Séries Temporais power point

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SÉRIES TEMPORAIS
CAP. 21
INTRODUÇÃO:
1
Métodos:
i) Método de Domínio de Frequência (análise espectral)
ii) Método de Domínio de Tempo
Baseia-se na modelagem direta das relações defasadas entre uma série e seu passado
 𝑌 = f 𝑌𝑡−𝑠 ∴ 𝑠 = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑎𝑠𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠
Obs.: Uma série temporal é uma sequência de dados numéricos na qual cada informação é associada a
um instante particular do tempo Variável aleatória (?)
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CAP. 21
Conceitos Básicos:
i) Processo estocástico:
É um conjunto de variáveis aleatórias ordenadas no tempo
Ex.: 𝑃1 = 0,50 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎)
𝑃2 = 0,70 ⇒ 𝑃2= 0,50 + 0,20 ⇒ 𝑃2= 𝑃1+∈2
𝑃3 = 0,60 ⇒ 𝑃3= 0,50 + 0,20 − 0,10 ⇒ 𝑃3= 𝑃2+∈3 ⇒ 𝑃3= 𝑃1+∈2 +∈3
∴ ∈ é 𝑢𝑚 𝑐ℎ𝑜𝑞𝑢𝑒
ii) Processo estocástico puramente aleatório:
➢ 𝐸 ∈𝑡 = 0 ∀ 𝑡
➢ 𝑣𝑎𝑟 ∈𝑡 = 𝜎
2
➢ 𝑐𝑜𝑣 ∈𝑖 , ∈𝑗 = 0
➢ ∈𝑡 ~IIN[0, 𝜎
2]
Processo ruído branco
Estritamente ruído branco
= Processo fracamente estacionário
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Conceitos Básicos:
i) Processo estocástico estacionário:
➢ 𝐸 𝑌𝑡 = 𝜇 ∀ 𝑡
➢ 𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜎
2
➢ 𝑐𝑜𝑣 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−𝑠 = 0 ∴ 𝑠 ≠ 0
Estacionaridade fraca 
= Processo fracamente estacionário
= Processo estacionário em covariâncias
𝑌89 = 0,5𝑌88 + ∈89
Ex. Suponha uma série que tenha o seguinte comportamento: 𝑌 = 0,5 𝑌𝑡−1+ ∈𝑡 .
Considere: 𝑌1989 = 0 e a ocorrência de um choque positivo ∈1990= 20
⇒ 0,5 0 + 0 = 0
𝑌90 = 0,5𝑌89 + ∈90 ⇒ 0,5 0 + 20 = 20
𝑌91 = 0,5𝑌90 + ∈91 ⇒ 0,5 20 + 0 = 10
𝑌92 = 0,5𝑌91 + ∈92 ⇒ 0,5 10 + 0 = 5 Y tende ao seu valor histórico.
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Conceitos Básicos:
i) Processo estocástico não-estacionário:
➢ 𝐸 𝑌𝑡 ≠ 𝐸 𝑌𝑡−1 ≠ ⋯ ≠ 𝐸 𝑌𝑡−𝑠 𝑒/𝑜𝑢
𝑌1 = 𝑌0 + ∈1
Ex. Suponha que um processo começou em t = 0, com um valor de partida (𝑌0), e supondo que a
cada período ocorra um choque ∈𝑡= 0,5
Considere: 𝑌1989 = 0 e a ocorrência de um choque positivo ∈1990= 20
⇒ 0+ 0,5 = 0,5
𝑌2 = 𝑌1 + ∈2 ⇒ 0+ 0,5 + 0,5 = 1,0
➢ 𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑡 ≠ 𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑡−1 ≠ ⋯ ≠ 𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑡−𝑠
⇒ 𝑌0 + ∈1 + ∈2
𝑌3 = 𝑌2 + ∈3 ⇒ 0+ 0,5 + 0,5 + 0,5 = 1,5⇒ 𝑌0 + ∈1 + ∈2+ ∈3
𝑌𝑡 = 𝑌0 +෍ ∈𝑡 ∴ 𝑡 = 3 ⇒ 𝑡 ∈𝑡 = 3 𝑥 0,5 = 1,5 Y diverge de seu valor histórico
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𝐸(𝑌𝑡) = 𝐸(𝑌0 +෍ ∈𝑡) = 𝑌0
i) Média:
𝑣𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝐸[𝑌𝑡 − 𝐸(𝑌𝑡)]
2
ii) Variância:
= 𝐸[𝑌0 +෍ ∈𝑡 − 𝑌0 ]
2
= 𝑡𝐸(∈𝑡)
2
= 𝑡𝜎2
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Tipos de processos estocásticos não-estacionários:
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2T + 𝛽3𝑌𝑡−1+ ∈𝑡
(1) Passeio aleatório (Método ingênuo de previsão):
Considere o modelo:
𝛽1 = Parâmetro de deslocamento
∴ 𝑇 = Tempo = Componente de tendência
𝑌𝑡−1 = Componente auto-regressivo
∈𝑡 = Componente do erro
(𝛽1= 𝛽2 = 0 𝑒 𝛽3 = 1)
𝒀𝒕 = 𝒀𝒕−𝟏 + ∈𝒕  Processo passeio aleatório puro
Passeio aleatório sem deslocamento
➢ 𝑌𝑡 é uma série não estacionária em nível, porém é estacionária em suas primeiras diferenças
𝒀𝒕 − 𝒀𝒕−𝟏 = ∈𝒕  ∆𝒀𝒕 = ∈𝒕 ∴ ∆ = 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎𝑠
Média: 𝐸(∆𝑌𝑡) = 𝐸( ∈𝑡) = 0 Variância: 𝑣𝑎𝑟(∆𝑌𝑡) = 𝐸[∈𝑡 − 𝐸(∈𝑡)]
2 = 𝜎2
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Tipos de processos estocásticos não-estacionários:
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2T + 𝛽3𝑌𝑡−1+ ∈𝑡
(1) Passeio aleatório com deslocamento:
Considere o modelo:
𝛽1 = Parâmetro de deslocamento
∴ 𝑇 = Tempo = Componente de tendência
𝑌𝑡−1 = Componente auto-regressivo
∈𝑡 = Componente do erro
(𝛽1 ≠ 0, 𝛽2 = 0 𝑒 𝛽3 = 1)
𝒀𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝒀𝒕−𝟏 + ∈𝒕 Obs.: O sentido de 𝐘𝐭 vai depender do sinal de 𝛽1
Fazendo:
∴ 𝑌0 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝒀𝟏 = 𝜷𝟏 + 𝒀𝟎 + ∈𝟏
⇒ 𝛽1 + 𝛽1 + 𝑌0 + ∈1 + ∈2𝒀𝟐 = 𝜷𝟏 + 𝒀𝟏 + ∈𝟐
𝒀𝟑 = 𝜷𝟏 + 𝒀𝟐 + ∈𝟑 ⇒ 𝛽1 + 𝛽1 + 𝛽1 + 𝑌0 + ∈1 + ∈2 + ∈3 ⇒ ෍𝛽1 + 𝑌0 +෍ ∈𝑡 ⇒ 𝑡𝛽1 + 𝑌0 + 𝑡 ∈𝑡
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Tipos de processos estocásticos não-estacionários:
(2) Passeio aleatório com deslocamento:
𝒀𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝒀𝒕−𝟏 + ∈𝒕
Logo, a média e a variância de um passeio aleatório com deslocamento são:
𝐸(𝑌𝑡) = 𝐸[σ𝛽1 + 𝑌0 + σ ∈𝑡]
i) Média:
ii) Variância:
𝑣𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝑡𝜎
2
⇒ ෍𝛽1 + 𝑌0 +෍ ∈𝑡 ⇒ 𝑡𝛽1 + 𝑌0 + 𝑡 ∈𝑡
= 𝑡𝛽1 + 𝑌0
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CAP. 21
𝒀𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝒀𝒕−𝟏 + ∈𝒕
Logo, a média e a variância de um passeio aleatório com deslocamento são:
𝐸(∆𝑌𝑡) = 𝐸[𝜷𝟏 + ∈𝒕]
i) Média:
ii) Variância:
𝑣𝑎𝑟(∆𝑌𝑡) = 𝐸[∆𝑌𝑡 − 𝐸(∆𝑌𝑡)]
2
= 𝛽1
➢ Um passeio aleatório com deslocamento é não estacionária em nível, porém é estacionária em suas
primeiras diferenças
𝒀𝒕− 𝒀𝒕−𝟏= 𝜷𝟏 + ∈𝒕 ⇒ ∆𝒀𝒕 = 𝜷𝟏 + ∈𝒕 𝑻𝒆𝒏𝒅ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒐𝒄á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂
= 𝐸[𝛽1 + ∈𝑡 −𝛽1)]
2 = 𝐸(∈𝑡)
2 = 𝜎2
Y exibirá uma tendência positiva (𝛽1 > 0) ou
negativa (𝛽1 < 0), o que depende do erro
➢ Um passeio aleatório com deslocamento é não estacionária em nível, porém é estacionária em suas
primeiras diferenças
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Tipos de processos estocásticos não-estacionários:
(3) Tendência determinísticas:
𝐸(𝑌𝑡) = 𝛽1 + 𝛽2T
i) Média:
ii) Variância:
𝑣𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝜎
2
(𝛽1 ≠ 0, 𝛽2 ≠ 0 𝑒 𝛽3 = 0)
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2T + ∈𝑡  Y é não estacionária na média, mas é estacionária na variância.
 Conhecidos 𝛽1 e 𝛽2, a média será prevista com perfeição .
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Tipos de processos estocásticos não-estacionários:
Obs.:
Tendência determinísticas: os desvios em torno de uma linha de tendência (que representa a média
não estacionária) são puramente aleatório e diminuem rapidamente, eles não contribuem para o
desenvolvimento de longo prazo da série, que é determinado pelo componente de tendência.
➢ Um processo com tendência determinística é um processo estacionário em tendência (isto é, é
estacionário pós remoção de tendência.
Tendência estocástica: O componente aleatório ∈𝒕 afeta o curso de longo prazo da série Y
𝑌𝑡 − 𝐸(𝑌𝑡) = ∈𝑡 Logo: 𝐸 𝑦𝑡 = 0
𝑣𝑎𝑟 𝑦𝑡 = 𝜎
2
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Tipos de processos estocásticos não-estacionários:
(4) Passeio Aleatório com Deslocamento e com Tendência Determinísticas:
𝐸(𝑌𝑡) = 𝛽1 + 𝛽2T + 𝑌𝑡−1
i) Média:
ii) Variância:
𝑣𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝐸[ 𝑌𝑡−1 −𝐸 𝑌𝑡 ]
2
(𝛽1 ≠ 0, 𝛽2 ≠ 0 𝑒 𝛽3 = 1)
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2T + 𝑌𝑡−1+ ∈𝑡  Y é não estacionária na média e na variância.
𝑣𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝐸[𝛽1 + 𝛽2T + 𝛽3𝑌𝑡−1 + 𝑡 ∈𝑡− 𝛽1 + 𝛽2T + 𝑌𝑡−1]
2
𝑣𝑎𝑟(𝑌𝑡) = 𝑡σ
2
O𝑏𝑠. : ∆𝑌𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝛽1 + 𝛽2T  𝑌𝑡 também é não-estacionário em diferenças.
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Tipos de processos estocásticos não-estacionários:
(5) Tendência Determinísticas com Componente Auto-regressivo AR(1) Estacionário:
𝑌𝑡 − 𝐸(𝑌𝑡) = ∈𝑡
i) Média e Variância:
Conclusão: As séries com tendência determinística não-estacionárias dos exemplos passaram aser
estacionárias pós-remoção de tendência (remoção da média)
(𝛽1 ≠ 0, 𝛽2 ≠ 0 𝑒 𝛽3 < 1)
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2T + 𝛽3𝑌𝑡−1+ ∈𝑡  Y é não estacionária na média e na variância. Porém, se
subtrairmos 𝐸(𝑌𝑡), a série resultante será estacionária.
Onde: 𝐸 𝑦𝑡 = 0 e 𝑣𝑎𝑟 𝑦𝑡 = 𝜎
2
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Teste de Estacionaridade:
(1) Análise Gráfica:
 2500
 3000
 3500
 4000
 4500
 5000
 1970 1975 1980 1985 1990
PI
B
PIB efetivo e ajustado
efetivo
ajustado
(2) Função de Autocorrelação ou FAC (𝝆𝒌):
ො𝜌𝑘 =
ො𝛾𝑘
ො𝛾0
=
σ 𝑌𝑡 − ത𝑌)(𝑌𝑡+𝑘 − ത𝑌
𝑛
σ 𝑌𝑡 − ത𝑌
𝑛
∴ −1 ≤ ො𝜌𝑘 ≤ 1
Em que:
K = nº de defasagens
n = tamanho da amostra
ത𝑌 = média de Y
➢ Como descobrir que uma série é não-estacionária?
➢ Se for não-estacionária, como torná-la estacionária?
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Teste de Estacionaridade:
(3) Significância Estatística dos Coeficientes de autocorrelação (AC):
