Aula 1 Cinemática

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Universidade do Vale do Itajaí
Campus Itajaí
Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar
Cinemática
Profª. Keila Christina Kleinjohann.
keilak@univali.br
Posição
A posição x de uma partícula num eixo é a sua
localização em relação à origem.
A posição é positiva ou negativa dependendo de que
lado em relação à origem a partícula se encontra, ou é 
zero se estiver na origem.
Sentido positivo em um eixo é o do crescimento dos 
números positivos; o oposto é o sentido negativo.
Deslocamento
O deslocamento Δx de uma partícula é a variação da 
sua posição:
Deslocamento é uma grandeza vetorial. Se a partícula
se move no sentido positivo do eixo x, o deslocamento
é positivo; se for no sentido oposto, é negativo.
Dx= x2 - x1
O símbolo Δ, que representa a variação de uma grandeza,
significa que o valor inicial da grandeza deve ser subtraído do
seu valor final.
Deslocamento
Atenção!
Não confundir deslocamento, que é uma grandeza
vetorial e representa a diferença entre posição final e
inicial, com distância percorrida, que é uma
grandeza escalar, e representa o percurso total entre o
início e o fim do movimento sem levar em conta a
direção ou o sentido!
Velocidade Média
Quando uma partícula se move da posição x1 para x2, 
em um intervalo de tempo Δt = t2 – t1, sua velocidade
média é dada por:
O sinal algébrico de indica o sentido do movimento. 
( é uma grandeza vetorial). 
A velocidade média depende da distância entre o 
ponto inicial e o final do movimento, e não da 
distância total percorrida. 
t
x
v



v
v
Velocidade Média
Em um gráfico de x versus t, a , em um intervalo Δt, 
é a inclinação da reta que une os pontos
correspondentes ao início e ao fim do intervalo
considerado.
v
Velocidade Média
Vejamos os exemplo:
Ex.1: Um motorista dirige um veículo numa rodovia retilínea a 70
km/h. Após rodar 8,0 km, o veículo pára por falta de gasolina. O
motorista caminha 2,0 km adiante, até o posto de abastecimento
mais próximo, em 27 min. Qual é a velocidade média do motorista
desde o instante da partida do veículo até chegar ao posto?
Obtenha a resposta numérica e graficamente.
Velocidade Escalar Média
Velocidade escalar média depende da distância
total percorrida (p. e.: número de metros percorridos)
num intervalo de tempo Δt. 
v =
dist.total
Dt
v
A velocidade escalar média difere da velocidade média
porque não considera o sentido do deslocamento, e, 
por conseguinte, não possui sinal algébrico.
Velocidade Escalar Média
Vejamos os exemplo:
Ex.2: No exemplo 1, qual é a velocidade escalar média do
motorista, supondo que ele demore 35 min para retornar ao
veículo?
Velocidade Instantânea
Se Δt tende a zero na equação da velocidade média, 
então Δx também tenderá a zero; entretanto, sua
razão, que é , tenderá a um valor limite v, que é a 
velocidade instantânea (ou simplesmente)
A velocidade instantânea (num determindo
instante)pode ser representada pela inclinação
(naquele ponto) da curva x versus t.
v= lim
Dt®0
Dx
Dt
=
dx
dt
v
Velocidade Instantânea
A velocidade pode ser calculada derivando-se a 
função x(t) conforme exemplo abaixo.
O módulo da velocidade instantânea é a velocidade
escalar.
Ex.3:A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x
é dada por
Qual é a velocidade em t = 3,5 s? A velocidade é constante ou
está continuamente variando?
x= 7,8+9,2t -2,1t3
Aceleração Média
A aceleração média a é a razão entre a variação da 
velocidade Δv e o intervalo de tempo Δt:
O sinal algébrico indica o sentido de 
pois a aceleração é uma grandeza vetorial
a=
Dv
Dt
a
Ex.4: Quando Kitty O’Neil estabeleceu o recorde para a maior
velocidade e o menor tempo, ela alcançou a marca de 631,7 km/h
em 3,72 s. Qual foi sua aceleração média?
Aceleração Instantânea
A aceleração instantânea (ou simplesmente
aceleração) é a taxa de variação da velocidade
A aceleração a(t) é a inclinação da curva no gráfico v 
versus t
a= lim
Dt®0
Dv
Dt
=
dv
dt
Ex.5: A posição de uma partícula é dada por
Calcule v(t), a(t) e o instante em que v = 0.
x= 4-27t + t3
Aceleração Constante
A figura abaixo mostra x(t), v(t) e a(t) para cada caso
particular em que a é constante. As cinco equações
que descrevem o movimento, nessa circunstância:
v= v0 +at
x- x0 = v0t +
1
2
at2
v2 = v0
2 +2a(x- x0 )
x- x0 =
1
2
(v0 +v)t
x- x0 = vt -
1
2
at2
Aceleração Constante
Essas equações não são válidas quando a aceleração
é variável.
