Lista de exercícios - Eletromagnetismo - Lei de Gauss- cap 23

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Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Eletricidade e Magnetismo
Lista de Exerćıcios
Caṕıtulo 23 – Lei de Gauss: Fluxo de um Campo Elétrico; Lei de Gauss; Lei de Gauss e Lei de
Coulomb; Um Condutor Carregado; Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Ciĺındrica; Aplicando a Lei
de Gauss: Simetria Planar; Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Esférica.
Perguntas
1. A figura mostra, em seção reta, uma esfera
central metálica, duas cascas metálicas e três
superf́ıcies gaussianas esféricas concêntricas de
raio R, 2R e 3R. As cargas dos três corpos,
distribúıdas uniformemente, são as seguintes:
esfera, Q; casca menor. 3Q, casca maior. 5Q.
Coloque as três superf́ıcies gaussianas na or-
dem do módulo do campo elétrico em qualquer
ponto da superf́ıcie começando pelo maior.
2. A figura mostra, em seção reta, duas esferas
gaussianas e dois cubos gaussianos no centro
dos quais existe uma part́ıcula carga positiva.
(a) Coloque as quatro superf́ıcies gaussianas
na ordem do fluxo elétrico que as atravessa,
começando pelo maior. (b) Coloque as qua-
tro superf́ıcies gaussianas na ordem do módulo
do campo elétrico em qualquer ponto da su-
perf́ıcie, começando pelo maior, e informe se
os módulos são uniformes ou variam de ponto
para ponto da superf́ıcie.
3. O vetor área de uma superf́ıcie é ~A = (2̂i+ 3ĵ)
m2. Qual é o fluxo de um campo elétrico
através dessa superf́ıcie se o campo é (a) ~E = 4̂i
N/C;(b) ~E = 4k̂ N/C?
4. A figura mostra, em seção reta. três cilin-
dros maciços de comprimento L e carga uni-
forme Q. Concêntrica com cada cilindro existe
uma superf́ıcie gaussiana ciĺındrica; as três su-
perf́ıcies gaussianas têm o mesmo raio. Co-
loque as superf́ıcies gaussianas na ordem do
módulo do campo elétrico em qualquer ponto
da superf́ıcie.começando pelo maior.
5. Uma pequena esfera carregada está no inte-
rior de uma casca esférica metálica de raio R.
Para três situações, as cargas da esfera e da
casca. respectivamente, são (1) +4q, 0; (2)
−6q, +lOq; (3) +16q, −12q. Coloque as si-
tuações em ordem de acordo com a carga (a)
da superf́ıcie interna da casca; (b) da superf́ıcie
externa da casca, começando pela mais posi-
tiva,
6. Coloque as situações da Pergunta anterior em
ordem de acordo com o módulo do campo
elétrico (a) no centro da casca; (b) em um
1
ponto a uma distância 2R do centro da casca,
começando pelo maior.
Problemas
7. Na figura uma rede para pegar borboletas está
imersa em um campo elétrico uniforme de
módulo E = 3, 0 mN/C. O plano do aro da
rede, uma circunferência de raio a = 11 cm, é
mantido perpendicular à direção do campo. A
rede é eletricamente neutra. Determine o fluxo
elétrico através da rede.
[R. 1, 03×10−3 Nm2/C] ([1] Problema 6, página
69)
8. A figura mostra duas cascas esféricas isolan-
tes mantidas fixas no lugar. A casca 1 possui
uma densidade superficial de carga uniforme de
+6, 0 µC/m2 na superf́ıcie externa e um raio de
3,0 cm; a casca 2 possui uma densidade super-
ficial de carga uniforme de +4, 0 µC/m2 na su-
perf́ıcie externa e um raio de 2,0 cm; os centros
das cascas estão separados por uma distância
L = 10 cm.
(a) Qual é o campo elétrico no ponto x = 2, 0
cm, na notação dos vetores unitários?
(b) Qual o campo elétrico no ponto x = L
[R. (a) (−2, 8 × 104 N/C) ĵ (b)]([1] Problema
8, página 69)
9. O cubo da figura tem 1,40 m de aresta e está
orientado da forma mostrada na figura em uma
região onde existe um campo elétrico uniforme.
Determine o fluxo elétrico através da face di-
reita do cubo se o campo elétrico, em newtons
por coulomb é dado por (a) 6, 00̂i; (b) −2, 00ĵ;
(c) −3, 00̂i; +4, 00k̂. (d) Qual é o fluxo total
através do cubo nos três casos? [R. (a) zero, (b)
−3, 92 N/m2C, (c) zero, (d) zero] ([1] Problema
3, página 69)
10. Em todos os pontos da superf́ıcie do cubo da
figura do problema anterior o campo elétrico
é paralelo ao eixo z. O cubo tem 3,0 m de
aresta. Na face superior do cubo E = −34k̂
N/C; na face inferior, ~E = −20k̂ N/C. Deter-
mine a carga que existe no interior do cubo. [R.
−4, 3 × 10−9 C ] ([1] Problema 4, página 69)
11. Na figura um próton se encontra a uma
distância vertical d/2 do centro de um qua-
drado de aresta d. Qual é o módulo do
fluxo elétrico através do quadrado? (Sugestão:
Pense no quadrado como uma das faces de um
cubo de aresta d.) [R. 3, 01 × 10−9 N/m2C. ]
([1] Problema 7, página 69)
12. Uma part́ıcula de carga +q é colocada em um
dos vértices de um cubo gaussiano. Deter-
mine o múltiplo de q�0 que corresponde ao
fluxo através de (a) uma das faces do cubo que
contêm o vértice; (b) uma das outras faces do
cubo. [R. (a) zero, (b) 1/24.] ([1] Problema 13,
página 69)
13. A figura mostra uma seção de um tubo longo de
metal, de paredes finas, com um raio R = 3, 00
cm e uma carga por unidade de comprimento
λ = 2, 00 × 10−8 C/m. Determine o módulo ~E
do campo elétrico a uma distância radial (a)
r = R/2, 00; (b) r = 2, 00 R. (c) Faça um
gráfico de E em função de r para 0 < r <
2, 00R. [R.(a) E = 0; (b) 5, 99 × 103 N/C; (c)
] ([1] Problema 22, página 69)
2
14. Uma linha infinita de cargas produz um campo
de módulo 4, 5 × 104 N/C a uma distância de
2,0 m. Calcule a densidade linear de cargas.
[R. ?5, 8 × 10?9] ([1] Problema 23, página 71)
15. Um elétron é liberado a partir do repouso a
uma distância perpendicular de 9, 0 cm de uma
barra não-condutora retiĺınea muito longa com
uma densidade de cargas uniforme de 6,0 µC
por metro. Qual é o módulo da aceleração ini-
cial do elétron? (Por que perguntamos somete
da aceleração inicial e não da aceleração em
todo o movimento) [R. 2, 1 × 1017 m/s2] ([1]
Problema 24, página 71)
16. (a) O tambor de uma fotocopiadora tem um
comprimento de 42 cm e um diâmetro de 12
cm. O campo elétrico nas proximidades da su-
perf́ıcie do tambor é de 2, 3×105 N/C. Qual é a
carga total do tambor? (b) O fabricante deseja
produzir uma versão compacta da máquina.
Para isso é necessário reduzir o comprimento
do tambor para 28 cm e o diâmetro para 8,0
cm. O campo elétrico na superf́ıcie do tambor
deve permanecer o mesmo. Qual deve ser a
carga do novo tambor? [R. (a) 3, 2×107 C; (b)
1, 4 × 107 C] ([1] Problema 25, página 71)
17. Na figura pequenas partes de duas linhas para-
lelas de cargas muito compridas são mostradas,
fixas no lugar, separadas por uma distância
L = 8, 0 cm. A densidade uniforme de car-
gas das linhas é +6, 0 µC/m para a linha 1 e
−2, 0 µC/m para a linha 2. Em que ponto do
eixo x o campo elétrico é zero? [R. 8, 0 cm] ([1]
Problema 26, página 71)
18. A figura é uma seção de uma barra condu-
tora de raio R1 = 1, 30 mm e comprimento
L = 11, 00 m no interior de uma casca coa-
xial, de paredes finas, de raio R2 = 10, 0R1 e
mesmo comprimento L. A carga da barra é
Q = +3, 40× 10−12 C; a carga da casca é Q2 =
−2, 00Q1. Determine (a) o módulo E e (b) a
direção (para dentro ou para fora) do campo
elétrico a uma distância radial r = 2, 00R2. De-
termine (e) E e (d) a direção do campo elétrico
para r = 5, 00R1. Determine a carga (e) na
superf́ıcie interna e (f) na superf́ıcie interna da
casca. [R. (a) 0,214 N/C; (b) para dentro; (c)
0,855 N/C; (d) para fora; (e) ] ([1] Problema
27, página 71)
19. Na figura uma pequena esfera não-condutora
de massa m = 1, 0 mg e carga q = 2, 0×10−8 C
(distribúıda uniformemente em todo o volume)
está pendurada em um fio não-condutor que
faz um ângulo θ = 30◦ com uma placa verti-
cal, não-condutora. uniformemente carregada
(vista de perfil). Considerando a força gravi-
tacional a que a esfera está submetida e su-
pondo que a placa possui uma grande extensão,
calcule a densidade superficial de cargas σ da
placa
[R.5, 0 × 10−9 C/m .]([1] Problema 41, página
72)
20. Um elétron entra em um campo elétrico uni-
forme ~E = (−2, 0kN/C)ĵ com uma velocidade
inicial ~v0 = (1, 0 × 106m/s)̂i perpendicular ao
campo conforme a figura.
3
(a) Encontre a razão entre a força eletrostática
e a forçagravitacional qua atua sobre o elétron.
[R. 3, 6 × 1013].
(b) Com base no resultado do item (a) o que
se pode afirmar em relação a força elétrica e a
força gravitacional?
(c) Encontre a deflexão (o desvio vertical) de-
pois de ter viajado 1,0 cm na direção x. [R. 1,8
cm]
Dados: Massa do elétron: me = 9, 11×10−31kg
([6] Exemple 21.12, page 715)
21. Você acabou de imprimir um longo texto so-
bre a disciplina Eletricidade e Magnetismo e
você se pergunta sobre como a impressora a
jato de tinta sabe onde colocar a tinta. Você
pesquisa na Internet e encontre uma imagem
abaixo mostrando que as gotas de tinta rece-
bem uma carga e passam entre um par de pla-
cas de metal carregadas de forma oposta que
fornecem um campo elétrico uniforme na região
entre as placas. Porque você estuda o campo
elétrico em classe de f́ısica, você se pergunta
se você pode determinar o tamanho de um
campo usado neste tipo de impressora. Você
procura mais e descobre que as gotas de tinta
têm diâmetro de 40,0 µm uma inicial veloci-
dade de 40, 0 m/s e carga elétrica de 2, 00 nC é
desviada para cima uma distância de 3,00 mm
à medida que a queda percorre a região de 1,00
cm de comprimento entre as placas. Encontre
a magnitude do campo elétrico. (Negligenciar
quaisquer efeitos da gravidade no movimento
de as gotas). [R. 1,6 kN/C]
([6] Exemple 21.13, page 715)
22. Duas part́ıculas pontuais, cada uma de massa
m e carga q estão suspensas em um ponto co-
mum por um fio de comprimento L. O fio faz
um ângulo θ com a vertical como mostrado na
Figura. Considerando o sistema em equiĺıbrio
(a) Mostre que:
q = L sin θ
√
mgπ�0 tan θ
(b) Encontre se a carga, sendo m = 10, 0 g,
L = 50 cm e θ = 10, 0◦.
([6] Problem 21.74, page 726)
23. A figura mostra as seções retas de duas placas
de grande extensão, paralelas, não-condutoras,
positivamente carregadas. ambas com distri-
buição superficial de cargas σ = 1, 77 × 10−22
C/m2. Determine o campo elétrico ~E, em ter-
mos dos vetores unitários, (a) acima das placas;
(b) entre as placas; (c) abaixo das placas.
24. A figura mostra uma placa não-condutora
muito extensa que possui uma densidade su-
perficial de cargas uniforme σ = 2, 00 µC/m2;
a figura mostra também uma part́ıcula de carga
Q = 6, 00 µC a uma distância d da placa. Am-
bas estão fixas no lugar. Se d = 0, 200 m, para
que coordenada (a) positiva c (b) negativa so-
bre o eixo x (além do infinito) o campo elétrico
total ~ETot é zero? (c) Se d = 0, 800 m, para
que coordenada sobre o eixo x o campo ~ETot é
0?
25. Na figura, uma placa fina, infinita, isolante,
com uma densidade superficial de carga σ =
4, 50 pC/m2. O eixo z, cuja origem está no
centro da placa, é perpendicular à placa. De-
termine, na notação dos vetores unitários, o
campo elétrico no ponto P , situado em z =
2, 56 cm.
4
[R. (0, 25N/C)k̂] ([4] Problema 2, página 100)
26. Na figura, um pequeno furo circular de raio
R = 1, 80 cm foi aberto no meio de uma placa
fina, infinita, isolante, com uma densidade su-
perficial de carga σ = 4, 50 pC/m2. O eixo
z, cuja origem está no centro do furo, é per-
pendicular à placa. Determine, na notação dos
vetores unitários, o campo elétrico no ponto P ,
situado em z = 2, 56 cm. (Sugestão: Use a Eq.
22-26 e o prinćıpio de superposição.)
