matfin 3 juros simples

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BRUNI
Capítulo
Juros Simples
Matemática Financeira
Adriano Leal Bruni
albruni@minhasaulas.com.br
BRUNI
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BRUNI
Três objetivos do capítulo
Entender operações com juros simples
Saber usar a proporcionalidade de taxas
Compreender as operações com equivalência de capitais
BRUNI
Conceito de juros simples
Juros sempre incidem sobre o VALOR PRESENTE
BRUNI
Preste atenção!!!
Empréstimo
Valor atual na data zero igual a $100,00
Taxa igual a 10% a.p.
Considere juros simples
BRUNI
Juros simples
0
-
100,00
VF=VP
1
10,00
110,00
VF=VP + i.VP
10% x $100
2
10,00
120,00
VF=VP + i.VP + i.VP
10% x $100
n
i.VP
VF
VF=VP (1+ i.n)
Juros simples sempre
incidem sobre valor presente
BRUNI
Fórmula dos juros simples
VF=VP (1+ i.n)
Devem estar
em uma mesma
base!!!
Como a taxa é sagrada,
ajusta-se o valor de n
BRUNI
Abreviaturas nas taxas 
BRUNI
Cuidado com os anos
ano civil ou exato
formado por 365 dias;
ano comercial
formado por 360 dias.
BRUNI
Exemplo A
Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resgate?
VF
-500
8 meses
0
i = 5% a.m.
VF = VP (1+in)
VF = 500 (1+0,05 x 8)
VF = 700
BRUNI
Características dos juros simples
Valor uniforme dos juros períodicos
Valor futuro cresce linearmente
Capitalização Linear
BRUNI
Exercícios de …
Sala!
BRUNI
Exemplo B
Sabina precisará de $1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am 
1.200,00
-VP
10 meses
0
i = 5% a.m.
VF = VP (1+in)
1200 = VP (1+0,05 x 10)
VP = 800
BRUNI
Exemplo C
Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente na operação?
10.400,00
-8000
6 meses
0
i = ?
VF = VP (1+in)
10400 = 8000 (1+i x 6)
i = 5%
BRUNI
Exemplo D
A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? 
11.700,00
-9000
n=?
0
i = 6% a.m.
VF = VP (1+in)
11700 = 9000 (1+0,06 x n)
n = 5
BRUNI
Importante!!!
Taxas são sagradas!!!
BRUNI
Exemplo E
Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 por 24 meses a 8% a.a.
Taxa anual !!!
n em anos
X
24 meses = 2 anos
2 anos
BRUNI
Alterando o prazo …
VF=VP (1+ i.n)
VF=500 (1+ 0,08.2)
VF=$580,00
BRUNI
Descontando em …
Juros simples por dentro
BRUNI
Desconto Racional Simples 
Aplicar a fórmula dos juros simples para calcular o valor presente
Descontar significa extrair os juros do valor futuro para obter o valor presente
Cuidado!!! Depois veremos o desconto COMERCIAL
BRUNI
Da fórmula dos juros simples
VF = VP (1 + i.n)
Como se deseja obter VP
(1+in)
BRUNI
Exemplo F
Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o desconto?
VP
0
2
-$4.400,00
Valor Presente
Juros
VP = VF/ (1+i.n)
VP = 4400/(1+0,05.2)
VP = 4000
D = 4400-4000
D = 400
Valor Futuro
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Taxa efetiva
É aquela que incide sobre o valor presente no processo de capitalização. 
BRUNI
Exemplo G
Ao antecipar em 30 dias o recebimento de uma conta a receber no valor de $15.000,00, a Cia Cava Cava S. A. sofreu um desconto igual a 1/3 (33,3333%) do valor nominal. Calcule a taxa efetiva mensal da operação.
Taxa por fora = 33,3333%
BRUNI
Taxa efetiva no DFC!
