Conjunto dos Naturais 195

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Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
Conjunto dos Naturais 
 A idéia de números naturais está ligada com a de contar elementos de um 
conjunto, e essa é uma motivação para defini-los. Mas não trataremos dessa relação aqui. 
Vamos, a partir de axiomas e definições, obter as principais propriedades dos números 
naturais. 
1– Axiomas de Peano 
 Os axiomas apresentados abaixo, chamados de Axiomas de Peano, são as três 
propriedades básicas que definem os números naturais. 
 Axioma 1.1: Existe uma função injetiva . A imagem é chamada de 
sucessor de . 
 Axioma 1.2: Existe um único número natural, , tal que . 
 Axioma 1.3: Se um conjunto é tal que e , ou seja, 
 , então . 
 Expliquemos brevemente os axiomas. O primeiro axioma define uma função, mas, 
além disso, afirma a existência dessa função e, portanto, afirma a existência do conjunto 
dos naturais ( ). Já o segundo diz que existe um (único) número natural que não é 
sucessor de nenhum outro número natural (intuitivamente, podemos pensar esse número 
como o primeiro número natural). Esse axioma afirma, claro, que o conjunto dos naturais 
não é vazio, mas, mais que isso, como veremos mais adiante, garante que o conjunto dos 
naturais é infinito. O terceiro axioma, chamado de Princípio da Indução, dá a base para um 
método de demonstração chamado método de indução. Esse método consiste na seguinte 
afirmativa: “se uma propriedade P vale para o número 1 e, ao supor* que P valha para n, 
obtemos que P vale para , então a propriedade P vale para todo ”. Um exemplo 
de demonstração por esse método segue no teorema abaixo. 
 Observação: A suposição referida no destaque feito por * é chamada de hipótese 
indutiva. Veja que o que se deve mostrar é que a implicação 
 é verdadeira e, dessa forma, usar a hipótese “ vale para n” na 
demonstração da validade para é lícito. 
 Teorema 1.1: tem-se . 
 Demonstração: Pelo Axioma 1.2, já temos que a afirmação vale para 1, ou seja, 
 . Supondo que valha para n, isto é, , temos que , afinal a 
função é injetiva e, se tivéssemos , teríamos , contrariando a 
hipótese indutiva. 
QED 
 Observação 1: Na demonstração acima, sendo mais preciosistas, deveríamos ter 
definido um subconjunto tal que e seguir a demonstração 
 
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mostrando que e que , mas esse detalhe foi omitido e muitas vezes 
se fará isso. No entanto, existem casos em que é útil fazer a demonstração considerando 
esse detalhe. 
 Observação 2: Muitos são tentados a se convencerem de alguma suposta 
propriedade dos números naturais através de exemplos. Ou seja, mostrando a validade 
para casos particulares. Mas lembremos que os naturais são infinitos e, por mais que 
mostremos que uma propriedade vale para muitos naturais, sempre existirá uma 
infinidade deles para os quais não se pode garantir que valha. “Coincidências” podem 
servir de motivação para conjecturar que alguma propriedade valha para todos os 
naturais, mas devemos mostrar tal validade e o princípio da indução é o que nos permite, 
muitas vezes, realizar a demonstração. Um exemplo de porque não devemos ceder à 
tentação é a função, definida nos naturais, , que, com paciência, 
podemos verificar que gera números primos até , mas falha em gerar um número 
primo para , pois 
 . 
 O terceiro axioma (Princípio da Indução) merece explicações extras devido a suas 
sutilezas. Na hipótese indutiva, deve ser “livre” no sentido de que não exista alguma 
condição que o impeça de ser determinados valores naturais (não se pode impor uma 
condição que obrigue por exemplo). Sendo assim, na hipótese indutiva se está 
supondo para um em particular, mas, como pode ser qualquer natural, de certa forma 
se está supondo para todos os naturais. Isso parece contraditório diante do fato de termos 
de provar para logo em seguida, mas a demonstração importante nessa parte do 
processo é a da implicação (mostrar que ). Junto à 
primeira parte do processo, mostrar para , podemos observar a intuição por trás do 
axioma. Mostrando para uma propriedade para e a implicação da indução, temos 
que a afirmação vale para , mas é um número natural e, assim, também temos 
que vale para e assim por diante percorrendo todos os naturais. Ou seja, em 
essência, o Princípio da Indução consiste em afirmar que todo número natural pode ser 
obtido através de diversas aplicações da função sucessor sobre o número (tornando 
possível percorrer os naturais por sucessões a partir do ). Isso nos leva a perguntar se o 
axioma não é dispensável já que os dois primeiros nos garantem que só o número não é 
sucessor de outro natural e a função é injetora. Não seria estranho conjecturar que 
qualquer número natural pode ser obtido aplicando a função sucessor diversas vezes 
sobre o número apenas com os dois primeiros axiomas. No entanto, foi necessária a 
indução para mostrar o Teorema 1.1 (veja Exercício 1.1), que garante que . Sem 
esse teorema, nada garante que, em algum momento e, assim, não se conseguiria 
percorrer todos os naturais por sucessões a partir do . Ou seja, o Princípio da Indução 
não pode ser obtido a partir dos outros dois axiomas. 
 Exercício 1.1: Encontre um conjunto onde valham os dois primeiros axiomas, mas 
não valha o Teorema 1.1. 
 
