A Construção dos Números - Jamil Ferreira (Textos Universitários)

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col,EçÃo Do PRoFESSOII DE MATEMÁTrCÀ
. Loga.ritmos - E. L. Lima
o Análise combinatória e Prcbabilidade com a,s soluções dos exercícios - A. c. Morgado,
J. B. Pitombeira, P. C. P. Carvalho e P. Ferna"ndez
c Medida e Forma em Geometria (Comprimento, Área, Volume e Semelhança) -
E. L. Lima
o Meu Professor de Matemática e outra.s Histórias - E. L. Lima
t coordenadas no PIano com as soluções dos exercícios - E. L. Lima com a colaboração
de P. C. P. Carvalho
t Tligonometria, Números Complexos - M. P. do Carmo, A. C. Morgado, E. Wagner,
Notas Históricas de J. B. Pitombeira
o Coordenadas no Espaço - E. L. Lima
o Progressôes e Matemática Financeira- A. C. Morgado, E. Wagner e S. C. Zani
o Construções Geométricas - E. Wagner com a colaboração de J. p. e. Carneiro
o Introduçãa à GeometriaBspacial - P. C. p. Carvalho
o Geometria Euclidiana Plana - J. L. M. Barbosa
o lsometriea - E. L. Lima {
o A Matemática do Ensino Médio Vol. t - E. L. Lima, p. C. p. Carvahá, E. Wagner e
A. C. Morgado
o A Matemática do Ensino Médio Vo1.2 - E. L. Lima, p. C. p. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
o A Matàmática do Ensino Médio Vol.J - E. L. Lima, p. C. p. Carvalho, E. Wagner e
A. C. Morgado
o Matemática e Ensino - E. L. Lima
t Temas e Problemas - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morga.do
c Episódios da História Antiga da Matemática - A. Aaboe
o Exame de Textos: AnáJise de liwos de Matemática - E. L. Lima
o Temas e Problemas Elementa,res - E. L. Lima, p. C. p. Carvalho, E. Wagner e A. C.
Morgado
t AMatemáticad.oEnsinoMédio: soluçõese Exercícios- E. L. Lima, p. c. p. carvalho,
E. Wagner e A. C. Morgado
c Construções Geométricas: Exercícios e Soluções - S. Lima Netto
COLEÇÃO INICIAçÃO CIENTÍFICA
Números lrracionais e Tlanscendenúes - D. G. de Figueiredo
Primalidade em Tempo Polinomial - [Jma Introdução ao Algoritmo ÁKs - s. c.
Coutinho
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A construção dos números
Copyright @) 2011, Jamil Ferreira
Direitos reservados, 2011 pela Sociedade Brasileira de Matemática.
Coleção Textos IJniversitários
Cornitê Editorial
Abdênago Alves de Barros
Abramo Hefez
Djairo Guedes de Figueiredo
Roberto Imbuzeiro Oliveira (Editor-Chefe)
José Alberto Cuminato
SÍIvia Regina Costa Lopes
Revisáo
Mariflor Rocha
Capa
Ana Luisa Passos Videira, sobre projeto de Adriana Moreno
Sociedade Brasileira de Matemática
Presidente: Hilário Alencar
Vice-Presidente: Marcelo Miranda Viana da Silva
Primeiro Secretário: Maria Aparecida Soares Ruas
Segundo Secretário: Ronaldo Alves Garcia
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Distribuição e vendas:
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http: //www.sbm.org.br
ISBN: 978-85-85818-45-6
FICHA CATÂLOGRÂFIC.A PREPARADA PELA SEÇÃO DE TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO DA BIBLIOTECA PROFESSOR ACHILLE BASSI _ ICMC/USP
Ferreira, Janil
F383c  coastrução dos números / Janil Ferreira
2.ed. - Rio de Jaaeiro: SBlr, 2011
xiv, 133 p. (Co1eção Textos Universitários; 9)
rsBN 978-85-85818_45_6
1. Números lDtêiros. 2. Números Racionais.
3. Números Beais. 4. Números Couplexos. I. TÍtulo.
v
Dedico este livro
aos meus amores eternos:
Iara e Maíra, continuidade melhorada do que há de nobre em mim,
José Antônio Pedro Ferueira, amigo, mestre e irmão (in memoriam);
e às minhas estrelas-guias:
meus pais (in memoriam).
V1
...Se a belezanão carece de ambição e escravatura
E a alegria peflnanece e a mocidade me procura
Liberdade é quando eu rio na vontade do assobio
Faço arte com pandeiro, matem ática eloucura...
Fausto Nilo e Moraes Moreira ('Meninas do BrasiP')
I
L
v11
v111
Prefacio
Este livro é resultado da evolução de um conjunto de notas de aula elaboradas pelo
autor para cursos introdutórios de álgebra e de aniflise matemática para a licencia-
tura e o bacharelado em matemática, na Universidade Federâl do Espírito Santo
(Ufes) e na Universidade Federal de Ouro Preto (Ufop). Essas experiências reve-
laram que são poucas as ocasiões em que é possível construir os números reais a
partir dos números racionais, o que tem como resultado um entendimento incom-
pleto (sem trocadilhos, como o leitor perceberá adiante!) do conceito de número
real por parte dos futuros professores. Essa lacuna teórica não convém, principal-
mente para aqueles que não continuarão seus estudos em nível de pós-graduação
em matemática. Além disso, a única construção rigorosa dos conjuntos numéricos,
com os quais lidamos desde o Ensino Fundamental, é apenas a do conjunto dos nú-
meros racionais, como corpo de frações de um domínio de integridade, o que se faz
nos cursos introdutórios de álgebra, na universidade.
Temos como objetivo reunir em um único material a consffução dos números
inteiros, racionais, reais e complexos a partir do conjunto dos números nafurais,
este introduzido através dos axiomas de Peano.
lx
Fizemos questão de comparar explicitamente a abordagem elementar do con-
ceito de número, estudada nos Ensinos Fundamental e Médio, com as construções
que apresentamos aqui. Estas são resultado do trabalho árduo dos matemáticos do
século XIX e início do século XX que se dedicaram à busca dos fundamentos da
matemática acumulada até a época. principalmente a partir do cálculo diferencial e
integral de Newton eLeibniz, no século XVII. Tais construções, no entanto, acabam
por esconder o processo histórico sobre o qual o conceito de número se desenvolveu,
um tanto avesso à forma final aqui apresentada. Por isso, iniciamos este trabalho
com um mínimo de notas históricas.
Acreditamos que este material possa servir de base para uma disciplina de Fun-
damentos da Matemática, oferecida tanto para a licenciatura quanto para o bacha-
relado em matemática, durante o segundo ou terceiro semestre do curso. O estudo
das construções dos conjuntos numéricos é, no nosso entender, fértil sob vários
aspectos. Primeiro, o assunto já é automotivado para o estudante de matemática,
por pretender uma fundamentação teórica de questões que já lhe são familiares; se-
gundo, pela sua relevância para a cultura matemática do futuro professor ou bacha-
rel; terceiro, o assunto é propício para iniciar o aluno no entendimento e na práttica
de demonstrações e do método axiomático; quarto, os conceitos a serem abordados
posteriormente, nas disciplinas da área de álgebra e de análise, tornar-se-ão mais
familiares para o estudante, o que permitirá maior dedicação a tópicos mais especí-
ficos dessas disciplinas. Em análise, o estudante já saberia da existência do corpo
dos números reais e de sua principal caracteústica, que é a de ser completo. Isso
permitiria que o curso de análise se ocupasse das consequências desta propriedade,
em especial, do Teorema do Valor Intermediário e do Teorema de Weierstrass, dos
x1
quais resultam todos os demais teoremas que o aluno estudou no curso de cálculo
diferencial e integral I, incluindo o Teorema Fundamental do Cálculo. Na área de rfl-
gebra, o aluno já teria familiaridade com o conceito de classes de equivalência, com
as estruturas algébricas dos inteiros e racionais (domínio bem ordenado e corpo
ordenado, respectivamente), com o Princípio da Boa ordem e da Indução Finita,
permitindo-se maior dedicação aos aspectos aritméticos da Teoria dos Números e
aos aspectos mais abstratos das estruturas algébricas.
O presente texto é fruto dessas ideias, que começaram a tomar corpo durante
a orientação da monografia de graduação da estudante Márcia Nunes dos Santos,
que foi responsável pelo levantamento dos detalhes presentes nos dados históricos
que compõem a seção 1.1. Suas habilidades com o IâTpX possibilitaram a pri-
meira estrutura digitalizadadas notas de aula, a partir da qual elaboramos o projeto
deste livro, que teve o apoio da Pró-Reitoria de Graduação da Ufop. A composi-
ção do texto em IATEX muito se deve também ao meu ex-aluno Edney de Oliveira
e aos meus colegas Ricardo Thvares, Fábio de Castro e Genilson Ferreira da Silva.
Edney produziu ainda um primoroso trabalho de digitalização da idéia da capa. Por
outro lado, os professores Valmecir Bayer e Fábio de Castro fizeram excelentes
sugestões, após cuidadosa leitura do texto. Coube à sensibilidade matemática dos
pareceristas da Editora da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) a percepção
da proposta do livro, ainda em uma versão preliminar. Às suas correções e valiosas
sugestões, deve-se a primeira lapidação do texto. Ao minucioso e construtivo traba-
lho de revisão do professor Abramo Hefez, devem-se os acertos finais em todos os
aspectos, do gráfico ao técnico, incluindo a sugestão paÍaainserção de alguns tópi-
cos importantes, não previstos no projeto original. A essas contribuições, somou-se
x1l
a meticulosa revisão de português de Mariflor Rocha, que deixou de examinaÍ ape-
nas esta frase do livro. Agradeço a todas essas pessoas e instituições, bem como aos
estudantes da licenciatura e do bacharelado em matemárticada Ufop e da Ufes, que
experimentaram versões preliminares das notas que deram origem a este livro. À
Editora da SBM, meus agradecimentos pela oportunidade e miúa admiração pela
análise isenta e cientÍfica do trabalho, mediado pelo contato solícito de sua Edi-
tora Chefe, professora Helena Nussenzveig Lopes. Do lado não técnico, mas com
reflexos positivos neste, sou grato ao companheirismo e afeto de Patrícia Maia e
à retaguarda cariúosa de meus queridos irmãos amigos e de meus caros amigos
irmãos, cujos nomes nossa arizade permite omitir, sem risco de ressentimentos.
Ao longo de todo o texto, buscamos balancear o rigor matemático necessário
paÍa seus objetivos com uma apresentação fluente e clara, antecipando püa o leitor
a finalidade das definições e dos resultados mais abstratos. Nesse sentido, omiti-
mos demonstrações que julgamos inoportunas, seja por desviar o leitor da espinha
dorsal do assunto, seja porque demonstração análoga já ocorrera. Nesses casos,
remeteremos o leitor interessado às referências bibliográficas ou a exercícios.
Os conceitos de conjuntos infinitos e enumeráveis, bem como os principais teo-
remas a eles referentes, foram considerados de forma diluída ao longo do texto,
motivados pelo contexto e por aplicações à teoria.
Optamos por não abordar a questão da unicidade (a menos de isomorfismos) dos
conjuntos numéricos construídos, uma vez que essas considerações nos levariam a
tratar de estruturas algébricas, estendendo demasiadamente o volume dessas notas
e tirando de foco o nosso principal objetivo que é estudar anaturezados conjuntos
numéricos. Além disso, tais questões encontram nos cursos de álgebra e de análise
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mais condições para serem tratadas e são abordadas em viárias referências clássicas
\---.- da literatura matemática, incluindo a brasileira, por exemplo em Í1,81eÍ221.
