MICRO 2 aula2 SA

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CURSO DE MICROECONOMIA 2
Seleção Adversa - Aula 2
PROF Mônica Viegas
Cedeplar/UFMG
2/2012
Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 -TEORIA DOS CONTRATOS - 2/2012 1 / 45
O Modelo Padrão
Agente que troca um vetor de mercadorias q por uma transferência p.
As funções utilidade são de…nidas por:
Principal: W(q, t)
Agente: U(q, t, θ)
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- quando o contrato é assinado o agente conhece o seu próprio tipo θ.
- o principal tem uma crença sobre o tipo do agente a qual é representada
por uma distribuição de probabilidade f com distribuição acumulada F(Θ)
(prior)
- O agente tem um contínuo possível de tipos.
- Pelo princípio da revelação sabemos que o principal deve ofertar ao
agente um menu de contratos (q (.) , t (.)) indexados por um anúncio do
tipo do agente que deve ser revelador no equilíbrio.
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Análise da Restrição de Incentivos
É necessário caracterizar os menus de contrato de modo que:
(IC ) O agente θ escolhe (q (θ) , t (θ)) que o principal desenhou para ele
(IR) O agente obtém pelo menos o nível de utilidade de reserva
e o menu de contratos (q (θ) , t (θ)) maximiza a utilidade esperada do
principal entre todos os menus que satisfazem (IR) e (IC ) .
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Faça V
�
θ,bθ� ser a utilidade alcançada pelo agente do tipo θ que anuncia
ser do tipo bθ e portanto aufere utilidade dada por:
V
�
θ,bθ� = U �q �bθ� , t �bθ� , θ�
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O mecanismo (q, t) satisfaz as restrições de incentivos se e somente se
sendo revelador faz com que todos os tipos de agente tenham o máximo
de utilidade (se a utilidade é tão grande quanto seria se …ngisse ser de
outro tipo).
V
�
θ,bθ� 2 Θ2
V (θ, θ) � V
�
θ,bθ� (IC )
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Para simpli…car o problema vamos supor três hipóteses:
Hipótese 1:
q é unidimensional (ou seja se for qualidade ou quantidade, mas tem
apenas uma dimensão)
Hipótese 2:
Supomos que o espaço de tipos está contido na reta real. Isso equivale a
dizer que os tipos têm apenas uma dimensão em que podem se diferenciar.
Θ =
�
θ, θ
�
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Hipótese 3: Supor uma utilidade do tipo aditiva (preferâncias
quase-lineares)
U (q, t, θ) = U (q, θ)� t
=) utilidade marginal da renda é constante
Permite trabalhar com a idéia de excedente
Além disso vamos supor que o mecanismo (q, t) é diferenciável.
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Restrição de Compatibilidade de Incentivos
Para que (q, t) seja compatível com incentivos são condições necessárias
(não são su…cientes, mas podem ser se o problema for côncavo) que as
condições de 1a e 2a ordem sejam válidas:
8θ 2 Θ
(
∂V
∂bθ (θ, θ) = 0 (cpo)
∂2V
∂bθ2 (θ, θ) � 0 (cso)
)
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Restrição de Compatibilidade de Incentivos
Condição de Primeira Ordem:(Derivando em relação ao θ que o
indivíduo anuncia ser)
V
�
θ,bθ� = U �q �bθ� , t �bθ� , θ�
= U (q (θ) , θ)� t (θ)
∂V
∂θ
=
∂U
∂q
(q (θ) , θ)
dq
dθ
(θ)� dt
dθ
(θ) = 0 =) ∂U
∂q
(q (θ) , θ)
dq
dθ
(θ) =
dt
dθ
(θ) (IC1)
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Condição de Segunda Ordem:
∂2V
∂θ2
(θ, θ) =
∂
∂θ
�
∂U
∂q
(q (θ) , θ)
dq
dθ