 
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 Exercício 1.2: Encontre um conjunto onde valham os dois primeiros axiomas, o 
Teorema 1.1, mas não valha o Princípio da Indução. SUGESTÃO: Use os naturais mais um 
“apêndice” consistente com os dois primeiros axiomas e o teorema. 
2– Soma e produto de números naturais 
 Definição 2.1: A operação , tal que: 
a) 
b) , sempre que está definida, 
 é chamada de soma. 
 Definição 2.2: A operação , tal que: 
a) 
b) , sempre que está definido, 
 é chamada de produto. 
 Observação 1: Como definimos acima que , no método de indução a 
condição “ ” pode ser reescrita como “ ”. 
 Observação 2: Podemos omitir o símbolo do produto e escrever . 
 Exercício 2.1: Demonstre que . 
 Não demonstraremos aqui, mas essas operações são consistentes com os axiomas 
e são únicas (isto é, as propriedades apresentadas são suficientes para definir as 
operações). Como ilustração de como obtemos a soma entre dois números naturais, 
façamos a soma : 
 
 
 
 
 Agora demonstraremos algumas propriedades básicas dessas operações. Devemos 
ficar atentos a quais propriedades já foram demonstradas, pois, muitas vezes, usaremos 
teoremas já demonstrados sem aviso. 
 Teorema 2.1 (associatividade da soma): 
 . 
 Demonstração: Fixemos e arbitrários. Vamos mostrar a propriedade por 
indução sobre . 
 Para é verdade, pois . 
Supondo que valha para , ou seja, , temos que vale para 
 
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 , afinal, 
 + = + + ∗= + + = + + +1. 
QED 
 Observação: Na passagem destacada com *, parece que usamos o que queremos 
demonstrar para chegar à nossa conclusão, mas veja que o que usamos foi a hipótese 
indutiva, o que é lícito. 
 Lema 2.1: . 
 Demonstração: Para vale claramente, pois . Supondo para 
 , ou seja,, então vale para , afinal, 
 . 
QED 
 Exercício 2.2: Mostre que . 
 Teorema 2.2: (comutatividade da soma): . 
 Demonstração: Fixemos um n arbitrário e façamos a indução sobre m. O teorema 
é válido para , pois pelo Lema 2.1. Supondo para , isto é, 
 , temos que vale para , já que 
 . Nas últimas duas 
passagens, usamos o Lema 1.2.1 e a associatividade respectivamente. 
QED 
 Teorema 2.3 (associatividade do produto): . 
 Teorema 2.4 (comutatividade do produto): . 
 Exercício 2.3: Demonstre os dois últimos teoremas. 
 Teorema 2.5 (distributividade): . 
 Demonstração: Tomemos e arbitrários e prossigamos por indução sobre . A 
afirmação vale para , pois por definição. Supondo 
para , ou seja, , obtemos que vale para , pois 
 
 . 
QED 
 Teorema 2.6 (leis de corte): valem que: 
a) 
b) 
 
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 Demonstração: (a): Considerando e fixos e fazendo a indução sobre , temos 
que a propriedade vale para , pois , já que 
 é injetora. Supondo que valha para , ou seja, , 
obtemos que vale para , afinal, 
 , que, pela hipótese indutiva, é equivalente 
a . 
QED 
 Exercício 2.4: Faça a demonstração da parte (b) do teorema acima. 
 Exercício 2.5: Caso tenha dúvida em algum teorema demonstrado, identifique as 
propriedades (definições e teoremas) usadas em cada passo da demonstração. 
 O que foi feito até agora (e esse é o objetivo desse texto) foi uma formalização de 
propriedades operacionais que nos são comuns desde a infância. Observamos que, do 
ponto de vista formal, as propriedades não são tão evidentes. 
 Observação: “Mas e o zero?” Muitos aprendem os naturais com o zero incluído. A 
opção tomada aqui, de não incluí-lo, foi devida a “gosto” e algumas facilidades em termos 
de demonstrações e definições. Axiomaticamente, o conjunto com o zero incluído, ou 
não, permanece o mesmo, pois a única mudança nos axiomas é a troca do símbolo “1” pelo 
“0”, que é uma mera questão de notação. A mudança está na estrutura formada sobre , 
onde o zero faz o papel de elemento neutro da soma e nulo do produto, ou seja, a soma e 
produto são definidos de forma diferente. 
3– Relação de ordem em 
 Tendo à disposição as propriedades da adição, podemos definir uma relação de 
ordem em através da definição abaixo. 
 Definição 3.1: Dizemos que é menor que e denotamos por quando 
existe tal que . Dizemos que é maior que e denotamos quando 
 . 
 Muitas vezes também é útil termos à disposição as relações (lê-se “n é 
menor ou igual a m”) e (“n é maior ou igual a m”), que significam, respectivamente, 
“ ” e “ ”. 
 Teorema 3.1: O número 1 é o menor número natural. Ou seja, ou 
 . 
 Demonstração: A propriedade claramente vale para , pois . Se , 
temos, pelo Axioma 1.2 (1 é o único natural que não é sucessor de outro), que existe 
tal que e, portanto, . 
QED 
 
 
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 Teorema 3.2 (transitividade da ordem): Se são tais que e 
 , então . 
 Demonstração: Sabendo que e , temos 
 , onde . 
QED 
 Teorema 3.3 (monotonicidade da ordem): e 
 . 
 Exercício 3.1: Demonstre o teorema acima. 
 Exercício 3.2: Demonstre que, se e , então e 
 . SUGESTÃO: Use os dois últimos teoremas. 
 Teorema 3.4 (tricotomia): Dados quaisquer, vale uma, e apenas uma, 
das afirmações: , e . 
 Demonstração: Primeiro mostremos que só pode valer uma dessas afirmativas. 
Ou seja, ao ser uma verdadeira, as restantes não podem ser. 
a) : Se , então para algum . Isso já exclui a 
possibilidade de (Exercício 2.1). Supondo, por absurdo que também vale 
 , temos que e, assim, 
 , que é um absurdo. Bastando inverter e se consegue a demonstração 
para . 
b) : Se , não se pode ter nem , pois implicariam, 
respectivamente, que e . 
 Agora mostremos que para todo alguma dessas propriedades deve ser 
satisfeita. Sendo um natural arbitrário fixo, consideremos o conjunto 
 . Vamos mostrar, por indução sobre n, que . 
Temos que pelo Teorema 1.3.1. Supondo que , vamos ter que . 
Mas, para prosseguir a demonstração (provar que ), devemos 
separar nos casos , e . 
a) ( ): Nesse caso, existe de forma que . Caso , 
e, assim, . Mas, se , observemos que existe tal que 
 , ou seja, , que é o mesmo 
que . Logo também nesse caso. 
b) ( ): Vemos, nesse caso, que para algum . Obtendo o sucessor 
de ambos os membros, temos e, dessa forma, 
concluímos que , que implica 
c) ( ): Basta observar que . Assim, como se pode ver, , 
mostrando que . 
 Mostramos, portanto, que . 
 
