Z trans double pole - Transformada Z

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Transformada Z de 1
s2(s+1)
Leonardo Tôrres
23 de abril de 2012
Resumo
Dedução da transformada Z da função racional em s que surge na resolução do
primeiro �Dever de Casa�, exigido em 06/05/2008.
1 Uso da Fórmula dos Resíduos
Z
{
1
s2(s+ 1)
}
= Z{F (s)} = ∑
polos F(λ)
Res
{
1
λ2(λ+ 1)
· 1
1− z−1eλT
}
Para se calcular os resíduos da expressão acima, realmente é preciso se considerar
também a presença do fator
1
1−z−1eλT em todos os passos. Ou seja:
• Para o pólo simples de F (λ) em λ = −1, tem-se:
Resλ=−1 =
1
λ2
· 1
1− z−1eλT
∣∣∣∣
λ=−1
=
1
1− z−1e−T (1)
• Para o pólo duplo de F (λ) em λ = 0, tem-se (note que o fator 1
1−z−1eλT deve ser
levado em conta no momento do cálculo do resíduo, isto é, no momento em que se
calcula a derivada da função, uma vez que se trata de pólo duplo):
Resλ=0 =
[
d
dλ
(
1
λ+ 1
· 1
1− z−1eλT
)]
λ=0
=
[( −1
(λ+ 1)2
· 1
1− z−1eλT
)
+
(
1
λ+ 1
· −1
(1− z−1eλT )2 · −z
−1TeλT
)]
λ=0
=
−1
1− z−1 +
Tz−1
(1− z−1)2
=
(T + 1)z−1 − 1
(1− z−1)2 (2)
1
Controle Digital 1
o
semestre de 2008
• Portanto, a partir de (1) e (2), o resultado final será:
Z
{
1
s2(s+ 1)
}
=
1
1− z−1e−T +
(T + 1)z−1 − 1
(1− z−1)2 (3)
• Com este resultado, podemos calcular a função de transferência discreta para o
sistema contínuo do exercício, quando se considera a presença de um segurador de
ordem 0 na entrada:
Z
{
1− e−sT
s
· 1
s(s+ 1)
}
= (1− z−1) · Z
{
1
s2(s+ 1)
}
=
1− z−1
1− z−1e−T +
(T + 1)z−1 − 1
1− z−1
Z
{
1− e−sT
s
· 1
s(s+ 1)
}
=
(T + e−T − 1)z + (1− (T + 1)e−T )
(z − e−T )(z − 1) (4)
• No MATLAB, a expressão (4) pode ser obtida fazendo-se:
1 Gs = zpk ( [ ] , [ 0 −1 ] ,1) ;
2
3 T = 0 . 1 ;
4 Gz = c2d (Gs ,T) ;
Por padrão (default) assume-se um segurador de ordem zero na entrada do sistema,
no último comando. Isto é equivalente a digitar:
1 Gz = c2d (Gs ,T, ' zoh ' ) ;
UFMG/DELT 2