Lista de exercícios Eletromagnetismo Lei de Gauss Cap 23 2017 2

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural do Semi-A´rido
Eletromagnetismo – Lista de Exerc´ıcios – Lei de Gauss
Professor Gustavo Rebouc¸as
Questo˜es Cap´ıtulo 23
Perguntas
1. A figura mostra, em sec¸a˜o reta, uma es-
fera central meta´lica, duas cascas meta´licas
e treˆs superf´ıcies gaussianas esfe´ricas
conceˆntricas de raio R, 2R e 3R. As car-
gas dos treˆs corpos, distribu´ıdas uniforme-
mente, sa˜o as seguintes: esfera, Q; casca
menor. 3Q, casca maior. 5Q. Coloque
as treˆs superf´ıcies gaussianas na ordem
do mo´dulo do campo ele´trico em qualquer
ponto da superf´ıcie comec¸ando pelo maior.
2. A figura mostra, em sec¸a˜o reta, duas esfe-
ras gaussianas e dois cubos gaussianos no
centro dos quais existe uma part´ıcula carga
positiva. (a) Coloque as quatro superf´ıcies
gaussianas na ordem do fluxo ele´trico que
as atravessa, comec¸ando pelo maior. (b)
Coloque as quatro superf´ıcies gaussianas
na ordem do mo´dulo do campo ele´trico em
qualquer ponto da superf´ıcie, comec¸ando
pelo maior, e informe se os mo´dulos sa˜o
uniformes ou variam de ponto para ponto
da superf´ıcie.
3. O vetor a´rea de uma superf´ıcie e´ ~A =
(2ˆi+ 3jˆ) m2. Qual e´ o fluxo de um campo
ele´trico atrave´s dessa superf´ıcie se o campo
e´ (a) ~E = 4ˆi N/C;(b) ~E = 4kˆ N/C?
4. A figura mostra, em sec¸a˜o reta. treˆs ci-
lindros macic¸os de comprimento L e carga
uniforme Q. Conceˆntrica com cada cilindro
existe uma superf´ıcie gaussiana cil´ındrica;
as treˆs superf´ıcies gaussianas teˆm o mesmo
raio. Coloque as superf´ıcies gaussianas na
ordem do mo´dulo do campo ele´trico em
qualquer ponto da superf´ıcie.comec¸ando
pelo maior.
5. Uma pequena esfera carregada esta´ no inte-
rior de uma casca esfe´rica meta´lica de raio
R. Para treˆs situac¸o˜es, as cargas da esfera
e da casca. respectivamente, sa˜o (1) +4q,
0; (2) −6q, +lOq; (3) +16q, −12q. Colo-
que as situac¸o˜es em ordem de acordo com a
carga (a) da superf´ıcie interna da casca; (b)
da superf´ıcie externa da casca, comec¸ando
pela mais positiva,
6. Coloque as situac¸o˜es da Pergunta anterior
1
em ordem de acordo com o mo´dulo do
campo ele´trico (a) no centro da casca; (b)
em um ponto a uma distaˆncia 2R do centro
da casca, comec¸ando pelo maior.
