en (4.11) usandom 6= 0. Dicha solucio´n angular genera (salvo factores de normalizacio´n)
unas funciones especiales conocidas como Armo´nicos Esfe´ricos
Ylm (θ, ϕ) =
√
2l + 1
4π
(l −m)!
(l +m)!
Pml (cos θ) e
imϕ (4.70)
Yl,−m (θϕ) = (−1)m Y ∗lm (θ, ϕ) (4.71)
Estas funciones cumplen ortonormalidad y completez∫
Ylm (θ, ϕ)Y
∗
l′m′ (θ, ϕ) dΩ = δll′δmm′
∞∑
l=0
l∑
m=−l
Ylm (θ, ϕ)Y
∗
lm
(
θ′, ϕ′
)
= δ
(
ϕ− ϕ′) δ (cos θ − cos θ′)
dΩ ≡ sin θ dθ dϕ
dΩ se refiere a un elemento de a´ngulo so´lido. Haciendo l′ = m′ = 0 en la relacio´n de ortonormalidad∫
Ylm (θ, ϕ)Y
∗
00 (θ, ϕ) dΩ = δl0δm0 ;
1√
4π
∫
Ylm (θ, ϕ) dΩ = δl0δm0∫
Ylm (θ, ϕ) dΩ =
√
4πδl0δm0
se puede ver de la forma expl´ıcita de los armo´nicos esfe´ricos que aquellos armo´nicos con m = 0 solo dependen de θ,
efectivamente se reducen a los polinomios ordinarios de Legendre (salvo por factores de proporcionalidad) que dan
cuenta de los casos con simetr´ıa azimuthal.
68 CAPI´TULO 4. ECUACIO´N DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFE´RICAS
La completez de los armo´nicos esfe´ricos me permite expandir cualquier funcio´n regular F (θ, ϕ) como superposicio´n
de esta base numerable
F (θ, ϕ) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
AlmYlm (θ, ϕ) ; Alm =
∫
F (θ, ϕ)Y ∗lm (θ, ϕ) dΩ
La solucio´n general para el potencial es entonces
φ (r, θ, ϕ) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
[
Almr
l +
Blm
rl+1
]
Ylm (θ, ϕ) (4.72)
De nuevo, las constantes Alm, Blm se evalu´an a trave´s de las condiciones de frontera.
Cap´ıtulo 5
Ecuacio´n de Laplace en coordenadas
cil´ındricas, Funciones de Bessel
En estas coordenadas la ecuacio´n toma la forma
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂φ
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2φ
∂ϕ2
+
∂2φ
∂z2
= 0
separando variables
φ = R (ρ)Q (ϕ)Z (z)
1
Q
d2Q
dϕ2
= −ν2 ⇒ Q ∝ e±iνϕ ν > 0
1
Z
d2Z
dz2
= k2 ⇒ Z ∝ e±kz
se escoge −ν2 en ϕ para obtener soluciones armo´nicas en la parte angular que son las u´nicas que garantizan la
continuidad en el potencial. La escogencia −k2 tambie´n es posible para Z.
Para la parte radial se obtiene despue´s del cambio de variable x = kρ la ecuacio´n de Bessel
d2R
dx2
+
1
x
dR
dx
+
(
1− ν
2
x2
)
R = 0
las soluciones son series de potencias que dan como solucio´n las funciones de Bessel de orden ν, donde ν es cualquier
nu´mero positivo. Se puede demostrar que si ν no es entero entonces Jν y J−ν son linealmente independientes, pero
si ν es entero ellas son linealmente dependientes de modo que cuando ν es entero hay que completar la solucio´n con
una segunda solucio´n que s´ı sea linealmente independiente de Jν . Esta segunda solucio´n es la funcio´n de Bessel de
segunda clase o funcio´n de Neumann Nν (x) .
Las funciones de Bessel poseen relaciones de ortonormalidad y completez.
Dado que la parte Z posee dos tipos posibles de soluciones ello nos conduce a dos tipos de soluciones generales.
En el caso de Z = e±kz la solucio´n radial conduce a las funciones de Bessel en tanto que para el caso de Z = e±ikz
la parte radial conduce a la ecuacio´n de Bessel modificada
d2R
dx2
+
1
x
dR
dx
−
(
1 +
ν2
x2
)
R = 0
la cual se puede llevar a la forma de la ecuacio´n de Bessel haciendo x → ix, las soluciones van a ser en general
combinaciones lineales complejas de Jν , Nν que definen las funciones modificadas de Bessel Iν , Kν . Elegir cual de
las dos soluciones generales se debe tomar depende del problema. Ba´sicamente,si al tomar una solucio´n no podemos
satisfacer las condiciones de frontera entonces tomamos la otra.
69
70 CAPI´TULO 5. ECUACIO´N DE LAPLACE EN COORDENADAS CILI´NDRICAS, FUNCIONES DE BESSEL
Cap´ıtulo 6
Conductores electrosta´ticos
Figura 6.1:
Un conductor ideal es aque´l en el cual los portadores de carga que conducen, no interactu´an con los a´tomos o
mole´culas del material, excepto en cercan´ıas a la superficie (puesto que los portadores no son libres de abandonar
el material). En so´lidos la conduccio´n es usualmente de electrones con interaccio´n despreciable con la red cristalina,
en l´ıquidos los portadores son generalmente iones. Aunque no existen conductores ideales, existen materiales que se
comportan muy aproximadamente como tales. En ese sentido los portadores se pueden tratar en buena aproximacio´n
como un gas interactuante dentro de un contenedor, puesto que las cargas no son libres de abandonar el material1.
Existen conductores cargados que pueden formar configuraciones esta´ticas de carga, para lo cual es necesario que el
campo en el interior del conductor sea cero, puesto que de lo contrario las cargas libres se mover´ıan, abandonando la
configuracio´n esta´tica. Esta afirmacio´n esta´ respaldada por el hecho experimental de que un conductor en un campo
ele´ctrico externo y esta´tico, produce una redistribucio´n de sus cargas que apantalla completamente al campo en el
interior del conductor. El campo inducido que anula al externo es producido por la polarizacio´n de las cargas como
se aprecia en la figura (6.1). En dicha figura solo se muestran las l´ıneas de campo externo las cuales al superponerse
con las l´ıneas del campo inducido producen un apantallamiento total del campo en el interior del conductor. Es
importante enfatizar que el campo es cero solo en el interior del conductor.
Por otra parte, la ley de Gauss aplicada al interior del conductor nos dice que ∇ · E (r) = 4πKcρ = 0, puesto
que E (r) = 0. Esta ecuacio´n tomada matema´ticamente, nos dice que no podr´ıa haber ninguna carga en el punto
matema´tico en donde se evalu´a la divergencia. Sin embargo, una visio´n ma´s F´ısica es que las ecuaciones de Maxwell
1La interaccio´n solo es significativa entre portadores, y es despreciable su interaccio´n con el resto del material, excepto en las vecindades
de la superficie.
71
72 CAPI´TULO 6. CONDUCTORES ELECTROSTA´TICOS
locales solo son va´lidas para volu´menes suficientemente pequen˜os para considerar el feno´meno como local, pero
suficientemente grandes para contener una gran cantidad de a´tomos. Por tanto, el significado real es que en promedio
hay tanta carga positiva como negativa, en una vecindad alrededor del punto.
Lo anterior trae como consecuencia que cualquier carga neta se distribuye en la superficie. Adicionalmente, el
hecho de que el campo sea nulo en el interior implica que el conductor sea equipotencial en su interior. Es fa´cil ver que
adema´s, su superficie debe estar al mismo potencial que el interior, ya que de no ser as´ı tambie´n habr´ıa flujo desde
el interior hacia la superficie o viceversa, lo cual es incompatible con la condicio´n esta´tica. Teniendo en cuenta que
el campo ele´ctrico en el exterior del conductor no es necesariamente nulo, se llega a que en las vecindades exteriores
de la superficie las l´ıneas de campo son perpendiculares a la superficie del conductor. Para ver esto, podemos apelar
nuevamente a la condicio´n esta´tica, ya que si hubiera componente tangencial se provocar´ıa movimiento de las cargas
superficiales. Un argumento matema´tico alternativo consiste en recordar que E = −∇φ, y que el gradiente de una
funcio´n escalar, es perpendicular en r0 a la superficie definida por la ecuacio´n φ = φ (r0) = cte, es decir perpendicular
a la superficie equipotencial que pasa por el punto.
Dado que los portadores de carga son esencialmente libres de moverse en el material, ellos buscan su configuracio´n
de mı´nima energ´ıa, se puede ver con algunos ejemplos concretos (e.g. una esfera uniformemente cargada en su volumen
o en su superficie), que la distribucio´n superficial hace que la energ´ıa interna del sistema de portadores sea menor
que cuando se distribuye en el volumen2, lo cual es otra manera de ver porque´ los portadores que producen carga
neta libre se acumulan en la superficie. Es importante an˜adir que aunque hemos llegado por argumentos simples a
que la distribucio´n de carga neta en el conductor debe ser superficial, no hay una forma simple de saber como es la
forma funcional de dicha distribucio´n.
Lo anterior nos proporciona otra manera de ver el efecto de carga inducida del conductor en presencia de un campo
externo. Inicialmente, el conductor esta´ en su estado de mı´nima energ´ıa (en ausencia del campo), la introduccio´n del
campo hace que la “curva” de energ´ıa potencial se modifique dejando al sistema fuera de la configuracio´n de mı´nimo
local. Por tanto el sistema se redistribuye para volver al mı´nimo de energ´ıa. Por supuesto, tambie´n se puede ver como
un problema de equilibrio de fuerzas, teniendo presente que adema´s de la interaccio´n ele´ctrica entre los portadores,
tambie´n existen fuerzas de enlace con los a´tomos y mole´culas que impiden a las cargas escapar del material. En un
conductor ideal estas u´ltimas ser´ıan fuerzas estrictamente superficiales.
Finalmente, vale la pena llamar la atencio´n en el hecho de que la minimizacio´n de la energ´ıa interna con distribucio´n
en la superficie es un efecto en solo tres dimensiones. Por ejemplo, en un disco bidimensional conductor, la carga no
se acumula solo en los bordes, y en una aguja conductora, la carga no se va toda hacia las puntas.
Es importante enfatizar que aunque el conductor sea neutro como sucede en la mayor´ıa de los casos, pueden
existir acumulaciones de carga locales por efecto de campos externos, la carga neta sigue siendo cero pero se produce
igualmente el campo inducido que anula el campo total en el interior. Por ejemplo, si se acerca una carga puntual
positiva a un conductor, las cargas negativas migran tratando de acercarse a la carga puntual, en tanto que las
cargas positivas se alejan ubica´ndose en el otro extremo3. Esto produce un campo inducido como ya se comento´
anteriormente, debido a la existencia del campo externo generado por la carga, pero adicionalmente se produce
un efecto neto de atraccio´n entre la carga y el conductor, puesto que las cargas negativas que producen atraccio´n
esta´n mas cercanas y por tanto producen una fuerza (atractiva) de mayor intensidad que las fuerzas (repulsivas) que
producen las cargas positivas.
6.1. Cavidades en conductores
Si dentro del conductor hay una cavidad, este espacio no forma parte del interior del conductor. No obstante, en lo
que sigue de la discusio´n, cuando hablemos del exterior del conductor nos referiremos a los puntos que no pertenecen
ni al conductor ni a la cavidad (a pesar de que los puntos de la cavidad tambie´n son parte del exterior del conductor,
para estos puntos usaremos el te´rmino “interior de la cavidad”).
Si colocamos una cantidad neta de carga qcav, en el interior de la cavidad, se puede demostrar que en la superficie
de dicha cavidad se induce una carga de igual magnitud y signo opuesto. Para ello se puede usar una superficie
gaussiana que contenga a la cavidad, pero que este´ contenida en el volumen del conductor, de tal manera que todo
2Este es un mı´nimo sujeto a ligaduras, ya que los portadores esta´n impedidos para salir del material. De no ser as´ı la configuracio´n de
mı´nima energ´ıa (para portadores del mismo signo), ser´ıa que todos se alejaran indefinidamente unos de otros.
3Hay que recordar que las cargas positivas no son mo´viles. Pero los huecos dejados por las cargas negativas actu´an de manera efectiva
como si se moviera la carga positiva.
6.1. CAVIDADES EN CONDUCTORES 73
punto de dicha superficie este´ en el interiordel conductor, donde el campo es cero. Obviamente el flujo de campo
sobre esta superficie es cero de modo que la ley de Gauss nos dice que no hay carga neta contenida en la superficie,
y como en el interior del conductor no hay carga, toda la carga se encuentra en el interior de la cavidad o en su
superficie (carga inducida), as´ı que QTotal = q
ind
cav + qcav = 0, de modo que q
ind
cav = −qcav como se quer´ıa demostrar.
Esto implica que para el exterior de la cavidad, la contribucio´n del campo generado por qcav se ve´ apantallado por
el campo generado por la carga qindcav distribu´ıda en la superficie de la cavidad. Aunque no es fa´cil visualizar la razo´n
por argumentos f´ısicos simples, es un hecho que este apantallamiento es total, de tal manera que la superposicio´n de
estos dos campos es cero en el exterior de la cavidad (tanto en el interior como en el exterior del conductor). Por
otro lado, en el interior de la cavidad, la superposicio´n de estos dos campos es en general diferente de cero.
Imaginemos ahora que tenemos un conductor neutro con una cavidad y que adema´s hay distribuciones de carga
qcav, qext en el interior de la cavidad, y en el exterior del conductor respectivamente. Como ya vimos, en el exterior
de la cavidad (y en particular en el interior del conductor) los campos generados por las cargas qcav y q
ind
cav =
−qcav que se encuentran en el volumen y la superficie de la cavidad respectivamente, se anulan. De esto sale como
consecuencia que para que el campo en el interior del conductor sea cero, es necesario que el campo generado
por la distribucio´n exterior de carga qext este´ completamente apantallado por la carga inducida en la superficie
exterior del conductor (qindext = qcav ya que el conductor es neutro). En s´ıntesis, tenemos cuatro distribuciones de
carga (qcav, q
ind
cav , qext, q
ind
ext )=(q
(a)
cav,−q(b)cav, qext, q(c)cav)4, las cuales en el interior del conductor, anulan sus contribuciones
por pares. Mas au´n, en el interior de la cavidad se anula la contribucio´n debida a qext, q
ind
ext de manera que el campo
resultante se debe solo a las cargas en el volumen y superficie de la cavidad. Similarmente, en el exterior del conductor
no hay contribucio´n del par qcav, q
ind
cav , y el campo resultante es debido solo a la pareja qext, q
ind
ext . En consecuencia, el
conductor aisla completamente a las dos parejas de distribuciones5. No hay l´ıneas de campo generadas en la cavidad y
su superficie que crucen el conductor ni que lleguen al exterior. De la misma forma no hay l´ıneas de campo generadas
en el exterior o la superficie exterior del conductor, que crucen el interior del conductor ni que lleguen al interior de
la cavidad. El conductor esta´ actuando como escudo electrosta´tico en ambas direcciones. Mas au´n, se pueden fabricar
escudos electrosta´ticos muy efectivos incluso si el conductor no es cerrado sino que posee pequen˜os huecos (jaulas de
Faraday), el campo es muy atenuado en el interior excepto en las regiones cercanas a los agujeros. Esto solo es va´lido
para campos exteriores independientes del tiempo o que var´ıan lentamente en el tiempo (ma´s adelante veremos que
tambie´n hay efectos de apantallamiento de campos dependientes del tiempo en el interior de los conductores).
De lo anterior es fa´cil ver que si la cavidad esta´ libre de carga, el campo ele´ctrico en su interior es
cero. La manera mas sencilla de verlo, es tomando qcav → 0+, en tal caso qindcav → 0−, y la contribucio´n de este par
al campo en el interior de la cavidad tiende a cero, y como ya vimos, las otras dos fuentes de campo no contribuyen
en el interior de la cavidad y obtenemos lo que se quer´ıa demostrar. Hay un argumento alternativo con base en el
teorema de unicidad para la ecuacio´n de Laplace: en el interior de la cavidad (en ausencia de carga), se satisface la
ecuacio´n de Laplace con potencial constante en la frontera (ya que la superficie de la cavidad es parte de la superficie
del conductor). Adicionalmente, es claro que φ = cte =potencial en la frontera, satisface la ecuacio´n de Laplace y
cumple con las condiciones de frontera, de modo que es la u´nica solucio´n, con lo cual el potencial es constante en el
interior de la cavidad. Por tanto, el campo es cero en esta regio´n.
Adema´s, si la cavidad esta´ libre de carga, no se induce densidad superficial de carga en ningu´n punto
de la superficie de la cavidad6. Este es un hecho interesante ya que en tal caso, au´n con cargas en el exterior del
conductor, la carga inducida en e´ste no se distribuye sobre toda la superficie del conductor, puesto que la superficie
que da a la cavidad tambie´n hace parte de la superficie del conductor. La manera ma´s clara de verlo es observando
que la presencia de carga superficial en la superficie de la cavidad, conduce a una discontinuidad en la componente
normal del campo ele´ctrico tal como se discutio´ en la seccio´n 1.11. Tal discontinuidad esta´ dada por la Ec. (1.38)
Pa´g. 25
(E1 −E2) · n1 = 4πKcσ
siendo n1 un vector normal hacia afuera de la cavidad y siendo E1 y E2 los campos ele´ctricos en la vecindad de la
4Los supra´ındices (a) , (b) , (c) indican que aunque las cargas netas pueden ser iguales, su distribucio´n es en general, totalmente distinta.
5Por ejemplo, si la pareja de distribuciones qcav, q
ind
cav produjera contribucio´n al campo en el exterior del conductor, significa que las
l´ıneas de campo que salen de estas distribuciones desaparecen en el interior del conductor para reaparecer en el exterior de e´ste. Como
estas l´ıneas de campo tienen como fuente a este par de distribuciones, no es posible que comiencen (o recomiencen) en la superficie exterior
del conductor. Un argumento similar muestra que el par de distribuciones qext y q
ind
ext no pueden contribuir al campo en el interior de la
cavidad.
6Por supuesto esta afirmacio´n solo es va´lida estad´ısticamente. Es decir, para un elemento de superficie lo suficientemente grande para
contener muchos elementos fundamentales de carga, pero muy pequen˜o con respecto al nivel macrosco´pico.
74 CAPI´TULO 6. CONDUCTORES ELECTROSTA´TICOS
superficie interior al conductor e interior a la cavidad respectivamente, pero E1 = E2 = 0 de modo que σ = 0.
Un argumento alternativo nos conduce a que en ausencia de carga en el interior de la cavidad, no hay densidad
superficial de carga sobre la superficie de la cavidad, ni hay campo ele´ctrico en el interior de e´sta. Para verlo tendremos
en cuenta que las l´ıneas de campo generadas en las eventuales cargas presentes en la superficie de la cavidad, deben
comenzar y terminar en la superficie de la cavidad (ya que ninguna l´ınea de campo le llega del exterior y por otro
lado, no hay cargas en el interior de la cavidad en donde pueda terminar una de estas l´ıneas), cruzando solo el interior
de la cavidad ya que no hay contribucio´n de estas cargas al campo en el interior del conductor. Esto no es posible si
todas las cargas en la superficie fueran del mismo signo, es necesario que una l´ınea comience en una carga positiva en
la superficie y termine en una negativa tambie´n en la superficie. Podemos completar un lazo cerrado con esta l´ınea
continua´ndola de tal manera que el resto del lazo yace en el interior del conductor, este complemento no produce
contribucio´n a la integral de l´ınea cerrada del campo ya que E = 0 en los puntos interiores al conductor, esto conduce
a que solo la l´ınea que pasa por el interior de la cavidad contribuye a la integral cerrada, y dicha contribucio´n es
positiva (si tomamos el sentido que va de la carga positiva a la negativa), ya que el campo se origina en una carga
positiva y otra negativa, esto nos conduce a que este es un campo electrosta´tico no conservativo a menos que no
exista carga neta en ningu´n punto de la superficie, y el campo sea cero en el interior de la cavidad.
Una aclaracio´n final: de loanterior se sigue que para un conductor neutro, la carga neta inducida sobre la superficie
exterior, es igual en magnitud y signo a la carga neta que esta´ en el interior de la cavidad (digamos positiva). Esto
no significa que se distribuya carga positiva a lo largo de toda la superficie exterior del conductor. Es posible por
ejemplo, que la carga exterior genere una polarizacio´n de tal forma que se distribuye carga positiva y negativa en
extremos opuestos de la superficie conductora, lo importante es que la carga positiva polarizada es mayor que la
negativa polarizada, en una cantidad igual a la magnitud de la carga en el interior de la cavidad.
Example 8 Supongamos una esfera conductora neutra con una cavidad cuya posicio´n y forma es arbitraria, coloque-
mos una carga puntual q en el interior de la cavidad, y evaluemos el campo ele´ctrico resultante en el exterior del con-
ductor. En este caso, las cuatro distribuciones mencionadas arriba vienen dadas por (qcav, q
ind
cav , qext, q
ind
ext )=(q
(a),−q(b), 0, q(c)
En el interior del conductor las dos primeras se anulan, y como la tercera es nula, es necesario que la distribucio´n
qindext produzca contribucio´n nula al campo en el interior del conductor. Por tanto, la carga q
ind
ext = q debe estar uni-
formemente distribu´ıda en la superficie de la esfera. El campo resultante en el exterior es entonces el debido a esta
u´ltima carga uniformemente distribu´ıda, puesto que las dos primeras se anulan entre s´ı. Tenemos por tanto que el
campo es
E = Kc
q
r2
ur
este campo es central sin importar la forma de la cavidad ni la posicio´n de la cavidad o la carga. Lo u´nico que importa
es el valor de la carga encerrada en la cavidad.
6.2. Sistemas de conductores como dispositivos de almacenamiento: Capaci-
tores
Imaginemos un conductor esfe´rico aislado de radio a, que esta´ a potencial ϕ0 y que posee una carga Q (definimos
el cero de potencial en el infinito). Para un conductor esfe´rico sabemos que ϕ0 = Q/a podemos definir entonces la
capacitancia de la esfera como el cociente
C ≡ Q
ϕ0
= a
notamos que este cociente es un factor geome´trico, es decir no depende de las cargas ni los potenciales sobre el
conductor, u´nicamente de su forma y taman˜o. El lector puede comprobar que para un disco delgado de radio a la
carga almacenada y la capacitancia cuando e´ste esta´ a un potencial ϕ0 vienen dados por
Q =
2aϕ0
π
; C =
2a
π
nuevamente un factor geome´trico. Consideremos ahora un sistema que consiste de dos conductores electrosta´ticos
originalmente neutros. La idea es transferir carga positiva desde uno de los conductores hacia el otro7, de modo que
7En so´lidos lo que usualmente se transmite es carga negativa, ya que los electrones son mucho ma´s mo´viles que los nu´cleos. Sin embargo,
carga negativa fluyendo en una direccio´n es equivalente a carga positiva fluyendo en la direccio´n contraria. En flu´ıdos y plasmas es ma´s
palusible el transporte directo de carga positiva.
6.3. SISTEMAS CON N CONDUCTORES: COEFICIENTES DE CAPACITANCIA 75
ambos queden con cargas finales Q y −Q. El procedimiento de transferencia debe ser cuasi esta´tico con el fin de
garantizar que no hay pe´rdidas por radiacio´n. Extrapolando la definicio´n anterior de capacitancia es natural definir
la capacitancia como el cociente entre la carga Q y la diferencia de potencial V entre los conductores
C ≡ Q
V
(6.1)
un caso muy simple lo constituye el sistema de un par de placas paralelas. El lector puede comprobar que para dicho
sistema el valor de la carga y capacitancia (despreciando efectos de borde) vienen dadas por:
Q = A
V
4πs
; C =
Q
V
=
A
4πs
siendo A el a´rea de cada placa, s la distancia entre placas y V la diferencia de potencial entre ellas. Nuevamente la
cantidad denominada capacitancia resulta ser un factor exclusivamente geome´trico. De la ecuacio´n (6.1) se puede ver
que la capacitancia como su nombre lo indica nos indica la capacidad que el condensador (sistemas de conductores)
posee para almacenar carga para un valor fijo del voltaje. Si tenemos dos condensadores cada uno constitu´ıdo por
dos conductores y ambos los conectamos a fuentes del mismo voltaje, el de mayor capacitancia almacenara´ la mayor
cantidad de carga (en valor absoluto) en cada armadura (cada conductor). Veremos ma´s adelante que la capacitancia
tambie´n interviene en las expresiones para la energ´ıa interna del condensador.
El siguiente paso natural es tratar de extrapolar el concepto cuando hay en juego N conductores. Veremos que el
concepto de capacitancia resulta de mucha utilidad en la caracterizacio´n de sistemas de N conductores electrosta´ticos.
Utilizaremos en este cap´ıtulo las expresiones en el sistema de unidades internacionales en el cual
ε0 =
1
4πKc
6.3. Sistemas con N conductores: Coeficientes de capacitancia
Si
SN+1
F= j
1
F= j
i
F= j
N
F= j
N+1
ni
nN+1
F= j
i
Figura 6.2: Sistema de N conductores internos con un conductor N + 1 que los encierra. Las normales ni con
i = 1, . . . , N + 1 apuntan hacia el exterior de los conductores y hacia el interior del volumen VST . Las superficies Si
con i = 1, .., N son un poco mayores a las de los correspondientes conductores. En contraste, la superficie SN+1 es
ligeramente menor a la superficie de la cavidad que encierra a los N conductores internos.
Consideremos un sistema de N conductores donde el potencial en cada conductor es ϕi, i = 1, 2, ..., N y un
conductor externo que posee una cavidad en la cual esta´n contenidos los N conductores anteriores. La superficie
de la cavidad que contiene a los conductores la denotamos por SN+1 y esta´ a potencial ϕN+1, ver Fig. 6.2. Hay
dos razones importantes para introducir el conductor externo que encierra a los otros: la primera es que muchos
sistemas de capacitores contienen un conductor que encierra a los dema´s, la segunda es que la condicio´n de frontera
sobre la superficie SN+1 nos garantizara´ la unicidad de las soluciones que nos interesan como veremos ma´s adelante.
Finalmente, veremos que el caso en el cual no hay conductor externo rodeando al sistema se puede obtener utilizando
el l´ımite apropiado.
76 CAPI´TULO 6. CONDUCTORES ELECTROSTA´TICOS
La densidad de carga en la superficie de un conductor esta´ dada por (1.40), de modo que la carga total en cada
conductor se escribe como
Qi =
∮
Si
σi dS = −ε0
∮
Si
∇φ · ni dS , i = 1, . . . , N,N + 1 (6.2)
donde Si para i = 1, . . . , N es la superficie exterior que encierra al conductor i y que esta´ arbitrariamente cercana y
localmente paralela a la superficie real del conductor (ver Fig. 6.2)8, ni es un vector normal a Si que apunta hacia el
exterior del i−e´simo conductor. SN+1 es una superficie ligeramente menor y localmente paralela a la superficie de la
cavidad, nN+1 es un vector normal a SN+1 que apunta hacia el exterior del conductor externo, o equivalentemente
hacia el interior de la cavidad. Definamos la superficie total ST como
ST = S1 + . . .+ SN + SN+1
y el volumen VST que encierra la superficie ST es aque´l delimitado por la superficie exterior SN+1 y las N superficies
interiores Si. Claramente, el potencial φ en VST debe satisfacer la ecuacio´n de Laplace con las condiciones de frontera
φ (Si) = ϕi ; i = 1, . . . , N,N + 1 (6.3)
en virtud de la linealidad de la ecuacio´n de Laplace, la solucio´n para φ se puede parametrizar como
φ =
N+1∑
j=1
ϕjfj (6.4)
donde fj son funciones que cumplen la ecuacio´n de Laplace en el volumen VST , y que deben cumplir con las siguientes
condiciones de frontera
∇2fj = 0 ; fj(Si) = δij , i, j = 1, . . . , N,N + 1 (6.5)
Aplicando el operador ∇2 a ambos lados de la Ec. (6.4) y teniendo en cuenta (6.5) vemos que φ obedece la ecuacio´n
de Laplace. Por otro lado evaluando φ en cada superficie Si en la Ec. (6.4) y usando (6.5) vemos que φ cumple conlas condiciones de frontera (6.5). Por tanto, las soluciones para fj nos aseguran que φ es solucio´n de la ecuacio´n de
Laplace con las condiciones de frontera (6.5). Adicionalmente, los teoremas de unicidad nos aseguran que la solucio´n
para cada fj es u´nica (as´ı como la solucio´n para φ). Ma´s au´n, las condiciones de frontera (6.5) nos indican claramente
que los factores fj dependen exclusivamente de la geometr´ıa. Esto se ve´ teniendo en cuenta que las condiciones
de frontera (6.5) son independientes de las cargas y potenciales que tenga cada conductor. De hecho, las funciones
auxiliares fj son adimensionales.