\
As proposições, incluindo teoremas, lemas e coroliários, estão enumerados em
sequência, por seção, assim como as definições e os exemplos, enquanto os exercí-
cios seguem uma numeração sequencial ao longo do livro. Assim, Teorema 5.2.4 é
o quarto teorema da seção 2 do capítnlo 5, que é seguido pelo Lema 5.2.5, enquanto
o Exercício 78 é o 78o exercício proposto no texto. Os termos em itálico que ocor-
rem no corpo do texto referem-se a expressões matemáticas que ainda não foram
tratadas no livro. Tais termos, quando não formalmente definidos, merecem algum
comentário por parte do professor e reflexão por parte do leitor.
Esperamos continuar enriquecendo este livro com as críticas e sugestões de pro-
fessores e estudantes que vierem a utilizá-lo.
Ouro Preto, dezembro de2009.
Jamil Ferreira
xlv
Prefácio à 2' Edição
Esta segunda edição mantém todas as características da primeira, a menos da cor-
reção de erros e descuidos, bem como de modificações pontuais no texto, visando
maior clareza na exposição. Essas correções estarão disponibilizadas a partir de
abril de 20ll napágina virtual deste livro, no sítio web http://www.sbm.org.br/ .
Descrevemos a seguir as alterações mais significativas. Provamos a propriedade
associativa da multiplicação de números reais e introduzimos algumas proposições
e exercícios que servem como lemas para esse fim. Apresentamos mais uma inte-
ressante aplicação das viárias ferramentas matemáticas estudadas no Capítulo 5, ao
provaÍ, na última proposição desse capítulo, que a cardinalidade do conjunto dos
números reais é a mesma que a do conjunto das partes dos naturais. Antecipamos
a apresentação da propriedade arquimediana dos reais para logo após o Teorema
5.2.16, com o intuito de simplificar, mesmo que ligeiramente, algumas das demons-
trações que se seguem. Fizemos um comentário acerca das definições apresentadas
recursivamente e acrescentamos alguns itens bibliográficos que tratam detalhada-
mente desse tema. Do mesmo modo, mencionamos, no Capítulo 2, alei associativa
generalizada, válida para todas as operações aritméticas associativas presentes no
texto.
Quaisquer eventuais falhas remanescentes são de responsabilidade exclusiva do
autor, que reitera sua receptividade às críticas construtivas e sugestões daqueles que
vierem a utilizar este livro.
Ouro Preto, dezembro de 2010.
Jamil Ferreira
Sumário
Preliminares
1.1 Notas históricas
1.2 Relações de equivalência
Números naturais
2.1, Axiomática de Peàno e conjuntos infinitôs
2.2 Operações com números naturais
2.2.1 Adição de números naturais
2.2.2 Multiplicação de números naturais
2.3 Relação de ordem em N
Números inteiros
3.1 Construção do conjunto dos números inteiros
3.2 Operações emZ
3.2.1 Adição de números inteiros
3.2.2 Multiplicação de números inteiros
Relação de ordem emZ
Conjuntos enumeráveis e a Hipótese do Conffnuo
I
I
7
t9
20
24
25
31
33
43
M
46
46
50
52
59
3.3
3.4
xv
xvl
Números racionais
4.L Construção dos números racionais
4.2 Operações em Q
4.3 Relação de ordem e a enumerabilidade de Q
4.4 Q como corpo ordenado
Números reais
5.1 Cortes de Dedekind
5.2 Relação de ordem e operações com cortes
5.3 Representação decimal dos números reais
6 Números complexos
6.1 Construção dos complexos e sua aritmética
6.2 Cnãoéordenável . . .
6.3 Números algébricos e transcendentes .
6.4 Para além dos complexos
Referências bibliográfi cas
Índice remissivo
SUMÁRIO
65
66
68
7l
76
83
85
88
L?3
t23
126
127
133
113
118
135
139
1
Preliminares
L.1 Notas históricas
"A matemdtica partia de verdades evidentes e pros-
seguia através de raciocínios cuidadosos para desco-
brirverdades escondidas" ([6], p. 306).
A matemática sempre representou uma atividade humana e, em,todas as épocas,
mesmo nas mais remotas, a ideia de contar sempre esteve presente. Um clássico
exemplo da noção intuitiva de contagem era a coÍrespondência entre ovelhas de um
rebanho e pedrinhas contidas em pequenos sacos, ou marcas em pedaço de osso ou
de madeira, ou ainda através de nós em cordões, utilizados pelos incas.
Muitos anos ainda se passaram até que se iniciasse o desenvolvimento teórico
do conceito de número que, embora hoje nos pareça natural, foi lento e complexo,
envolvendo diversas civilizações.
Os registros históricos nos mostram aatílizaçáo de vários sistemas de numera-
ção, por exemplo, os povos babilônios de 2000 a.C., que desenvolveram o sistema
Preliminares Cap. I
de numeração sexagesimal e empregaram o princípio posicional; os egípcios, que já
usavam sistema decimal (não posicional); os romanos, que fizeram história através
do uso simultâneo do princípio da adição e do raro emprego do princípio da subtra-
ção; e os gregos antigos, povos que utilizavam diversos sistemas de numeração.
Quase quatro mil anos separam as primeiras manifestações denumeração escrita
da construção do sistema de numeração posicional decimal que utilizamos, munido
do símbolo denominado zero. Esse símbolo foi criado pelos hindus nos primeiros
séculos da era cristã. A concepção do zero foi ignorada, durante milênios, por
civilizações matematicamente importantes como a dos gregos e dos egípcios.
A invenção do zero foi um passo decisivo para a consolidação do sistema de
numeração indo-arábico, devido à sua eficiência e funcionalidade em relação aos
demais sistemas de numeração. Como efetuaríamos, por exemplo, a multiplicação
385 x 9.807 usando algarismos romanos?
A heterogeneidade de técnicas utilizadas nas representações numéricas não im-
pediu, no entanto, que os cientistas da antiguidade pensassem em questões profun-
das e essenciais da matemática.
Um marco importante na história dos números e da matemática se deu no século
VI a.C., na Escola Pitagórica. Em seus estudos, os pitagóricos envolviam-se de um
certo misticismo, pois acreditavam que existia uma harmonia interna no mundo,
governada pelos números naturais.
Desde Pitágoras, pensava-se que, dados dois segmentos de reta quaisquer,
AB e CD, seria sempre possível encontrar um terceiro segmento EF, contido um
número inteiro de vezes emAB e um número inteiro de vezes emCD. Expressamos
essa situação dizendo que EF é am submúltiplo comum de AB e CD ol que ÁB e
§ 1.1 Notas histórtcas
CD são comensurdveis.
Essa ideia nos permite comparar dois segmentos de reta da seguinte maneira:
dados dois segmentos, ÁB e CD, dizer que a razáo ABICD é o número racional
mf n, sigrufica que existe um terceiro segmento EF, submúltiplo comum desses
dois, satisfazendo: ÁB é m vezes EF e CD é n vezes EF .
É natural imaginarmos que, para dois segmentos AB e CD dados, é sempre pos-
sível tomar EF suficientemente pequeno para caber um número inteiro de vezes
simultaneamente em AB e emCD. Em outras palavras, que dois segmentos de reta
são sempre comensuráveis, como pensavam os pitagóricos, sendo, portanto, os nú-
meros naturais suficientes para expressar a razão entre eles e, de modo mais geral,
a relação entre grandezas da mesma nafureza.
O reinado dos números naturais, na concepção pitagórica, foi profundamente
abalado por uma descoberta originada no seio da própria comunidade pitagórica e
que se deu, em particular, numa figura geométrica comum e de propriedades apa-
rentemente simples, o quadrado. Trata-se da incomensurabilidade entre a diagonal
e o lado de um quadrado.
De fato, ao considerarmos a diagonal e o lado de um quadrado comensuráveis,
teremos, digamos, a diagonal com medida nt e o lado com medida rnr. Segue-se,
pelo Teorema de Pitágoras, que:
n2t2 : m2tz +m2t2 + n2t2 :2m2t2 + n2 :2m2,
o que é absurdo, pois em n2 hátumaquantidade par de fatores primos e, em 2mz,:uma
quantidade ímpar de fatores primos, em contradição com a unicidade da decompo-
sição de um número natural em fatores primos, como mostra o Teorema Fundamen-
tal da Aritmética. (Esse teorema, que usamos desde o ensino básico de matemática,
Preliminares Cap. 1
está exposto rigorosamente em vários itens da bibliografia, por exemplo, em [5],
[14], U8l, l25l e t311.)
Essa situação só foi contornada através do matemático e astrônomo ligado
à Escola de Platão, Eudoxo de Cnidos (408 a.C. - 355 a.C.), que criou a
Tboria das Proporções para tratar as grandezas incomensuráveis através da geo-
metria (veja [1]), o que, embora genial, contribuiu paÍa a desaceleração do desen-
volvimento da aritmética e da álgebrapor muitos séculos.
O coroamento da fundamentação matemática do conceito de número ocoÍreu
somente no final do século XIX, principalmente através dos trabalhos propostos
por Richard Dedekind (1831-1916), Georg Cantor (1845-1918) e Giuseppe Peano
(1858-1932). Esses estudos foram motivados pelas demandas teóricas que surgiram
a partir do volume de coúecimento matemático adquirido a partir do cálculo dife-
rencial e integral de Isaac Newton (1643-1127) e Gottfried Leibniz (1646-1716),no
século XVII.
É interessante notar como o processo histórico da conceituação de número as-
semelha-se à nossa própria formação desse conceito. Desde crianças, admitimos
os números naturais como fruto do processo de contagem, da mesma forma que
a humanidade os admitiu até o século XIX. Aliás, entre os gregos da época de
Euclides, números eram os que hoje escrevemos como 2, 3, 4,5 etc., ou seja, os
naturais maiores do que 1. O próprio 1 era concebido como a unidade básica a
partir da qual os números, as quantidades, eram formadas. O zero,como vimos, foi
uma concepção já dos primeiros séculos da era cristã, criada pelos hindus, paÍa a
numeração escrita. Para uma criança aprendendo a contar, este ato sô faz sentido
a partir da quantidade 2, senão, contar o quô? Ela só admite o zero depois de ter
§ 1.1 Notas históricas
passado alguns anos experimentando os números "de verdade", isto é, contando e
adquirindo experiência, o que se dá no início de sua aprendizagem da numeração
escrita.
As frações eram admitidas pelos gregos não como números, mas como razáo
entre números (1, 2,3,4 etc.). Da mesma forma, os números negativos, inicialmente
utilizados para expressar dívidas, débitos e grandezas que são passíveis de serem
medidas em sentidos opostos, só receberam o status de números séculos após serem
utilizados na matemática e em suas aplicações. Novamente podemos observar a
semelhança com a nossa experiência pessoal em matemática.
A existência de grandezas incomensuráveis e a ausência de um tratamento efi-
ciente para expressá-las, isto é, o desconhecimento de uma fundamentação teórica
para o conceito de núrnero real, não impediu o progresso de ramos da matemática
do século XVI ao século XIX. No entanto, a complexidade dessa matemática con-
duziu a problemas para cuja compreensão e solução o entendimento intuitivo não
era suficiente. É mais ou menos assim que formamos o nosso conceito de número
real: apesar de ouvirmos falar de números reais desde o Ensino Fundamental, con-
cretamente só trabalhamos com números racionais naquela fase ou, no máximo,
manipulamos números que aprendemos a chamar de "reais". Isso ocorre até no En-
sino Superior e, mais grave, em não raras faculdades de matemática, os formandos
concluem o seu curso com a mesma ideia de número real com que nele ingressaram.
