MECANICA GERAL

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(Parte 1 de 2)
Universidade Federal do Pampa (UFP/UFSM)
Centro de Tecnologia de Alegrete - CTA Curso de Engenharia Civil
Polígrafo Mecânica para Engenharia Civil
Prof Almir Barros da S. Santos Neto
Polígrafo elaborado pela Profa . Denise de Souza Saad (Eng. Civil/UFSM)
Mecânica para Engenharia Civil Capítulo 1
1. Conceito: Sistema Estrutural é o agrupamento de pontos materiais interligados entre si. 2. Estrutura: é o suporte material que serve para o transporte de esforços;
3. Objetivo: perceber os elementos estruturais e identificar os esforços a que eles estão submetidos, possibilitando a criação de condições estruturais passíveis de cálculo real.
1.CARGAS
1.1. Conceito de carga:
A grande maioria das forças nas edificações é vertical, isto é, dirigidas para o centro da Terra
1.2. Peso Próprio e Carga Acidental:
Fala-se de peso próprio quando se pretende designar o peso dos elementos estruturais. O P da estrutura atua constantemente sendo também conhecido como “Peso
Permanente”. Os P da estrutura são cargas verticais.
As Cargas Acidentais são as dotadas de mobilidade devido às pessoas, instalações, materiais depositados, maquinários. As CA são chamadas de cargas móveis e estas poderão ser verticais e/ou horizontais. As CA possuem seus valores pré-fixados e normalizados através da ABNT.
1.3. Formas de Absorção e Transmissão das cargas nas edificações:
Devido às cargas atuantes na estrutura está irá transmitir os esforços atuantes para alguns pontos como os vínculos ou ligações e os apoios.
1.4. Carga Concentrada e Carga Uniformemente Distribuída:
1.4.1. Carga Concentrada: aquela que o ponto de aplicação é apenas um ponto. Representada geralmente pela letra “P”.
1.4.2. Carga Distribuída: cargas que atuam ao longo de um trecho. Representa-se pela letra “q”.
1.4.2.1. Carga Uniformemente Distribuída: quando o carregamento permanece constante durante todo o trecho.
1.4.2.2. Carga Distribuída Variável: a carga varia ao longo do trecho.
2 – Princípios da Estática: 2.1. Conceitos Fundamentais: a) Noção de força: a primeira noção de força foi dada ao homem pela sensação de esforço muscular. A definição mecânica de força é o resultado da ação de um corpo sobre outro corpo.
b) Características de uma força: Módulo – seu valor numérico Direção – reta suporte Sentido – Valor numérico.
c) Efeitos:
A ação de um corpo sobre outro acarreta efeitos agrupados em duas características.
Efeitos externos e efeitos internos. - Efeitos externos: é o conjunto de ações e das reações (ativa e reativa) Efeito Interno: são as tensões d) Representação: por P, G q q
2.2 – Adição de Forças:
Quando duas forças atuam sobre um mesmo ponto seus efeitos são os mesmos como se atuasse uma única força.
2.2.1. Forças de mesma direção e sentido
2.2.2. Forças de mesma direção e sentidos contrários
2.2.3. Forças concorrentes:
2.3 Transmissibilidade
Como as forças se transmitem nos sistemas e do sistema para o solo, para tanto precisamos conhecer os tipos de forças a)Classificação das forças - Forças Externas: são aquelas que se originam da ação de uma causa externa ao sistema material, pode ser: 1) Forças Externas Ativas: são aquelas aplicadas diretamente ao sistema material;
2) Forças Externas Reativas: são aquelas que surgem em reação as forças aplicadas. As FER ocorrem em locais específicos chamados de apoios e sendo denominadas de REAÇÃO DE APOIO. C) Forças Internas: são aquelas que ocorrem entre os pontos do sistema material.
Ex:
	F1
	F2
	F1
	F2
P1, P2 e P3- FEA R1 e R2 – FER
2.4 Transmissibilidade
As forças nunca agem sozinhas, pois segundo a 3º Lei de Newton: “A cada ação corresponde uma reação de mesmo módulo, direção, mas sentido contrário”.
2.5 Sistema de Forças: Condições de Equilíbrio:
Define-se como sistema de forças ao conjunto formado pela reunião de várias forças que atuam em um corpo qualquer. Para as estruturas planas que serão abordadas em Sistemas Estruturais, os sistemas de forças serão chamados coplanares, isto é, sistema formado por forças que atuam no mesmo plano. Estas forças coplanares poderão ser concorrentes ou paralelas.
Condição para que o sistema de forças esteja em equilíbrio é que a resultante e o momento resultante do sistema sejam NULOS em qualquer ponto do sistema.
Para determinarem-se as condições de equilíbrio da estática tomamos como base as equações de equilíbrio da estática:
ΣΣΣΣF = 0 ΣΣΣΣM = 0
Para os sistemas planos, considerando os eixos x e y:
- Diagrama de Corpo Livre: É a representação do corpo e de todas as Forças e Momentos que atuam sobre ele.
3. Forças no Plano
3.1 Composição de forças:
Consiste na determinação da resultante de um sistema de forças, podendo ser resolvido graficamente ou analiticamente>
3.2.1. Forças de mesma direção e sentido
3.2.2. Forças de mesma direção e sentidos contrários x z
ΣΣΣΣFx=0 ΣΣΣΣFy=0 ΣΣΣΣMz=0
	F1
	F2
	F1
	F2
3.2.3. Forças concorrentes:
3.2. Componentes cartesianas de uma força Decomposição das forças sobre os eixos cartesianos x e y.
	cos α = Cateto adjacente = F1x
	F1x = F1.cos 
	Hipotenusa
	F1
	sen α = Cateto oposto = F1y
	F1y = F1.sen 
	Hipotenusa
	F1
	cos α = Cateto adjacente = F2y
	F2y = F2.cos 
	Hipotenusa
	F2
	sen α = Cateto oposto = F2x
	F2x = F2.sen 
	Hipotenusa
	F2
α F1
F1x
F1y x
Hipotenusa: F1 Cateto Oposto: F1y
Cateto Adjacente: F1x α F2
F2x
F2y x
Hipotenusa: F2 Cateto Oposto: F2x
Cateto Adjacente: F2y
Exemplo: A construção representada na figura está em equilíbrio. Calcular as forças normais atuantes nos cabos 1, 2 e 3.
3.4 Momento de uma Força:
Defini-se momento de uma força em relação a um ponto qualquer de referência, como sendo o produto entre a intensidade da carga aplicada e a respectiva distância em relação ao ponto de referência.
É importante observar que a direção da força e a distância estarão sempre defasados de 90º.
- Teorema de Varignon
O momento resultante de duas forças concorrentes em um ponto E qualquer do seu plano, em relação a um ponto A de referência, é igual a soma algébrica dos momentos das componentes da força resultante em relação a este ponto.
Observação: Nunca esqueça que a distância é sempre tomada PERPENDICULAR ao ponto de referência.
3.5 Forças Paralelas: Considere as forças no plano xy. Entende-se por forças paralelas ao eixo y, quando não existirem projeções em relação ao eixo x, tendo momento apenas em relação ao eixo x.
	45º
	