➢ Significância Parcial de AC: Estatística t
ቇ𝑡 ෝ𝜌𝑘 =
ො𝜌𝑘
)𝑒𝑝( ො𝜌𝑘
∴ 𝑒𝑝 ො𝜌𝑘 = ൗ
1
𝑛 ො𝜌𝑘~(0, ൗ
1
𝑛
Em que: H0: 𝜌𝑘 = 0
Ha: 𝜌𝑘 ≠ 0
𝑄 = 𝑛෍
𝑘=1
𝑚
ො𝜌𝑘
2 ∴ 𝑚 = 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑎𝑠𝑎𝑔𝑒𝑚; 𝑄 ~𝜒2 ; 𝑔𝑙 = 𝑚 (𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑠)
Em que: H0: 𝜌1 = 𝜌2 = 𝜌𝑘 = 0
Ha: 𝜌1 ≠ 𝜌2 ≠ 𝜌𝑘 ≠ 0
➢ Significância Conjunta de AC: Estatística Q (Box e Pierce)
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Teste de Estacionaridade:
(3) Significância Estatística dos Coeficientes de autocorrelação (AC):
➢ Significância Conjunta de AC:
𝐿𝐵 = 𝑛 𝑛 + 2 ෍
𝑘=1
𝑚
ො𝜌𝑘
𝑛 − 𝑘
~ 𝜒2 𝑚 (𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑎𝑠𝑎𝑔𝑒𝑚)
Em que: H0: σ ො𝜌𝑘
2 = 0
Em pequenas amostras, o ideal é usar a estatística LB (Ljung e Box):
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Teste de Estacionaridade:
(4) Correlograma:
Função de autocorrelação para PIB
***, **, * indicam significância aos níveis de 1%, 5% e 10%
usando erro padrão 1/T^0,5
Defas. FAC FACP Estat. Q [p-valor]
1 0,9685 *** 0,9685 *** 85,3853 [0,000]
2 0,9356 *** -0,0375 166,0018 [0,000]
3 0,9015 *** -0,0364 241,7311 [0,000]
4 0,8657 *** -0,0456 312,3887 [0,000]
5 0,8295 *** -0,0233 378,0440 [0,000]
6 0,7907 *** -0,0603 438,4339 [0,000]
7 0,7512 *** -0,0319 493,6096 [0,000]
8 0,7116 *** -0,0222 543,7371 [0,000]
9 0,6737 *** 0,0082 589,2436 [0,000]
10 0,6369 *** -0,0069 630,4275 [0,000]
11 0,6002 *** -0,0195 667,4773 [0,000]
12 0,5642 *** -0,0122 700,6507 [0,000]
13 0,5309 *** 0,0189 730,4137 [0,000]
14 0,4986 *** -0,0088 757,0250 [0,000]
15 0,4664 *** -0,0259 780,6248 [0,000]
16 0,4356 *** -0,0016 801,4984 [0,000]
17 0,4039 *** -0,0394 819,6933 [0,000]
-1
-0,5
 0
 0,5
 1
 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
defasagem
FAC para PIB
+- 1,96/T^0,5
-1
-0,5
 0
 0,5
 1
 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
defasagem
FACP para PIB
+- 1,96/T^0,5
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Teste de Estacionaridade:
(5) Raiz Unitária:
Em que:
𝜌 = 1 ⇒ Omodelo possui uma raiz unitária (𝑖. 𝑒, é 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑎 𝑜𝑢 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑒𝑖𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜)
𝑌𝑡 = 𝜌𝑌𝑡−1+ ∈𝑡
𝜌 < 1 ⇒ 𝜖𝑡~IIDN 0,1 , logo 𝜖𝑡 é ruído branco e a série 𝑌𝑡 é estacionária.
Assim: 𝐸 𝑌𝑡 = 0 𝑒
= 𝜌2𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑡 + 1𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝑣𝑎𝑟 𝜌𝑌𝑡−1 + 𝑣𝑎𝑟 ∈𝑡
𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑡 − 𝜌
2𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 1
(1 − 𝜌2)𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 1  𝑣𝑎𝑟 𝑌𝑡 = ൗ
1
1−𝜌2
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Teste de Estacionaridade:
(5) Raiz Unitária:
𝑌𝑡 = 𝜌𝑌𝑡−1+ ∈𝑡
Estimação do Modelo Usando a Variável PIB (EUA) 
 