Os números complexos apareceram no estudo de equações, no século XVI, com
o matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576), mas também só adquiriram
o status de número a partir de suas representações geométricas, dadas no século
XVIII (por K. F. Gauss (1777-1855) e J. R. Argand (1768-1822)), e da sua estrutura
Preliminares Cap. 1
algébrica, apresentada por w. R. Hamilton em 1833, na qual eles eram definidos
como pares ordenados de números reais. Estes, por sua vez, foram construídos
rigorosamente a partir dos racionais, décadas depois, por R. Dedekind e G. Cantor.
Aqui tambémhá' um paralelo com a nossa educação escolar: supondo conhecidos
os reais, não é tão complicado concebermos os complexos. No entanto, o conceito
rigoroso de número real só se aborda num primeiro curso de análise matemática na
universidade. Isso, porém, costuma ser feito de forma axiomática, isto é, o conjunto
dos números reais é admitido por axioma como um corpo ordenado completo, e não
construído a partir dos racionais, como faremos neste livro, adaptando o trabalho de
Dedekind.
Por fim, os números racionais podem ser construídos rigorosamente a partir
dos números inteiros e esses a partir dos naturais. Mas, e os números naturais, os
primeiros que são admitidos pela nossa intuição? Assim se perguntaram alguns
matemáticos do século XIX, na busca de completar o conceito matematicamente
rigoroso de número. Eles podem ser construídos a partir da Teoria dos Conjuntos
(veja [17], [30]) ou podem ser apresentados através de axiomas, como fezG. peano,
em 1889, e como faremos aqui, com as devidas adaptações. observe que aqui
também continuao paralelo com a nossa formação matemática escolar, uma vez
que o questionamento sobre anatureza dos números naturais é inexistente para a
quase totalidade das pessoas que não são diretamente envolvidas com matemática.
Assim, a apresentação que faremos nos capítulos seguintes é aquela que os ma-
temáticos do século XIX e XX deixaram pronta para nós, possibilitando-nos apre-
sentar os conjuntos numéricos numa ordem logicamente coerente, râpidae elegante
- naturais, inteiros, racionais, reais e complexos - passando a limpo a conflituosa
§1.2 Relações de equivalência
ordem histórica delineada acima.
A citação abaixo ilustra bem o movimento pelos fundamentos da matemática
que acabamos de comentar:
Além da libertação da geometria e da libertação da
álgebra, um terceiro movimento matemático profun-
damente significativo teve lugar no século XIX. Esse
terceiro movimento, que se materializou lentamente,
tornou-se conhecido como aritmetização da andlise.
(U01, p. 609).
1.2 Relações de equivalência
O conceito de relação de equivalência permeia grande paÍe deste livro. Por isso,
trataremos dessa questão a partir de agora.
Admitiremos a noção intuitiva de conjuntos e, em particular nesta seção, dos
conjuntos numéricos e das propriedades básicas de suas operações. Não esqueça-
mos que nosso objetivo nos capínrlos seguintes é estudar o conceito rigoroso de
número, portanto desses conjuntos numéricos.
Utilizaremos a notação usual para os conjuntos numéricos:
N: {0, 1,2,...} qr" é o conjunto dos números naturais, Z (conjwto dos números
inteiros), Q (conjunto dos números racionais), IR (conjunto dos números reais) e C
(conjunto dos números complexos). SeÁ é subconjunto de lR, Á+ denota o conjunto
dos elementos não negativos de Á e A- o dos elementos não positivos. Se B é um
conjunto de números que contém o zero, então B* denota B \ {0}. (o símbolo "\"
denota aqui diferença de conjuntos.)
Preliminares Cap. I
Definição 1.2.1. SejaÁ um conjunto. O conjunto das partes de A, ou conjunto po-
tência de A, denotado por 9(A), é o conjunto cujos elementos são os subconjuntos
deÁ.
Exemplo 1.2.1.
1. Se a: {a,b), então e(A) : {0,{o},{b},A}.
2. Se A:0, então e(A) : {0}, pois 0 é o único subconjunto de Á.
Exercício 1. Descreva e@) nos seguintes casos:
l. A: {1,2,3}; Z. A: {0}; 3. A: {1,2,3,...};
4. A: e(1,2)); 5. A : e@),ondeB : 
"({1}).
Definição 1.2.2. Dados um conjunto não vazio A e a,b € Á, definimos o par or-
denado (a,á) como sendo o conjunto {{"},{o.,b}} (observe qrue (a,b) C e@».
Esta definição tem por objetivo tornar preciso matematicamente o conceito de
par ordenado que, desde o Ensino Fundamental, admitimos intuitivamente como
"um par de objetos onde a ordem tem importância".
Com a definição acima, mostramos, no teorema seguinte, que par ordenado é
aquilo que concebíamos intuitivamente.
Iborema 1.2.1. Sejam A um conjunto e a,b,c,d €. A. Temos que:
(a,b): (c,d) e a:c e b:d.
§1.2 Relações de equivalência
Demonstração. Se a. : c e b : d, entáoé claro que (a, b) : (c,d). Reciproca-
mente, suponhamos que (a,b): (r,d), isto é, que {{a}, {o,b}}: {{c}, {r,d}}.
Consideremos dois casos:
lo caso: a:b.
Nesta situação, (a,b): (o,o): {{o}, {o,o}}: {{a}, {o}} = {{r}}. Assim, nossa
hipótese fica i{a}} : {{r}, {r,,d}). Então o conjunto {r,d} é um elemento de
{{o}}, logo só pode ser igual a {o}, o que acarreta c : d: a. Como a : b, obte-
mos a: c e b: d (todos iguais a a).
2o caso: a+b.
Analisemos então a igualdade U"\ ,{",b}}: {{c} ,{c,d}):
Se fosse {o,b} : {c}, teríamos a : b: c, contradizendo a hipótese a + b. Logo
{r,b} : {c,d}, de onde pode-se concluir que c f d.Daí, o elemento {a} não pode
ser {c, d},logo {o} : {c}, de onde obtemos que a -- c. De {a,b} : {c,d}, como
b * o: , * d, segue que b: d.
Definição 1.2.3. Dado um conjunto A, o produto cartesiano de A por Á, denotado
por Á x A, éo conjunto de todos os pares ordenados compostos por elementos de Á,
isto é, A x A: {(r,y) | x,y e A}.
Exemplo 1.2.2.
1. Se A : {1,2}, entáo A x A : { ( 1, I ), ( 1, 2), (2, l), (2,2)}.
2. Se A:0,então AxA: A.
Exercício 2. Se A : {1,2,3}, quantos elementos possui A x A? Generalize.
Preliminares Cap. I
Definição 1.2.4. Dados dois conjuntosÁ e B, se x € Á e y e B então x,! € AUB, e
podemos considerar (x,y) como na Definição 1.2.2, isto é, (r,y) : {{r}, {r,y}} c
e@UB). Definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto
AxB:{(x,y)lxe A e y€B}.
Observe que A x B c I @(AUB)) (certifique-se deste fato).
Exercício 3. A x B é igual a B x A? Justifique.
Exercício 4. Mostre que se Á ou B for o conjunto vazio, então A x B :0.
Exercício 5. Dados três elementos a,b e c, pertencentes, respectivamente, aos con-
juntos A, B e C, definimos a terna ordenada (a,b,c) como sendo o par ordenado
Mostre que (a,b,c) : (*,y,2) se, e somente se, a : x, b: y e c: z.
Como você definiria o produto cartesiano de três conjuntos A, B e C?
Como você definiria uma quádrupla ordenada de elementos de um conjunto
Á? E o produto cartesiano de quatro conjuntos?
Generalize.
Exercício 6. Uma operação em um conjunto não vazio Á é uma função
*:Ax A---+A. A imagem *((r,y)) de umpar ordenado (x,y) pelafunção x é
usualmente denotada por Í {< y. Considerando o nosso conceito intuitivo de con-
juntos numéricos e de suas "operações aritméticas", pergunta-se: quais das quatro
1.
2.
3.
4.
§1.2 Relações de equivalência 11
"operações aritméticas fundamentais" são de fato operações, no sentido da defini-
ção acima, no conjunto dos números naturais? E no conjunto dos inteiros? Mesma
pergunta para os racionais, reais e complexos.
Definição 1.2.5. Uma relação binária R num conjunto A ó qualquer subconjunto
do produto cartesiano A x A,isto é, R c Á x Á.
Exemplo 1.2.3. SeA: {1,2,3}, então R: {(1,1),(1,2),Q,3),(3,1),(3,3)} é
uma relação binária emA.
Notação: Se R é uma relação biniária em Á e se (a, b) e R,escrevemos aRb, isto
é, (a,b) € R <+ aRb. Lê-se: a está relacionado com á (via R). Assim, no exemplo
acima, temos, por exemplo,lR2, mas não temos 2R1.
Uma relação binária em Á será chamada simplesmente de relação em A, pois
não trataremos de relações que não sejam binárias.
Definição 1.2.6. Uma relação R em Á diz-se relação de equivalência se possuir as
seguintes propriedades :
1) reflexiva: aRa,paratodo a€A;
ii) simétrica: se a,b e A e aRb, entáo bRa;
iii) transitiva: paÍa a,b,c € Á, se aRb e bRc, entáo aRc.
Exemplo 1.2.4. A relação R do exemplo anterior não é reflexiva nem simétrica, mas
é transitiva (verifique). Logo,.R não é relação de equivalência.
12 Preliminares Cap. I
Exemplo 1.2.5. Consideremos o conjunto A: {a,á, c}. Verifiquemos se as relações
abaixo são relações de equivalência no conjunto Á:
1. R : {(o, o), (a, b), (b, c), (o, r), (b,, a)};
2. S : {(o, o),, (b,b), (r, r), (o, b), (b, o)}.
Temos:
1. .R não é uma relação de equivalência, pois não é reflexiva: (b,b) lR. Observe
que (c,c) também não está em R e que R também não é simétrica e nem
transitiva (verifi que !).
2. S é uma relação de equivalência (verifique!).
No iúcio desta seção, dissemos que admitiríamos nela a noção intuitiva dos
conjuntos numéricos e de suas propriedades aritméticas básicas. Ela será necessária
no exemplo seguinte e em algumas outras poucas situações desta seção. O leitor
não precisa incomodar-se com essa utilização, porque ela se dará apenas a título de
esclarecer o conceito de relação de equivalência, este, sim, rigorosamente tratado
na presente seção. Além disso, nada do que dissermos sobre esses conjuntos aqui
servirá de base para as construções rigorosas deles, que são objeto dos capítulos
seguintes.
Exemplo L.2.6. Se a,b €2, üzemos que a divide D (ou b é múltiplo de a, ou a é
divisor de b) se existir c €Z tal que b: ac. Escrevemos al b para simbolizar que
a divide D. Esta relação de divisibilidade emZ não é uma relação de equivalência,
porque não é simétrica, apesar de ser reflexiva e transitiva (verifique!).
§1.2 Relações de equivalência 13
Se R é uma relação de equivalêriciae aRb, dizemos que a é R-equivalente a b
ou, simplesmente, a é equivalente a b, quando R estiver subentendida no contexto.