	A
	d F M=F.d
	R
	V
c H x z
ΣΣΣΣFy=0 ΣΣΣΣMz=0
É o caso mais comum da estática
4. Vínculos
Graus de Liberdade:
Defini-se como grau de liberdade a possibilidade de movimento. No espaço tem-se 6 GL, o que significa 3 translações e 3 rotações
No plano têm-se 3 GL, 2 translações e 1 rotação
Vínculos:
A função dos vínculos é restringir a possibilidade de movimento dos corpos. É função também dos vínculos despertar reações chamadas reações vinculares exclusivamente na direção dos movimentos impedidos. Os vínculos ou apoios serão classificados de acordo com os graus de liberdade.
Classificação dos vínculos ou apoios: 1º)Apoio Simples ou Apoio do 1º. Gênero – impede uma translação
Apresenta apenas uma reação de apoio, na direção do movimento impedido. Representação:
2º)Apoio Duplo ou Apoio do 2º. Gênero – impede uma 2 translações
Apresenta duas reações de apoio, uma horizontal e uma vertical Representação:
3º) Engastes ou Vínculos do 3º Gênero: Representação y x y x
5.Esforços Solicitantes: 5.1. Fundamentos:
O estudo da Mecânica abrange a relação entre as diversas forças que atuam em um sólido rígido baseado nas condições de equilíbrio da estática, ou seja, na determinação das reações vinculares externas (equilíbrio externo) e a caracterização das solicitações fundamentais (equilíbrio interno).
A Resistência dos Materiais amplia este estudo, procurando determinar a relação entre as solicitações externas e os efeitos provocados no interior dos sólidos por estas e, admite que os corpos sofram deformações, por menores que estas possamser, podendo estas deformações, quando excessivas, levar o material até a ruptura. Os problemas abrangidos pela Resistência dos Materiais são:
• projetada a estrutura, verificar a segurança quanto ao carregamento imposto; e,
• dimensionar a estrutura, a fim de resistir aos esforços com segurança.
Para a determinação das solicitações fundamentais, faz-se necessário a análise dos esforços internos, para que nas diversas seções da estrutura, possa-se verificar a existência e a grandeza dos mesmos.
5.2. Método das Seções:
Considera-se um corpo rígido em equilíbrio qualquer submetido a forças externas ativas e reativas.
	F1
	F2 m F3
	F1
	F2 F3
	(E)
	(D)
	RA
	n RB
	RA
	RB
	(a)
	(b)
Figura 1.1
A Mecânica, utilizando as equações de equilíbrio externo da estática (ΣFH=0,
ΣFV=0, ΣM=0), proporciona a determinação das resultantes das forças aplicadas, o que possibilita a verificação do equilíbrio do corpo.
A Resistência dos Materiais estuda a DISTRIBUIÇÃO INTERNA DOS
ESFORÇOS provocados pelas forças exteriores ativas e reativas. Para a determinação desta distribuição secciona-se o corpo por um plano m-n, conforme indicado na figura 1.1.b, dividindo-o em duas partes, esquerda (E) e direita (D). Este processo será denominado de MÉTODO DAS SEÇÕES.
Para ser possível esta divisão, mantendo o equilíbrio das duas partes, aplica-se na parte (E), um SISTEMA ESTÁTICO EQUIVALENTE aos das forças que atuam na parte (D), e na parte (D), um sistema estático equivalente ao das forças que atuam na parte (E). Este sistema estático é obtido reduzindo-se às forças à esquerda e à direita da seção S em relação a um ponto, sendo este geralmente o centro de gravidade da seção.
Assim, a resultante R das forças e o momento resultante M, os quais atuam na parte (E), foram obtidos através das forças que atuam na parte D, e vice-versa.
Logo pode-se dizer que a seção S de um corpo em equilíbrio, também esta em equilíbrio submetida a um par de forças R e -R e a um par de momentos M e -M aplicados no seu centro de gravidade e resultante das forças atuantes em (D) e (E), respectivamente.
	F1
	F2
	R
	M
	(E)
	(D)
	M
	R
	RA
	RB
Figura 1.2
Para uma melhor compreensão dos efeitos estáticos provocados por R e M na seção S da parte (E), far-se-á a decomposição da força e do momento resultante segundo um triedro escolhido. Para a origem do sistema de eixos do mesmo considera-se o Centro de Gravidade da seção.
O triedro será constituído por um eixo normal a seção e ao baricentro (eixo X) e dois eixos tangenciais a seção (eixo Y e eixo Z), coincidindo com os eixos principais de inércia da seção
	F1
	F2 Fy=Qy
My Mx=T
	(E)
	