Reemplazando la Ec. (6.4) en (6.2) resulta
Qi = −ε0
∮
Si
∇φ · ni dS = −ε0
∮
Si
∇
N+1∑
j=1
ϕjfj
 · ni dS = −ε0 N+1∑
j=1
ϕj
∮
Si
∇fj · ni dS , i = 1, . . . , N,N + 1
que se puede reescribir en la forma
Qi =
N+1∑
j=1
Cijϕj ; Cij ≡ −ε0
∮
Si
∇fj · nidS (6.6)
de lo cual se ve´ claramente que los Cij son factores exclusivamente geome´tricos, ya que las funciones auxiliares
fj son puramente geome´tricas as´ı como la superficie y los vectores normales a la superficie. No hay alucio´n alguna
a cargas ni potenciales en el ca´lculo de Cij. Los coeficientes Cij se pueden organizar en forma de una matriz de
capacitancia la cual consiste en una generalizacio´n del concepto de capacitancia planteado en la seccio´n 6.2. Podemos
8QN+1 no es necesariamente la carga total sobre el conductor externo, sino la carga acumulada sobre la superficie de la cavidad que
encierra a los otros conductores. El valor de la carga se calcula con la integral de superficie (6.2), la cual para el caso de los conductores
internos comprende toda su superficie, pero para el conductor externo es solo la superficie de la cavidad que encierra a los otros conductores.
6.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE LA MATRIZ DE CAPACITANCIA 77
demostrar que la matriz Cij es sime´trica por medio de argumentos puramente geome´tricos. Partiendo de la definicio´n
de Cij en la Ec. (6.6) se tiene
Cij = −ε0
∮
Si
∇fj · nidS = ε0
∮
ST
fi∇fj · (−ni) dS
donde hemos usado el hecho de que fi = 1 en la superficie Si en tanto que fi = 0 en las otras superficies. Puesto que
−ni es un vector que va hacia afuera del volumen VST , podemos aplicar el teorema de Gauss sobre la superficie ST
y el volumen VST contenido en ella y encontramos que
Cij = ε0
∫
VST
∇ · (fi∇fj) dV = ε0
∫
VST
[∇fi · ∇fj + fi∇2fj] dV
y dado que ∇2fj = 0 en VST se sigue que
Cij = ε0
∫
VST
∇fi · ∇fj dV (6.7)
la cual es claramente sime´trica9, i.e.
Cji = Cij (6.8)
una demostracio´n alternativa usando argumentos de energ´ıa se describe en la seccio´n 6.8. No´tese que la expresio´n (6.7)
tambie´n constituye un me´todo alternativo para calcular la matriz de capacitancia utilizando las funciones auxiliares
fi.
Es posible que uno o ma´s de los conductores internos tenga una cavidad vac´ıa. De acuerdo con la discusio´n
hecha en la seccio´n 6.1, no hay densidad de carga superficial inducida sobre la superficie de esta cavidad (la cual
denotaremos por Sic). En consecuencia, aunque Sic es parte de la superficie del conductor, dicha superficie se puede
excluir de la integracio´n en la Ec. (6.2). Por otro lado, se puede ver por argumentos de unicidad que fj = δij en el
volumen de la cavidad Vic con lo cual ∇fj = 0 en dicho volumen, y por tanto Vic puede ser exclu´ıdo de la integral de
volumen (6.7). En s´ıntesis ni Sic ni Vic contribuyen en este caso.
Esta situacio´n es diferente si hay otro conductor en la cavidad. En este caso la superficie de la cavidad contribuye
en la Ec. (6.2). Similarmente, el volumen comprendido entre la cavidad y el conductor dentro de ella contribuye en
la integral (6.7). Estos argumentos se pueden extender para el caso de embebimientos sucesivos de conductores en
cavidades como muestra la Fig. 6.3 o para conductores con varias cavidades.
6.4. Propiedades adicionales de la matriz de capacitancia
Definamos una funcio´n F en la forma
F ≡
N+1∑
j=1
fj (6.9)
de la ecuacio´n (6.5) vemos que
∇2F = 0, F (Si) = 1 (i = 1, . . . , N + 1). (6.10)
y dado que F = 1 a lo largo de toda la superficie ST , vemos por unicidad que F = 1 en todo el volumen VST de
modo que se obtiene la identidad
N+1∑
i=1
fi = 1 (6.11)
9La Ec. (6.7) es una integral de volumen para los factores Cij . Podr´ıamos estar tentandos a usar el teorema de Gauss para obtener una
integral de volumen directamente de la Ec. (6.6). Sin embargo, fj no esta definido en la regio´n interior a los conductores. El gradiente de
fj en la Ec. (6.6) se evalu´a en una vecindad exterior de la superficie conductora.
78 CAPI´TULO 6. CONDUCTORES ELECTROSTA´TICOS
j
1
j
3
j
2
n
2
A
Figura 6.3: Ejemplo de un sistema en el cual hay embebimiento sucesivo de conductores. El volumen VST corresponde
a la regio´n en blanco. Las regiones correspondientes a cavidades vac´ıas (y sus superficies y volu´menes asociados)
pueden ser exclu´ıdos sin afectar los ca´lculos. En esta figura la cavidad A esta´ vac´ıa, de modo que su superficie y
volumen no necesitan ser considerados en los ca´lculos.
adicionalmente si sumamos sobre j en la segunda de las ecuaciones (6.6) y teniendo en cuenta la Ec. (6.11), encon-
tramos
N+1∑
j=1
Cij = 0 (6.12)
La simetr´ıa de los Cij conduce tambie´n a la identidad
N+1∑
i=1
Cij = 0 (6.13)
Las ecuaciones (6.12) y (6.13) implican que la suma de los elementos sobre cualquier fila o columna de la matriz es
nula. En el ape´ndice B.1 se obtienen algunas pruebas de consistencia para estas importantes propiedades. Teniendo
en cuenta la simetr´ıa de la matriz de los Cij con dimensiones (N + 1)× (N + 1) as´ı como las N + 1 ligaduras dadas
por la Ec. (6.13), vemos que para un sistema de N conductores rodeados por un conductor externo N +1, el nu´mero
de coeficientes de capacitancia independientes viene dado por
NI = (N + 1)
2 −
[
N (N + 1)
2
]
− (N + 1) = N (N + 1)
2
. (6.14)
Otras propiedades importantes son las siguientes
Cii ≥ 0 ; Cij ≤ 0, i 6= j (6.15)
La primera de las Ecs. 6.15 se sigue directamente de la Ec. (6.7). Para demostrar la segunda, recordemos que las
soluciones de la ecuacio´n de Laplace no pueden tener mı´nimos o ma´ximos locales en el volumen en donde la ecuacio´n
6.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE LA MATRIZ DE CAPACITANCIA 79
Si
fi= 0Ñ
f i
Sj
ni
Si
Ñ
f j
Sj
ni
(a) (b)
C ii C ij
fi= 1
fj= 0
fj= 1
Figura 6.4: Comportamiento del factor ∇fi en la superficie de cada conductor.
es va´lida (ver seccio´n 3.1). Por lo tanto las funciones fj deben yacer en el intervalo
10
0 ≤ fj ≤ 1. (6.16)
y puesto que fj = 0 sobre las superficies Si con i 6= j, vemos que fj adquiere su valor mı´nimo sobre tales superficies.
En consecuencia, la funcio´n ∇fj debe apuntar hacia afuera con respecto al conductor i para i 6= j. de modo que
ni · ∇fj ≥ 0 ; para i 6= j. (6.17)
sustituyendo la Ec. (6.17) en la Ec. (6.6) se obtiene que Cij ≤ 0 para i 6= j. Una demostracio´n adicional de la
propiedad Cii ≥ 0 se puede obtener teniendo en cuenta que fi adquiere su valor ma´ximo sobre la superficie Si con lo
que se obtiene
ni · ∇fi ≤ 0 (6.18)
Por otra parte, las superficies Si son superficies de nivel de las funciones auxilares fj, de modo que ∇fj es
ortogonal a cada superficie Si. Por tanto, ni es colineal con ∇fj, combinando este hecho con las ecuaciones (6.17,
6.18) se obtiene
ni · ∇fj = ‖∇fj‖ para i 6= j ; ni · ∇fi = −‖∇fi‖
ni · ∇fj = (1− 2δij) ‖∇fj‖ (6.19)
La Fig. 6.4, muestra el comportamiento de estos gradientes en las vecindades de las superficies conductoras.
Por otro lado, la Ecuacio´n (6.13) la podemos reescribir como
N∑
j=1
Cij = −CN+1,j (6.20)
Y a partir de la Ec. (6.15) tenemos que CN+1,j ≤ 0 para j = 1, . . . , N y CN+1,N+1 ≥ 0. Por tanto
N∑
i=1
Cij ≥ 0 (j = 1, . . . , N)(6.21a)
N∑
i=1
Ci,N+1 ≤ 0. (6.21b)
10Si fj tomara valores menores que cero dentro del volumen VST , ver´ıamos que la funcio´n tuvo que “comenzar” en el valor fj = 1 en
los puntos sobre la superficie Sj y bajar hasta valores negativos de fj para luego volver a subir y llegar al valor cero en cada superficie Si
con i 6= j. Pero esto implicar´ıa la existencia de al menos un mı´nimo local. Similarmente, si fj tomara valores mayores que uno, implicar´ıa
la existencia de al menos un ma´ximo local.
80 CAPI´TULO 6. CONDUCTORES ELECTROSTA´TICOS
Las siguientes propiedades se siguen de las Ecs. (6.8), (6.13), (6.15), (6.21a) y (6.21b)
|Cii| ≥
N∑
i 6=j
|Cij | (6.22a)
|Cii| ≥ |Cij |, (6.22b)
CiiCjj ≥ C2ij (6.22c)
|CN+1,N+1| =
N∑
i=1
|Ci,N+1| (6.22d)
|CN+1,N+1| ≥ |Ci,N+1|, (6.22e)
donde i, j = 1, . . . , N .
Un caso particularmente interesante surge cuando el conductor externo esta´ a potencial cero. En tal caso, aunque
los elementos de la forma CN+1,j no son necesariamente nulos, no aparecen en las contribuciones a la carga de
los conductores internos como se puede ver de la ecuacio´n (6.6) haciendo ϕN+1 = 0. Por esta razo´n, la matriz
de capacitancia usada para describir N conductores libres (es decir sin un conductor externo que los rodee) tiene
dimensiones N ×N , ya que por unicidad, la solucio´n para este problema es equivalente a la solucio´n del sistema de
N conductores rodeados por un conductor externo conectado a tierra y cuyas dimensiones tienden a infinito.
6.5. El caso de dos conductores
Analicemos el caso de un solo conductor interno y el conductor externo i.e. N = 1. En todos los casos el conductor
1 es el conductor interno. Tendremos una matriz de capacitancia 2×2 dada por
C ≡
(
C11 C12
C21 C22
)
De (6.13) y (6.8) la matriz es sime´trica y la suma de filas y columnas debe ser cero
C11 + C12 = C21 + C22 = 0 ; C11 + C21 = C12 + C22 = 0 ; C12 = C21
estas ligaduras conducen a que hay un solo grado de libertad, digamos C11 (en consistencia con la Ec. 6.14 con
N = 1).
C11 = C22 = −C21 = −C12 (6.23)
Las cargas del conductor interno y externo se obtienen a partir de (6.6)
Q1 = C11ϕ1 + C12ϕ2 = C11ϕ1 − C11ϕ2 = C11 (ϕ1 − ϕ2) (6.24)
Q2 = C21ϕ1 + C22ϕ2 = −C11ϕ1 + C11ϕ2 = −C11 (ϕ1 − ϕ2) (6.25)
definiendo la diferencia de potencial con respecto al potencial ϕ2 de la cavidad que encierra al conductor interno,
escribimos V = ϕ2 − ϕ1 y la relacio´n (6.24, 6.25) se escribe como
Q1 = C11V , Q2 = −C11V = −Q1 ; V ≡ ϕ1 − ϕ2 (6.26)
Este u´ltimo resultado es consistente con la Ec. (B.2) y nos muestra que la carga inducida en la superficie de la cavidad
del conductor 2 es opuesta a la carga del conductor 1, propiedad ya discutida en la seccio´n 6.1.
No´tese que el anterior ana´lisis es independiente de la geometr´ıa espec´ıfica de los conductores y solo depende de
que uno de los conductores contenga al otro. Este ejemplo nos ilustra que para el caso de dos conductores solo un
elemento de capacitancia es necesario para caracterizar al sistema, en consistencia con la discusio´n en la seccio´n 6.2.
Por otro lado, para el ca´lculo expl´ıcito de C11 s´ı debemos especificar la geometr´ıa. De acuerdo con el me´todo aqu´ı
descrito, primero se deben calcular las funciones auxiliares fi solucionando las ecuaciones de Laplace correspondientes
6.5. EL CASO DE DOS CONDUCTORES 81
con las condiciones de frontera (6.5) definidas sobre la geometr´ıa. Posteriormente se insertan estas soluciones en la
Ec. (6.6) y se calculan las correspondientes integrales de superficie11. En este caso, en virtud de la ligadura (6.11)
tenemos que f1 = −f2 de modo que solo hay una funcio´n auxiliar independiente, digamos f1.
En la tabla 6.1 se describen tres ejemplos de aplicacio´n en los cuales se calcula de manera expl´ıcita la funcio´n
auxiliar f1 y el coeficiente C11. Describiremos el primer ejemplo en detalle
System f1 C11
Spherical shell with radius b
and concentric solid sphere
with radius a.
ab
b−a
(
1
r − 1b
)
4piε0ab
b−a
Cylindrical shell with radius
b and concentric solid cylin-
der with radius a, both with
length L.
ln(r/b)
ln(a/b)
2piε0L
ln(b/a)
Two parallel planes with area
A at x = 0 and x = d (con-
ductor 1).
x/d ε0
A
d
Cuadro 6.1: factores C11 y f1 para tres sistemas de dos conductores con a ≤ r ≤ b y 0 ≤ x ≤ d. Despreciamos efectos
de borde para los cilindros y planos.
6.5.1. Esferas conce´ntricas
Tomemos el caso de una esfera so´lida con radio a inmersa en la cavidad de un cascaro´n esfe´rico conce´ntrico de
radio b > a. S1 es la superficie de la esfera so´lida de a´rea total 4πa
2 y S2 la superficie del cascaro´n de a´rea 4πb
2. El
volumen VST es el comprendido entre el exterior de la esfera so´lida y el interior al cascaro´n. La funcio´n auxiliar f1
se encuentra resolviendo la ecuacio´n de Laplace con condiciones de frontera dadas por
∇2f1 = 0 ; f1 (S1) = 1 , f1 (S2) = 0 ⇔ f1 (r = a, θ, ϕ) = 1 , f1 (r = b, θ, ϕ) = 0
Esta ecuacio´n de Laplace se puede resolver en coordenadas esfe´ricas con los me´todos descritos en la seccio´n 4. Por el
momento, escribiremos la respuesta
f1 (r) =
ab
b− a
(
1
r
− 1
b
)
es inmediato ver que esta expresio´n cumple la ecuacio´n de Laplace ya que ∇2 (1/r) = 0 para r 6= 0 y el origen esta
exclu´ıdo de la regio´n VST en donde estamos resolviendo la ecuacio´n. El cumplimiento de las condiciones de frontera
tambie´n es inmediato
f1 (S1) = f1 (a) =
ab
b− a
(
1
a
− 1
b
)
=
ab
b− a
(
b− a
ab
)
= 1
f1 (S2) = f1 (b) =
ab
b− a
(
1
b
− 1
b
)
= 0
podemos ver adema´s que
∇f1 = ∇
[
ab
b− a
(
1
r
− 1
b
)]
=
ab
b− a∇
[
1
r
]
∇f1 = − ab
b− a
ur
r2
(6.27)
11Alternativamente puede usarse la integral de volumen (6.7).
82 CAPI´TULO 6. CONDUCTORES ELECTROSTA´TICOS
sustituyendo (6.27) en (6.6) calculamos el coeficiente C11
C11 = −ε0
∮
S1
∇f1 · n1dS = −ε0
∫
r=a
∇f1 · ur r2dΩ = ε0 ab
b− a
∫
r=a
ur
r2
∣∣∣
r=a
· ur a2dΩ = ε0 ab
b− a
∫
dΩ
C11 =
4πε0ab
b− a (6.28)
el ca´lculo tambie´n se puede realizar aplicando (6.27) en la integral de volumen (6.7)
C11 = ε0
∫
VST
(∇f1)2 dV = ε0
∫
VST
(
ab
b− a
ur
r2
)2
r2drdΩ = ε0
a2b2
(b− a)2
∫ r=b
r=a
1
r2
dr
∫
Ω
dΩ
= 4πε0
a2b2
(b− a)2
∫ b
a
dr
1
r2
= −4πε0a
2b2
(b− a)2
1
r
∣∣∣∣b
a
=
4πε0a
2b2
(b− a)2
(
1
a
− 1
b
)
=
4πε0a
2b2
(b− a)2
(
b− a
ab
)
C11 =
4πε0ab
(b− a) (6.29)
6.6. Esfera conductora so´lida y dos cascarones conductores esfe´ricos conce´ntri-
cos
Consideremos el caso de dos cascarones esfe´ricos conce´ntricos de radios b y c, y un conductor esfe´rico so´lido
(conce´ntrico con los anteriores) de radio a de tal forma que a < b < c. Los potenciales se denotan por ϕ1, ϕ2, y ϕ3
respectivamente. Propondremos un ansatz de solucio´n para fi en la forma
fi =
Ai
r
+Bi (6.30)
Puesto que ∇2 (1/r) = 0 para r 6= 0, es inmediato que estas funciones obedecen la ecuacio´n de Laplace. Debemos
ajustar las condiciones de frontera (6.5), con los para´metros libres en (6.30). Por ejemplo para f1 en el volumen
definido por el intervalo a ≤ r ≤ b tenemos las condiciones de frontera
f1 (r1) = f1 (a) = 1⇒ A1
a
+B1 = 1
f1 (r2) = f1 (b) = 0 ⇒ A1
b
+B1 = 0
cuya solucio´n es
A1 =
ab
(b− a) ; B1 =
a
(a− b)
por otra parte, para f1 en el volumen definido por el intervalo b ≤ r ≤ c tenemos las condiciones de frontera12
f1 (r2) = f1 (b) = 0 ; f1 (r3) = f1 (c) = 0
por lo tanto la u´nica solucio´n en este intervalo es f1 = 0. Podemos escribir entonces
f1 =
{
ab
b−a
(
1
r − 1b
)
, si a ≤ r ≤ b
0, si b ≤ r ≤ c (6.31)
podemos proceder de forma similar para f3
f3 =
{
0, si a ≤ r ≤ b
bc
c−b
(
1
b − 1r
)
, si b ≤ r ≤ c (6.32)
12Estamos asumiendo que los cascaronesson muy delgados de modo que el radio b de la cavidad del primer cascaro´n es pra´cticamente
igual al radio de su superficie externa. Similarmente para el segundo cascaro´n. Sin embargo, la separacio´n que generan los cascarones es
importante a la hora de imponer condiciones de frontera.
6.6. ESFERA CONDUCTORA SO´LIDA Y DOS CASCARONES CONDUCTORES ESFE´RICOS CONCE´NTRICOS83
aunque f2 se puede obtener con el mismo procedimiento, es ma´s ventajoso extraerlo con base en la propiedad (6.11)
y se obtiene
f2 =
{ ab
b−a
(
1
a − 1r
)
, si a ≤ r ≤ b
bc
c−b
(
1
r − 1c
)
, si b ≤ r ≤ c (6.33)
Los nueve coeficientes de capacitancia se pueden evaluar expl´ıcitamente a partir de (6.6). Sin embargo, es ma´s fa´cil
usar las propiedades (6.13) y (6.8), y tener en cuenta que
C31 = −ε0
∮
S3
∇f1 · n3dS = −ε0
∫
r=c
∇f1 · (−ur) c2dΩ
C31 = 0 (6.34)
donde hemos usado el hecho de que f1(r) = 0 para r = c. Combinando (6.34) con las Ecs. (6.13) y (6.8) se obtiene
C13 = 0, C11 + C12 + C13 = 0 ; C21 + C22 + C23 = 0 ; C31 + C32 + C33 = 0
C13 = 0, C11 + C12 = 0 ; C12 + C22 + C23 = 0 ; C23 + C33 = 0
C13 = 0, C12 = −C11 ; −C11 + C22 + C23 = 0 ; C33 = −C23
finalmente
C13 = 0, C12 = −C11, C22 = C11 −C23 y C33 = −C23 (6.35)
por lo tanto, solo es necesario calcular C11 y C23
13
Ca´lculo de las capacitancias independientes
Es ilustrativo el ca´lculo directo de C23. De la Ec. (6.6) escribimos
C23 = −ε0
∮
S2
∇f3 · n2 dS
debemos tener en cuenta sin embargo que la superficie S2 tiene dos caras y en cada una la normal apunta hacia el
exterior del cascaro´n conductor (ver Fig. 6.3, Pa´g. 78). Como S2 esta´ caracterizada por r = b, la cara interior la
denotaremos con r = b− (i.e. r tiende a b por la izquierda) y la cara exterior con r = b+.
C23 = −ε0
∮
S−2
∇f−3 · n−2 dS − ε0
∮
S+2
∇f+3 · n+2 dS = −ε0
∮
S−2
∇f−3 · (−ur) r2dΩ− ε0
∮
S+2
∇f+3 · ur r2dΩ
C23 = −ε0
∫ 2pi
0
∫ pi
0
∇f−3
∣∣
r=b−
· (−ur) b2 sin θ dθ dϕ− ε0
∫ 2pi
0
∫ pi
0
∇f+3
∣∣
r=b+
· ur b2 sin θ dθ dϕ
y teniendo en cuenta que f3 solo depende de r, tenemos
C23 = −ε0b2
∫ 2pi
0
∫ pi
0
∂f−3
∂r
∣∣∣∣
r=b−
ur · (−ur) sin θ dθ dϕ− ε0b2
∫ 2pi
0
∫ pi
0
∂f+3
∂r
∣∣∣∣
r=b+
ur · ur sin θ dθ dϕ
= ε0b
2 ∂f
−
3
∂r
∣∣∣∣
r=b−
∫ 2pi
0
∫ pi
0
sin θ dθ dϕ− ε0b2 ∂f
+
3
∂r
∣∣∣∣
r=b+
∫ 2pi
0
∫ pi
0
sin θ dθ dϕ
C23 = 4πε0b
2
{
∂f−3
∂r
∣∣∣∣
r=b−
− ∂f
+
3
∂r
∣∣∣∣
r=b+
}
De la Ec. (6.32) vemos que f−3 corresponde a la solucio´n en la regio´n a ≤ r ≤ b en tanto que f+3 corresponde a la
solucio´n en la regio´n b ≤ r ≤ c. No´tese que la funcio´n f3 (r) es cont´ınua en r = b pero no es derivable en tal punto.
Por esta razo´n la derivada es diferente en el l´ımite r → b− con respecto al l´ımite r → b+.
∂f−3
∂r
=
∂ (0)
∂r
= 0 ;
∂f+3
∂r
=
∂
∂r
[
bc
c− b
(
1
b
− 1
r
)]
=
bc
c− b
1
r2
13Si tenemos en cuenta que C13 es otro grado de libertad (aunque sea nulo), tenemos un total de tres grados de libertad, en concordancia
con la Ec. 6.14 para N = 2.
84 CAPI´TULO 6. CONDUCTORES ELECTROSTA´TICOS
con lo cual queda
C23 = −4πε0b2
{
∂f+3
∂r
∣∣∣∣
r=b+
}
= −4πε0b2
{
bc
c− b
1
b2
}
C23 = −4πε0bc
c− b
No´tese que solo la cara exterior de S2 contribuyo´ a la integral de superficie. Esta es una caracter´ıstica general del
ca´lculo de capacitancias cuando tenemos conductores sucesivamente embebidos, sin importar su geometr´ıa ni la
cantidad de conductores que se este´n embebiendo (ver ape´ndice C en la Ref. [11])14. Por otro lado, podr´ıa haberse
calculado C32 en cuyo caso se integra sobre la superficie S3 ≡ SN+1, para la cual solo se integra por una cara (la
cara interior que forma la cavidad que contiene a los dema´s conductores). El lector puede comprobar que se obtiene
el mismo resultado como era de esperarse.
Con un procedimiento similar se obtiene C11 (no´tese que S1 tambie´n tiene una sola cara). Los coeficientes de
capacitancia independientes de este sistema nos dan
C11 = 4πε0
ab
b− a , C23 = −4πε0
bc
c− b (6.36)
vemos que C23 < 0 y C11 > 0 como debe ser. Sustituyendo (6.36) en (6.35) se obtienen los otros coeficientes
C13 = 0, C12 = −4πε0 ab
b− a, C33 = 4πε0
bc
c− b , C22 = 4πε0b
(
a
b− a +
c
c− b
)
(6.37)
Cargas inducidas en los conductores
Combinando (6.6) con (6.35) la carga en cada uno de los conductores es
Q1 = C11ϕ1 +C12ϕ2 + C13ϕ3 = C11ϕ1 − C11ϕ2 = C11 (ϕ1 − ϕ2)
Q2 = C21ϕ1 +C22ϕ2 + C23ϕ3 = −C11ϕ1 + (C11 − C23)ϕ2 + C23ϕ3
Q2 = C11 (ϕ2 − ϕ1) + C23 (ϕ3 − ϕ2) = −Q1 + C23 (ϕ3 − ϕ2)
Q3 = C31ϕ1 +C32ϕ2 + C33ϕ3 = C23ϕ2 − C23ϕ3 = C23 (ϕ2 − ϕ3)
las cargas quedan en la forma
Q1 = C11 (ϕ1 − ϕ2)
Q2 = −Q1 + C23 (ϕ3 − ϕ2)
Q3 = C23 (ϕ2 − ϕ3) = −(Q1 +Q2) (6.38)
sustituyendo (6.36) en (6.38) las cargas quedan finalmente
Q1 = 4πε0
ab
b− a (ϕ1 − ϕ2) ; Q2 = −Q1 + 4πε0
bc
c− b (ϕ2 − ϕ3) ; Q3 = − (Q1 +Q2)
la u´ltima ecuacio´n es consistente con la ley de Gauss. En el caso en que ϕ2 = ϕ3, se llega a que Q1 = −Q2 y Q3 = 0.
Es decir, si los dos cascarones esta´n al mismo potencial, toda la carga inducida queda sobre el cascaro´n interno de
radio b.
Se puede demostrar que las ecuaciones (6.35) y (6.38) son va´lidas incluso si no tenemos conductores esfe´ricos ni
conce´ntricos, ya que estas ecuaciones provienen de la primera de las Ecs. (6.6) as´ı como de las Ecs. (6.8) y (6.13), las
cuales reflejan propiedades generales independientes de geometr´ıas espec´ıficas.
14Tambie´n se demuestra que para conductores en embebimiento sucesivo, Cij = 0 cuando |i− j| ≥ 2. Para nuestro ejemplo C13 = C31 =
0. Esto implica que para estas configuraciones, solo la diagonal principal y las subdiagonales inferior y superior a ella son diferentes de
cero.
6.7. DOS CONDUCTORES INTERNOS Y UN CONDUCTOR ENVOLVENTE CONECTADO A TIERRA 85
6.7. Dos conductores internos y un conductor envolvente conectado a tierra
Consideremos dos conductores internos y el conductor externo que los contiene conectado a tierra de modo
que ϕ3 = 0. Dado que N = 2, la Ec. (6.14) nos dice que solo tres de los coeficientes Cij son independientes.
Comencemos con los conductores internos inicialmente neutros i.e. Q1 = Q2 = 0. Si transferimos carga desde uno de
los conductores internos al otro se mantendra´ la condicio´n Q1 = −Q2. A partir de la Ec. (6.6) y definiendo el voltaje
entre los conductores internos V ≡ ϕ1 − ϕ2 encontramos
Q1 = C11ϕ1 + C12ϕ2 + C13ϕ3 = C11ϕ1 + C12ϕ2 = C11ϕ1 + C12ϕ1 − C12ϕ1 + C12ϕ2
Q1 = (C11 + C12)ϕ1 − C12 (ϕ1 − ϕ2)
y usando la Ec. (6.13), nos queda
Q1 = −C13ϕ1 − C12V (6.39)
Similarmente
Q2 = −C23ϕ1 − C22V (6.40)
sumando (6.39) y (6.40), y usando de nuevo la Ec. (6.13) encontramos
Q1 +Q2 = − (C13 + C23)ϕ1 − (C12 + C22)V (6.41)
Q1 +Q2 = C33ϕ1 + C32V (6.42)
y dado que el sistema es neutro i.e. Q1 +Q2 = 0 se obtiene que
ϕ1 = −C32
C33
V (6.43)
sustituyendo la Ec. (6.43) en la Ec. (6.39) encontramos
Q1 = −C13
(
−C23
C33
V
)
− C12V =
[
C13
C23
C33
− C12
]
V
Q1 = CV ; C ≡ C13C23 − C33C12
C33
(6.44)
para escribirlo en te´rminos de los 3 coeficientes independientes usamos C23 = − (C13 + C33)
C ≡ −C13 (C13 + C33)− C33C12
C33
=
−C213 − C33 (C13 + C12)
C33
=
−C213 + C33C11
C33
de modo que podemos escribir la cantidad C en te´rminos de tres de los coeficientes independientes
Q1 = CV ; C ≡ C33C11 − C
2
13
C33
(6.45)
Por tanto, para un sistema de dos conductores internos y un conductor envolvente, la carga almacenada en el
conductor 1 es directamente proporcional al voltaje V = ϕ1−ϕ2 siempre que se mantenga la condicio´n Q1 = −Q2 , y
el conductor externo permanezca conectado a tierra. La constante de proporcionalidad geome´trica es una combinacio´n
de los elementos de la matriz de capacitancia que la llamaremos la capacitanciaefectiva C. A partir de las Ecs.