Exercício 7. SejaÁ um conjunto. Mostre que:
l. AxÁ é uma relação de equivalência emÁ.
2. {(x,x) | x e Á} é uma relação de equivalência em Á. Esta relação se chama
igualdade em A (ou identidade de A), e se denota por ":". Logo (x,x) € :,
Vx e A, que escrevemos usualmente como x: x,Yx e A.
3. Qualquer relação de equivalência em A estâ compreendida entre as duas dos
itens anteriores.
Definição 1.2.7. sejam R uma relação de equivalência num conjunto A e a Ç.Á um
elemento fixado arbitrariamente. O conjunto
a: {xe AlxRa}
chama-se classe de equivalência de a pela relação R. ou seja, a é o conjunto
constituído por todos os elementos de Á que são equivalentes a a.
Exemplo 1.2.7. As classes de equivalência dadas pela relação S do Exemplo 1.2.5
são Z: {o,b}, b: {b,a}, e e : {c}.
14 Preliminares Cap. 1
Teorema 1.2.2. Sejam R uma relação de equivalência em urn conjunto A e a e b
elementos quaisquer de A, então:
i) aea;
ii) a:beaRb;
iii) d*6+d.nb:A.
Demonstração. (í) e (ii) ficam a cargo do leitor como exercício. Mostremos (iii)
por contraposição. Supoúamos então que exista c Qdab. Então, aRc e cRb. Pela
transitividade, aRb e, consequentemente, por (ii), segue que a: D, contrariando a
hipótese.
A propriedade (iii) acima nos mostra que duas classes de equivalência distintas
são disjuntas.
Uma conclusão importante do item (ii) desse Teorema 1.2.2 é que, dado um
elemento arbitrário x da classe de equivalência a, entáo7:d, isto é, todo elemento
de uma classe de equivalência atem a mesma classe de equivalência de a. Dizemos
então qure a pode ser representada porI, Vx e d (ou, ainda, que.r é um representante
ded,Vx e d).
Exemplo 1.2.8. Sejam A: Z e R a relação dada por: aRá quando o resto das
divisões de a e de D por 2 forem iguais. Por exemplo, (5,21) eR, (6, 14) c-R, mas
(5,8) É R. Verifique como exercício que R é uma relação de equivalência em Z.
Com isso:
t : {. ..,,-3,,-1,1, 3,5,...} :3:5:4,...
2 : {...,-4,-2,0,,2,4r...} : 0 : 1: 6...
tr
§1.2 Relações de equivalência 15
Verifique que só há duas classes de equivalência distintas. Mais precisamente,
tem-se n:OpaÍanparen: I para nímpar.
Definição 1.2.8. Seja R uma relação de equivalência num conjunto Á. O conjunto
constituído das classes de equivalência em A pela relação R é denotado por AIR e
denominado conjunto quociente deÁ por^R.
Assim, AIR:{alaeA).
Bxemplo 1.2.9. Se R é a relação do exemplo anterior, então A/ R : {0,T}.
Exercício 8. SejaA: {1,2,3}. Determine os elementos de Al@ xÁ) e Al :.
Exercício 9. Considere a seguinte relação N em Z: x -yquando os restos das
divisões de x e y por 3 forem iguais.
1. Mostre que - érelaçáo de equivalênciaemZ.
2. Encontre Zl -.
3. Generalize este exercício e o Exemplo 1.2.8.
Exercício 10. Seja Á o conjunto de todas as pessoas e R a relação em Á dada por
xRy quando x for mãe de y.
1. R é relação de equivalência?
2. Na sua casa há pessoas para comporem elementos de R? Em caso positivo,
descreva esses elementos.
16 Preliminares Cap. I
Exercício 11. Seja A como no Exercício 10 e S a relação em Á dada por x,Sy quando
-r for irmão (irmã) de y ou quando x e y forem a mesma pessoa. (Nesses tempos
modernos, convém definir, neste contexto restrito, o termo "irmão": x ey são irmãos
quando são filhos biológicos do mesmo pai e da mesma mãe.) Mostre que 
^S 
é uma
relação de equivalência. Qual é a classe de equivalência cujo representante é você?
Na sua casa há pessoas para comporem elementos de S? Em caso positivo, descreva
esses elementos. Qual a classe de equivalência de cada pessoa que mora em sua
casa? O que ocorreria se a definição de S fosse simplesmente '1,Sy quando x for
irmão (irmã) de y"?
Exercício 12. Seja Á um conjunto e A : A1u A2u At...u An uma pafiição finita
de A, isto é, uma decomposição de Á como união finita de uma famflia de subcon-
juntos deÁ que são dois a dois disjuntos e não vazios. Parax ey e A, definimos
a seguinte relação R: xRy quando x e y pertencem ao mesmo elemento da partição.
Em símbolos: xRy <+ existe i € {1, ...,n) tal que x,! €Á;. Mostre que R é uma
relação de equivalência emÁ.
Mesmo que a partição de Á consista de uma famflia infinita de subconjuntos de
A, arelação R do exercício acima ainda é de equivalência.
Observe que uma relação de equivalência R em Á determina uma parti çáo de A, a
saber, as classes de equivalência determinadas porR. Reciprocamente, vimos acima
que uma partição qualquer de Á determina uma relação de equivalência emÁ. Além
disso, as classes de equivalência dessa relação são precisamente os subconjuntos
que compõem a partição. Confira!
Ê. . r-;Í,
lw.g Relaç õe s de e quiv alênc ia
&,xencício 13. Seja A: AtUAz tal {lue Á1 nAz * 0. Definindo a relação À em Á
Eomo no exercício anteritr, ela érelação de equivalência?
i Exercício 14. Explicite todas as relaçõe6 de eqúvalêacia no conjunto A: {1,2,3}.
Exer-cício 15. SejaA: {x € frl*5 (x { 10}. SejamA, s, f e U as relações sobre
Á definidas por:
x(y<+ *:f;
..,x§! <+ existe /c e N tal que tz *f +k;
xTy + existe k e ZtaI que fi :yz ak
?§Uye existe keZtalque )c-y-3k:0.
verifique que R, T e u são relações de equivalência, mas § 
-não 
o é, Determine
respecüvos conjuntos quocientes: Af R, A/T e AIU .
:17
18 Preliminares Cap. 1
Números naturais
A ideia de número natural sempre esteve associada à ideia de quantidade e à neces-
sidade de contagem. A formahzaçáo do conceito de número natural como expressão
de quantidade se dá através da Teoria dos Conjuntos. Uma referência clássica para
a construção dos números naturais via Teoria dos Conjuntos é [17]. Veja também
t301.
Uma outra opção de formalização, que adotaremos aqui, é a axiomática, não
construtiva. Ela consiste simplesmente em assumir a existência do conjunto dos
números naturais (a partir do qual construiremos os demais conjuntos numéricos).
Mas o que significa "assumir a existência do conjunto dos números naturais"? Sig-
nifica assumir a existência de um conjunto satisfazendo certos axiomas que são
capazes de caracterizar completamente, e de forma rigorosa, a nossa ideia intuitiva
de conjunto dos números naturais. "Caracteizar completamente" significa que um
conjunto obedecendo tais axiomas é uma "cópia" daquilo que já conhecemos intui-
tivamente como conjunto dos números naturais. Mais adiante expressaremos essa
semelhança de uma maneira mais precisa.
Essa axiomatizaçáo do conjunto dos números naturais é uma adaptação paru a
T9
Números naturais Cap.2
simbologia matemática atual daquela que foi apresentada pelo matemático italiano
Giuseppe Peano, no final do século XIX.
2.1 Axiomática de Peano e conjuntos infinitos
Entre as várias ideias que nos vêm à mente ao pensaÍmos no conjunto dos números
naturais, temos: "esse conjunto começa no zero e prossegue de um em um". IJma
outra ideia, menos imediata, da qual já ouvimos falar durante a nossa formação
matemática é a do Princípio da Indução Finita. Imagine que um subconjunto Á
dos números naturais contém o número 5. Suponha que este subconjunto possui
também a seguinte propriedade: ele contém o sucessor natural de qualquer elemento
seu, isto é, se x e A, entáo x* 1 e Á. Logo, A conterâ o 6, pois, pela hipótese inicial,
contém o 5. Mas então conterá o 7, pois contém o 6. Portanto, por conter o 7,
conterá o 8 e assim por diante. Concluímos queÁ contém o conjunto {5,6,7 ,8, . . .}.
Note, no entanto, que não sabemos se A contém o 4, o 3 etc. Se a nossa hipótese
inicial, 5 €. A, fosse substituída por 0 Ç A, entáo poderíamos garantir que A seria
igual ao conjunto dos números naturais (pois A jáfora inicialmente tomado como
subconjunto dos naturais).
Os axiomas de Peano são uma apresentação matematicamente rigorosa dessas
ideias intuitivas, e se apoiam em conceitos matemáticos que já conhecemos ou ad-
mitimos conhecidos, no caso, o de conjunto e de função. Vamos então a esta apre-
sentação:§2.1 Axiomática de Peano e conjuntos infinitos
Existe um conjuntoN e uma funçãos : N ---+ N venfcando:
A1) s é injetora;
A2) Existe um elemento em N, que denotaÍemos porO, e chamaremos de zero,
que não estána imagem de s, isto é,0 / Im(s).
Antes de enunciarmos o 3o e último axioma de Peano, vamos tentar perceber
que tipo de ideia está por trás da função s. Este "s" vem da palavra sucessor, de
modo que se x € N, s(x) será chamado de sucessor de x. Assim, o primeiro axioma
nos diz que elementos diferentes de N possuem sucessores diferentes, enquanto o
segundo axioma expressa o fato de que 0 não é sucessor de nenhum elemento de N.
Veremos adiante que s(x) é o sucessor natural de x que conhecemos intuitiva-
mente, isto é, x-l l. Mas cuidado! Em nosso contexto axiomático ainda não defini-
mos adição, e nem sabemos o que significa o símbolo "1". Por isso confirmaremos
essa afirmação posteriormente, na Proposiçáo 2.2.1. Vamos agora ao último axioma
de Peano.
fu) Se um subconjunto X de N satisfizer (i) e (ii) abaixo, então X : N.'
i) 0e X;
ii) Se k ÇX, então s(ft) e X.
N se chama Conjunto dos Números Naturais. O axioma Az gararrte que N 10,
pois 0 e N. Além disso, como s(0) l0 (pois 0 ( Im(s) e s(0) € Im(s)), então N
contém pelo menos dois elementos: 0 e s(0).
Ainda estamos um pouco longe do nosso conjunto intuitivo dos números natu-
rais, com seus "infinitos" elementos. Enffetanto, observe que s(s(0)) é diferente de
21
Números naturais Cap.2
0 (porque 0 / Im(s)) e de s(0) (pois s é injetora (01s(0) =+ s(0) I s(s(O)))). Isso
acrescenta mais um elemento em N, a saber, s(s(0)).
De maneiraanâloga, a imagem de s(s(0)) por s também eslá em N e é diferente
dos elementos 0, s(0), s(s(0) ), já mencionados. (Verifique ! )
Tomando então sucessores de forma iterada, parece que cada elemento novo é
diferente de todos aqueles anteriormente obtidos. De fato, isso ocorre e será pro-
vado rigorosamente na Proposiçáo 2.3.6, quando tivermos à disposição a notação
adequada para expressar as estruturas aritmética e de ordem de N. Devido a esse
fato é que consideramos N infinito e, de modo geral, definimos conjunto infinito
como segue:
Definição 2.1.1. Um conjunto X diz-se infinito quando existe uma função injetora
/: N ---+ X. Um conjunto é ditofinito quando não for infinito. Ou seja, um conjunto
é infinito quando contiver um subconjunto Y em bijeção com N, o que também se
expressa dizendo que Y é equipotenre a N.