	Fx=N
	x
RA Fz=Qz
Mz z
Figura 1.3
Cada uma das seis componentes obtidas, representa um efeito provocado pelas forças aplicadas sobre o sólido em estudo, que a seguir são descritas:
• ESFORÇO NORMAL (indicado pela letra N):
Representa a soma algébrica das projeções sobre a normal à seção, das forças exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção considerada. As forças normais, que atuam em um elemento, tendem a provocar um alongamento (tração) ou encurtamento (compressão) do elemento na direção da força normal.
• ESFORÇO CORTANTE (indicado pela letra Q):
Representa a soma vetorial das projeções sobre o plano da seção das forças exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção considerada. As forças cortantes que agem sobre um elemento tendem a provocar um deslizamento de uma face em relação a outra face vizinha.
• MOMENTO TORSOR (representado pela letra T):
Representa a soma algébrica das projeções sobre um eixo perpendicular ao plano da seção e passando pelo seu centro de gravidade, dos momentos das forças exteriores situadas à esquerda ou à direita da seção. Os momentos torsores tendem a torcer as faces em sentidos opostos em torno da normal baricêntrica.
• MOMENTO FLETOR (representado pela letra M):
Representa a soma vetorial das projeções sobre o plano da seção dos momentos das forças exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção. Os momentos fletores tendem a fazer girar em sentidos opostos as faces do elemento em torno de retas localizadas nos planos das faces.
Exercícios de Diagramas
Exercícios resolvidos: 1) Determine as reações de apoio, os DEC e DMF
	0,3m
	0,8 m 0,3 0,2
	A
	B C D E
	0,2m 0,3 m 0,3 m
	0,2 m 0,4 m 0,3
	A
	B C D E F G
	1,0 m
	0,5 m 0,4m
	0,5 KN/m
	2,5 KN
	A
	B C D E
	0,6
	0,2 0,8 0,8 m
	A
	B C D E
Resolução
a)Reações de Apoio: Inicialmente serão calculadas as reações de apoio, através das 3 equações da estática:
	ΣFV = 0
	Equações da estática
ΣFH = 0 ΣMA = 0
	ΣFH = 0
	HA=0
	ΣFV = 0
	VA + VC – 1,2 KN/m * 1,1 m – 8,1 KN – 2,1 KN/m * 0,5 m - 4,5 KN = 0
	ΣMA = 0
	1,2 KN/m x 1,1 m * 1,1m/2 + 8,1 KN * 1,3 m + 4,5 KN * 1,4 m + 2,1 KN/m *
b) DEC A partir das reações de apoio, será calculado o diagrama de esforço cortante. Para cálculo será empregada a seguinte convenção, na esquerda, quando a força estiver subindo, será positivo. Caso o cálculo seja iniciado na direita, o esforço será positivo, quando a força estiver descendo. Em ambos os casos a representação será acima do eixo da viga. Assim, tem-se:
	0,3m
	0,8 m 0,3 0,2
	A
	B C D E
	+ Esq
	Esq
	0,5
	0, 7 0,9 m
	A
	B C
	1,1 KN/m
	8,1
	4,7 KN/m
	