(6.44) y (6.15) vemos que esta capacitancia efectiva es positiva. El procedimiento no es va´lido si C33 = 0, en tal caso
vemos que al usar las Ecs. (6.13), (6.8) y (6.15) se obtiene Ci3 = C3i = 0, y a partir de la Ec. (6.39) encontramos
C = −C12 = C22 = C11 que tambie´n es positiva.
Finalmente, el l´ımite en el cual no hay conductor externo se obtiene haciendo tender todas las dimensiones de la
cavidad hacia infinito manteniendo el conductor externo conectado a tierra, a fin de obtener la condicio´n de potencial
cero en el infinito. En consecuencia, para un sistema de dos conductores sin conductor externo, la condicio´n (6.44)
permanece va´lida. Esta es entonces la demostracio´n formal de la Ec. (6.1) que se discutio´ en la seccio´n 6.2 Pa´g. 74
de manera eur´ıstica.
86 CAPI´TULO 6. CONDUCTORES ELECTROSTA´TICOS
6.8. Energ´ıa electrosta´tica y matriz de capacitancia
No´tese que a partir de la Ec. (6.6) los argumentos utilizados han sido exclusivamente geome´tricos sin alucio´n
alguna a cargas o potenciales sobre los conductores. Esto esta´ relacionado con el hecho de que los coeficientes de
capacitancia son factores geome´tricos independientes de dichas cargas y potenciales. Por otro lado, la Ec. (6.6) nos
brinda la relacio´n que hay entre las cargas y potenciales a trave´s de los factores de capacitancia. El objetivo ahora
es ver que informacio´n nos pueden dar estos coeficientes para observables tales como cargas, potenciales y la energ´ıa
electrosta´tica.
6.8.1. Simetr´ıa de los Cij por argumentos de energ´ıa
Podemos calcular el trabajo necesario para elevar el potencial de un conductor desde el valor cero hasta un valor
final ϕ. Para ello basta con aplicar la Ec. (1.18) Pa´g. 16, teniendo en cuenta que la integral en dicha ecuacio´n es solo
sobre las regiones que tienen carga y que el potencial es constante. De esta forma se obtiene15
W = Uint =
1
2
Qϕ (6.46)
La propiedad de simetr´ıa de los Cij se puede obtener utilizando la conservatividad de los sistemas electrosta´ticos.
Para verlo, tomemos un sistema de N conductores con un conductor N +1 que los rodea tal como lo describe la Fig.
6.2. Comenzando con todos los conductores a potencial cero, cargamos el conductor j hasta que alcance su potencial
final ϕj , combinando las Ecs. (6.46) y (6.6) el trabajo necesario para realizar este proceso esta´ dado por
U
(1)
j =
1
2
Qjϕj =
1
2
(
N+1∑
k=1
Cjkϕk
)
ϕj
y teniendo en cuenta que todos los dema´s conductores esta´n a potencial cero, la expresio´n se reduce a
U
(1)
j =
1
2
Cjjϕ
2
j
Hemos usado el supra´ındice (1) para indicar que estamos realizando el proceso en el orden rotulado por (1). Ahora
manteniendo el conductor j a potencial ϕj , cargamos el conductor i hasta que quede a potencial ϕi, el trabajo para
esto es
U
(1)
i =
1
2
Qiϕi =
1
2
(Ciiϕi + Cijϕj)ϕi
donde hemos tenido en cuenta que solo los conductores i, j esta´n a potenciales diferentes de cero. La energ´ıa total
para llevar ambos conductores a potenciales ϕi y ϕj (los otros conductores se mantienen a potencial cero) es
UT = U
(1)
j + U
(1)
i =
1
2
(
Ciiϕ
2
i + Cijϕjϕi + Cjjϕ
2
j
)
(6.47)
Por otro lado, desde la misma configuracio´n inicial podemos llegar a la misma configuracio´n final por un proceso
que rotulamos como (2) en el cual cargamos primero el conductor i para luego cargar el conductor j hasta la misma
configuracio´n final. La conservatividad de los sistemas electrosta´ticos nos garantiza que la energ´ıa requerida es la
misma y esta´ dada por
UT = U
(2)
i + U
(2)
j =
1
2
(
Ciiϕ
2
i + Cjiϕjϕi + Cjjϕ
2
j
)
(6.48)
de modo que la igualacio´n de las Ecs. (6.47, 6.48) conduce a
Cij = Cji (6.49)
15Aunque la Ec. (1.18) esta´ escrita en te´rminos de densidades volume´tricas, la densidad superficial de un conductor se puede interpretar
como una densidad volume´trica equivalente.
6.9. TEOREMA DE RECIPROCIDAD PARA CARGAS Y POTENCIALES 87
6.8.2. Energ´ıa electrosta´tica y capacitancia
Para demostrar la simetr´ıa de los coeficientes de capacitancia hemos calculado la energ´ıa interna en el caso en que
se eleva el potencial de dos conductores manteniendo los otros a tierra. Sin embargo, la configuracio´n final del sistema
puede ser tal que todos los conductores este´n a potencial diferente de cero. Para este caso general vamos a calcular la
energ´ıa interna del sistema, es decir el trabajo necesario para que los conductores queden en sus potenciales finales
partiendo todos de potencial cero. En particular queremos ver la conexio´n que hay entre la energ´ıa interna del sistema
y los coeficientes de capacitancia. Partiendo de la expresio´n (1.22) para la energ´ıa interna electrosta´tica y aplicando
la Ec. (6.4) tenemos:
Uint =
ε0
2
∫
VST
E2dV =
ε0
2
∫
VST
∇φ · ∇φ dV = 1
2
N+1∑
i=1
N+1∑
j=1
ϕiϕj
[
ε0
∫
VST
∇fi · ∇fj dV
]
y teniendo en cuenta las relaciones (6.7) y (6.6) obtenemos
Uint =
1
2
N+1∑
i=1
N+1∑
j=1
Cijϕjϕi =
1
2
N+1∑
i=1
Qiϕi (6.50)
que nos muestra la forma de calcular la energ´ıa almacenada en el sistema de conductores, con base en los coeficientes
de capacitancia y los potenciales de e´stos. No´tese que la relacio´n (6.50) es consistente con la relacio´n (6.46) obtenida
para un solo conductor.
6.9. Teorema de reciprocidad para cargas y potenciales
Ahora para una geometr´ıa dada de conductores, tomemos dos configuraciones de cargas y potenciales {Qi, ϕi} y
{Q′i, ϕ′i}. Un resultado adicional interesante surge de aplicar las relaciones (6.8) y (6.6) se tiene que
N+1∑
i=1
Qiϕ
′
i =
N+1∑
i=1
N+1∑
j=1
Cijϕj
ϕ′i = N+1∑
j=1
(
N+1∑
i=1
Cjiϕ
′
i
)
ϕj
y aplicando nuevamente (6.6) se obtiene
N+1∑
i=1
Qiϕ
′
i =
N+1∑
j=1
Q′jϕj
resultado conocido como teorema de reciprocidad.
6.10. Positividad de la matriz de capacitancia
Aplicando la relacio´n (6.19) a las expresiones de capacitancia (6.6) vemos que para geometr´ıas bien comportadas,
todos los elementos no diagonales de la matriz de capacitancia sera´n estrictamente negativos y los elementos diagonales
sera´n estrictamente positivos, siempre y cuando el volumen VST sea arcoconexo como se ve´ en la Fig. 6.2, Pa´g. 75
16.
Por tanto de aqu´ı en adelante asumiremos que todos los Cij son no nulos para configuraciones como la de la figura
6.2.
La matriz Cij es de dimensio´n (N + 1)× (N + 1). En notacio´n matricial llamaremos a e´sta la “matriz extendida
de capacitancia” y la denotaremos por Ce o la denominaremos la e-matriz. Por otro lado los elementos Cij con
i, j = 1, . . . , N , forman una submatriz de la matriz anterior, e´sta es una matriz de dimensio´n N×N y la denominamos
la matriz restringida o la r-matriz y la denotamos simplemente porC. Estas matrices poseen las siguientes propiedades
que no demostraremos aqu´ı [11]
Theorem 9 Asumiendo que todos los elementos de la e-matriz son no nulos, dicha matriz es positiva singular. Su
valor propio nulo es no degenerado y el u´nico vector propio (linealmente independiente) asociado al valor propio nulo
es de la forma Φ = (ϕ,ϕ, . . . , ϕ). Adicionalmente, la r-matriz asociada es definida positiva.
16Ya hemos mencionado que para regiones en donde VST no es arcoconexo como las configuraciones de conductores sucesivamente
embebidos (ver Fig. 6.3 Pa´g. 78) los elementos Cij son nulos para |i− j| ≥ 2.
88 CAPI´TULO 6. CONDUCTORES ELECTROSTA´TICOS
Este teorema nos conduce en particular, a la invarianza de los observables f´ısicos cuando hacemos un corrimiento
constante del potencial. Supongamos que redefinimos el potencial en todo el espacio en la forma ϕ′ (r) ≡ ϕ (r) + ϕ0
siendo ϕ0 una constante. La relacio´n (6.6) escrita matricialmente para el nuevo potencial nos da
Q′ = CeΦ′ = Ce (Φ+Φ0) ; Φ0 ≡ (ϕ0, ϕ0, . . . , ϕ0)pero de acuerdo con el teorema 9, Φ0 es vector de Ce con valor propio cero. Por tanto CeΦ0 = 0 y obtenemos
Q′ = Ce (Φ+Φ0) = CeΦ = Q
de modo que las cargas son las mismas que con el potencial Φ como debe ser.
No´tese que las ligaduras (6.12) y (6.13) nos llevan a que el conocimiento de la r-matriz nos genera automa´ticamente
la e-matriz. Esto nos induce a encontrar expresiones que solo involucren a la r-matriz. Combinando las Ecs. (6.6,
6.20) obtenemos
Qi =
N+1∑
k=1
Cikϕk =
N∑
k=1
Cikϕk + Ci,N+1ϕN+1 =
N∑
k=1
Cikϕk +
(
−
N∑
k=1
Cik
)
ϕN+1
Qi =
N∑
k=1
Cik (ϕk − ϕN+1) ; i = 1, 2, . . . , N,N + 1
esta relacio´n es va´lida en particular para i desde 1 hasta N . Tomando esta restriccio´n la ecuacio´n anterior de puede
escribir como
Q = CV ; V˜ ≡ (V1, V2, . . . , VN ) , Q˜ ≡ (Q1, Q2, . . . , QN ) , Vi ≡ ϕk − ϕN+1 (6.51)
vemos que los voltajes en la Ec. (6.51) esta´n medidos con respecto al potencial del conductor externo. Esta ecuacio´n
contiene todos los grados de libertad independientes, si tenemos en cuenta que
QN+1 = −Qint = −
N∑
k=1
Qi
Hemos escrito la energ´ıa interna de una configuracio´n de conductores en te´rminos de la e-matriz en la Ec. (6.50),
dicha ecuacio´n se puede escribir en forma matricial como una forma bilineal
Uint =
1
2
Φ˜ Ce Φ
y puesto que la matriz Ce es positiva, esta forma bilineal es positiva
Uint =
1
2
Φ˜ Ce Φ ≥ 0
pero adicionalmente Ce es singular, lo cual implica que hay arreglos vectoriales Φ diferentes de cero que conducen
a la nulidad de esta forma bilineal. Pero dado que los u´nicos vectores propios asociados al valor propio cero son los
de la forma Φ =(ϕ,ϕ, . . . , ϕ), conclu´ımos que las u´nicas configuraciones con energ´ıa interna cero son aquellas en las
que los conductores esta´n todos al mismo potencial. El lector puede demostrar que esta forma bilineal tambie´n se
puede escribir en te´rminos de la r-matriz en la forma
Uint =
1
2
V˜ C V ≥ 0
pero dado que C es definida positiva, la u´nica solucio´n que conduce a la nulidad de la energ´ıa interna es V = 0, que
de nuevo nos indica que las u´nicas configuraciones de energ´ıa interna cero son aquellas con todos los conductores al
mismo potencial.
Alternativamente, en te´rminos de valores propios la matriz Ce contiene un valor propio nulo no degenerado de
modo que sus restantes N valores propios son positivos. Para la matriz C todos sus valores propios son estrictamente
positivos. Puesto que estas matrices son reales y sime´tricas y por lo tanto hermı´ticas reales, existe un conjunto
completo de vectores propios reales que forman una base de RN+1 para Ce y de R
N para C.
6.10. POSITIVIDAD DE LA MATRIZ DE CAPACITANCIA 89
Nos restringiremos ahora a la r-matriz. Veamos el significado f´ısico de los valores y vectores propios de C
CV(k) = λkV
(k) ; k = 1, 2, . . . , N (6.52)
donde k rotula los N valores propios y los N vectores linealmente independientes. En particular algunos valores
propios de la lista {λk} pueden tener el mismo valor cuando existe degeneracio´n. Sustituyendo (6.52) en (6.51)
tenemos
Q(k) = λkV
(k)
donde Q(k) es el conjunto de cargas que adquieren los conductores internos cuando la configuracio´n de conductores
se coloca al conjunto de voltajes V(k) asociados al k−e´simo vector propio. Tomando la componente i−e´sima de esta
ecuacio´n resulta
Q
(k)
i
V
(k)
i
= λk ; i = 1, 2, . . . , N
esto nos indica que un autovector dadoV(k) de C, corresponde a un conjunto de N voltajes V
(k)
i tales que si aplicamos
estos voltajes a los conductores internos (con respecto al conductor externo) el cociente entre la carga Q
(k)
i que
adquiere cada conductor interno y el voltaje asociado, toman el mismo valor para todos los conductores internos.
Este cociente es precisamente el valor propio λk, y puesto que cada λk es estrictamente positivo, vemos que al aplicar
los voltajes V(k), el voltaje y la carga sobre cada conductor tienen el mismo signo. Es importante recalcar que toda
la discusio´n con la r-matriz es va´lida siempre que el voltaje de los conductores internos se calcule con respecto al
conductor externo.
De nuevo, si hacemos tender todas las dimensiones de la cavidad a infinito, obtenemos el l´ımite en el cual los
conductores “internos” no esta´n encerrados por ningu´n conductor externo. En general es aconsejable hacer el potencial
cero en el conductor externo que tiende a infinito, en cuyo caso los voltajes (que esta´n referidos al conductor externo)
se convierten en los potenciales (diferencia de potencial con el infinito).
Lo anterior nos muestra una forma de inspeccionar experimentalmente si una matriz de capacitancia esta´ bien
calculada. Supongamos que se calcula una matriz de capacitancia para una configuracio´n dada de capacitores. Po-
demos entonces calcular los valores y vectores propios de esta matriz. Una vez calculados procedemos a colocar un
conjunto de voltajes sobre los conductores que coincidan con un vector propio. La medida de la carga inducida sobre
cada conductor dividida por su voltaje debe dar el mismo valor para cada conductor y el cociente debe ser el valor
propio correspondiente (todo esto dentro de los l´ımites de error experimentales). Procediendo de esta manera con
cada vector propio, podemos verificar si la matriz de capacitancia estaba bien calculada.
Si definimos un producto interno entre cargas y voltajes de la forma
(Q,V) ≡
N∑
i=1
QiVi
el lector puede demostrar que la energ´ıa interna de una configuracio´n de capacitores que se colocan a un conjunto de
voltajes V, se puede escribir en te´rminos de los vectores y valores propios de C en la forma
Uint =
1
2
N∑
k=1
λk
∣∣∣(u(k),V)∣∣∣2
donde
{
u(k)
}
es un conjunto ortonormal completo de vectores propios de C. Si el conjunto de voltajes V es paralelo
con algu´n vector propio de la base V =V0u
(m) la energ´ıa interna adquiere un valor particularmente simple
Uint =
1
2
N∑
k=1
λk
∣∣∣(u(k), V0u(m))∣∣∣2 = Uint = 1
2
N∑
k=1
λkV
2
0 δkm
Uint =
1
2
λkV
2
0
el lector puede hacer la analog´ıa con el tensor de inercia en la meca´nica del cuerpo r´ıgido. Cuando la rotacio´n es
alrededor de un eje principal (i.e. un eje colineal a algu´n vector propio del tensor de inercia) la matriz de energ´ıa
cine´tica rotacional adquiere una forma ma´s simple. Colocar voltajes colineales a algu´n vector propio de C, es como
elegir un eje principal en el espacio de los voltajes.
90 CAPI´TULO 6. CONDUCTORES ELECTROSTA´TICOS
Cap´ıtulo 7
Funciones de Green y ecuacio´n de Poisson en
electrosta´tica
La naturaleza no homoge´nea de la ecuacio´n de Poisson trae como consecuencia que sus soluciones no se pueden
constru´ır por el me´todo de separacio´n de variables salvo en casos muy especiales. En realidad, este es el caso para
la mayor parte de las ecuaciones inhomoge´neas. Por esta razo´n es necesario recurrir a otros me´todos, en particular
trabajaremos el me´todo de las funciones de Green. Es necesario enfatizar que aunque en este texto trabajaremos la
mencionada te´cnica para los casos particulares de la ecuacio´n de Poisson y la funcio´n de onda, el formalismo de Green
es de mucha utilidad para muchas ecuaciones diferenciales inhomoge´neas y es tambie´n extendible al caso particular
en que dichas ecuaciones se vuelven homoge´neas.
7.1. Teoremas de Green en electrosta´tica
Lo que usualmente conocemos (o podemos medir) en un problema electrosta´tico real es la densidad de carga en el
volumen y el potencial, o su derivada normal en la superficie. Adema´s los teoremas de unicidad nos aseguran que la
solucio´n es u´nica cuando tenemos esa informacio´n disponible. Por esta razo´n es natural tomar como punto de partida
un teorema que nos enlace una integral en el volumen donde se conoce la carga, con otra integral en la superficie
que delimita a dicho volumensobre la cual conocemos el potencial o su derivada normal. Se nos viene entonces a la
mente el teorema de la divergencia. En realidad, es mucho ma´s provechoso comenzar con un corolario del teorema de
la divergencia conocido como teorema de Green, que ya estudiamos en la seccio´n 1.8. Dado que
∇φ · dS = ∇φ · n dS = ∂φ
∂n
dS
el teorema de Green Ec. (1.26), se escribe∫
V
[
φ
(
r′
)∇′2ψ (r′)− ψ (r′)∇′2φ (r′)] dV ′ = ∮
S
[
φ
(
r′
) ∂ψ (r′)
∂n′
− ψ (r′) ∂φ (r′)
∂n′
]
dS′
El te´rmino a la derecha involucra φ (r′) , ∂n′φ (r′) , ψ (r′) y ∂n′ψ (r′) evaluados en la superficie pero no sus valores
en el interior. Por lo tanto, esta integral podr´ıa dar cuenta de las condiciones de frontera.
Tomemos φ como el potencial electrosta´tico. La integral de volumen incluye a φ y a ∇′2φ, usando la ecuacio´n
de Poisson reemplazamos ∇′2φ (r′) por −4πKcρ (r′), y solo quedar´ıa por “despejar” φ (r′). Esto se logra asignando
ψ = |r− r′|−1 y recordando la propiedad ∇′2
(
|r− r′|−1
)
= −4πδ (r− r′) con lo cual la identidad de Green queda
∫
V
[
φ
(
r′
)∇′2 (∣∣r− r′∣∣−1)− 1|r− r′|∇′2φ (r′)
]
dV ′ =
∮
S
[
φ
(
r′
) ∂
∂n′
(
1
|r− r′|
)
− 1|r− r′|
∂φ (r′)
∂n′
]
dS′
usando la Ec. de Poisson y la identidad (1.13)
−4π
∫
V
φ
(
r′
)
δ
(
r− r′) dV ′ + 4πKc ∫ ρ (r′)|r− r′| dV ′ =
∮
S
[
φ
(
r′
) ∂
∂n′
(
1
|r− r′|
)
− 1|r− r′|
∂φ (r′)
∂n′
]
dS′
91
92 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
Ahora bien, si el punto r esta´ dentro del volumen de integracio´n, entonces la integracio´n con la delta de Dirac
hace posible “despejar” φ (r).
−4πφ (r) = −4πKc
∫
V
ρ (r′)
|r− r′| dV
′ +
∮
S
[
φ
(
r′
) ∂
∂n′
(
1
|r− r′|
)
− 1|r− r′|
∂φ (r′)
∂n′
]
dS′
abreviando la notacio´n R ≡ |r− r′|, queda finalmente
φ (r) = Kc
∫
V
ρ (r′)
R
dV ′ +
1
4π
∮
S
[
1
R
∂φ (r′)
∂n′
− φ (r′) ∂
∂n′
(
1
R
)]
dS′ (7.1)
con esta expresio´n tenemos en principio despejado el valor de φ (r) al menos para valores de r en el interior del
volumen, obse´rvese que si r esta´ fuera del volumen, la integral que permitio´ despejar al potencial se anular´ıa1. La
integral de volumen se realiza en el interior del volumen V .
1. Recordando que para un conductor perfecto
σ = − 1
4πKc
∂nφ
tenemos que
1
4π
∮
1
R
∂n′φ dS
′ = −Kc
∮
σ′ dS′
R
La primera integral de superficie equivale al potencial generado por una carga superficial σ, hay que notar sin
embargo que esta analog´ıa solo es va´lida para conductores, en tanto que la expresio´n (7.1) para el potencial
tambie´n vale para cualquier tipo de material.
2. La segunda integral de superficie se puede escribir como
− 1
4π
∮
S
φ
(
r′
)
∂n′
(
1
R
)
dS′ = − 1
4π
∮
S
φ
(
r′
) (r− r′)
|r− r′|3 · dS
′ = − 1
4π
∮
S
φ
(
r′
)
dΩ′
con lo cual podemos hacer la analog´ıa con el potencial de una capa dipolar discutida anteriormente para lo cual
se hace D = − φ4pi , la integral de superficie queda de la forma
∫
D dΩ que es el potencial generado por una capa
dipolar con densidad de momento superficial D = − φ4pi .
3. Se puede ver que si la superficie avanza hacia el infinito y el potencial decrece ma´s ra´pido que 1/R (como
por ejemplo en el caso de distribuciones localizadas), la integral en dS′ se anula (o tiende a una constante)
obtenie´ndose
φ (r) = Kc
∫
V
ρ (r′)
R
dV ′ + φ0
que es la expresio´n para el potencial sin frontera (frontera en el ∞) cuando la distribucio´n ρ (r′) es conocida en
todo el espacio.
4. Esta ecuacio´n requiere conocer ρ (r) en el volumen V y no en todo el espacio como se quer´ıa. Sin embargo,
tambie´n requiere conocer φ y ∂nφ simulta´neamente sobre la misma superficie, lo cual es en general inconsistente
o en el caso en que sea consistente es una sobredeterminacio´n innecesaria del problema. Por tanto, este todav´ıa
no es un me´todo pra´ctico para evaluar φ. A continuacio´n desarrollaremos un formalismo para poder hacer uso
real de las condiciones de frontera.
1Si estamos justo en la frontera tampoco podemos aplicar este formalismo, puesto que el uso de las propiedades de la delta solo es claro
para puntos en el interior y exterior de la regio´n. Sin embargo, el valor del potencial en la superficie es dado en el caso de Dirichlet, y en
el caso de Neumann se puede obtener recurriendo a la continuidad del potencial a menos que tengamos cierto tipo de singularidades.
7.2. ECUACIO´N DE GREEN Y POTENCIAL ELECTROSTA´TICO 93
7.2. Ecuacio´n de Green y potencial electrosta´tico
En el intento de solucio´n anterior elegimos ψ = |r− r′|−1 con el fin de obtener una delta de Dirac que nos
permitiera despejar φ (r′). Esto fue´ posible en virtud de la propiedad
∇2
(
1
|r− r′|
)
= −4πδ (r− r′)
Sin embargo, |r− r′|−1 no es la u´nica funcio´n que puede cumplir este cometido, asumamos que existen otras funciones
que emulan esta propiedad y las llamaremos funciones de Green
∇2G (r, r′) = −4πδ (r− r′) (7.2)
reescribiendo G (r, r′) = 1|r−r′| + F (r, r
′), vemos que G (r, r′) es una funcio´n de Green, siempre y cuando F (r, r′)
cumpla la ecuacio´n de Laplace. Usando G (r, r′) y con un procedimiento ana´logo al que nos llevo´ a (7.1) se obtiene
la siguiente expresio´n para el potencial
φ (r) = Kc
∫
V
ρ
(
r′
)
G
(
r, r′
)
dV ′ +
1
4π
∮
S
[
G
(
r, r′
) ∂φ (r′)
∂n′
− φ (r′) ∂G (r, r′)
∂n′
]
dS′ (7.3)
Ahora bien, el problema fundamental es evitar el uso simulta´neo de las condiciones de Dirichlet y Neumann para lo
cual podemos hacer uso de la libertad para elegir la funcio´n de Green (expresada a trave´s de la funcio´n F (r, r′)). Se
ve de inmediato que podemos eliminar la primera integral de superficie si hacemos G (r, r′) = 0 en la superficie, lo cual
ser´ıa conveniente si tenemos condiciones de Dirichlet, puesto que la integral de superficie que sobrevive requiere el
conocimiento del potencial en la superficie. Se deduce entonces que el problema de Dirichlet se resuelve formalmente
si encontramos la solucio´n de la ecuacio´n de Green (7.2), con condicio´n de frontera (GD)S = 0, con lo cual la ecuacio´n
(7.3) para el potencial se reduce a
φ (r) = Kc
∫
V
ρ
(
r′
)
GD
(
r, r′
)
dV ′ − 1
4π
∮
S
[
φ
(
r′
) ∂GD (r, r′)
∂n′
]
dS′ (7.4)
A priori, se podr´ıa pensar que para el problema de Neumann podemos exigir ana´logamente que se anule la otra
integral a trave´s de la condicio´n ∂n′G (r, r
′) = 0, con esta suposicio´n evaluemos las siguientes integrales∫
V
∇2GN dV ′ = −4π
∫
V
δ
(
r− r′) dV ′ = −4π∮
S
∇GN · dS′ =
∮
S
∂GN
∂n′
· dS′ = 0
sin embargo, el teorema de la divergencia exige que estas dos integrales sean iguales, de modo que la exigencia
∂n′G (r, r
′) = 0 es incompatible con el teorema de la divergencia2. Para lograr la compatibilidad requerimos que∮
S
∂GN
∂n′
· dS′ = −4π
La forma ma´s inmediata es escoger ∂n′GN (r, r
′) = −4π/S, siendo S la magnitud de la superficie cerrada. Por tanto,
F (r, r′) debe ser escogida para cumplir esta condicio´n, y el potencial (7.3) queda
φ (r) = Kc
∫
V
ρ
(
r′
)
GN
(
r, r′
)
dV ′ +
1
4π
∮
S
[
GN
(
r, r′
) ∂φ (r′)
∂n′
− φ (r′) ∂GN (r, r′)
∂n′
]
dS′
φ (r) = Kc
∫
V
ρ
(
r′
)
GN
(
r, r′
)
dV ′ +
1
4π
∮
S
[
GN
(
r, r′
) ∂φ (r′)
∂n′
+
4π
S
φ
(
r′
)]
dS′
φ (r) = Kc
∫
V
ρ
(
r′
)
GN
(
r, r′
)
dV ′ +
1
4π
∮
S
GN
(
r, r′
) ∂φ (r′)
∂n′
dS′ +
1
S
∮
S
φ
(
r′
)
dS′
2Obse´rvese que si r esta´ fuera del volumen V , la condicio´n es compatible con el teorema de la divergencia, pero recordemos que en este
caso la solucio´n para el potencial ya no es va´lida.