Assim, se considerarmos por um momento a noção intuitiva dos conjuntos Z,
Q,IR e C, é imediato que todos eles são infinitos, conforme comprovaremos rigoro-
samente nos capítulos seguintes.
Há outras definições de conjuntos infinitos (portanto, de conjuntos finitos) ob-
viamente equivalentes à que demos acima. Vale a pena comentar uma delas, que
é devida a Cantor, porque ela rompeu com o paradigma milenar grego de que "o
todo é sempre maior do que qualquer uma de suas partes próprias": Um conjunto
diz-se infinito quando existir uma bijeção entre ele e um subconjunto próprio dele.
§2.1 Axiomática de Peano e conjuntos infinitos
Assim, o Teorema 2.1.1 adiante nos garantirá, novamente, que N é infinito, pois
provaremos que a função s : N --+ N* é uma bijeção.
Admitindo-se a notação usual para os números naturais (veja seção 2.2.1), pode-
se provar ainda que um conjunto X é finito se, e somente se, ele for vazio ou estiver
em bijeção com um conjunto do tipo In: {1,2,3,...,n}, para algum n € N*. Um
tal n, quando existe, é único e chama-se número de elementos de X. Além disso,
todo subconjunto de um conjunto finito é finito, em plena concordância com o nosso
conceito intuitivo de finitude.
Para a demonstração rigorosa dessas afirmações, bem como para mais detalhes so-
bre as propriedades de conjuntos finitos e infinitos, veja, por exemplo, os itens [22]
e [30] dabibliografia.
O axioma A3 acima é conhecido na literatura como o Princípio da Indução Fi-
nita, ou Princípio da rndução Matemática, ou Princípio da lndução Completa, ou
simplesmente Princípio da Indução. E,le é utilizado como método de demonstração
de teoremas que dizem respeito a propriedades do conjunto dos números naturais,
conforme veremos adiante.
Sabemos, pelo axioma A2, qte 0 ( Im(s). Mas o que é Im(s)? O item (ii) do
teorema abaixo responde a esta questão:
Iborema 2.1.1. Se s : N -* N á afunçõo sucessor, entõo, tem-se:
i) s(n) f n, para todo n e l§ (nenhum número natural é sucessor de si mesmo);
ii) Im(s) = N \ {0} í0 é o único número natural que não é sucessor de nenhum
número natural).
23
Números naturais Cap.2
Demonstraçõo.
i) SejaÁ o subconjunto de N constituído dos elementos n € N í4, qu" s(n) ln.
Usaremos o Princípio da Indução para mostraÍmos que Á : N, ou seia, s(n) f n,
Vn e N. Temos:0 €Á,poiss(0) +0 já'que0 ÉIn(t), porA2. Verifiquemos agora
que vale a implicação: k e A =+ s(/<) € Á. De fato:
keAes(k)fk.
Aplicando s em ambos os membros de s(k) * ft, obtemos s(s(k)) * t(k), pois s é
injetora. Logo s(k) e Á. Pelo Princípio da Indução, A : N.
ii) Novamente, usaremos o Princípio da Indução no conjunto
a : {0} ulm(s) (c N):
0€Á e (keA+s(ft) eIm(s) cÁ).
LogoÁ:Ne como 0 /Im(s), entãoI*(r):N\{0}.
Denotaremos N\ {0} por N*, conforme notação introduzida no início da seção
1.2. Todo elemento de N* é sucessor de um único número natural, que se chama
selJ antecessor.
2.2 Operações com números naturais
Nesta seção, definiremos duas operações sobre o conjunto dos números naturais,
que chamaremos de adição (+) e de multiplicação (.). Trata-se de uma primeira
formalização das operações de mesmo nome que já conhecemos da matemática
elementar.
I
tr
§2.2
2.2.1
Operações com números naturais
Adição de números naturais
Definição 2.2.1. A adição de dois números naturais, m e n, é designadapor m*n
e definida recursivamente do seguinte modo:
í
) m+o: m;\
[ ru+s(n) : s(m*n).
A definição acima nos fornece, então, a soma de um número arbitrário m com
0: m*0: m.
Ela nos dá também a soma de m com s(0):
z+s(0) : s(m+Q): s(*).
Temos ainda: ln+s(s(0)) : s(m+s(0)) : s(s(77a)) e assim por diante.
A formalização desse processo se dá através do Princípio da Indução e nos
mostra que a soma m*n está definida para todo par m,n de naturais. De fato,
para cada m natural fixado arbitrariamente, definimos o conjunto Srr :
{r e N lm* nestá definida}. Temos que 0 €,§, e se k e S., então s(k) e,S., pois
m+ s(k) : s(m* fr). Logo, por A3, Sz : N. Como m é arbitráno, S. : N, para
todo m € N, ou seja, m I n estâ definida para todo pu (m,,n) de naturais, o que nos
diz que a adição acima definida é de fato úma operação em N.
Um comentário acerca da definição de adição acima (que se aplica também a
outras definições apresentadas de forma recursiva, como a multiplicação de natu-
rais, de potências com expoente natural, de composição interada de funções etc):
é possível mostrar que existe uma única operação em N, ou seja, uma função
x : N x N -* N, que possui as propriedades que utilizamos para definir adição, isto
é, m*0 : m e m* s(n) : s(m* r). Esse resultado, bem como resultados similares
25
Números naturais Cap.2
relativos às outras situações acima mencionadas, são casos particulares de um teo-
rema sobre funções recursivas que optamos por não abordar em detalhes neste livro,
mas que pode ser apreciado em textos de lógica matemática e de fundamentos da
matemática como, por exemplo, nos itens bibliográficos l4l, Í7),l20l e Í26) .
Introduzimos agora a familiar notação para os números naturais, que conhece-
mos desde nossa infância.
Definição 2.2.2. Indicaremos por I (lê-se "um") o número natural que é sucessor
de 0, ou seja, I : s(0). -\
Confirmando o que dissemos antes de enunciar o AxiomaÁ3, temos:
Proposição2.2.1. Paratodo naturalm, tem-se s(m):m*l e s(m): l*m. Por-
tanto, m*l: l*m.
Demonstração. Paraa primeira igualdade, temos: m* 1 : nt is (0) : s (rc + 0) :
s(m).
Para a segunda igualdade, consideremos o conjuntoÁ : {m e N I s(m) : I + m}.
C1aramente,0 €Á, poiss(0): I : 1*0. Sejame A. Vamos mostraÍques(m) e Á.
De fato, como s(m) : I *m, temos que
s(s(m)) : s(l 1-m): l+s(m),
isto é, s(m) eÁ. Assim, pelo AxiomaÁ3, temosÁ: N.
Como era de se esperaÍ, passaremos a adotar a notação indo-arábica (de base
dez) para os elementos de N (Maiores detalhes sobre sistemas de numeração serão
considerados na seção 5.3.).
tr
§2.2 Operações com números naturais
Já temos os símbolos 0 e I : s(0). Definimos:
s(l):2 (lê-sedois);
s(2) :3 (lê-se três);
s(l) :4 (lê-se quatro);
s(+) :5 (lê-se cinco);
e assim por diante. Então, vemos que N contém o conjunto
{0, s(0), s(s(0)), s(s(s(O))), ...} : {0, 1,2,3, ...}.
A questão que se coloca agora é: N contém outros elementos além desses?
Se a resposta for negativa, teremos concluído que os axiomas de Peano realmente
formalizam a nossa ideia intuitiva de conjunto dos números naturais.
Teorema 2.2.2. N : {0, 1,2,3,...}.
Demonstração. Seja,Soconjunto {0,1,2,3,...}. Naverdade, Sfoiconstruídocomo
um subconjunto de N que contém o 0 e também o sucessor de qualquer elemento
nele contido. Pelo Princípio da Indução,.S: N. n
Note que 0 + l, mas não sabemos ainda comparar 0 com 1, isto é, náo formali-
zamos ainda a ideia intuitiva de que 1 é maior do que 0. Isso decorrerá a partir da
definição de uma relaçõo de ordemem N, que estabeleceremos posteriormente.
Ilustraremos agora algumas adições em N, utilizando a notação anterior:
1) 1+1:s(1):2.
2) 2+ 1 : s(2) :3.
3) 2+2:2-ts(r): s(2+ 1) : s(2+s(0)) : s(s(2+0)) : s(s(2)) :,s(3) :4.
27
Números naturais Cap.2
4) 0+2:0+s(1) :s(0+1) :s(1+0) :s(t) :2.
(Na terceira igualdade de (4), usamos a Proposiçáo 2.2.1.)
Antes de estudar mais exemplos, vamos lembrar a notação usual de composição
iterada de funções através da definição seguinte, onde / é uma função de um con-
junto X nele próprio e ldy é a função identidade no conjunto X:
f : Idx e, para n) l, f : Í o (/"-\.
Assim, temos: Ír : f , f : Í o Í, f3 : Í o (Í. Í)etc. A função fn se diz an-ésima
iterada de f , em cujo caso também se diz rye f foi iterada n vezes.
)
Exercício 16. Mostre por indução que, para m e nnatrxais, vale a igualdade m*n:
{(*), isto é, somar n am é somar I am iteradamente nyezes.
Exercício 17. Assumindo conhecido o sistema de numeração decimal indo-arábico
(conforme seção 5.3), efetue:
t)3+4
2)27 +12
Algumas das propriedades da adição, que admitíamos como intuitivamente ób-
vias, são demonsffadas no teorema segúnte com base nos axiomas de Peano e nas
definições precedentes.
Observe a importância do Princípio da Indução em todas as demonstrações que
se seguem.
§2.2 Operações com números naturais
Teorema 2.2.3. Sejam m, n e p números naturais arbitrários. São verdadeiras as
afirmações:
i) Propriedade associativa da adição: m-f (n+ p) : (m+n) * p.
ii) Propriedade comutativa da adição: nlm: m*n.
iii) Lei do cancelamento da adição: m+ p: n+ p + m - n.
Demonstração. Mostraremos (i) e indicaremos um roteiro para a demonstração de
(ii) e (iii) nos exercícios a seguir.
Fixemos os naturais m e n e apliquemos indução sobre p.
SejaAç*,n1: {p e N lm+ ("+ p) : (mtn) + p}.
Temos, 0 € Aç*,n1, pois m+ (n+0): (m+n)+0, pela definição de adição.
Mostremos agora que o fato de fr pertencer a A(*,n) acarÍeta que s(fr) pertence a
A(*,r):
m * (n * s (k) ) : m * s (n -t k) : t (* + (n + k)) : s ((m * n) + t; : (m + n)+ s(fr ).