Ex.6: Avistando um carro da polícia, você freia o seu carro,
reduzindo a velocidade de 75 km/h para 45 km/h, num espaço de
88m.
a) Qual é a aceleração, considerando-a constante?
b) Qual é o intervalo de tempo?
c) Se continuar diminuindo a velocidade do carro, com a
aceleração calculada em (a), em quanto tempo ele parará, a
parir dos 75 km/h?
d) Qual seria a distância percorrida no item (c)?
Aceleração de Queda Livre
Um exemplo importante de movimento retilíneo com 
aceleração constante é o de um objeto subindo ou
caindo livremente próximo à superfície da Terra. 
As equações para aceleração constante descrevem
esse movimento, com duas pequenas alterações na
notação:
1) O eixo vertical y é a referência para esse
movimento, com sentido positivo orientado para
cima;
2) A aceleração a é substituída por –g, onde g é o 
módulo da aceleração de queda livre
Aceleração de Queda livre
Ex.7: Um trabalhador deixa cair a chave inglesa do alto de um
edifício.
a) Onde estava a chave inglesa 1,5 s após a queda?
b) Com que velocidade a chave inglesa está caindo em t = 1,5
s?
Vetor Posição
A localização de uma partícula, em relação à origem
de um sistema de coordenadas, é dada pelo vetor
posição r, que na notação de vetores unitários, se 
escreve,
Onde xi, yj e zk são as componentes vetoriais e x, y e 
z são as componentes escalares do vetor posição. Um 
vetor posição também pode ser determinado pelo seu
módulo e um ou mais ângulos para orientação
r = xi + yj + zk
Deslocamento
Se o movimento de uma partícula é representado pela
variação do seu vetor posição de r1 para r2, então seu
deslocamento Δr é:
Dr = r2 - r1
Ex.8: Inicialmente, o vetor posição de uma partícula é
E logo depois é
Qual é o deslocamento de r1 para r2?
r1 =-3i +2 j +5k
r2 = 9i +2 j +8k
Velocidade Média
Se uma partícula se desloca durante um intervalo de 
tempo Δt, sua média é:
v=
Dr
Dt
=
Dxi +Dyj +Dzk
Dt
Velocidade
Quando Δt tende a 0 na equação da velocidade média, 
o limite de é chamado de velocidade instantânea:
Que pode ser representada na notação de vetores
unitários como:
v=
dr
dt
v= vxi +vy j +vzk
v
Velocidade
Onde vx = dx/dt, vy = dy/dt e vz = dz/dt.
v= vxi +vy j +vzk
Ex.9: Calcule o módulo e a direção do vetor velocidade dado t =
15 s.
x=-0,31t2 +7,2t +28
Aceleração Média
Se a velocidade de uma partícula varia de v1 para v2, 
no intervalo de tempo Δt, sua aceleração média, neste
intervalo de tempo, é
a=
v2 -v1
Dt
=
Dv
Dt
Aceleração
Quando Δt tende a 0 na equação da aceleração
média, o limite de amedio é chamado de aceleracão
instantânea:
Que pode ser representada na notação de vetores
unitários como
a=
dv
dt
a= axi +ay j +azk
Aceleração
Onde ax = dvx/dt, ay = dvy/dt e az= dvz/dt.
Quando a é constante, as componentes de a, v e r, na
direção de qualquer eixo, podem ser tratadas como no 
movimento unidimensional, mostrado anteriormente,
a= vxi +vy j +vzk
Ex.10: Calcule o módulo e a direção do vetoraceleração dado t
= 15 s.
x=-0,31t2 +7,2t +28
Movimento de Projéteis
O movimento de projéteis é o movimento de um partícula
lançada com velocidade v0, sob a influência apenas da 
aceleração da gravidade g.
Se v0 é definido por um módulo (a velocidade v0) e uma
orientação (ângulo θ), as equações do movimento nos
eixos x e y, horizontal e vertical, são, respectivamente:
x- x0 = v0(cosq0 )t
vy = vosenq0 -at
vy
2 = (v0senq0 )2 -2g(y- y0 )
y- y0 = (v0senq0 )t -
1
2
gt2
Movimento de Projéteis
Agora vamos considerar uma partícula – ou seja um 
projétil – que executa um movimento bidimensional com 
aceleração g de queda livre para baixo.
v0 = v0xi +v0y j
O projétil é lançado
com uma velocidade
inicial que é dada 
por:
v0x = v0 cosq0
v0y = v0senq0
Movimento de Projéteis
Movimento horizontal:
Como não existe aceleração na direção horizontal, a 
componente da velocidade horizontal v0x permanece
constante durante o movimento. Da equação:
x- x0 = v0(cosq0 )t
x- x0 = v0t +
1
2
at2
v0x = v0 cosq0
a= 0com
Movimento de Projéteis
Movimento vertical:
A análise é mesma para uma partícula em queda livre.
Fazendo as devidas substituições:
y- y0 = (v0senq0 )t -
1
2
gt2
Movimento de Projéteis
No movimento de projéteis, a trajetória da partícula é
dada por
Onde a origem é escolhida de maneira que x0 e y0
sejam 0. O alcance R, é a distância horizontal do 
ponto de lançamento, até o ponto em que a partícula
retorna à mesma altura da qual foi lançada, ou seja,
y= (tanq0 )x-
gx2
2(v0 cosq0 )2
R=
v0
2sen2q0
g