Notas de Aula EC II 2009 3 V01

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Notas de Aula
Elementos de Cálculo II 2009/03
Prof. Sandro Rodrigues Mazorche
Departamento de Matemática - UFJF
Índice
1 APLICAÇÕES DA DERIVADA 3
1.1 Equações de retas tangentes e normais . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Derivação Implícita e Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Derivada de uma Função na Forma Implícita . . . . . . . . . . 10
1.5 Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Intervalos de crescimento e decrescimento de funções . . . . . 16
1.8 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.11 Concavidade e Pontos de Inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.12 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 INTEGRAIS 34
2.1 Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Integral indefinida de funções usuais e propriedades. . . . . . . 36
2.3 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Substituição de variável. Integração por partes . . . . . . . . . 40
2.5 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Integral Definida. Teorema Fundamental do Cálculo. Área de
regiões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 56
3.1 Definição de funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Derivadas parciais. Diferencial total. Derivadas de ordem su-
perior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5 Máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Máximos
e mínimos condicionais. Otimização condicional e não condi-
cional com restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.7 Integrais múltiplas: definição e cálculo . . . . . . . . . . . . . 93
3.8 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1 APLICAÇÕES DA DERIVADA
O Cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estu-
dar as taxas de variação é um método conhecimento como derivação. Nesta
seção, vamos descrever esse método e mostrar como pode ser usado para de-
terminar a taxa de variação de uma função e também a inclinação da reta
tangente a uma curva.
Ainda neste capítulo veremos ferramentas utilizadas para descrever o com-
portamento e/ou gráficos das funções.
1.1 Equações de retas tangentes e normais
Vamos definir a inclinação de uma curva y = f(x) para , em seguida, encon-
trar a equação da reta tangente à curva num ponto dado.
As idéias que usaremos foram introduzidas no século XVIII por Newton e
Leibnitz.
Seja y = f(x) uma curva definida no intervalo (a, b), como na figura abaixo.
Figura 1:
Sejam P (x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos distintos da curva y = f(x).
Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o triângulo
retângulo PMQ, na figura 1.1, temos que a inclinação da reta s (ou coeficiente
angular de s) é
tan(α) =
y2 − y1
x2 − x2 =
∆y
∆x
.
3
Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em di-
reção a P . Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. À medida
que Q vai se aproximando cada vez mais de P , a inclinação da secante varia
cada vez menos, tendendo para um valor limite constante.
Figura 2:
Esse valor limite é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P ,
ou também inclinação da curva em P .
Definição 1.1 Dada uma curva y = f(x), seja P (x1, x1) um ponto sobre
ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por:
m(x1) = lim
Q→P
∆y
∆x
= lim
x2→x2
f(x2)− f(x1)
x2 − x1 ,
quando o limite existe.
Fazendo x2 = x1 +∆x podemos reescrever o limite acima na forma
m(x1) = lim
∆x→0
f(x1 −∆x)− f(x1)
∆x
= f ′(x1).
Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P , podemos en-
contrar a equação da reta tangente à curva em P .
4
Definição 1.2 EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE
Se a função f(x) é contínua em x1, então a reta tangente à curva y = f(x)
em P (x1, f(x1)) é:
(i) A reta que passa por P tendo inclinação m(x1) = lim∆x→0
f(x1−∆x)−f(x1)
∆x
,
se este limite existe (m = f ′(x1)). Neste caso, temos a equação
y − f(x1) = m(x− x1).
(ii) A reta x = x1 se lim∆x→0
f(x1−∆x)−f(x1)
∆x
for infinito.
A reta normal a uma curva num ponto dado é a reta perpendicular à reta
tangente neste ponto. Logo, se duas retas t e n são perpendiculares, então
seus coeficientes angulares mt e mn satisfazem:
mt.mn = −1.
Definição 1.3 EQUAÇÃO DA RETA NORMAL
Se a função f(x) é contínua em x1, então a reta normal à curva y = f(x)
em P (x1, f(x1)) é:
(i) A reta que passa por P tendo inclinação m(x1) = lim∆x→0
f(x1−∆x)−f(x1)
∆x
,
se este limite existe (m = f ′(x1)). Neste caso se m 6= 0, temos a equação
y − f(x1) = −1
m
(x− x1)
para o caso de m = 0 segue que a reta normal tem a seguinte equação x = x1.
(ii) A reta y = f(x1) se lim∆x→0
f(x1−∆x)−f(x1)
∆x
for infinito.
Exemplos.
1) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x2 − 2x+ 1 no ponto
(x1, x2).
5
2) Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 no ponto cuja a
abscissa é 2.
3) Encontre a equação da reta tangente à curva y =
√
x, que seja paralela à
reta 8x− 4y + 1 = 0.
6
4) Encontre a equação da reta normal à curva y = x2 no ponto P (2, 4).
5) Encontre a equação da reta normal à curva y = 3
√
x no ponto P (8,−2).
7
1.2 Exercícios:
1. Determine a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos
indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.
a) f(x) = x2 − 1; x = 1, x = 0, x = a, a ∈ IR.
b) f(x) = x2 − 3x+ 6; x = −1, x = 2.
c) f(x) = x(3x− 5); x = 1
2
, x = a, a ∈ IR.
2. Em cada um dos ítens do exercício anterior, determine a equação da
reta normal à curva, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico, em cada
caso.
3. Determinar a equação da reta tangente à curva y = 1 − x2, que seja
paralela à reta y = 1− x. Esboçar os gráficos da função, da reta dada
e da reta tangente encontrada.
4. Encontrar as equações das retas tangentes e normal à curva y = x2 −
2x+ 1 no ponto (−2, 9).
8
1.3 Derivação Implícita e Taxa de Variação
As funções com as quais trabalhamos até o momento são todas dadas por
equações da forma y = f(x), nas quais a variável dependente y do lado
esquerdo é definida explicitamente por uma expressão do lado direito que
envolve a variável x. Quando uma função é especificada dessa forma, dizemos
que se encontra na forma explícita. Assim, por exemplo, as funções
y = x2 + 3x+ 1 y =
x3 + 1
2x− 3 e y =
√
1− x2
estão todas na forma explícita.
às vezes, a solução de problemas de vida real leva a equações nas quais a
variável y não é definida explicitamente em termos da variável independente
x; é o caso, por exemplo, de equações como
x2y3 − 6 = 5y3 + x e x2y + 2y3 = 3x+ 2y
Como a variável y não aparece sozinha em um dos membros da equação,
dizemos que uma equação desse tipo define y implicitamente como função
de x e que a função se encontra na forma implícita.
Consideremos a equação
F (x, y) = 0.
Dizemos que a função y = f(x) é definida implicitamente pela equação an-
terior se, ao substituirmos y por f(x) na equação acima, esta equação se
transforma numa identidade.Exemplos.
1) A equação x2 + 1
2
y − 1 = 0 define implicitamente a função y = 2(1− x2).
9
2) A equação x2+y2 = 4 define, implicitamente, uma infinidades de funções.
Nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma função definida
implicitamente. Por exemplo, como explicitar uma função y = f(x) definida
pela equação
y4 + 3xy + 2 ln(y) = 0?
O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma função
assim definida, sem a necessidade de explicitá-la.
1.4 Derivada de uma Função na Forma Implícita
Sumponhamos que F (x, y) = 0 define implicitamente uma função derivável
y = f(x). Os exemplos que seguem mostram que usando a regra da cadeia,
podemos determinar y′ sem explicitar y.
Exemplos.
(i) Sabendo que y = f(x) é uma função derivável definida implicitamente
pela equação x2y3 − 6 = 5y3 + x, determinar y′.
10
(ii) Sabendo que y = f(x) é uma função derivável definida implicitamente
pela equação xy2 + 2y3 = x− 2y, determinar y′.
(iii) Sabendo que y = f(x) é uma função derivável definida implicitamente
pela equação x2y2 + x sen (y) = 0, determinar y′.
(iv) Determine todos os pontos da curva x2 − y2 = 2x+ 4y, nos quais a reta
tangente à curva é horizontal. Existe algum ponto da curva para o qual a
tangente seja vertical?
11
1.5 Taxa de Variação
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma
função y = f(x), quando a variável independente varia de x a x + ∆x, a
correspondente variação de y será ∆y = f(x+∆x)− f(x). O quociente
∆y
∆x
=
f(x+∆x)− f(x)
∆x
,
representa a taxa média de variação de y em relação a x.
A derivada
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
,
é a taxa instantânea de variação ou simplesmente Taxa de Variação de y em
relação a x.
Em alguns problemas práticos, as variáveis x e y estão relacionadas por
uma equação e podem ser consideradas como funções de uma terceira var-
iável, t, que quase sempre representa o tempo. Nesse caso, a derivação im-
plícita pode ser usada para relacionar
dx
dt
a
dy
dt
. As derivadas
dx
dt
e
dy
dt
são
chamadas de Taxas Relacionadas.
Exemplos.
(i) Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar:
(a) a taxa de variação média da área de uma quadrado em relação ao lado
quando este varia de 2, 5 a 3m.;
(b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4m.
12
(ii) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricante tem
interesse em produzir x mil unidades, onde
x2 − 2x√p− p2 = 31.
Qual é a taxa de variação da oferta quando o preço unitário é R$ 9, 00 e está
aumentanto à razão de 20 centavos por semanas?
(iii) Analista de produção verificam que, em uma montadora x, o número de
peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por:
f(t) =
{
50(t2 + t), para 0 ≤ t ≤ 4
200(t+ 1), para 4 < t ≤ 8 .
(a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de tra-
balho? E após 7 horas?
(b) Quantas peças são produzidas na 8a hora de trabalho?
13
1.6 Exercícios:
1. Nos problemas abaixo, calcule
dx
dy
por derivação implícita.
a) x2 + y2 = 25. b) x3 + y3 = xy.
c) x2 + y = x3 + y2. d) 5x− x2y3 = 2y.
e) y2 + 2xy2 − 3x+ 1 = 0. f) 1
x
+ 1
y
= 1.
g) (2x+ y)3 = x. h) (x− 2y)2 = y.
i) (x2 + 3y2)5 = 2xy.
2. Nos problemas abaixo, escreva a equação da reta tangente à curva dada
no ponto especificado.
a) x2 = y3; (8, 4). b) xy = 2; (2, 1).
c) (1− u+ v)3 = u+ 7; (1, 2).
3. A produção de certa fábrica Q = 0, 08x2+0, 12xy+0, 03y2 unidades por
dia, onde x o número de homens-horas de mão-de-obra especializada
e y o número de homens-horas de mão-de-obra não-especializada. No
momento são usados 80 homens-horas de mão-de-obra especializada e
200 homens-horas de mão-de-obra não-especializada. Use os métodos
do cálculo para estimar a variação de mão-de-obra não-especializada
necessária para compensar um aumento de 1 homem-hora da mão-de-
obra especializada, de modo que a produção não seja alterada.
4. Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricante
tem interesse em fabricar x unidades, onde
3p2 − x2 = 12
Qual é a taxa de variação da oferta se o preço unitário é R$ 4, 00 e está
aumentando à razão de 87 centavos por mês?
5. Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, a demanda é
de x centenas de unidades, onde
3x2 + 3px+ p2 = 79
Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo se o preço unitário
é R$ 5, 00 e está diminuindo à razão de 30 centavos por mês?
6. Em certa fábrica, a produção é dada por Q = 60K
1
3L
2
3
unidades, onde
K é o capital imobilizado(em milhares de reais) e L é a mão-de-obra
utilizada em homens-horas. Se a produção se mantém constante, qual
14
é a taxa de variação do capital imobilizado no instante em que K =
8, L = 1.000 e L está aumentando à razão de 25 homens-horas por
semana?
15
1.7 Intervalos de crescimento e decrescimento de funções
Muitas vezes é importante determinar se uma dada função f(x) está aumen-
tando ou diminuindo; o objetivo desta seção é mostrar que a derivada f ′(x)
pode ser usada para esse fim. Vamos começar com algumas definições:
Definição 1.4 Função Crescente e Função Decrescente
Uma função f(x) é dita crescente e um certo intervalo a < x < b se f(x2) >
f(x1) sempre que x2 > x1, onde x1 e x2 pertence ao intervalo. A função é
dita decrescente e um certo intervalo a < x < b se f(x2) < f(x1) sempre
que x2 > x1, onde x1 e x2 pertence ao intervalo.
Acontece que se todas as tangentes ao gráfico de uma função f(x) forem
positivas no intervalo a < x < b, a função f(x) será crescente nesse intervalo
(Figura 3 (a)). Como a inclinação das retas tangentes é dada pela derivada
f ′(x), conclui-se que f(x) é crescente nos intervalos em que f ′(x) > 0. Da
mesma forma, f ′(x) é decrescente nos intervalos em que f ′(x) < 0 (Figura 3
(b)).
Figura 3:
Critério da Derivada para Função Crescente e
Decrescente
f(x) é crescente nos intervalos em que f ′(x) > 0.
f(x) é decrescente nos intervalos em que f ′(x) < 0.
Exemplos.
16
(i) Determine os intervalos em que a função f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x − 7 é
crescente e decrescente.
(ii) Determine os intervalos em que a função f(x) = x
2
x−2 é crescente e de-
crescente.
17
1.8 Exercícios:
1. Nos problemas abaixo, determine os intervalos em que a função dada
está aumentando e diminuindo.
a) f(x) = x2 − 4x+ 5. b) f(t) = t3 + 3t2 + 1
c) f(x) = x3 − 3x− 4. d) f(t) = 1
3
t3 − 9t+ 2
e) f(x) = x5 − 5x4 + 100. f) f(t) = 3t5 − 5t3
18
1.9 Extremos relativos
A figura abaixo mostra um gráfico mais geral.
Figura 4:
Observe que existem "picos"em C e E e "vales"em B, D e G, mas só é
possível traçar tangentes horizontais em B, C, D e G. Além disso, existe
uma tangente horizontal no ponto F , que não é um pico nem um vale. Nesta
seção e na seguinte, vamos ver de que forma os métodos do cálculo podem
ser usados para localizar e identificar os "picos"e "vales"de uma função, o
que, por sua vez, facilita o traçado da curva associada e ajuda a resolver
problemas de otimização.
Mais formalmente, os "picos"de uma função f são chamados demáximos
relativos de f e os "vales"são chamados demínimos relativos. Assim, um
máximo relativo é qualquer ponto no gráfico de f que seja pelo menos tão alto
quanto os pontos vizinhos, enquanto um mínimo relativo é qualquer ponto
que seja pelo menos tão baixo quanto os pontos vizinhos. Os máximos e
mínimos relativos são conhecidos pelo nome global de extremos relativos.
Na figura anterior, os máximos relativos são C e E e os mínimos relativos
são B, D e G. Observe que um extremo relativo não precisa ser o ponto mais
alto ou mais baixo de toda a curva. Por exemplo, o ponto mais baixo é o
mínimo relativo G, mas o ponto mais alto é H. Essa terminologia pode ser
resumida da seguinteforma:
Definição 1.5 Extremos Relativos
Dizemos que uma função f(x) possui um máximo relativo no ponto x = c
se f(c) ≥ f(x) para todos os valores de x em um intervalo a < x < b que
contenha o ponto c. Uma função f(x) possui um mínimo relativo no ponto
19
x = c de f(c) ≤ f(x) para todos os valores de x em um intervalo a < x < b
que contenha o ponto c. Os máximos e mínimos relativos de f são conhecidos
pelo nome global de extremos relativos.
Como uma função f(x) está aumentando quando f ′(x) > 0 e diminuindo
quando f ′(x) < 0, os únicos pontos nos quais f(x) pode possuir um extremo
relativo são aqueles em que f ′(x) é nula ou não existe. Esses pontos são tão
importantes que recebem um nome especial:
Definição 1.6 Números Críticos e Pontos Críticos
Um número c pertence ao domínio de f(x) é chamado de número crítico se
f ′(c) = 0 ou se f ′(c) não existe. O Ponto correspondente (c, f(c)) no gráfico
de f(x) é chamado de ponto crítico de f(x).
A figura abaixo mostra três funções com pontos críticos nos quais a derivada
é nula. Nos três casos, a reta tangente à curva da função no ponto crítico
(c, f(c)) é horizontal, já que a derivada f ′(c) é igual à inclinação da reta
tangente neste ponto e f ′(c) = 0.
Figura 5:
Três pontos críticos nos quais f ′(x) = 0: (a) máximo relativo; (b) mínimo
relativo; (c) ponto ordinário.
Três funções com pontos críticos nos quais a derivada não existe apare-
cem na figura abaixo. Nas figuras (b) e (c), a reta tangente é vertical no
ponto (c, f(c)), portanto, a derivada f ′(c) não existe. Na figura (a), não é
possível traçar uma única reta tangente passando pelo "vértice"situado no
ponto (c, f(c)).
20
Figura 6:
Três pontos críticos nos quais f ′(x) não existe: (a) máximo relativo; (b)
mínimo relativo; (c) ponto ordinário.
Como vimos, é possível usar o sinal da derivada para classificar pontos
críticos como máximos relativos, mínimos relativos ou nem uma coisa nem
outra. Suponha que c seja um número crítico de f e que f ′(x) > 0 à esquerda
de c e f ′(x) < 0 à direita. Geometricamente, isso significa que a curva de f
está subindo antes de chegar ao ponto crítico P (c, f(c)) e começa a descer
depois de passar pelo ponto, o que mostra que P é um máximo relativo. Da
mesma forma, se f ′(x) < 0 à esquerda de c e f ′(x) > 0 à direita, significa
que a curva de f está descendo antes de chegar ao ponto crítico P (c, f(c)) e
começa a subir depois de passar pelo ponto, o que mostra que P é um mínimo
relativo. Caso, porém, a derivada tenha o mesmo sinal dos dois lados de c, a
curva continuará subindo ou descendo depois de passar por P , portanto, não
haverá nenhum extremo nesse ponto. Essas observações podem ser resumidas
da seguinte forma:
Teste da Primeira Derivada para Extremos Relativos:
Seja c um número crítico de f(x) (isto é, f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe.).
Neste caso, o ponto crítico P (c, f(c)) é:
Um máximo relativo se f ′(x) > 0 à esquerda de c e f ′(c) < 0 à direita de
c;
Figura 7:
21
Um mínimo relativo se f ′(x) < 0 à esquerda de c e f ′(c) > 0 à direita de
c;
Figura 8:
Um ponto ordinário se f ′(x) > 0 ou f ′(c) < 0 dos dois lados de c;
Figura 9:
Exemplos.
(i) Determinar todos os números críticos da função f(x) = x4+8x3+12x2−8
e classifique os pontos críticos correspondentes.
22
(ii)Determine os intervalos de subida e descida e extremos relativos da função
f(x) =
√
3− 2x− x2. Desenhe o gráfico relacionado.
(iii) A receita obtida com a produção de x unidades de uma certa mercadoria
é dada por
R(x) =
63x− x2
x2 + 63
milhões de reais. Qual é a produção que proporciona a máxima receita? Qual
é esta receita?
23
1.10 Exercícios:
1. Nos problemas abaixo, determine os pontos críticos da função dada e
classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo e
ponto ordinário.
a) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2 b) f(x) = 324x− 72x2 + 4x3
c) f(t) = 2t3 + 6t2 + 6t+ 5 d) f(t) = 10t6 + 24t5 + 15t4 + 3
e) f(x) = (x− 1)5 f) f(x) = 3− (x+ 1)3
g) f(t) = (t2 − 1)5 h) f(x) = (x2 − 1)4
i) f(x) = (x3 − 1)4 j) f(x) = x2
x−1
2. O custo total C para produzir x unidades de uma certa mercadoria é
dada por C(x) =
√
5x+ 2 + 3. Plote a curva de custo e determine o
custo marginal. O custo marginal aumenta ou diminui com o aumento
da produção?
3. Seja p = (10− 3x)2 o preço pelo qual serão vendidas x unidades de um
certo produto e seja R(x) = xp(x) a receita com a venda das x unidades.
Determine a receita marginal R′(x) e plote as curvas de receita marginal
no mesmo gráfico. Para que nível de produção a receita é máxima?
4. Para produzir x unidades de certo produto, um fabricante tem um
custo total
C(x) = 2x2 + 3x+ 5
e uma receita total R(x) = xp(x), onde p(x) = 5 − 2x é o preço pelo
qual são vendidas as x unidades. Determine a função de lucro P (x) =
R(x)−C(x) e plote o gráfico relacionado. Para que nível de produção
o lucro é máximo?
24
1.11 Concavidade e Pontos de Inflexão
Na seção anterior, vimos que o sinal da derivada f ′(x) pode ser usado para
verificar se f(x) está aumentando ou diminuindo e se a função possui ex-
tremos relativos. Nesta seção, vamos ver que a derivada segunda f”(x) tam-
bém fornece informações úteis a respeito de f(x). À guisa de introdução,
aqui está uma breve descrição de uma situação na indústria que pode ser
analisada usando a derivada segunda:
Eficiência dos Operários.
O número de unidades que um operário de fábrica produz em t horas de
trabalho muitas vezes é dado por uma função Q(t) parecida como esta:
Figura 10:
Observe que a curva aumenta lentamente a princípio. A inclinação con-
tinua aumentando até atingir um ponto de máxima inclinação, a partir do
qual começa a diminuir. Isso reflete o fato de que a produtividade dos op-
erários é baixa no início do dia. A produtividade aumenta com o passar
do tempo até que o operário atinja o ponto de máxima eficiência, a partir
do qual, por causa da fadiga, a produtividade começa a cair. O ponto de
máxima eficiência é conhecida pelos economistas como ponto de retornos
decrescentes.