94 CAPI´TULO 7. FUNCIONESDE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
el potencial queda finalmente
φ (r) = Kc
∫
V
ρ
(
r′
)
GN
(
r, r′
)
dV ′ +
1
4π
∮
S
GN
(
r, r′
) ∂φ (r′)
∂n′
dS′ + 〈φ〉S (7.5)
donde 〈φ〉S corresponde al valor promedio del potencial en la superficie, claramente este promedio es un nu´mero (no
una funcio´n) de modo que solo es una recalibracio´n. De nuevo esta constante arbitraria aparece debido a que las
condiciones de Neumann no fijan el cero de potencial.
La solucio´n general posee una integral de volumen que depende de la distribucio´n de carga ρ (r) pero que adema´s
posee un factor modulador G asociado a la geometr´ıa de las fronteras, cuando la frontera es el infinito este te´rmino
queda como en el caso del potencial de distribucio´n localizada que ya conoc´ıamos. Para otras geometr´ıas el te´rmino
modulador da cuenta de la forma en que las condiciones de frontera afectan la contribucio´n de la distribucio´n
volume´trica. La integral de superficie, es la que contiene la informacio´n expl´ıcita sobre las condiciones de frontera;
dichas condiciones son generadas por las cargas interiores exteriores y superficiales de la regio´n de Dirichlet (o
Neumann).
El potencial solo se puede evaluar estrictamente dentro del volumen de Dirichlet (o Neumann) cuando se usan
las funciones de Green, la carga superficial alojada sobre la superficie de Dirichlet (o Neumann) no esta´ en el interior
de modo que su influencia esta´ inclu´ıda indirectamente en la integral de superficie. Con frecuencia el potencial es
cont´ınuo en las interfaces (a menos que haya cargas puntuales o singularidades de algu´n tipo) de modo que al resolver
el problema interior podemos tomar el l´ımite cuando se tiende a la frontera y el potencial obtenido sera´ el correcto
para la superficie (debe tender a las condiciones de frontera), recordemos que la componente perpendicular del campo
ele´ctrico si puede tener discontinuidad por ejemplo cuando hay densidad de carga superficial presente.
7.3. Interpretacio´n de la funcio´n de Green en electrosta´tica
La funcio´n de Green ma´s simple G = |r− r′|−1 cumple la Ec. ∇2G = −4πδ (r− r′), y se puede interpretar como
el potencial generado en el punto r por una carga “unidad” (tal que Kcq = 1)
3 ubicada en r′, esto a su vez es
consistente con la ecuacio´n de Poisson, ∇2φ = −4πKcρ puesto que δ (r− r′) corresponde a la densidad volume´trica
equivalente evaluada en r, de una carga puntual unidad ubicada en r′. Para el caso de una funcio´n de Green ma´s
general G (r, r′) = |r− r′|−1 + F (r, r′), recordemos que F (r, r′) satisface la ecuacio´n de Laplace en el interior de V ,
de modo que se puede interpretar como el potencial generado dentro de V debido a una distribucio´n de cargas en
la frontera y/o en el exterior de V, y tal que hace que la funcio´n de Green cumpla las condiciones de frontera
de Dirichlet o Neumann. Ahora bien, como la funcio´n de Green es la que debe cumplir la condicio´n de frontera, lo
que tenemos es la superposicio´n de dos potenciales (ambos evaluados en r) el generado por la carga unidad ubicada
en r′ (que esta´ en el interior de V ) y el generado por las cargas exteriores a V . La funcio´n F (r, r′) debe depender de
la ubicacio´n de la carga puntual (r′) ya que es la superposicio´n de ambas la que produce las condiciones de frontera.
Para las condiciones de Dirichlet se puede demostrar una propiedad de simetr´ıa de la funcio´n de Green. Partiendo
del teorema de Green Ec. (1.26) con φ (r) = GD (r, r1) , ψ (r) = GD (r, r2)∫ [
GD (r, r1)∇2GD (r, r2)−GD (r, r2)∇2GD (r, r1)
]
dV =
∮
[GD (r, r1)∇GD (r, r2)
−GD (r, r2)∇GD (r, r1)] · dS
al usar condiciones de Dirichlet, se anulan las integrales de superficie. Adicionalmente, ∇2GD (r, r′) = −4πδ (r− r′)
con lo cual tenemos,
−4π
∫
[GD (r, r1) δ (r− r2)−GD (r, r2) δ (r− r1)] dV = 0
−4πGD (r2, r1) + 4πGD (r1, r2) = 0
de modo que
GD (r2, r1) = GD (r1, r2) (7.6)
Para condiciones de Neumann no es automa´tico pero se puede imponer.
3Este uno no es adimensional y depende del sistema de unidades usado.
7.4. UN TEOREMA SOBRE LAS FUNCIONES DE GREEN 95
Las expresiones para el potencial con condiciones de Neumann o Dirichlet Ecs. (7.4, 7.5), nos indican que primero
debemos encontrar la funcio´n de Green con las condiciones de frontera apropiadas. A priori pareciera escasa la
ganancia: hemos cambiado la ecuacio´n de Poisson (1.14), por la ecuacio´n de Green (7.2), y las condiciones de frontera
para el potencial las cambiamos por las condiciones de frontera para la funcio´n de Green. No obstante, un ana´lisis mas
detallado nos muestra la ganancia: La ecuacio´n de Poisson es inhomoge´nea, y aunque la ecuacio´n de Green tambie´n
lo es, la ecuacio´n para F (r, r′) es homoge´nea ( y con F encontramos G). Mas importante au´n, para una determinada
geometr´ıa la ecuacio´n de Poisson requerir´ıa un tratamiento diferente para diferentes formas de las distribuciones de
carga y/o de las condiciones de frontera (digamos de Dirichlet). En contraste, las condiciones de frontera de Green
para una geometr´ıa dada son las mismas, aunque la distribucio´n de cargas en el volumen o de potenciales en la
superficie, sea diferente (digamos GS = 0 para Dirichlet sin importar la forma funcional de φ en la superficie, ni la
distribucio´n de carga en el interior).
Para evaluar la funcio´n de Green podemos recurrir a la expansio´n de G en funciones ortonormales apropiadas para
la simetr´ıa del sistema (ver seccio´n 2.1), los coeficientes de la expansio´n se ajustan para reproducir las condiciones
de frontera. Por otro lado, la te´cnica de ima´genes tambie´n nos puede proveer de una solucio´n muy elegante en ciertos
casos especiales. Hay otros me´todos tanto nume´ricos como anal´ıticos que no consideraremos en este manuscrito.
7.4. Un teorema sobre las funciones de Green
Cuando una ecuacio´n diferencial esta´ caracterizada por un operador diferencial hermı´tico, las funciones propias
asociadas a dicho operador son ortogonales (o se pueden ortogonalizar en el caso en que hay degeneracio´n presente) y
forman un conjunto completo de ciertos espacios vectoriales de funciones que cumplen ciertas condiciones de frontera.
Esto significa que las funciones propias del operador diferencial se pueden usar como bases para generar las soluciones
de la ecuacio´n diferencial. Si la ecuacio´n es inhomoge´nea, usamos estas funciones para calcular la funcio´n de Green
asociada al operador. En este punto podemos demostrar un teorema relacionado con funciones de Green. Sea Ô un
operador lineal y hermı´tico sobre el espacio de funciones de intere´s de modo que ÔF (r) = H (r) me mapea una
funcio´n del espacio, en otra funcio´n del mismo espacio. Consideremos una funcio´n ψ (r) que cumple la ecuacio´n
inhomoge´nea [
Ô − λ
]
ψ (r) = f (r) (7.7)
y la funcio´n de Green asociada al operador Ô − λ, esta´ dada por[
Ô − λ
]
G
(
r, r′, λ
)
= −4πδ (r− r′) (7.8)
la ecuacio´n de valores propios es
Ôϕn (r) = λnϕn (r)⇒
[
Ô − λn
]
ϕn (r) = 0
asumiremos que el espectro de este operador es completo, es decir que el conjunto de todas las funciones propias
ϕn de Ô linealmente independientes forman una base del espacio vectorial de funciones en donde Ô esta´ definido
4.
Adema´s los valores propios son reales ya que el operador es hermı´tico. Usando la completez de los ϕn (r) se tiene que
δ
(
r− r′) =∑
n
ϕ∗n
(
r′
)
ϕn (r)
donde estamos asumiendo que los vectores propios esta´n normalizados y ortogonalizados5 . Aplicando completez a la
funcio´n de Green [
Ô − λ
]
G
(
r, r′, λ
)
= −4π
∑
n
ϕ∗n
(
r′
)
ϕn (r)
4Cuando el espacio vectorial en donde esta´ definido Ô es de dimensio´n finita, la completez de su espectro esta´ asegurada por el teorema
espectral. Sin embargo, en la mayor´ıa de los casos el espacio vectorial en cuestio´n es de dimensio´n infinita y la completezdebe demostrarse.
La notacio´n λn, ϕn se refiere a los diferentes funciones y valores propios sin importar la posible degeneracio´n. Es decir es posible que
λn = λm para algunos m 6= n.
5Recordemos que la ortogonalidad automa´tica de todas las funciones propias solo esta´ garantizada en ausencia de degeneracio´n.
96 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
y expandiendo G (r, r′) en te´rminos de la base ϕ (r) de autofunciones de Ô
G
(
r, r′, λ
)
=
∑
n
Cn (λ) ϕ
∗
n
(
r′
)
ϕn (r)
la ecuacio´n de Green queda [
Ô − λ
]∑
n
Cn (λ) ϕ
∗
n
(
r′
)
ϕn (r) = −4π
∑
n
ϕ∗n
(
r′
)
ϕn (r)
teniendo en cuenta que Ô solo opera sobre las funciones con variable r
Ô
[
ϕ∗n
(
r′
)
ϕn (r)
]
= ϕ∗n
(
r′
) [
Ôϕn (r)
]
= λnϕ
∗
n
(
r′
)
ϕn (r)
se obtiene ∑
n
Cn (λ) [λn − λ] ϕ∗n
(
r′
)
ϕn (r) = −4π
∑
n
ϕ∗n
(
r′
)
ϕn (r)
y recurriendo a la independencia lineal de los ϕn
Cn (λ) [λn − λ] = −4π ⇒ Cn (λ) = 4π
λ− λn
reemplazando en la funcio´n de Green obtenemos
G
(
r, r′
)
= 4π
∑
n
ϕ∗n (r′)ϕn (r)
λ− λn (7.9)
Esta solucio´n de la funcio´n de Green no tiene en cuenta las condiciones de frontera, las cuales usualmente se incluyen
en las ϕn. Esta expresio´n muestra la simetr´ıa G (r, r
′) = G∗ (r′, r). Este formalismo nos ayuda a resolver la ecuacio´n[
Ô − λ
]
ψ (r) = f (r) que es mas general que la ecuacio´n de Poisson. Tambie´n vale la pena anotar que en la demos-
tracio´n solo requerimos que las funciones propias sean completas; el espectro λn podr´ıa ser complejo y el operador
podr´ıa no ser hermı´tico (pero si lineal).
7.5. Ca´lculo de funciones de Green unidimensionales
La formulacio´n anterior no es va´lida para casos unidimensionales ni bidimensionales, ya que se basa en el teorema
de la divergencia, el cual no tiene ana´logo unidimensional ni bidimensional. En lo que sigue veremos que la solucio´n
de la ecuacio´n diferencial
d2ξ
dx2
= f (x) (7.10)
con condiciones de frontera en x = a, x = b se le puede asociar la funcio´n de Green unidimensional
d2G (x, x′)
dx2
= −4πδ (x− x′) (7.11)
multiplicando la Ec. (7.10) por G (x, x′) y la Ec. (7.11) por ξ (x) obtenemos
G
(
x, x′
) d2ξ
dx2
= G
(
x, x′
)
f (x) ;
d2G (x, x′)
dx2
ξ (x) = −4πξ (x) δ (x− x′)
restando las dos u´ltimas ecuaciones
G
(
x, x′
) d2ξ
dx2
− d
2G (x, x′)
dx2
ξ (x) = G
(
x, x′
)
f (x) + 4πξ (x) δ
(
x− x′)
intercambiando x↔ x′ e integrando entre a y b en x′∫ b
a
[
G
(
x′, x
) d2ξ (x′)
dx′2
− ξ (x′) d2G (x′, x)
dx′2
−G (x′, x) f (x′)] dx′
=
∫ b
a
4πξ
(
x′
)
δ
(
x− x′) dx′
7.6. EVALUACIO´N DE LA FUNCIO´N DE GREEN EN UNA DIMENSIO´N 97
despejando ξ (x) se obtiene
ξ (x) =
1
4π
∫ b
a
[
G
(
x′, x
) d2ξ (x′)
dx′2
− ξ (x′) d2G (x′, x)
dx′2
−G (x′, x) f (x′)] dx′
ξ (x) =
1
4π
∫ b
a
[
d
dx′
(
G
(
x′, x
) dξ (x′)
dx′
)
− d
dx′
(
ξ
(
x′
) dG (x′, x)
dx′
)
−G (x′, x) f (x′)] dx′
ξ (x) =
1
4π
[
G
(
x′, x
) dξ (x′)
dx′
− ξ (x′) dG (x′, x)
dx′
]x′=b
x′=a
− 1
4π
∫ b
a
G
(
x′, x
)
f
(
x′
)
dx′
para condiciones de Dirichlet G = 0 en x = a, x = b (o en x′ = a, b da lo mismo por la simetr´ıa de G)
ξ (x) = − 1
4π
∫ b
a
f
(
x′
)
GD
(
x, x′
)
dx′ − 1
4π
[
ξ
(
x′
) dGD (x′, x)
dx′
]x′=b
x′=a
no´tese que el primer miembro a la derecha es una integral a lo largo del intervalo (es decir una integral de “volumen”
en el espacio unidimensional), en tanto que el segundo miembro de la derecha esta´ evaluado en la frontera (“superficie”
del espacio unidimensional) que para el caso unidimensional son los puntos de los extremos del intervalo. Adema´s
las integrales se evalu´an en las condiciones que se conocen: el valor de la fuente f (x′) dentro del volumen y las
condiciones de frontera sobre ξ (x′).
7.6. Evaluacio´n de la funcio´n de Green en una dimensio´n
Resolvamos la ecuacio´n de Green
d2G (x, x′)
dx2
= −4πδ (x− x′) (7.12)
con condiciones de Dirichlet G = 0 en x = 0, a. Abordaremos el problema por varios me´todos
7.6.1. Expansio´n ortonormal
Utilizaremos una expansio´n de Fourier como ansatz de solucio´n
G
(
x, x′
)
=
∞∑
n=1
Cn
(
x′
)
sin
(nπx
a
)
+
∞∑
n=0
Dn
(
x′
)
cos
(nπx
a
)
Haciendo Dn = 0 se satisface la condicio´n de frontera de Dirichlet, de modo que el ansatz se reduce a
G
(
x, x′
)
=
∞∑
n=1
Cn
(
x′
)
sin
(nπx
a
)
(7.13)
Puesto que en la expansio´n de G (x, x′) solo intervendra´n senos, es razonable utilizar una relacio´n de completez
que incluya a estas funciones. Recordando que el conjunto ortonormal sin
(
npix
a
)
/
√
a es completo para las funciones
regulares definidas en el intervalor [0, a], expresaremos la completez en la forma
δ
(
x− x′) = 1
a
∞∑
n=1
sin
(nπx
a
)
sin
(
nπx′
a
)
(7.14)
y reemplazamos la relacio´n de completez (7.14), as´ı como la expansio´n (7.13) de G (x, x′) en la ecuacio´n de Green
(7.12)
d2
dx2
∞∑
n=1
Cn
(
x′
)
sin
(nπx
a
)
= −4π
a
∞∑
n=1
sin
(nπx
a
)
sin
(
nπx′
a
)
⇒
−
∞∑
n=1
(nπ
a
)2
Cn
(
x′
)
sin
(nπx
a
)
= −4π
a
∞∑
n=1
sin
(nπx
a
)
sin
(
nπx′
a
)
98 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
recurriendo a la independencia lineal de sin
(
npix
a
)
nos queda
(nπ
a
)2
Cn
(
x′
)
=
4π
a
sin
(
nπx′
a
)
Cn
(
x′
)
=
4a
n2π
sin
(
nπx′
a
)
(7.15)
reemplazando los coeficientes (7.15) en la expansio´n (7.13) para G (x, x′) queda finalmente
G
(
x, x′
)
=
4a
π
∞∑
n=1
1
n2
sin
(
nπx′
a
)
sin
(nπx
a
)
Nota: La simetr´ıa G (x, x′) = G (x′, x), puede sugerir la proposicio´n del ansatz
G
(
x, x′
)
=
∞∑
n=1
An sin
(
nπx′
a
)
sin
(nπx
a
)
que simplifica un poco el problema.
7.6.2. Uso del teorema (7.9)
Podemos determinar la funcio´n de Green en (7.12) utilizando el teorema para funciones de Green enunciado en
la seccio´n (7.4), Ec. (7.9).
G
(
r, r′
)
= 4π
∑
n
ϕ∗n (r′)ϕn (r)
(λ− λn) (7.16)
asociado a la Ec. (7.8) pa´g. 95: (
Ô − λ
)
G
(
r, r′
)
= −4πδ (r− r′) (7.17)
Donde ϕn (r) son funciones propias de Ô y λn sus correspondientes valores propios. Para nuestro caso Ô = d
2/dx2,
λ = 0
G
(
x, x′
)
= −4π
∑
n
ϕ∗n (x′)ϕn (x)
λn
(7.18)
el conjunto 1√
a
sin
(
npix
a
)
= ϕn (x) es un conjunto ortonormal de valores propios del operador d
2/dx2 que cumplen las
condiciones de frontera y es completo en el intervalo [0, a]6. Veamos cuales son los valores propios
d2
dx2
[
1√
a
sin
(nπx
a
)]
= −
(nπ
a
)2 [ 1√
a
sin
(nπx
a
)]
de modo que λn = −
(
npi
a
)2
con lo cual la funcio´n de Green queda
G
(
r, r′
)
= −4π
∑
n
[
1√
a
sin
(
npix′
a
)] [
1√
a
sin
(
npix
a
)]
− (npia )2
G
(
r, r′
)
=
4a
π
∑
n
1
n2
sin
(
nπx′
a
)
sin
(nπx
a
)
que coincide con el resultado anterior.
6La parte coseno tambie´n son funciones propias, y son completas en el mismo intervalo. Pero resulta muy dif´ıcil encontrar los coeficientes
que ajusten las condiciones de frontera de este problema.
7.6. EVALUACIO´N DE LA FUNCIO´N DE GREEN EN UNA DIMENSIO´N 99
7.6.3. Me´todo directo
El me´todo directo consiste en resolver la ecuacio´n diferencial sin recurrir a un ansatz particular de solucio´n. La
estrategia general consiste en resolver primero la ecuacio´n homoge´nea asociada a (7.12) y luego resolver la inhomoge-
neidad por medio de una integracio´n en una vecindad infinitesimal quecontenga al polo de la funcio´n delta de Dirac.
Asumamos que x′ esta´ en alguna regio´n del intervalo [0, a], la ecuacio´n de Green (7.12)
d2G (x, x′)
dx2
= −4πδ (x− x′) (7.19)
es homoge´nea en todos los puntos excepto en x = x′. Este punto divide el intervalo en dos partes, cada una conteniendo
una frontera, la solucio´n de la ecuacio´n homoge´nea
d2G (x, x′)
dx2
= 0
es
G
(
x, x′
)
= A
(
x′
)
x+B
(
x′
)
(7.20)
Ahora analizamos cada intervalo en donde es va´lida la ecuacio´n homoge´nea:
a) La regio´n en la cual x < x′, la solucio´n de la homoge´nea (7.20) la escribimos en esta regio´n en la forma
Ga = Aa
(
x′
)
x+Ba
(
x′
)
(7.21)
tal regio´n contiene la frontera x = 0, y se tiene que G = 0, cuando x = 0 aplicando esta condicio´n en (7.21) tenemos
que Ba (x
′) = 0 y
Ga
(
x, x′
)
= Aa
(
x′
)
x
A continuacio´n definimos x< como el menor entre x y x
′, con lo cual se puede reescribir la solucio´n como
Ga
(
x, x′
)
= Aa
(
x′
)
x< (7.22)
b) Para la regio´n definida por x > x′, la solucio´n (7.20) la escribimos como7
Gb
(
x, x′
)
= Ab
(
x′
)
x+Bb
(
x′
)
(7.23)
este regio´n contiene a la frontera x = a. Requerimos entonces G = 0 en x = a. Ajustando esta condicio´n de frontera
en (7.23) tenemos
Gb
(
a, x′
)
= Ab
(
x′
)
a+Bb
(
x′
)
= 0
⇒ Bb = −Aba (7.24)
Definiendo x> como el mayor entre x y x
′ y sustituyendo (7.24) en (7.23) obtenemos
Gb
(
x, x′
)
= Abx−Aba = −Ab (a− x)
Gb
(
x, x′
)
= −Ab (a− x>) (7.25)
una solucio´n va´lida para las dos regiones es el producto de las dos soluciones (7.22) y (7.25) (recordemos que esta es
la motivacio´n para introducir la notacio´n de x>, x<).
G
(
x, x′
)
= Ga
(
x, x′
)
Gb
(
x, x′
)
= −Ab
(
x′
)
Aa
(
x′
)
x< (a− x>)
pero el factor −Ab (x′)Aa (x′) se puede absorber en una sola constante C (x′) ≡ −Ab (x′)Aa (x′), y la funcio´n de
Green se escribe
G
(
x, x′
)
= C
(
x′
)
x< (a− x>) (7.26)
7Puesto que las Ecs. (7.21) y (7.23) describen dos regiones disyuntas con distintas condiciones de frontera, sus coeficientes son en
general distintos.
100 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
sin embargo, debemos tener presente que la solucio´n encontrada es solo para la parte homoge´nea (x 6= x′) la cons-
tante C (x′) debe contener la informacio´n sobre la parte inhomoge´nea. Para extraer la informacio´n sobre la parte
inhomoge´nea, integramos la ecuacio´n diferencial (7.19) entre x = x′ − ε, y x = x′ + ε, para luego tomar el l´ımite
ε→ 0+. En otras palabras, integramos la ecuacio´n diferencial (7.19) en un intervalo infinitesimal que contiene al polo
de la delta de Dirac y por tanto a la inhomogeneidad8
∫ x=x′+ε
x=x′−ε
(
d2G (x, x′)
dx2
)
dx = −4π
∫ x=x′+ε
x=x′−ε
δ
(
x− x′) dx
dG (x, x′)
dx
∣∣∣∣x=x′+ε
x=x′−ε
= −4π
dG (x, x′)
dx
∣∣∣∣
x=x′+ε
− dG (x, x
′)
dx
∣∣∣∣
x=x′−ε
= −4π
Es decir que dG(x,x
′)
dx es discontinua en x = x
′. Reemplazando nuestra solucio´n
d
dx
[
C
(
x′
)
x< (a− x>)
]∣∣∣∣
x=x′+ε
− d
dx
[
C
(
x′
)
x< (a− x>)
]∣∣∣∣
x=x′−ε
= −4π
cuando x = x′ + ε tenemos que x = x> y x′ = x<, cuando x = x′ − ε tenemos que x = x< y x′ = x> (no´tese que de
nuevo es importante que ε sea infinitesimal positivo).
d
dx
[
C
(
x′
)
x′ (a− x)]∣∣∣∣
x=x′+ε
− d
dx
[
C
(
x′
)
x
(
a− x′)]∣∣∣∣
x=x′−ε
= −4π
−C (x′) x′∣∣
x=x′+ε
− C (x′) (a− x′)∣∣
x=x′−ε = −4π
C
(
x′
) [
x′ +
(
a− x′)] = 4π
donde se ha tomado el l´ımite cuando ε → 0+. De la u´ltima expresio´n se obtiene C = 4π/a en este caso C resulto´
independiente de x′. Insertando este valor de C (x′) en la solucio´n (7.26) para la funcio´n de Green queda finalmente
G
(
x, x′
)
=
4π
a
x< (a− x>) (7.27)
podemos verificar la simetr´ıa de G (x, x′) en la expresio´n (7.27). Si por ejemplo x > x′ entonces x = x> y x′ = x<,
en cuyo caso esta funcio´n queda
G
(
x, x′
)
=
4π
a
x′ (a− x) ; x > x′
no obstante, si intercambiamos a x, x′ es claro que x sigue siendo el mayor y x′ sigue siendo el menor, de modo que
G (x, x′) = G (x′, x). Un procedimiento similar nos lleva a la simetr´ıa en el caso x < x′.
7.7. Funcio´n de Green bidimensional en coordenadas cartesianas
Encontremos la funcio´n de Green con condiciones de Dirichlet sobre una regio´n rectangular de modo que G = 0
en x = 0, a y G = 0 en y = 0, b.
7.7.1. Utilizacio´n del teorema (7.9)
La ecuacio´n de Green en dos dimensiones en coordenadas cartesianas tiene la forma(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
)
G
(
x, x′, y, y′
)
= −4πδ (x− x′) δ (y − y′) (7.28)
8Es importante que ε tienda a cero por la derecha para que en las integrales entre x′− ε y x′+ ε, se pueda interpretar el primero como
el l´ımite inferior y el segundo como el l´ımite superior.
7.7. FUNCIO´N DE GREEN BIDIMENSIONAL EN COORDENADAS CARTESIANAS 101
utilizaremos la expresio´n (7.9) para la funcio´n de Green9 asociada al operador Ô − λ con funciones propias ϕn (r)
y valores propios λn. Comparando las ecuaciones (7.8, 7.28) tenemos que λ = 0 y Ô ≡ ∂2x + ∂2y de modo que la Ec.
(7.9) queda
G
(
r, r′
)
= −4π
∑
n
ϕ∗n (r′)ϕn (r)
λn
(7.29)
usemos las funciones propias ϕnm (r) =
1√
ab
sinαnx sin βmy, del operador ∇2 en dos dimensiones10. Determinemos
sus valores propios
∇2ϕnm (x, y) =
(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
)[
1√
ab
sinαnx sin βmy
]
= − (α2n + β2m) [ 1√
ab
sinαnx sin βmy
]
∇2ϕnm (x, y) = −
(
α2n + β
2
m
)
ϕmn (x, y)
Los valores propios son − (α2n + β2m). Ahora bien, para que las funciones propias satisfagan la condicio´n de frontera
es necesario que sinαna = 0, sin βmb = 0, lo cual nos da αna = nπ, βmb = mπ, de modo que
αn =
nπ
a
; βm =
mπ
b
por tanto las funciones propias y valores propios esta´n dados por
ϕnm (x, y) =
1√
ab
sinαnx sin βmy ; λmn = −
(
α2n + β
2
m
)
; αn ≡ nπ
a
; βm ≡ mπ
b
(7.30)
sustituyendo (7.30) en (7.29) la funcio´n de Green queda
G
(
r, r′
)
= 4π
∑
n,m
[
1√
ab
sinαnx
′ sin βmy′
] [
1√
ab
sinαnx sin βmy
]
(α2n + β
2
m)
G
(
r, r′
)
=
4π
ab
∑
n,m
[sinαnx
′ sin βmy′] [sinαnx sin βmy]
(α2n + β
2
m)
(7.31)
Se ve´ que G (r, r′) = G (r′, r) .
7.7.2. Combinacio´n de me´todo directo con expansio´n ortonormal
Proponemos expansio´n ortonormal en x y me´todo directo en y.
G
(
x, x′, y′y′
)
=
∞∑
n=1
sinαnx sinαnx
′Fn
(
y, y′
)
(7.32)
La parte en x, x′ es sime´trica y satisface las condiciones de frontera. Nos queda por tanto evaluar Fn (y, y′), a partir
de la ecuacio´n de Green (
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
)
G
(
x, x′, y, y′
)
= −4πδ (x− x′) δ (y − y′) (7.33)
usando la relacio´n de completez para los senos11 en x, x′ y el ansatz (7.32) para G, la Ec. (7.33) queda(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
)[ ∞∑
n=1
sinαnx sinαnx
′Fn
(
y, y′
)]
= −4π
a
[ ∞∑
n=1
sinαnx sinαnx
′
]
δ
(
y − y′)
de modo que
∞∑
n=1
sinαnx sinαnx
′
[
−α2nFn
(
y, y′
)
+
∂2Fn (y, y
′)
∂y2
]
= −4π
a
[ ∞∑
n=1
sinαnx sinαnx
′
]
δ
(
y − y′)
9En esta expresio´n general aparece un solo ro´tulo n, si existe mas de un ro´tulo siempre es posible renumerar para convertirlo en uno
solo (n1, n2, . . . , nk)→ n.
10De nuevo, los cosenos tambie´n intervienen en principio, pero se eliminan por las condiciones de frontera.
11Recordemos que los senos son una base completa en el intervalo (0, a).