Modelo 20: Cochrane-Orcutt, usando as observações 1970:3-1991:4 (T = 86) 
Variável dependente: PIB 
rho = 0,232959 
 
 Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor 
PIB_1 1,00583 0,00137878 729,5096 <0,0001 *** 
 
Estatísticas baseadas nos dados rô-diferenciados: 
Média var. dependente 3887,258 D.P. var. dependente 616,7049 
Soma resíd. quadrados 124107,4 E.P. da regressão 38,21109 
R-quadrado 0,996220 R-quadrado ajustado 0,996220 
F(1, 85) 538520,8 P-valor(F) 2,3e-163 
rô −0,017174 h de Durbin −0,159281 
 
Série do PIB dos EUA – Tabela 21.1 (Gujarati)
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Teste de Estacionaridade:
(5.1) Raiz Unitária – Teste de Dickey-Fuller(DF):
𝑌𝑡 = 𝜌𝑌𝑡−1+ ∈𝑡 subtraindo 𝑌𝑡−1 de ambos os lados da equação:
 Δ𝑌𝑡 = 𝜌 − 1 𝑌𝑡−1+ ∈𝑡 ∴ Δ é o operador das primeiras diferenças
(i) Modelo 1: Δ𝑌𝑡 = 𝛿𝑌𝑡−1+ ∈𝑡 ∴ 𝛿 = 𝜌 − 1
(ii) Modelo 2: : Δ𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛿𝑌𝑡−1+ ∈𝑡
(iii) Modelo 3: Δ𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑇 + 𝛿𝑌𝑡−1+ ∈𝑡
(iv) Estima 𝛿 por MQO
(v) Usando a distribuição assintótica 𝜏 𝑡𝑎𝑢 , da estatística de DF: Testa H0: 𝛿 = 0 contra Ha: 𝛿 ≠ 0
 𝑌𝑡 é 𝑢𝑚 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑧𝑒𝑟𝑜;
 É𝑢𝑚 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑐𝑜𝑚 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟;
 É 𝑢𝑚 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑑ê𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝜌𝑌𝑡−1 − 𝑌𝑡−1+ ∈𝑡
 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑣 ∈𝑖∈𝑗 = 0
Obs: δ = 𝜌 − 1 Como −1 ≤ 𝜌 ≤ 1 então 𝜌 = 1  δ = 0 e 𝜌 < 1  δ ≠ 0 
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Teste de Estacionaridade:
(5.1) Raiz Unitária – Teste de Dickey-Fuller Aumentado (pressupõe 𝑐𝑜𝑣 ∈𝑖∈𝑗 ≠ 0) :
(i) Modelo 1: ∆𝑌𝑡 = 𝛿𝑌𝑡−1 + σ𝑖=1
𝑚 𝛼𝑖∆𝑌𝑡−𝑖+∈𝑖
(ii) Modelo 2: :∆𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛿𝑌𝑡−1 + σ𝑖=1
𝑚 𝛼𝑖∆𝑌𝑡−𝑖+∈𝑖
(iii) Modelo 3:∆𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑇 + 𝛿𝑌𝑡−1 + σ𝑖=1
𝑚 𝛼𝑖∆𝑌𝑡−𝑖+∈𝑖 ∴ ∈𝑖 é 𝑢𝑚 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑟𝑢í𝑑𝑜 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑜
(iv) Estima 𝛿 e testa sua significância usando a mesma distribuição de DF
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Teste de Estacionaridade:
(5.1) Raiz Unitária – Teste de Dickey-Fuller Aumentado:
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para PIB
incluindo 1 defasagem de (1-L)PIB
(o máximo foi 11, critério AIC)
dimensão de amostragem 86
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
teste com constante 
modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
valor estimado de (a - 1): -0,00311976
estatística de teste: tau_c(1) = -0,462459
p-valor assintótico 0,896
coeficiente de 1ª ordem para e: -0,017
com constante e tendência 
modelo: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + ... + e
valor estimado de (a - 1): -0,0862796
estatística de teste: tau_ct(1) = -2,18766
p-valor assintótico 0,496
coeficiente de 1ª ordem para e: -0,037
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para d_PIB
incluindo 0 defasagens de (1-L)d_PIB
(o máximo foi 11, critério AIC)
dimensão de amostragem 86
hipótese nula de raiz unitária: a = 1
teste com constante 
modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + e
valor estimado de (a - 1): -0,77477
estatística de teste: tau_c(1) = -7,31573
p-valor 4,941e-008
coeficiente de 1ª ordem para e: -0,016
com constante e tendência 
modelo: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + e
valor estimado de (a - 1): -0,774803
estatísticade teste: tau_ct(1) = -7,27281
p-valor 8,487e-008
coeficiente de 1ª ordem para e: -0,016
Teste DF aumentado para a Variável PIB (EUA)
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Integração e Co-Integração
Processo Estocástico Integrado
Propriedades de Séries Integradas
Se 𝑌𝑡 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑 ⇒ 𝑌𝑡 ~ 𝐼(𝑑)
Sejam Xt, Yt e Zt, três séries temporais:
(1) 𝑆𝑒 𝑋𝑡 ~ 𝐼 0 𝑒 𝑌𝑡 ~ 𝐼 1 ⇒ 𝑍𝑡 = 𝑋𝑡 + 𝑌𝑡 = 𝐼(1)
(2) 𝑆𝑒 𝑋𝑡 ~ 𝐼 𝑑 ⇒ 𝑍𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑋𝑡 = 𝐼(𝑑)
(3) 𝑆𝑒 𝑋𝑡 ~ 𝐼 𝑑1 𝑒 𝑌𝑡 ~ 𝐼 𝑑2 ⇒ 𝑍𝑡 = 𝑎𝑋𝑡 + 𝑏𝑌𝑡 ~ 𝐼 𝑑2 ∴ 𝑑1 > 𝑑2
(4) 𝑆𝑒 𝑋𝑡 ~ 𝐼 𝑑 𝑒 𝑌𝑡 ~ 𝐼 𝑑 ⇒ 𝑍𝑡 = 𝑎𝑋𝑡 + 𝑏𝑌𝑡 ~ 𝐼 𝑑
∗ ∴ 𝑑∗ = 𝑑 𝑜𝑢 𝑑∗ < 𝑑
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Regressão Espúria:
Estimação do Modelo Dividendos X Renda Pessoal Disponível (RPB) - EUA
Modelo 15: MQO, usando as observações 1970:1-1991:4 (T = 88) 
Variável dependente: Dividendos 
 Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor 
const −151,787 4,65855 −32,5824 <0,0001 *** 
RPB 0,0788897 0,00164031 48,0943 <0,0001 *** 
 
Média var. dependente 69,11364 D.P. var. dependente 38,34315 
Soma resíd. quadrados 4585,129 E.P. da regressão 7,301743 
R-quadrado 0,964153 R-quadrado ajustado 0,963736 
F(1, 86) 2313,063 P-valor(F) 6,06e-64 
Log da verossimilhança −298,8090 Critério de Akaike 601,6180 
Critério de Schwarz 606,5727 Critério Hannan-Quinn 603,6141 
rô 0,901240 Durbin-Watson 0,135735 
 
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Integração e Co-Integração
Processos Estocásticos Co-Integrado
Sejam Xt, e Yt duas séries temporais:
(1) 𝑆𝑒 𝑋𝑡 ~ 𝐼 1 𝑒 𝑌𝑡 ~ 𝐼 1
(2) 𝑆𝑒 𝑌𝑡= 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 𝑐𝑜𝑚 ො𝑢𝑡 ~ 𝐼 0
⇒ Xt, e Yt têm integração de mesma ordem
Logo, se:
⇒ 𝐴 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 é 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
Assim: 𝑌𝑡= 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 é 𝑢𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑐𝑜 − 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
෢𝛽2 = parâmetro co-integrante = mede o efeito de longo prazo ou de 
equilíbrio.
Universidade Federal de Sergipe UFS/DEE Econometria Profa. Heliana Quintino
SÉRIES TEMPORAIS
CAP. 21
Correlograma dos Resíduos do Modelo (Dividendos X RPB) 
 
 
Função de autocorrelação dos resíduos 
***, **, * indicam significância aos níveis de 1%, 5% e 10% 
usando erro padrão 1/T^0,5 
 
 Defas. FAC FACP Estat. Q [p-valor] 
 
 1 0,8799 *** 0,8799 *** 70,4774 [0,000] 
 2 0,7382 *** -0,1592 120,6663 [0,000] 
 3 0,5990 *** -0,0630 154,0986 [0,000] 
 4 0,4525 *** -0,1230 173,4009 [0,000] 
 5 0,3369 *** 0,0480 184,2318 [0,000] 
 6 0,2668 ** 0,0981 191,1092 [0,000] 
 7 0,2236 ** 0,0346 195,9992 [0,000] 
 8 0,1943 * -0,0104 199,7383 [0,000] 
 9 0,1668 -0,0452 202,5275 [0,000] 
 10 0,1357 -0,0300 204,3970 [0,000] 
 11 0,0942 -0,0462 205,3106 [0,000] 
 12 0,0746 0,0999 205,8901 [0,000] 
 13 0,0493 -0,0537 206,1463 [0,000] 
 14 0,0208 -0,0343 206,1925 [0,000] 
 15 -0,0029 -0,0341 206,1934 [0,000] 
 16 -0,0013 0,0998 206,1936 [0,000] 
 17 -0,0009 -0,0147 206,1936 [0,000] 
-1
-0,5
 0
 0,5
 1
 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
defasagem
FAC dos Resíduos
+- 1,96/T^0,5
-1
-0,5
 0
 0,5
 1
 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
defasagem
FACP dos Resíduos
+- 1,96/T^0,5
Universidade Federal de Sergipe UFS/DEE Econometria Profa. Heliana Quintino
SÉRIES TEMPORAIS
CAP. 21
Teste de Estacionaridade dos Resíduos do Modelo de Dividendos X RPB:
Teste de Raiz Unitária – Teste de Dickey-Fuller Aumentado:
 
Teste Aumentado de Dickey-Fuller para uhat15 
incluindo 1 defasagem de (1-L)uhat15 
(o máximo foi 11, critério AIC) 
dimensão de amostragem 86 
hipótese nula de raiz unitária: a = 1 
 
 teste com constante 
 modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e 
 valor estimado de (a - 1): -0,106768 
 estatística de teste: tau_c(1) = -2,68704 
 p-valor assintótico 0,07623 
 coeficiente de 1ª ordem para e: -0,022 
 
 com constante e tendência 
 modelo: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + ... + e 
 valor estimado de (a - 1): -0,108061 
 estatística de teste: tau_ct(1) = -2,74397 
 p-valor assintótico 0,2187 
 coeficiente de 1ª ordem para e: -0,012 
 
Universidade Federal de Sergipe UFS/DEE Econometria Profa. Heliana Quintino