O comportamento dessa função de produção de cada lado do ponto de
retornos decrescente pode ser descrito em termos de retas tangentes. À es-
querda do ponto, a inclinação da reta tangente aumenta quando t aumenta.
À direita do ponto, a inclinação da reta tangente diminui quando t aumenta.
É esse aumento e diminuição das inclinações a que vamos estudar agora com
25
a ajuda da segunda derivada.
O aumento e diminuição da inclinação da reta tangente a uma curva são
descritos através de um conceito conhecido como concavidade.
Definição 1.7 Concavidade:
Se a função f(x) é derivável no intervalo a < x < b, a curva de f tem:
concavidade para cima no intervalo a < x < b se f ′ está aumentando no
intervalo;(f ′ é crescente)
concavidade para baixo no intervalo a < x < b se f ′ está diminuindo no
intervalo;(f ′ é decrescente)
Existe uma relação simples entre a concavidade e o sinal da derivada se-
gunda. Essa relação se baseia no fato de que uma grandeza aumenta quando
sua derivada é positiva e diminui quando sua derivada é negativa. A derivada
segunda entra em cena quando esse fato é aplicado à derivada primeira (ou
inclinação da tangente).
Figura 11:
O raciocínio é o seguinte: suponha que a derivada segunda, f”, seja pos-
itiva em um certo intervalo I. Isso significa que a derivada primeira, f ′, esta
aumentando no intervalo I e que a concavidade da curva de f é para cima
no mesmo intervalo. Da mesma forma, se f ′ < 0 em um certo intervalo, isso
quer dizer que f ′ está diminuindo e que a concavidade da curva de f é para
26
baixo neste intervalo.
Teste da Concavidade
Se f” > 0 no intervalo a < x < b, f tem concavidade para cima neste
intervalo.
Se f” < 0 no intervalo a < x < b, f tem concavidade para baixo neste inter-
valo.Figura 12: Combinações possíveis de aumento, diminuição e concavidade.
Ponto de Inflexão
Um ponto de uma função no qual a concavidade muda é chamado de
ponto de inflexão. Assim, por exemplo, o ponto de retornos decrescentes
da curva de produção é um ponto de inflexão; a função da figura 11 tem um
ponto de inflexão em x = a.
27
Em um ponto de inflexão P (c, f(c)), a função f(x) não pode ter concavi-
dade para cima ou para baixo, portanto, f”(x) não pode ser positiva nem
negativa. Assim, ou f”(x) não existe ou f”(x) = 0. Entretanto, é possível
que f”(x) seja igual a zero e P (c, f(c)) não seja um ponto de inflexão. Por
exemplo, se f(x) = x4, f”(x) = 12x2 e o gráfico de f tem a concavidade para
cima no ponto x = 0, embora f”(0) = 0.
Figura 13: Gráfico de f(x) = x4.
Método para Determinar a Concavidade e Localizar os
Pontos de Inflexão de f(x)
1o
	
.Passo: Calcule f” e determine os pontos nos quais f”(x) = 0”ouf"(x)"não
existe.
2o
	
. Passo: Assinale os pontos obtidos no 1o
	
. passo sobre uma reta, dividindo
assim a reta em subintervalos. Calcule o valor de f”(p) para números de teste
p situados em todos os subintervalos.
3o
	
. Passo: A função tem concavidade para cima nos intervalos em que
f”(p) > 0 e concavidade para baixo nos intervalos em que f”(p) < 0. Os
pontos de inflexão são os pontos que separam subintervalos nos quais a função
tem diferentes concavidades.
Exemplos.
(i) Determine se a função
f(x) = 3x4 − 2x3 − 12x2 + 18x+ 15
28
está aumentando ou diminuindo e se possui concavidade para cima ou para
baixo. Determine todos os extremos relativos e pontos de inflexão.
(ii) A figura a seguir mostra o gráfico da derivada primeira f ′(x) de uma
função f(x).
Figura 14: Gráfico de f ′(x).
Determine os intervalos em que f(x) é uma função crescente e decres-
cente, as concavidades e todos os extremos relativos e pontos de inflexão da
função. Em seguida, esboce o gráfico de f(x).
29
Definição 1.8 Teste da Derivada Segunda: Suponha que f ′(a) = 0.
Se f”(a) > 0, f possui um mínimo relativo em x = a.
Se f”(a) < 0, f possui um máximo relativo em x = a.
Caso f”(a) = 0 ou f”(a) não exista, o teste não pode ser aplicado; f(a) pode
ser um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de inflexão.
Figura 15: Teste da segunda derivada.
Exemplos.
(i) Use o teste da derivada segunda para determinar os máximos e mínimos
relativos da função f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7.
(ii) Um estudo de eficiência realizado em uma fábrica durante o turno da
manhã mostra que um operário que começa a trabalhar às 8h terá produzido,
30
em média, Q(t) = −t3+9t2+12t unidades t horas mais tarde. Em que hora
da manhã os operários são mais produtivos?
31
1.12 Exercícios:
1. Nos problemas abaixo, determine em que intervalo(s) a função dada é
crescente e decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função
é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de
inflexão e plote o gráfico da função.
a) f(x) = 1
3
x3 − 9x+ 2 b) f(x) = x3 + 3x2 + 1
c) f(x) = x4 − 4x3 + 10 d) f(x) = x3 − 3x2 + 3x+ 1
e) f(x) = (x− 2)3 f) f(x) = x5 − 5x
g) f(t) = (t2 − 5)3 h) f(x) = (x− 2)4
i) f(x) = x
2−3x
x2+1
j) f(x) =
√
x2 + 1
l) f(x) = x
x2+x+1
m) f(x) = (x+ 1)
4
3
2. Nos problemas abaixo, use o teste da derivada segunda para determinar
os máximos e mínimos relativos da função dada.
a) f(x) = x3 + 3x2 + 1 b) f(x) = x+ 1
x
c) f(x) = ( x
x+1
)2 d) f(x) = 2
1+x2
e) f(x) = (x−2)
3
x2
f) f(x) = (x+3)
3
(x−1)2
3. O custo para produzir x unidades de certa mercadoria por semana é
C(x) = 0, 3x3 − 5x2 + 28x+ 200
(a) Determine o custo marginal CM(x) = C ′(x). Plote as funções
C(x) e CM(x) no mesmo gráfico.
(b) Determine o(s) valor(es) de x para os quais C”(x) = 0. Qual a
relação entre esse(s) ponto(s) e as curvas de CM(x) e C(x)?
4. Uma empresa estima que quando x milhares de reais são investidos na
comercialização de um certo produto, Q(x) unidades do produto são
vendidas, onde
Q(x) = −4x3 + 252x2 − 3.200x+ 17.000 10 ≤ x ≤ 40
Plote a função Q(x) para 10 ≤ x ≤ 40. Onde fica o ponto de inflexão
da função? Qual o significado do investimento em comercialização cor-
respondente a esse ponto?
5. Um estudo de eficiência realizada no turno da manhã (de 8h ao meio-
dia) revela que um operário que chega para trabalhar às 8h produziu
Q(t) = −t3 + 9t2
2
+ 15t unidades t horas mais tarde.
32
(a) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário
é máxima?
(b) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário
é mínima?
6. Um estudo de eficiência realizada no turno da manhã (de 8h ao meio-
dia) revela que um operário que chega para trabalhar às 8h produziu
Q(t) = −t3 + 6t2 + 15t receptores de rádio t horas mais tarde.
(a) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário
é máxima?
(b) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário
é mínima?
33
2 INTEGRAIS
Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é
encontrar a própria função. Por exemplo, um sociólogo que conhece a taxa de
aumento da população pode estar interessado um usar essa informação para
prever qual será a população em algum instante futuro; um físico que con-
hece a velocidade de um corpo em movimento pode querer calcular a posição
do corpo em um momento futuro; um economista que conhece o índice de
inflação pode querer estimar os preços em um instante futuro.
O Processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de
antiderivação ou integração indefinida.
2.1 Antiderivadas
Definição 2.1 Uma função F (x) para a qual
F ′(x) = f(x)
para qualquer x no domínio de f é chamada de antiderivada de f(x).
Notação: Às vezes a equação F ′(x) = f(x) é escrita na forma dF
dx
= f(x).
Exemplos.
(i) Verifique que F (x) = x
3
3
+ 5x+ 2 é uma antiderivada de f(x) = x2 + 5.
(ii) Calcule uma antiderivada de f(x) = 3x2.
34
Definição 2.2 Se F (x) é uma antiderivada de uma função contínua f(x),
qualquer outra antiderivada de f(x) tem a forma g(x) = F (x) + C, onde C
é uma constante.
Quando dizemos que F e G são antiderivadas de f , estamos dizendo que
F ′(x) = G′(x) = f(x) e que para qualquer valor de x a inclinação (ou seja,
a derivada) da curva y = F (x) é igual à inclinação da curva y = G(x). Em
outras palavras, a curva de G(x) difere da curva de F (x) apenas por uma
translação vertical, como mostra a figura a seguir para a função f(x) = 3x2.
Figura 16: Algumas antiderivadas de f(x) = 3x2.
Vamos representar a família de todas as antiderivadas de f(x) usando o
símbolo ∫
f(x) dx = F (x) + C
que é chamado de Integral Indefinida de f .
Neste contexto, o símbolo
∫
é chamado de sinal de integração, a função
f(x) é chamada de integrando, o símbolo dx indica que a antiderivada deve
ser calculada em relação à variável x e o termo C é conhecido como constante
35
de integração. Por exemplo, a integral indefinida da função f(x) = 3x2 é∫
3x2 dx = x3 + C.
Para verificar se uma antiderivada foi calculada corretamente, determine
a derivada da solução, F (x) + C. Se essa derivada é igual a f(x), a an-
tiderivada está correta ([F (x) + C]′ = f(x)); se é diferente de f(x), existe
algum erro nos cálculos.
2.2 Integral indefinida de funções usuais e propriedades.
A ligação que existe entre derivação e antiderivação permite usar regras já
conhecidas de derivação para obter regras correspondentes para antiderivação.
Regras para integrar Funções Usuais.
Regra da constante:∫
k dx = kx+ C para kcostante;
Regra da potência:∫
xn dx =
1
n+ 1
xn+1 + C para qualquer n 6= −1;
Regra do logaritmo:∫ 1
x
dx = ln |x|+ C para qualquer x 6= 0;
Regra da exponencial:∫
ekx dx =
1
k
ekx + C para k constante 6= 0.
Regra do cosseno e seno:∫
cos(kx) dx =1
k
sen (kx) + C para k constante 6= 0;
∫
sen (kx) dx = −1
k
cos(kx) + C para k constante 6= 0;
Regra da multiplicação por uma constante:∫
kf(x) dx = k
∫
f(x) dx para k constante;
36
Regra da soma:∫
[f(x) + g(x)] dx =
∫
f(x) dx +
∫
g(x) dx ;
Regra da diferença:∫
[f(x)− g(x)] dx =
∫
f(x) dx −
∫
g(x) dx ;
Exemplos.