102 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
y en virtud de la independencia lineal de sinαnx
−α2nFn
(
y, y′
)
+
∂2Fn (y, y
′)
∂y2
= −4π
a
δ
(
y − y′)(
∂2y − α2n
)
Fn
(
y, y′
)
= −4π
a
δ
(
y − y′) (7.34)De nuevo nos concentramos primero en la solucio´n homoge´nea cuando y 6= y′, la cual tiene la forma general Fn (y, y′) =
A (y′) coshαny +B (y′) sinhαny
a) Si y < y′ se cumple G = 0 en y = 0 ⇒ Fn1 = 0 en y = 0, de modo que Fn1 (y, y′) = Bn1 (y′) sinhαny que se
puede escribir como
Fn1
(
y, y′
)
= Bn1
(
y′
)
sinhαny<
b) Para y > y′ G = 0 en y = b
Fn2
(
y, y′
)
= Cn2
(
y′
)
sinhαn (b− y)
Fn2
(
y, y′
)
= Cn2
(
y′
)
sinhαn (b− y>)
la solucio´n para ambas regiones es el producto de las soluciones anteriores
Fn
(
y, y′
)
= Bn1
(
y′
)
Cn2
(
y′
)
sinhαny< sinhαn (b− y>)
Fn
(
y, y′
)
= Cn
(
y′
)
sinhαny< sinhαn (b− y>) (7.35)
donde de nuevo hemos absorbido dos constantes en una. La constante Cn se evalu´a de nuevo integrando la ecuacio´n
diferencial (7.34) en una vecindad infinitesimal de la regio´n inhomoge´nea12∫ y=y′+ε
y=y′−ε
(
∂2y − α2n
)
Fn
(
y, y′
)
dy = −4π
a
∫ y=y′+ε
y=y′−ε
δ
(
y − y′) dy∫ y=y′+ε
y=y′−ε
(
∂2yFn
)
dy − α2n
∫ y=y′+ε
y=y′−ε
Fn dy = −4π
a
∫ y=y′+ε
y=y′−ε
δ
(
y − y′) dy
si la funcio´n Fn (y, y
′) es continua y acotada la integral sobre la funcio´n tiende a cero cuando ε → 0+ (no as´ı la
integral de su segunda derivada)
∂yFn|y=y
′+ε
y=y′−ε = −
4π
a
(7.36)
reemplazando las soluciones (7.35) en (7.36) tenemos
Cn
∂
∂y
[sinhαny< sinhαn (b− y>)]
∣∣∣∣
y=y′+ε
−Cn ∂
∂y
[sinhαny< sinhαn (b− y>)]
∣∣∣∣
y=y′−ε
= −4π
a
cuando y = y′+ε tenemos que y = y> y y′ = y<. Cuando y = y′−ε se tiene y′ = y> y y = y<, con lo cual la ecuacio´n
anterior queda en la forma
Cn
∂
∂y
[
sinhαny
′ sinhαn (b− y)
]∣∣∣∣
y=y′+ε
− Cn ∂
∂y
[
sinhαny sinhαn
(
b− y′)]∣∣∣∣
y=y′−ε
= −4π
a
−αnCn sinhαny′ coshαn (b− y)
∣∣
y=y′+ε
− αnCn sinhαn
(
b− y′) coshαny∣∣y=y′−ε = −4πa
tomando el l´ımite ε→ 0+
αnCn
[
sinhαny
′ coshαn
(
b− y′)+ sinhαn (b− y′) coshαny′] = 4π
a
12No´tese que en este caso no estamos integrando sobre la funcio´n de Green completa, sino solo sobre la ecuacio´n para Fn (y, y
′). Esto
en virtud de que la inhomogeneidad asociada a x, x′ ya fue´ inclu´ıda al expandir δ (x− x′) en senos.
7.7. FUNCIO´N DE GREEN BIDIMENSIONAL EN COORDENADAS CARTESIANAS 103
usando identidades para la suma de funciones hiperbo´licas
4π
a
= αnCn
[
sinhαny
′ (coshαnb coshαny′ − sinhαnb sinhαny′)
+
(
sinhαnb coshαny
′ − coshαnb sinhαny′
)
coshαny
′]
αnCn sinhαnb
(
cosh2 αny
′ − sinh2 αny′
)
=
4π
a
pero cosh2 αny
′ − sinh2 αny′ = 1 quedando
Cn =
4π
aαn sinhαnb
(7.37)
sustituyendo (7.37) en (7.35) la funcio´n Fn (y, y
′) queda en la forma
Fn
(
y, y′
)
=
4π
aαn sinhαnb
sinhαny< sinhαn (b− y>) (7.38)
y reemplazando (7.38) en el ansatz (7.32), la funcio´n de Green finalmente resulta
G
(
x, x′, y, y′
)
=
4π
a
∞∑
n=1
sinαnx sinαnx
′ sinhαny< sinhαn (b− y>)
αn sinhαnb
(7.39)
7.7.3. Me´todo directo
Partiendo de la ecuacio´n de Green(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
)
G
(
x, x′, y, y′
)
= −4πδ (x− x′) δ (y − y′) (7.40)
solucionamos primero la ecuacio´n homoge´nea(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
)
G
(
x, x′, y, y′
)
= 0 (7.41)
va´lida para y 6= y′. Puesto que la ecuacio´n (7.41) es homoge´nea13 (ecuacio´n de Laplace en dos dimensiones), es
natural asumir separacio´n de variables: G = A (x, x′)B (y, y′) reemplazando y dividiendo por AB(
∂2
∂x2 +
∂2
∂y2
)
A (x, x′)B (y, y′)
AB
= 0[
∂2
∂x2
A (x, x′)
]
B (y, y′) +A (x, x′)
[
∂2
∂y2
B (y, y′)
]
AB
= 0
∂2xA (x, x
′)
A
+
∂2yB (y, y
′)
B
= 0
∂2xA (x, x
′)
A (x, x′)
= −∂
2
yB (y, y
′)
B (y, y′)
= −α2
donde α es una constante, las ecuaciones diferenciales quedan
∂2xA
(
x, x′
)
+ α2A
(
x, x′
)
= 0 ; ∂2yB
(
y, y′
)− α2B (y, y′) = 0
cuyas soluciones son:
A
(
x, x′
)
= C1
(
x′
)
eiαx + C2
(
x′
)
e−iαx
B
(
y, y′
)
= D1
(
y′
)
eαy +D2
(
y′
)
e−αy
la segunda ecuacio´n se puede escribir tambie´n como combinacio´n lineal de senos y cosenos hiperbo´licos, la solucio´n
general es entonces
G
(
x, x′, y, y′
)
=
[
C1
(
x′
)
eiαx + C2
(
x′
)
e−iαx
] [
D1
(
y′
)
exp (αy) +D2
(
y′
)
exp (−αy)]
13Es suficiente asumir que y 6= y′ para tener una ecuacio´n homoge´nea si tenemos en cuenta el cara´cter de distribucio´n de la delta de
Dirac. Es decir, cuando integramos en x y en y, la integral en x es en general finita y la de y es cero. Naturalmente tambie´n podr´ıamos
comenzar con x 6= x′.
104 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
1. Para y < y′, G = 0 en y = 0 se cumple si D1 = −D2 de modo que
B1
(
y, y′
)
= D1
(
y′
)
sinhαy<
2. Para y > y′, G = 0 en y = b se cumple si D1eαb +D2e−αb = 0. La solucio´n se puede escribir como
B2
(
y, y′
)
= K2
(
y′
)
sinhα (b− y>)
El producto nos da la solucio´n para y en todo el intervalo
B
(
y, y′
)
= K
(
y′
)
sinhαy< sinhα (b− y>)
y la funcio´n de Green es
G
(
x, x′, y, y′
)
=
[
C1
(
x′
)
eiαx + C2
(
x′
)
e−iαx
]
K
(
y′
)
sinhαy< sinhα (b− y>)
Para determinar las constantes C1 (x
′) , C2 (x′) tenemos en cuenta que G = 0 en x = 0⇒ C2 (x′) = −C1 (x′); con
G = 0 en x = a⇒ sinαa = 0, la solucio´n para x queda
An
(
x, x′
)
= Cn
(
x′
)
sinαnx ; αn =
nπ
a
y un conjunto de soluciones para la funcio´n de Green es
Gn
(
x, x′, y, y′
)
= Cn
(
x′
)
Kn
(
y′
)
sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>)
recordemos que por ahora estamos solucionando solo la parte homoge´nea, y recordando que la superposicio´n de
soluciones es tambie´n solucio´n (principio de superposicio´n solo va´lido para la parte homoge´nea), entonces la solucio´n
ma´s general es una superposicio´n de las soluciones ya encontradas
G
(
x, x′, y, y′
)
=
∑
n
Cn
(
x′
)
Kn
(
y′
)
sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>) (7.42)
puesto que ya ajustamos las condiciones de frontera en x y en y, lo siguiente es encontrar la informacio´n sobre la
parte inhomoge´nea14. Para extraer la informacio´n de la parte inhomoge´nea en x− x′, insertamos esta solucio´n en la
ecuacio´n de Green inhomoge´nea y expandimos δ (x− x′) en la base ortonormal de senos.
(
∂2x + ∂
2
y
) [∑
n
Cn
(
x′
)
Kn
(
y′
)
sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>)
]
= −4π
a
δ
(
y − y′) ∞∑
n=1
sinαnx sinαnx
′
∑
n
−α2nCn
(
x′
)
Kn
(
y′
)
sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>)
+
∑
n
Cn
(
x′
)
Kn
(
y′
)
sinαnx ∂
2
y [sinhαny< sinhαn (b− y>)] = −
4π
a
δ
(
y − y′) ∞∑
n=1
sinαnx sinαnx
′
∑
n
Cn
(
x′
)
Kn
(
y′
)
sinαnx
{−α2n sinhαny< sinhαn (b− y>) + ∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)]}
= −4π
a
δ
(
y − y′) ∞∑
n=1
sinαnx sinαnx
′
en virtud de la independencia lineal de sinαnx
Cn
(
x′
)
Kn
(
y′
) {−α2n sinhαny< sinhαn (b− y>) + ∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)]} = −4πa δ (y − y′) sinαnx′ (7.43)
14En la Ec. (7.42) no es conveniente absorber las constantes Cn (x
′) y Kn (y
′) en una sola constante Pn (x
′, y′) puesto que se pierde la
informacio´n de que son funciones separables de x′ y y′.
7.7. FUNCIO´N DE GREEN BIDIMENSIONAL EN COORDENADAS CARTESIANAS 105
gene´ricamente, esta ecuacio´n se puede escribir como
Cn
(
x′
)
Hn
(
y, y′
)
= −4π
a
δ
(
y − y′) sinαnx′ (7.44)
Hn
(
y, y′
) ≡ −α2nKn (y′) sinhαny< sinhαn (b− y>) +Kn (y′) ∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)] (7.45)
la ecuacio´n (7.44) nos muestra que Hn (y, y
′) es proporcional a δ (y − y′) y que Cn (x′) es proporcional a sinαnx′. Por
tanto, escribiremos
Cn
(
x′
)
= Fn sinαnx
′ (7.46)
y redefiniendo Rn (y
′) ≡ FnKn (y′), la funcio´n de Green (7.42) queda
G
(
x, x′, y, y′
)
=
∑
n
Rn(
y′
)
sinαnx
′ sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>) (7.47)
de nuevo esta forma de la funcio´n de Green (al menos la parte en x) se pudo haber supuesto desde el principio usando
la simetr´ıa G (x, x′, y, y′) = G (x′, x, y, y′) 15. El factor Rn (y′) contiene la informacio´n de la parte inhomoge´nea en y y
su valor se puede extraer integrando y entre (y′ − ε, y′ + ε) en la ecuacio´n inhomoge´nea 16. Retomando (7.43) pero
teniendo en cuenta (7.46) y la definicio´n de Rn (y
′) tenemos
Rn
(
y′
)
sinαnx
′ {−α2n sinhαny< sinhαn (b− y>) + ∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)]} = −4πa δ (y − y′) sinαnx′
Rn
(
y′
) {−α2n sinhαny< sinhαn (b− y>) + ∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)]} = −4πa δ (y − y′)
−Rn
(
y′
)
α2n
∫ y=y′+ε
y=y′−ε
sinhαny< sinhαn (b− y>) dy +Rn
(
y′
) ∫ y=y′+ε
y=y′−ε
∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)] dy
= −4π
a
∫ y=y′+ε
y=y′−ε
δ
(
y − y′)
la primera integral de la izquierda tiende a cero cuando ε→ 0+. La segunda queda
Rn
[
∂
∂y
[sinhαny< sinhαn (b− y>)]
]y=y′+ε
y=y′−ε
= −4π
a
Rn
{[
∂
∂y
[sinhαny< sinhαn (b− y>)]
]
y=y′+ε
−
[
∂
∂y
[sinhαny< sinhαn (b− y>)]
]
y=y′−ε
}
= −4π
a
Rn
{[
∂
∂y
[
sinhαny
′ sinhαn (b− y)
]]
y=y′+ε
−
[
∂
∂y
[
sinhαny sinhαn
(
b− y′)]]
y=y′−ε
}
= −4π
a
Rn
{−αn sinhαny′ coshαn (b− y′)− αn coshαny′ sinhαn (b− y′)} = −4π
a
Rnαn
{
sinhαny
′ coshαn
(
b− y′)+ coshαny′ sinhαn (b− y′)} = 4π
a
Rnαn sinhαnb
{
cosh2 αny
′ − sinh2 αny′
}
=
4π
a
Rnαn sinhαnb =
4π
a
resultando
Rn =
4π
a αn sinhαnb
(7.48)
15No´tese sin embargo que estrictamente hablando, la simetr´ıa nos dice que G (r, r′) = G∗ (r′, r) que en realidad equivale a invertir todas
las coordenadas simulta´neamente. Esto no nos garantiza que una funcio´n de Green real sea sime´trica cuando se invierte una coordenada
solamente. Sin embargo, este ansatz es consistente en la mayor´ıa de los casos
16La parte inhomoge´nea en x ya se tuvo en cuenta al expandir δ (x− x′). Obse´rvese que para solucionar la parte homoge´nea solo
supusimos y 6= y′.
106 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
reemplazando (7.48) en (7.47), la funcio´n de Green se escribe
G
(
x, x′, y, y′
)
=
4π
a
∑
n
sinαnx
′ sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>)
αn sinhαnb
(7.49)
que coincide en forma con la funcio´n de Green combinando me´todo directo con expansio´n ortonormal, Ec. (7.39),
Pa´g. 103.
7.8. Problema bidimensional semi-infinito
Los problemas que involucran una regio´n no acotada requieren expansiones en el cont´ınuo en la variable que no
esta´ acotada. Esto debido a que las bases para espacios vectoriales de funciones f (x) definidas entre −∞ e ∞, son
bases cont´ınuas. Por tanto, las sumas se convierten en integrales para las variables no acotadas.
7.8.1. Expansio´n ortonormal
Tomemos un recta´ngulo cuya anchura tiende a infinito de tal forma que para condiciones de Dirichlet nos impone
G = 0 en y = 0, b y G = 0 en x = ±∞. Puesto que la frontera es acotada en la coordenada y, las condiciones de
frontera en esta coordenada son satisfechas por una superposicio´n discreta de senos como ya hemos visto. Por otro
lado, las condiciones de frontera en x requieren el uso de una base completa en el intervalo (−∞,∞), lo cual a su
vez requiere del uso de bases cont´ınuas. Por tanto, es sensato usar la expansio´n
G
(
x, x′, y, y′
)
=
∞∑
n=1
sinβny sin βny
′
∫ ∞
−∞
An (k) e
ik(x−x′) dk
la proposicio´n en la parte cont´ınua de la forma eik(x−x′) esta´ inspirada en la propiedad G (x, x′, y, y′) = G∗ (x′, x, y′, y)
teniendo en cuenta que el intercambio y ↔ y′ deja invariante a la funcio´n de Green de acuerdo con la forma propuesta.
Usamos las relaciones de completez
δ
(
x− x′) = 1
2π
∫ ∞
−∞
eik(x−x
′) dk ; δ
(
y − y′) = 1
a
∞∑
n=1
sin βny sin βny
′ ; βn ≡ nπ
b
(7.50)
el lector puede verificar que la funcio´n de Green toma la forma
G ∝
∞∑
n=1
∫
dk
eik(x−x
′)
k2 + α2n
sinαny sinαny
′ (7.51)
7.8.2. Uso del teorema de valores propios
La expresio´n (7.9) puede generalizarse, para un espectro de funciones propias con una parte cont´ınua y una parte
discreta
G
(
r, r′, λ
)
= 4π
∑
n
∫
ϕ∗n (k, r′)ϕn (k, r)
λ− λn (k) dk
Se deja al lector la tarea de encontrar una base de funciones propias del operador ∂2x+∂
2
y que posea una parte discreta
y otra cont´ınua, y que cumpla las condiciones de frontera.
7.8.3. Combinacio´n de expansio´n ortonormal con me´todo directo
Asumimos
G =
∞∑
n=1
sinβny sinβny
′Fn
(
x, x′
)
7.8. PROBLEMA BIDIMENSIONAL SEMI-INFINITO 107
introduciendo esta expansio´n en la ecuacio´n de Green y expandiendo δ (y − y′) en senos
(
∂2x + ∂
2
y
) ∞∑
n=1
sin βny sinβny
′Fn
(
x, x′
)
= −4π
b
δ
(
x− x′) ∞∑
n=1
sin βny sin βny
′
∞∑
n=1
[
∂2xFn
(
x, x′
)− β2nFn (x, x′)] sin βny′ sin βny = −4πb δ (x− x′)
∞∑
n=1
sin βny sin βny
′
por independencia lineal (
∂2x − β2n
)
Fn
(
x, x′
)
= −4π
b
δ
(
x− x′)
para x 6= x′ la solucio´n es Fn (x, x′) = A (x′) eβnx +Be−βnx
1. Si x < x′ ⇒ G→ 0, cuando x→ −∞, resultando
Fn1
(
x, x′
)
= An1e
βnx = An1e
βnx<
2. Si x > x′ ⇒ G→ 0, cuando x→∞, resultando
Fn2
(
x, x′
)
= Bn2e
−βnx = Bn2e−βnx>
La solucio´n es
Fn1
(
x, x′
)
= Cne
βnx<e−βnx> = Cne−βn(x>−x<)
y puesto que x> − x< > 0, tenemos que
Fn1
(
x, x′
)
= Cne
−βn|x−x′|
al integrar en la vecindad de la inhomogeneidad en la ecuacio´n se obtiene
Cn =
2π
bβn
resultando
G
(
x, x′, y, y′
)
=
2π
b
∞∑
n=1
sin βny sin βny
′e−βn(x>−x<)
βn
=
2π
b
∞∑
n=1
sin βny sinβny
′e−βn|x−x
′|
βn
7.8.4. Combinacio´n de me´todo directo con expansio´n cont´ınua
Podemos proceder usando una base cont´ınua sobre x y una funcio´n libre en y
G =
∫ ∞
−∞
eik(x−x
′)Fk
(
y, y′
)
dk ; δ
(
x− x′) = 1
2π
∫ ∞
−∞
eik(x−x
′) dk
introduciendo estas expansiones en la ecuacio´n de Green
(
∂2x + ∂
2
y
) ∫ ∞
−∞
eik(x−x
′)Fk
(
y, y′
)
dk = −4π
2π
δ
(
y − y′) ∫ ∞
−∞
eik(x−x
′) dk∫ ∞
−∞
eik(x−x
′)
[−k2Fk (y, y′)+ ∂2yFk (y, y′)] dk = −2δ (y − y′) ∫ ∞
−∞
eik(x−x
′) dk
la independencia lineal nos da [
∂2y − k2
]
Fk
(
y, y′
)
= −2δ (y − y′)
y se obtiene
G = 2
∫ ∞
−∞
eik(x−x
′) sinh ky< sinh k (b− y>)
k sinh kb
dk
108 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
7.9. Anotaciones generales
1. Hemos visto varias estrategias para calcular funciones de Green, que podemos numerar as´ı:
a) Expansio´n ortonormal en x, y: recomendable cuando podemos encontrar bases tanto en x como en y, que
puedan ajustar fa´cilmente las condiciones de frontera.
b) Expansio´n ortonormal en x o´ y, y funcio´n libre en la otra variable: recomendable si la expansio´n ortonormal
es fa´cilmente ajustable a las condiciones de frontera y la ecuacio´n diferencial para la funcio´n libre es
fa´cilmente soluble.
c) Me´todo directo: Se asume funcio´n libre en ambas variables. Si la ecuacio´n diferencial es fa´cilmente soluble,
este me´todo usualmente conduce a soluciones ma´s simples o cerradas.
d) Uso del teorema de valores propios: Recomendable cuando podemos hallar una base de funciones propias
en donde las condiciones de frontera sean fa´cilmente ajustables. En esencia este me´todo tambie´n es una
expansio´n ortonormal, pero los coeficientes se hallan mas fa´cilmente.
2. Con fronteras en el infinito, es recomendable usar espectros cont´ınuos de funciones base. En particular, la
representacio´n exponencial cont´ınua es de amplio uso en virtud del lema de Riemann-Lebesgue que nos dice
que
l´ım
x→∞
∫ b
a
e±ikxF (k) dk = 0
si F (k) es absolutamenteintegrable i.e. ∫ b
a
|F (k)| dk = finito
este lema nos garantiza que G→ 0 cuando x→ ±∞.
7.10. Funcio´n de Green en coordenadas polares
Para escribir la ecuacio´n de Green en coordenadas polares
∇2G (r, r′) = −4πδ (r− r′)
debemos escribir el Laplaciano en coordenadas polares
∇2 = 1
ρ
∂
∂ρ
[
ρ
∂
∂ρ
]
+
1
ρ2
∂2
∂ϕ2
as´ı como la representacio´n adecuada de la delta de Dirac en estas coordenadas. Para esto es necesario tener en cuenta
que la distribucio´n debe cumplir la propiedad fundamental∫
V
δ
(
r− r′) d(n)r = 1
siempre que r′ este´ dentro del volumen. n se refiere a la dimensio´n del espacio en cuestio´n que en nuestro caso es
n = 2, en coordenadas polares un diferencial de a´rea d2r se escribe en la forma dS = ρ dρ dϕ. Teniendo en cuenta
que ∫
δ
(
ρ− ρ′) dρ = ∫ δ (ϕ− ϕ′) dϕ = 1
podemos escribir
1 =
[∫
δ
(
ρ− ρ′) dρ] [∫ δ (ϕ− ϕ′) dϕ] = ∫ ∫ δ (ρ− ρ′) δ (ϕ− ϕ′) dρ dϕ
1 =
∫ ∫ [
δ (ρ− ρ′)
ρ
δ
(
ϕ− ϕ′)] ρ dρ dϕ = ∫
V
δ
(
r− r′) dS
7.10. FUNCIO´N DE GREEN EN COORDENADAS POLARES 109
por tanto la representacio´n de la delta de Dirac en coordenadas polares queda
δ
(
r− r′) = δ (ρ− ρ′)
ρ
δ
(
ϕ− ϕ′)
y la ecuacio´n de Green es entonces
1
ρ
∂
∂ρ
[
ρ
∂G
∂ρ
]
+
1
ρ2
∂2G
∂ϕ2
= −4π
ρ
δ
(
ρ− ρ′) δ (ϕ− ϕ′) (7.52)
A manera de ejemplo, para encontrar la funcio´n de Green de la cun˜a mostrada en la figura 7.1, es obviamente mas
Figura 7.1: Funcio´n de Green con condiciones de Dirichlet, para el interior de una cun˜a de radio R y que subtiende
un a´ngulo β.
conveniente el uso de coordenadas polares. Las condiciones de Dirichlet equivalen a G = 0 en ϕ = 0, β y en ρ = R.
Hagamos una expansio´n de la forma
G
(
ρ, ρ′, ϕ, ϕ′
)
=
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′Fn
(
ρ, ρ′
)
; αn =
nπ
β
(7.53)
δ
(
ϕ− ϕ′) = 1
β
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′ (7.54)
introduciendo las expansiones (7.53) y (7.54) en la ecuacio´n de Green (7.52)
∂
∂ρ
{
ρ
∂
∂ρ
[ ∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′Fn
(
ρ, ρ′
)]}
+
1
ρ
∂2
∂ϕ2
[ ∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′Fn
(
ρ, ρ′
)]
= −4π
β
δ
(
ρ− ρ′) ∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
∂
∂ρ
[ ∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′Fn
(
ρ, ρ′
)]
+ ρ
{
∂2
∂ρ2
[ ∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′Fn
(
ρ, ρ′
)]}
+
1
ρ
∂2
∂ϕ2
[ ∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′Fn
(
ρ, ρ′
)]
= −4π
β
δ
(
ρ− ρ′) ∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′∂ρFn
(
ρ, ρ′
)
+
∞∑
n=1
ρ sinαnϕ sinαnϕ
′∂2ρFn
(
ρ, ρ′
)
−
∞∑
n=1
1
ρ
α2n sinαnϕ sinαnϕ
′Fn
(
ρ, ρ′
)
= −4π
β
δ
(
ρ− ρ′) ∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
110 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
[
∂ρFn
(
ρ, ρ′
)
+ ρ∂2ρFn
(
ρ, ρ′
)− 1
ρ
α2nFn
(
ρ, ρ′
)]
= −4π
β
δ
(
ρ− ρ′) ∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
resultando
∂ρFn
(
ρ, ρ′
)
+ ρ∂2ρFn
(
ρ, ρ′
)− 1
ρ
α2nFn
(
ρ, ρ′
)
= −4π
β
δ
(
ρ− ρ′)(
ρ∂2ρ + ∂ρ −
1
ρ
α2n
)
Fn
(
ρ, ρ′
)
= −4π
β
δ
(
ρ− ρ′)
con ρ 6= ρ′ tenemos una ecuacio´n homoge´nea dada por(
ρ∂2ρ + ∂ρ −
1
ρ
α2n
)
Fn
(
ρ, ρ′
)
= 0(
ρ2∂2ρ + ρ∂ρ − α2n
)
Fn
(
ρ, ρ′
)
= 0 (7.55)
que coincide con la Ec. (3.19) Pa´g. 44, cuya solucio´n esta´ dada por la Ec. (3.23) Pa´g. 44
Fn
(
ρ, ρ′
)
= A
(
ρ′
)
ραn +B
(
ρ′
)
ρ−αn (7.56)
1. Para ρ < ρ′, G = 0 en ρ = 0 esto prohibe que existan αn positivos y negativos al tiempo. Eligiendo αn positivo
(no puede ser cero) nos queda Fn1 (ρρ
′) = An1 (ρ′) ραn = An1 (ρ′) ραn<
2. Para ρ > ρ′, G = 0 en ρ = R⇒ Fn2 (ρρ′) = An2 (ρ′)
[( ρ
R
)αn − (Rρ )αn] = An2 (ρ′) [(ρ>R )αn − ( Rρ>)αn]
La solucio´n homoge´nea completa es:
Fn
(
ρ, ρ′
)
= Cn
(
ρ′
)
ραn<
[(ρ>
R
)αn − ( R
ρ>
)αn]
Al integrar la ecuacio´n diferencial entre ρ = ρ′ − ε y ρ = ρ′ + ε se obtiene Cn = −2π/ (βRαnαn) de modo que
G
(
ρ, ρ′, ϕ, ϕ′
)
= −2π
β
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
αn
(ρ<
R
)αn [(ρ>
R
)αn − ( R
ρ>
)αn]
Esta solucio´n abarca como casos particulares al sector circular recto (β = π/2) y al semic´ırculo (β = π). Adicional-
mente, si tomamos R→∞ obtenemos
G
(
ρ, ρ′, ϕ, ϕ′
)
=
2π
β
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
αn
(
ρ<
ρ>
)αn
que abarca en particular al cuadrante y al semiplano. A priori estar´ıamos tentados a pensar que el c´ırculo se puede
generar con β = 2π, y el plano con β = 2π, R→∞. Sin embargo, es importante enfatizar que ni el c´ırculo completo
ni el plano se pueden generar de esta forma, como se explica en el siguiente problema.
Problem 10 Evaluar G para condiciones de Dirichlet en el interior de una regio´n circular de radio R. En este
caso no hay condiciones de frontera para ningu´n valor de ϕ, por tanto el uso exclusivo de senos es inadecuado. En
consecuencia, es necesario utilizar senos y cosenos, o equivalentemente, se puede usar eim(ϕ−ϕ
′) con lo cual se propone
G
(
ρ, ρ′, ϕ, ϕ′
)
=
∞∑
m=−∞
eim(ϕ−ϕ
′)Fm
(
ρ, ρ′
)
una proposicio´n de la forma
G
(
ρ, ρ′, ϕ, ϕ′
)
=
∞∑
n=1
∞∑
m=−∞
Amn sinβnρ sin βnρ
′eim(ϕ−ϕ
′)
es inconsistente ya que G no es necesariamente cero en ρ = 0 puesto que este punto no hace parte de la frontera.
Se necesitan de nuevo senos y cosenos en ρ. Adicionalmente, para el c´ırculo completo la funcio´n de Green debe ser
perio´dica en ϕ con periodo 2π, condicio´n que no se requiere cuando solo se toma un sector circular.