Portanto, A(*,r): N. Como m e n são arbitrários, obtemos (i). tr
A propriedade associativa da adição permite-nos interpretar uma adição de três
parcelas alb* c como sendo a adição (a+b) *c ou a adição a* (b*c). Na
verdade, um cuidadoso argumento usando indução permite provar a lei associativa
generalizada da adição, segundo a qual, paÍa m1,ffi2,...,mk nafiJraiü a expressão
m1* m2 + ... + m1, pode ser interpretada como sucessivas adições com os parên-
teses em qualquer posição, pois seu valor é independente dessas posições. As-
sim, por exemplo, a adição de naturais a*brc*d pode ser interpretada como
((a+b) +c)t d ot a+((b+c)+ d) etc. (consulte [9] parauma demonsrração
,o
l
l
l
l
30 Números naturais Cap.2
desse fato no contexto mais geral de Teoria dos Grupos. Esse teorema permite
aplicar a observação acima a todas as situações neste livro em que ocoÍrer uma
operação associativa, ou seja, nelas valerá também a coÍrespondente lei associativa
generalizada.)
Exercício 18. Mostre quem*0:0+m,paratodom € N, istoé,0 éum elemento
neutro paraa operação de adição em N.
Exercício 19. Para provar a propriedade comutativa da adição, fixe arbitrariamente
m € N e considere o conjunto C*: {n e N ln*m: nt*n}. Mostre por indução
eue C- - §.
(Sugestão: Use o Exercício 18, a propriedade associativa da adição e a Proposição
2.2.r.)
Exercício 20. Prove a lei do cancelamento da adição.
Proposição2.2.4. Suponha que exista z € N tal que m*u:m(ou que ulm: m),
para todo m € N. Entõo u:0. Assim, 0 é o único elemento neutro para a operação
de adição (veja o Exercício l8).
Demonstração. Paraum tal r, temos: 0:0 *u: u. tr
A proposição acima permite uma generúização
capítulo 3.
conforme o Exercício 38 no
§2.2 Operações com números naturais
2.2.2 Multiplicação de números naturais
Definição 2.2.3. A multiplicação de dois números naturais, m e n, é designada por
m. n e definida recursivamente do seguinte modo:
31
(
) *'0:0;
I. (n +1) : m'ntm
Como de costume, adotaremos a notação de justaposição para a multiplicação:
m. n: mn.
Observe que na própria definição de multiplicação estão os cernes da proprie-
dade distributiva da multiplicação em relação à adição e da propriedade do elemento
neutro multiplicativo, conforme os itens (iii) e (ii) do teorema abaixo.
Esta definição nos fornece a multiplicação de um número natural arbitrátrto m
por 0. Note no entanto que não ó tão óbvio que 0 .m:0. Este fato será considerado
po Exercício 24.
As propriedades da multiplicação são enunciadas no teorema a seguir.
Teorema 2.2.5. Para m, n e p naturais arbitrários, valem as proposições abaixo:
i) mn € N, íslo é, a multiplicaçõo de fato é uma operação ern N,'
ii) existência do elemento neutro multiplicativo: I .n : n. | : ni
iii) distributividade: m(n+ p) : mn*mp e (m*n)p: mplnp;
iv) associatividade : m(np) : (mn) p;
32 Números naturais Cap.2
v) mn: 0 + m:0 ou n:0;
vi) comutatividade: nm: mn.
Demonstraçõo. Novamente, usa-se o Princípio da Indução para demonstrar todos
os seis itens. Demonstraremos os itens (ii) e (iii) e deixaremos os demais para os
exercícios seguintes.
ii) Mostremos inicialmente que n.l: n:
n. | :n(0+ I) : n.0 +n: 0* n : n
(Usamos a definição de multiplicaçáo na segunda e terceira igualdades acimg).
Mostremos agora, por indução em n, que 1 .n : n. Temos:1 .0 : 0, por def,nição e,
sob ahipótese de que I .n : n,obtemos: l. (n+1) : t . n*l : n*1.
iii) Sejam m e n naturais fixados arbitrariamente e usemos indução sobre p. Seja
P*,r(p) a afirmação m(n * p) : mn * mp. Mostraremos que o conjunto
A,n,, :{p e X I P*,n(p)é verdadeira} é N. Temos:
l) Pm,n(O) é verdadeira:
m(n-10):*n e mn*m'j:mnlQ:mn.
Logo, m(n*O): *n*m.O, isto é, P*,n(Q) é verdadeira.
2) Mostremos que P*,n(k* 1) pode se obter de P*,n(k), isto é, que fr e A*,n acar-
reta k + 1 € A^,n. Cada igualdade abaixo se justifica com base em propriedades
já estabelecidas (verifique): m(n *(r+ t;; : m((n+p) + t) : *(n* p) + m :
(mn*mp) *m: mn* (*p+m): mn+ (*(p+ 1)).
De 1) e 2), concluímos, por indução, QUêÁ,,x,,2 : N. tr
Exercício 2L. Demonstre o item (iv) do teorema acima. (Sugestão: use indução
sobre p.)
§2.3 Relação de ordem eml§
Exercício 22. Mostre que o elemento neutro multiplicativo é único, isto é, se p € N
é tal que flp : n (oa pn: n), para todo n € N, então p : l. Compare com a
Proposição 2.2.4.
Proposição 2.2.6. Sejamm, n e N rais que m*n:0. Então m:n:0.
Demonstraçâo. Suponhamos ,? 10. Entáo n: s(n') : nt * 1, para algum r/ € N.
Temos:
0:m*n:m*(nt +1) : (m+nt)*l: s(m+nt),
o que é absurdo, pois zero não é sucessor de nenhum número. Logo, n:0 e obte-
mos 17, : rfl*O: m*n:O, como queíamos. !
Exercício 23. Como auxílio da proposição acima e da propriedade (iii) do Teorema
2.2.5, prove a propriedade (v).
(Sugestão: suponha n + 0, isto é, n: nt* 1, para certo nt e N. Conclua que m deve
ser 0.)
Exercício 24. Mostre que 0 .m:0, para todo ru € N.
Exercício 25. Demonstre a comutatividade da multiplicação, isto é, mn: nm, paÍa
todo par n,,m de números naturais.
(
(Sugestão: fixe m arbitrariamente e use indução sobre n.)
2,3 Relação de ordem em N
A relação de ordem em N nos permitirá comparar os números naturais, formali-
zando a ideia intuitiva de que 0 é menor do que 1, que é menor do que 2, e assim
por diante.
33
Números naturais Cap.2
Definição 2.3.1. Uma relação binária R em um conjunto não vazio Á diz-se uma
relação de ordem em A quando satisflzer as condições seguintes, para quaisquer
x,,yrz €. Al
i) reflexividade; xRx.
íi) antissimetria; se xRy e yRx, então x: !.
íii) transitividade: se xRy eyRz, entáo xRz.
Um conjunto não vazio A, munido de uma relação de ordem, diz-se tm conjunto
ordenado.
Definiremos agora uma relação de ordem em N através da operação da adição,
tornando-o, portanto, um conjunto ordenado.
Definição 2.3.2. Dados m,n e. N, dizemos que mRn se existir p € N tal que
n: m* p.
Exemplo 2.3.1. 1R3, pois 3 : 1 *2;2R2, pois 2 :2*0.
Exercício 26. Mostre que R é uma relação de ordem em N.
Definição 2.3.3. PaÍam,n € N, se mRn, onde R é a relação da definição anterior,
dizemos qtJe m é menor do que ou igual a n e passaremos a escrever o símbolo (
no lugar de R: assim, ffi 1n significarámRn.
(A expressáo "tn é menor ou igual a n", embora gramaticalmente incorreta, é
de uso corrente desde o Ensino Fundamental.)
I
§2.3 Relação de ordem emN
Notação:
1. Sern { n, mas m*n, escrevemos m<n e dizemos qtJemé menordo quen.
2. Escrevemos ,2 ) m como alternativa a m 1n. Leremos n é maior do que ou
igual a m.
3. Escrevemos rz > rn como alternativa am 1n. Leremos n é maior do que m.
Exercício 27. Mostre que, para todo n € N*, n) O.Em particular, I > 0.
Exercício 28. Mostre que s (n) ) n, para todo n € N.
Proposição 2.3.L. (Lei da Tricotomia) Para quaisquer m,n e N, Íernos que uma, e
apenas uma, das relações seguintes ocorre:
i) m 1n;
ii) m: n;
iii) m> n.
Demonstração. Mostremos inicialmente que duas dessas relações não podem ocor-
rer simultaneamente. Depois, mostraÍemos que uma delas necessariamente ocorre.
É claro que (i) e (ii), bem como (ii) e (iii), são incompatíveis, por definição. Quanto
a (i) e (iii) ocorrendo simultaneamente, teíamos: n:mlp e m:nl pt, com
p,p' * 0, de onde obtemos:
n*0: n: (n+ p') + p: n+ (p' + p).
Cancelando n, obtemos p * p' : 0. Pela Proposição 2.2.6, segue que p : p' :0,
uma contradição.
35
36 Números naturais Cap.2
Mostremos agora que uma das três relações acontece. Seja m um natural arbi-
trário e consideremos o codunto M: {x € Nlx :molrx) mouÍ < ru}. Vamos
provar, por indução sobre.r, que M: N.
Temos que 0 e M, pois 0: m ou 0l rz. No último caso, pelo Exercício 27,
m> 0.
Mostremos agora que a hipótese k e M acarreta k+ I € M. Devemos considerar
três situações:
Iu) k --rn. Neste caso, k* 1 : m* l,de onde k+ 1 > m e, portanto, k* 1. e M.
2u) k>n. Neste caso, existe p e N* tal que k - m+ p. Então k*l : (m+ p) +
| : m+ (p + 1), de onde k+ 1 > m e, daí, k+ | e M.
3") k<rn. Neste caso, existe p € N* tal que m:k*p. Como p+0, então
p: pt + l, p' € N. Logo
m:k_l(p, + 1) : k+ (1 +p,): (k+ L)* p,.
S"p':0, então m:k*l ek*l e M. S"p' f O,enÍáom) k* 1e k+l €M.
Assim, pelo Princípio da Indução, M: N. tr
A lei da tricotomia equivale a dizer que, dados m)n € N, tem-se, necessaria-
mente m 1n ou n ( m, isto é, dois naturais quaisquer são sempre comparáveis pela
relação de ordem acima definida. Por isso, uma relação de ordem que satisfaz àlei
da tricotomia é chamada de relação de ordem total. No exercício seguinte, você é
convidado a estudar uma relação de ordem em um certo conjunto, que náo é total.
Nesses casos, a relação de ordem diz-se parcial.
Exercício 29. Seja X um conjunto e considere a relação de inclusão entre os sub-
conjuntos de P(X). Mostre que essa relação é de ordem em e(X) e que só é de
§2.3 Relaçõo de ordem eml§
ordem total nos casos em que X for vazio ou unitário.
Exercício 30. Mostre que a relação de desigualdade estrita em N, isto é, < (ou >),
é transitiva, mas não é reflexiva nem antissimétrica.
Teorema 2.3.2. (Compatibilidade da relação de ordem com as operações em N,)
Sejam a,b e c naturais quaisquer São válidas as seguintes implicações:
i) a<b+a*c1b*c;
ii) a<b+ac1bc.
Demonstração. (i) a 1b <+ existe p € N tal que b: a*p. Segue daí que:
b+ c : (a+ p)*c : a* (p*c) : a* (c + p) : (a+ c) + p
de onde obtemos b -l c Z a* c. tr
Exercício 31. Demonstre (ii) do teorema anterior.
Exercício 32. Mostre que vale a recíproca do teorema anterior.
Exercício 33.
1) Mostre que o teorema anterior vale com ( no lugar de ( (e c * 0 no caso (ii)).
2) Conclua que o teorema anterior e o item (1) acima são válidos, respectivamente,
comle>nolugarde(e(.