[R. (0, 208N/C)k̂] ([1] Problema 36, página 72)
27. A figura mostra uma placa isolante, muito ex-
tensa, que possui uma densidade superficial
de carga uniforme σ = −2, 00 µC/m2; a fi-
gura mostra também uma part́ıcula de carga
Q = 6, 00 µC, a uma distância d da placa. Am-
bas estão fixas no lugar. Se d = 0, 200 m, para
qual coordenada (a) positiva e (b) negativa do
eixo x (além do infinito) o campo elétrico to-
tal tot é zero? (c) Se d = 0,800 m, para qual
coordenada do eixo x o campo Etot é zero?
[R. (a) 0, 691 m; (b) −0, 691 m; (c) +0, 691 m]
([1] Problema 42, página 72)
Demonstrações: Nesta seção es-
clareça todas as considerações que
se esta usando para chegar as res-
postas.
28. Use argumentos aprendidos na disciplina para
calcular o campo elétrico em função da carga
(ou distribuição de carga) e da distância com
repeito ao material nas seguintes situações:
(a) Na região interna de um condutor esférico
carregado de raio R;
(b) Na região externa de um condutor esférico
carregado de raio R;
(c) Na região interna de uma casca esférico car-
regada de raio R;
(b) Na região externa de de uma casca esférico
carregada de raio R;
(e) Na região interna de um isolante (ou distri-
buição uniforme de cargas de raio R) esférico;
(f) Na região externa de um isolante (ou dis-
tribuição uniforme de cargas) esférico de raio
R;
29. Com base no problema anterior faça um esboço
do gráfico do módulo do campo elétrico em
função da distância ao centro das esferas (con-
dutor, casca esférica e isolante), indicando o
comportamento de E desde o centro da esfera
até uma região com r > R
30. Use a lei de Gauss para mostrar que o campo
elétrico do uma carga pontual de garga q a uma
distância radial r é dado por:
E =
1
4π�0
q
r2
31. Mostre que o módulo do campo elétrico na su-
perf́ıcie próxima a um condutor qualquer car-
regado é:
E =
σ
�0
32. Mostre que o módulo do campo elétrico de uma
placa carregada infinita é:
E =
σ
2�0
33. Mostre que o campo elétrico gerado por um
fio (ou barra) de comprimento infinito a uma
distância r do fio tem direção radial e módulo
igual a:
E =
λ
2π�0r
34. Uma esfera condutora de raio a e carga posi-
tiva 2Q esta envolvida. Uma casca condutora
com uma carga total −Q, raio interno b e raio
externo c é concêntrica com a esfera de raio a
conforme a figura.
5
(a) Encontre o campo elétrico nas regiões 1,2,3
e 4.
(b) Esboce o gráfico do módulo do campo
elétrico em função da distância com respeito
ao centro do sistema.
([5], adaptado do exemple 24.10 page 752)
35. A figura mostra uma barra condutora central
(carregada com carga q) infinita recoberta por
uma casca ciĺındrica de mesmo material e ele-
tricamente neutra. [4]
(a) Encontre o campo elétrico nas regiões 1,2,3
e 4.
(b) Esboce o gráfico do módulo do campo
elétrico em função da distância com respeito
ao centro do sistema.
36. A figura mostra uma casca esférica com uma
densidade volumétrica de cargas uniforme ρ em
C/m3 raio interno a e raio externo b. Deter-
mine o módulo do campo elétrico nas regiões
1, 2 e 3 en função da distância com respeito ao
centro.[4] [R. Em 1 E=0, em 2 E = ρ
3�0
(
r3−a3
r2
)
,
em 3 E = ρ
3�0
(
b3−a3
r2
)
]
37. (Use o problema anterior) A figura mostra uma
casca esférica com uma densidade volumétrica
de cargas uniforme ρ = 1, 84 nC/m3 raio in-
terno a = 10, 0 cm e raio externo b = 2, 00a.
Determine o módulo do campo elétrico (a) em
r = O; (b) em r = a/2, 00; (c) em r = a; (d)
em r = 1, 50a; (e) em r = b; (e) em r = 3, 00b.
[R. (a) 0; (b) 0;(c) 0; (d) 7,32 N/C; (e) 12,1
N/C; (f) 1,35 N/C. ] ([1] Problema 50, página
73)
Referências
[1] Fundamentos de F́ısica, Volume 1 : Mecânica / David Halliday, Rohen Resnick. Jearl 8a Edição.
[2] F́ısica I - Mecânica - Houg D. Young / Roger A. Freedman 12a Edição.
[3] F́ısica Simuladão - José Roberto Bonjorno / Regina Azenha Bonjorno.
[4] Gustavo Lectures on Physics, 1st Edition.
[5] Physics for Scientists and Engineers, Raymond A. Serway and John W. Jewett 6th Edition.
[6] Physics for Scientists and Engineers, Paul A. Tipler and Gene Mosca 6th Edition.
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