Problemas
7. O cubo da figura tem 1,40 m de aresta
e esta´ orientado da forma mostrada na
figura em uma regia˜o onde existe um
campo ele´trico uniforme. Determine o
fluxo ele´trico atrave´s da face direita do
cubo se o campo ele´trico, em newtons por
coulomb e´ dado por (a) 6, 00ˆi; (b) −2, 00jˆ;
(c) −3, 00ˆi; +4, 00kˆ. (d) Qual e´ o fluxo to-
tal atrave´s do cubo nos treˆs casos? [R. (a)
zero, (b) −3, 92 N/m2C, (c) zero, (d) zero]
([1] Problema 3, pa´gina 69)
8. Em todos os pontos da superf´ıcie do cubo
da figura do problema anterior o campo
ele´trico e´ paralelo ao eixo z. O cubo tem
3,0 m de aresta. Na face superior do cubo
E = −34kˆ N/C; na face inferior, ~E =
−20kˆ N/C. Determine a carga que existe
no interior do cubo. [R. −4, 3 × 10−9 C ]
([1] Problema 4, pa´gina 69)
9. Na figura um pro´ton se encontra a uma
distaˆncia vertical d/2 do centro de um qua-
drado de aresta d. Qual e´ o mo´dulo do
fluxo ele´trico atrave´s do quadrado? (Su-
gesta˜o: Pense no quadrado como uma das
faces de um cubo de aresta d.) [R. 3, 01 ×
10−9 N/m2C. ] ([1] Problema 7, pa´gina 69)
10. Uma part´ıcula de carga +q e´ colocada em
um dos ve´rtices de um cubo gaussiano. De-
termine o mu´ltiplo de q�0 que corresponde
ao fluxo atrave´s de (a) uma das faces do
cubo que conteˆm o ve´rtice; (b) uma das ou-
tras faces do cubo. [R. (a) zero, (b) 1/24.]
([1] Problema 13, pa´gina 69)
11. A figura mostra uma sec¸a˜o de um tubo
longo de metal, de paredes finas, com um
raio R = 3, 00 cm e uma carga por unidade
de comprimento λ = 2, 00×10−8 C/m. De-
termine o mo´dulo ~E do campo ele´trico a
uma distaˆncia radial (a) r = R/2, 00; (b)
r = 2, 00 R. (c) Fac¸a um gra´fico de E em
func¸a˜o de r para O < r < 2, 00R. [R.(a)
E = 0; (b) 5, 99 × 103 N/C; (c) ] ([1] Pro-
blema 22, pa´gina 69)
12. Uma linha infinita de cargas produz um
campo de mo´dulo 4, 5 × 104 N/C a uma
distaˆncia de 2,0 m. Calcule a densidade
linear de cargas. [R. ?5, 8 × 10?9] ([1] Pro-
blema 23, pa´gina 71)
13. Um ele´tron e´ liberado a partir do re-
pouso a uma distaˆncia perpendicular de
9, 0 cm de uma barra na˜o-condutora re-
til´ınea muito longa com uma densidade
de cargas uniforme de 6,0 µC por metro.
Qual e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o inicial do
ele´tron? (Por que perguntamos somete da
acelerac¸a˜o inicial e na˜o da acelerac¸a˜o em
todo o movimento) [R. 2, 1 × 1017 m/s2]
([1] Problema 24, pa´gina 71)
14. (a) O tambor de uma fotocopiadora tem
um comprimento de 42 cm e um diaˆmetro
de 12 cm. O campo ele´trico nas proximida-
des da superf´ıcie do tambor e´ de 2, 3× 105
N/C. Qual e´ a carga total do tambor? (b)
O fabricante deseja produzir uma versa˜o
compacta da ma´quina. Para isso e´ ne-
cessa´rio reduzir o comprimento do tam-
bor para 28 cm e o diaˆmetro para 8,0 cm.
2
O campo ele´trico na superf´ıcie do tambor
deve permanecer o mesmo. Qual deve ser a
carga do novo tambor? [R. (a) 3, 2×107 C;
(b) 1, 4 × 107 C] ([1] Problema 25, pa´gina
71)
15. Na figura pequenas partes de duas linhas
paralelas de cargas muito compridas sa˜o
mostradas, fixas no lugar, separadas por
uma distaˆncia L = 8, 0 cm. A densidade
uniforme de cargas das linhas e´ +6, 0 µC/m
para a linha 1 e −2, 0 µC/m para a linha 2.