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QED 
 Observação: Veja que, tomando como relação de ordem a dada por “ ”, a 
transitividade continua valendo e, junto à tricotomia, faz dessa relação de ordem uma 
ordem total. Pode-se dizer que é totalmente ordenado por , pois, para que se encaixe 
precisamente na definição que damos para relação de ordem total, basta acrescentar os 
pares tais que . 
 Para demonstrar o Teorema 3.7, que é um dos resultados mais importantes da 
relação de ordem, vamos usar uma nova formulação da indução, dada abaixo. 
 Teorema 3.5 (Indução Completa): Se , e 
 +1 , então = . 
 Demonstração: Seja o conjunto tal que e 
 +1 . Consideremos também o conjunto definido por = 1,2, , . 
Observemos que . Mostraremos que e, portanto, que . 
 , pois é equivalente a , que é verdade por hipótese. Supondo que 
 , ou seja, , temos que , pois, pela hipótese indutiva e a 
propriedade do conjunto , temos que e, assim, . Logo, 
 e, por seguinte, . 
 QED 
 Na demonstração do teorema acima, usamos um fato que ainda não foi 
demonstrado: não existe número natural entre e . A demonstração fica como 
exercício. 
 Exercício 3.3: Sendo um natural e seu sucessor, mostre que não existe 
número natural tal que . SUGESTÃO: Não é necessário usar indução. 
 Pode-se ter, ainda, mais uma generalização da indução, como mostrado abaixo. 
 Teorema 3.6: Se , e, para todo tal que , se tem 
 , então . 
 Demonstração: Consideremos o conjunto . Tem-se que 
e, se , então (seja porque ou porque , 
donde pela propriedade do conjunto ). Logo, e 
 . 
QED 
 Observação: Embora não seja possível definir uma operação de subtração entre 
naturais, chamaremos o número natural tal que . Veja que devemos 
ter para que seja natural. 
 Exemplo 3.1: O número de diagonais de um polígono convexo de vértices é 
 
 
 
 Façamos a demonstração desse teorema da geometria porindução. 
 
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O resultado é válido para (triângulo), pois 
 
 
 e se sabe que o triângulo não 
possui diagonais. Supondo que valha para , mostremos que vale para . 
Tendo um polígono convexo de vértices, ao acrescentar um novo vértice, todas as 
diagonais do polígono anterior continuam a ser diagonais do novo e um dos lados se torna 
uma diagonal (afinal, o novo vértice aparece entre dois já existentes e o seguimento de 
reta que liga esses dois já existentes se torna uma diagonal). Além disso, se formam mais 
 diagonais, que são os seguimentos de reta que ligam o novo vértice a cada vértice 
não adjacente (isto é, não vizinho). Assim, esse novo polígono possuirá um número de 
diagonais igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, mostrando o resultado. Abaixo está ilustrada a passagem de 
um quadrilátero para um pentágono. 
 
 Observação 1: No exemplo acima usamos um pouco de liberdade sem nos prender 
só ao que temos formalmente estabelecido até o momento. 
 Observação 2: Chamasse polígono convexo o que, em cada vértice, tem o ângulo 
interno inferior a . 
 Definição 3.2 (mínimo e máximo): Diz-se que é o elemento mínimo (ou menor 
elemento) de um conjunto e denotamos por , quando e, , 
( é uma relação de ordem total). De forma análoga, diz-se que é o elemento máximo (ou 
maior elemento) de um conjunto e denotamos por , quando e, , 
 . 
 Exemplo 3.2: Considerando o conjunto , temos que e 
 . 
 Definição 3.3 (boa ordem): Um conjunto é dito bem ordenado quando todo 
subconjunto não vazio de possui menor elemento. Em símbolos, 
∅ ∃ | =min , onde é o conjunto das partes de . 
 Observação: As duas últimas definições não se restringem apenas aos naturais. 
 Pode-se ver que, se um conjunto possui elemento mínimo (máximo), ele é único. 
Com efeito, se e são mínimos (máximos) de um conjunto , então ( ), pelo 
fato de ser um mínimo (máximo), e ( ), pelo fato de ser um mínimo 
(máximo). Logo . 
 Exercício 3.4: Mostre que não possui elemento máximo. 
 
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 Definição 3.4: Dado , esse é dito limitado se existe de forma que, 
 , . 
 Teorema 1.3.7 (Princípio da Boa Ordem): é bem ordenado. 
 Demonstração: Consideremos a existência de um conjunto que não possui 
menor elemento. Mostraremos que esse só pode ser o conjunto vazio. Sendo , 
 , pois é o menor número natural e, assim, não pode pertencer a . Suponhamos que 
 , então temos que , pois, se tivéssemos , esse seria o 
menor elemento de . Pelo Teorema 3.5, e, portanto, ∅. 
QED 
 Exercício 3.5: Considerando limitado, mostre que esse possui elemento 
máximo. 
4– Potência de números naturais 
 Com as operações de soma e produto definidas, pode-se definir a potência de 
números naturais. 
 Definição 4.1: Sendo definimos: 
a) 
b) sempre que está bem definido. 
 Exemplo 4.1: Como exemplo de como obter potências de naturais, encontremos 
 . Através da definição, temos , e 
 . 
 Teorema 4.1: . 
 Demonstração: Demonstremos por indução sobre n. Para , por 
definição. Supondo que valha para , ou seja, , temos que 
 , mostrando que vale para e, por seguinte, . 
QED 
 Teorema 4.2: valem: 
a) 
b) 
c) 
 Demonstração: (a): Sendo um natural arbitrário, demonstraremos a 
propriedade por indução sobre . Para temos por 
definição. Supondo para , isto é, , temos que vale para , pois 
 , completando a demonstração. 
 
