Distribuição Multinomial

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Disciplina: Estatística e Probabilidade 			
								
								São João da Boa Vista
Distribuição
Multinomial
 Tharik Ávila Ramos RA:131490117
Universidade Estadual Paulista
 SJBV – SP - Brasil
e-mail: tharik_ramos@hotmail,com
Introdução
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Na estatística uma distribuição de probabilidades é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. As distribuições de probabilidade podem ser separadas em discretas ou contínuas. 
As distribuições Discretas descrevem quantidades aleatórias que podem assumir valores particulares finitos, como por exemplo o numero de ocorrências por amostra ou o numero de ocorrências em uma determinada unidade de tempo. Já as Distribuições contínuas se caracterizam por representa quantidades aleatórias contínuas que podem tomar um número infinito de valores como por exemplo as medições de uma temperatura.
Distribuição Multinomial
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A Distribuição Multinomial é uma extensão da Distribuição Binomial. O experimento Binomial passa a ser Multinomial quando em cada evento ou tentativa , tivermos mais de dois possíveis resultados de interesse. Podemos citar como exemplo um evento que tem mais de três possíveis resultados, como a classificação de um produto em: normal, defeituoso ou recuperável. 
Um experimento Multinomial tem as seguintes características:
• O experimento consiste de n tentativas repetidas.
• Cada tentativa tem um número discreto resultados possíveis.
•Em qualquer tentativa dada, a probabilidade de que um particular resul-tado ocorrerá é constante.
•As tentativas são independentes
•Cada tentativa pode ter dois ou mais resultados possíveis
Função de Probabilidade
Consideremos um evento aleatório no qual cada ensaio resulta em um numero finito K de eventos E1, E2, E3, Ek... que formam uma partição do espaço amostral do experimento. Consideremos também que cada resultado possível pode ocorrer com probabilidades : P1, P2, P3 , Pk...
Então a probabilidade P que o evento E1 ocorra N1 vezes, E2 ocorra N2 vezes ,..., e Ek ocorra Nk vezes é dada pela equação:
na qual N: n1 + n2 + ... + nk
Exemplos de aplicação da Distribuição Multinomial
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Exemplo 1:
Os seguintes eventos podem ocorrer com um pacote enviado pelo correio: chegar em perfeito estado, chegar danificado ou perder-se pelo caminho. As probabilidades desses eventos são, respectivamente 0.7, 0.2 e 0.1. Foram enviados recentemente 10 pacotes pelo correio. Qual a probabilidade de 6 chegarem corretamente ao destino, 2serem perdidos e os outros 2 avariados?
Solução
Primeiramente deve-se definir quais são as variáveis aleatórias do problema
E1: número de pacotes que chegaram corretamente e sem danos (6)
E2: número de pacotes que chegaram avariados (2)
E3 :número de pacotes que se perderam pelo caminho (2)
Então , ,logo a probabilidade será 
	
	
 
Exemplo 2
Na inspeção de qualidade de um produto são utilizadas quatro categorias para classificação: conforme, aproveitável, reciclável e refugado. As probabilidades de pertencer a cada um dos grupos são, respectivamente: p1 = 0,70 , p2 = 0,15 , p3 = 0,10 e p4= 0,05. Em um lote de 10 unidades, qual a probabilidade de se encontrar seis unidades conformes, duas aproveitáveis, uma reciclável e uma refugada ? 
Solução
E1= 6 unidades conformes
E2= 2 unidades aproveitáveis
E3= 1unidade reciclável
E4= 1 unidade refugada
 = 0,0334
Exemplo 3
Uma fábrica de lâmpadas coloridas produz 50% de lâmpadas verdes, 20% de lâmpadas azuis e 30% de lâmpadas amarelas. Qual é a probabilidade, que de 8 lâmpadas selecionadas, 4 sejam verde, 2sejam azuis e duas sejam amarelas ?
Solução:
Momentos
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O valor esperado ( é dado por:
	
Na qual  Pi ≥ 0  para  i=1, ... e 
A Variância () é dada por :
(Xi)=n.Pi(1-Pi)
Na qual  Pi ≥ 0  para  i=1, ... e 
	
Referências Bibliográficas 
Notas de Aulas Professor Inácio Andruski Guimarães- UFTPR
DEVORE, Jay Le ;Probabilidade e estatística para engenharia e ciências 7ª Edição
MORETTIN, Luiz Gonzaga; Estatística Básica Volume 1, 9ªEdição
Sites
http://www.portalaction.com.br/content/55distribui%C3%A7%C3%A3o-multinomial
http://www.bertolo.pro.br/FinEst/Estatistica/DistribuicaoDiscreta.pdf
http://mathworld.wolfram.com/MultinomialDistribution.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_distribution