3 KNm
Lembre-se que na construção do DEC, sempre que houver uma carga ou um apoio (exceto o inicial), faz-se o cálculo “antes” e “depois” da carga. O diagrama será iniciado pelo ponto A, lembre que você sempre está no ponto considerado: Entrando pela esquerda tem-se somente a reação de apoio:
QA= +5,1 KN Entrando pela direita tem-se:
QA= +2,1 KN * 0,5 m + 4,5 KN – 9,9 KN + 1,2 KN * 1,1 m +8,1 KN = +5,1 KN No ponto B, entrando pela esquerda, antes da carga de 8,1 KN:
	A
	B
	0,3m
	0,8 m 0,3 0,2
9,9 KN A B C D E
Entrando pela direita:
Na seção B, depois da carga de 8,1 KN:
Na seção C, antes do apoio C:
	0,8 m
	0,3
KN/m
	A
	B C D
	0,8 m
	0,3 0,2
2,1 KN/m B C D E
O mesmo ponto, fazendo o cálculo pela direita:
No ponto C, depois do apoio:
No ponto C, entrando pela direita:
No ponto D, antes da carga de 4,5 KN e entrando pela esquerda:
	0,3
	
	0,3 m
	0,8
	A
	B C C D
	0,3 m
	0,8
KN/m
	0,3
	
Pela direita, tem-se somente as cargas distribuída e concentrada:
No ponto D, depois da carga concentrada de 4,5 KN
Entrando pela direita: QDd=+2,1 KN * 0,2 m = + 0,4 KN
	0,3 m
	0,8 m 0,3
	A
	B C D D
	0,3 m
	0,8 m 0,3
	A
	B C D D
No final da viga:
E, pela direita: QE= 0
	0,3m
	0,8 m 0,3 0,2
	8,1 KN
	
c) DMF O cálculo do Momento Fletor será realizado empregando a seguinte convenção de sinais: - Quando calcular o momento fletor a partir da esquerda para direita, o momento positivo será no sentido horário; quando se iniciar o cálculo pela direita, o momento positivo terá o sentido anti-horário; sendo ambos os casos representados abaixo do eixo da viga.
Lembre-se que no DMF, quando houver um momento aplicado na viga, tem-se de calcular o momento fletor no ponto, “antes” e “depois” do momento aplicado.
O cálculo será iniciado pelo ponto A:
MA = 0
Calculando pela direita o ponto A:
Calculando o momento fletor no ponto B, entrando pela esquerda, sendo indiferente antes ou depois da carga, pois o momento da carga concentrada de 8,1 KN é zero:
Considerando o lado direito da seção e a convenção citada anteriormente:
	+ Esq
	Esq
	0,3m
	0,8 m
KN/m
	A
	B C
	0,8 m
	0,3
KN/m
No ponto C, tem-se
Ou:
No ponto D:
Ou:
	0,3
	