 
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 (b): Novamente tomaremos arbitrários e prosseguiremos por indução sobre . 
Para temos pela definição. Observemos que basta 
mostrar que , pois a segunda igualdade é imediata pela comutatividade do 
produto. Supondo para , ou seja, , temos 
 , onde usamos a parte (a) do teorema, demonstrada acima. 
 (c): , mostrando que a propriedade vale para . Supondo 
que valha para , ou seja, , vemos que vale para , afinal, 
 . Isso completa a demonstração. 
QED 
 Exemplo 1.4.1: para todo . Para temos 
 . Supondo para , isto é, , temos que vale para , afinal, 
sendo , , por hipótese, e , temos 
 (isso porque, lembrando do Teorema 3.3, se e , então 
 ). 
 Exercício 4.1: Mostre que, para todo , temos . SUGESTÃO: Use o 
resultado do exemplo acima. 
 Exercício 4.2: Demonstre que . 
5– Somatório e produtório 
 Para um tratamento mais geral (embora não o mais geral possível) dos operadores 
que serão apresentados, consideraremos uma estrutura qualquer com as seguintes 
propriedades: 
a) A operação + (soma) é comutativa e associativa. 
b) A operação (produto) é comutativa, associativa, distributiva em relação à soma e 
possui unidade (elemento, chamado de “1”, tal que ). 
 Definição 5.1 (somatório): Sendo uma família de elementos tal que 
 
 , ou seja, indexado pelos primeiros números naturais, definimos o operador 
somatório desses elementos por: 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 sempre que 
 
 está definido. 
 Como exemplo, obtemos o somatório dos elementos do conjunto 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Observação: Pode-se ver que, ao mudarmos o índice por qualquer outro, por 
exemplo, , o somatório não se altera, ou seja, 
 
 
 
 
 . Diz-se que os índices são mudos. 
 Teorema 5.1: 
 
 . 
 Demonstração: Demonstremos por indução sobre n. Para é verdade por 
definição. Supondo que seja verdade para , ou seja, 
 
 , temos que 
é verdade para , afinal, 
 
 
 
 . 
QED 
 Corolário: O somatório não depende de uma particular indexação de 
 . 
 Demonstração: Sendo 
 
 a soma por uma indexação, 
consideremos outra indexação tal que 
 
 
 
 . Pela associatividade e 
comutatividade da soma, a soma deve ser igual à 
 
 , mostrando que 
não depende da indexação. 
QED 
 O teorema apresentado é a motivação para se definir o somatório, e justifica seu 
nome. Como veremos, a vantagem da notação de somatório vai além de ser uma notação 
compacta: muitas manipulações complexas de serem realizadas são mais simples através 
de somatórios. 
 Abaixo são apresentadas algumas propriedades do somatório. 
 Teorema 5.2: 
 Demonstração: Para a afirmação é verdadeira já que . 
Supondo que seja verdadeira para , isto é, , será verdadeira para 
 , já que 
 
 . 
QED 
 Observação: Estamos chamando de o resultado da soma de n unidades 
( n vezes), ou seja, . 
 Teorema 5.3 (homogeneidade):Demonstração: Do Teorema 1.5.1 e da distributividade do produto em relação à 
soma, temos que 
 
 
 
 . 
QED 
 
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 Teorema 5.4 (propriedade aditiva): 
 
 
 
 
 
 
 , =1 =1 . 
 Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 , onde se usou o Teorema 1.5.1 e a associatividade e 
comutatividade da soma. 
QED 
 Teorema 5.5 (propriedade telescópica): Se, além das propriedades já exigidas 
para a estrutura sobre , a soma possuir elemento neutro para a soma (esse chamado de 
 ) e todo elemento de possuir elemento inverso pela soma, ou seja, ∃ 
 , então 
 
 
 . 
 Demonstração: 
 
 
 , onde foi apenas 
necessário “deslocar” os parênteses (usando associatividade) de forma que os termos que 
se anulam fossem somados. 
QED 
 Exemplo 5.1: O somatório (de números reais) 
 
 
 
 pode ser obtido vendo 
que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (verifique!). De fato, pois, sendo 
 
 
, 
 
 
, que, pelo teorema 
acima, nos leva a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 Exercício 1.5.1: Mostre que 
 
 
 
 
 
 
 onde . SUGESTÃO: Use a 
propriedade telescópica. 
 Sabe-se que a indexação de 
 é obtida por uma função sobrejetora , 
onde 
 . É natural que possa existir alguma regra que defina essa função e, assim, 
muitas vezes se pode escrever 
 
 
 
 . Como também é possível ter o mesmo 
conjunto como a imagem de (com mesma regra definidora), é mais comum 
definirmos as funções com contradomínio e obter como a imagem. 
 Para algumas “classes” de conjuntos, é possível obter uma fórmula fechada para o 
operador somatório. O exemplo abaixo, onde encontramos uma fórmula fechada para 
subconjuntos de da forma , ilustra isso. 
 Exemplo 5.2: Considere o subconjunto de . O somatório desse conjunto é 
dado por 
 
 
. A demonstração de tal resultado pode ser obtida por indução. De 
fato, o resultado é válido para e, ao supor que seja válido para , isto é, 
 
 
 
, temos que o resultado vale para , afinal, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
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 Observação: Como ainda não temos os naturais como um subconjunto dos reais, 
devemos tomar cuidado com o que estamos simbolizando por 
 
 
. Estamos 
considerando que os três números da expressão são naturais e eles são tais que 
(veja que é necessário que seja um múltiplo inteiro de para que a expressão possua 
sentido). Ou seja, 
 