Teorema 2.3.3. (Lei do cancelamento da multiplicação) Sejam a,b,c € N, conr
c + 0, tais que ac : bc. Então a: b.
37
Números naturais Cap.2
Demonstração. Se a ) b, teríamos ac ) bc pelo exercício anterior, o que contraria
a suposição de que ac: bc.
O caso a 1b é aniílogo. Logo, pela lei da tricotomià., a: b.
Teorema 2.3.4. Sejam a,b €.N. Então a < b se, e somente se, a* I < b.
Demonstração. a < b + b : a* p,paraalgump € N, p + 0.
Temos: p: s(q) : q+ 1, para um certo q € N. Então
b : at p : a*(q+ 1) : a+(t+q) : (a+t)+q + b> a*1.
A recíproca é imediata.
Sabemos que N : {0,s(0),s(s(O)),...} : {0, 1,2,...}, isto é, N é formado por 0
, e pelos seus sucessivos sucessores.
Da relação de ordem em N e suas propriedades, decorre que 0 < 1 < 2 < 3 < ...,
ou seja, se a € N, então a < s(a), pois s(o) : a* l.
Além disso, não há naturais compreendidos entre a e s(a), qualquer que seja
a € N, pois a ( r ( a*1, acarretaria, pelo teorema anterior, a*l1r 1a* 1, de
onde obtemos (verifique!) a + I < a* L, uma contradição.
Assim, vemos que os axiomas de Peano e suas consequências realmente cum-
prem o objetivo de tornar rigoroso o conceito de número natural, reforçando a ob-
servação feita antes do Teorema2.2.2.
O teorema seguinte também reflete um fato intuitivamente claro desde o Ensino
Fundamental: o de que todo subconjunto não vazio de números naturais possui um
menor elemento.
Observe que tal propriedade não é verificada no conjunto dos números racionais.
Por exemplo, se considerarmos o subconjunto dos números racionais positivos, ele
n
tr
§2.3 Relação de ordem emN
não possui um menor elemento (Por quê?). Já no conjunto dos números inteiros, só
possuem elemento mínimo os subconjuntos que sáo limitados inferiormente, corr-
forme veremos no capítulo seguinte (Teorema 3.3.3).
Formalmente, dizemos que um elemento a de um conjunto ordenado Á é um
menor elemento de Á, se a 4 x, para todo x e. A. Quando um conjunto ordenado
Á admite um menor elemento, este elemento é único (verifique isso!) e é também
chamado de elemento mínimo de Á. Ele se denota por minÁ. De modo similar,
define-se maior elemento ou elemento móximo de um conjunto ordenado Á, deno-
tado por maxA.
Iborema 2.3.5. (Princípio da Boa Ordem): Todo subconjunto não vazio de núme-
ros naturais possui um menor elemento.
Demonstração. Seja,S um tal subconjunto de N e consideremos o conjunto M:
{n e Nln{x,Vxe S}. Claroque0€M. Como S+a,tomes€S. Então sÍl/.M,
pois s* 1 não é menor ou igual a s. Assim, M +N. Como O € M e M +N, deve
existir m e M tal que mtl / M, caso contriário, pelo Princípio de Induçáo, M
deveria ser N.
Afirmamos que um talm é o menor elemento de S, isto é , m: mins.
Como m e M, então m 1x, Vx € ,S. Só falta verificar qle m € ,S. Vamos supor o
contrário, quLe m / S. Então ffi { x, Vx e ,S.
Pelo teorema anterior, teíamos m*l { x,Yx € ^s, do que resultariam*l Ç M,
em contradição com a escolha de rn.
Logo m € S, conforme queíamos.
39
tr
o nome "Princípio da Boa ordem" pilao teorema anterior deve-se à íntima
40 Números naturais Cap.2
relação desse teorema com o fato de que dado um número natural arbitrário n, o
próximo natural maior do que n estâ determinado e é n * l, como demonstrado
no Têorema 2.3.4, que foi utilizado no último argumento da demonstraçáo acima.
Observe que o Teorema 2.3.4 náo se aplica, por exemplo, ao conjunto dos números
racionais: é possível determinar um número racional imediatamente maior do que
t?
Um outro fato que foi utilizado para demonstrar o Princípio da Boa Ordem foi
o Princípio da Indução, ou seja, o Princípio da Indução implica no da Boa Ordem.
Na verdade, o Princípio da Indução e o da Boa Ordem são proposições matemáticas
equivalentes. Isso significa o seguinte: provamos o Princípio da Boa Ordem a partir
do Princípio da Indução (e dos demais axiomas de Peano). Se tivéssemos admitido
como axioma o Princípio da Boa Ordem no lugar do Princípio da Indução, o último
poderia ter sido demonstrado como teorema (vejal22l). Além disso, obteríamos os
mesmos resultados que obtivemos, isto é, o mesmo conjunto de números naturais
com as mesmas propriedades.
Exercício 34. Sejam x e y números naturais. Mostre que:
l. x*y:1+x:louy-1.
2. Se x * 0, y * 0 e x*y : 2, entáo x : y : t.
3. xy*0+x<ry.
Exercício 35. Para x,!,2 € N, mostre que se x* z <y *z então x <y.
Exercício 36. Para x,! eN e z € N*, mostre que se xz < yzentão x < y.
§2.3 Relação de ordem eml§
Vamos demonstrar na próxima proposição que o processo de tomar sucessores
de forma iterada produz elementos distintos dos anteriormente produzidos. Usare-
mos aqui a notação de composição iterada de funções introduzida na seção 2.2.1.
Exercício 37. Seja X um subconjunto de N satisfazendo (i) e (ii) abaixo. Mostre
que {a,a * l,a * 2,...} c X:
(i)aeX (ii)n€X+n+leX
(Sugestão: aplique o Princípio da Indução ao conjunto Y : {me N I c + m e X}.)
Proposição 2.3.6. Seja s:N-- N afunção sucessor. Para cadan) l, tem-se
{(0) + rfr(0), para todo k < n.
Demonstraçõo. SejaX : {n € N* | {(0) * stlO;,Vt < n}. Mostremos, usando o
Exercício 37, que X : N*. Temos:
(i) I e X,poissl10; :s(0) : l+o:so1o);
(ii) Seja n € X, isto é, {(0) + rfr(0), para todo k < n.
Mostremos qtJe n+ I € X, de onde decorrerá, pelo Exercício 37, qtue X : N*.
Aplicando s (injetora) a ambos os membros da desigualdade acima, obtemos:
s'+1(0) * sk+r (0), para todo k 1 n, o que é o mesmo que s,+l (O) +rl (0), para todo
I de I até n. Como também ,'+1(0) * 0 : r0(0), concluímos que s'+1 (0) + r/(0),
para todo I < n* 1, o que diz que n* I eX, como queríamos. n
41
42 Números naturais Cap,2
Números inteiros
Em N estão definidas duas operações que denominamos de adição e multiplicação.
No Ensino Fundamental, os números inteiros negativos e suas propriedades são
introduzidos para dar significado a certas subtrações, do tipo: 3 - 5,8 - 13 etc.
Uma vez introduzidos tais números, são "definidas" as demais operações com
eles, como: 3 - (-5), (-8) . (-3), 8 + (-4), (-2)'etc. As aspas devem-se ao fato
de que tais "definições" são dadas de modo ingênuo, não rigoroso, numa tentativa
de estender as operações aritméticas e suas propriedades no conjunto N para o con-
junto Z. E í: isso mesmo o que está acessível ao estudante do Ensino Fundamental
(embora mais se espere de seu professor de matemática, para quem este livro foi
escrito).
Foi tarnbém dessa forma empírica que os números inteiros negativos foram des-
cobertos e aplicados na expressão matemática de certas situações e na resolução de
problern.as.
Do ponto de vista do rigor matemático, apenas admitir a existência de números
inteiros negativos e incorporá-los ao conjunto N não é adequado. Além disso, temos
em N as operações de adição e multiplicação. A subtração, como a entendemos da
43
Números inteiros Cap. 3
matemática elementar, náo é, a rigor, uma operação em N, conforme o Exercício
6. Por essas razões, não seguiremos a linha adotada no Ensino Fundamental. O
que faremos é construir esses números negativos a partir da estrutura aritmética que
temos em N, através das noções básicas de Teoria dos Conjuntos e de relações de
equivalência.
3.L Construção do conjunto dos números inteiros
Começaremos definindo uma relação de equivalência no conjunto N x N. Um nú-
mero inteiro será então definido como uma classe de equivalência dada por essa
relação. O conjunto Z dos números inteiros será portanto o conjunto dessas classes
de equivalência. Deflniremos duas operações aritméticas emZ e mostraremos que
Z contémuma cópia algébrica de N, num sentido que precisaremos oportunamen-
te. Por fim, deflniremos a operação de subtração em Z que, restrita a elementos da
cópia de N em Z,trarâ significado às operações do tipo 3 - 5 e às demais operações
comentadas acima.
Teorema 3.1.1. A relação N em N x N definida por (a,b) - (c,d) quando
a I d : b I c é de equivalência.
Um comentório antes da demonstração formal: se admitirmos por um mo-
mento a nossa noção intuitiva de números inteiros e de subtração, notamos que
a*d:blc ê a-b- c-d, isto é, dois pares ordenados são equivalentes se-
gundo a def,nição acima, quando a diferença entre suas coordenadas, na mesma
ordem, coincidem.
I
§3.1 Construção do conjunto dos números inteiros
É esta a forma que os matemáticos do final do século XIX encontraram para
iniciar a construção do conjunto Z sem mencionar subtração, mas trazendo na sua
essência o geÍme dessa operação, tendo como ponto de partida o conjunto N e
suas operações, as noções de produto cartesiano e de relação de equivalência, como
mostra a definição dada no Teorema 3.1.1.
Demonstração.
(i) Reflexividade: (a,b) - (o,b), pois a *b: b+a.
Assim, a reflexividade de - é herança da comutatividade da adição em N.
(ii) Simetria: (a,b) - (c,d) * (c, d) - (a,b).
Basta observar que a implicação acima equivale à implicação a i d : bf c +
c * b : d + a, que decorre da comutatividade da adição em N.
(iii) Transitividade: (a,b) - (c,d) e (c,d) - (r,Í) + (a,b) * (",Í).
A verificação dessa propriedade é um exercício para o leitor. n
Denotaremos por @õ a classe de equivalência do par ordenado (a,b) pela
relação -, isto é,
Por exemplo:
i) GnoJ: {(3,0), (4, 1), (5,2),(6,3),...};
ii) (0-o : {(0, 3), (1,,4), (2,s),,(3, 6),. . .};
iii) (5,2) : {(3,0), (4, 1), (5, 2),(6,3),...}.
Note que 6A: (3O, o que não é uma surpresa, devido ao Teorema 1.2.2 - (ii).
@õ: {(r,y) € N x Nl (r,y) - (a,b)).
Números inteiros Cap. 3
Definição 3.1.1. O conjunto quociente N x N/ N, constituído pelas classes de equi-
valência (o,b), se denota por Z e será chamado de coniunto dos números inteiros.
Assim,
z: (NxN/-) : {@l@,b)e NxN}.
O símbolo Ztemorigem na palavra alemã "zahl", que quer dizer número.
3.2 Operações emZ
Definiremos a seguir duas operações em Z, (+) e (.), que denominaremos de adição
e de multiplic aç ão, respectivamente.