	0,3 m
	0,8
	A
	B C C D
	0,3 m
	0,8 m 0,3
	A
	B C D D
Na extremidade da viga:
ME = 0
A seguir, estão desenhados os DEC e DMF da viga:
	0,3m
	0,8 m 0,3 0,2
	8,1 KN
	
	8,1 KN
	
0,3m 0,8 m 0,3 0,2 4,5KN
	A
	B C D E
	5,1
	4,7 5,6 4,9
	-3,4
	-4,3
	VA= - 0,6 KN
	VB= +9,9 KN
a)Reações de Apoio:
b) DEC
QA= 0
MA = 0
KNm
	0,2m 0,3 m 0,3 m
	0,2 m 0,4 m 0,3
	3,1 KN
	5,2 KN
	A
	B C D E F
	5,8
	5,4
	0,28
	0
	0
	-0,1
	-3,95
	-4,1 -
	0
	0,01
	-1,45
	-2,27
	VA= - 2,61 KN
	VB= +10,27 KN
a)Reações de Apoio:
b) DEC
c) DMF
MA = 0
	1,0 m
	0,5 m 0,4m
	0,5 KN/m
	2,5 KN
	0,5 KN/m
	2,5 KN
1,0 m 0,5 m 0,4m
	A
	B C D
	-2,6
	-3,1 -
	4,7
	
	-4,4
	-3,4
	VA= + 21,0 KN
	MA= +17,23 KNm
a)Reações de Apoio:
b) DEC c) DMF
	0,6
	0,2 0,8 0,8 m
	A
	B C D E
	A
	B C D E
0,6 0,2 0,8 0,8 m
	21,0
	
	9,9
	9,8
	0,9
	
	-7,8
	-0,4
	VA= + 14,57 KN
	MA= +18,45 KNm
a)Reações de Apoio:
b) DEC c) DMF
	0,5
	0, 7 0,9 m
	A
	B C
	1,1 KN/m
	8,1
	4,7 KN/m
	
3 KNm
	0,5
	0, 7 0,9 m
	A
	B C
	1,1 KN/m
	8,1
3 KNm
	+14,6
	
	+5,9
	+5,2
	-18,45
	-1,3 -
	-4,4
	
A seguir encontram-se alguns exercícios para resolução: A)Determine as reações de apoio e os DEC e DMF:
	0,4 m
	
	12 KN
	0,8
	A
	B
	0,2m
	0,4 m
KN 2)
3KN
KN/m
	A
	B C
	0,1m 0,5 m 0,4 m 0,4 m 0,4
	0,2 m
	A
	B C D E F
	0,3m 0,4m
	0,2m
	6 KN 12 KN
	
	A
	B C D
	0,3 m 0,2 m 0,1 m
	
	8,1 KN
	4,3KN 5) 5
	A
	B C D
	1,3 m
	0,2m
	1,5 KN/m
	0,3 KN
	A
	B C
	0,6 m
	0,2m 0,7m
	0,7 KN/m 12 KN
	8,3 KN
	0,8 m
	0,6 0,2 0,45
	8,3 KN
	7,5
KNm
	A
	B C D E
	0,5
	0,4 0,6 m
	2,3 KN/m
	
	A
	B C D
	A
	B
	0,5 0,1
	0,8 m 0,6m
	A
	B C D E
	0,4m
	0,6 m 0,1 0,1 0,2
5,4 KNm
	A
	B C D E
	0,8
	0, 2 1,3 m
	A
	B C
	1,2 KN/m 2,3 KNm
	1,2 KN/m
	0,3
	0,3 m 0,3 m 0,1 0,6 m 0,3
	A
	B C D E F G
	0,5 0,1
	0,4 1,2m
	A
	B C D
	0,2 m
	0,8 0,1 0,5
	7,5 KN
	