 
 é o número natural tal que . No entanto, embora 
seja necessário salientar tais detalhes para um tratamento mais rigoroso, vezes iremos 
manipular expressões omitindo essas explicações “preciosistas”. 
 Em alguns casos, podemos querer a soma dos elementos de 
 de 
( a e não de a . Definimos, para esses casos, 
 
 e 
 
 
 
 
 sempre que 
 
 está definido. Também é possível que se queira 
não considerar algum elemento de 
 e, nesse caso, sendo ( ) o elemento 
não considerado, definimos 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 Observação 1: Nas definições acima, usamos o sinal de menos, que está, 
normalmente, associado à soma com o inverso aditivo ( ), mas, mesmo 
que a estrutura sobre A (conjunto do qual 
 é subconjunto) não admita inverso 
aditivo para seus elementos, é possível definir uma “subtração” em A da forma como foi 
feita com os números naturais (veja a observação após o Teorema 1.3.6). 
 Observação 2: Considerando a expressão 
 
 , chamamos de limite inferior 
do somatório e de limite superior do somatório. 
 Observação 3: Uma definição alternativa, em alguns casos, para 
 
 é 
 
 
 
 
 
 
 , mas nem sempre é conveniente. 
 Exercício 5.2: Mostre que 
 
 com . 
 Exemplo 5.3: Usando o que foi mostrado no Exemplo 5.2, podemos ver que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde . 
 Exercício 5.3: Mostre que 
 de duas formas: por indução e usando 
as propriedades do somatório. 
 Exercício 5.4: Mostre que 
 
 
 
 
 
 . Essa propriedade é chamada 
de abertura e uma manipulação útil que pode ser feita é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
 Muitas vezes se deseja aplicar o operador somatório mais de uma vez, ou seja, ter 
expressões da forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , etc.. Para o somatório duplo 
(expressão da forma 
 
 
 
 ), pode-se ver que isso é possível se tivermos o 
conjunto 
 de forma que 
 
 (o que faz com que 
 
 
 
 
 
 
 ). Veja que na expressão 
 
 o índice não está sendo somado e 
sim pode admitir um valor arbitrário em . Um índice que apareça dessa forma é 
chamado de índice livre. Observamos também que existe uma coerência do índice livre em 
ambos os membros da expressão, ou seja, o índice livre recebe mesmo “nome” (no caso, ) 
em ambos os lados da expressão. 
 Pelo Teorema 5.1 obtemos que o somatório de um conjunto 
 tal que 
 
 
 é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 5.4: Seja 
 de forma que 
 
 . Nesse caso temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para um somatório múltiplo (duplo, triplo,...), podemos ter uma notação um pouco 
mais curta, como feito abaixo (com somatórios): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
 Por exemplo, podemos denotar o somatório duplo 
 
 
 
 por 
 
 . No 
caso de todos os limites superiores coincidirem, basta escrevê-lo uma única vez (por 
exemplo, 
 
 
 
 ). Também é comum omitir os limites inferiores e 
superiores caso sejam subentendidos. Por exemplo, se se está trabalhando sempre com 
somatórios de 1 até , se subentende por 
 
 . 
 Teorema 5.6 (comutatividade do somatório): e 
 tal que 
 
 
 ) tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 ou, em notação mais compacta, 
 
 
 
 
 
 
 (veja que essa última igualdade vem do fato dos índices 
serem mudos – apenas se renomeou por e vice-versa). 
 Demonstração: Demonstremos por indução sobre tomando um arbitrário. 
Para , o resultado é verdadeiro,pois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Supondo que valha para , ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 , temos que vale 
para , afinal, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
QED 
 Para visualizar melhor a última passagem, lembre-se que 
 
 e, assim, 
 
 
 . 
 Corolário: e 
 tal que 
 
 ) tem-se 
 
 
 
 
 . 
 Esse corolário, que é uma conseqüência imediata do teorema, é um resultado 
muitas vezes útil. 
 Se admitirmos na estrutura sobre A um elemento neutro para a soma (elemento 0), 
podemos definir uma função, chamada de Delta de Kronecker, que é muito útil 
algebricamente. 
 Definição 5.2 (Delta de Kronecker): Se existe em A um elemento, denotado , tal 
que , então definimos a função de forma que: 
 
 
 
 
 A principal propriedade dessa função é 
 
 ( . Para mostrar 
essa propriedade, basta vermos que 
 
 (pois 
 e todos os outros termos se anulam). Naturalmente, a propriedade também vale 
caso existam outros índices livres além de , ou seja, 
 
 (k e j são índices 
livres). Em particular, temos 
 
 . 
 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
 Exercício 5.5: Mostre que 
 
 
 
 . SUGESTÃO: Veja que sempre 
vale . 
 Exemplo 5.5: O somatório 
 
 é dado por 
 
 
 
 
 
 (veja a Definição 1.3.2). De fato, pois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. O é devido ao fato de que, sendo e 
 , se anula para todo (caso 
 ) ou para todo (caso ). 
 Exercício 5.6: Verifique explicitamente o resultado do exemplo anterior para 
 
 
 . 
 Exercício 5.7: Mostre que 
 
 SUGESTÃO: Observe que . 
 Exemplo 5.6: Para adequarmos algumas expressões a determinadas convenções, 
às vezes é necessário realizar uma fatoração do tipo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , onde usamos a propriedade 
 
 
 . 
 Sendo 
 
 e 
 
 , quanto é ? Num primeiro impulso, poderíamos 
pensar que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , onde se usou o 
Teorema 5.3, mas é simples encontrar um contra exemplo que mostre a falsidade dessa 
expressão. Com efeito, 
 
 
 
 ao passo que 
 
 , 
 
 
 e . Mas o que 
há de errado na manipulação feita inicialmente? Devemos ver que os índices são 
independentes (a “variação” de um não influencia na do outro) e, ao fazer o produto posto, 
devemos renomear ao menos um dos índices para garantir a independência. Ou seja, a 
expressão correta é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Aqui podemos ver uma das vantagens da notação de somatório. O que está “dentro” de um 
somatório pode ser manipulado da mesma forma como é feito caso não existisse o 
somatório (na última passagem simplesmente se considerou uma constante e, assim, 
pelo Teorema 5.3, pôde “entrar” no somatório de índice ). 
 Exemplo 5.7: Considerando a soma 
 
 , podemos ver que 
 
 
 
 
 = =1 =1 = =1 +12= +12 =1 = +12 +12= +1 +14, onde se 
usou o resultado obtido no Exemplo 1.5.2. 
 Consideremos, para o próximo teorema, que a estrutura sobre constitui, mais 
precisamente, um corpo ordenado1. 
 