7.11. FUNCIO´N DE GREEN PARA ESPACIO INFINITO EN TRES DIMENSIONES 111
7.11. Funcio´n de Green para espacio infinito en tres dimensiones
La funcio´n de Green en tres dimensiones cumple con la ecuacio´n
∇2G (r, r′) = −4πδ (r− r′)
y recordando que
∇2
(
1
|r− r′|
)
= −4πδ (r− r′)
y observando que |r− r′|−1 tiende a cero cuando r → ∞ tenemos que esta es justamente la funcio´n de Green para
espacio infinito (frontera en el infinito). Recordemos que esta fue´ la primera funcio´n de Green que nos encontramos
en el camino as´ı como la ma´s simple.
Podemos encontrar un representacio´n de Fourier de esta funcio´n de Green usando la ecuacio´n de Green y supo-
niendo una solucio´n de la forma
G
(
r, r′
)
=
∫ ∞
−∞
A (k) eik·(r−r
′)d3k
usando la ecuacio´n de Green y la representacio´n de Fourier de la delta de Dirac
∇2
∫ ∞
−∞
A (k) eik·(r−r
′)d3k = − 4π
(2π)3
∫ ∞
−∞
eik·(r−r
′)d3k
∫ ∞
−∞
k2A (k) eik·(r−r
′)d3k = − 1
2π2
∫ ∞
−∞
eik·(r−r
′)d3k ⇒
A (k) =
1
2π2k2
la funcio´n de Green queda
G
(
r, r′
)
=
1
2π2
∫ ∞
−∞
eik·(r−r′)
k2
d3k
Una integracio´n por polos nos da que esta integral equivale a
G
(
r, r′
)
=
1
|r− r′|
lo cual muestra la consistencia del procedimiento.
7.12. Problemas
1) Considere una l´ınea recta infinita. Evalu´e la funcio´n de Green a partir de la ecuacio´n d
2G
dx2 = −4πδ (x− x′).
No´tese que no es posible satisfacer las condiciones de frontera utilizando sumatoria en senos y cosenos pues este
sistema no es completo cuando el intervalo tiende a infinito, en tal caso se debe utilizar una expansio´n cont´ınua.
Elijamos la expansio´n
G
(
x, x′
)
=
∫ ∞
−∞
g (k) eik(x−x
′)dk ; δ
(
x− x′) = 1
2π
∫ ∞
−∞
eik(x−x
′)dk
introduciendo estas expansiones en la funcio´n de Green
d2G
dx2
= −
∫ ∞
−∞
k2g (k) eik(x−x
′)dk = −4π 1
2π
∫ ∞
−∞
eik(x−x
′)dk ⇒
∫ ∞
−∞
k2g (k) eik(x−x
′)dk = 2
∫ ∞
−∞
eik(x−x
′)dk
la independencia lineal de las funciones nos permite igualar coeficientes
k2g (k) = 2⇒ g (k) = 2
k2
112 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
la funcio´n de Green queda
G
(
x, x′
)
=
∫ ∞
−∞
2
k2
eik(x−x
′)dk
la condicio´n de fronteraG→ 0 cuando x→ ±∞ se garantiza a trave´s del lema de Riemann-Lebesgue
l´ım
x→±∞
∫ b
−a
g (k) e±ikxdk = 0 si
∫ b
−a
|g (k)| dk <∞ y existe
en este caso (a, b)→ (−∞,∞) y g (k) = 2/k2∫ ∞
−∞
∣∣∣∣ 2k2
∣∣∣∣ dk = ∫ ∞−∞ 2k2 dk = −2k
∣∣∣∣∞
−∞
= 0
de modo que g (k) es absolutamente integrable y se cumple el lema. Esta integral se puede calcular por polos.
——————————————————————-
2) Evalu´e G para un paralelep´ıpedode lados a, b, c con condiciones de Dirichlet, usando triple suma de senos y
doble suma de senos
a) Usando triple suma de senos
G
(
x, x′
)
=
∑
n,m,l
Cmnl sinαnx sinαnx
′ sinβmy sin βmy′ sin γlz sin γlz′
αn =
nπ
a
, βm =
mπ
b
, γl =
lπ
c
los valores de αn, βm, γl garantizan las condiciones de frontera para G. el laplaciano aplicado a G queda(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
)
G
(
x, x′
)
= −
∑
n,m,l
(
α2n + β
2
m + γ
2
l
)
Cmnl
× sinαnx sinαnx′ sinβmy sin βmy′ sin γlz sin γlz′
usando las relaciones de completez
δ
(
x− x′) = 1
a
∑
n
sinαnx sinαnx
′ ; δ
(
y − y′) = 1
b
∑
m
sin βmy sinβmy
′
δ
(
z − z′) = 1
c
∑
l
sin γlz sin γlz
′
definimos W ≡ sinαnx sinαnx′ sin βmy sin βmy′ sin γlz sin γlz′ e introduciendo las expansiones en la funcio´n de Green
−
∑
n,m,l
(
α2n + β
2
m + γ
2
l
)
CmnlW = − 4π
abc
∑
n,m,l
W
debido a la condicio´n de ortogonalidad de los senos se tiene(
α2n + β
2
m + γ
2
l
)
Cmnl =
4π
abc
⇒ Cmnl = 4π
abc
(
α2n + β
2
m + γ
2
l
)
con lo cual la funcio´n de Green queda
G
(
x, x′
)
=
∑
n,m,l
4π sinαnx sinαnx
′ sin βmy sinβmy′ sin γlz sin γlz′
abc
(
α2n + β
2
m + γ
2
l
)
b) Usamos doble suma en senos de x, y y asumimos una funcio´n libre en z.
G
(
x, x′
)
=
∑
n,m
sinαnx sinαnx
′ sin βmy sin βmy′Fmn
(
z, z′
)
7.12. PROBLEMAS 113
escribamosH ≡ sinαnx sinαnx′ sin βmy sin βmy′. Utilizando completez para δ (x− x′) , δ (y − y′) y derivandoG (x, x′)
se obtiene ∑
n,m
[
d2Fnm
dz2
− (α2n + β2m)Fnm]H = −4πab ∑
m,n
Hδ
(
z − z′)⇒
d2Fnm
dz2
− (α2n + β2m)Fnm = −4πab δ (z − z′)
definiendo γ2nm ≡ α2n + β2m. sabemos que αn = nπ/a, βm = mπ/b. Para satisfacer las condiciones de frontera.
Para z 6= z′ se obtiene la ecuacio´n homoge´nea
d2Fnm
dz2
− γ2nm ⇒ Fnm ∼ Aeγnmz +Be−γnmz
a1) Para z < z′ se tiene que si z = 0⇒ G = 0 de modo que A = −B y tenemos una solucio´n de la forma
Fnm ∼ sinh γnmz = sinh γnmz<
b1) Para z > z′: si z = c⇒ G = 0
Fnm ∼ sinh γnm (c− z>)
de modo que la solucio´n general se puede escribir como
Fnm = ρnm sinh γnmz< sinh γnm (c− z>)
para hallar ρnm integramos la ecuacio´n diferencial entre (z
′ − ε, z′ + ε)∫ z=z′+ε
z=z′−ε
d2Fnm
dz2
dz − γ2
∫ z=z′+ε
z=z′−ε
F
(
z, z′
)
dz = −4π
ab
∫ z=z′+ε
z=z′−ε
δ
(
z − z′) dz
al ser Fnm una funcio´n cont´ınua en los intervalos (z
′ − ε, z′) y (z′, z′ + ε) se tiene que
l´ım
ε→0
∫ z=z′+ε
z=z′−ε
F
(
z, z′
)
dz = 0
resultando
dFnm
dz
∣∣∣∣z=z′+ε
z=z′−ε
= −4π
ab
⇒ dFnm
dz
∣∣∣∣
z=z′+ε
− dFnm
dz
∣∣∣∣
z=z′−ε
= −4π
ab
cuando z = z′ + ε⇒ z = z> y z′ = z<. En el caso z = z′ − ε ocurre lo contrario
d
dz
[
ρnm sinh γnmz
′ sinh γnm (c− z)
]− d
dz
[
ρnm sinh γnmz sinh γnm
(
c− z′)] = −4π
ab
ρnm sinh γnmz
′ d [sinh γnm (c− z)]
dz
∣∣∣∣
z=z′+ε
− ρnm sinh γnm
(
c− z′) d [sinh γnmz]
dz
∣∣∣∣
z=z′−ε
= −4π
ab
−γnmρnm sinh γnmz′ cosh γnm
(
c− z′)− γnmρnm sinh γnm (c− z′) cosh γnmz′ = −4π
ab
γnmρnm
[
sinh γnmz
′ cosh γnm
(
c− z′)+ sinh γnm (c− z′) cosh γnmz′] = 4π
ab
donde hemos apelado a la continuidad de las funciones hiperbo´licas para ignorar ε cuando este para´metro tiende
a cero. Usando identidades trigonome´tricas hiperbo´licas
sinh a cosh (b− a) + sinh (b− a) cosh a = (cosh2 a− sinh2 a) sinh b = sinh b
γnmρnm sinh γnmc =
4π
ab
114 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
quedando finalmente
ρnm =
4π
γnmab sinh γnmc
Con esto ya tenemos la forma completa de la funcio´n de Green
G
(
x, x′
)
=
∑
n,m
4π sinh γnmz< sinh γnm (c− z>)
γnmab sinh γnmc
sinαnx sinαnx
′ sinβmy sin βmy′
————————————————————-
3) Encontrar la funcio´n de Green para una regio´n bidimensional definida por 0 ≤ ϕ ≤ β, y 0 ≤ ρ <∞.
La ecuacio´n para G en coordenadas polares es
∂2G
∂ρ2
+
1
ρ
∂G
∂ρ
+
1
ρ2
∂2G
∂ϕ2
= −4π
ρ
δ
(
ρ− ρ′) δ (ϕ− ϕ′)
ρ
∂2G
∂ρ2
+
∂G
∂ρ
+
1
ρ
∂2G
∂ϕ2
= −4πδ (ρ− ρ′) δ (ϕ− ϕ′)
las condiciones de Dirichlet exigen que G = 0 en ϕ = 0, β y en ρ = 0 y ρ → ∞. La condicio´n para ϕ puede ser
satisfecha para una serie de senos. Entonces escribimos G de la forma
G
(
ρ, ρ′, ϕ, ϕ′
)
=
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′Fn
(
ρ, ρ′
)
; αn =
nπ
β
usando completez para expandir δ (ϕ− ϕ′) = 1β
∑∞
n=1 sinαnϕ sinαnϕ
′ en introduciendo estas expansiones en la
ecuacio´n de Green
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
[
d2Fn
dρ2
+
1
ρ
dFn
dρ
− α
2
n
ρ2
Fn
]
= −4π
β
δ
(
ρ− ρ′) ∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
igualando coeficientes y multiplicando la ecuacio´n por ρ
ρ
d2Fn
dρ2
+
dFn
dρ
− α
2
n
ρ
Fn = −4π
β
δ
(
ρ− ρ′)⇒
d
dρ
[
ρ
dFn
dρ
]
− α
2
n
ρ
Fn = −4π
β
δ
(
ρ− ρ′)
para ρ 6= ρ′ obtenemos la ecuacio´n homoge´nea
d
dρ
[
ρ
dFn
dρ
]
− α
2
n
ρ
Fn = 0
cuya solucio´n es Fn (ρ, ρ
′) = Aραn +Bρ−αn
a1) si ρ < ρ′, G = 0 para ρ = 0 de modo que B = 0 para que Fn no diverja y cumpla la condicio´n de frontera
Fn
(
ρ, ρ′
) ∼ ραn ⇒ Fn (ρ, ρ′) ∼ ραn<
b1) si ρ > ρ′ ⇒ G = 0 para ρ→∞ de modo que A = 0
Fn
(
ρ, ρ′
) ∼ ρ−αn ⇒ Fn (ρ, ρ′) ∼ ρ−αn>
la solucio´n toma la forma
Fn
(
ρ, ρ′
)
= Cnρ
αn
< ρ
−αn
> = Cn
(
ρ<
ρ>
)αn
integramos la ecuacio´n diferencial inhomoge´nea entre ρ = ρ′ − ε y ρ = ρ′ + ε con ε→ 0∫ ρ=ρ′+ε
ρ=ρ′−ε
d
dρ
[
ρ
dFn
dρ
]
dρ− α
2
n
ρ
∫ ρ=ρ′+ε
ρ=ρ′−ε
Fn dρ = −4π
β
∫ ρ=ρ′+ε
ρ=ρ′−ε
δ
(
ρ− ρ′) dρ
7.12. PROBLEMAS 115
la continuidad de Fn hace que se anule la segunda integral cuando ε→ 0.[
ρ
dFn
dρ
]
ρ=ρ′+ε
−
[
ρ
dFn
dρ
]
ρ=ρ′−ε
= −4π
β
cuando ρ = ρ′ + ε⇒ ρ = ρ>, ρ′ = ρ<, cuando ρ = ρ′ − ε⇒ ρ′ = ρ>, ρ = ρ<
Cn
[
ρ
d
dρ
(
ρ′
ρ
)αn]
ρ=ρ′+ε
− Cn
[
ρ
d
dρ
(
ρ
ρ′
)αn]
ρ=ρ′−ε
= −4π
β
−αnCn
(
ρ′
)αn [(1
ρ
)αn]
ρ=ρ′+ε
− αnCn
(ρ′)αn
[ραn ]ρ=ρ′−ε = −
4π
β
2αnCn =
4π
β
⇒ Cn = 2π
αnβ
por ser funciones cont´ınuas en la vecindad de ρ′ hemos evaluado ambas en ρ′ y no en ρ′+ ε cuando ε→ 0. La funcio´n
de Green queda
G
(
ρ, ρ′, ϕ, ϕ′
)
=
2π
β
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
αn
(
ρ<
ρ>
)αn
esta solucio´n abarca en particular 1) El cuadrante (β = π/2) y el semiplano (β = π)
———————————————–
4) Para la cun˜a definida por G = 0 en ϕ = 0, β y ρ = 0, R asu´mase
G =
∑
n,m
anm sinαnϕ sinαnϕ
′ sinβmρ sin βmρ′
αn ≡ nπ
β
; βm =
mπ
R
¿Es esta una solucio´n consistente?
La funcio´n as´ı definida satisface las condiciones de Dirichlet, introduciendo G en la ecuacio´n diferencial, se mira
si es posible encontrar para esta solucio´n un coeficiente que dependa exclusivamente de m, y n.
∂G
∂ρ
=
∑
n,m
anmβm sinαnϕ sinαnϕ
′ cos βmρ sin βmρ′
∂2G
∂ρ2
= −
∑
n,m
anmβ
2
m sinαnϕ sinαnϕ
′ sin βmρ sin βmρ′
∂2G
∂ϕ2
= −
∑
n,m
anmα
2
n sinαnϕ sinαnϕ
′ sin βmρ sin βmρ′
la ecuacio´n diferencial insertando la completez es∑
n,m
[
βm cosβmρ−
(
α2n + β
2
m
)
sin βmρ
]
anm sinαnϕ sinαnϕ
′ sin βmρ′
= − 4π
βR
∑
n,m
sinαnϕ sinαnϕ
′ sin βmρ sin βmρ′ ⇒
∑
m
[
βm cos βmρ−
(
α2n + β
2
m
)
sin βmρ
]
anm sin βmρ′ = − 4π
βR
∑
m
sinβmρ sin βmρ
′
dado que el coseno y el seno son funciones linealmente independientes, no es posible encontrar una expresio´n para el
coeficiente anm que dependa exclusivamente de m y n como se propone al suponer la solucio´n de G; luego la solucio´n
propuesta es inconsistente.
La inconsistencia en la solucio´n esta´ relacionada con la singularidad asociada a la frontera en ρ→ 0 (chequear).
116 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
—————————————————————
5) Para la cun˜a con R→∞, ¿es posible escoger?
G =
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
∫ ∞
−∞
an (k) exp
[
ik
(
ρ− ρ′)] dk ?
Veamos si resulta una solucio´n consistente para a (k)
1
ρ
∂G
∂ρ
=
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
∫ ∞
−∞
ik
ρ
an (k) exp
[
ik
(
ρ− ρ′)] dk ?
∂2G
∂ρ2
= −
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
∫ ∞
−∞
k2an (k) exp
[
ik
(
ρ− ρ′)] dk
1
ρ2
∂2G
∂ϕ2
= − 1
ρ2
∞∑
n=1
α2n sinαnϕ sinαnϕ
′
∫ ∞
−∞
an (k) exp
[
ik
(
ρ− ρ′)] dk
introduciendo estas relaciones en la ecuacio´n diferencial, as´ı como la completez, nos da
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
∫ ∞
−∞
(
ik − k2ρ− α
2
n
ρ
)
an (k) exp
[
ik
(
ρ− ρ′)] dk = − 2
β
∞∑
n=1
sinαnϕ sinαnϕ
′
∫ ∞
−∞
exp
[
ik
(
ρ− ρ′)] dk
por ortogonalidad de senos y exponenciales se obtiene(
ik − k2ρ− α
2
n
ρ
)
an (k) = − 2
β
la cual nos da una solucio´n compleja para an (k). Sin embargo, esta solucio´n claramente depende tambie´n de ρ y no
exclusivamente de k lo cual contradice la hipo´tesis, obse´rvese en particular que con a (k, ρ) ya no podemos despejar
este coeficiente recurriendo a la independencia lineal (chequear). Por tanto la solucio´n es inconsistente.
——————————————–
6) Es posible escoger para la cun˜a con R→∞ la solucio´n
G =
∫ ∞
−∞
Fk
(
ϕ,ϕ′
)
exp
[
ik
(
ρ− ρ′)] dk ?
Introduciendo esta solucio´n y la completez en la ecuacio´n de Green se tiene∫ ∞
−∞
(
ikFk
(
ϕ,ϕ′
)− ρk2Fk (ϕ,ϕ′)+ 1
ρ
d2Fk (ϕ,ϕ
′)
dϕ2
)
exp
[
ik
(
ρ− ρ′)] dk
= −δ (ϕ− ϕ′) ∫ ∞
−∞
2 exp
[
ik
(
ρ− ρ′)] dk
(
ik − ρk2 + 1
ρ
d2
dϕ2
)
Fk
(
ϕ,ϕ′
)
= −2δ (ϕ− ϕ′)
para ϕ 6= ϕ′ y multiplicando por ρ (
ikρ− ρ2k2 + d
2
dϕ2
)
Fk
(
ϕ,ϕ′
)
= 0
La solucio´n es en general compleja. Pero de acuerdo con esta ecuacio´n, Fk (ϕ,ϕ
′) depender´ıa de ρ contradiciendo la
hipo´tesis. Por tanto la solucio´n planteada es inconsistente.
——————————————————-
7) Sea un c´ırculo de radio R, evalu´e G con condiciones de Dirichlet.
Dado que no hay condiciones de frontera para ϕ (excepto por la exigencia de periodicidad 2π en ϕ) y teniendo
en cuenta que para R no hay condicio´n de frontera en R = 0 puesto que este punto no es de la frontera, no podemos
7.12. PROBLEMAS 117
hacer una expansio´n en senos ni podemos generarlo como caso particular de la cun˜a con β = 2π. Usaremos entonces
una expansio´n en senos y cosenos o equivalentemente en exp [im (ϕ− ϕ′)]
G =
∞∑
m=−∞
Fm
(
ρ, ρ′
)
exp
[
im
(
ϕ− ϕ′)]
en este caso la relacio´n de completez es
∞∑
m=−∞
exp
[
im
(
ϕ− ϕ′)] = 2πδ (ϕ− ϕ′)
de modo que la ecuacio´n resultante es
∞∑
m=−∞
[
dFm (ρ, ρ
′)
dρ
+ ρ
d2Fm (ρ, ρ
′)
dρ2
− m
2
ρ
Fm
(
ρ, ρ′
)]
exp
[
im
(
ϕ− ϕ′)]
= −2δ (ρ− ρ′) ∞∑
m=−∞
exp
[
im
(
ϕ− ϕ′)]
d
dρ
[
ρ
dFm (ρ, ρ
′)
dρ
]
− m
2
ρ
Fm
(
ρ, ρ′
)
= −2δ (ρ− ρ′)
la solucio´n de la ecuacio´n homoge´nea para ρ 6= ρ′ es
Fm
(
ρ, ρ′
)
= Aρm +Bρ−m
a1) ρ < ρ′ ⇒ G debe ser finita en ρ = 0 de modo que B = 0⇒ Fm (ρρ′) ∼ ρm = ρm<
b1) ρ > ρ′ ⇒ G = 0 en ρ = R de modo que ARm +BR−m = 0⇒ B = −AR2m la solucio´n general queda
Fm = Aρ
m
> +Bρ
−m
> = Aρ
m
> −AR2mρ−m> = ARm
[(ρ>
R
)m − ( R
ρ>
)m]
= A′
[(ρ>
R
)m − ( R
ρ>
)m]
la solucio´n general es el producto de las dos anteriores
Fm
(
ρ, ρ′
)
= Cmρ
m
<
[(ρ>
R
)m − ( R
ρ>
)m]
integramos la ecuacio´n inhomoge´nea asumiendo continuidad de Fm (ρ, ρ
′)∫ ρ=ρ′+ε
ρ=ρ′−ε
{
d
dρ
[
ρ
dFm (ρ, ρ
′)
dρ
]}
dρ− m
2
ρ
∫ ρ=ρ′+ε
ρ=ρ′−ε
Fm
(
ρ, ρ′
)
dρ = −2
∫ ρ=ρ′+ε
ρ=ρ′−ε
δ
(
ρ− ρ′) dρ[
ρ
dFm (ρ, ρ
′)
dρ
]
ρ=ρ′+ε
−
[
ρ
dFm (ρ, ρ
′)
dρ
]
ρ=ρ′−ε
= −2
{
ρ
d
dρ
(
Cmρ
m
<
[(ρ>
R
)m − ( R
ρ>
)m])}
ρ=ρ′+ε
−
{
ρ
d
dρ
(
Cmρ
m
<
[(ρ>
R
)m − ( R
ρ>
)m])}
ρ=ρ′−ε
= −2
{
ρ
d
dρ
(
Cm
(
ρ′
)m [( ρ
R
)m
−
(
R
ρ
)m])}
ρ=ρ′+ε
−
{
ρ
d
dρ
(
Cmρ
m
[(
ρ′
R
)m
−
(
R
ρ′
)m])}
ρ=ρ′+ε
= −2{
ρCm
(
ρ′
)m [mρm−1
Rm
+
mRm
ρm+1
]}
ρ=ρ′+ε
−
{
Cmρ
[(
ρ′
R
)m
−
(
R
ρ′
)m]
mρm−1
}
ρ=ρ′+ε
= −2
Cm
[
m (ρ′)2m
Rm
+mRm
]
−Cm
[
m (ρ′)2m
Rm
−mRm
]
= −2
2mCmR
m = −2⇒ Cm = − 1
mRm
118 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
la solucio´n para G sera´ entonces
G
(
ρ, ρ′, ϕ, ϕ′
)
=
∞∑
m=−∞
ρm<
mRm
[(
R
ρ>
)m
−
(ρ>
R
)m]
exp
[
im
(
ϕ− ϕ′)]
———————————————————
8) Para el caso anterior, pruebe que las dos formas siguientes no son consistentes
G
(
ρ, ρ′, ϕ, ϕ′
)
=
∞∑
n=1
∞∑
m=−∞
Amn sin βnρ sin βnρ
′ exp
[
im
(
ϕ− ϕ′)]
G
(
ρ, ρ′, ϕ, ϕ′
)
=
∞∑
m=1
sin βmρ sin βmρ
′Fm
(
ϕ,ϕ′
)
a) usando la primera forma y las expansiones para los deltas de Dirac, la ecuacio´n de Green
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂G
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2G
∂ϕ2
= −4πδ (ρ− ρ′) δ (ϕ− ϕ′)
queda
1
ρ
∂
∂ρ
[
ρ
∞∑
n=1
∞∑
m=−∞
βnAmn cos βnρ sin βnρ
′ exp
[
im
(
ϕ− ϕ′)]]
− 1
ρ2
{ ∞∑
n=1
∞∑
m=−∞
Amnm
2 sin βnρ sin βnρ
′ exp
[
im
(
ϕ− ϕ′)]} = − 4π
2πR
∞∑
n=1
∞∑
m=−∞
sin βnρ sin βnρ
′ exp
[
im
(
ϕ− ϕ′)]
entonces
∞∑
n=1
∞∑
m=−∞
[
1
ρ
βnAmn cos βnρ− β2nAmn sin βnρ−
1
ρ2
Amnm
2 sin βnρ
]
sin βnρ
′ exp
[
im
(
ϕ− ϕ′)]
= − 4π
2πR
∞∑
n=1
∞∑
m=−∞
sin βnρ sin βnρ
′ exp
[
im
(
ϕ− ϕ′)]
la independencia lineal de las funciones exp [im (ϕ− ϕ′)] nos lleva a
∞∑
n=1
[
1
ρ
βnAmn cos βnρ− β2nAmn sin βnρ−
1
ρ2
Amnm
2 sin βnρ
]
sin βnρ
′ = − 2
R
∞∑
n=1
sinβnρ sin βnρ
′
pero no podemos igualar coeficientes recurriendo a la independencia lineal en las funciones de ρ, ρ′ debido a la
aparicio´n del factor cos βnρ, esto a su vez esta´ ligado al hecho de que en coordenadas polares, el laplaciano posee
primeras derivadas en ρ lo cual no ocurre cuando utilizamos coordenadas cartesianas, una expresio´n ana´loga se
obtiene con la segunda forma de expandir G.
————————————————————-
9) La funcio´n de Green de Dirichlet para el espacio semiinfinito definido por −∞ < y <∞, −∞ < z <∞, x ≥ 0.
Esta´ dada por
G
(
r, r′
)
=
1
π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
sinh γx< exp {i [ky (y − y′) + kz (z − z′)]− γx>}
γ
dky dkz
γ2 ≡ k2y + k2z
con base en este resultado, calcule el potencial debido a una placa plana infinita a potencial V , asumiendo que no
hay cargas en x > 0.
7.12. PROBLEMAS 119
El potencial dentro de la regio´n donde ha sido calculado G viene dado por
φ (r) =
∫
V
ρ
(
r′
)
G
(
r, r′
)
d3r′ − 1
4π
∮
S
[
φ
(
r′
) ∂G (r, r′)
∂n′
]
dS′
en nuestro caso ρ (r′) = 0 debido a la ausencia de cargas en la regio´n de intere´s. El potencial se reduce a
φ (r) = − 1
4π
∮
S
[
φ
(
r′
) ∂G (r, r′)
∂n′
]
dS′
la superficie que limita la regio´n donde fue´ calculada G se puede pensar como una semiesfera de radio infinito cuya
base es el plano Y Z donde esta´ la placa, y el eje X es el eje de simetr´ıa de dicha semiesfera. Sin embargo, solo la base
o superficie donde se encuentrala placa contribuye a la integral de superficie, ya que ∂G/∂n′ = 0 cuando alguna de
las variables tiende a infinito, lo cual se puede chequear a trave´s de las derivadas parciales ∂G/∂xi. Luego solo S
′
1 (el
plano Y Z) contribuye a la integral. El vector n′ es un vector perpendicular a dicha superficie saliendo del volumen
donde se calculo´ G, por tanto n′ = −ux y la condicio´n de frontera en la derivada direccional se convierte en
∂G
∂n′
= − ∂G
∂x′
∣∣∣∣
x′=0
como x′ = 0 a lo largo de toda la integracio´n, se tiene que x′ = x< puesto que x ≥ 0. De esta forma la derivada
direccional en la superficie es
− ∂G
∂x′
∣∣∣∣
x′=0
= − 1
π
∂
∂x′
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
[
sinh γx′ exp {i [ky (y − y′) + kz (z − z′)]− γx}
γ
]
dky dkz
∣∣∣∣
x′=0
− ∂G
∂x′
∣∣∣∣
x′=0
= − 1
π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
[
cosh γx′ exp
{
i
[
ky
(
y − y′)+ kz (z − z′)]− γx}] dky dkz∣∣∣∣
x′=0
− ∂G
∂x′
∣∣∣∣
x′=0
= − 1
π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
[
exp
{
i
[
ky
(
y − y′)+ kz (z − z′)]− γx}] dky dkz
por otro lado φ (x′) = V sobre S′1 y dS
′
1 = dz
′ dy′, la expresio´n para el potencial queda entonces
φ (r) =
V
4π2
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
[
exp
{
i
[
ky
(
y − y′)+ kz (z − z′)]− γx}] dky dkzdz′dy′
φ (r) =
V
4π2
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
{∫ ∞
−∞
[∫ ∞
−∞
exp
(−ikzz′) dz′] exp (−ikyy′) dy′} [exp {i [kyy + kzz]− γx}] dky dkz
φ (r) =
2πV
4π2
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
{∫ ∞
−∞
δ (kz) exp
(−ikyy′) dy′} [exp {i [kyy + kzz]− γx}] dky dkz
y recordando la definicio´n de γ
φ (r) = V
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
δ (ky) δ (kz)
[
exp
{
i [kyy + kzz]−
(√
k2y + k
2
z
)
x
}]
dky dkz
φ (r) = V
∫ ∞
−∞
δ (ky)
[
exp
(
ikyy −
√
k2yx
)]
dky
y el potencial queda finalmente
φ (r) = V
????????????????? es bueno revisar si es cierto que la integral de superficie sobre el resto de la semiesfera se anula.