Determine as seguintes integrais indefinidas:
(a)
∫
3 dx
(b)
∫
x17 dx
(c)
∫ 1√
x
dx
(d)
∫ 1
x
dx
37
(e)
∫
e−3x dx
(f)
∫
cos(3x) dx
(g)
∫
sen (x
pi
) dx
(h)
∫
(2x5 + 8x3 − 3x2 + 5) dx
(i)
∫
(x
3+2x−7
x
) dx
(j)
∫
(3e−5t +
√
t− sen (4t) + 2) dx
38
2.3 Exercícios:
1. Nos problemas abaixo, calcule a integral dada. Verifique se o cálculo
está correto derivando o resultado.
a)
∫
x5dx b)
∫
x
3
4dx
c)
∫ 1
x2
dx d)
∫ √
tdt
e)
∫
5dx f)
∫
3exdx
g)
∫
(3t2 −√5t+ 2)dt h) ∫ (x 12 − 3x 23 + 6)dx
i)
∫
(3
√
y − 2
y3
+ 1
y
)dy j)
∫
( 1
2y
− 2
y2
+ 3√
y
)dy
k)
∫
( e
x
2
+ x
√
x)dx l)
∫
(
√
x3 −√12√x+√2)dx
m)
∫
( 1
3u
− 3
2u2
+ e2 +
√
u
2
)du n)
∫
(2eu + 6
u
+ ln 2)du
o)
∫ x2+2x+1
x2
dx p)
∫ x2+3x−2√
x
dx
q)
∫
(x3 − 2x2)( 1
x
− 5)dx r) ∫ y3(2y + 1
y
)dy
s)
∫ √
t(t2 − 1)dt t) ∫ x(2x+ 1)2dx
u)
∫
8 cos(3t)dt v)
∫
sin(pix)dx
2. Determine a função polinomial cuja tangente tem uma inclinação x3−
2
x2
+ 2 e cuja curva passa pelo ponto (1, 3).
39
2.4 Substituição de variável. Integração por partes
Nesta sessão veremos duas técnicas de integração. Elas são baseadas em re-
gras de derivação.
Pela regra da cadeia, a derivada da função (x2 + 3x+ 5)9 é
d
dx
[(x2 + 3x+ 5)9] = 9(x2 + 3x+ 5)8(2x+ 3)
Observe que a derivada é um produto e que um dos fatores, 2x + 3, é a
derivada de uma expressão x2 + 3x+ 5, a qual aparece no outro fator. Mais
precisamente, a derivada é um produto da forma
g(u)
du
dx
onde, nesse caso, g(u) = 9u8 e u = x2 + 3x+ 5.
É possível integrar muitos produtos da forma g(u)(du
dx
) aplicando a regra
da cadeia ao contrário. Especificamente, se G é a antiderivada de g,∫
g(u)
du
dx
dx = G(u) + C
já que, pela regra da cadeia,
d
dx
[G(u)] = G′(u)
du
dx
= g(u)
du
dx
Forma Integral da Regra da Cadeia:
Se g é uma função contínua de u e u(x) é uma função derivável de x,∫
g(u)
du
dx
dx =
∫
g(u)du
Ou seja, para integrar um produto da forma g(u)(du
dx
) no qual um dos fatores,
du
dx
, é a derivada de uma expressão u que aparece no outro fator:
1. Determine a antiderivada
∫
g(u)du do fator g(u) em relação a u;
2. Substitua u na resposta por sua expressão em termos de x.
Exemplos.
40
Determine:
(i)
∫
9(x2 + 3x+ 5)8(2x+ 3)dx
(ii)
∫
x3ex
4+2dx
Mudança de Variável
A forma integral da regra da cadeia pode ser vista como uma técnica para
simplificar uma integral mudando a variável de integração. Começamos com
uma integral da forma
∫
g(u)(du
dx
)dx e a transformamos em uma integral mais
simples da forma
∫
g(u)du, na qual a variável de integração é u. Nessa trans-
formação, a expressão (du
dx
)dx da integral original é substituída na integral
41
simplificada pelo símbolo du.
du
dx
dx = du
Integração por Substituição
1. Introduza a variável u para substituir uma expressão em x com o ob-
jetivo de simplificar a integral;
2. Escreva a integral em termos de u. Para escrever dx em termos de u,
calcule o valor de
du
dx
e explicite dx como se du
dx
fosse um quociente;
3. Calcule a integral resultante e substitua u por seu valor em termos de x
para obter a solução.
Exemplos.
Determine:
(a)
∫ 3x
x2−1dx.
(b)
∫ 3x+6√
2x2+8x+8
dx.
(c)
∫ (lnx)2
x
dx.
42
(d)
∫ x
x+1
dx.
(e)
∫
2x sin(x2)dx.
Integração por Partes
A técnica, conhecida como Integração por partes, é uma consequência
direta da regra do produto para derivadas. Lembrando a derivada produto:
d
dx
[f(x)g(x)] = [f(x)g(x)]′ = f(x)′g(x)+f(x)g′(x) =
d
dx
f(x).g(x)+f(x).
d
dx
g(x)
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis, então pela regra da derivada pro-
duto temos a seguinte formula:∫
f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x)dx.
Observe que na expressão acima deixamos de escrever a constante de inte-
gração, já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras. Todas elas
podem ser representadas por uma única constante C, que introduziremos no
final do processo.
Na prática, costumamos fazer
u = f(x)⇒ du = f ′(x)dx
43
e
v = g(x)⇒ dv = g′(x)dx.
Substituindo na expressão anterior, vem∫
udv = uv −
∫
vdu
Exemplos.
Determine:
(a)
∫
xe2xdx.
(b)
∫
x
√
2x2 + 8x+ 8dx.
(c)
∫
ln(x)dx.
44
(d)
∫
x2exdx.
(e)
∫
ex cos(x)dx.
(e)
∫
4x cos(x)dx.
45
2.5 Exercícios:
1. Nos problemas abaixo, determine a integral indicada.
a)
∫
(2x+ 6)5dx b)
∫
e5xdx
c)
∫ √
4x− 1dx d) ∫ 1
3t+5
dt
e)
∫
e1−xdx f)
∫
[(x− 1)5 + 3(x− 1)2 + 5]dx
g)
∫
tet
2
dt h)
∫
2xex
2−1dx
i)
∫
y(y2 + 1)5dy j)
∫
3y
√
y2 + 8dy
k)
∫
x2(x3 + 1)
3
4dx l)
∫
x5e1−x
6
dx
m)
∫ 2u4
u5+1
du n)
∫ u2
(u3+5)2
du
o)
∫
(x+ 1)(x2 + 2x+ 5)
1
2dx p)
∫
(3x2 − 1)ex3−xdx
q)
∫ 3x4+12x3+6
x5+5x4+10x+12
dx r)
∫ 10x3−5x√
x4−x2+1dx
s)
∫ 3t−3
(t2−2t+6)2dt t)
∫ 6x−3
4x2−4x+1dx
u)
∫ ln 5x
x
dx v)
∫ 1
x lnx
dx
w)
∫ 1
x(lnx)2
dx x)
∫ lnx2
x
dx
y)
∫ 2x ln(x2+1)
x2+1
dx z)
∫ e√x√
x
dx
2. Nos problemas abaixo, determine a integral indicada.
a)
∫
xe−xdx b)
∫
xe
x
5 dx
c)
∫
(1− x)exdx d) ∫ (3− 2x)e−xdx
e)
∫
t ln(2t)dt f)
∫
x ln x2dx
g)
∫
ve
−v
5 dv h)
∫
we0,1wdw
i)
∫
y
√
y − 6dy j) ∫ y√1− ydy
k)
∫
x(x+ 1)8dx l)
∫
(x+ 1)(x+ 2)6dx
m)
∫ u√
u+2
du n)
∫ u√
2u+1
du
o)
∫
x2e−xdx p)
∫
x2e3xdx
q)
∫
x3exdx r)
∫
x3e2xdx
s)
∫
t2 ln tdt t)
∫
x(lnx)2dx
u)
∫ lnx
x2
dx v)
∫
x3ex
2
dx
w)
∫
x3(x2 − 1)10dx x) ∫ x7(x4 + 5)8dx
y)
∫
ex cos(x)dx z)
∫
2x sin(x2) cos(x2)dx
46
2.6 Integral Definida. Teorema Fundamental do Cál-
culo. Área de regiões planas
Integral Definida
Como vimos no capítulo anterior, a integração indefinida pode ser usada
para analisar situações em que a taxa de variação de certa grandeza é con-
hecida. Nesta seção, vamos discutir um processo semelhante, conhecido como
integração definida, no qual uma grandeza de interesse prático é definida
como o limite de uma soma e em seguida calculada com o auxílio da an-
tiderivação. O método da integração definida será ilustrado sob uma curva,
mas em seções subsequêntes mostraremos que o mesmo método também pode
ser aplicado a muitos problemas de economia, física, biologia, ciências sociais
e etc.
Considere a área A da região sob a curva y = f(x) em um intervalo a ≤ x ≤ b,
onde f(x) ≥ 0 e a função f é contínua. Essa região está indicada na figura
abaixo. Se a região fosse um quadrado, um triângulo, um trapézio ou parte
de um círculo, poderíamos calcular sua área usando expressões conhecidas,
mas o que fazer se a curva que define a parte superior da região for dada por
uma função como y = x2 ou y = ex? Para lidar com o caso geral, seguimos
um princípio extremamente útil, que pode ser aplicado tanto à matemática
quanto a outras ciências:
Quando estiver diante de um problema desconhecido, procure relacioná-lo a
um problema conhecido.
Figura 17: A região sob a curva y = f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b.
47
Neste caso em particular, podemos não saber como calcular a área sob
a curva dada, mas sabemos como calcular a área de um retângulo. Assim,
dividimos a região dada em uma série de regiões retangulares e calculamos o
valoraproximado da área A sob a curva y = f(x) somando as áreas dessas
regiões retangulares.
Para começar, dividimos o intervalo a ≤ x ≤ b em n subintervalos iguais
de largura ∆x e chamamos de xj a extremidade esquerda do intervalo de
ordem j. Em seguida, traçamos n retângulos tais que o retângulo de ordem
j tenha uma largura igual a ∆x e uma altura igual a f(xj).
Figura 18: Aproximação por retângulos da área sob uma curva: (a) com n
subintervalos;(b) com 6 subintervalos;(c) com 24 subintervalos.
A área do retângulo de ordem j, f(xj)∆x, é aproximadamente igual à
área sob a curva dada no intervalo xj ≤ x ≤ xj+1. A soma das áreas dos n
retângulos é
Sn = f(x1)∆x+f(x2)∆x+...+f(xn)∆x = [f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]∆x =
n∑
j=1
f(xj)∆x
que é aproximadamente igual à área total A sob a curva dada.