Em que ponto do eixo x o campo ele´trico e´
zero? [R. 8, 0 cm] ([1] Problema 26, pa´gina
71)
16. A figura e´ uma sec¸a˜o de uma barra condu-
tora de raio R1 = 1, 30 mm e comprimento
L = 11, 00 m no interior de uma casca coa-
xial, de paredes finas, de raio R2 = 10, 0R1
e mesmo comprimento L. A carga da barra
e´ Q = +3, 40 × 10−12 C; a carga da casca
e´ Q2 = −2, 00Q1. Determine (a) o mo´dulo
E e (b) a direc¸a˜o (para dentro ou para
fora) do campo ele´trico a uma distaˆncia ra-
dial r = 2, 00R2. Determine (e) E e (d) a
direc¸a˜o do campo ele´trico para r = 5, 00R1.
Determine a carga (e) na superf´ıcie interna
e (f) na superf´ıcie interna da casca. [R. (a)
0,214 N/C; (b) para dentro; (c) 0,855 N/C;
(d) para fora; (e) ] ([1] Problema 27, pa´gina
71)
17. Na figura uma pequena esfera na˜o-
condutora de massa m = 1, 0 mg e carga
q = 2, 0 × 10−8 C (distribu´ıda unifor-
memente em todo o volume) esta´ pendu-
rada em um fio na˜o-condutor que faz um
aˆngulo θ = 30◦ com uma placa vertical,
na˜o-condutora. uniformemente carregada
(vista de perfil). Considerando a forc¸a gra-
vitacional a que a esfera esta´ submetida e
supondo que a placa possui uma grande ex-
tensa˜o, calcule a densidade superficial de
cargas σ da placa
18. Um ele´tron entra na regia˜o de um campo
ele´trico uniforme Como mostrado na figura
com v = 3.00 × 106 m/s e E = 200 N/C.
A distaˆncia entre as placas e´ l = 0, 100 m.
(a) Encontre a acelerac¸a˜o do ele´tron en-
quanto esta´ na regia˜o campo ele´trico.
(b) Considere t = 0 o instante em que p
ele´tron entra no campo ele´trico, encontre o
tempo que ele sai do campo.
(c) Se a posic¸a˜o vertical em que o ele´tron
entra no campo ele´trico e´ yi = 0, qual
a posic¸a˜o no instante em que ele deixa o
campo?
[R. (a) −3, 15 × 1013jˆ m/s2; (b)3, 33 × 109
s; (c) −1, 95 cm]
([5] Exemple 23.11, page 727)
3
19. A figura mostra as sec¸o˜es retas de duas
placas de grande extensa˜o, paralelas,
na˜o-condutoras, positivamente carregadas.
ambas com distribuic¸a˜o superficial de car-
gas σ = 1, 77 × 10−22 C/m2. Determine o
campo ele´trico ~E, em termos dos vetores
unita´rios, (a) acima das placas; (b) entre
as placas; (c) abaixo das placas.
20. A figura mostra uma placa na˜o-condutora
muito extensa que possui uma densidade
superficial de cargas uniforme σ = 2, 00
µC/m2; a figura mostra tambe´m uma
part´ıcula de carga Q = 6, 00 µC a uma
distaˆncia d da placa. Ambas esta˜o fixas no
lugar.Se d = 0, 200 m, para que coorde-
nada (a) positiva c (b) negativa sobre o eixo
x (ale´m do infinito) o campo ele´trico total
~ETot e´ zero? (c) Se d = 0, 800 m, para que
coordenada sobre o eixo x o campo ~ETot e´
0?
Demonstrac¸o˜es: Nesta sec¸a˜o
esclarec¸a todas as consi-
derac¸o˜es que se esta usando
para chegar as respostas.