3.2.1 Adição de números inteiros
Conforme observamos após o enunciado do Teorema 3.1.1, permitindo-nos usÍr,
por um momento, a noção intuitiva de subtração emZ, temos: (arb) - (x,y) (que
equivale a@fi: (.rr), expressa o fato de que a-b: x-y. Vamos utilizar esta
observação como ponto de partida para buscar uma definição rigorosa de adição de
inteiros. Vejamos o que deveria ser (ap) +Gõ.
Se (a,á) expressa, em essência, a "diferença" (a-b)," (c,d) expressa (c-d),
a matemática elementar nos dá (" - b) + (r - d) : (a+ r) - (b + a). Esta última
expressão se traduz, no nosso contexto, como a classe @T;:rTõ
l
§3.2 Operações emZ
Passando a limpo, obtemos a definição formal de adição de inteiros, sem men-
cionar subtrações de naturais nem elementos da matemática elementar. Vamos a
ela.
Definição 3.2.1. Dados @õ e@fi emZ, definimos a soma ç"9 +(c*al como
sendo o inteiro (al c,b + d).
Ao definirmos objetos que envolvem classes de equivalência, é necessário veri-
ficarmos que tais definições não dependem de como representamos as classes. Por
exemplo, pela definição acima teríamos que (l§ +GD : Q,6). No entanto,
@Ã: (3O e 8,0) : (4)),logodeveríamos ter @Ã + F$ também igual a
(7,6).Pela definição dada, (2,4) + (3,0) : (5,4) que, felizmente, é igual a (7,6).
Mostraremos agora que isso vale em geral, isto é, a definição dada não depende
dos representantes das classes de equivalência envolvidas. Diz-se neste caso que a
adição estâ bem definida.
Iborema 3.2.1. Se (a,,b) : (a',bt) e (c,d) : (ct,dt), então (a,b) * (c,d) :
* (ct,dt), isto é, a adição de números inteiros estó bem definida.
Demonstraçõo. Sabemos, do Teorema 1.2.2 (ii) que, como
(a,b) - (o',b'),isto é,
@õ : (a!,A), então
a*bt : b+at. (3.1)
Do mesmo modo, como (c,d) : (r',d'), então (c,d) - (C,d'), istoé,
47
@T
c*dt : d+ct. (3.2)
48
Temos:
Números inteiros Cap. 3
(o,b) + (c,d) : (a* c,b * d) e (at,bt) + (ct,d') : (at + ct,bt + dt).
Mostremos que os dois segundos membros acima coincidem. Isso equivale a
mostrar que (a+c) + (bt + dt) : (b + d) + (a' + r'). Usando (3.1) e (3.2) temos
que:
(a + c) + (b' + dt) : (a + b') + (c + dt) : (b + a') + (d* c/) : (b + d) + (at + c'),
como queríamos. tr
Teorema 3.2.2. A operação de adição emZ é associativa, comutativa, tem (0,0)
como elemento neutro e vale a lei do cancelamento, como em N. Além disso, vale a
propriedade do elemento oposto (ou simétrico, ou inverso aditivo): dado (a,b) eZ,
existe um únicoTcô Ç Z tal qr, (o,U) + Gô (0,0) Este (r,d) é o elemento
(b,o) .
Demonstração. Yeja os exercícios a seguir.
Exercício 38. Mostre que se um conjunto não vazioÁ estiver munido de uma ope-
ração *, que tem elemento neutro, então este elemento neutro é único (n é elemento
neutro para x quando n*a: a*n: a,paÍa todo a e Á).
Exercício 39. Nas condições do Exercício 38, dizemos que o elemento a de A é
inversível para a operação x se existe b e A tal que a*b: bxa: n. Neste caso,
á chama-se inverso de a (paru a operação *). Mostre que se a é inversível e x é
associativa, então seu inverso é único (x se diz associativa se (ax b) x c : a.* (b * c),
quaisquer que sejam os elementos d, b e c de A. É o que ocorre com as operações
definidas nos naturais).
I
tr
§3.2 Operações emZ
Exercício 40. Nas condições do exercício anterior, tem-se, mais geralmente, o se-
guinte: se a é inversível e tem á como inverso e se a *c: n (ou cx a: n), então
c: b.
Exercício 4L. Demonstre que a adição emZ écomutativa, associativa e tem reO
como elemento neutro.
Exercício 42. Demonstre a lei do cancelamento paÍa a adição emZ, isto é, se
0, Ê,y €Z e ü+ B : Y+ p, então cr: Y.
Exercício 43. Mostre que Z possui a propriedade do elemento oposto. Sua unici-
dade é consequência do Exercício 39.
Definição 3.2.2.Dado a €.2,o único 9 e Ztal que ü+ B : O,q chama-se simé-
trico de o (ou oposto de ct, ou inverso aditivo de o). Sua unicidade permite que
introduzamos um símbolo para ele: -o (lê-se "menos c[").
Assim, cr+ (-o) : (0O. E, como vimos no Teorema3.2.2,sê c[: @A,então
-0-@õ
A existência e unicidade de oposto de um número inteiro permite que definamos
uma terceira operação emZ, denominada subtração.
Definição 3.2.3. A subtração em Z, denotada por (-), é a operaçáo definida da
seguinte forma: Se o, B e Z, entáo:
u-B:G*(-p)
Assim, a subtração ct - p nada mais é do que a soma de u com o simétrico de B.
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Proposição 3.2.3. Para a,,Ê,T e Z, vale:
i) -(-o) :6p;
íi) -a*F:Ê-cu
iii) a- (-B) - cr * Ê;
iv) -u-p:-(a+Ê);
Números inteiros Cap. 3
v) a-(Ê+y)-cr-Ê-y;
Demonstração. (i) Se ctr: (o,b),então -(-o) : -(bp) : (a,b) : u.
Outra demonstração deste fato consiste em explorar a propriedade de simétrico:
mostrar que -(-O) : Cr é mostrar que o simétrico de -Cr é 6g, o que, por sua vez,
significa mostrar que o é o inteiro que somado com -cr resulta no neutro (0p), o
que decorre imediatamente da propriedade comutativa e da definição de simétrico:
. Exercício 4. Demonstre as propriedades de (ii) a (v) do Teorema3.2.3 acima.
3.2.2 Multiplicação de números inteiros
Com motivações análogas àquelas que consideramos paÍa a definição formal da
adição emZ, definimos multiplicação em Z do seguinte modo:
Definição 3.2.4. Dados (a,b) e (c, d) em Z, definimos o produto (a,b) . (c,d) como
-cr*cr: cr+ (-g) : (0D.
tr
sendo o inteiro (ac *bd,ad +bc).
§3.2 Operações emZ
Exercício 45. Faça considerações análogas às que fizemos para a adição para en-
tender a motivação da definição acima.
Exercício 46. Efetue m ( tO-n.
Como no caso da adição, devemos verificar que a multiplicação está bem defi-
nida. Dada a analogia com o caso aditivo, deixaremos como exercício para o leitor
a maior parte das demonstrações dos teoremas seguintes.
Iborema 3.2.4. A multiplicação em Z estd bem definida, isto é, t" (o,U) : (a! ,n
,@fi: (c',d!), entdo@õ GÃ : @',b) G\-d)
Iborema 3.2.5. A multiplicação em Z é comutativa, associativa, tr* (t§ como
neutro multiplicativo e é distributiva em relação à adição. Além disso, vale a pro-
priedade do cancelamento multiplicativo, isto é, se a,,Ê, y e Z, com y f@§ e
UT: ÊT, então Cr : Ê.
Demonstração. (Cancelamento multiplicativo) Sejam s : (o,b),
6fr I (0, ol tais que crr : Êy, isto é,
p: (c,,d) ê y:
(ae-lbf ,af +Oe1: (ce+dÍ,cf +de)
que equivale a
ae I bf * cf -f de : aÍ * be * ce + df .
Usando a aritmética dos naturais nessa igualdade, obtemos:
e(a * d) + Í(b* c) : e(b + c) + f (a + d).
Como Gn I (0;0, então e + Í.suponhamos e ) /, sem perda de generali-
dade, o que equivale ae: Í+g, para algumg € N*. Substituindo e por f +gna
penúltima igualdade, obtemos :
f (a + d) + s@ + d) + f (b* c) : Í (b + c) + g(b+ c) * f (a + d).
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Números inteiros Cap.3
Usando o cancelamento aditivo em N, vem: g(a +d): g(b+c). Como I € N*,
segue do cancelamento multiplicativo em N qtJe a I d, : b a c, ou seja, (oO :
GA ou, como queríamos, c[: B.
Exercício 47. Mostre que (0,0) .a: (0,0),para todo a e Z.
Exercício 48. Mostre que se cr, P € Z e o;B: (0O, então o: (0O ou B : (0O
(Sugestão: use o exercício anterior e o cancelamento multiplicativo.)
Exercício 49. Mostre que se o, B € Z, entío ( -cr) Ê - -crB : o(- Ê) e (-a) (- Ê) :
ü8.
Exercício 50. Demonstre a propriedade distributiva da multiplicação em relação à
subtação; cr. (B - T) : o. F - a.Y.
3.3 Relação de ordem em Z
Como em N, vamos comparar os elementos deZ através de uma relação de ordem.
Com motivações análogas àquelas que precederam as definições de adição e de
multiplicação, temos a seguinte definição:
Definição 3.3.1. Dados os inteiros @õ e (r3), escrevemos (a,U) <
@õ é menor do que ou igual o ("j)1,quando a*d 1b+c.
Os símbolos ), ) e ( definem-se de forma análoga à que fizemos paÍa a relação
de ordem em N.
Como nos casos da adição e da multiplicação, verifica-se que a relação que
acabamos de introduzir está bem definida. Certifique-se desse fato. Os símbolos de
n
GÃ (lê-se
§3.3 Relação dc ordernemZ
desigualdade utilizados para a relação de ordem emV, sãro os mesmos que utilizamos
para a relação de ordem em N, mas o contexto deixará claro que ordem estiá sendo
considerada. Além disso, o Teorema 3.3.2 adiante nos mostrará que esta diferença
de contextos é provisória, uma vez que a ordem emV, será uma extensão da ordem
em N.
Iborema 33.1. A relaçã.o < definida acimn é urna relação de ordem emZ, ou seja
é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Alérn disso, essa relaçõo é compatível com
as operações etn Z, isto é, para a,rÊ, T e Z arbitrrírtos, vale:
i) a< p + a+y< Ê+T;
iil a < B e ^t) í0.0) + crv( Bv.ra_\rra_aa
iii) (I-ei daTrtcotomia): Apenas umo das sinnções seguintes ocorre:
(r,: (O,O) ou a < (0,0) ou a.> (0,0).
Demonstração. Oleitor deve demonsEar como exercício que ( é uma relação de
ordem, bem como os itens (i) e (iii) . Demonstraremos (ii):
ponhamos s : @, b), p : 
-(c 
1l) e y :@.
A hipótese se reescreve: a*d 1b*c e f 1 e.
hgo, existem p,e € N tais que
b*c:a*d*p (3.3)
e: Í*q (3.4)
Números inteiros Cap. 3
De (3.3), obtemos:
be * ce : a€ * de * pe e bf -t cÍ : aÍ + dÍ + pÍ.
Segue que
ae*de* pe*bÍ +cÍ * aÍ *dÍ + pÍ *be*ce.
De (3.4), obtemos:
pe: pf + pq.
(3.s)
(3.6)
l
Assim, (3.6) em (3.5) fornece:
ae * de + pÍ * pq+ bÍ