(θ)� dt
dθ
(θ)
�
=
∂2U
∂q2
(q (θ) , θ)
�
dq
dθ
(θ)
�2
+
∂U
∂q
(q (θ) , θ)
d2q
dθ2
(θ)� d
2t
dθ2
(θ) � 0
=) d
2t
dθ2
� ∂
2U
∂q2
�
dq
dθ
�2
+
∂U
∂q
d2q
dθ2
(IC2)
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Restrição de Compatibilidade de Incentivos
Diferenciando a condição de primeira ordem em relação a θ :
∂U
∂q
(q (θ) , θ)
dq
dθ
(θ) =
dt
dθ
(θ)
d2t
dθ2
=
∂2U
∂q2
(q (θ) , θ)
�
dq
dθ
�2
+
∂U
∂q
(q (θ) , θ)
d2q
dθ2
+
∂2U
∂q∂θ
dq
dθ
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Substituindo em IC2 :
d2t
dθ2
� ∂
2U
∂q2
�
∂q
∂θ
�2
+
∂U
∂q
d2q
dθ2
(IC2)
=) ∂
2U
∂q2
�
dq
dθ
�2
+
∂U
∂q
d2q
dθ2
+
∂2U
∂q∂θ
∂q
∂θ
� ∂
2U
∂q2
�
dq
dθ
�2
+
∂U
∂q
d2q
dθ2
=) ∂
2U
∂q∂θ
dq
dθ
� 0 (IC2)
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Restrição de Compatibilidade de Incentivos
Consequentemente as condições de 1a e 2a ordem podem ser escritas
como:
8θ 2 Θ
(
∂U
∂q
dq
d θ =
dt
d θ (IC1)
∂2U
∂q∂θ
∂q
∂θ � 0 (IC2)
)
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Condição de Spence-Mirrlees
A maior parte dos modelos simpli…ca a análise supondo que a derivada
cruzada tem sinal constante.
A condição sobre a derivada cruzada também é conhecida como condição
de Spence-Mirrlees ou condição de cruzamento único. No caso concreto,
supomos que a função de utilidade dos agentes é crescente e côncava.
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Vamos supor que esta derivada é estritamente crescente,
8θ 2 Θ, 8q,
�
∂2U
∂q∂θ
dq
dθ
> 0
�
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Condição de Spence-Mirrlees ou condição de cruzamento único
U(q,θ2)-t2=k2
U(q,θ1)-t1=k1
q
t
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Condição de Spence-Mirlees
Intuição da Condição de Spence-Mirrlees
- agentes com tipos mais elevados, isto é, no caso que valorizam mais a
qualidade estão mais propensos a pagar por um adicional de qualidade do
que os agentes com menor propensão.
Indivíduos com tipo mais elevado têm curvas de indiferença mais
inclinadas uma vez que ∂u∂q aumenta com θ.
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=) E´ possível separar os tipos oferecendo alocações com q mais elevados
para agentes do tipo mais elevado (a utilidade marginal deles é maior)
Condição de Spence- Mirrlees = condição que permite separar os tipos
Agora vamos mostrar que q pertence ao desenho de mecanismo direto e
revelador (q, t) se e somente se q é não decrescente.
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Desenho de mecanismos revelador da verdade
Demonstração:
Considere a condição de primeira ordem:
∂V
�
θ,bθ�
∂bθ = ∂u∂q
�
q
�bθ� , θ� dq
dθ
�b� dt
dθ
�bθ�
Escrevendo IC1 em bθ, temos:
∂u
∂q
�
q
�bθ� ,bθ� dq
dθ
c(θ) = dt
dθ
�bθ�
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consequentemente:
∂V
∂θ
�
θ,bθ� = �∂u
∂q
�
q
�bθ� , θ�� ∂u
∂q
�
q
�bθ� ,bθ�� dq
dθ
�bθ�
O sinal do lado direito é dado por:
∂2u
∂q∂θ
�
q
�bθ� , θ�� �θ � bθ� dq
dθ
�bθ�
(Aplicação do teorema do valor intermediário)
para algum valor θ� intermediário entre θ e bθ.
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Desenho de mecanismos revelador da verdade
Dada a condição de Spence-Mirrlees este termo tem o mesmo sinal que�
θ � bθ� se q for não decrescente em θ. Assim, a função bθ �! V �θ,bθ�
cresce até que bθ = θ e depois decresce. Portanto bθ =θ é o maximo global
de V
�
θ,bθ� e o mecanismo é revelador da verdade se q for não
decrescente em θ.