Quanto maior o número n de subintervalos, mais a soma Sn se aproxima
do que consideramos intuitivamente como a área sob a curva dada (ver Figura
acima). É razoável, portanto, definir a área real sob a curva, A, como o limite
da soma aproximada quando o número de subintervalos tende a infinito.
Área sob uma Curva:
Seja f(x) uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 no intervalo a ≤ x ≤ b.
A área sob a curva y = f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b é dada por
A = lim
n→+∞Sn = limn→+∞
n∑
j=1
f(xj)∆x
48
onde xj é a extremidade esquerda do subintervalo de ordem j se o intervalo
a ≤ x ≤ b for dividido em n partes iguais de comprimento ∆x = (b−a)
n
.
Observação.
A título de simplificação tomamos os subintervalos todos dos mesmo tamanho
e calculamos f(x) nos pontos da extremidade esquerda dos subintervalos.
De modo mais geral, fazemos uma partição do intervalo [a, b], isto é, dividimos
o intervalo [a, b] em n subintervalos, não necessariamente do mesmo tamanho,
escolhendo os pontos
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−2 < xn−1 < xn = b.
Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimento do intervalo Ii = [xi, xi−1].
Em cada um destes intervalos Ii, escolhemos um ponto qualquer ci.(ci ∈ Ii)
Para cada i, i = 1, 2, ..., n, construímos um retângulo de base ∆xi e altura
f(xi).
A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por
Sn = f(c1)∆x1 + f(c2)∆x2 + ...+ f(cn−1)∆xn−1 + f(cn)∆xn =
n∑
i=1
f(ci)∆xi.
Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x).
Exemplo.
SejaR a região sob a curva da função f(x) = 2x+1 no intervalo 1 ≤ x ≤ 3,
como mostra na figura abaixo. Calcule a área da região R:
Figura 19: Aproximação por retângulos da área sob a curva f(x) = 2x+ 1.
49
A área é apenas uma das muitas grandezas que podem ser expressas como
o limite de uma soma. Para lidar com todos os casos. incluindo aqueles nos
quais a condição f(x) ≤ 0 não é satisfeita, usamos a terminologia e a notação
apresentadas a seguir:
Integral Definida
Seja uma função contínua no intervalo x ∈ [a, b]. Suponha que esse inter-
valo tenha sido dividido em n partes iguais (não há necessidade de ser iguais)
de largura ∆x = b−a
n
e seja xj um número pertencente ao intervalo de ordem
j, para j = 1, 2, ..., n. Nesse caso, a integral definida de f(x) no intervalo
x ∈ [a, b] é representada pelo símbolo ∫ ba f(x)dx e é dada pelo limite∫ b
a
f(x)dx lim
n→+∞Sn = limn→+∞[f(x1) + f(x2) + ...+ f(xn)]∆x
Observe que o símbolo de integral definida,
∫ b
a f(x)dx, é semelhante ao
símbolo da integral indefinida,
∫
f(x)dx. Em ambos os casos, a função f(x)
recebe o nome de integrando; no caso da integral definida, os números a e
b são chamados de limite inferior de integração e limite superior de
integração, respectivamente.
Usando a notação de integral, a definição da área sob uma curva dada por
uma função f(x) (y = f(x)) pode ser expressa da seguinte forma:
Integral Definida: Se f(x) é uma função contínua e f(x) ≥ 0 no
intervalo x ∈ [a, b], a área da região sob a curva y = f(x) no intervalo
a ≤ x ≤ b é dada por
A =
∫ b
a
f(x)dx
Se calcular o limite de uma soma fosse a única forma de obter o valor
de uma integral definida, o processo de integração provavelmente seria bem
complicado. Felizmente, existe um meio mais simples de executar o cál-
culo, graças a um importante teorema que relaciona a integral definida à
antiderivação:
Teorema 2.1 Teorema Fundamental do Cálculo
Se a função f(x) é contínua no intervalo a ≤ x ≤ b,∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
onde F (x) é a antiderivada de f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b.
50
Notação:
F (x) |ba= F (b)− F (a)
Assim, ∫ b
a
f(x)dx = F (x) |ba= F (b)− F (a)
Observe:
A constante C que aparece no resultado final das antiderivadas, não interfere
no resultado do cálculo da integral definida
∫ b
a f(x)dx. Como F (x) + C é
antiderivada genérica de f(x),∫ b
a
f(x)dx = [F (x) + C] |ba= [F (b) + C]− [F (a) + C] = F (b)− F (a)
Desse modo, daqui em diante, a constante C será omitida em todos os cál-
culos de integrais definidas.
Exemplos.
1) Calcule:
(a)
∫ 4
1 (
√
x− x2)dx.
(b)
∫ 2
1
4
( lnx
x
)dx.
51
(c)
∫ 1
0 (e
−x +
√
x)dx.
(d)
∫ 1
0 8x(x
2 + 1)3dx.
2) Determine a área da região limitada pela curva y = −x2 + 4x− 3.
3) Determine a área da região limitada pela reta y = x − 1 e pela parábola
y = x2 − 2x+ 1 para x ∈ [1, 3].
52
Área entre Duas Curvas
Em alguns problemas práticos, temos que calcular a área entre duas cur-
vas. Suponha que f(x) e g(x) sejam funções não-negativas e que f(x) ≥ g(x)
no intervalo a ≤ x ≤ b (Fig. (a)).
Figura 20: Área de R = área de R1 - área de R2.
Para determinar a região R entre as curvas das duas funções de x = a
até x = b, basta subtrair a área sob a curva inferior y = g(x) (Fig. (c)) da
área sob a curva superior y = f(x) (Fig. (b)), ou seja,
Área de R =
∫ b
a
f(x)dx−
∫ b
a
g(x)dx =
∫ b
a
[f(x)− g(x)]dx
Esta expressão é válida mesmo que as funções f e g não sejam não-
negativas.
Definição 2.3 Área entre Duas Curvas
Se f(x) e g(x) são contínuas no intervalo a ≤ x ≤ b com f(x) ≥ g(x) e se
R é a região limitada pelas curvas de f e g e pelas retas verticais x = a e
x = b,
Área de R =
∫ b
a
[f(x)− g(x)]dx
Exemplo.
1) Determine a área da região limitada pelas curvas:
(a) y = x3 e y = x2.
53
(b) y = 4x e y = x3 + 3x2.
54
2.7 Exercícios:
1. Nos problemas abaixo, calcule a integral definida dada usando o teo-
rema fundamental do cálculo.
a)
∫ 1
0 (x
4 + 3x3 + 1)dx b)
∫ 0
−1(−3x5 − 3x2 + 2x+ 5)dx
c)
∫ 5
2 (2 + 2t+ 3t
2)dt d)
∫ 9
1 (
√
t− 4√
t
dt
e)
∫ 3
1 (1 +
1
t
+ 1
t2
)dt f)
∫ ln 2
0 (e
t − e−t)dt
g)
∫−1
−3
v+1
v3
dv h)
∫ 6
1 w
2(w − 1)dw
i)
∫ 2
1 (2y − 4)4dy j)
∫ 0
−3(2y + 6)
4dy
k)
∫ 4
0
1√
6t+1
dt l)
∫ 2
1
x2
(x3+1)2
dx
m)
∫ 1
0 (u
3 + u)
√
u4 + 2u2 + 1du n)
∫ 1
0
6u√
u2+1
du
o)
∫ e+1
2
x
x−1dx p)
∫ 2
1 (x+ 1)(x− 2)6dx
q)
∫ e2
1
(lnx)2
x
dx r)
∫ e2
e
1
x lnx
dx
s)
∫ 1
0 te
tdt t)
∫ e2
1 ln
√
tdt
2. Nos problemas abaixo, determine a área da região R:
a) R é o triângulo limitado pela reta y = 4− 3x e pelo eixos x e y.
b) R é o triângulo cujos vértices são os pontos (−4, 0) , (2, 0) e (2, 6).
c) R é o retângulo cujos vértices são os pontos (1, 0) , (−2, 0) , (−2, 5)
e (1, 5).
d) R é o trapézio limitado pelas retas y = x + 6 e x = 2 e pelos eixos
x e y.
e) R é a região limitada pela curva
√
x, pelas retas x = 4 e x = 9, e
pelo eixo x.
f) R é a região limitada pela curva y = −x2 − 6x− 5 e pelo eixo x.
g) R é a região limitada pela curva y = ex, pelas retas x = 0 e x = ln(1
2
),
e pelo eixo x.
h) R é a região limitada pela curva y = x2 − 2x e pelo eixo x.
i) R é a região limitada pela curva y = 1
x2
e pelas retas y = x e y = x
8
.
j) R é a região limitada pelas curvas y = x2 − 2x e y = −x2 + 4.
l) R é a região entre a curva y = x3 e a reta y = 9x.
m) R é a região entre a curva y = x3 − 3x2 e a reta y =x2 + 5x.
55
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
3.1 Definição de funções de Várias Variáveis
Na industria, se um fabricante determina que x unidades de certo produto po-
dem ser vendidos no mercado interno por R$ 90, 00 a unidade e y unidades po-
dem ser vendidas no mercado externo polo equivalente a R$ 110, 00 a unidade,
a receita total obtida com as vendas do produto é dada por
R = 90x+ 110y
Na psicologia, o quociente de inteligência de uma pessoa, ou QI, é medido
através da expressão
QI =
100m
a
onde a e m são a idade cronológica da pessoa e sua idade mental.
Um carpinteiro que está construindo uma arca com x centímetro de com-
primento, y centímetro de largura e z centímetros de altura sabe que a arca
terá um volume V e uma área S, onde
V = xyz e S = 2xy + 2xz + 2yz
Essas são situações típicas em que uma grandeza de interesse depende dos
valores de duas ou mais variáveis. Outros exemplos são o volume de água
no reservatório de uma cidade, que pode depender da quantidade de chuva e
do consumo da população e a produção de uma fábrica, que pode depender
do capital disponível, do número de operários e do preço das matérias-primas.
Neste capítulo, vamos estender os métodos do cálculo às funções de duas
ou mais variáveis independentes. Quase todo nosso trabalho será feito com
funções de duas variáveis, que, como veremos, podem ser representadas ge-
ometricamente como superfícies no espaço tridimensional. Vamos começar
com algumas definições:
Definição 3.1 Funções de Várias Variáveis
Função f de n variáveis independentes é uma regra que atribui a cada x =
(x1, x2, ..., xn) ∈ D ⊂ IRn, (D domínio de f) um e apenas um número real,
representado pelo símbolo f(x).
Nota:
Convenção de Domínio: A menos que seja dito explicitamente o contrário,
56
o domínio de f é o conjunto de todos os pontos x = (x1, x2, ..., xn) para os
quais a expressão f(x) é definida.