21. Use argumentos aprendidos na disciplina
para calcular o campo ele´trico em func¸a˜o
da carga (ou distribuic¸a˜o de carga) e da
distaˆncia com repeito ao material nas se-
guintes situac¸o˜es:
(a) Na regia˜o interna de um condutor
esfe´rico carregado de raio R;
(b) Na regia˜o externa de um condutor
esfe´rico carregado de raio R;
(c) Na regia˜o interna de uma casca esfe´rico
carregada de raio R;
(b) Na regia˜o externa de de uma casca
esfe´rico carregada de raio R;
(e) Na regia˜o interna de um isolante (ou
distribuic¸a˜o uniforme de cargas de raio R)
esfe´rico;
(f) Na regia˜o externa de um isolante (ou
distribuic¸a˜o uniforme de cargas) esfe´rico de
raio R;
22. Com base no problema anterior fac¸a um
esboc¸o do gra´fico do mo´dulo do campo
ele´trico em func¸a˜o da distaˆncia ao centro
das esferas (condutor, casca esfe´rica e iso-
lante), indicando o comportamento de E
desde o centro da esfera ate´ uma regia˜o
com r > R
23. Use a lei de Gauss para mostrar que o
campo ele´trico do uma carga pontual de
garga q a uma distaˆncia radial r e´ dado
por:
E =
1
4pi�0
q
r2
24. Mostre que o mo´dulo do campo ele´trico na
superf´ıcie pro´xima a um condutor qualquer
carregado e´:
E =
σ
�0
25. Mostre que o mo´dulo do campo ele´trico de
uma placa carregada infinita e´:
E =
σ
2�0
26. Mostre que o campo ele´trico gerado por um
fio (ou barra) de comprimento infinito a
uma distaˆncia r do fio tem direc¸a˜o radial e
mo´dulo igual a:
E =
λ
2pi�0r
27. Uma esfera condutora de raio a e carga po-
sitiva 2Q esta envolvida. Uma casca con-
dutora com uma carga total −Q, raio in-
terno b e raio externo c e´ conceˆntrica com
a esfera de raio a conforme a figura.
(a) Encontre o campo ele´trico nas regio˜es
1,2,3 e 4.
(b) Esboce o gra´fico do mo´dulo do campo
ele´trico em func¸a˜o da distaˆncia com res-
peito ao centro do sistema.
4
([5], adaptado do exemple 24.10 page 752)
28. A figura mostra uma barra condutora cen-
tral (carregada com carga q) infinita reco-
berta por uma casca cil´ındrica de mesmo
material e eletricamente neutra. [4]
(a) Encontre o campo ele´trico nas regio˜es
1,2,3 e 4.
(b) Esboce o gra´fico do mo´dulo do campo
ele´trico em func¸a˜o da distaˆncia com res-
peito ao centro do sistema.
29. A figura mostra uma casca esfe´rica com
uma densidade volume´trica de cargas uni-
forme ρ em C/m3 raio interno a e raio ex-
terno b. Determine o mo´dulo do campo
ele´trico nas regio˜es 1, 2 e 3 en func¸a˜o
da distaˆncia com respeito ao centro.[4] [R.
Em 1 E=0, em 2 E = ρ
3�0
(
r3−a3
r2
)
, em 3
E = ρ
3�0
(
b3−a3
r2
)
]
30. (Use o problema anterior) A figura mos-
tra uma casca esfe´rica com uma densidade
volume´trica de cargas uniforme ρ = 1, 84
nC/m3 raio interno a = 10, 0 cm e raio
externo b = 2, 00a. Determine o mo´dulo
do campo ele´trico (a) em r = O; (b)
em r = a/2, 00; (c) em r = a; (d) em
r = 1, 50a; (e) em r = b; (e) em r = 3, 00b.
[R. (a) 0; (b) 0;(c) 0; (d) 7,32 N/C; (e)
12,1 N/C; (f) 1,35 N/C. ] ([1] Problema
50, pa´gina 73)
Refereˆncias
[1] Fundamentos de F´ısica, Volume 1 : Mecaˆnica / David Halliday, Rohen Resnick. Jearl 8a
Edic¸a˜o.
[2] F´ısica I - Mecaˆnica - Houg D. Young / Roger A. Freedman 12a Edic¸a˜o.
[3] F´ısica Simulada˜o - Jose´ Roberto Bonjorno / Regina Azenha Bonjorno.
[4] Gustavo Lectures on Physics, 1st Edition.
[5] Physics for Scientists and Engineers, Raymond A. Serway and John W. Jewett 6th Edition.
5