—————————————————-
10) Calcule G para el ortoedro de altura semi infinita (0 ≤ z ≤ ∞) y de base rectangular (a, b).
Si proponemos una solucio´n de la forma
G =
∑
m,n
Fmn
(
z, z′
)
sinαnx sinαnx
′ sin βmy sin βmy′ ; αn =
nπ
a
; βm =
mπ
b
120 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
esta solucio´n garantiza las condiciones de frontera en X e Y . La ecuacio´n de Green en coordenadas cartesianas queda∑
m,n
[
d2Fmn
dz2
− γ2mnFmn
]
sinαnx sinαnx
′ sinβmy sin βmy′ = −4π
ab
δ
(
z − z′)∑
m,n
sinαnx sinαnx
′ sin βmy sinβmy′
donde hemos definido γ2mn ≡ α2n + β2m. La ecaucio´n diferencial para Fmn queda
d2Fmn
dz2
− γ2mnFmn = −
4π
ab
δ
(
z − z′)
resolvemos la homoge´nea z 6= z′, su solucio´n general es Fmn = A exp (γmnz) +B exp (−γmnz)
a) z < z′ ⇒ G = 0 cuando z = 0⇒ Fmn = A1 sinh γmnz<
b) z > z′ ⇒ G = 0 cuando z →∞⇒ Fmn = A2 exp (−γmnz>)
la solucio´n en ambos intervalos es
Fmn
(
z, z′
)
= Cmn sinh γmnz< exp (−γmnz>)
integramos la ecucio´n inhomoge´nea entre z′ − ε y z′ + ε
dFmn
dz
∣∣∣∣
z=z′+ε
− dFmn
dz
∣∣∣∣
z=z′−ε
= −4π
ab
Cmn
{
d
dz
[
sinh γmnz
′ exp (−γmnz)
]∣∣∣∣
z=z′+ε
− d
dz
[
sinh γmnz exp
(−γmnz′)]∣∣∣∣
z=z′−ε
}
= −4π
ab
Cmn
{
−γmn sinh γmnz′ exp (−γmnz)
∣∣
z=z′+ε
− [γmn cosh γmnz exp (−γmnz′)]∣∣z=z′−ε} = −4πab
−Cmnγmn exp
(−γmnz′) {sinh γmnz′ + cosh γmnz} = −4π
ab
Cmnγmn exp
(−γmnz′) exp (γmnz′) = 4π
ab
Cmn =
4π
abγmn
la funcio´n de Green es
G =
4π
ab
∑
m,n
sinh γmnz< exp (−γmnz>) sinαnx sinαnx′ sinβmy sin βmy′
γmn
esta es la solucio´n para un orotedro de base (a, b) cuya base inferior esta´ sobre el plano XY y con 0 ≤ z ≤ ∞. Sin
embargo, si la altura va desde −∞ ≤ z ≤ ∞ la solucio´n de G toma otra forma.
——————————————-
9) Calcule G para el ortoedro de altura infinita (−∞ ≤ z ≤ ∞) y de base rectangular (a, b).
Se podr´ıa usar la misma forma funcional del problema anterior, la funcio´n Fmn cumple la misma ecuacio´n dife-
rencial pero con diferentes condiciones de frontera. En lugar de ello, usaremos la expansio´n
G
(
x, x′, y, y′, z, z′
)
=
∑
m,n
sinαnx sinαnx
′ sin βmy sinβmy′
∫ ∞
−∞
anm (k) e
ik(z−z′) dk
la ecuacio´n de Green queda
−
∑
m,n
sinαnx sinαnx
′ sinβmy sin βmy′
∫ ∞
−∞
anm (k)
[
α2n + β
2
m + k
2
]
eik(z−z
′) dk
= − 4π
2πab
∑
m,n
sinαnx sinαnx
′ sin βmy sin βmy′
∫ ∞
−∞
eik(z−z
′) dk
7.12. PROBLEMAS 121
[
α2n + β
2
m + k
2
]
anm (k) =
2
ab
⇒ a (k) = anm (k) = 2
ab (α2n + β
2
m + k
2)
y la funcio´n de Green queda finalmente
G
(
x, x′, y, y′, z, z′
)
=
∑
m,n
sinαnx sinαnx
′ sinβmy sin βmy′
∫ ∞
−∞
2eik(z−z
′) dk
ab (α2n + β
2
m + k
2)
la integral se puede calcular por polos.
—————————————
10) Evaluar G en el octante x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. En este caso es mas conveniente usar coordenadas esfe´ricas.
La razo´n es que para estas coordenadas hay dos variables acotadas y solo una se evalu´a en un intervalo semi infinito
(0 ≤ ρ ≤ ∞). En coordenadas cil´ındricas habr´ıan dos variables no acotadas y en cartesianas habr´ıa tres ?????????
————————————————————-
11) Evaluar G para una cun˜a con un a´ngulo de abertura β y tal que a ≤ ρ ≤ R.
Proponemos una solucio´n de la forma
G
(
ρ, ρ′, ϕ, ϕ′
)
=
∑
n
sinαnϕ sinαnϕ
′Fn
(
ρ, ρ′
)
; αn =
nπ
β
La ecuacio´n diferencial es la misma que aparece en el problema de la cun˜a completa con 0 ≤ ρ ≤ R. La solucio´n es
Fn = Aρ
αn +Bρ−αn
pero las condiciones de frontera son diferentes
a) ρ < ρ′ ⇒ G = 0 en ρ = a⇒ Aaαn +Ba−αn = 0, con un procedimiento similar al de la cun˜a completa, se tiene
que
Fn = A1n
[(ρ<
a
)αn − ( a
ρ<
)αn]
b) ρ > ρ′ ⇒ G = 0 en ρ = R
Fn = A2n
[(ρ>
R
)αn − ( R
ρ>
)αn]
la solucio´n general es
Fn = Cn
[(ρ<
a
)αn − ( a
ρ<
)αn] [(ρ>
R
)αn − ( R
ρ>
)αn]
integrando la ecuacio´n diferencial homoge´nea se obtiene
ρ
[
dF
dρ
∣∣∣∣
ρ=ρ′+ε
− dF
dρ
∣∣∣∣
ρ=ρ′−ε
]
= −4π
β
resultando
Cnαn
[(
ρ′
a
)αn
−
(
a
ρ′
)αn] [(ρ′
R
)αn
+
(
R
ρ′
)αn]
−Cnαn
[(
ρ′
a
)αn
+
(
a
ρ′
)αn] [(ρ′
R
)αn
−
(
R
ρ′
)αn]
= −4π
β
simplificando
2Cnαn
[(
R
a
)αn
−
( a
R
)αn]
=
4π
β
⇒ Cn = Cn = 2π
βαn
[(
R
a
)αn − ( aR)αn]
la funcio´n de Green queda
G
(
ρ, ρ′, ϕ, ϕ′
)
=
2π
β
∑
n
sinαnϕ sinαnϕ
′
αn
[(
R
a
)αn − ( aR)αn]
[(ρ<
a
)αn − ( a
ρ<
)αn] [(ρ>
R
)αn − ( R
ρ>
)αn]
———————————————————————
122 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
10) Para la geometr´ıa anterior, asumamos una densidad lineal de carga en un segmento de arco de radio c. Los
potenciales a lo largo de l1, l2, l3, l4 son 0, V2, V, V1 respectivamente. Encuentre el potencial en el interior de la regio´n.
La carga total viene dada por
q =
β
2π
(2πrλ) = βrλ = βcλ
donde c es el radio de la cun˜a.
q = q
∫ R
a
δ (r − c) dr
∫ 2pi
0
dϕ
2π
=
∫
qδ (r − c)
2πc
(c dr dϕ)
la densidad superficial equivalente es
σ =
qδ (r − c)
2πc
=
βcλδ (r − c)
2πc
=
βλδ (r − c)
2π
con esta densidad de carga y conociendo G y φ en la superficie se tiene
φ (r) =
∫
ρ
(
r′
)
GD
(
r, r′
)
dV ′ − 1
4π
∮
φs
(
r′
) ∂G
∂n′
dS′
en nuestro caso bidimensional, la primera integral sera´ de superficie y la segunda de l´ınea
φ (r) =
∫
βλδ (r′ − c)
2π
∞∑
n=1
Kn sinαnϕ sinαnϕ
′
[(ρ<
a
)αn − ( a
ρ<
)αn] [(ρ>
R
)αn − ( R
ρ>
)αn]
r′ dr′ dϕ′
− 1
4π
[∫
l1
φ
(
r′
) ∂G
∂n′
dl′1 +
∫
l2
+
∫
l3
+
∫
l4
]
GD
(
r, r′
)
dV ′ − 1
4π
∮
φs
(
r′
) ∂G
∂n′
dS′
donde l1 es el segmento radial correspondiente a ϕ = 0. l2es el segmento de arco para r = R y l3, l4 corresponden
a segmento radial con ϕ = β y segmento de arco con r = a respectivamente. La integral sobre l1 se anula puesto que
ϕ′ = 0. Evaluamos primero la integral en ϕ′∫ R
a
βλδ (r′ − c)
2π
[]
[
. . . r′ dr′
] ∞∑
n=1
∫ β
0
Kn sinαnϕ sinαnϕ
′ dϕ′
la integral en ϕ′ es
∞∑
n=1
∫ β
0
Kn sinαnϕ sinαnϕ
′ dϕ′ =
∞∑
n=1
Kn sinαnϕ
αn
[1− cosαnβ] (7.57)
para hacer la integral en r′ se parte el intervalo entre a y R en r′ < r y r′ > r. Para r < c ⇒se anula la integral en
el intervalo a ≤ r′ ≤ r. Para r > c⇒se anula la integral en el intervalo r < r′ ≤ R.
a) Para r < c ∫ R
a
βλ
2π
δ
(
r′ − c) [( r
a
)αn − (a
r
)αn]
r′
[(
r′
R
)αn
−
(
R
r′
)αn]
dr′
=
βλ
2π
[( r
a
)αn − (a
r
)αn]
c
[( c
R
)αn − (R
c
)αn]
(7.58)
b) Para r > c ∫ r
a
βλ
2π
δ
(
r′ − c) [(r′
a
)αn
−
( a
r′
)αn]
r′
[( r
R
)αn − (R
r
)αn]
dr′
=
βλ
2π
[( c
a
)αn − (a
c
)αn]
c
[( r
R
)αn − (R
r
)αn]
(7.59)
7.12. PROBLEMAS 123
Calculemos
∫
l2
φ (r′) ∂G∂n′ dl
′
2. En tal caso r
′ = R de modo que r′ > r
∂G
∂n′
∣∣∣∣
r′=R
=
∂G
∂r′
∣∣∣∣
r′=R
=
∑
Kn sinαnϕ sinαnϕ
′
[( r
a
)αn − (a
r
)αn](2αn
R
)
= V2
∫
l2
∞∑
n=1
Kn sinαnϕ sinαnϕ
′
[( r
a
)αn − (a
r
)αn](2αn
R
) (
R dϕ′
)
= 2V2
[( r
a
)αn − (a
r
)αn] ∫ β
0
∞∑
n=1
Knαn sinαnϕ sinαnϕ
′ dϕ′
la integral angular coincide con (7.57) de modo que∫
l2
= 2V2
[(r
a
)αn − (a
r
)αn] ∞∑
n=1
Knαn sinαnϕ
αn
[1− cosαnβ]
con lo cual ∫
l2
= 2V2
[( r
a
)αn − (a
r
)αn] ∞∑
n=1
Kn sinαnϕ [1− cosαnβ]
Ahora calculemos la integral sobre l4
∂G
∂n′
∣∣∣∣
r′=a
= − ∂G
∂r′
∣∣∣∣
r′=a
=
∑
Kn sinαnϕ sinαnϕ
′
[( r
R
)αn − (R
r
)αn] 2αn
a
sea dl = a dϕ ∫
l4
= V1
∫ β
0
∑
Kn sinαnϕ sinαnϕ
′ 2αn
a
a dϕ
[( r
R
)αn − (R
r
)αn]
similarmente, ∫
l4
= 2V1
[( r
R
)αn − (R
r
)αn] ∞∑
n=1
(1− cosαnβ)Kn sinαnϕ (7.60)
finalmente, evaluemos sobre l3
∂G
∂n′
∣∣∣∣
ϕ′=β
=
1
ρ′
∂G
∂ϕ′
∣∣∣∣
ϕ′=β
=
∞∑
n=1
αn sinαnϕ cosαnβ Kn
[(ρ<
a
)αn − ( a
ρ>
)αn] [(ρ>
R
)αn − ( R
ρ>
)αn]
en este caso dl = dr′∫
l3
= V
∫ R
a
∑
αn sinαnϕ cosαnβ Kn
[(ρ<
a
)αn − ( a
ρ<
)αn] [(ρ>
R
)αn − ( R
ρ>
)αn]
dr′
haciendo nuevamente la particio´n
a) r′ < r ∫
l3
= V
∫ r
a
∑
αn sinαnϕ cosαnβ Kn
[(
r′
a
)αn
−
( a
r′
)αn] [( r
R
)αn − (R
r
)αn]
dr′
+V
∫ R
r
∑
αn sinαnϕ cosαnβ Kn
[( r
a
)αn − (a
r
)αn] [(r′
R
)αn
−
(
R
r′
)αn]
dr′
∫
l3
= V
∑ αnKn sinαnϕ cosαnβ
αn
{[( r
R
)αn − (R
r
)αn] [( r
a
)αn
+
(a
r
)αn − 2]
+
[(r
a
)αn − (a
r
)αn] [
2−
(( r
R
)αn
+
(
R
r
)αn)]}
124 CAPI´TULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACIO´N DE POISSON EN ELECTROSTA´TICA
∫
l3
= 2V
∑
Kn sinαnϕ cosαnβ
[( a
R
)αn − ( r
R
)αn − (R
a
)αn
+
(
R
r
)αn
+
(r
a
)αn − (a
r
)αn]
∫
l3
= 2V
∑
Kn sinαnϕ cosαnβ
{[( a
R
)αn − (R
a
)αn]
+
[(
R
r
)αn
−
( r
R
)αn]
+
[( r
a
)αn − (a
r
)αn]}
(7.61)
La solucio´n para φ (r) en el interior es la suma de las expresiones anteriores
φ (r) =
∫
ρ
(
r′
)
GD
(
r, r′
)
dV ′ − 1
4π
4∑
i=1
∮
li
φs
(
r′
) ∂G
∂n′
dS′
de (7.57) y (7.58) para r < c∫
V
ρ dV =
∞∑
n=1
Kn sinαnϕ
αn
[1− cosαnβ] βλc
2π
[(r
a
)αn − (a
r
)αn] [( c
R
)αn − (R
c
)αn]
(7.62)
y de (7.57) y (7.59) para r > c∫
V
ρ dV =
∞∑
n=1
Kn sinαnϕ
αn
[1− cosαnβ] βλc
2π
[( c
a
)αn − (a
c
)αn] [( r
R
)αn −(R
r
)αn]
(7.63)
por otro lado
− 1
4π
4∑
i=1
∮
li
φs
(
r′
) ∂G
∂n′
dS′ = − 1
2π
∞∑
n=1
(1− cosαnβ) Kn sinαnϕ
{
V2
[(r
a
)αn − (a
r
)αn]
+ V1
[( r
R
)αn − (R
r
)αn]}
− V
2π
∞∑
n=1
Kn sinαnϕ cosαnβ
[( a
R
)αn − (R
a
)αn
+
( r
R
)αn − (R
r
)αn
+
(r
a
)αn − (a
r
)αn]
(7.64)
luego el potencial para r > c es la suma de (7.62)+ (7.64) y para r > c es la suma de (7.63)+ (7.64).
Cap´ıtulo 8
Me´todo de ima´genes
8.1. Me´todo de ima´genes y teorema de unicidad
Supongamos que tenemos cierta distribucio´n de cargas en el interior de un volumen V , con unas condiciones
de frontera dadas sobre la superficie que delimita a este volumen. En particular, tomemos condiciones de Dirichlet.
Ahora supongamos que podemos encontrar una distribucio´n virtual de cargas ubicadas en el exterior del volumen
V , de tal manera que la superposicio´n de la distribucio´n real de cargas (en el interior de V ) con la distribucio´n
virtual (en el exterior de V ) emulen las condiciones de frontera en la superficie. Uno de los teoremas de unicidad
que hemos demostrado (ver seccio´n 1.8, Pa´g. 20) nos dice que dada una cierta distribucio´n de cargas en el interior
de un volumen V (que denominamos volumen de Dirichlet) y unas condiciones de frontera que definen al potencial
en la superficie S que delimita a V , la solucio´n para el potencial en el interior del volumen V de Dirichlet, es
u´nica. Ahora bien, comparando la situacio´n real (distribucio´n interior mas condiciones de frontera) con la situacio´n
virtual (cargas reales interiores mas cargas virtuales exteriores), podemos inferir que el potencial en el interior del
volumen V , es el mismo en ambas situaciones. Para demostrarlo, observemos que en ambos casos la distribucio´n
interior es la misma (debido a que las cargas virtuales esta´n todas en el exterior de V ), y as´ı mismo las condiciones
de frontera tambie´n coinciden ya que las cargas virtuales se colocaron precisamente para ajustarse a esa condicio´n.
No obstante, es necesario aclarar que el valor del potencial en el exterior del volumen V , en general no es el mismo
en ambas situaciones; esto se puede ver teniendo en cuenta que si tomamos el complemento del volumen de Dirichlet,
las cargas virtuales estar´ıan alterando la carga interior (donde el interior se define ahora en el complemento de V ).
Esto nos sugiere un me´todo para encontrar el potencial en el interior de un volumen en ciertas situaciones
especiales, en las cuales es fa´cil encontrar una distribucio´n de cargas virtuales exteriores que puedan emular las
condiciones de frontera, sin alterar la distribucio´n interior. Las cargas ubicadas en el exterior se denominan ima´genes
de modo que este procedimiento se conoce como me´todo de ima´genes.
Surge entonces la pregunta ¿cua´l es la ventaja del me´todo de las ima´genes?. Debemos observar que al introducir
las cargas imagen las condiciones de frontera dejan de ser relevantes en el problema (siempre y cuando se cumplan) y
en su lugar debe solucionarse el problema (en general ma´s simple) de calcular el potencial en el interior del volumen,
por simple superposicio´n entre las cargas interiores (reales) y exteriores (ima´genes).
Adicionalmente, si conocemos las superficies equipotenciales de una cierta distribucio´n de cargas, es fa´cil retro-
alimentar el problema puesto que un conductor con la forma de una de e´stas superficies equipotenciales (y con un
potencial igual al potencial de esta superficie) puede utilizar la distribucio´n original como ima´gen.
Veamos la conexio´n del me´todo de ima´genes con el formalismo de Green. Recordemos que la funcio´n de Green
ma´s general asociada a la ecuacio´n de Poisson, se escribe como
∇2G (r, r′) = −4πδ (r− r′)
y que su solucio´n mas general se escribe
G
(
r, r′
)
=
1
|r− r′| + F
(
r, r′
)
donde F (r, r′) debe satisfacer la ecuacio´n de Laplace, el primer te´rmino en la funcio´n de Green corresponde al
potencial de una cargaunidad, en tanto que el segundo te´rmino es un potencial generado dentro del volumen
125
126 CAPI´TULO 8. ME´TODO DE IMA´GENES
delimitado por la superficie debido a cargas externas a este volumen (ya que dentro del volumen obedece a una
ecuacio´n de Laplace) de tal manera que hace que G (r, r′) cumpla las condiciones de frontera. La interpretacio´n de
la funcio´n F (r, r′) nos proporciona otro punto de vista del me´todo, ya que F (r, r′) es el potencial equivalente a
ima´genes colocadas en el exterior del volumen, de tal forma que junto con la carga unidad (Kcq = 1) ubicada en una
posicio´n interior r′, nos de´ un potencial cero en la superficie (o cualquiera que sea la condicio´n sobre la funcio´n de
Green en la superficie).
8.2. Carga frente a un plano equipotencial
A manera de ejemplo consideremos una carga puntual q colocada frente a un plano conductor infinito ubicado
en el plano Y Z y a potencial cero. Ahora ubicamos una carga puntual imagen −q, al otro lado del plano a la misma
distancia, de tal forma que la l´ınea que une las cargas sea perpendicular al plano. Es fa´cil verificar que con esta carga
imagen las condiciones de frontera sobre el plano Y Z (potencial cero) se cumplen automa´ticamente.
Asumiremos que la carga real esta´ en el lado positivo del eje X, de modo que el volumen de Dirichlet corresponde
a todos los puntos con x > 0. Sea r una posicio´n dentro del volumen de Dirichlet donde queremos evaluar el potencial,
y sean r′ y r′i las posiciones de la carga real y de la imagen respectivamente, podemos ver que
1
r = xi+yj+ zk ; r′ = x′i+ y′j+ z′k ; r′i = −x′i+ y′j+ z′k (8.1)
El potencial generado por el dipolo es
φ (r) =
Kcq√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
− Kcq√
(x+ x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
(8.2)
claramente este potencial se anula en x = 0, como corresponde para emular las condiciones de frontera del problema
real. Mas sinte´ticamente
φ (r) =
Kcq
|r− r′| −
Kcq
|r− r′i|
(8.3)
debemos recalcar que para el problema real las Ecs. (8.2, 8.3) solo son va´lidas para la regio´n con x ≥ 0 (volumen
y superficie de Dirichlet). A partir del potencial es fa´cil calcular la distribucio´n de carga sobre la superficie del
conductor, usando la relacio´n (1.41) pa´g 26, va´lida para conductores ideales
σ (r) = − 1
4πKc
∂φ
∂n1
= − 1
4πKc
∂φ
∂x
= − qd
2π (ρ2 + d2)3/2
siendo n1 el vector normal hacia afuera del conductor evaluado en la superficie donde se calcula la densidad superficial
de carga, d es la distancia del plano a la carga, y ρ la distancia del punto de evaluacio´n al eje vertical al plano que
pasa por la carga. Si se integra esta cantidad obtenemos que la carga total inducida sobre el conductor es −q, lo
cual se puede ver por ley de Gauss2. La fuerza que el plano hace sobre la carga se puede calcular de dos maneras: 1)
calculando la fuerza que la distribucio´n de carga en el plano hace sobre la carga puntual, usando superposicio´n, 2)
calculando la fuerza entre la imagen y la carga real.
No obstante, es de anotar que aunque el problema del potencial en el interior del semiespacio (x > 0) y el de la
fuerza se pueden resolver de forma equivalente con la imagen, la energ´ıa interna del sistema carga real-carga imagen
es diferente (el doble) que la energ´ıa del sistema carga real-plano conductor. Hay dos maneras de ver esta diferencia:
a) Si se calcula la integral del campo al cuadrado Ec. (1.22), para el sistema de las dos cargas contribuyen los dos
semiespacios, por simetr´ıa ambos semiespacios contribuyen igual. En contraste, para el sistema carga-conductor, solo
el semiespacio con x > 0 contribuye, ya que el otro semiespacio tiene campo cero. b) Para calcular la energ´ıa interna
del sistema carga conductor, solo hay que calcular el trabajo necesario para traer la carga puntual real desde el
infinito hasta el punto donde se localiza3. En contraste, para calcular la energ´ıa interna del dipolo, se pueden traer
1De hecho podemos definir al eje X (sin pe´rdida de generalidad) como colineal a la l´ınea que une a las dos cargas. De tal modo que
ambas cargas quedan sobre el eje X.
2Teniendo en cuenta que el conductor es neutro, el resto de la carga se acumula (en un conductor real) en los bordes de la placa y en
la superficie opuesta a la que da frente a la carga puntual.
3La redistribucio´n de cargas que se produce cuando se va acercando la carga al conductor no requiere trabajo adicional, ya que su
superficie es equipotencial.
8.2. CARGA FRENTE A UN PLANO EQUIPOTENCIAL 127
las dos cargas simulta´neamente en forma sime´trica, en cuyo caso hay que hacer un trabajo igual al anterior pero
sobre cada carga.
¿Porque´ la fuerza sobre la carga real, s´ı es igual para los dos sistemas? se puede ver simplemente porque la carga
real esta´ en el interior de la regio´n en donde ambos producen el mismo potencial y por tanto el mismo campo,
y la fuerza es qE. La esencia de que la fuerza coincida en tanto que la energ´ıa no, es el hecho de que la fuerza
es una variable local (definida en un punto) que depende de otra variable local (el campo) que coincide en ambas
configuraciones. La energ´ıa en cambio es un concepto global que depende en general de la configuracio´n del campo en
todo el espacio, y el me´todo de las ima´genes solo nos garantiza que el campo es el mismo para ambas configuraciones
en una cierta porcio´n del espacio, la regio´n exterior de Dirichlet posee campos diferentes para ambas configuraciones.
A pesar de ello, es posible calcular la energ´ıa interna de un sistema de cargas en presencia de un conductor a trave´s
del me´todo de las ima´genes como veremos en la seccio´n 8.9.
Ahora estamos en capacidad de conectar el problema del sistema carga real-carga imagen con la funcio´n de Green
en el semiespacio x ≥ 0. Si hacemos Kcq = 1 en la Ec. (8.3), lo que tenemos es una carga puntual “unidad” ubicada
en r′ y un sistema de cargas exteriores (la carga imagen) tal que la superposicio´n de las dos da potencial cero en la
frontera, la carga real estar´ıa generando el factor 1/ |r− r′|, y la carga imagen esta´ generando el factor F (r, r′). Es
claro entonces que la asignacio´n Kcq = 1 en la Ec. (8.3) nos da la funcio´n de Green con condiciones de Dirichlet para
el semiespacio con x ≥ 0.
G
(
r, r′
)
=
1
|r− r′| −
1
|r− r′i|
para semiespacio con x ≥ 0 y condiciones de Dirichlet (8.4)
donde r, r′, r′i vienen dados por la Ec. (8.1). Claramente la funcio´n de Green (8.4) cumple la condicio´n de Dirichlet
en las fronteras (y, z → ±∞, x→∞, y´ x = 0). Donde
F
(
r, r′
)
= − 1|r− r′i|
La funcio´n de Green aqu´ı calculada puede ser utilizada para calcular el potencial en x ≥ 0 para cualquier condicio´n
de frontera en x = 0, con cualquier distribucio´n de carga localizada y que este´ encerrada en el semiespacio determinado
por x > 0 (el hecho de que la carga este´ localizada nos garantiza que el potencial sea constante en el infinito definido
por y, z → ±∞, x→∞). No debemos olvidar que la formulacio´n de Green es para volu´menes cerrados, (aunque no
necesariamente cerrados f´ısicamente) en donde el potencial o su derivada normal se deben conocer en una superficie
cerrada, que en este caso es como una “semiesfera infinita”. Veamos un ejemplo de aplicacio´n de la funcio´n de Green
(8.4) para el semiespacio.
8.2.1. L´ınea de carga finita
Figura 8.1: Potencial generado por una l´ınea de carga de densidad lineal λ paralela al eje X, con φ = Va en x = 0.
Supongamos una l´ınea de densidad lineal λ constante, paralela al eje X, con φ = Va en x = 0. Ver Fig. 8.1.
Queremos evaluar el potencial debido a esta configuracio´n en la regio´n x ≥ 0.
128 CAPI´TULO 8. ME´TODO DE IMA´GENES
Este ejemplo f´ısicamente podr´ıa representar a un hilo perfectamente aislante frente a un plano infinito perfecta-
mente conductor. Si el hilo no fuera aislante su carga tender´ıa a acumularse en un extremo. Hablando masf´ısicamente,
ser´ıa un hilo cuya longitud y distancia al plano sean mucho menores que las dimensiones del plano.
Para calcular el potencial simplemente utilizamos la relacio´n (7.4) pa´g. 93
φ (r) = Kc
∫
V
ρ
(
r′
)
GD
(
r, r′
)
dV ′ − 1
4π
∮
S
[
φ
(
r′
) ∂GD (r, r′)
∂n′
]
dS′ (8.5)
con la funcio´n de Green para espacio semiinfinito (con x ≥ 0) y la distribucio´n lineal de carga que hemos descrito.