 
1
 Um corpo ordenado é uma estrutura com as operações de adição e multiplicação com propriedades 
idênticas a dessas operações nos números reais e, além disso, para dois elementos e quaisquer no 
conjunto, sempre vale uma, e apenas uma das afirmativas: , ou . 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
 Para que tenhamos o próximo resultado, teremos que considerar um resultado 
preliminar: quaisquer que sejam com e temos . 
Com efeito, pela monotonicidade da soma, e e, portanto, 
 . 
 Teorema 5.7: Considerando os conjuntos 
 , 
 com sendo um 
corpo e a relação de ordem a de um corpo ordenado, se, , , então 
 
 
 
 
 . 
 Demonstração: A propriedade vale para , pois 
 
 
 
 
por hipótese. Supondo que valha para , ou seja, 
 
 
 
 , temos que vale 
para , pois temos 
 
 
 
 
 
 
 
 , afinal, 
 e 
 
 
 
 . 
QED 
 Exercício 5.8: Mostre que o resultado acima vale para , com a relação de 
ordem definida para (secção 3). Veja que não é um corpo. 
 Exemplo 5.8: Considerando e com , temos que 
 
 
 
 
 
 
 , pois 
 (mostre 
isso). Veja que, embora não saibamos os resultados explícitos dos somatórios, é possível 
dizer que um somatório é maior que o outro. 
 Exercício 5.9: Mostre que 
 . SUGESTÃO: Lembre-se 
do Teorema 5.2. 
 O teorema seguinte garante uma manipulação bastante útil em várias situações. 
 Teorema 5.8 (mudança de variável): Sendo , temos que 
 
 
 , onde e são tais que as subtrações feitas sejam 
positivas (num caso mais geral, que não apresentaremos agora, essa restrição pode ser 
eliminada). 
 Demonstração: Usemos o Teorema 3.6 para realizar a demonstração. O teorema é 
válido para , pois, por um lado, e, por outro lado, 
 
 
 . Supondo que valha para , ou seja, 
 
 , 
temos que vale para , afinal, 
 
 
 
 
 
 
 + + +1 = = + +1= = +1 . A segunda igualdade se demonstra 
analogamente. 
QED 
 Exemplo 5.9: Embora possa parecer estranha a manipulação apresentada no 
Teorema 5.8, podemos ver o quanto ela é simples por um exemplo. Considere de 
 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
forma que queiramos o somatório de 5 a 8. Ou seja, 
 . 
Mas vemos que o somatório não se altera ao somarmos 2 aos limites do somatório e 
subtrairmos 2 da variável. De fato, pois 
 
 
 . 
 Podemos definir em um corpo uma potência de expoente “inteiro”, como feito 
abaixo. 
 Definição 5.3 (potência com expoente inteiro): Sendo um corpo, 
 
 
 , e , definimos: 
a) 
b) sempre que está definido. 
c) 
 
 
 se 
 
 
 está definido. 
 Não é difícil verificar que as propriedades demonstradas para a potência de 
naturais continuam válidas para esse caso. Temos ainda que . 
 Pela definição, , mas, sendo , . Isso parece contraditório, 
fazendo-nos pensar se é realmente uma definição apropriada, mas o resultado 
apresentado é conveniente por diversos motivos. 
 Duas outras propriedades dessa definição de potência são dadas no teorema 
abaixo.Teorema 5.9: Sendo um corpo com a potência de expoente inteiro definida 
como acima, temos que: 
a) 
 
 
 se ou . 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 se . 
 Demonstração: (a): Se , a expressão só fica definida com e, nesse caso, 
temos 
 
 
 . No caso de , qualquer expoente é válido e, assim, 
demonstremos o resultado por indução sobre já observando que o resultado é válido 
para , pois 
 
 
 . O resultado vale para já que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e, ao supormos que valha para , isto é, 
 
 
 , temos que vale para 
 , afinal, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , mostrando o resultado. 
 (b): Demonstremos por indução sobre já vendo que o resultado é válido para 
 , afinal, 
 
 
 
 
 
 
 
. O resultado vale para , já que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, e, ao supor 
 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
que valha para , ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
, obtemos que o resultado vale para , 
pois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e isso completa a demonstração. 
QED 
 Defninição 5.4 (produtório): Sendo uma família de elementos tal que 
 
 , definimos o operador produtório desses elementos por: 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 sempre que 
 
 está definido. 
 Essa definição é semelhante à de somatório (apenas se trocou a soma pelo 
produto). A propriedade demonstrada no Teorema 5.1 possui análogo nesse caso (mostre 
isso), ou seja, 
 
 e o corolário também continua válido. Como será 
visto, existem outras mais características do operador produtório que são análogas a 
alguma do somatório. 
 Observação: Os índices do produtório também são mudos. Ou seja, o produtório 
não muda se mudarmos o nome dos índices. 
 Para simplificar o tratamento do que será visto a seguir, vamos admitir que a 
estrutura sobre é um corpo ordenado. Mas algumas das propriedades podem valer para 
outras estruturas se forem tomados os devidos cuidados. 
 Muitas demonstrações serão deixadas como exercício devido à semelhança com as 
já feitas para o somatório. 
 Teorema 5.10: Para o produtório valem as seguintes afirmações: 
a) 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercício 5.10: Mostre o teorema acima. 
 Salvo alguns detalhes, podemos ver que essas propriedades são análogas às 
mostradas nos teoremas 5.2, 5.3 e 5.4. 
 Lembremos que num corpo é sempre possível definir uma operação 
∗ 
 
, 
chamada divisão, onde 
 
 
 . Assim, temos o teorema seguinte. 
 Teorema 5.11: Sendo 
 
 com , temos que vale: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 se . 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
 Exercício 5.11: Mostre o teorema acima. 
 A propriedade apresentada na parte (a) do teorema acima na verdade é análoga a 
uma propriedade não apresentada do somatório: 
 