Para os casos de duas ou três vaiáveis é comum usar a seguinte notação:
Para o caso de uma função de duas variável: (x, y) ∈ D ⊂ IR2 e f(x, y).
Para o caso de uma função de três variável: (x, y, z) ∈ D ⊂ IR3 e f(x, y, z).
Exemplos.
1) Dada a função f(x, y) = 3x
2+5y
x−y :
a) Determine o domínio de f .
b) Calcule f(1,−2).
2) Dada a função f(x, y) = xey + ln x:
a) Determine o domínio de f .
b) Calcule f(e2, ln 2).
3) Dada a função f(x, y, z) = xy + xz + yz, calcule f(1, 2, 5).
57
4) Uma loja de artigos esportivos em Foz do Iguaçu oferece dois tipos de
raquetes de tênis, um com a assinatura de Venus Williams e outro com a assi-
natura de Martina Hingis. De acordo com as pesquisas, a demanda de cada
raquete não depende apenas do seu próprio preço, mas também do preço da
concorrente. Assim, se a raquete Willians for vendida por x reais e a raquete
Hingis por y reais, a demanda da raquete Willians será D1 = 300−20x+30y
raquetes por ano e a demanda da raquete em função dos preços x e y.
A produção Q de uma fábrica muitas vezes é considerada como uma
função do capital imobilizado K e do volume L da mão-de-obra. Funções de
produção da forma
Q(K,L) = AKαLβ
onde A, α e β são constantes positivas se revelaram particularmente úteis
em análises econômicas e são conhecidas como funções de produção de
Cobb-Douglas.
Exemplo.
A produção de certa fábrica é dada pela função de produção de Cobb-Douglas
Q(K,L) = 60K
1
3L
2
3
unidades, onde K é o capital imobilizado em milhares
de reais e L é o volume de mão-de-obra em homens-horas:
(a) Calcule a produção da fábrica para um capital imobilizado deR$ 521.000, 00
e um volume de mão-de-obra de 1.000 homens-horas.
58
(b) Mostre que a produção calculada no item (a) será duas vezes maior se
tanto o capital imobilizado quanto o volume de mão-de-obra forem multipli-
cados por dois.
Gráfico de funções de Duas Variáveis
O gráfico de uma função de duas variáveis f(x, y) é o conjunto de todos
os grupos ordenados de três números (x, y, z) tais que o par (x, y) pertence
ao domínio de f e z = f(x, y). Para poder visualizar um gráfico desse tipo,
precisamos definir um sistema de coordenadas tridimensional, acrescen-
tando um terceiro eixo(o eixo Z) perpendicular aos eixos X e Y usados nos
gráficos bidimensionais. Observe que, por convenção, supomos que o plano
xy é horizontal e o sentido positivo do eixo Z é "para cima".
Figura 21: Sistema de coordenadas tridimensional.
59
A posição de um ponto no espaço tridimensional pode ser especificada
através de três coordenadas. Por exemplo, o ponto que está 4 unidades
acima do plano XY e diretamente acima do ponto cujas coordenadas X e
Y são x = 1, y = 2 é representado pelo grupo ordenado de três números
(x, y, z) = (1, 2, 4). Da mesma forma, o grupo ordenado de três números
(2,−1,−3) representa um ponto que está 3 unidades diretamente abaixo do
ponto (2,−1) do plano XY .(Ver figura anterior)
Para plotar uma função f(x, y) de duas variáveis independentes x e y,
costuma-se usar a letra z para representar a variável dependente, isto é,
fazer z = f(x, y).
Figura 22: Gráfico da função z = f(x, y).
Os pares ordenados (x, y) do domínio de f são considerados pontos do
plano XY e a função f é usada para calcular a "altura"de cada ponto (ou
"profundidade", se o valor de z for negativo). Assim, se f(1, 2) = 4, esta
igualdade pode ser representada graficamente plotando o ponto (1, 2, 4) no
espaço tridimensional. Quando isso é feito para todos os pontos do domínio
da função, o resultado é uma superfície no espaço tridimensional. A próxima
figura mostrará algumas superfícies que desempenham um papel importante
nos exemplos e exercícios deste capítulo.
60
Figura 23: Várias superfícies no espaço tridimensional.
Curvas de Nível
Em geral, não é fácil traçar o gráfico de uma função de duas variáveis. A
figura a seguir mostra uma das formas usadas para visualizar uma superfície.
61
Figura 24: Curva de nível da superfície z = f(x, y).
Quando o plano z = C intercepta a superfície z = f(x, y), o resultado
é uma curva no espaço. O conjunto de pontos (x, y) no plano XY que sat-
isfaz à equação f(x, y) = C é chamado de curva de nível de f em C;
fazendo variar o valor de C, é possível gerar uma família inteira de curvas
de nível. Plotando alguns membros dessa família no plano XY , obtemos a
forma aproximada da superfície z = f(x, y).
Imagine, por exemplo, que a superfície z = f(x, y) seja uma "mon-
tanha"cuja "altitude"no ponto (x, y) é dada por f(x, y), como mostra a figura
a seguir.
Figura 25: A superfície z = f(x, y) como uma montanha.
A curva de nível f(x, y) = C está diretamente abaixo de uma trilha na
montanha a qual a altitude é constante e igual a C. Para plotar a montanha,
62
podemos indicar as trilhas de altitude constante traçando a família de curvas
de nível e espetando uma "bandeira"em cada curva para mostrar qual é a
elevação correspondente.
Figura 26: As curvas de nível representam um mapa topográfico de z =
f(x, y).
Exemplo.
Discuta as curvas de nível da função f(x, y) = x2 + y2.
Curvas de Nível na Economia: Isoquantes e Curvas de
Indiferença
63
As curvas de nível aparecem em muitas situações diferentes. Na econo-
mia, por exemplo, se a produção Q(x, y) de um processo é determinada por
dois insumos x e y(horas de trabalho e capital imobilizado, por exemplo), a
curva de nível Q(x, y) = C é chamada de curva de produto constante
C, ou, mais resumidamente, de isoquante("iso"é um prefixo que significa
"igual").
Outra aplicação das curvas de nível na economia envolve o conceito de
curvas de indiferença. A um consumidor que está pensando em comprar
várias unidades de dois produtos é associada uma função de utilidade
U(x, y) que mede a satisfação(ou utilidade) que o consumidor recebe ao
adquirir x unidades do primeiro produto e y unidades do segundo. Uma
curva de nível U(x, y)= C da função de utilidade é chamada de curva de
indiferença e fornece todas as combinações possíveis de x e y que resultam no
mesmo grau de satisfação do consumidor. O próximo exemplo ilustra esses
conceitos:
Exemplo.
A utilidade para um consumidor da aquisição de x unidades de um pro-
duto e y unidades de um segundo produto é dada pela função de utilidade
U(x, y) = x
3
2y. Se o consumidor possui x = 16 unidades do primeiro produto
e y = 20 unidades do segundo, determine o nível de utilidade do consumidor
e plote a curva de indiferença correspondente.
64
Alguns Gráficos:
Figura 27: Algumas Superfícies geradas em computador.
65
3.2 Exercícios:
1. Nos problemas abaixo, calcule o valor da função nos pontos especifica-
dos:
a) f(x, y) = (x− 1)2 + 2xy3; f(2,−1), f(1, 2).
b) f(x, y) = 3x+2y
2x+3y
; f(1, 2), f(−4, 6).
c) g(x, y) =
√
y2 − x2; g(4, 5), g(−1, 2).
d) g(u, v) = 10u
1
2v
2
3
; g(16, 27), g(4,−1331).
2. Nos problemas abaixo, descreva o domínio da função dada:
a) f(x, y) = 5x+2y
4x+3y
. b) f(x, y) =
√
9− x2 − y2.
c) f(x, y) = x
ln(x+y)
. d) f(x, y) =
√
x2 − y.
e) f(x, y) = ln(x+ y − 4). f) f(x, y) = exy√
x−2y .
3. Nos problemas abaixo, plote a curva de nível f(x, y) = C para os
valores especificados de C.
a) f(x, y) = x+ 2y; C = 1, C = 2 e C = −3.
b) f(x, y) = x2 + y; C = 0, C = 4 e C = 9.
c) f(x, y) = x2 − 4x− y; C = −4, C = 5.
d) f(x, y) = x
y
; C = −2, C = 2.
e) f(x, y) = xy; C = 1, C = −1, C = 2 e C = −2.
f) f(x, y) = yex; C = 0, C = 1.
g) f(x, y) = ln(x2 + y2); C = 4, C = ln 4.
4. Usando x operários especializados e y operários não-especializados, uma
fábrica é capaz de produzir Q(x, y) = 10x2y unidades por dia. No
momento, a fabrica opera com 20 operários especializados e 40 operários
não-especializados:
(a) Quantas unidades estão sendo produzidas por dia?
(b) Qual será a variação na produção diária se a fábrica puder contar
com mais 1 operário especializado?
(c) Qual será a variação na produção diária se a fábrica puder contar
com mais 1 operário não-especializado?
(d) Qual será a variação na produção diária se a fábrica puder contar
com mais 1 operário especializado e mais 1 operário não-especializado?
66
3.3 Derivadas parciais. Diferencial total. Derivadas de
ordem superior
Em muitos problemas que envolvem funções de duas(ou mais) variáveis, o
objetivo é determinar a taxa de variação da função com uma das variáveis
enquanto a outra é mantida constante. Em outras palavras, o objetivo é
derivar a função em relação a uma das variáveis mantendo a outra variável
fixa. Esse processo é conhecido como derivação parcial; a derivada resul-
tante é chamada de derivada parcial da função.
Suponhamos, por exemplo, que um estudo realizado em uma fábrica revele
que
Q(x, y) = 5x2 + 7xy
unidades de certo produto são fabricadas quando x operários especializados
e y operários não-especializados estão trabalhando. Nesse caso, se o número
de operários não-especializados permanece constante, a taxa de variação da
produção com o número de operários especializados pode ser obtida derivando
Q(x, y) em relação a x. O resultado é chamado de derivada parcial de Q
em relação a x e representado pelo símbolo Qx(x, y) ou
∂Q
∂x
(x, y). Assim,
Qx(x, y) = 5(2x) + 7(1)y = 10x+ 7y ou
∂Q
∂x
(x, y) = 10x+ 7y
Da mesma forma, se o número de operários especializados permanece
constante, a taxa de variação da produção com o número de operários não-
especializados é dada pela derivada parcial de Q em relação a y, que é
obtida derivando Q(x, y) em relação a y;
Qy(x, y) = (0) + 7x(1) = 7x ou
∂Q
∂y
(x, y) = 7x
Notas:
1) Se z = f(x, y) a derivada parcial de z em relação a x é representada por
∂z
∂x
ou fx(x, y)
e é a função obtida derivando z em relação a x enquanto y é tratada como
constante. A derivada parcial de z em relação a y é representada por
∂z
∂y
ou fy(x, y)
67
e é a função obtida derivando z em relação a y enquanto x é tratada como
constante.