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Interpretação
A IC2 só está válida se q for não decrescente em θ
(o desenho de mecanismos ter queser crescente em θ)
A IC1 válida nos permite identi…car qual é a transferência que está
associada a esse desenho de mecanimos.
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Solucionando o modelo:
-Contínuo de Tipos
-Função Utilidade do Principal é separável
W (t, q) = t � C (q) (1)
8q, θ, ∂U
∂θ
(q, θ) > 0
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Uma mesma alocação dá para os tipos com θ mais elevado, nível de
utilidade maior.
Suponha que a condição de Spence-Mirrlees é válida:
∂2U
∂q∂θ
(q, θ) > 0 (2)
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Faça v(θ) ser a utilidade que o agente do tipo θ aufere no ponto ótimo.
Como o mecanismo é revelador da verdade temos:
v (θ) = V (θ, θ) = U (q (θ) , θ)� t (θ)(3)
∂v
∂θ
=) ∂U
∂q
∂q
∂θ
+
∂U
∂θ
(q (θ) , θ)� dt
dθ
(4)
Mas no ponto de ótimo, temos que :
∂U
∂q
dq
dθ
=
dt
dθ
(IC1) (5)
=) ∂v
∂θ
=
∂U
∂θ
(q (θ) , θ) > 0 (6)
∂U
∂θ (q (θ) , θ) > 0 por hipótese.
v(θ) = renda informacional que o agente do tipo θ aufere no ponto ótimo
Esta renda informacional é crescente com os tipos.
ACABAMOS DE DEMONSTRAR QUE QUANTO MAIS
ELEVADO O TIPO MAIOR A RENDA INFORMACIONAL
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PARA VER ESSE RESULTADO VAMOS CALCULAR A
UTILIDADE DOS INDIVÍDUOS
Utilidade do indivíduo que é do tipo θ e …nge ser do tipo bθ pode ser escrita
como:
U
�
q
�bθ� , θ�� t �bθ� = v �bθ�+ U �q �bθ� , θ�� U �q �bθ� ,bθ�
pois
v
�bθ� = V �bθ,bθ� = U �q �bθ� ,bθ�� t �bθ�
que é necessariamente maior que a utilidade v
�bθ� uma vez que a utilidade
é crescente em θ e θ > bθ.
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- A habilidade dos tipos mais elevados em …ngirem (”se esconderem atrás
dos tipos inferiores”) que são de tipos inferiores é o fato gerador da renda
informacional. Esta renda é o preço que o principal tem que pagar para
que estes tipos se revelem.
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RESTRIÇÃO DE PARTICIPAÇÃO
RESTRIÇÃO DE PARTICIPAÇÃO
A hipótese de racionalidade individual (restrição de participação) pode ser
reescrita apenas para o tipo mais baixo:
8θ, v (θ) � 0
como v é crescente em θ, a restrição pode ser escrita apenas para o menor
tipo.
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A restrição de participação pode ser reescrita como:
8θ, v (θ) � 0 (7)
Esta restrição é válida como igualdade uma vez que é custoso para o
principal realizar transferências (caso contrário o lucro dele seria menor)
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Substituindo as transferências
Essas considerações nos permitem reescrever o problema do principal sem
que seja necessário que este maximize nas transferências.
Como visto vamos substituir as trasferências no problema do principal e
maximizar escolhendo q(.) .
Temos que para cada tipo, a renda informacional é dada por:
=) v (θ) =
Z θ
θ
∂U
∂θ
(q (τ) , τ) dτ
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Consequentemente, podemos reescrever as transferências como:
t (θ) = U (q (θ) , θ)� v (θ) (8)
= U (q (θ) , θ)�
Z θ
θ
∂U
∂θ
(q (τ) , τ) dτ (9)
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O problema do principal
Vamos agora retornar ao objetivo do Principal:
Max
Z θ
θ
[t (θ)� c (q (θ))] f (θ) dθ
substituindo o valor de t, obtemos
Max
Z θ
θ
�
U (q (θ) , θ)�
Z θ
θ
∂U
∂θ
(q (τ) , τ) dτ � c (q (θ))
�
f (θ) dθ
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Integrando por partes: Z
udv = uv �
Z
vdu
Reescrevendo o segundo termo da função utilidade do principal:1
Z θ
θ
Z θ
θ
∂U
∂θ
(q (τ) , τ) dτ| {z }
u
f (θ) dθ| {z }
dv
=
=
Z θ
θ
∂U
∂θ
(q (τ) , τ) dτ
�
F
�
θ
�� F (θ)�� Z θ
θ
F (θ)
∂U
∂θ
(q (θ) , θ) dθ
=
Z θ
θ
∂U
∂θ
(q (θ) , θ)
(1� F (θ))
f (θ)
f (θ) dθ
1Usar a regra de Leibniz:
K (x) =
bZ
a
F (t, x) dt
dk
dx
=
bZ
a
Fx (t, x) dt + F [b(x), x ] b0 (x)
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A função Utilidade do Principal pode ser reescrita como:Z θ
θ
�
U (q (θ) , θ)� ∂U
∂θ
(q (τ) , τ)
(1� F (θ))
f (θ)
� c (q (θ))
�
f (θ) dθ
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Esta função pode ser reescrita como:Z θ
θ
H (q (θ) , θ) f (θ) dθ
que é o excedente virtual.
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Denominamos
f (θ)
(1� F (θ)) = h (θ) (Hazard Rate)
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Se F(θ) fosse a probabilidade de morrer antes da idade θ, por exemplo,
então h(θ) é a probabilidade instanânea de morrer na idade θ
condicionado a ter sobrevivido até a idade θ.
H (q (θ) , θ) consiste de dois termos:
U (q (θ) , θ)� c (q (θ)) (Excedente Social do First Best)
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O segundo termo consiste de:
�v 0 (θ)
h (θ)
mensura o impacto do problema de incentivos no excedente social
O termo resulta da necessidade de se garantir renda informacional v(θ)
crescente para os tipos que estão na proporção (1� F (θ)).
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Se a alocação do tipo θ é aumentada, então também o é a sua renda
informacional e para manter compatível com incentivos o principal deve
também elevar a renda de todos os tipos θ 0˙ > θ.
Resta considerar a segunda condição da restrição de incentivos:
∂2U
∂q∂θ
∂q
∂θ
� 0 (IC2)
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como estamos supondo que a single cross property está válida, temos que
∂2U
∂q∂θ
> 0
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Logo resta mostrar que
∂q
∂θ
> 0
A maneira mais simples de proceder é negligenciar esta restrição em um
primeiro momento.
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A solução do principal é obtida maximizando o integrando:
∂H
∂q
(q� (θ) , θ) = 0
H (q, θ) = U (q, θ)� c (q)� ∂U
∂θ
(q, θ)
1
h (θ)
∂H
∂q
=
∂U
∂q
� c 0 (q)� ∂
2U
∂θ∂q
(q, θ)
1
h (θ)
= 0
=) ∂U
∂q|{z} = c 0 (q) +
∂2U
∂θ∂q
(q, θ)
1
h (θ)| {z }
=) preço>cmg
- representa o quanto se desvia da solução ótima.
Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 -TEORIA DOS CONTRATOS - 2/2012 43 / 45
Se a função q é não decrescente , este é o ótimo. (Está satisfeita a
condição de segunda ordem da restrição de incentivos).
Tipos de θ mais elevados tem uma alocação q mais elevada e pagam mais
por isto.
É sempre possível fazer hipóteses que garantam o resultado de separação.
Se por exemplo U(q, θ) = θq e C é convexa, o leitor pode checar que
supondo que a hazard rate é não decrescente é condição su…ciente para
implicar que q* é crescente.
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Se q* é decrescente em um subintervalo, então esta função não pode ser a
solução.
É necessarío considerar apenas as regiões onde q é não descrescente.
Vamos veri…car que a solução irá consistir de subintervalos no qual q é
crescente e q é constante.
Nos intervalos que q é constante a solução será um equilíbrio de pooling
onde tipos diferentes têm a mesma alocação.
Cedeplar/UFMG (Institute) MICRO 2 -TEORIA DOS CONTRATOS - 2/2012 45 / 45