 
 
 
 
 (mostre 
isso considerando a operação subtração definida para corpos). Já a apresentada na parte 
(b) é a propriedade telescópica do produtório. 
 Exemplo 5.10: Sendo tal que 
 
 
 , quanto é 
 =1 1 +1? Podemos resolver tal questão observando que 1 +1= +1 . Assim, 
 
 
 
 
 
 
 . Ora, sendo , temos que esse produtório é telescópico e, 
dessa forma, 
 
 
 
 
 
 . 
 Exemplo 5.11: Considerando tal que 
 
 
, podemos usar o 
resultado anterior para encontrar o produtório 
 
 
 
 
 
 . De fato, pois 
 
 
 
 
 
 
 
e, portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 Exercício 5.12: Sendo tal que 
 
 
 
 
 
, encontre . 
 De forma análoga ao somatório, é possível que se queira o produtório de um 
conjunto 
 de ( ) a e, para esse caso, definimos 
 
 e 
 
 
 
 
 sempre que 
 
 está definido. Também podemos não querer 
considerar um determinado elemento de 
 e, sendo o indesejado ( ), 
definimos 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 Exercício 5.13: Mostre que 
 
 
 
 
 
 com . 
 Exercício 5.14: Mostre que, sendo tal que 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
. 
 Exercício 5.15: Mostre que 
 
 
 
 
 
 . Essa é a propriedade de 
abertura para o produtório. 
 Também não é estranha a idéia de produtório duplo, triplo, etc.. Assim, podemos 
ter expressões do tipo 
 
 
 
 . Como o caso é análogo ao do somatório, podemos 
adotar todas as notações já introduzidas para somatórios múltiplos. 
 Teorema 5.12 (comutatividade do produtório): e 
 tal que 
 
 
 ) tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 ou, de forma mais compacta, 
 
 
 
 
 
 
 (essa última igualdade vem do fato dos índices serem 
mudos – apenas se renomeou por e vice-versa). 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
 Exercício 5.16: Mostre o teorema acima. 
 Corolário: e 
 tal que 
 
 ) tem-se 
 
 
 
 
 
 
 . 
 Exercício 5.17: Demonstre o corolário acima. 
 Esse corolário é o resultado análogo ao obtido para o somatório. 
 Exemplo 5.12: Considerando tal que 
 
 
, temos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , onde se usou o fato de 
 
 
 
 ser um produto telescópico e os 
resultados dos exemplos 5.10 e 5.11. Poder-se-ia obter o mesmo resultado usando o 
corolário do teorema. De fato, pois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 Teorema 5.13 (mudança de variável): Sendo , temos que 
 
 
 , onde e são tais que as subtrações feitas sejam 
positivas (é possível tirar essa restrição num caso mais geral, que não será apresentado 
agora). 
 Demonstração: Usemos o Teorema 1.3.6. O teorema é válido para , pois, por 
um lado, e, por outro lado, 
 
 . 
Supondo que valha para , isto é, 
 
 , temos que vale para 
 , afinal, 
 
 
 
 
 
 
1 = = +1= = +1 . A segunda igualdade se demonstra analogamente. 
QED 
6– Teorema Binomial de Newton 
 Consideraremos a estrutura um corpo e, para auxiliar as definições que 
serão feitas, definiremos o conjunto tal que 
 
 
 . 
 O Teorema Binomial de Newton é o teorema que nos permite expandir expressões 
da forma ( ), chamados de binômios, em um polinômio 
(expressão da forma 
 
 ). Não é difícil ver que a expressão 
 dá origem a um polinômio, mas oteorema que será demonstrado nos permite 
encontrar os coeficientes do polinômio (os ) facilmente. 
 Definição 6.1 (fatorial): Definimos a função fatorial por: 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
a) 
b) sempre que está definido. 
 De imediato podemos ver que . 
 Um resultado que podemos ter é que se . 
Demonstremos isso por indução. O resultado vale para , pois e, ao 
supor que valha para , ou seja, , temos que vale para , pois 
 
 
 . 
 Outro resultado é 
 
 
 se 
(mostre isso). O fatorial é útil em várias áreas na matemática. Em especial, na Análise 
Combinatória. 
 Para a próxima definição, tomemos 
 . 
 Definição 6.2 (coeficiente binomial): O coeficiente binomial é definido pela função 
( ): tal que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Duas propriedades que podemos perceber dessa função são 
 
 
 
 e 
 
 
 . De fato, pois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercício 6.1: Mostre que 
 
 
 
 . 
 Essa definição também é muito freqüente na matemática em diversas áreas. Abaixo 
segue um teorema que nos será necessário na demonstração do Teorema Binomial de 
Newton. 
 Teorema 6.1 (relação de Stifel): Sendo com temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Demonstração: Sendo , pode-se ver que existe em tal que . 
Assim, tomando o lado direito da expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QED 
 Teorema 6.2 (Teorema Binomial de Newton): Para quaisquer e , 
vale que: 
 
 
 
 
 
 
 
 Demonstração: Demonstraremos por indução sobre já observando que o 
resultado é satisfeito para , pois 
 
 
 
 
 . 
 Podemos ver que o resultado vale para já que 
 
 
 
 
 
 
 
 . Ao supor que valha para , isto é, 
 
 
 
 , temos que vale para . Com efeito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 E esse é o resultado procurado. 
QED 
 Mas o que queremos é o resultado para em geral, embora o resultado 
acima já seja realmente útil. Poderíamos ter demonstrado já para o caso geral, mas 
tornaria a demonstração mais complicada. Demonstrado o teorema acima, o resultado 
geral é um corolário. 
 Corolário: Para quaisquer e , vale que: 
 
 
 
 
 
 
 