$10.000,00
0
1
-$15.000,00 
Desconto = 1/3 de $15.000,00
Desconto = $5.000,00
Por fora =33,3333%
Por dentro =50%
VF = VP (1+i.n)
15000 = 10000 (1+i.1)
i = 50% a.m.
BRUNI
Equivalência de Capitais
“Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais”.
BRUNI
Constatação importante …
Dinheiro tem custo no tempo!!!
Deve ser somado apenas em mesma data!
BRUNI
A operação de equivalência
-4.000,00
1.000,00
1.000,00
2.000,00
X?
BRUNI
Exemplo H
Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.
Pagará uma entrada de $8.000,00
Pagará $14.000,00 em 30 dias
Pagará X em 60 dias
Taxa simples igual a 3% a.m.
Calcule o valor de X
$30.000,00
-$8.000,00
-$14.000,00
-X
Use a data focal 60 dias
0
30
60 dias
BRUNI
Taxa simples igual a 3% a.m.
$30.000,00
-$8.000,00
-$14.000,00
-X
$22.000,00
$23.320,00
$14.420,00
$8.900,00
Capitalizando $22.000,00
VF = VP (1+in)
VF = 22000 (1+0,03.2)
VF = $23.320,00
Capitalizando $14.000,00
VF = VP (1+in)
VF = 14000 (1+0,03.1)
VF = $14.420,00
0
1
2 meses
BRUNI
Exemplo I
Uma loja anuncia um microondas a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros simples, iguais a 4%, calcule o valor de X.
Use a data focal zero
BRUNI
Resolução …
-X
-X
$500,00
0
1
2
i = 4% a.m. (JS)
Descapitalizando X1
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = X / (1+0,04.1)
VP = 0,9615.X
Descapitalizando X2
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = X / (1+0,04.2)
VP = 0,9259.X
Como a soma a valor presente é igual a $500,00,
500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X 
X = 500/1,8874 = $264,91 
$264,91 
$264,91 
BRUNI
Exemplo J
Um refrigerador é vendido à vista por $ 1.800,00 ou então a prazo mediante $800,00 de entrada e mais uma parcela de $ 1.150,00 após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? 
BRUNI
Solução do Exemplo J
$1.800,00
0
3
-$800,00 
-$1.150,00 
$1.000,00
0
3
-$1.150,00 
VF = VP (1+in)
1150 = 1000 (1+i.3)
i = [(1150/1000) – 1] / 3)
i = 5%
BRUNI
Exemplo K
Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juro simples, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? 
Use a data focal zero
BRUNI
DFC e cálculos do Exemplo K
0
3
X
+$15.000,00 
8
+$20.000,00 
Descapitalizando X1
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = 15000 / (1+0,04.3)
VP = 13.392,86
Descapitalizando X2
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = 20000 / (1+0,04.8)
VP = 15.151,52
Soma = 13.392,86 + 15.151,52 = $28.544,38
BRUNI
Proporcionalidade de taxas
Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples são proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. 
BRUNI
Fórmula da equivalência
ia = ib.(nb/na)
Em juros simples, vale usar regra de três!!!
Em juros simples!!!
BRUNI
Exemplo L
I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês.
II. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio.
BRUNI
Solução do Exemplo L
I. 
3% a.m. = [__] % a.s.
1 semestre = 6 meses
3% x 6 = 18% a.s.
3% a.m. = [__] % a.a.
1 ano = 12 meses
3% x 12 = 36% a.a.
BRUNI
Solução do Exemplo L
II. Cálculo de taxas mensais
a) 1 semestre
= 6 meses
90% a.s. ÷ 6 = 15% a.m.
b) 1 ano = 12 meses
220,8% a.a. ÷ 12 = 18,4% a.m.
c) 1 biênio = 24 meses
96% ÷ 24 = 4% a.m.
BRUNI
Três resultados do capítulo
Entendemos operações com juros simples
Sabemos usar a proporcionalidade de taxas
Compreendemos as operações com equivalência de capitais
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