Sin embargo, la ecuacio´n (8.5) posee una integral de volumen para la carga, de modo que primero debemos calcular
la densidad volume´trica equivalente de la densidad lineal que tenemos
q =
∫
λ dx′ =
∫
λ dx′
∫
δ
(
z′
)
dz′
∫
δ
(
y′
)
dy′ =
∫
λδ
(
z′
)
δ
(
y′
)
dx′ dy′ dz′
q =
∫
λδ
(
z′
)
δ
(
y′
)
dV ′ =
∫
ρ
(
r′
)
dV ′
la densidad volume´trica equivalente es entonces
ρ
(
r′
)
= λδ
(
z′
)
δ
(
y′
)
(8.6)
Escribiendo G para espacio semi-infinito Ec. (8.4), en coordenadas cartesianas y evaluando ∂G/∂n′ en el plano Y Z
obtenemos:
∂G
∂n′
∣∣∣∣
x′=0
= ∇G · n|x′=0 = ∇G · (−i)|x′=0 = − (∇G)x′ |x′=0 = −
∂G
∂x′
∣∣∣∣
x′=0
(8.7)
= − ∂
∂x′
 1√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
− 1√
(x+ x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
∣∣∣∣∣∣
x′=0
∂G
∂n′
∣∣∣∣
x′=0
=
−2x(√
x2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
)3 (8.8)
el lector puede comprobar que en la superficie semiesfe´rica de radio infinito el te´rmino ∂G/∂n′ se anula (i.e. ∂G/∂n′ →
0, con x→∞, y/o con y, z → ±∞). En consecuencia, la integral de superficie de la Ec. (7.4) solo tiene contribucio´n
en el plano Y Z 4. Reemplazando (8.6), (8.4) y (8.8) en (7.4) y usando coordenadas cartesianas se tiene
φ (r) = Kc
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ d+l
d
λδ
(
z′
)
δ
(
y′
) 1√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
− 1√
(x+ x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
 dx′dy′dz′
− 1
4π
∫
Va
 −2x(√
x2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
)3
 dS′
φ (r) = λKc
∫ d+l
d
 1√
(x− x′)2 + y2 + z2
− 1√
(x+ x′)2 + y2 + z2
 dx′
+
Vax
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
 1(√
x2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
)3
 dy′dz′
4Obse´rvese que esto evita tratar el problema del potencial sobre la esfera semi-infinita, el cual no se puede hacer cero a priori ya que
la carga sobre el plano no esta´ localizada.
8.3. CARGA PUNTUAL FRENTE A UNA ESFERA CONDUCTORA 129
8.3. Carga puntual frente a una esfera conductora
Figura 8.2: Potencial generado por una carga puntual q frente a una esfera conductora de radio a. El potencial se
evalu´a en el exterior de la esfera, de modo que el exterior de la esfera es el interior de la regio´n de Dirichlet.
Supongamos que tenemos una esfera conductora de radio a (a potencial cero) y una carga puntual en el exterior
como ilustra la Fig. 8.2, queremos evaluar el potencial en el exterior de la esfera. De modo que nuestro volumen
“cerrado” de Dirichlet esta´ entre la esfera de radio a, y una esfera de radio infinito. Por simetr´ıa la carga imagen
debe estar en la l´ınea que une a la carga real con el centro de la esfera, y debe estar en el interior de la esfera (para
que sea exterior a nuestro volumen “cerrado” de Dirichlet)5, y debe ser de signo opuesto a la carga real para que sea
posible una cancelacio´n del potencial en r = a. Sin embargo, denotaremos la carga imagen como q′ y llegaremos a
que debe ser de signo opuesto a q. El potencial generado por la carga real q ma´s la carga ima´gen q′ se escribe como
φ (r) =
Kcq
|r− r′| +
Kcq
′
|r− r”| =
Kcq√
(r− r′) · (r− r′) +
Kcq
′√
(r− r”) · (r− r”) (8.9)
donde r, r′ y r” denotan el punto de evaluacio´n del potencial, el punto donde se ubica la carga real y el punto donde
se ubica la carga ima´gen respectivamente (ver Fig. 8.2). Cuando el vector posicio´n de evaluacio´n del potencial tiene
magnitud a, lo denotaremos como r =~a que corresponde a un vector en la superficie de la esfera, y puesto que φ = 0
en r = a, tenemos que
φ (~a) =
Kcq√
(~a−r′) · (~a−r′) +
Kcq
′√
(~a−r”) · (~a−r”) = 0 (8.10)
Es claro de la Ec. (8.10), que q′ debe tener signo opuesto a q para lograr la cancelacio´n del potencial en la superficie.
A partir de dicha ecuacio´n se obtiene
q2
(~a−r′) · (~a−r′) =
q′2
(~a−r”) · (~a−r”) ⇒
q2
(
~a−r”
)
·
(
~a−r”
)
− q′2 (~a−r′) · (~a−r′) = 0
q2
(
a2 − 2~a · r” + r”2
)
− q′2 (a2 − 2~a · r′ + r′2) = 0
a2
(
q2 − q′2)+ q2r”2 − q′2r′2 − 2~a · (q2r” − q′2r′) = 0 (8.11)
la cantidad 2~a · (q2r” − q′2r′) implica un cos θ arbitrario en virtud de que ~a toma todas las direcciones posibles de
modo que es necesario que (
q2r” − q′2r′
)
= 0 ⇒ r′ = q
2
q′2
r” (8.12)
es decir que r′ y r” son paralelos. Por tanto la relacio´n (8.12) implica que
q′2 =
q2r”
r′
(8.13)
5Nuestro volumen de Dirichlet es claramente toda la regio´n exterior a la esfera, que se puede pensar como una regio´n “cerrada” entre
la superficie de la esfera conductora y la superficie de otra esfera conce´ntrica a e´sta, cuyo radio tiende a infinito.
130 CAPI´TULO 8. ME´TODO DE IMA´GENES
reemplazando este valor de q′2 en la expresio´n (8.11) y recordando que el u´ltimo te´rmino a la izquierda de esta
ecuacio´n es cero, se obtiene
a2
(
q2 − q
2r”
r′
)
+ q2r”2 − q
2r”
r′
r′2 = 0
a2q2
(
1− r”
r′
)
+ q2r”2 − q2r”r′ = 0
a2
(
r′ − r”)+ r′r”2 − r”r′2 = 0
a2
(
r′ − r”)+ r′r” (r”− r′) = 0(
a2 − r′r”) (r′ − r”) = 0
es obvio que (r′ − r”) 6= 0 ya que el uno es interior (r” < a) y el otro es exterior (r′ > a) de modo que
r” =
a2
r′
⇒ ∣∣q′∣∣ = ∣∣∣∣∣q
√
r”
r′
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣q
√
a2
r′2
∣∣∣∣∣ = ∣∣∣qar′ ∣∣∣⇒ q′ = −qar′
⇒ r” = a
2
r′
; q′ = −qa
r′
(8.14)
donde hemos usado (8.13) y el hecho de que q′debe tener signo opuesto a q. Obse´rvese que |q′| < |q|. Reemplazando
(8.14) en (8.9), y usando el hecho de que r′ y r” son paralelos, el potencial fuera de la esfera queda
φ (r) =
Kcq
|r− r′| +
Kcq
′
|r− r”| =
Kcq
|r− r′| −
Kcqa
r′
∣∣∣r−a2r′ r′r′ ∣∣∣
φ (r) =
Kcq
|r− r′| −
Kcqa
r′
∣∣∣r− a2r′2 r′∣∣∣ (8.15)
8.3.1. Funcio´n de Green para el exterior e interior de la esfera
La funcio´n de Green para r ≥ a (exterior de la esfera), es el potencial (8.15) con la carga real normalizada a uno
(Kcq = 1) i.e.
Gr>a
(
r, r′
)
=
1
|r− r′| −
a
r′
∣∣∣r− a2r′2 r′∣∣∣ (8.16)
Podemos tambie´n resolver el problema para la regio´n interior de la esfera (r ≤ a). Tomando r′ < a como la
posicio´n de la carga real ubicada en el interior de la esfera, podemos ubicar una carga ima´gen q′ en una posicio´n
r” > a de modo que la superposicio´n de los potenciales de ambas cargas sea cero en r = a (superficie de la esfera)6.
Con este procedimiento se obtiene
q′ = −qa
r′
, r” =
a2
r
; r < a, r′ < a, r” > a (8.17)
y |q′| > |q|. La expresio´n para la funcio´n de Green tiene la misma forma que para el problema exterior
Gr<a
(
r, r′
)
=
1
|r− r′| −
a
r′
∣∣∣r− a2r′2 r′∣∣∣ (8.18)
Debe tenerse en cuenta que el problema interior y exterior son excluyentes. Esto debido a que en cada caso la
carga imagen debe estar afuera del volumen sobre el cual se define el potencial. Para comprender mejor el concepto
de excluyente veamos un ejemplo: Supongamos que queremos resolver el problema del potencial generado por una
6Este caso puede corresponder por ejemplo a un conductor con una cavidad esfe´rica de radio a, con potencial cero y con una carga
puntual (real) en el interior de la cavidad. Ya no podemos tener un conductor esfe´rico so´lido de radio a, puesto que en el interior del
conductor no puede haber cargas netas.
8.3. CARGA PUNTUAL FRENTE A UNA ESFERA CONDUCTORA 131
configuracio´n localizada de cargas X, ubicada fuera de una esfera conductora conectada a tierra. Para esto usamos la
funcio´n de Green exterior a la esfera e integramos en el volumen y la superficiedefinidas entre la esfera y el infinito, el
formalismo de Green no me permite calcular el potencial en el interior de la esfera en este caso (que ser´ıa el exterior
de mi volumen de integracio´n). Por otro lado, si tenemos una distribucio´n de cargas dentro de la esfera podemos usar
Green para el interior de la esfera, pero no podemos calcular con el formalismo de Green el potencial afuera de la
esfera en este caso (siempre se puede calcular solo dentro del volumen limitado por la superficie en la cual se conocen
las condiciones de frontera y la distribucio´n de carga).
8.3.2. Densidad superficial sobre la esfera conductora
Recordemos que la densidad superficial de carga inducida sobre la esfera conductora se puede evaluar a partir de
la discontinuidad de la componente perpendicular del campo ele´ctrico en la superficie y del hecho de que el campo
en el interior del conductor es cero, Ec. (1.41) pa´g. 26. Obtenie´ndose
σ = − 1
4πKc
∂φ
∂n
∣∣∣∣
S
= − 1
4πKc
∂φ
∂r
∣∣∣∣
r=a
(8.19)
Evaluando la densidad de superficie (8.19) usando el potencial (8.15) obtenemos
φ (r) =
Kcq
|r− r′| −
Kcqa
r′
∣∣∣r− a2r′2 r′∣∣∣ =
Kcq√
(r− r′) · (r− r′) −
Kcqa
r′
∣∣∣∣√(r− a2r′2 r′) · (r− a2r′2 r′)∣∣∣∣
=
Kcq√
r2 + r′2 − 2rr′ cos θ −
Kcqa
r′
∣∣∣∣√r2 + a4r′2 − 2 a2r′2 rr′ cos θ∣∣∣∣
φ (r) =
Kcq√
r2 + r′2 − 2rr′ cos θ −
Kcq
r′
∣∣∣∣√( ra)2 + ( ar′ )2 − 2 rr′ cos θ∣∣∣∣ (8.20)
siendo θ el a´ngulo entre r′ y r. Derivando y evaluando en r = a
σ = − Kcq
4πa2
( a
r′
) (1− a2
r′2
)
(
1 + a
2
r′2
− 2ar′ cos θ
)3/2 (8.21)
al integrar para obtener la carga se obtiene justamente la carga imagen. Esto u´ltimo tambie´n se puede ver por ley
de Gauss, para lo cual podemos construir una superficie S cerrada que encierre tanto a la esfera como a la carga real
exterior, el flujo Φ debido al campo generado por el sistema esfera-carga real es exactamente el mismo que generar´ıa
el sistema carga real- carga imagen, ya que la superficie Gaussiana esta toda en la regio´n del espacio en donde ya
se probo´ que el potencial (y por tanto el campo ele´ctrico) son iguales para ambas configuraciones. Como en ambos
casos el flujo es el mismo, la ley de Gauss me dice que la carga neta debe ser la misma en ambos casos, por lo cual
la carga inducida en la esfera debe coincidir en magnitud y signo con la carga imagen.
Podemos asumir sin pe´rdida de generalidad que la carga esta´ ubicada a lo largo del eje polar Z a una distancia
r′ > a. En tal caso r′ = r′uz, y el a´ngulo θ coincide con el a´ngulo polar de r en coordenadas esfe´ricas. De aqu´ı se
deduce que la densidad superficial (8.21) tiene simetr´ıa azimutal como era de esperarse.
8.3.3. L´ımite de carga cercana
Observemos que cuando la carga real se aproxima a la superficie, la magnitud de la carga imagen va aumentando
tendiendo a la magnitud de la carga real. Adicionalmente, la carga imagen tambie´n se acerca a la superficie de la
esfera y cuando la carga real esta´ muy pro´xima a la esfera, la carga imagen tiende a estar equidistante a ella, veamos:
Sea r′ = a+ ε con ε/a << 1, la distancia de la carga real a la superficie es ε y la distancia de la carga imagen a la
superficie es a− r”
a− r” = a− a
2
r′
= a
(
1− a
a+ ε
)
= a
(
1− a
a
(
1 + εa
)) ≃ a [1− (1− ε
a
)]
= a
[ ε
a
]
a− r” ≃ ε para ε
a
<< 1 (8.22)
132 CAPI´TULO 8. ME´TODO DE IMA´GENES
por tanto, en este l´ımite las cargas esta´n a la misma distancia ε de la superficie de la esfera. La magnitud de la carga
ima´gen en este l´ımite se puede evaluar de las Ecs. (8.13, 8.22)
q′2 = q2
r”
r′
≃ q2 a− ε
a+ ε
=
q2a
(
1− εa
)
a
(
1 + εa
) ≃ q2 (1− ε
a
)(
1− ε
a
)
q′2 ≃ q2
(
1− ε
a
)2 ≃ q2
El hecho de que las cargas tiendan a ser iguales en magnitud y equidistantes a la superficie, se debe a que al
acercarse la carga real, e´sta ve a la esfera como un plano infinito y el me´todo de ima´genes se reduce al de una carga
puntual en frente de un conductor plano infinito.
8.3.4. Fuerza de la esfera sobre la carga
La fuerza que la esfera ejerce sobre la carga q, es igual a la fuerza que la carga ima´gen hace sobre q. Usando las
Ecs. (8.12, 8.14) esta fuerza nos da
F =
Kcqq
′
(r′ − r”)2 r̂
′ = q
(
−qa
r′
) Kc
(r′ − r”)2 r̂
′ = q
(
−qa
r′
) Kc(
r′ − a2r′
)2 r̂′
F = −Kcq
2
a2
( a
r′
)3(
1− a
2
r′2
)−2
r̂′ (8.23)
con r′ >> a (aproximacio´n de carga lejana) la fuerza esta´ dada aproximadamente por
F ≈ −Kcq
2
a2
( a
r′
)3(
1 + 2
a2
r′2
)
r̂′
F ≈ −Kcq
2a
r′3
r̂′ con r′ >> a (8.24)
si r′ ≃ a (aproximacio´n de carga cercana) es decir r′ = a+ ε con ε/a << 1 la magnitud de la fuerza (8.23) queda
|F | = Kcq
2
a2
(
a
a+ ε
)3(
1− a
2
(a+ ε)2
)−2
=
Kcq
2
a2
(
1(
1 + εa
))3(1− 1(
1 + εa
)2
)−2
|F | = Kcq
2
a2
(
1(
1 + εa
))3([1 + ( εa)]2 − 1[
1 +
(
ε
a
)]2
)−2
=
Kcq
2
a2
(
1(
1 + εa
))3( [1 + ( εa)]2[
1 +
(
ε
a
)]2 − 1
)2
|F | = Kcq
2
a2
(
1(
1 + εa
))3( 2aε+ 1a2 ε2 + 1
2
aε+
1
a2
ε2
)2
=
Kcq
2
a2
(
1(
1 + εa
))3 1
ε2
(
2
aε+
1
a2
ε2 + 1
2
a +
1
a2
ε
)2
|F | ≃ Kcq
2
a2
(
1− ε
a
)3 1
ε2
(
1
(2/a)
)2
|F | ≃ Kcq
2
4ε2
con r′ ≃ a (8.25)
lo cual es consistente con el hecho de que al aproximarse la carga real a la superficie, la carga imagen tiende a estar
equidistante, y a tener la misma magnitud de la carga real, de modo que F ∼= Kcqq/ (2ε)2 que es el resultado que se
obtuvo.
Como veremos ma´s adelante, la solucio´n de la esfera conductora conectada a tierra en presencia de carga puntual
sirve de base para resolver muchos problemas con simetr´ıa esfe´rica. En primer lugar, veremos un ejemplo de la
aplicacio´n de la funcio´n de Green exterior de la esfera, para un problema con condiciones de frontera relativamente
complejas.
8.4. ESFERA CONDUCTORA CON HEMISFERIOS A DIFERENTE POTENCIAL 133
8.4. Esfera conductora con hemisferios a diferente potencial
Tenemos una esfera conductora que en el hemisferio “norte” (“sur”) esta´ a potencial +V (−V ). Esto correspon-
der´ıa a dos semiesferas aisladas por algu´n diele´ctrico muy delgado en el “ecuador”. La idea es calcular el potencial
en el exterior de la esfera asumiendo que no hay cargas exteriores a e´sta. Debemos utilizar la funcio´n de Green para
problema exterior en la esfera, pero es mas co´modo escribirlo en coordenadas esfe´ricas. Podemos tomar la expresio´n
8.20 pero con Kcq = 1, y con θ = γ ya que θ esta´ reservado para el a´ngulo con el eje Z.
G
(
r, r′
)
=
1√
r2 + r′2 − 2rr′ cos γ −
1
r′
∣∣∣∣√( ra)2 + ( ar′ )2 − 2 rr′ cos γ∣∣∣∣ (8.26)
G
(
r, r′
)
=
1√
r2 + r′2 − 2rr′ cos γ −
1∣∣∣∣√( rr′a )2 + a2 − 2rr′ cos γ∣∣∣∣ (8.27)
dado que la integracio´n se realizara´ sobre coordenadas esfe´ricas, debemos expresar cos γ en te´rminos de las coorde-
nadas esfe´ricas θ, ϕ. Para ello, recordamos que los vectores unitarios a lo largo de r y de r′ en coordenadas esfe´ricas
se escriben como
r̂ = sin θ cosϕux + sin θ sinϕuy + cos θuz ; r̂
′ = sin θ′ cosϕ′ux + sin θ′ sinϕ′uy + cos θ′uz
y puesto que γ es el a´ngulo entre r y r′ tenemos que
cos γ = r̂ · r̂′ = sin θ cosϕ sin θ′ cosϕ′ + sin θ sinϕ sin θ′ sinϕ′ + cos θ cos θ′
cos γ = sin θ sin θ′
(
cosϕ cosϕ′ + sinϕ sinϕ′
)
+ cos θ cos θ′
cos γ = r̂ · r̂′ = sin θ sin θ′ cos (ϕ− ϕ′)+ cos θ cos θ′ (8.28)
Primero calculamos la derivada normal de G en la superficie de la esfera, ya que en la otra superficie (el infinito)
el potencial es cero y la integral de superficie no contribuye. Como el volumen de Dirichlet es el complemento de la
esfera, el vector normal sobre la superficie de la esfera debe apuntar hacia afuera del volumen de Dirichlet, es decir
hacia adentro de laesfera
∂G
∂n′
∣∣∣∣
S′
= ∇G · (−r̂′)∣∣
r′=a
= −∂G
∂r′
∣∣∣∣
r′=a
= −
(
r2 − a2)
a (r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2
(8.29)
como no hay carga en el exterior ρ (r′) = 0, y no hay contribucio´n de la integral de volumen. Sustituyendo (8.29) en
la Ec. (7.4) Pa´g. 93, el potencial queda
φ (r) = − 1
4π
∫
φ
(
r′
) ∂G
∂n′
dS′ =
1
4π
∫
φS′
[ (
r2 − a2)
a (r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2
]
a2 sin θ′dθ′dφ′
=
1
4π
∫ 2pi
0
[∫ pi/2
0
V
(
r2 − a2)
(r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2
a sin θ′dθ′
]
dφ′
+
1
4π
∫ 2pi
0
[∫ pi
pi/2
(−V )
(
r2 − a2)
(r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2
a sin θ′dθ′
]
dφ′
φ (r) =
aV
4π
∫ 2pi
0
[∫ pi/2
0
( (
r2 − a2)
(r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2
)
sin θ′dθ′
−
∫ pi
pi/2
( (
r2 − a2)
(r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2
)
sin θ′dθ′
]
dφ′
esta integral no es sencilla debido a la complicada dependencia del cos γ con respecto a θ′ dada en la Ec. (8.28). Por
ahora tomemos el caso particular del potencial sobre el eje Z. Con θ = 0, la Ec. (8.28) nos dice que cos γ = cos θ′ y
134 CAPI´TULO 8. ME´TODO DE IMA´GENES
r = z. La integracio´n nos da
φ (z) = 2π
aV
4π
(
z2 − a2)
2az
[
−2√
a2 + z2 − 2az cos θ′
∣∣∣∣pi/2
0
+
2√
a2 + z2 − 2az cos θ′
∣∣∣∣pi
pi/2
]
φ (z) =
V
2
(
z2 − a2)
z
[
−1√
a2 + z2 − 2az cos θ′
∣∣∣∣pi/2
0
+
1√
a2 + z2 − 2az cos θ′
∣∣∣∣pi
pi/2
]
φ (z) =
V
2
(
z2 − a2)
z
[(
1√
a2 + z2 − 2az −
1√
a2 + z2
)
+
(
1√
a2 + z2 + 2az
− 1√
a2 + z2
)]
φ (z) =
V
(
z2 − a2)
2z
(
1
(z − a) +
1
(z + a)
− 2√
a2 + z2
)
φ (z) =
V
2z
(
(z + a) + (z − a)− 2
(
z2 − a2)√
a2 + z2
)
φ (z) = V
(
1−
(
z2 − a2)
z
√
a2 + z2
)
(8.30)
este valor del potencial sobre el eje de simetr´ıa fue´ el que se tomo´ en la seccio´n 4.7 para obtener la solucio´n en todo
el espacio, la cual esta´ dada por la Ec. (4.56).
8.5. Carga puntual frente a esfera conductora cargada y aislada
Sea una esfera conductora de radio a, aislada y con carga total Q, y sea una carga puntual q en frente de la esfera
conductora. Obse´rvese que en este caso lo que conocemos a priori es la carga total en lugar del potencial sobre la
esfera.
Analicemos el problema de la siguiente manera: inicialmente conectamos la esfera a tierra (potencial cero) de
modo que la presencia de la carga puntual q induce sobre la esfera conductora una carga superficial q′ nume´ricamente
igual a la imagen que ya calculamos en la seccio´n 8.3, Ec. (8.14). Esta carga esta´ distribuida inhomoge´neamente
debido a la presencia de la carga q. Ahora se desconecta tierra y se agrega a la esfera una carga Q − q′ (es decir la
carga necesaria para completar la carga total Q). La carga Q − q′ se distribuye uniformemente sobre la esfera, hay
dos formas de verlo: (a) Las fuerzas electrosta´ticas debidas a q ya fueron balanceadas por q′, (b) La superficie del
conductor con carga q′ es equipotencial por lo que la carga restante Q− q′ se distribuye uniformemente7. Con estas
consideraciones y la Ec. (8.14), el potencial se puede escribir como
φ (r) =
Kcq
|r− r′| −
Kcqa
r′
∣∣∣r− a2r′2 r∣∣∣ +
Kc
(
Q+ aqr′
)
|r| (8.31)
Los dos primeros te´rminos corresponden a la esfera con potencial cero enfrente de una carga puntual que ya se
soluciono´ en la seccio´n 8.3, el tercero es el te´rmino debido a la carga Q − q′ = Q − (−aq/r′), la cual al repartirse
uniformemente produce un potencial puntual equivalente en el exterior de la esfera.
La fuerza sobre la carga q se puede calcular con las cargas ima´gen. La fuerza debida a la esfera conectada a tierra
con carga q′ ya se calculo´ como la fuerza entre q y q′ dada en la Ec. (8.23); a esto hay que sumarle la fuerza debida
a la carga Q− q′ repartida uniformemente, que equivale a la fuerza entre dos cargas puntuales q y Q − q′ donde la
7Si la superficie es previamente equipotencial con cierta distribucio´n de carga, es claro que una carga adicional distribu´ıda uniformemente
sobre la superficie eleva el potencial en la misma cantidad en todos los puntos de la esfera, de modo que e´sta permanece equipotencial.
8.6. CARGA PUNTUAL EN FRENTE DE UN CONDUCTOR ESFE´RICO A POTENCIAL V 135
u´ltima se ubica en el centro de la esfera conductora.
F = −Kcq
2
a2
( a
r′
)3(
1− a
2
r′2
)−2
r̂′ +
Kcq
(
Q+ aqr′
)
r′2
r̂′ =
KcqQ
r′2
r̂′ − Kcq
2
a2
(
a3
r′3
)(
r′2 − a2
r′2
)−2
r̂′ +
Kcaq
2
r′3
r̂′
=
KcqQ
r′2
r̂′ − Kcaq
2
r′3
r′4
(r′2 − a2)2 r̂
′ +
Kcaq
2
r′3
r̂′ =
Kcq
r′2
[
Q− aq
r′
r′4
(r′2 − a2)2 +
aq
r′
]
r̂′
=
Kcq
r′2
[
Q− aq
r′
(
r′4
(r′2 − a2)2 − 1
)]
r̂′ =
Kcq
r′2
[
Q− aq
r′
(
r′4 − (r′2 − a2)2
(r′2 − a2)2
)]
r̂′
F =
Kcq
r′2
[
Q− aq
r′
(
2a2r′2 − a4
(r′2 − a2)2
)]
r̂′ =
Kcq
r′2
[
Q− qa
3
r′
(
2r′2 − a2
(r′2 − a2)2
)]
r̂′
F =
Kcq
r′2
[
Q− qa
3
(
2r′2 − a2)
r′ (r′2 − a2)2
]
r̂′ (8.32)
En el re´gimen de carga lejana (r′ >> a), la expresio´n (8.32) se reduce a la fuerza entre cargas puntuales Q y q como
era de esperarse (ya que q′ → 0). Si Q y q tienen signos opuestos (o si Q = 0), la interaccio´n es siempre atractiva.
Pero si son del mismo signo, la fuerza es atractiva a cortas distancias y repulsiva a largas distancias. De aqu´ı se
deduce que debe existir un punto de equilibrio (inestable como vimos en la Sec. 3.1). Los resultados anteriores nos
llevan a conclu´ır que si queremos remover una carga del conductor hay que hacer trabajo para vencer la atraccio´n
a cortas distancias. Este trabajo necesario para extraer una carga del conductor se conoce como funcio´n trabajo del
metal y explica al menos en parte, porque´ las cargas en un conductor no son expulsadas a pesar de estar rodeadas
de cargas del mismo signo8.
Por otra parte, el problema tambie´n se puede resolver por ima´genes, ubicando dos cargas ima´gen: q′ en r′′ y Q−q′
en el centro de la esfera. La fuerza sobre la carga real se puede calcular como la debida a estas dos cargas imagen.
La interaccio´n de estas tres cargas puede darnos una idea ma´s clara de porque´ la interaccio´n puede ser atractiva o
repulsiva cuando Q y q son del mismo signo (teniendo en cuenta que q′ y Q − q′ dependen de la posicio´n r′ de la
carga puntual real q).
No´tese que este es un problema con condiciones diferentes a las de Dirichlet o Neumann, con lo cual vale la
pena cuestionarse sobre la unicidad de la solucio´n. En este caso, la unicidad de la solucio´n para el potencial esta´
garantizada gracias al teorema de unicidad explicado en el ape´ndice A, puesto que conocemos la carga neta en el
conductor, una superficie equipotencial (infinito) y la densidad de carga en la regio´n exterior al conductor e interior
a la superficie equipotencial.
8.6. Carga puntual en frente de un conductor esfe´rico a potencial V
Esto corresponde al caso de tener conectada la esfera a trave´s de una bater´ıa (o a tierra si V = 0). En este caso
es el potencial y no la carga lo que se conoce de antemano. El problema se puede ver con un argumento similar al
anterior, conexio´n a tierra produce carga q′ y luego se desconecta tierra y se agrega la cantidad de carga necesaria
para que el potencial en la superficie pase de cero a V , como esta u´ltima carga QV se reparte uniformemente se tiene
que
KcQV
a
= V ⇒ KcQV = V a (8.33)
la contribucio´n de esta QV al potencial es KcQV / |r| = V a|r| el potencial total es
φ (r) =
Kcq
|r− r′| −
Kcqa
r′
∣∣∣r− a2r′2 r∣∣∣ +
V a
|r|
donde el primer te´rmino es debido a la carga puntual real, el segundo es debido a la carga imagen q′ (a potencial
cero), y el tercero es debido a la carga adicional que hay que distribuir en la superficie para elevar el potencial desde
8Para un conductor