KNm
	A
	B C D E
	0,8
	0,3 0,6 0,5m
	KN
	1,2
KNm
	A
	B C D
	0,7
	1,4 m 0,6m
	A
	B C D
	0,3
	1,8 m 0,7
	4,7 KN
	3,5 KNm 7,3
	0,4
	0,4 0,6 m 0,7m
	A
	B C D E
	0,6
	1,4 m 0,4 m 0,2m
	A
	B C D
2 KN
	0,6
	0,3 0,8 0,4m 0,15
	KN
	
	A
	B C D E F
	1,3
	0,4 0,5 2,4 m
	KN
	
	A
	B C D
	4,3 KNm
	7,1
KNm
	0,8
	1,2 1,1
	A
	B C D
3 KNm
	0,6
	0,2 0,2 0,5 0,3
	A
	B C D E
	0,1
	0,5 m 0,5 m 0,3 0,2 0,5 1,5
	4,3 KN
	3,1 KN
	0,5m
	0,4m 0,8m 0,2m
	8 KN
	12 KN
5 KN/m 2 KN/m
	0,4
	0, 6 0,5 m
	A
	B C D
	0,5 KN/m
	6,0 KN
3 KNm
	0,4 m
	0,9 m 0,4 0,2m
	7,3 KN
	
6. Características Geométricas das Superfícies Planas 6.1 Momento Estático de uma Superfície
É definido através do somatório do produto entre a área do elemento e a distância que o separa do eixo de referência.
Mx = Σ Ai.yi My = Σ Ai.xi
Centro de Gravidade de uma Superfície Plana É o ponto localizado na própria figura, ou fora desta, na qual se concentra a superfície.
A localização do ponto através das coordenadas XG e YG, que serão obtidas através da relação entre o momento estático da superfície e a área total desta.
= Mesty YG = Mestx
	A
	A
Exemplo 1: Cálculo do centro de gravidade da figura abaixo:
Inicialmente posiciona-se um sistema de eixos X e Y, passando pela base e esquerda da figura:
Y x
	12 cm
	3 12
4 cm
(Parte 2 de 2)
Divide-se a seção em figuras conhecidas, no exemplo, pode-se dividir em 2 retângulos, um horizontal e outro vertical (podem-se fazer outras divisões).
Consideram-se as áreas, centro de gravidade em relação aos dois eixos, separadamente. Assim, tem-se
	12 cm
	3 12
4 cm
	12 cm
	3 12
	12 cm
	3 12
x1 Y
4 cm 20 cm
	12 cm
	3 12
4 cm
Figura Ai (cm2) xi(cm) yi(cm) Aixi(cm3) Aiyi(cm3) Área 1
	= My
	YG = Mx
	A
	A
	= A1x1 + A2x2
	YCG = A1y1 + A2y2
	A1 + A2
	A1 + A2
Conforme cálculo na tabela
O que está de acordo com a figura, pois a peça apresenta simetria em relação ao eixo Y
27 cm 4 cm
20 cm 3 cm
3 cm
3 cm
Assim:
Lembre-se que o valor de XCG posiciona o eixo Y e que YCG posiciona o eixo X. Exemplo 2:
Inicialmente posiciona-se um sistema de eixos X e Y
8 cm 3 cm
	3
	15 cm
3 cm 8 cm
3 cm
	3
	15 cm
3 cm X
	12 cm
	3 12
4 cm cm
Dividindo a seção em figuras conhecidas:
Figura Ai (cm2) xi(cm)* yi(cm)** Aixi(cm3) Aiyi(cm3) Área 1
*Lembre-se que xi é a distância, na direção do eixo X (medido na horizontal), do CG da figura considerada até atingir o eixo Y e que,
**yi é a distância, na direção do eixo Y (medido na vertical), do CG da figura considerada até atingir o eixo X,
	= My
	YG = Mx
	A
	A
	= A1x1 + A2x2
	YCG = A1y1 + A2y2
	A1 + A2
	A1 + A2
8 cm 3 cm
	3
	15 cm
3 cm
8cm 3 cm
3 cm
18cm 3 cm
Conforme cálculo na tabela
Exercícios: Determine o CG da seção abaixo:
Inicialmente posiciona-se os eixos iniciais X e Y:
Lembre-se que o eixo, por conveniência, deverá estar situado na base da figura e à esquerda da mesma.
8 cm 3 cm
	3
	15 cm
2 cm 15 cm
4 cm
	7 cm
	5 cm
5 cm 12cm
Divide-se a seção em figuras conhecidas: Você poderia ter dividido a seção desta maneira também:
2 cm 15 cm
4 cm
	7 cm
	5 cm
	5 cm
	12cm
2 cm 15 cm
4 cm
	7 cm
	5 cm
	5 cm
	12cm
2 cm 15 cm
4 cm
	7 cm
	5 cm
	5 cm
	12cm
No primeiro caso:
Figura Ai (cm2) xi(cm)* yi(cm)** Aixi(cm3) Aiyi(cm3) Área 1
No segundo caso:
Figura Ai (cm2) xi(cm)* yi(cm)** Aixi(cm3) Aiyi(cm3) Área 1
12cm 2 cm
5 cm
17cm 4 cm
7cm 2 cm
5 cm
12cm 4 cm
No primeiro caso:
	= A1x1 + A2x2
	YCG = A1y1 + A2y2
	A1 + A2
	A1 + A2
Conforme cálculo na tabela
No segundo caso, conforme a segunda tabela:
XCG = Mesty
	= A1x1 + A2x2
	YCG = Mestx
	ΣA
	A1 + A2
ΣA A1 + A2
Conforme cálculo na tabela sendo que o resultado é o mesmo da divisão anterior. Verifica-se assim, ser possível qualquer divisão da seção.
Momento de Inércia (I)
É definido como o somatório do produto da área que compõe a superfície e o quadrado da distância ao eixo de referência. Matematicamente tem-se:
Ix = ∫y2 dA e Iy = ∫x2 dA
Ou ainda:
Ix = Σ Ai.yi 2
Iy = Σ Ai.xi2
O momento de inércia é a primeira característica geométrica importantíssima no dimensionamento dos elementos de construção, pois fornece através de seus valores numéricos uma noção de resistência da peça. Quanto maior o momento de inércia da estrutura da peça, maior a resistência.
Translação de Eixos (Teorema de Steiner):
Sejam os eixos X e Y os eixos baricêntricos da superfície A. Para determinar o momento de inércia da superfície, em relação aos eixos x e y, paralelos a X e Y, aplica-se o teorema de Steiner que é definido como: “Momento de Inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo baricêntrico é igual a soma do momento de inércia em relação ao baricentro e o produto da área pelo quadrado da distância entre os eixos considerados”.
Calculando o momento de inércia para um retângulo, em relação ao eixo passando pela base e lado, tem-se:
Inércia é o produto da área pelo quadrado da distância ao eixo considerado. Considerando o retângulo com base b e largura dy, a sua distância ao eixo h, a área da figura será A= b*dy, logo:
	3
	3
Por analogia ao eixo y tem-se:
y d2 x y h dy
FIGURA ÁREA Posição do
Mto. de inércia em relação ao eixo x
Mto. de inércia em relação ao eixo y
Retângulo b h I b h h b
Retângulo b h x = b
y = h
I b h h b
Triângulo b h
I b h h b
Triângulo b h 2 x = b
y = h
I b h h b
Círculo pi r2 I r
Semicírculo
Quadrante
2pi h x h x x y
C y y
x y x C
C b h x y x h x C y x
Determina-se o momento de inércia em relação ao eixo passando pelo CG, empregando-se Steiner, assim:
Ix = IXCG + A*d2
	3
	4
Logo:
	12
	12
IXCG = b*h3
Conforme valordado na tabela anterior. Por similaridade, a inércia em relação ao eixo YCG será dada por:
IXCG = h*b3 x y
Exercícios resolvidos 1) Determine o momento de inércia em relação ao eixo XCG e YCG, calculados anteriormente:
Para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo XCG, considere apenas este eixo:
Lembre-se que Ix =
Σ Ai.yi 2 .Para tanto, divida a figura em áreas conhecidas. Procure empregar figuras cuja base esteja sobre o eixo XCG para não necessitar usar Steiner. Assim, o exemplo será dividido as áreas da seguinte maneira: um retângulo maior de base 27 cm na parte superior da peça e descontaremos dois retângulos pequenos de base 12 cm. Na parte inferior considera-se apenas um retângulo apoiado sobre o eixo de base 3 cm: Assim,
	12 cm
	3 12
4 cm cm
	12 cm
	3 12
4 cm cm