2) Como já sabemos, a derivada de uma função de uma variável, f(x), é
definida pelo seguinte limite:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
As derivadas parciais de uma função de duas(ou mais) variáveis, fx(x, y) e
fy(x, y), são dadas por limites semelhantes:
fx(x, y) = lim
h→0
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
e
fy(x, y) = lim
h→0
f(x, y + h)− f(x, y)
h
3) Para uma função de três variáveis w = f(x, y, z) segue o mesmo raciocínio:
derivada parcial em relação a x fx(x, y, z) , derivada parcial em relação a y
fy(x, y, z) e derivada parcial em relação a z fz(x, y, z). Para o caso geral
seja f(x1, x2, ..., xn) uma função de n variáveis, então sua derivada parcial na
variável xi é dada por:
∂f
∂xi
= lim
h→0
f(x1, ..., xi−1, xi + h, xi+1, ..., xn)− f(x1, ..., xi−1, xi, xi+1, ..., xn)
h
Exemplos.
1) Calcule as derivadas parciais fx e fy de f(x, y) = x
2 + 2xy2 + 2 y
3x
.
68
2) Calcule as derivadas parciais ∂z
∂x
e
∂z
∂y
da função z = (x2 + xy + y)5.
3) Calcule as derivadas parciais fx e fy da função f(x, y) = xe
−2xy
.
4) Calcule as derivadas parciais fx, fy e fz da função f(x, y, z) =
ln(x+y)
z
.
69
Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais
Como vimos anteriormente, as funções de duas variáveis podem ser repre-
sentadas graficamente como superfícies em um sistema de coordenadas tridi-
mensional. Em particular, se z = f(x, y), um par ordenado (x, y) no domínio
de f pode ser associado a um ponto no plano XY e o valor funcional corre-
spondente, z = f(x, y), pode ser associado a uma "altura"em relação a esse
ponto. O gráfico de f é a superfície formada por todos os pontos (x, y, z) do
espaço tridimensional cuja altura z é igual a f(x, y).
As derivadas parciais de uma função de duas variáveis podem ser in-
terpretadas geometricamente da seguinte forma: para cada número fixo y0,
os pontos (x, y0, z) formam um plano vertical cuja equação é y = y0. Se
z = f(x, y) e y é mantido fixo comm o valor y = y0, os pontos correspon-
dentes (x, y0, f(x, y0)) formam uma curva no espaço tridimensional que é a
interseção da superfície z = f(x, y) com o plano y = y0. Em cada ponto
dessa curva, a derivada parcial
∂z
∂x
é simplesmente a inclinação da reta do
plano y = y0 que é tangente à curva no ponto em questão. Em outras
palavras,
∂z
∂x
é a inclinação da tangente "na direção x".(ver figura)
Figura 28: Interpretação geométrica da derivada parcial em x.
Da mesma forma, se x é mantido fixo com o valor x = x0, os pontos
correspondentes (x0, y, f(x0, y)) formam uma curva que é a interseção da
superfície z = f(x, y) com o plano vertical x = x0. Em cada ponto da curva,
70
a derivada parcial
∂z
∂y
é a inclinação da reta do plano x = x0 que é tangente
à curva no ponto em questão. Em outras palavras,
∂z
∂y
é a inclinação da
tangente "na direção y".(ver figura)
Figura 29: Interpretação geométrica da derivada parcial em y.
Derivadas Parciais de Segunda Ordem.
As derivadas parciais podem ser derivadas; as funções resultantes recebem
o nome de derivadas parciais de segunda ordem. Este processo pode
se "repetir"n vezes e as funções resultantes recebem o nome de derivadas
parciais de no ordem. Apresentaremos a seguir as possíveis derivadas par-
ciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis:
Se z = f(x, y), a derivada parcial de fx em relação a x é
fxx = (fx)x ou
∂2z
∂x2
=
∂
∂x
(
∂z
∂x
)
A derivada parcial de fx em relação a y é
fxy = (fx)y ou
∂2z
∂y∂x
=
∂
∂y
(
∂z
∂x
)
A derivada parcial de fy em relação a x é
fyx = (fy)x ou
∂2z
∂x∂y
=
∂
∂x
(
∂z
∂y
)
71
A derivada parcial de fy em relação a y é
fyy = (fy)y ou
∂2z
∂y2
=
∂
∂y
(
∂z
∂y
)
Exemplo.
Calcule as quatro derivadas parciais de segunda ordem da funçãof(x, y) =
xy3 + 5xy2 + 2x+ 1.
Nota
As derivadas parciais de segunda ordem fxy e fyx são chamadas de derivadas
parciais mistas de f . Observe que as derivadas parciais mistas calculadas
no exemplo anterior são iguais. Isto não é coincidência. Na maioria dos
casos, as derivadas parciais mistas de uma função f(x, y) são iguais, ou seja,
fxy = fyx.
Exemplo.
A produção Q de uma fábrica depende do capital K investido da fábrica
e também do volume de mão-de-obra L, medido em homem-horas. Qual é o
significado econômico do sinal da derivada parcial de segunda ordem
∂2Q
∂L2
?
72
Diferencial total
A diferencial de uma função de uma variável, y = f(x), é aproximada-
mente igual ao acréscimo ∆y da variável dependente y. De forma análoga, a
diferencial de uma função de duas variáveis, z = f(x, y), é uma função que
melhor aproxima o acréscimo ∆z da variável dependente z.
Geometricamente, a diferencial de uma função de uma variável está associ-
ado a reta tangente que passa por um ponto (x0, y0) pertencente ao gráfico
de f(x). Já para o caso de duas variáveis a diferencial esta associado a um
plano tangente à superfície z = f(x, y), no ponto (x0, y0)(quando existe).
Este plano é que "melhor aproxima"a superfície perto do ponto (x0, y0).
A diferencial de z = f(x, y) em (x0, y0) é definida pela função T : IR
2 → IR
T (x− x0, y − y0) = ∂f
∂x
((x0, y0)[x− x0] + ∂f
∂y
((x0, y0)[y − y0]
ou
T (h, k) =
∂f
∂x
((x0, y0)h+
∂f
∂y
((x0, y0)k
onde h = x− x0 e k = y − y0.
Observamos que:
(a) Vemos que T nos dá uma aproximação do acréscimo ∆z, sofrido por f
quando passamos de (x0, y0) para (x, y), ou seja,
∆z = f(x, y)− f(x0, y0) ∼= ∂f
∂x
((x0, y0)[x− x0] + ∂f
∂y
((x0, y0)[y − y0].
(b) É comum dizer que
∂f
∂x
((x0, y0)[x− x0] + ∂f
∂y
((x0, y0)[y − y0]
é a diferencial de f em (x0, y0) relativa aos acréscimos ∆x e ∆y, onde
∆x = x− x0 e ∆y = y − y0.
(c) Em uma notação clássica, definimos a diferencial das variáveis indepen-
dentes x e y como os acréscimos ∆x e ∆y, respectivamente, isto é,
dx = ∆x dy = ∆y.
73
Neste contexto, a diferencial de f em (x, y), relativa aos acréscimos ∆x e ∆y,
é indicada por dz ou df , onde
dz =
∂f
∂x
(x, y)dx+
∂f
∂y
(x, y)dy.
A expressão acima também é denominada diferencial total de f(x, y).
Exemplos.
1) Calcular a diferencial de f(x, y) = x+
√
xy no ponto (1,1).
2) Dada a função z = x2 + y2 − xy.
(a) Determinar uma boa aproximação para o acréscimo da variável depen-
dente quando (x, y) passa de (1, 1) para (1, 001; 1, 02).
74
(b) Calcular ∆z quando as variáveis independentes sofrem a variação dada
em (a).
3) Calcular a diferencial das seguintes funções.
(a) z = sen 2(xy).
(b) z = ln(x+ y2).
75
3.4 Exercícios:
1. Nos problemas abaixo, calcule todas as derivadas parciais de primeira
ordem da função dada:
a) f(x, y) = 2xy5+3x2y+x2; b) f(x, y) = 5x2y+2xy3+3y2;
c) z = (3x+ 2y)5; d) z = t
2
s3
;
e) f(x, y) = (x+ xy + y)3; f) f(s, t) = 3t
2s
;
g) f(x, y) = xexy; h) f(x, y) = xyex;
i) f(x, y) = e
2−x
y2
; j) f(x, y) = xex+2y;
k) f(x, y) = 2x+3y
y−x ; l) f(x, y) =
xy2
x2y3+1
;
m) z = u ln v; n) f(u, v) = u ln(uv);
o) f(x, y) = ln(x+2y)
y2
; p) z = ln(x
y
+ y
x
);
2. Nos problemas abaixo, calcule as derivadas parciais fx(x, y) e fy(x, y)
no ponto dado P0(x0, y0);
a) f(x, y) = 3x2 − 7xy + 5y3 − 3(x+ y)− 1; em P0(−2, 1);
b) f(x, y) = (x− 2y)2 + (y − 3x)2 + 5; em P0(0,−1);
c) f(x, y) = xe−2y + ye−x + xy2; em P0(0, 0);
d) f(x, y) = xy ln( y
x
) + ln(2x− 3y)2; em P0(1, 1);
3. Nos problemas abaixo, calcule todas as derivadas parciais de segunda
ordem;
a) f(x, y) = 5x4y3 + 2xy; b) f(x, y) = x+1
y−1 ;
c) f(x, y) = ex
2y
;
d) f(u, v) = ln(u2 + v2;
e) f(s, t) =
√
s2 + t2; f) f(x, y) = x2yex;
4. Em certa fábrica, a produção diária é Q(K,L) = 60K
1
2L
1
3
unidades,
onde K é o capital imobilizado em milhares de reais e L o volume
de mão-de-obra em homens-horas. O capital imobilizado atual é R$
900.000, 00 e o volume de mão-de-obra é 1.000 homens-horas por dia.
Use os métodos de análise marginal para estimar o efeito de um inves-
timento adicional de R$ 1.000, 00 sobre a produção diária se o volume
de mão-de-obra permanece constante.
5. Um fabricante estima que a produção anual de certa fábrica é dada por
Q(K,L) = 30K0,3L0,7
unidades, onde K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o
volume de mão-de-obra em homens-horas.
a) Determine a produtividade marginal do capital, QR, e a produtivi-
dade marginal da mão-de-obra, QL para um capital imobilizado de R$
76
630.000, 00 e um volume de mão-de-obra de 830 homens-horas.
b) Para aumentar rapidamente a produtividade, o fabricante deve au-
mentar o investimento ou a mão-de-obra?
6. Em certa fábrica, a produção é Q(K,L) = 30K
1
2L
1
3
unidades, onde K
é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão-de-
obra em homens-horas:
a) Determine o sinal da derivada parcial de segunda ordem ∂
2Q
∂L2
e ex-
plique o que significa em termos econômicos.
b) Determine o sinal da derivada parcial de segunda ordem ∂
2Q
∂K2
e ex-
plique o que significa em termos econômicos.