 Demonstração: Como o resultado é claro para (esse é um dos motivos de 
 ser conveniente), vamos demonstrar para . Nesse caso, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QED 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
 Existem generalizações do teorema para fracionário e negativo, mas esses casos 
resultam em polinômios de infinitos termos (uma série infinita – foram esses os casos que 
Newton realmente estudou). 
 Observação importante: Devido à nossa escolha de não incluir o zero nos 
naturais, tivemos que enunciar o teorema como feito acima. No entanto pode-se ver que, 
por uma mudança de variável (por enquanto ilícita), podemos reescrever o teorema como 
 
 
 
 , que é uma expressão visivelmente mais simples. Dentro do 
que temos, podemos “improvisar” definindo se e 
 
 
 se , onde com . 
 Alguns resultados imediatos do teorema são: 
a) 
 
 , onde se usou o teorema com . 
b) 
 
 se , onde se usou o teorema com . 
 O Teorema Binomial de Newton transforma expressões da forma em uma 
soma onde, basicamente, se precisa apenas calcular os coeficientes 
 
 (ou 
 
 se a soma 
começa de ). É muito mais simples, em geral, calcular esses coeficientes que a expressão 
 por multiplicações sucessivas, mas a relação de Stifel nos traz mais um resultado 
facilitador. Considerando os binômios e , com coeficientes binomiais, 
respectivamente, da forma 
 
 e 
 
 , a relação 
 
 
 
 
 
 pode ser vista como 
“o coeficiente (lembrando que a soma começa de ) do binômio é 
igual à soma dos coeficientes e do binômio ”. Essa afirmação só faz sentido 
caso não corresponda a uma extremidade do binômio ( ou no caso de 
 ), no entanto se sabe que nas extremidades o coeficiente binomial é . 
 Começando pelos binômios , donde se tem que o coeficiente é , e 
 , que possui coeficientes binomiais e , podemos obter os coeficientes 
dos binômios com pela relação de Stifel. Por exemplo, os coeficientes de 
são e , onde o primeiro e o último são por serem extremidades e o segundo se 
obtêm por 
 
 
 
 
 
 
 
 . Realizando sucessivamente esse processo 
obtemos os seguintes resultados: 
 
 
 
 
 
 
 Como se pode ver, é simples obter essa sucessão (chamada de Triângulo de Pascal). 
 Mas, além dos coeficientes, temos que ter os expoentes. Não é difícil verificar que,considerando o binômio 
 
 
 , o expoente de decresce de até 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
ao passo que o de cresce de até . Assim, por exemplo, a expressão pode ser 
escrita como , onde usamos o Triângulo de 
Pascal. 
 Exercício 1.6.2: Faça a expansão dos binômios , 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 Exercícios III – 1 
 Durante os exercícios, considere que as propriedades operacionais e de ordem são 
a de um corpo. Considere também que 
 
 
 . 
 1 – Mostre que o Princípio da Boa Ordem implica o Princípio da Indução (Axioma 
1.1.3). 
 2 – Um número natural é dito par se existe tal que e um número é 
dito ímpar se existe tal que . Mostre que, dado um , é par ou ímpar 
e não pode ser ambos. Mais precisamente, sendo o conjunto dos naturais pares e o 
conjunto dos naturais ímpares, mostre que e que ∅. 
 3 – Dado não vazio tal que , mostre que existe 
 de forma que (conjunto dos múltiplos de ). 
 4 – Mostre que todo natural par pode ser escrito como para algum 
 e ímpar. 
 5 – Usando indução, mostre que: 
a) 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
e) se e . 
 6 – Torre de Hanói é um conhecido jogo constituído de três hastes (1, 2 e 3) e um 
conjunto de discos com diâmetros distintos, os quais colocados em ordem crescente de 
diâmetro na haste 1 (contando de cima para baixo). O objetivo é passar esses discos para a 
haste 3 com o menor números de movimentos possível (um movimento consiste em 
passar um disco de uma haste para outra). As regras são as seguintes: 
a) Só se pode mover um disco de cada vez. 
b) Só se pode mover o disco de menor diâmetro numa haste. 
c) Um disco de diâmetro menor nunca poderá estar embaixo de um disco de 
diâmetro maior. 
 Mostre que o menor número possível de movimentos para uma Torre de Hanói 
com discos é . Compare o resultado com o do item (c) do exercício anterior e 
interprete-o. SUGESTÃO: Use indução e observe que, para uma torre de ( ) discos, 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
precisamos colocar primeiros discos na haste 2 para ser possível passar o último (de 
diâmetro maior) para a haste 3. 
 
 7 – Considere retas num plano. Mostre que o “mapa” formado por essas retas 
pode ser colorido com duas cores sem que regiões vizinhas sejam coloridas com a mesma 
cor (uma região é vizinha de outra se existe um segmento de reta separando-as). 
 
 8 – Os seguintes “teoremas”, claramente falsos, possuem falhas em suas 
“demonstrações”. Encontre essas falhas: 
 Teorema 1: Uma função tal que possui elementos (indexado pelos 
primeiros números naturais) necessariamente é uma função constante*. 
 Demonstração: Demonstremos por indução. O resultado é válido para , pois 
 . Supondo que seja válida para , isto é, com e 
possuindo elementos, temos que é válida para . De fato, pois, considerando 
com elementos e tomando dois elementos quaisquer distintos , temos que 
 e possuem elementos e, pela hipótese indutiva, e 
 , que implica , mostrando o 
resultado. 
 *: De forma geral, uma função é dita constante quando para 
algum , ou seja, quando a imagem de é um conjunto unitário. 
 Teorema 2: Considerando e , temos 
 . 
 Demonstração: Usaremos a indução completa para demonstrar esse teorema. O 
resultado é válido para , pois . Supondo que seja válido para todo 
 , temos que é válido para , afinal 
 
 
 
 
 
 
 9 – Sendo e , mostre que 
 
 
Material elaborado por Ivan Eugênio 
 
 
 
 
 
 
 
 10 – Encontre formulas para as seguintes expressões: 
a) com . 
b) com . 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
e) 
f) 
 
 
 
 
 11 – Mostre que: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) e com 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 SUGESTÃO: Aplique o teorema binomial à 
1 . 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
i)