77
3.5 Máximos e mínimos de funções de duas variáveis.
Máximos e mínimos condicionais. Otimização condi-
cional e não condicional com restrições
Suponha que um fabricante produza dois modelos de videocassete, o modelo
de luxo e o modelo-padrão, e que o custo total para produzir x unidades do
modelo de luxo e y unidades do modelo-padrão seja dado pela função C(x, y).
Como determinar o nível de produção x = a e y = b para qual o custo é mín-
imo? Suponha que a produção de certa fábrica seja dada por uma função
Q(K,L), onde K é o capital imobilizado e L o volume da mão-de-obra. Para
que valores K = K0 e L = L0 a produção será máxima?
Aprendemos a usar a derivada f ′(x) para determinar os valores máximos
e mínimos da função de uma variável f(x). Vamos discutir o uso de métodos
semelhantes no caso de funções de duas variáveis, f(x, y). Começaremos com
uma definição:
Definição 3.2 Extremos Relativos: Dizemos que uma função f(x, y) pos-
sui um máximo relativo no ponto P (a, b) se f(a, b) ≥ f(x, y) para todos
os valores de x e y em um intervalo e ≤ x ≤ f e g ≤ y ≤ h que contenha o
ponto P (a, b).
Dizemos que uma função f(x, y) possui um mínimo relativo no ponto
Q(c, d) se f(c, d) ≤ f(x, y) para todos os valores de x e y em um intervalo
i ≤ x ≤ j e h ≤ y ≤ l que contenha o ponto Q(c, d).
Em termos geométricos, existe um máximo relativo de f(x, y) no ponto
P (a, b) se a superfície z = f(x, y) possui um "pico"no ponto (a, b, f(a, b)), ou
seja, se o ponto (a, b, f(a, b)) é pelo menos tão alto quanto qualquer ponto
próximo. Da mesma forma, existe um mínimo relativo de f(x, y) no ponto
Q(c, d) se o ponto (c, d, f(c, d)) está no fundo de uma "depressão", ou seja, se
o ponto (c, d, f(c, d)) é pelo menos tão baixo quanto qualquer ponto próximo.
A função f(x, y) da figura a seguir, por exemplo, possui um máximo relativo
no ponto P (a, b) e um mínimo relativo no ponto Q(c, d).
78
Figura 30: Extremos relativos da função f(x, y).
Pontos Críticos
Os pontos (a, b) de f(x, y) para os quais fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0 são
chamados de pontos críticos de f . Como os pontos críticos das funções de
uma variáveis, esses pontos críticos desempenham um papel importante no
estudo dos máximos e mínimos relativos.
Para ter uma idéia da relação que existe entre os pontos críticos e os ex-
tremos relativos, suponha que f(x, y) possua um máximo relativo no ponto
(a, b). Nesse caso, a curva formada pela interseção da superfície z = f(x, y)
com o plano vertical y = b possui um máximo relativo, portanto, uma tan-
gente horizontal no ponto x = a. Como a inclinação dessa tangente é dada
pela derivada parcialfx(a, b), devemos ter necessariamente fx(a, b) = 0. do
mesmo modo, a curva formada pela interseção da superfície z = f(x, y) com
o plano vertical x = a possui um máximo relativo, portanto, uma tangente
horizontal no ponto y = b, de modo que fy(a, b) = 0. Isto mostra que um
ponto no qual uma função de duas variáveis possui um máximo relativo ou
um mínimo relativo deve ser necessariamente um ponto crítico.
79
Figura 31: As derivadas parciais são nulas em um extremo relativo.
Pontos Críticos e Extremos Relativos: Um ponto (a, b) de uma função
f(x, y) é chamado de ponto crítico se fx e fy existirem e
fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0
Quando as derivadas parciais de primeira ordem de f existem em todos os
pontos de uma região R do plano XY , os extremos relativos de f em R só
podem ocorrer em pontos críticos.
Embora todos os extremos relativos de uma função devam ocorrer em pon-
tos críticos, os pontos críticos não são necessariamente extremos relativos.
Considere, por exemplo, a função f(x, y) = y2− x2, cujo gráfico, que lembra
uma sela.
80
Figura 32: A superfície z = x2 − y2.
Nesse caso, fx(0, 0) = 0 porque a superfície possui um máximo relativo
(portanto, uma tangente horizontal) "na direção x"e fy(0, 0) porque a su-
perfície possui um mínimo relativo (portanto, uma tangente horizontal) "na
direção y". Assim, (0, 0) é um ponto crítico de f mas não um extremo rel-
ativo. Para que um ponto crítico seja um extremo relativo, é preciso que o
extremo seja do mesmo tipo em todas as direções. Um ponto crítico que não
é um máximo relativo nem um mínimo relativo é chamado de ponto de sela.
Testes das Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Vamos apresentar um método, baseado nas derivadas parciais de segunda or-
dem, para determinar se um ponto crítico é um máximo relativo, ou mínimo
relativo ou um ponto de sela.
Testes das Derivadas Parciais de Segunda Ordem: Suponhamos que
(a, b) seja um ponto crítico da função f(x, y). Seja
D = fxx(a, b)fyy(a, b)− [fxy(a, b)]2
81
Se D < 0, f possui um ponto de sela no ponto (a, b).
Se D > 0 e fxx(a, b) < 0, f possui um máximo relativo no ponto (a, b).
Se D > 0 e fxx(a, b) > 0, f possui um mínimo relativo no ponto (a, b).
Se D = 0, o teste não pode ser aplicado; f pode possuir um máximo relativo,
um mínimo relativo ou um ponto de sela no ponto (a, b).
Exemplos.
1) Determine todos os pontos críticos da função f(x, y) = x2+y2 e classifique
cada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela.
2) Determine todos os pontos críticos da função f(x, y) = y2−x2 e classifique
cada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela.
3) Determine todos os pontos críticos da função f(x, y) = x3 − y3 + 6xy e
classifique cada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um
ponto de sela.
82
Problemas de Práticos de otimização
A seguir, vamos ilustrar a aplicação da teoria dos extremos à solução de
problemas de otimização na área da economia. Na verdade, estaremos inter-
essados em determinar o máximo ou mínimo absoluto de uma certa função.
Acontece, porém, que o máximo(mínimo) absoluto e máximo(mínimo) rela-
tivo dessas funções coincidem. Na maioria dos problemas práticos de otimiza-
ção de funções de duas variáveis, os extremos absolutos coincidem com os ex-
tremos relativos. Por essa razão, a teoria dos extremos absolutos de funções
de duas variáveis não será discutida neste livro e o leitor poderá supor que
os extremos relativos que encontrar como soluções de problemas práticos de
otimização serão também extremos absolutos.
Exemplos.
1) O único supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com
duas marcas de suco de laranja, uma marca local que custa no atacado 30
centavos a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no at-
acado 40 centavos a garrafa. O dono do supermercado estima que se cobrar
x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca
nacional, venderá 70−5x+4y garrafas da marca local e 80+6x−7y garrafas
da marca nacional por dia. Por quanto o dono do supermercado deve vender
as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro?
2) Um funcionário do setor de planejamento da Distribuidora Tabajara ver-
ifica que as lojas dos três clientes mais importantes da distribuidora estão
localizadas nos pontos A(1, 5), B(0, 0) e C(8, 0), onde as unidades estão em
quilômetros. Em que ponto W (x, y) deve ser instalado em depósito para que
a soma das distâncias do ponto W aos pontos A, B e C seja mínima?
83
Otimização com Restrições: Método dos Multiplicadores de
Lagrange
Em muitos problemas práticos, uma função de duas variáveis deve ser
otimizada com certas restrições. Uma editora, por exemplo, obrigada a re-
speitar um orçamento de R$ 60.00, 00 para o lançamento de um livro, pode
ter necessidade de decidir qua é a melhor forma de dividir esse dinheiro en-
tre a produção e a propaganda de modo a maximizar as vendas do livro.
Chamando de x a quantia destinada à produção, y a quantia destinada á
propaganda e f(x, y) o número de livros vendidos, a editora gostaria de max-
imizar a função de vendas f(x, y) com a restrição de que x+y = R$ 60.000, 00.
Para visualizar o que significa o processo de otimização de uma função
de duas variáveis com restrições, pense na função como uma superfície no
espaço tridimensional e na restrição (que é uma equação envolvendo x e y)
como uma curva no plano XY . Quando procuramos o máximo ou mínimo de
uma função com uma dada restrição, estamos limitando nossa busca à parte
da superfície que está diretamente acima da curva que representa a restrição.
O ponto mais alto dessa parte da superfície é o máximo com a restrição e o
ponto mais baixo é o mínimo com a restrição.
Figura 33: Extremos com restrições e sem restrições.
Vamos discutir uma técnica muito versátil, conhecida como método
dos multiplicadores de Lagrange, na qual a introdução de uma terceira
84
variável(o multiplicador) permite resolver problemas de otimização com re-
strição.
Mais especificamente, o método dos multiplicadores de Lagrange se baseia no
fato de que todo extremo relativo de uma função f(x, y) sujeita à restrição
g(x, y) = k deve ocorrer em um ponto crítico da função
F (x, y) = f(x, y)− λ[g(x, y)− k]
Onde λ é uma nova variável (o Multiplicador de Lagrange). Para deter-
minar os pontos críticos de F , calculamos as derivadas parciais
Fx = fx − λgx Fy = fy − λgy Fλ = −(g − k)
e resolvemos o sistema de equações Fx = 0, Fy = 0, Fλ = 0:
Fx = fx − λgx = 0 ou fx = λgx
Fy = fy − λgy = 0 ou fy = λgy
Fλ = −(g − k) = 0 ou g = k
Finalmente, calculamos f(a, b) nos pontos críticos (a, b) de F .
Existe uma versão do teste das derivadas parciais de segunda ordem que
pode ser usada para determinar que tipo de extremo relativo com restrição
corresponde a cada ponto crítico (a, b) de F . As técnicas para realizar esse
tipo de análise são discutidas em textos mais avançados, mas neste contexto
vamos supor que se f possui um máximo(mínimo) com restrições, será dado
pelo maior(menor) dos valores críticos f(a, b).
Aplicação do Método dos Multiplicadores de Lagrange
1o passo: escreva o problema na forma:
Maximizar (minimizar) f(x, y) com a restrição de que g(x, y) = k.
2o passo: resolva o sistema de equações
fx(x, y) = λgx(x, y)
fy(x, y) = λgy(x, y)
g(x, y) = k
3o passo: calcule o valor de f em todos os pontos encontrados no 2o passo.
Se o máximo(mínimo) desejado existir, será o maior(menor) desses valores.
85
Exemplos.
1) O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma
área de piquenique para motoristas à beira de uma rodovia movimentada.
O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000 metros quadrados, e
deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor