O Teorema Fundamental da Álgebra

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITA´RIO DO ARAGUAIA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA TERRA
LICENCIATURA EM MATEMA´TICA
O Teorema Fundamental da A´lgebra:
Considerac¸o˜es histo´ricas e algumas demonstrac¸o˜es
anal´ıticas
Roge´rio da Silva Matos
PONTAL DO ARAGUAIA - MT
2015
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITA´RIO DO ARAGUAIA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA TERRA
LICENCIATURA EM MATEMA´TICA
Roge´rio da Silva Matos
O Teorema Fundamental da A´lgebra:
Considerac¸o˜es histo´ricas e algumas demonstrac¸o˜es
anal´ıticas
Monografia apresentada ao curso de Licenci-
atura em Matema´tica da UFMT/CUA como
requisito parcial para a obtenc¸a˜o do grau de
LICENCIADO em Matema´tica, sob a ori-
entac¸a˜o do Prof. Dr. Adilson Antonio Berlatto.
PONTAL DO ARAGUAIA - MT
2015
Roge´rio da Silva Matos
O Teorema Fundamental da A´lgebra:
Considerac¸o˜es histo´ricas e algumas demonstrac¸o˜es
anal´ıticas
Monografia apresentada ao curso de Licenci-
atura em Matema´tica da UFMT/CUA como
requisito parcial para a obtenc¸a˜o do grau de
LICENCIADO em Matema´tica, sob a ori-
entac¸a˜o do Prof. Dr. Adilson Antonio Berlatto.
Aprovada em 19 de novembro de 2015.
BANCA EXAMINADORA
Dr. Adilson Antonio Berlatto
Orientador
Dr. Carlos Rodrigues da Silva
Membro da Banca
Me. Renato Ferreira da Cruz
Membro da Banca
PONTAL DO ARAGUAIA - MT
2015
iii
DEDICATO´RIA
A` meus pais Adelicio de Freitas Matos e
Terezinha da Silva Matos, por tudo que me
ensinaram, pela educac¸a˜o que me deram e
por todo o apoio para que eu chegasse ate´ esta
etapa de minha vida.
iv
Agradecimentos
Quero agradecer primeiramente a Deus, pela vida e por tudo que tens feito por mim.
Aos meus pais pelas oportunidades que me deram.
A` todos os professores do curso de Licenciatura em Matema´tica da UFMT/CUA que
muito contribu´ıram para essa jornada de conhecimento.
Em especial os amigos Antonio Eduardo da Silveira Pacheco, Bruna Fernanda Sato Lopes
e Fernanda Pereira Proco´pio por estarem sempre presentes nas horas boas e dif´ıceis.
A` todos os outros amigos do PET/Matema´tica e PIBID/Matema´tica do CUA/UFMT.
Aos amigos Edivaldo Shimokawa, Emanoel Ferreira e Tony Cardoso, que durante os dois
anos que estive em Portugal muito contribu´ıram para minha formac¸a˜o acadeˆmica e pes-
soal.
Ao professor Dr. Adilson Berlatto pela orientac¸a˜o para a realizac¸a˜o deste trabalho, e
tambe´m a professora Dra. Wanderleya Nara Gonc¸alves Costa pela importante contri-
buic¸a˜o para a minha formac¸a˜o como Educador Matema´tico.
v
“O universo esta´ escrito num enorme li-
vro, em linguagem matema´tica, cujos carac-
teres sa˜o triaˆngulos, c´ırculos e outras figuras
geome´tricas, sem os quais e´ imposs´ıvel enten-
der uma palavra. Sem estes e´ como andar a`s
voltas num labirinto obscuro.”
Galileo Galilei
vi
Resumo
Partindo do pressuposto da importaˆncia de alguns resultados matema´ticos,
este trabalho tem como objetivo fazer um estudo sobre o Teorema Fun-
damental da A´lgebra, apresentando de forma breve algumas considerac¸o˜es
histo´ricas sobre o mesmo, e por fim apresentar algumas demonstrac¸o˜es
anal´ıticas deste ta˜o belo e importante teorema. Para conseguir alcanc¸ar
tais objetivos fez-se necessa´rio uma revisa˜o bibliogra´fica, na qual atrave´s
do estudo de alguns conceitos ba´sicos da Ana´lise Complexa, foi poss´ıvel
demonstrar o Teorema Fundamental da A´lgebra de forma simples, pore´m
elegante.
Palavras-chave: Ana´lise Complexa, Teorema Fundamental da A´lgebra
vii
Abstract
Assuming the importance of some mathematical results, this work aims to
make a study of the Fundamental Theorem of Algebra, presenting briefly
some historical considerations about the same, and finally get to do some
analytical proofs of this beautiful and important theorem . To get these
objectives it was necessary a literature review, where by studying some basic
concepts of Complex Analysis, it was possible to proof the Fundamental
Theorem of Algebra in a simple, but elegant.
Keywords: Complex Analysis, Fundamental Theorem of Algebra
viii
Lista de Figuras
1 Nu´meros reais e unidade imagina´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Representac¸a˜o no plano complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Representac¸a˜o polar (|z| = r e θ = Arg z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Ra´ızes cu´bicas de z = i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Ilustrac¸a˜o da justificativa que os discos abertos de C sa˜o abertos . . . . . . 18
6 Disco fechado centrado na origem e raio � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7 Func¸a˜o complexa: Dom(f) ⊂ C e Im(f) ⊂ C . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8 Caminho γ(t) = reit, t ∈ [0, 2pi] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9 Curva de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10 As curvas: Γ′, δ1, γ
′
1, δ2, · · · , γ
′
n, δn+1 e Γ′′, δn+1, γ
′′
n, δn, · · · , γ
′′
1 , δ1 . . . . . . 51
11 Disco |z − z0| ≤ δ, δ > 0 contido na curva γ . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
12 O conjunto compacto A = {z ∈ C : |z| ≤ δ} . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
13 Circunfereˆncia |z| = r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
14 Disco aberto D(z0, r), onde r = |λ| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
ix
Suma´rio
Introduc¸a˜o 1
1 Considerac¸o˜es histo´ricas sobre o Teorema Fundamental da A´lgebra 3
1.1 Preliminares acerca da Ana´lise Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Nu´meros Complexos 8
2.1 Mo´dulo e complexo conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Ra´ızes n-e´simas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Noc¸o˜es topolo´gicas no plano complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Func¸o˜es Anal´ıticas 22
3.1 Func¸o˜es elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1 Func¸o˜es racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2 Func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.3 Func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.4 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Func¸o˜es de uma varia´vel complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Derivabilidade de func¸o˜es em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
x
4 Teoria da Integral 42
4.1 Integral complexa ao longo de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Os Teoremas de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 O Teorema Fundamental da A´lgebra 58
5.1 O Teorema Fundamental da A´lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.1 Primeira demonstrac¸a˜o: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.2 Segunda demonstrac¸a˜o: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.3 Terceira demonstrac¸a˜o: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Gauss, Argand e o Teorema Fundamental da A´lgebra . . . . . . . . . . . . 65
5.2.1 A demonstrac¸a˜o de Argand em 1814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Considerac¸o˜es Finais 69
Refereˆncias bibliogra´ficas 71
Anexo 73
xi
Introduc¸a˜o
Partindo do pressuposto que alguns resultados matema´ticos sa˜o de suma im-
portaˆncia para qualquer aluno de um curso superior emMatema´tica, seja uma Licencia-
tura ou um Bacharelado, resultados esses que ao findar o seu curso o aluno “deveria” ao
menos conheceˆ-los, mesmo que sem a capacidade de demonstra´-los (o que seria o ideal).
Dentre esses resultados podemos destacar alguns, tais como: o Teorema Fundamental do
Ca´lculo, o Teorema Fundamental da A´lgebra (base deste trabalho), Teorema da Func¸a˜o
Inversa, Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita, Teorema de Gauss-Bonnet, Teorema Fundamental
da Aritme´tica, dentre tantos outros. Neste trabalho o Teorema Fundamental da A´lgebra
doravante sera´ referido como TFA.
A ideia para a realizac¸a˜o deste trabalho surgiu primeiramente no decorrer da dis-
ciplina de A´lgebra I, a qual realizei durante o per´ıodo de intercaˆmbio que fiz em Portugal,
dentre os anos de 2012/2014 na FCUP - Faculdade de Cieˆncias da Universidade do Porto
em Porto, no primeiro semestre letivo do ano 2014. Nesta altura a professora de A´lgebra I
da referida Universidade, quando estuda´vamos ane´is de polinoˆmios enunciou o TFA, sem
demonstra´-lo, dizendo que a demonstrac¸a˜o necessitava dos conceitos da Ana´lise Complexa
que ate´ enta˜o na˜o estava ao nosso alcance. Isso a` princ´ıpio deixou-me um pouco intri-
gado, pois um teorema da A´lgebra cuja demonstrac¸a˜o faz-se usando conceitos da Ana´lise.
Portanto essa minha “curiosidade” foi o ponto de partida para realizac¸a˜o deste trabalho.
A justificativa deste trabalho deve-se principalmente pelo fato que alguns resul-
tados matema´ticos importantes, nesse caso o Teorema Fundamental da A´lgebra, muitas
vezes na˜o sa˜o apresentados em cursos de Licenciatura em Matema´tica, e como sou aluno
de uma Licenciatura em Matema´tica, penso ser relevante este trabalho, pois ale´m de
possibilitar-me conhecer um pouco mais sobre o TFA, tambe´m da´-me a oportunidade de
aprofundar-me em alguns conceitos da Ana´lise Complexa.
A revisa˜o bibliogra´fica, metodologia deste trabalho, visa ampliar o grau de co-
1
Introduc¸a˜o 2
nhecimento em determinada a´rea, bem como reunir informac¸o˜es num mesmo texto, para
futuras refereˆncias e estudos por parte de interessados pelo tema. O referencial teo´rico
e´ baseado nas leituras de: AGARWAL [1], A´VILA [2], BARREIRA [3], CAIN [4], FILE
[5], GARBI [6], NETO [7], OLIVEIRA [8], ROCHA [9], SANTOS [10], SCHEP [11],
SMIRNOV [12] e SOARES [13].
O objetivo central deste trabalho e´ fazer um estudo sobre o Teorema Fundamental
da A´lgebra, destacando brevemente sua histo´ria e por fim apresentar algumas demons-
trac¸o˜es anal´ıticas do mesmo, proporcionando assim a interessados pelo tema uma fonte
de refereˆncia para futuros estudos.
Para alcanc¸ar tais objetivos, o presente trabalho foi dividido em 5 (cinco) cap´ıtulos,
da seguinte forma:
No cap´ıtulo 1, sera´ apresentado de forma breve um pouco da histo´ria acerca do
TFA, com destaque para os primeiros matema´ticos que tentaram demonstra´-lo.
Nos cap´ıtulos 2, 3 e 4 sa˜o apresentados os conceitos ba´sicos da Ana´lise Com-
plexa necessa´rios para as demonstrac¸o˜es do TFA, onde podemos destacar: Os nu´meros
complexos, as func¸o˜es anal´ıticas (holomorfas) e tambe´m a teoria da integral.
No cap´ıtulo 5, finalmente usando os conceitos da Ana´lise Complexa expostos nos
cap´ıtulos anteriores, sera˜o feitas algumas demonstrac¸o˜es do Teorema Fundamental da
A´lgebra.
Sem mais, comec¸aremos enta˜o no cap´ıtulo seguinte, que apresenta algumas consi-
derac¸o˜es histo´ricas sobre o TFA, nossa jornada e´pica, em busca de conhecermos um pouco
mais sobre esse ta˜o belo e importante resultado matema´tico que e´ o Teorema Fundamental
da A´lgebra.
Cap´ıtulo 1
Considerac¸o˜es histo´ricas sobre o
Teorema Fundamental da A´lgebra
Neste primeiro cap´ıtulo, sera´ feito uma breve contextualizac¸a˜o histo´rica acerca
do Teorema Fundamental da A´lgebra, bem como algumas considerac¸o˜es sobre a Ana´lise
Complexa. Tais informac¸o˜es aqui expostas, sa˜o majoritariamente baseadas nas leituras
de: [1], [5], [8] e [9].
Chamamos polinoˆmio complexo, a uma expressa˜o do tipo:
P (z) = anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0,
onde os coeficientes ak, (0 ≤ k ≤ n), sa˜o nu´meros complexos.
O Teorema Fundamental da A´lgebra, e´ atualmente conhecido como a “proposic¸a˜o”
de que todo o polinoˆmio complexo na˜o constante de grau n, n ≥ 1, possui pelo menos
uma raiz complexa.
Uma primeira tentativa de demonstrar o Teorema Fundamental da A´lgebra foi
levada a cabo por D’Alembert1 em 1746, mas na altura a demonstrac¸a˜o foi considerada in-
correta. Outras tentativas foram feitas por Euler2 (1749), de Foncenex3 (1759), Lagrange4
(1772) e Laplace5 (1795). Estas u´ltimas quatro tentativas recorreram a tese de Argand6;
mais precisamente, a existeˆncia de ra´ızes era dada como certa e faltava provar que eram
da forma a + bi para nu´meros reais a e b. Em terminologia moderna, Euler, de Fonce-
1Jean le Rond d’Alembert (1717 - 1783); matema´tico franceˆs.
2Leonhard Paul Euler (1707 - 1783); matema´tico e f´ısico su´ıc¸o.
3Franc¸ois Daviet de Foncenex (1734 - 1798); matema´tico italiano.
4Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813); matema´tico italiano.
5Pierre Simon Laplace (1749 - 1829); matema´tico franceˆs.
6Jean-Robert Argand (1768 - 1822); matema´tico franceˆs.
3
1. Considerac¸o˜es histo´ricas sobre o TFA 4
nex, Lagrange e Laplace estavam supondo a existeˆncia de um corpo de decomposic¸a˜o do
polinoˆmio P (z).
A primeira demonstrac¸a˜o correta do TFA, foi feita por Gauss7 em 1799 num
trabalho que constitui a sua tese de doutorado, com o t´ıtulo bem descritivo (traduc¸a˜o
livre): “Nova demonstrac¸a˜o do teorema de que toda a func¸a˜o racional inteira de uma
varia´vel pode ser decomposta em fatores reais do primeiro ou segundo grau”. Gauss
voltou posteriormente a fazer mais treˆs demonstrac¸o˜es deste teorema, a u´ltima das quais
em 1849.
Em 1814, Argand apresenta a primeira demonstrac¸a˜o correta do Teorema Funda-
mental da A´lgebra enunciado para polinoˆmios com coeficientes complexos; no cap´ıtulo 5
uma versa˜o de tal demonstrac¸a˜o sera´ apresentada. Essa demonstrac¸a˜o do TFA feita por
Argand foi usada em va´rios livros textos no se´culo XIX, gradativamente sendo substitu´ıda
no se´culo XX, quando o Teorema Fundamental da A´lgebra passou a ser apresentado como
consequ¨eˆncia do Teorema de Liouville8.
Como podemos notar, na˜o foram poucas as tentativas de demonstrar o TFA,
por me´todos bastante diversos, umas mal, outras (mais modernas) bem sucedidas, umas
topolo´gicas, outras alge´bricas, e algumas mais recentes utilizando a Ana´lise Complexa
(func¸o˜es holomorfas). A mais simples de todas talvez seja a de Argand em 1814, utilizando
todavia o fato verdadeiro mas ainda na˜o justificado, naquela e´poca, de que uma func¸a˜o
real definida e cont´ınua num conjunto limitado e fechado do plano tem um valor ma´ximo e
um valor mı´nimo (conhecido posteriormente por Teorema de Weierstrass no plano, real ou
complexo). E´ interessante notar que as demonstrac¸o˜es do TFA conhecidas ate´ ao presente
(e sa˜o muitas), tem cara´ter anal´ıtico, e “na˜o-construtivas”, no sentido de que na˜o passam
pela apresentac¸a˜o de fo´rmulas ou expresso˜es para as ra´ızes, mas sim pela prova de que as
ra´ızes tem de existir.
Apo´s tais considerac¸o˜es conve´m destacar a linha do tempo do Teorema Funda-
mental da A´lgebra, juntamente com os matema´ticos que ao longo de suas vidas, con-
tribu´ıram para a sua construc¸a˜o histo´rica. Tais informac¸o˜es foram retiradas de ROCHA
[9], pa´g. 19:
• (1591) - Franc¸ois Vie`te (1540-1603). Exibiu va´rias equac¸o˜es polinomiais com coe-
ficientes reais de grau n com n ra´ızes.
7Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855); matema´tico alema˜o.
8Joseph Liouville (1809 - 1882); matema´tico franceˆs.
1. Considerac¸o˜es histo´ricas sobreo TFA 5
• 1600 - Peter Rothe ( ? -1617). Em seu livro Arithmetica Philosophica, afirma que
uma equac¸a˜o tem no ma´ximo tantas ra´ızes quanto seu grau.
• 1629 - Albert Girard (1595-1632). Em seu livro L’Invention Nouvelle en Algebre,
registra-se que uma equac¸a˜o alge´brica completa de grau n, possui n ra´ızes.
• 1637 - Rene´ Decartes (1596-1650). Em seu livro La ge´ome´trie, aceita que uma
equac¸a˜o tem tantas ra´ızes quanto seu grau, se admitirmos as ra´ızes imagina´rias.
• 1742 - Leonard Euler (1707-1783). Enunciou que um polinoˆmio com coeficientes
reais pode ser fatorado como um produto de fatores lineares e fatores quadra´ticos
mas na˜o conseguiu uma prova completa deste fato.
• 1746 - Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783). Investiu no problema de demonstrar
o Teorema Fundamental da A´lgebra, sem contudo conseguir uma prova aceita´vel.
• 1772 - Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Levanta objec¸o˜es a demonstrac¸a˜o de
Euler e obteve sucesso em preencher va´rias lacunas na prova de Euler, mas sua prova
tambe´m era incompleta.
• 1795 - Pierre Simon Laplace (1749-1827). Apresenta uma demonstrac¸a˜o muito
elegante do Teorema Fundamental da A´lgebra e bem diferente daquela de Lagrange
e Euler. Contudo, sua demonstrac¸a˜o tambe´m era incompleta.
• 1798 - James Wood (1760-1839). Publica em The Philosophical Transactions of
the Royal Society o artigo “On the roots of equations”, onde apresenta uma prova
do Teorema Fundamental da A´lgebra para polinoˆmios com coeficientes reais. No
entanto, sua prova continha falhas de natureza alge´brica.
• 1799 - Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Em sua tese de doutorado apre-
senta a primeira demonstrac¸a˜o correta das quatro provas do Teorema Fundamental
da A´lgebra, que ele publicou ao longo de sua vida.
• 1806 - Jean Robert Argand (1768-1822). Publica o esboc¸o de uma demonstrac¸a˜o do
Teorema Fundamental da A´lgebra em um ensaio sobre a representac¸a˜o dos nu´meros
complexos. Em 1814 ele apresenta a primeira prova correta do Teorema Fundamen-
tal da A´lgebra enunciado para polinoˆmios com coeficientes complexos.
1. Considerac¸o˜es histo´ricas sobre o TFA 6
• 1946 - John Edensor Littlewood (1885-1977). Publica uma prova do Teorema Fun-
damental da A´lgebra que elementariza a demonstrada por Argand. Sua prova e´
feita por contradic¸a˜o e por induc¸a˜o.
• 2009 - Theo de Jong. Publica uma versa˜o modernizada da primeira prova de Gauss
para o Teorema Fundamental da A´lgebra, utilizando o Teorema dos Multiplicadores
de Lagrange.
E´ noto´ria a importaˆncia do TFA para a histo´ria dos nu´meros complexos e tambe´m
para as equac¸o˜es alge´bricas, pois o simples fato de ter sido poss´ıvel demonstra´-lo, contri-
buiu para o desenvolvimento dos nu´meros complexos e da Ana´lise Complexa, pois como
afirma ROCHA [9]:
Esta linha histo´rica do Teorema Fundamental da A´lgebra, mostra o papel das
equac¸o˜es nutrindo os pensamentos destes que, aos poucos, foram dando forma a
ele. Da´ı entendemos o seu t´ıtulo, pois a a´lgebra nesse per´ıodo era compreendida
como a teoria dos polinoˆmios com coeficientes reais ou complexos, isto e´, como
a teoria das equac¸o˜es alge´bricas, sendo o mesmo fundamental desta teoria.
(ROCHA, 2014, p. 20).
Antes de comec¸armos a estudar os conceitos ba´sicos da Ana´lise Complexa nos
cap´ıtulos seguintes, sera´ feito uma preliminar acerca do assunto.
1.1 Preliminares acerca da Ana´lise Complexa
A Ana´lise Complexa e´ um ramo da matema´tica que estuda func¸o˜es complexas e
que possui inu´meras aplicac¸o˜es quer na pro´pria matema´tica (em outras a´reas), quer na
f´ısica, nas engenharias, etc.
Por exemplo usando conceitos da Ana´lise Complexa e´ poss´ıvel calcular integrais
de alguns tipos de func¸o˜es reais, como exemplo a integral impro´pria abaixo:∫ ∞
−∞
dx
x4 + 1 =
√
2
2 pi.
Sabemos que usando os me´todos “tradicionais” na˜o seria fa´cil calcular a integral acima,
pois a func¸a˜o f(x) = 1
x4 + 1 na˜o admite uma primitiva imediata. Esta e´ uma das inu´meras
aplicac¸o˜es da Ana´lise Complexa, neste caso na pro´pria matema´tica.
A Ana´lise Complexa que hoje conhecemos tem como pilares os trabalhos de L.
Euler que no se´culo XVIII introduziu e estudou as principais func¸o˜es complexas, no se´culo
1. Considerac¸o˜es histo´ricas sobre o TFA 7
XIX com A. Cauchy9 que criou a teoria da integrac¸a˜o complexa, com Weierstrass10 que
desenvolveu a teoria das se´ries complexas e com Riemann11 com uma teoria geome´trica
das func¸o˜es complexas.
Apo´s tais considerac¸o˜es histo´ricas, no cap´ıtulo seguinte trataremos dos nu´meros
complexos, conceitos esses, necessa´rios para a compreensa˜o dos cap´ıtulos posteriores.
9Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857); matema´tico franceˆs.
10Karl Weierstrass (1815 - 1897); matema´tico alema˜o.
11Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866); matema´tico alema˜o.
Cap´ıtulo 2
Nu´meros Complexos
Neste primeiro cap´ıtulo sera´ introduzido o conjunto dos nu´meros complexos, bem
como algumas noc¸o˜es ba´sicas, tais como: a adic¸a˜o, a multiplicac¸a˜o, as ra´ızes e poteˆncias
dos nu´meros complexos. Por fim, sera˜o apresentadas algumas noc¸o˜es topolo´gicas no con-
junto dos nu´meros complexos. Os textos e resultados expostos neste cap´ıtulo, sa˜o baseados
em leituras de: [2], [3] e [13].
Primeiro introduzimos o conjunto dos nu´meros complexos C como sendo o con-
junto dos pares ordenados de nu´meros reais munidos de certas operac¸o˜es de adic¸a˜o e
multiplicac¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.1. O conjunto C dos nu´meros complexos e´ o conjunto R2 munido com as
seguintes operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o:
(x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′)
e
(x, y) · (x′, y′) = (xx′ − yy′, xy′ + yx′),
para quaisquer (x, y), (x′, y′) ∈ R2.
E´ de fa´cil verificac¸a˜o que as operac¸o˜es definidas acima sa˜o comutativas, isto e´:
(x, y) + (x′, y′) = (x′, y′) + (x, y)
e
(x, y) · (x′, y′) = (x′, y′) · (x, y).
Com as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o acima descritas, C e´ um corpo.
8
2. Nu´meros Complexos 9
Por simplicidade da notac¸a˜o podemos escrever (x, 0) = x, identificando assim o
par ordenado (x, 0) ∈ R2 como o nu´mero real x (conforme Figura 1), e definir a unidade
imagina´ria por (0, 1) = i.
Figura 1: Nu´meros reais e unidade imagina´ria
Proposic¸a˜o 2.2. Temos que, i2 = −1 e x+ iy = (x, y), ∀x, y ∈ R.
Demonstrac¸a˜o. De fato, observe que:
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1
e
x+ iy = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) = (x, 0) + (0, y) = (x, y). �
Temos assim portanto que:
C = {x+ iy : x, y ∈ R}.
Definic¸a˜o 2.3. Seja z = x+ iy ∈ C, dizemos que x e´ a parte real de z e que y e´ a parte
imagina´ria de z, e escrevemos:
Re(z) = x e Im(z) = y.
Exemplo 2.4. Se z = 2 + 5i, enta˜o: Re(z) = 2 e Im(z) = 5.
A representac¸a˜o dos nu´meros complexos por pontos do plano e´ muito comum e
de grande utilidade, pois por meio dela podemos identificar o nu´mero complexo z = x+ iy
como o ponto (x, y) ∈ R2, ou como o vetor Oz de componentes x e y, conforme Figura 2.
2. Nu´meros Complexos 10
Figura 2: Representac¸a˜o no plano complexo
2.1 Mo´dulo e complexo conjugado
Definic¸a˜o 2.5. O mo´dulo, valor absoluto ou norma de um nu´mero complexo z = x+ iy
e´ definido como sendo o nu´mero real na˜o-negativo |z| =
√
x2 + y2. Como facilmente se
nota |z| e´ a distaˆncia do ponto z a` origem.
Definic¸a˜o 2.6. O complexo conjugado de z = x + iy e´ definido como sendo o nu´mero
complexo z = x− iy.
Das definic¸o˜es (2.5) e (2.6) segue imediatamente que:
zz = (x+ iy)(x− iy) = x2 − ixy + ixy − i2y2 = x2 + y2 = |z|2.
Se z 6= 0, temos enta˜o que: z · z
zz
= zz|z|2 = 1, de modo que:
z−1 = z|z|2 . (1)
Portanto, usando (1) podemos calcular facilmente o inverso de um nu´mero complexo
z = x+ iy.
Exemplo 2.7. Vamos calcular o inverso dez = 4 + 3i:
z−1 = 14 + 3i =
1
25(4− 3i) =
4
25 −
3
25i.
Veja que z · z−1 = (4 + 3i)
( 4
25 −
3
25i
)
= 1.
2. Nu´meros Complexos 11
No entanto, geralmente para dividirmos dois nu´meros complexos o que fazemos
e´ multiplicar o numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador. Se
z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2, enta˜o:
z1
z2
= z1 · z2
z2 · z2 =
x1x2 + y1y2 + i(y1x2 − x1y2)
x22 + y22
.
Exemplo 2.8. Vamos reduzir a expressa˜o abaixo a forma z = x+ iy:
1− i
1 + i =
(1− i) · (1− i)
(1 + i) · (1− i) =
−2i
2 = −i.
A seguir sera˜o apresentadas algumas propriedades importantes dos nu´meros complexos.
Proposic¸a˜o 2.9. Sejam z, z1, z2 ∈ C, enta˜o:
1. |z| = |z|;
Demonstrac¸a˜o. |z| =
√
x2 + (−y)2 =
√
x2 + (−1)2y2 =
√
x2 + y2 = |z|. �
2. Re(z) = z + z2 ;
Demonstrac¸a˜o. z + z2 =
1
2[(x+ iy) + (x− iy)] =
1
2(2x+ 0i) = x = Re(z). �
3. Im(z) = z − z2i ;
Demonstrac¸a˜o. z − z2i =
1
2i [(x+ iy)− (x− iy)] =
1
2i(0 + 2yi) = y = Im(z). �
4. z1 + z2 = z1 + z2;
Demonstrac¸a˜o. Sejam z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2, enta˜o:
z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = x1 + x2 + i(y1 + y2) = x1 + x2 − i(y1 + y2)
= x1 − iy1 + x2 − iy2
= z1 + z2. �
5. z1 · z2 = z1 · z2;
Demonstrac¸a˜o. Sejam z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2, enta˜o:
z1 · z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 − y1y2 + i(x1y2 + y1x2)
= x1x2 − y1y2 − i(x1y2 + y1x2) = x1x2 − ix1y2 − iy1x2 − y1y2
= (x1 − iy1)(x2 − iy2)
= z1 · z2. �
2. Nu´meros Complexos 12
6. |z1 · z2| = |z1| · |z2|;
Demonstrac¸a˜o. Sejam z1, z2 ∈ C, enta˜o:
|z1 · z2|2 = (z1z2)(z1z2) = z1z2z1z2 = z1z1z2z2
= |z1|2|z2|2 = (|z1||z2|)2.
Como o mo´dulo por definic¸a˜o e´ positivo ou nulo, podemos extrair a raiz quadrada
em ambos os membros da expressa˜o acima, e obter assim o resultado desejado,
|z1 · z2| = |z1| · |z2|. �
7. |Re(z)| ≤ |z|;
Demonstrac¸a˜o. Seja z = x+ iy, temos enta˜o que:
(|z|)2 =
(√
x2 + y2
)2
= x2 + y2. (1)
Por outro lado, (|Re(z)|)2 = x2. (2)
De (1) e (2) temos que,
(|z|)2 − (|Re(z)|)2 = x2 + y2 − x2 = y2 ≥ 0.
O que implica que,
|z| ≥ |Re(z)|. �
2.2 Forma polar
Considerando a representac¸a˜o geome´trica de um nu´mero complexo z 6= 0, diz-se
argumento de z o aˆngulo θ formado pelo eixo Ox e o vetor Oz. Este aˆngulo considera-
se positivo se medido no sentido anti-hora´rio e negativo se medido no sentido hora´rio;
o argumento do nu´mero complexo na˜o esta´ definido se z = 0. Notemos tambe´m que o
argumento na˜o esta´ definido de modo u´nico, isto e´, se θ e´ um argumento de z, enta˜o o
nu´mero ϕ = θ + 2kpi, com k ∈ Z e´ tambe´m um argumento de z. Designando por Arg z o
conjunto de todos os argumentos de z, entre os valores de Arg z existe um que pertence
ao intervalo ]−pi, pi]. Este valor chama-se o valor principal do argumento e designa-se por
arg z.
Como x = |z| cos θ e y = |z| senθ, temos a seguinte representac¸a˜o polar ou repre-
sentac¸a˜o trigonome´trica de z:
2. Nu´meros Complexos 13
z = r(cos θ + i senθ), r = |z|,
onde r e θ sa˜o as coordenadas polares de z, conforme Figura 3.
Figura 3: Representac¸a˜o polar (|z| = r e θ = Arg z)
Com esta representac¸a˜o trigonome´trica de z e´ fa´cil ver que tg(arg z) = y
x
, sempre
que x 6= 0. Logo temos:
arg z =

arctgy
x
se x > 0
pi + arctgy
x
se x < 0, y ≥ 0
−pi + arctgy
x
se x < 0, y < 0 ,
onde arctg designa a inversa da tangente.
Sejam z1 = r1(cos θ1 + i senθ1) e z2 = r2(cos θ2 + i senθ2) dois nu´meros complexos
nas suas representac¸o˜es polares, enta˜o a soma, o produto e o quociente desses nu´meros e´
dado por:
1. Soma:
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) = (r1 cos θ1 + r2 cos θ2) + i(r1 senθ1 + r2 senθ2).
2. Produto:
z1 · z2 = r1r2[(cos θ1 + i senθ1)(cos θ2 + i senθ2)]
= r1r2[(cos θ1 cos θ2 − senθ1 senθ2) + i( senθ1 cos θ2 + cos θ1 senθ2)
= r1r2[cos(θ1 + θ2) + i( sen(θ1 + θ2)].
2. Nu´meros Complexos 14
Observamos assim, que o produto de dois nu´meros complexos e´ o nu´mero complexo
cujo mo´dulo e´ o produto dos mo´dulos e cujo argumento e´ a soma dos argumentos.
3. Quociente:
Como
1
cos θ + i senθ =
cos θ − i senθ
(cos θ + i senθ)(cos θ − i senθ) = cos θ − i senθ,
temos enta˜o:
z1
z2
= r1
r2
cos θ1 + i senθ1
cos θ2 + i senθ2
= r1
r2
[(cos θ1 + i senθ1)(cos θ2 − i senθ2)
= r1
r2
[(cos θ1 cos θ2 + senθ1 senθ2) + i( senθ1 cos θ2 − cos θ1 senθ2)]
= r1
r2
[cos(θ1 − θ2) + i sen(θ1 − θ2)].
Assim, o quociente de dois nu´meros complexos e´ o nu´mero complexo cujo mo´dulo e´
o quociente dos mo´dulos e cujo argumento e´ a diferenc¸a dos argumentos.
A fo´rmula acima para o produto estende-se para um nu´mero qualquer de fatores. De fato,
sendo
zk = rk(cos θk + i senθk), para k = 1, 2, 3, · · · , n ,
temos enta˜o que:
z1z2 · · · zn = r1r2 · · · rn[cos(θ1 + θ2 + · · ·+ θn) + i sen(θ1 + θ2 + · · ·+ θn)].
Em particular quando os fatores sa˜o todos iguais temos a seguinte fo´rmula, denominada
fo´rmula de De Moivre1:
zn = (r(cos θ + i senθ))n = rn(cos nθ + i sennθ).
Demonstrac¸a˜o. Vamos demonstrar a fo´rmula de De Moivre para n ∈ N, por induc¸a˜o.
Quero provar que:
zn = (r(cos θ + i senθ))n = rn(cos nθ + i sennθ), ∀ θ ∈ R, n ∈ N.
1Abraham de Moivre (1667 - 1754); matema´tico franceˆs.
2. Nu´meros Complexos 15
Para n = 1 a identidade e´ verdadeira, pois z = r(cos θ+i senθ) e´ a representac¸a˜o na forma
polar de um nu´mero complexo.
Suponhamos agora que a identidade se verifica para n = k, com 1 ≤ k ≤ n. E
provemos que tambe´m o e´ para n = k + 1.
zk+1 = zzk = r(cos θ + i senθ)rk(cos kθ + i senkθ)
= rrk[cos θ cos kθ − senθ senkθ + i(cos θ senkθ + senθ cos kθ)]
= rk+1[cos(θ + kθ) + i sen(θ + kθ)]
= rk+1[cos(θ(k + 1)) + i sen(θ(k + 1))].
Assim fica demonstrado que a fo´rmula e´ va´lida para todo n ∈ N. No entanto,
esta fo´rmula e´ va´lida tambe´m para expoentes negativos. De fato:
Consideremos m = −n ∈ N, enta˜o:
zn = (z−1)m = 1
zm
= 1
rm
1
(cos θ + i senθ)m =
1
rm
1
(cos mθ + i senmθ) =
= r−m(cosmθ − i senmθ) = r−m(cos(−mθ) + i sen(−mθ)).
como n = −m, substituindo de volta chegamos no resultado desejado:
zn = r−m(cos(−mθ) + i sen(−mθ)) = rn(cos nθ + i sennθ). �
2.3 Ra´ızes n-e´simas
Vamos introduzir uma nova notac¸a˜o para expressar um nu´mero complexo em sua
forma polar. Primeiro vamos demonstrar um resultado importante.
Proposic¸a˜o 2.10. Temos que: eix = cosx+ i senx, para todo x ∈ R.
Demonstrac¸a˜o. Para esta demonstrac¸a˜o sera´ utilizado a representac¸a˜o (ou desenvolvi-
mento) em se´rie de poteˆncia de algumas func¸o˜es. Sabemos que:
ex =
∞∑
n=0
xn
n! = 1 + x+
x2
2! +
x3
3! +
x4
4! + · · ·
cosx =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)! = 1−
x2
2! +
x4
4! −
x6
6! + · · ·
senx =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)! = x−
x3
3! +
x5
5! −
x7
7! + · · ·
Usando o fato das se´ries acima serem absolutamente convergentes, temos:
2. Nu´meros Complexos 16
eix = 1 + ix+ (ix)
2
2! +
(ix)3
3! +
(ix)4
4! +
(ix)5
5! +
(ix)6
6! +
(ix)7
7! + · · ·
= 1 + ix− x
2
2! − i
x3
3! +
x4
4! + i
x5
5! −
x6
6! − i
x7
7! + · · ·
=
(
1− x
2
2! +
x4
4! −
x6
6! + · · ·
)
+ i
(
x− x
3
3! +
x5
5! −
x7
7! + · · ·
)
= cosx+ i senx. �
Notac¸a˜o: Segue imediatamente da proposic¸a˜o (2.10) que:
z = r(cos θ + i senθ) = reiθ,
onde r = |z| e θ = Argz.
Dado z0 ∈ C \ {0} e n ∈ N, existem exatamente n ra´ızes distintas de grau n de
z0. De fato, seja z0 = ρeiθ, ρ > 0. Procuramos z na forma z = λeiϕ, λ > 0 tal que:
zn = z0.
Da igualdade acima obtemos: λneinϕ = ρeiθ. Como a igualdade de nu´meros complexos
requer a igualdade das partes reais e imagina´rias separadamente, temos:
λn = ρ e nϕ = θ + 2kpi, k ∈ Z.
Logo,
λ = n√ρ e ϕ = θ + 2kpi
n
, k ∈ Z,portanto,
z = λeiϕ = n√ρ
[
cos
(
θ + 2kpi
n
)
+ i sen
(
θ + 2kpi
n
)]
, k ∈ Z.
Para obtermos as n ra´ızes distintas basta tomarmos n valores consecutivos de k
(k = 0, 1, ..., n − 1). E´ fa´cil ver que qualquer outro valor atribu´ıdo a k conduzira´ a
uma raiz ja´ obtida com um dos valores acima. Mais precisamente, o valor que e´ o resto
da divisa˜o de k por n.
As n ra´ızes n-e´simas de z0, sa˜o os ve´rtices de um pol´ıgono regular de n lados
inscrito na circunfereˆncia de raio n√ρ e centrada na origem.
Exemplo 2.11. Vamos determinar as ra´ızes cu´bicas de z = i.
Como |z| = 1 e arg z = pi2 enta˜o, z = e
ipi2 , queremos w = ρeiϕ tal que:
2. Nu´meros Complexos 17
w3 = z ⇔ ρ3e3ϕi = eipi2 ⇔ ρ3 = 1 e 3ϕ = pi2 + 2kpi ⇔ ρ = 1 e ϕ =
pi
6 +
2kpi
3 , k ∈ Z.
Assim, w = cos
(
pi + 4kpi
6
)
+ i sen
(
pi + 4kpi
6
)
. Agora basta tomarmos treˆs valores con-
secutivos de k e teremos as ra´ızes cu´bicas de z, por exemplo k = −1, 0, 1:
Se k = −1, enta˜o:
w1 = cos
(
−pi2
)
+ i sen
(
−pi2
)
= −i.
Se k = 0, enta˜o:
w2 = cos
(
pi
6
)
+ i sen
(
pi
6
)
=
√
3
2 +
i
2.
Se k = 1, enta˜o:
w3 = cos
(5pi
6
)
+ i sen
(5pi
6
)
= −
√
3
2 +
i
2.
Portanto as ra´ızes cu´bicas de z = i sa˜o: −i,
√
3
2 +
i
2 e
−√3
2 +
i
2 , veja Figura 4.
Figura 4: Ra´ızes cu´bicas de z = i
2.4 Noc¸o˜es topolo´gicas no plano complexo
Para finalizar este primeiro cap´ıtulo sera´ feito uma pequena digressa˜o topolo´gica
em C, ou seja, sera˜o apresentados conceitos ba´sicos de topologia no plano complexo,
conceitos esses que sera˜o utilizados ao longo dos nossos pro´ximos cap´ıtulos. Os resultados
aqui expostos sa˜o baseados nas leituras de: [3], [10] e [12].
Definic¸a˜o 2.12. Dados z0, z1 ∈ C, temos que a distaˆncia de z0 a z1 e´ dada por:
2. Nu´meros Complexos 18
d(z0, z1) = |z0 − z1|.
Definic¸a˜o 2.13. Se z ∈ C e r ∈ R∗+, enta˜o designa-se por:
• disco aberto de centro z e raio r e representa-se por D(z, r) o conjunto de
todos os nu´meros complexos que esta˜o a uma distaˆncia menor que r do ponto z, isto e´:
D(z, r) = {w ∈ C : |w − z| < r}.
• disco fechado de centro z e raio r e representa-se por D(z, r) o conjunto:
D(z, r) = {w ∈ C : |w − z| ≤ r}.
Definic¸a˜o 2.14. Um conjunto U ⊂ C diz-se aberto se, para qualquer z ∈ U existir um
disco aberto centrado em z e totalmente contido em U .
∀z ∈ U, ∃ ε > 0 : D(z, ε) ⊂ U .
Definic¸a˜o 2.15. Um conjunto U ⊂ C diz-se fechado se C \U (complementar de U) for
um aberto.
Exemplo 2.16. A t´ıtulo de exemplo vamos mostrar que qualquer disco aberto de C e´
um conjunto aberto de C.
Demonstrac¸a˜o. De fato, sejam z ∈ C e r > 0, enta˜o dado w ∈ D(z, r) devemos mostrar que
existe algum r′ > 0 tal que D(w, r′) ⊂ D(z, r). Para tal, basta tomarmos r′ = r−|w− z|,
conforme Figura 5. Pois para todo z0 ∈ D(w, r′) tem-se:
z0 ∈ D(w, r′) ⇔ |z0 − w| < r′ = r − |w − z|
⇒ |z0 − z| = |(z0 − w) + (w − z)| ≤ |z0 − w|+ |w − z| < r .
Figura 5: Ilustrac¸a˜o da justificativa que os discos abertos de C sa˜o abertos �
2. Nu´meros Complexos 19
Definic¸a˜o 2.17. Sejam z ∈ C e V ⊂ C, dizemos que V e´ uma vizinhanc¸a do ponto z
se existir um disco aberto centrado em z totalmente contido em V .
Definic¸a˜o 2.18. Dado U ⊂ C, um ponto z ∈ C diz-se um ponto fronteira de U se
qualquer disco aberto centrado em z contiver pontos de U e de C \ U . A fronteira de U ,
denotada por ∂U e´ o conjunto de todos os pontos fronteiras de U :
z ∈ ∂U ⇔
 ∀ r > 0 ,D(z, r) ∩ U 6= ∅ e D(z, r) ∩ (C \ U) 6= ∅.
Das definic¸o˜es anteriores temos as seguintes propriedades:
Proposic¸a˜o 2.19. Seja U ⊂ C, enta˜o as seguintes propriedades sa˜o va´lidas:
1. ∂U = ∂(C \ U).
2. U e´ fechado se, e somente se, ∂U ⊂ U .
3. U e´ aberto se, e somente se, U ∩ ∂U = ∅.
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 1. De fato, dado z0 ∈ ∂U temos:
z0 ∈ ∂U ⇔ ∃D(z0, r), r > 0,tal que:D(z0, r) ∩ U 6= ∅ e D(z0, r) ∩ (C \ U) 6= ∅
⇔ D(z0, r) ∩ (C \ U) 6= ∅ e D(z0, r) ∩ U 6= ∅
⇔ z0 ∈ ∂(C \ U).
Logo, ∂U = ∂(C \ U).
Propriedade 2.
(⇒) U e´ fechado ⇒ ∂U ⊂ U :
Suponha que U seja fechado, logo por definic¸a˜o C \ U e´ aberto, enta˜o para todo
z0 ∈ (C\U), existe D(z0, r), r > 0, tal que: D(z0, r) ⊂ (C\U), o que implica que ∂U ⊂ U .
(⇐) ∂U ⊂ U ⇒ U e´ fechado:
Suponhamos por absurdo que U na˜o seja fechado, logo dado qualquer z0 ∈ U ,
existe D(z0, r), r > 0, tal que: D(z0, r) ⊂ U , enta˜o conclu´ımos que z0 6∈ ∂U , o que
contradiz a hipo´tese de ∂U ⊂ U . Logo U e´ fechado.
Propriedade 3.
(⇒) U aberto ⇒ U ∩ ∂U = ∅:
E´ imediato a` partir da definic¸a˜o de conjunto aberto.
2. Nu´meros Complexos 20
(⇐) U ∩ ∂U = ∅ ⇒ U e´ aberto:
Suponhamos que U na˜o seja aberto, enta˜o existe z ∈ U tal que nenhum disco
aberto D(z, r), com r > 0 esta´ totalmente contido em U . Enta˜o, ∀ r > 0 temos que
D(z, r) ∩ (C \ U) 6= ∅, e e´ claro que tambe´m D(z, r) ∩ U 6= ∅ (pois conte´m z), com isso
conclu´ımos que z ∈ ∂U o que contradiz a hipo´tese de U ∩ ∂U = ∅. �
A seguir sera˜o apresentadas mais algumas definic¸o˜es importantes.
Definic¸a˜o 2.20. i) Um ponto z ∈ U diz-se um ponto interior de U se existir um r > 0
tal que D(z, r) ⊂ U .
Observac¸a˜o: Os pontos de um qualquer subconjunto na˜o vazio U ⊂ C ou sa˜o pontos
interiores de U ou sa˜o pontos de fronteira.
ii) Um ponto z ∈ C diz-se um ponto de acumulac¸a˜o de U se qualquer disco
aberto centrado em z contiver pontos de U diferentes de z.
∀ r > 0, (D(z, r) \ {z}) ∩ U 6= ∅.
Observac¸a˜o: Note que um ponto de acumulac¸a˜o de U na˜o e´ necessariamente um ponto
de U e vice-versa.
iii) Chama-se ponto isolado de um conjunto U a todo ponto de U que na˜o e´
ponto de acumulac¸a˜o desse conjunto.
Exemplo 2.21. Todos os elementos do conjunto V =
{
n
n+ 1 : n ∈ N
}
, sa˜o pontos iso-
lados de V , com excec¸a˜o do ponto 1, que e´ o u´nico ponto de acumulac¸a˜o de V e na˜o
pertence ao conjunto.
Exemplo 2.22. O nu´mero complexo z = i, e´ um ponto de acumulac¸a˜o do conjunto
S =
{
i− 1
n
: n ∈ N
}
.
Definic¸a˜o 2.23. Um conjunto aberto U ⊂ C diz-se conexo se na˜o for a reunia˜o de dois
abertos disjuntos na˜o vazios.
Observac¸a˜o: Chama-se regia˜o ou domı´nio a todo conjunto aberto e conexo.
Definic¸a˜o 2.24. Um conjunto U ⊂ C diz-se limitado, se existir um nu´mero real positivo
M tal que:
|z| ≤M ,
para todo z ∈ U .
2. Nu´meros Complexos 21
Definic¸a˜o 2.25. Um conjunto U ⊂ C, diz-se compacto se for fechado e limitado.
Exemplo 2.26. O conjunto A = {z ∈ C : |z| ≤ �} e´ um compacto, ver Figura 6, pois e´
fechado e limitado.
Figura 6: Disco fechado centrado na origem e raio �
Com isso conclu´ımos o nosso cap´ıtulo sobre os nu´meros complexos. No cap´ıtulo
seguinte, trataremos das func¸o˜es anal´ıticas, onde estudaremos os conceitos de limites e
derivadas de func¸o˜es em C.
Cap´ıtulo 3
Func¸o˜es Anal´ıticas
Neste cap´ıtulo sera´ introduzido a noc¸a˜o de func¸a˜o diferencia´vel, ou func¸a˜o holo-
morfa, a partir da noc¸a˜o de derivada como limite de uma raza˜o incremental. Tambe´m
iremos verificar que a diferenciabilidade e´ caracterizada por um par de equac¸o˜es, deno-
minadas equac¸o˜es de Cauchy-Riemann. Os conceitos e resultados aqui descritos, foram
baseados nas leituras de: [2], [3], [7], [10] e [13].
Vamos comec¸ar este cap´ıtulo com o estudo de algumas func¸o˜es elementares
conhecidas da ana´lise real.
3.1 Func¸o˜es elementares
Considerando func¸o˜es elementares conhecidas da ana´lise real, vamos atribuir um
sentido a essas func¸o˜es quando a varia´vel se torna complexa.
3.1.1 Func¸o˜es racionais
A` func¸a˜o P (z) = anzn + an−1zn−1 + ...+ a1z + a0, da´-se o nome de polinoˆmio ou
func¸a˜o polinomial. O quociente R(z) = P (z)
Q(z) , onde P (z) e Q(z) sa˜o polinoˆmios chama-se
func¸a˜o racional.3.1.2 Func¸a˜o exponencial
De acordo com a proposic¸a˜o (2.10), pa´g. 15, temos que: eiy = cos y+i seny. Assim
um modo natural de definir a func¸a˜o exponencial de um nu´mero
complexo z = x+ iy e´ o seguinte:
22
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 23
ez = ex+iy = exeiy = ex(cos y + i seny).
Exemplo 3.1. Veja que para z = x+ i0 ∈ R tem-se:
ez = ex+i0 = ex(cos 0 + i sen0) = ex(1 + 0) = ex,
ou seja, a exponencial de nu´meros reais coincide com a exponencial ja´ conhecida.
Descreveremos na proposic¸a˜o seguinte, algumas propriedades importantes da ex-
ponencial.
Proposic¸a˜o 3.2. Para quaisquer z, w ∈ C e k ∈ Z tem-se:
1. ez+w = ezew.
Demonstrac¸a˜o. Se z = x+ iy e w = x′ + iy′ enta˜o,
ez+w = e(x+x′)+i(y+y′)
= ex+x′ [cos(y + y′) + i sen(y + y′)]
= exex′ [(cos y cos y′ − seny seny′) + i( seny cos y′ + seny′ cos y)]
= exex′(cos y + i seny)(cos y′ + i seny′)
= ex(cos y + i seny)ex′(cos y′ + i seny′)
= ezew. �
2. |ez| = ex.
Demonstrac¸a˜o. Se z = x+ iy enta˜o,
|ez| = |ex(cos y + i seny)|
=
√
(ex cos y)2 + (ex seny)2
=
√
(ex)2(cos2 y + sen2y)
=
√
(ex)2
= |ex|
= ex. �
3. 1
ez
= e−z.
Demonstrac¸a˜o. De fato, pela proposic¸a˜o 1, temos:
eze−z = ez−z = e0 = 1⇔ 1
ez
= e−z. �
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 24
4. ez+i2pik = ez.
Demonstrac¸a˜o. Se z = x+ iy enta˜o,
ez+i2kpi = ex+i(y+2kpi)
= ex[cos(y + 2kpi) + i sen(y + 2kpi)]
= ex(cos y + i seny)
= ez. �
3.1.3 Func¸o˜es trigonome´tricas
Das igualdades seguintes,
eiy = cos y + i seny e e−iy = cos y − i seny, ∀y ∈ R,
obtemos:
cos y = e
iy + e−iy
2 e seny =
eiy − e−iy
2i .
Aproveitamos estas fo´rmulas para definir cosseno e seno em C:
cos z = e
iz + e−iz
2 e senz =
eiz − e−iz
2i , ∀z ∈ C.
Observac¸a˜o: Ao contra´rio do que se sucede com as func¸o˜es cosseno e seno em R, elas
na˜o sa˜o limitadas em C, isto e´, tomam valores arbitrariamente grandes em mo´dulo.
Exemplo 3.3. Se z = 2i, enta˜o:
| cos z| = | cos(2i)| = 1 + e
4
2e2 > 3.
3.1.4 Logaritmo
Um nu´mero w diz-se logaritmo de z ∈ C \ {0} se ew = z. Escrevendo w = a+ ib,
temos que z = eaeib. Logo, ea = |z| ⇒ a = log |z| e b =Arg z =arg z + 2kpi, k ∈ Z.
Portanto:
w = Log z = log |z|+ iArg z = log |z|+ i (arg z + 2kpi).
A fo´rmula acima permite atribuir ao logaritmo um conjunto infinito de valores, depen-
dendo do argumento usado para o nu´mero z. Ao valor:
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 25
log z = log |z|+ i arg z,
da´-se o nome de valor principal do logaritmo.
Definic¸a˜o 3.4. Seja z = reiθ um nu´mero complexo. Definimos zw, com w = a + ib ∈ C
por,
zw = ewLog z,
onde Log z e´ um dos muitos poss´ıveis logaritmos de z. Assim, a menos que fixemos um
ramo do logaritmo, a expressa˜o zw pode representar muitos valores distintos.
Exemplo 3.5. Sejam z = i e w = i. Vamos determinar zw.
Temos que zw = ewLog z. Como z = i, enta˜o |z| = 1 e Arg z = pi2 + 2kpi, k ∈ Z. Logo:
zw = ii = ei Log i = ei(log |i|+i Arg i) = ei(log |1|+i(pi2 +2kpi))) = ei(i(pi2 +2kpi)) = e−(pi2 +2kpi), k ∈ Z.
Chamamos valor principal de zw ao valor da expressa˜o ew log z, ou seja, quando
log z e´ o valor principal do logaritmo. No exemplo anterior, o valor principal da expressa˜o
zw = ii e´: e−pi2 .
Exemplo 3.6. Uma das mais belas equac¸o˜es matema´ticas, que relaciona cinco nu´meros
fundamentais: e, pi, i, 0 e 1; e as operac¸o˜es base da matema´tica: adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o e
exponenciac¸a˜o, e´ a identidade de Euler:
eipi + 1 = 0.
De fato, eipi + 1 = cospi + i senpi + 1 = −1 + 0 + 1 = 0.
3.2 Func¸o˜es de uma varia´vel complexa
Consideremos func¸o˜es que estejam definidas em conjuntos complexos e que assu-
mem valores complexos, isto e´, sejam D ⊂ C e f uma lei que faz corresponder a cada
elemento z ∈ D um u´nico nu´mero complexo denotado por f(z). Nestas condic¸o˜es, di-
zemos que f e´ uma func¸a˜o com domı´nio D. O conjunto I dos valores w = f(z), que
corresponde a todos os valores de z em D, e´ chamado a imagem de D pela func¸a˜o f . Veja
Figura 7.
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 26
Figura 7: Func¸a˜o complexa: Dom(f) ⊂ C e Im(f) ⊂ C
De forma ana´loga ao que se convencionou para func¸o˜es reais, quando a func¸a˜o e´
dada por uma expressa˜o sem indicac¸a˜o do domı´nio, considera-se que o domı´nio e´ o maior
subconjunto U ⊂ C para o qual a expressa˜o faz sentido.
Exemplo 3.7. Considere a func¸a˜o f dada por f(z) = 1
z2 + 1 .
veja que f(z) = 1
z2 + 1 =
1
(z + i)(z − i) , assim temos que o domı´nio de f e´ C \ {± i}.
Uma func¸a˜o de varia´vel complexa z = x + iy pode assumir valores puramente
reais. Por exemplo a func¸a˜o definida por
f(z) = |z| =
√
x2 + y2,
associa a cada z ∈ C um nu´mero real.
Definic¸a˜o 3.8. Uma func¸a˜o f : U −→ C com U ⊂ C, diz-se limitada em A ⊂ U se
f(A) for limitado, isto e´, se existir um M > 0 tal que:
|f(z)| ≤M , para todo z ∈ A.
3.2.1 Limite e continuidade
Seja f : Ω −→ C uma func¸a˜o complexa no conjunto Ω ⊂ C. Escrevemos sempre
f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y),
onde u e v sa˜o func¸o˜es reais das varia´veis x e y, dadas por:
u = u(x, y) = Re(f(z)) e v = v(x, y) = Im(f(z)).
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 27
Exemplo 3.9. Considere a func¸a˜o f(z) = z2 + 2, temos enta˜o:
u = u(x, y) = x2 − y2 + 2 e v = v(x, y) = 2xy
Definic¸a˜o 3.10 (Limite em C). Dada uma func¸a˜o f : Ω −→ C, onde Ω ⊂ C e seja z0
um ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio Ω. Diz-se que f tem limite L com z tendendo a z0,
e escreve-se:
lim
z→z0
f(z) = L,
se dado qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que:
∀ z ∈ Ω, 0 < |z − z0| < δ ⇒ |f(z)− L| < ε.
Veja que essa definic¸a˜o e´ formalmente a mesma que damos para func¸o˜es reais, ela
reduz-se ao caso real quando todos os nu´meros envolvidos sa˜o reais.
Teorema 3.11 (Unicidade do Limite em C). Se o limite de uma func¸a˜o lim
z→z0
f(z)
existe, ele deve ser u´nico.
Demonstrac¸a˜o. Devemos mostrar que quando z −→ z0, se tivermos que lim
z→z0
f(z) = A e
lim
z→z0
f(z) = B, enta˜o A = B.
Pela definic¸a˜o de limite, dado ε > 0, podemos obter δ > 0 tal que se 0 < |z − z0| < δ
enta˜o:
|f(z)− A| < ε2
e
|f(z)−B| < ε2.
Assim,
|A−B| = |A− f(z) + f(z)−B| ≤ |A− f(z)|+ |f(z)−B| < ε2 +
ε
2 = ε.
Isto significa que |A−B| e´ menor que qualquer nu´mero positivo ε suficientemente pequeno,
logo deve ser zero. Segue que A = B. �
Definic¸a˜o 3.12 (Func¸a˜o cont´ınua). Seja f : U −→ C uma func¸a˜o definida num aberto
U ⊂ C. Dizemos que f e´ continua em z0 ∈ U se:
lim
z→z0
f(z) = f(z0),
ou seja, dado qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que:
∀z ∈ U , |z − z0| < δ ⇒ |f(z)− f(z0)| < ε.
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 28
Ainda, dizemos que f e´ cont´ınua se for cont´ınua em todos os pontos do seu domı´nio.
Exemplo 3.13. As func¸o˜es racionais f(z) = P (z)
Q(z) (onde P (z) e Q(z) sa˜o polinoˆmios),
sa˜o cont´ınuas em todo o seu domı´nio, que sa˜o os pontos onde o denominador na˜o se anula,
ou seja:
{z ∈ C : Q(z) 6= 0}.
Exemplo 3.14. Usando a definic¸a˜o (3.10), vamos mostrar que
lim
z→3i
(
z + 3
2
)
= 3 + 3i2 .
De fato, sendo f(z) = z + 32 e L =
3 + 3i
2 temos:
|f(z)− L| =
∣∣∣∣z + 32 − 3 + 3i2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣z + 3− (3 + 3i)2
∣∣∣∣∣ = |z − 3i|2 < ε⇔ |z − 3i| < 2ε.
Daqui segue que dado qualquer ε > 0, basta tomarmos δ = 2ε, e a definic¸a˜o se verifica:
0 < |z − z0| < δ ⇒ |f(z)− f(z0)| < ε.
Definic¸a˜o 3.15. Seja f : D −→ C onde D ⊂ C. Dizemos que f tem limite finito L com
z tendendo a infinito, e escrevemos:
lim
z→∞ f(z) = L,
se dado qualquer ε > 0, existe um nu´mero real M > 0 tal que:
∀z ∈ D, |z| > M ⇒ |f(z)− L| < ε.
Exemplo 3.16. Vamos mostrar usando a definic¸a˜o (3.15) que,
lim
z→∞
z − 1
z + 1 = 1.
De fato, sendo f(z) = z − 1
z + 1 e L = 1 temos:
|f(z)− L| =
∣∣∣∣z − 1z + 1 − 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ −2z + 1
∣∣∣∣ = 2|z + 1| ≤ 2|z| − 1 .
Esta u´ltima desigualdade so´ e´correta se |z| > 1.
Veja tambe´m que: |f(z)− L| =
∣∣∣∣z − 1z + 1 − 1
∣∣∣∣ ≤ 2|z| − 1 < ε, se |z| > 2ε + 1.
Assim, dado qualquer ε > 0, e tomando M como sendo,
M = ma´x
{
1, 2
ε
+ 1
}
,
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 29
obtemos o resultado desejado:
|z| > M ⇒ |f(z)− L| < ε.
Definic¸a˜o 3.17. Seja f : D −→ C onde D ⊂ C. Dizemos que f tem limite infinito com
z tendendo a infinito, e escrevemos
lim
z→∞ f(z) =∞,
se dado qualquer M > 0, existe um nu´mero real r > 0 tal que:
∀z ∈ D, |z| > r ⇒ |f(z)| > M.
Definic¸a˜o 3.18. Sejam f : D −→ C onde D ⊂ C, e z0 um ponto de acumulac¸a˜o do
domı´nio D. Dizemos que f tem limite infinito com z tendendo a z0, e escrevemos:
lim
z→z0
f(z) =∞,
se dado qualquer M > 0, existe um nu´mero real δ > 0 tal que:
∀z ∈ D, 0 < |z − z0| < δ ⇒ |f(z)| > M .
Proposic¸a˜o 3.19 (Propriedades dos Limites em C). Se lim f(z) = A e lim g(z) = B
quando z −→ z0, enta˜o:
1. lim[f(z) + g(z)] = lim f(z) + lim g(z) = A+B.
2. lim[f(z)− g(z)] = lim f(z)− lim g(z) = A−B.
3. lim[f(z) · g(z)] = lim f(z) · lim g(z) = A ·B.
4. lim[f(z)/g(z)] = [lim f(z)]/[lim g(z)] = A/B, desde que B 6= 0.
Demonstrac¸a˜o. De fato,
1. Pela definic¸a˜o de limite devemos mostrar que dado qualquer ε > 0, existe δ > 0, tal
que se 0 < |z − z0| < δ, enta˜o:
|[f(x) + g(z)]− [A+B]| < ε.
Como lim f(z) = A e lim g(z) = B, logo para todo ε > 0, existem δ1, δ2 > 0 tais
que se:
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 30
0 < |z − z0| < δ1 ⇒ |f(z)− A| < ε2
e
0 < |z − z0| < δ2 ⇒ |g(z)−B| < ε2.
Assim,
|[f(x)+g(z)]−[A+B]| = |[f(z)−A]+[g(z)−B]| ≤ |f(z)−A|+|g(z)−B| < ε2+
ε
2 = ε.
Logo, tomando δ = min{δ1, δ2}, conclu´ımos que se 0 < |z − z0| < δ, enta˜o:
|[f(x) + g(z)]− [A+B]| < ε.
2. Demonstrac¸a˜o ana´loga ao caso anterior pois, [f(z)− g(z)] = [f(z) + (−g(z))].
3. Pela definic¸a˜o de limite devemos mostrar que dado qualquer ε > 0, existe δ > 0, tal
que se 0 < |z − z0| < δ, enta˜o:
|f(z)g(z)− AB| < ε.
De fato, veja que:
|f(z)g(z)− AB| = |f(z)g(z)− f(z)B + f(z)B − AB|
= |f(z)(g(z)−B) +B(f(z)− A)|
≤ |f(z)(g(z)−B)|+ |B(f(z)− A)|
≤ |f(z)||g(z)−B|+ |B||f(z)− A|.
Logo,
|f(z)g(z)− AB| ≤ |f(z)||g(z)−B|+ |B||f(z)− A|. (1)
Como lim f(z) = A, logo dado ε = 1 > 0, existe δ1 > 0, tal que se 0 < |z− z0| < δ1,
enta˜o:
|f(z)− A| < 1.
Agora,
|f(z)− A| ≥ |f(z)| − |A| ⇒ 1 > |f(z)| − |A| ⇒ |f(z)| < |A|+ 1,
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 31
ou seja, |f(z)| < M = |A|+ 1, onde M e´ uma constante positiva.
Como lim g(z) = B, logo dado ε > 0, existe δ2 > 0, tal que se 0 < |z − z0| < δ2,
enta˜o:
|g(z)−B| < ε2M .
Como lim f(z) = A, logo dado ε > 0, existe δ3 > 0, tal que se 0 < |z − z0| < δ3,
enta˜o:
|f(z)− A| < ε2|B| .
Substituindo esses resultados acima em (1), obtemos:
|f(z)g(z)− AB| < M · ε2M + |B| ·
ε
2|B| <
ε
2 +
ε
2 = ε.
Logo, tomando δ = min{δ1, δ2, δ3}, conclu´ımos que se 0 < |z − z0| < δ, enta˜o:
|f(z)g(z)− AB| < ε.
4. Pelo item anterior basta mostrar que lim
(
1
g(z)
)
= 1
B
, pois:
lim
(
f(z)
g(z)
)
= lim f(z) · lim
(
1
g(z)
)
= A · 1
B
= A
B
.
De fato, temos que:
∣∣∣∣∣ 1g(z) − 1B
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣B − g(z)g(z)B
∣∣∣∣∣ = |g(z)−B||g(z)||B| . (1)
Primeiro vamos mostrar que se B 6= 0 e lim g(z) = B, existe um δ1 > 0 tal que
1
|g(z)| <
2
|B| sempre que 0 < |z− z0| < δ1. De fato, dado ε =
|B|
2 > 0 existe δ1 > 0,
tal que se 0 < |z − z0| < δ1, enta˜o:
||g(z)| − |B|| < |g(z)−B| < |B|2 ⇒
1
|g(z)| <
2
|B| ,
pois:
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 32
||g(z)| − |B|| < |g(z)−B| < |B|2 ⇒ ||g(z)| − |B|| <
|B|
2
⇒ −|B|2 < |g(z)| − |B| <
|B|
2
⇒ |B| − |B|2 < |g(z)| <
|B|
2 + |B|
⇒ |B|2 < |g(z)| <
3|B|
2 .
Logo, |B|2 < |g(z)| ⇒
1
|g(z)| <
2
|B| .
Agora, como lim g(z) = B, dado ε > 0, existe δ2 > 0, tal que se 0 < |z − z0| < δ1,
enta˜o:
|g(z)−B| < |B|
2ε
2 .
Substituindo esses valores acima em (1), obtemos:∣∣∣∣∣ 1g(z) − 1B
∣∣∣∣∣ = |g(z)−B||g(z)||B| < 2|g(z)−B||B|2 < 2|B|
2ε
2|B|2 = ε.
Logo, tomando δ = min{δ1, δ2}, conclu´ımos que ∀z ∈ C, temos que:
0 < |z − z0| < δ ⇒
∣∣∣∣∣ 1g(z) − 1B
∣∣∣∣∣ < ε. �
Exemplo 3.20. Das propriedades acima segue que:
1. lim
z→2(3z
2 + 4z − 1) = 19, pois:
lim
z→2(3z
2 + 4z − 1) = 3 lim
z→2 z
2 + 4 lim
z→2 z − limz→2 1 = 12 + 8− 1 = 19.
2. lim
z→0( sen(z) · cos(z)) = 0, pois:
lim
z→0( sen(z) · cos(z)) = limz→0 sen(z) · limz→0 cos(z) = 0 · 1 = 0.
3.2.2 Derivabilidade de func¸o˜es em C
Consideremos agora uma func¸a˜o f : U −→ C, onde U ⊂ C (U aberto).
Definic¸a˜o 3.21. Dizemos que f e´ diferencia´vel em z0 ∈ U , se existe o limite:
f ′(z0) = lim
z→z0
f(z)− f(z0)
z − z0 .
Chamamos f ′(z0) de derivada de f em z0.
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 33
Introduziremos agora a noc¸a˜o de func¸a˜o holomorfa.
Definic¸a˜o 3.22. Uma func¸a˜o f : U −→ C diz-se holomorfa em U , quando e´ diferencia´vel
em todos os pontos de U .
Exemplo 3.23. Mostraremos que a func¸a˜o dada por f(z) = z2 e´ holomorfa em C.
De fato, observe que:
lim
z→z0
z2 − z20
z − z0 = limz→z0
(z − z0)(z + z0)
z − z0
= lim
z→z0
(z + z0)
= 2z0.
Portanto, (z2)′ = 2z.
Para n ∈ N, temos que:
(zn)′ = nzn−1.
De fato, como zn − zn0 = (z − z0)(zn−1 + z0zn−2 + z20zn−3 + · · ·+ zn−20 z + zn−10 ),
temos que:
lim
z→z0
zn − zn0
z − z0 = limz→z0
(z − z0)(zn−1 + z0zn−2 + z20zn−3 + · · ·+ zn−20 z + zn−10 )
z − z0
= lim
z→z0
(zn−1 + z0zn−2 + z20zn−3 + · · ·+ zn−20 z + zn−10 )︸ ︷︷ ︸
n parcelas
= nzn−10 .
Portanto, (zn)′ = nzn−1, ∀n ∈ N.
Proposic¸a˜o 3.24. Se f e´ diferencia´vel em z0, enta˜o f e´ cont´ınua em z0.
Demonstrac¸a˜o. De fato, para z 6= z0, temos:
f(z)− f(z0) = f(z)− f(z0)
z − z0 (z − z0),
e portanto:
lim
z→z0
f(z) = lim
z→z0
[f(z)− f(z0)] + lim
z→z0
f(z0)
= lim
z→z0
f(z)− f(z0)
z − z0 limz→z0(z − z0) + f(z0)
= f ′(z0) · 0 + f(z0)
= f(z0). �
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 34
Proposic¸a˜o 3.25 (Regras de derivac¸a˜o). Sejam f, g : U −→ C holomorfas em U ⊂ C.
Dado z0 ∈ U temos:
1. (f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0).
2. (f · g)′(z0) = f ′(z0) · g(z0) + f(z0) · g′(z0).
3.
(
f
g
)′
(z0) =
f ′(z0)g(z0)− f(z0)g′(z0)
[g(z0)]2
.
Demonstrac¸a˜o. De fato, basta observar os ca´lculos abaixo:
1.
(f + g)′(z0) = lim
z→z0
(f(z) + g(z))− (f(z0) + g(z0))
z − z0
= lim
z→z0
(
f(z)− f(z0)
z − z0 +
g(z)− g(z0)
z − z0
)
= lim
z→z0
f(z)− f(z0)
z − z0 + limz→z0
g(z)− g(z0)
z − z0
= f ′(z0) + g′(z0).
2.
(f · g)′(z0) = lim
z→z0
f(z)g(z)− f(z0)g(z0)
z − z0
= lim
z→z0
f(z)g(z)− f(z0)g(z) + f(z0)g(z)− f(z0)g(z0)
z − z0
= lim
z→z0
(f(z)− f(z0))
z − z0 g(z) + limz→z0
(g(z)− g(z0))
z − z0 f(z0)
= f ′(z0)g(z0) + g′(z0)f(z0).
3. (
f
g
)′
(z0) = lim
z→z0
f(z)
g(z) − f(z0)g(z0)
z − z0 = limz→z0
f(z)(g(z0)− f(z0)g(z))
z − z0 ·
1
g(z)g(z0)
.
Somando e subtraindo g(z0)f(z0) ao numerador temos:
(
f
g
)′
(z0) = lim
z→z0
f(z)g(z0)− g(z0)f(z0) + g(z0)f(z0)− f(z0)g(z)
z − z0 ·
1
g(z)g(z0)
= lim
z→z0
[
(f(z)− f(z0))
z − z0 g(z0) +
(g(z0)− g(z))
z − z0 f(z0)
]
· 1
g(z)g(z0)
= lim
z→z0
[
(f(z)− f(z0))
z − z0 g(z0)−
(g(z)− g(z0))
z − z0 f(z0)
]
· 1
g(z)g(z0)
= f
′(z0)g(z0)− g′(z0)f(z0)
[g(z0)]2
. �
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 35
Teorema 3.26 (Derivada da func¸a˜o composta). Se f e´ deriva´vel em g(z0) e g e´
deriva´vel em z0, enta˜o f ◦ g e´ deriva´vel em z0 e:
(f ◦ g)′(z0) = f ′(g(z0)) · g′(z0).
Demonstrac¸a˜o. Para g(z) 6= g(z0), podemos escrever:
f(g(z))− f(g(z0))
z − z0 =
f(g(z))− f(g(z0))
g(z)− g(z0) ·
g(z)− g(z0)
z − z0 . (1)
Agora fazendo u = g(z) e b = g(z0), definimos a func¸a˜o abaixo,
H(u) =

f(u)− f(b)
u− b , se u 6= b
f ′(b) , se u = b.
Veja que H e´ cont´ınua no ponto b = g(z0), pois:
limu→b
f(u)− f(b)
u− b = f
′(b).
Assim, podemos enta˜o reescrever a equac¸a˜o (1):
f(g(z))− f(g(z0))
z − z0 = H(g(z)) ·
g(z)− g(z0)
z − z0 .
A igualdade acima permanece va´lida quando g(z) = g(z0), desde que z 6= z0, e como H e´
cont´ınua em b = g(z0),
lim
z→z0
H(g(z)) = H
(
lim
z→z0
(g(z))
)
= H(g(z0)) = H(b) = f ′(b).
Logo:
(f ◦ g)′(z0) = lim
z→z0
f(g(z))− f(g(z0))
z − z0
= lim
z→z0
H(g(z)) · lim
z→z0
g(z)− g(z0)
z − z0
= f ′(b)g′(z0)
= f ′(g(z0)g′(z0)). �
A seguir sera´ apresentado a partir do conceito de func¸a˜o holomorfa, a definic¸a˜o
de func¸a˜o inteira.
Definic¸a˜o 3.27 (Func¸a˜o inteira). Uma func¸a˜o complexa definida e holomorfa em todo
o plano C diz-se inteira.
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 36
Exemplo 3.28. As func¸o˜es cosseno e seno em C sa˜o inteiras.
De fato, como:
cos z = e
iz + e−iz
2 e sen z =
eiz − e−iz
2i , ∀z ∈ C ,
temos que, ( senz)′ = cos z e (cos z)′ = − sen z, pois:
( sen z)′ =
(
eiz − e−iz
2i
)′
= 12i(ie
iz + ie−iz) = e
iz + e−iz
2 = cos z, e
(cos z)′ =
(
eiz + e−iz
2
)′
= 12(ie
iz − ie−iz) = i2(e
iz − e−iz) = − 12i(e
iz − e−iz) = − sen z.
Assim, as func¸o˜es cosseno e seno sa˜o definidas e holomorfas em todo C, portanto
sa˜o inteiras.
A seguir sera´ descrito uma condic¸a˜o necessa´ria (pore´m na˜o suficiente) para a diferencia-
bilidade num ponto.
Teorema 3.29 (Equac¸o˜es de Cauchy-Riemann). Se f e´ diferencia´vel em z0 = x0+iy0
enta˜o
∂u
∂x
= ∂v
∂y
e ∂u
∂y
= −∂v
∂x
em (x0, y0). Ale´m disso, a derivada e´ dada por:
f ′(z0) =
∂u
∂x
(x0, y0) + i
∂v
∂x
(x0, y0).
Demonstrac¸a˜o. De fato, suponha f diferencia´vel em z0 ∈ C com z0 = x0 + iy0. Enta˜o
podemos calcular o limite:
f ′(z0) = lim
h→0
f(z0 + h)− f(z0)
h
,
nas direc¸o˜es horizontal e vertical e comparar os resultados obtidos:
• Na direc¸a˜o horizontal, fazendo h = s ∈ R, temos:
f ′(z0) = lim
s→0
f(x0 + iy0 + s)− f(x0 + iy0)
s
= lim
s→0
u(x0 + s, y0)− u(x0, y0) + iv(x0 + s, y0)− iv(x0, y0)
s
= lim
s→0
u(x0 + s, y0)− u(x0, y0)
s
+ i lim
s→0
v(x0 + s, y0)− v(x0, y0)
s
= ∂u
∂x
(x0, y0) + i
∂v
∂x
(x0, y0). (1)
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 37
• Na direc¸a˜o vertical, fazendo h = it, (t ∈ R), temos:
f ′(z0) = lim
t→0
f(x0 + iy0 + it)− f(x0 + iy0)
it
= lim
t→0
u(x0, y0 + t) + iv(x0, y0 + t)− [u(x0, y0) + iv(x0, y0)]
it
= lim
t→0
u(x0, y0 + t)− u(x0, y0) + iv(x0, y0 + t)− iv(x0, y0)
it
= −i lim
t→0
u(x0, y0 + t)− u(x0, y0)
t
+ lim
t→0
v(x0, yo + t)− v(x0, y0)
t
= −i∂u
∂y
(x0, y0) +
∂v
∂y
(x0, y0)
= ∂v
∂y
(x0, y0)− i∂u
∂y
(x0, y0). (2)
Como por hipo´tese esse limite e´ u´nico, logo igualando as partes reais e imagina´rias de (1)
e (2), obtemos assim as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann.
∂u
∂x
(x0, y0) =
∂v
∂y
(x0, y0) e
∂v
∂x
(x0, y0) = −∂u
∂y
(x0, y0). �
Para que uma func¸a˜o f seja diferencia´vel num ponto z0 ∈ C, na˜o basta que
as condic¸o˜es de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas nesse ponto, como mostra o exemplo
seguinte.
Exemplo 3.30. Mostraremos que a func¸a˜o dada por f(z) =
√
|xy|, onde z = x+ iy na˜o
e´ diferencia´vel na origem. No entanto, as condic¸o˜es de Cauchy-Riemann sa˜o satisfeitas
em (0, 0).
De fato, seja
h = reiθ = r(cos θ + i sen θ).
Veja que, h→ 0 se e somente se r → 0, logo:
f(h)− f(0)
h− 0 =
√
|r cos θ · r sen θ| − 0
reiθ
=
r
√
| cos θ · sen θ|
reiθ
=
√
| cos θ · sen θ| · e−iθ.
Como a expressa˜o acima depende de θ, logo na˜o existe o seu limite quando r → 0, e
portanto f na˜o e´ diferencia´vel na origem.
Por outro lado, escrevendo f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y), onde:
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 38
u(x, y) =
√
|xy| e v(x, y) = 0.
Temos que:
∂u
∂x
(0, 0) = lim
x→0
u(x, 0)− u(0, 0)
x− 0 = 0
∂u
∂y
(0, 0) = lim
y→0
u(0, y)− u(0, 0)
y − 0 = 0,
e
∂v
∂x
(0, 0) = ∂v
∂y
(0, 0) = 0,
pois v(x, y) = 0. Portanto as condic¸o˜es de Cauchy-Riemann sa˜o satisfeitas em (0, 0), mas
como mostrado acima f na˜o e´ diferencia´vel na origem.
A seguir sera´ apresentada uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para a diferenciabi-
lidade num conjunto aberto. Antes pore´m, sera´ definido func¸a˜o de classe C1, e em seguida
apresentado um lema do ca´lculo diferencial e integral, necessa´rio para a demonstrac¸a˜o do
teorema seguinte.
Definic¸a˜o 3.31. Sejam U ⊂ R e f : U −→ C. Diz-se que f e´ uma func¸a˜o de classe C1
ou continuamente deriva´vel, se for deriva´vel e f ′ for cont´ınua. No caso especial em que U
e´ um intervalo de R, dizemos que f e´ um caminho de classe C1.
Lema 3.32. Seja F : V −→ R, onde V ⊂ R2 aberto, uma func¸a˜o admitindo derivadas
parciais em V , que sa˜o cont´ınuas no ponto (x0, y0) ∈ V . Enta˜o
F (x, y)− F (x0, y0) = (x− x0)
(
∂F
∂x
(x0, y0) +H(x− x0, y − y0)
)
+
+ (y − y0)
(
∂F
∂y
(x0, y0) +K(x− x0, y − y0)
)
,
onde:
lim
(x,y)→(x0,y0)
H(x− x0, y − y0) = 0
e
lim
(x,y)→(x0,y0)
K(x− x0, y − y0) = 0.
A demonstrac¸a˜o do lema acima, pode ser encontrada em [13]. Aqui apenas assu-
miremos a sua veracidade e o usaremos para provar o teorema seguinte.
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 39
Teorema 3.33. Sejam u, v : U −→ C func¸o˜es de classe C1 num aberto U ⊂ C. Enta˜o a
func¸a˜o f(z) = f(x+ iy) = u(x, y)+ iv(x, y) e´ holomorfa em U se e somente se as equac¸o˜es
de Cauchy-Riemann sa˜o satisfeitas em todos os pontos de U .
Demonstrac¸a˜o. De fato:
(⇒) Se f e´ holomorfa em U , segue do Teorema (3.29) que as condic¸o˜es de Cauchy-
Riemann sa˜o satisfeitas em todos os pontos de U .
(⇐) Suponha agora que as condic¸o˜es de Cauchy-Riemann sa˜o satisfeitas em todos
os pontos de U . Sejam z = x+iy e z0 = x0+iy0, por simplicidade de notac¸a˜o consideremos,
ux =
∂u
∂x
(x0, y0), uy =
∂u
∂y
(x0, y0), vx =
∂v
∂x
(x0, y0), vy =
∂v
∂y
(x0, y0), ∆x = x − x0,
∆y = y − y0 e ∆z = z − z0. Como por hipo´tese as func¸o˜es reais u e v sa˜o de classe C1,
logo existem as derivadas parciais e elas sa˜o cont´ınuas. Portanto podemos aplicar o Lema
anterior ( Lema (3.32)) a`s componentes u e v de f . Da´ı:
f(z)− f(z0) = u(x, y) + iv(x, y)− [u(x0, y0) + iv(x0, y0)]
= u(x, y)− u(x0, y0) + i[v(x, y)− v(x0, y0)]
= ∆x(ux +H1) + ∆y(uy +K1) + i[∆x(vx +H2) + ∆y(vy +K2)] lema
= ∆x(ux +H1) + i∆x(vx +H2) + ∆y(uy +K1) + i∆y(vy +K2)
= ∆x(ux +H1 + ivx + iH2) + ∆y(uy +K1 + ivy + iK2)
= ∆x(ux + ivx) + ∆y(uy + ivy) + ∆x(H1 + iH2) + ∆y(K1 + iK2).
Usando as condic¸o˜es de Cauchy-Riemann, temos:
f(z)− f(z0) = ∆x(ux + ivx) + ∆y(−vx + iux) + ∆x(H1 + iH2) + ∆y(K1 + iK2)
= ux(∆x+ i∆y) + vx(i∆x−∆y) + ∆x(H1 + iH2) + ∆y(K1 + iK2)
= ux(∆x+ i∆y) + ivx(∆x+ i∆y) + ∆x(H1 + iH2) + ∆y(K1 + iK2)
= ∆z(ux + ivx) + ∆x(H1 + iH2) + ∆y(K1 + iK2).
Agora dividindo tudo por ∆z = z − z0 6= 0 (pois z 6= z0),
f(z)− f(z0)
∆z = ux + ivx + (H1 + iH2)
∆x
∆z + (K1 + iK2)
∆y
∆z .
Para concluirmos a demonstrac¸a˜o basta mostrarmos que,
lim
z→z0
[
(H1 + iH2)
∆x
∆z + (K1 + iK2)
∆y
∆z
]
= 0.
De fato, como: ∣∣∣∣∣∆x∆z
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣x− x0z − z0
∣∣∣∣ ≤ 1 e
∣∣∣∣∣∆y∆z
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣y − y0z − z0
∣∣∣∣ ≤ 1,
temos,
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 40
lim
z→z0
[
|H1 + iH2|
∣∣∣∣x− x0z − z0
∣∣∣∣+ |K1 + iK2| ∣∣∣∣y − y0z − z0
∣∣∣∣] ≤ limz→z0(|H1 + iH2|+ |K1 + iK2|) = 0.
Portanto,
lim
z→z0
f(z)− f(z0)
z − z0 =
∂u
∂x
(x0, y0) + i
∂v
∂x
(x0, y0) = f ′(z0). �
Desse teorema observamos que uma func¸a˜o diferencia´vel no sentido da Ana´lise
Complexa e´ tambe´m diferencia´vel no sentido da Ana´lise Real, e ale´m disso a sua matriz
Jacobiana tem uma estrutura muito especial, verifica as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann.
Exemplo 3.34. Considere a func¸a˜o exponencial dada por f(z) = ez. Temos:
u(x, y) = ex cos y e v(x, y)= ex sen y,
e ambas as func¸o˜es u e v sa˜o claramente de classe C1 no aberto R2. Como
∂u
∂x
= ex cos y, ∂v
∂y
= ex cos y
e
∂u
∂y
= −ex sen y, −∂v
∂x
= −ex sen y,
as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann sa˜o satisfeitas em R2. Segue enta˜o do Teorema (3.33)
que a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em C = R2. Ale´m disso, temos que:
f ′(z) = ∂u
∂x
+ i∂v
∂x
= ex cos y + iex sen y = ez.
Portanto, (ez)′ = ez.
Definic¸a˜o 3.35. Um ponto z0 ∈ C diz-se uma singularidade de f se existir um disco
D(z0, r), (r > 0) tal que f e´ holomorfa em todo o disco exceto em z0.
Exemplo 3.36. A func¸a˜o dada por f(z) = 1
z2 − z tem as singularidades z = 0 e z = 1.
De um modo geral, as singularidades de uma func¸a˜o racional f(z) = P (z)
Q(z) sa˜o os pontos
onde Q(z) se anula.
Para finalizar este cap´ıtulo, sera´ introduzido a partir do que foi estudado a noc¸a˜o
de func¸a˜o anal´ıtica.
Definic¸a˜o 3.37. Uma func¸a˜o f diz-se anal´ıtica (tambe´m holomorfa) num conjunto
aberto U ⊂ C, se for diferencia´vel em cada ponto de U . f diz-se anal´ıtica num ponto
z0 ∈ C se for anal´ıtica numa vizinhanc¸a de z0.
3. Func¸o˜es Anal´ıticas 41
Exemplo 3.38. Qualquer polinoˆmio com coeficientes em C e´ uma func¸a˜o anal´ıtica em
C. De fato, basta notar que todo polinoˆmio em C e´ diferencia´vel em cada ponto z ∈ C.
Observac¸a˜o: Existem algumas diferenc¸as entre func¸o˜es anal´ıticas complexas e func¸o˜es
anal´ıticas reais. Considere por exemplo a func¸a˜o f(z) = sen(z), esta func¸a˜o e´ anal´ıtica em
toda a reta como func¸a˜o real (z ∈ R) e anal´ıtica em todo o plano como func¸a˜o complexa
(z ∈ C). Como sabemos da Ana´lise Real, esta func¸a˜o e´ limitada em R mas na˜o o e´ no
plano complexo como vimos no cap´ıtulo anterior. De fato, o teorema de Liouville (que
veremos no cap´ıtulo seguinte) garante que as u´nicas func¸o˜es anal´ıticas em todo o plano e
limitadas sa˜o constantes.
Assim, conclu´ımos este cap´ıtulo sobre as func¸o˜es anal´ıticas. No cap´ıtulo seguinte
trataremos da teoria da integral complexa.
Cap´ıtulo 4
Teoria da Integral
Neste cap´ıtulo apresentaremos de forma breve a definic¸a˜o das integrais cur-
vil´ıneas, o conceito de integral de uma func¸a˜o complexa, e alguns dos resultados mais
importantes dessa teoria, tais como: Fo´rmula Integral de Cauchy e o Teorema de Cau-
chy. Com isso, teremos condic¸o˜es suficientes de demonstrar o Teorema Fundamental da
A´lgebra, objetivo central deste trabalho. Os resultados aqui expostos baseiam-se nas
leituras de: [3], [7], [12] e [13].
Comec¸aremos com algumas definic¸o˜es importantes, lembrando que quando nos
referirmos a domı´nio (regia˜o), estamos nos referindo a um conjunto aberto e conexo.
Definic¸a˜o 4.1. Uma func¸a˜o cont´ınua γ : [a, b] −→ Ω ⊂ C, diz-se um caminho em Ω e
sua imagem γ([a, b]) diz-se uma curva em Ω.
Observac¸a˜o: Notamos que uma mesma curva pode ser a imagem de va´rios caminhos.
Definic¸a˜o 4.2. Um caminho γ : [a, b] −→ Ω, diz-se regular se e´ um caminho C1 tal que
γ′(t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b], tomando as derivadas laterais nos extremos do intervalo
[a, b].
Definic¸a˜o 4.3. Um caminho γ : [a, b] −→ Ω, diz-se seccionalmente regular ou regular
por partes se existe uma partic¸a˜o de [a, b] num nu´mero finito de subintervalos [aj, bj]
tais que cada caminho γj : [aj, bj] −→ Ω definido por γj(t) = γ(t) para todo t ∈ [aj, bj] e´
regular, tomando derivadas laterais nos extremos do intervalo [aj, bj].
Definic¸a˜o 4.4. Se γ : [a, b] −→ C e´ um caminho regular, seu comprimento e´ definido
por:
`(γ) =
∫ b
a
|γ′(t)| dt.
42
4. Teoria da Integral 43
Se γ e´ um caminho regular por partes, e considerando uma partic¸a˜o a = c0 < c1 < · · · <
ck = b do intervalo [a, b], temos enta˜o que:
`(γ) =
∫ b
a
|γ′(t)| dt =
k∑
i=1
∫ ci
ci−1
|γ′(t)|dt.
Exemplo 4.5. Seja γ : [0, 2pi] −→ C o caminho percorrido no sentido anti-hora´rio dado
por γ(t) = reit (conforme Figura 8). Temos:
`(γ) =
∫ 2pi
0
|γ′(t)| dt
=
∫ 2pi
0
|rieit| dt
=
∫ 2pi
0
r dt
= 2pir.
Figura 8: Caminho γ(t) = reit, t ∈ [0, 2pi]
4.1 Integral complexa ao longo de uma curva
Seja f(t) = u(t)+iv(t) uma func¸a˜o definida no intervalo [a, b]. Suponha-se que as
func¸o˜es u e v sejam integra´veis no intervalo [a, b]. Enta˜o diz-se que a func¸a˜o f : [a, b] −→ C
e´ integra´vel e a sua integral define-se por:
∫ b
a
f(t) dt =
∫ b
a
u(t) dt+ i
∫ b
a
v(t) dt.
4. Teoria da Integral 44
Proposic¸a˜o 4.6 (Linearidade da integral). Sejam f, g : [a, b] −→ C cont´ınuas, e
α ∈ C tem-se enta˜o:
1.
∫ b
a
(f(t) + g(t)) dt =
∫ b
a
f(t) dt+
∫ b
a
g(t) dt.
2.
∫ b
a
αf(t) dt = α
∫ b
a
f(t) dt.
Demonstrac¸a˜o.
1. Sejam f, g : [a, b] −→ C cont´ınuas. Consideremos uma partic¸a˜o a = c0 < c1 < · · · <
ck = b do intervalo [a, b]. Como por hipo´tese f e g sa˜o integra´veis em [a, b] (f e g
sa˜o cont´ınuas em [a, b]), segue que:
∫ b
a
(f(t) + g(t)) dt =
k∑
i=1
∫ ci
ci−1
(f(t) + g(t)) dt
=
k∑
i=1
∫ ci
ci−1
f(t) dt+
k∑
i=1
∫ ci
ci−1
g(t) dt linearidade do somato´rio
=
∫ b
a
f(t) dt+
∫ b
a
g(t) dt.
2. Sejam f(t) = x(t) + iy(t) e α = c+ id. Como
αf(t) = (c+ id)(x(t) + iy(t)) = (cx(t)− dy(t)) + i(dx(t) + cy(t)),
temos que:
∫ b
a
αf(t) dt =
∫ b
a
(cx(t)− dy(t)) dt+ i
∫ b
a
(dx(t) + cy(t)) dt
= c
∫ b
a
x(t) dt− d
∫ b
a
y(t) dt+ i
(
d
∫ b
a
x(t) dt+ c
∫ b
a
y(t) dt
)
= (c+ id)
(∫ b
a
x(t) dt+ i
∫ b
a
y(t) dt
)
= α
∫ b
a
f(t) dt. �
Da definic¸a˜o de integral dada acima, segue tambe´m a importante propriedade
denominada Desigualdade Fundamental:
Proposic¸a˜o 4.7 (Desigualdade Fundamental). Se f : [a, b] −→ C e´ cont´ınua, temos
enta˜o que: ∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(t) dt
∣∣∣∣∣ ≤
∫ b
a
|f(t)| dt.
4. Teoria da Integral 45
Demonstrac¸a˜o. Seja w =
∫ b
a
f(t) dt. Se w = 0 na˜o ha´ nada o que mostrar. Caso contra´rio,
temos:
|w|2 = ww = w
∫ b
a
f(t) dt =
∫ b
a
wf(t) dt =
∫ b
a
Re[wf(t)] dt ≤
≤
∫ b
a
|wf(t)| dt =
∫ b
a
|w||f(t)| dt = |w|
∫ b
a
|f(t)| dt.
dividindo tudo por |w| > 0, obtemos:
|w| ≤
∫ b
a
|f(t)| dt ⇔
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(t) dt
∣∣∣∣∣ ≤
∫ b
a
|f(t)| dt. �
Definic¸a˜o 4.8. Dada uma curva γ : [a, b] −→ C, regular por partes, e uma func¸a˜o
cont´ınua f(z) cujo domı´nio conte´m γ([a, b]) define-se:∫
γ
f(z) dz =
∫ b
a
f(γ(t))γ′(t) dt,
onde esta integral designa-se a integral da func¸a˜o f ao longo da curva γ .
E´ fa´cil ver que a integral complexa pode ser escrita como a soma de duas integrais
curvil´ıneas: ∫
γ
f(z) dz =
∫
γ
u dx− v dy + i
∫
γ
v dx+ u dy.
De fato, sejam f(z) = u(x, y) + iv(x, y) e γ(t) = x(t) + iy(t). Enta˜o temos:∫
γ
f(z) dz =
∫ b
a
f(γ(t))γ′(t) dt
=
∫ b
a
(u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t)))(x′(t) + iy′(t)) dt
=
∫ b
a
(ux′(t)− vy′(t)) dt+ i
∫ b
a
(uy′(t) + vx′(t)) dt
=
∫
γ
u dx− v dy + i
∫
γ
v dx+ u dy.
Exemplo 4.9. Calculemos a integral
∫
γ
Re z dz ao longo do caminho γ : [0, 1] −→ C dado
por: γ(t) = t(1 + i).
Temos que:
∫
γ
Re z dz =
∫ 1
0
Re[t(1 + i)][t(1 + i)]′ dt =
∫ 1
0
t(1 + i) dt = t
2
2 (1 + i)
∣∣∣∣∣
1
0
= 1 + i2 .
4. Teoria da Integral 46
4.2 Primitivas
Para o ca´lculo das integrais e´ importante o conceito de primitiva.
Definic¸a˜o 4.10. Seja f : U −→ C uma func¸a˜o cont´ınua, onde U ⊂ C. Uma func¸a˜o
F : U −→ C e´ chamada uma primitiva de f se F e´ holomorfa em U e F ′(z) = f(z) para
todo z ∈ U .
Observac¸a˜o: Se F e´ uma primitiva de f , enta˜o G(z) = F (z) + c tambe´m o e´, pois
G′(z) = F ′(z) = f(z).
Teorema 4.11. Sejam U ⊂ C e f : U −→ C uma func¸a˜o cont´ınua, F uma primitiva de
f em U e γ : [a, b] −→ U ⊂ C um caminho regular por partes em U . Enta˜o:∫
γ
f(z) dz = F (γ(b))− F (γ(a)).
Em particular, se o caminhoe´ fechado enta˜o:∫
γ
f(z) dz = 0.
Demonstrac¸a˜o. De fato, sejam [aj, bj] para j = 1, · · · , n, com b1 = a2, b2 = a3, · · · ,
bn−1 = an os subintervalos onde γ e´ regular. Notamos que a func¸a˜o t 7−→ f(γ(t))γ′(t) e´
cont´ınua em cada intervalo [aj, bj]. Obtemos assim enta˜o:
∫
γ
f(z) dz =
n∑
j=1
∫
γj
f(z) dz =
n∑
j=1
∫ bj
aj
f(γ(t))γ′(t) dt
=
n∑
j=1
∫ bj
aj
F ′(γ(t))γ′(t) dt =
n∑
j=1
∫ bj
aj
(F ◦ γ)′(t) dt
=
n∑
j=1
[F (γ(bj)− F (γ(aj)]
= F (γ(b))− F (γ(a)). �
Proposic¸a˜o 4.12. Sejam f : U −→ C uma func¸a˜o cont´ınua com U ⊂ C, e γ : [a, b] −→ U
um caminho regular por partes em U , de comprimento `(γ). Seja M ≥ 0 um nu´mero real
tal que |f(γ(t))| ≤M , para todo t ∈ [a, b]. Enta˜o:
∣∣∣∣∫
γ
f(z) dz
∣∣∣∣ ≤M`(γ).
4. Teoria da Integral 47
Demonstrac¸a˜o. De fato,
∣∣∣∣∫
γ
f(z) dz
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∫ b
a
f(γ(t))γ′(t)dt
∣∣∣∣∣ ≤
≤
∫ b
a
|f(γ(t))||γ′(t)| dt proposic¸a˜o (4.7)
≤M
∫ b
a
|γ′(t)| dt = M`(γ). �
Atrave´s do teorema seguinte, podemos caracterizar func¸o˜es que admitem primi-
tivas em domı´nios.
Teorema 4.13. Seja f : U −→ C uma func¸a˜o cont´ınua, com U ⊂ C um domı´nio. As
seguintes condic¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i) f tem uma primitiva em U .
(ii)
∫
γ
f(z) dz = 0 para qualquer caminho fechado, regular por partes γ em U .
(iii)
∫
λ
f(z) dz so´ depende dos pontos inicial e final de qualquer caminho regular por
partes λ em U .
Demonstrac¸a˜o. (i) ⇒(ii): Imediato a partir do Teorema (4.11), pa´g. 46.
(ii) ⇒ (iii): Sejam γ1 e γ2 dois caminhos regular por partes em U , ambos ligando z0 ∈ U
ao ponto z1 ∈ U . Veja que o caminho γ1 ∪ γ−2 (onde γ−2 designa-se o caminho inverso de
γ2) e´ um caminho fechado em U e portanto, como vale (ii), temos:∫
γ1∪γ−2
f(z) dz = 0.
Enta˜o,
0 =
∫
γ1∪γ−2
f(z) dz =
∫
γ1
f(z) dz +
∫
γ−2
f(z) dz =
∫
γ1
f(z) dz −
∫
γ2
f(z) dz
ou seja, ∫
γ1
f(z) dz =
∫
γ2
f(z) dz.
Portanto (iii) se verifica.
(iii) ⇒ (i):
Fixemos um ponto qualquer z0 ∈ U e, dado um ponto z ∈ U consideremos γ um caminho
regular por partes em U ligando z0 a z. Definindo a func¸a˜o F (z) : U −→ C, tal que:
F (z) =
∫
γ
f(w) dw,
4. Teoria da Integral 48
veja que F esta´ bem definida, pois por hipo´tese
∫
γ
f(w) dw so´ depende de z0 e z e na˜o do
caminho γ. Logo resta-nos mostrar que F e´ uma primitiva de f , isto e´, F ′ = f .
Como U e´ aberto, se h ∈ C tem mo´dulo |h| suficientemente pequeno enta˜o z+h pertence
a U . Considerando enta˜o o caminho em U ligando z a z + h, α(t) = z + th, t ∈ [0, 1].
Pela definic¸a˜o de F temos:
F (z + h) =
∫
γ∪α
f(w) dw =
∫
γ
f(w) dw +
∫
α
f(w) dw,
ou seja,
F (z + h) = F (z) +
∫
α
f(w) dw .
Da´ı, dividindo ambos os lados da igualdade acima por h, (h 6= 0), segue que:
F (z + h)− F (z)
h
= 1
h
∫
α
f(w) dw. (1)
Por outro lado, ∫
α
f(z) dw = f(z)
∫
α
dw = f(z)
∫ 1
0
h dw = f(z)h e,
subtraindo f(z) em ambos os lados de (1), ficamos com,
F (z + h)− F (z)
h
− f(z) = 1
h
∫
α
f(w) dw − 1
h
∫
α
f(z) dw.
Portanto o lado direito dessa igualdade e´ igual a`:∫
α
f(w)− f(z)
h
dw.
Logo,
F (z + h)− F (z)
h
− f(z) =
∫
α
f(w)− f(z)
h
dw. (2)
Agora, como por hipo´tese f e´ cont´ınua, dado ε > 0 temos que |f(w) − f(z)| < ε, para
|w − z| < δ (suficientemente pequeno), e assim, pela proposic¸a˜o (4.12), temos que:∣∣∣∣∣
∫
α
f(w)− f(z)
h
dw
∣∣∣∣∣ ≤ ε|h|`(α) = ε|h| |h| = ε.
Como ε e´ arbitra´rio, conclu´ımos que:
lim
h→0
∫
α
f(w)− f(z)
h
= 0.
Assim, de (2) segue que:
lim
h→0
F (z + h)− F (z)
h
− f(z) = 0⇔ lim
h→0
F (z + h)− F (z)
h
= f(z)⇔ F ′(z) = f(z).
4. Teoria da Integral 49
Portanto (i) se verifica. �
4.3 Os Teoremas de Cauchy
Antes de enunciar o teorema de Cauchy, conve´m deixar claro alguns conceitos
pre´vios necessa´rios, tais como:
Definic¸a˜o 4.14. Chama-se curva de Jordan a toda curva fechada cujos pontos, a excec¸a˜o
das extremidades, sejam todos simples (a curva na˜o possui auto-intersec¸a˜o). Ver Figura
9 abaixo:
Figura 9: Curva de Jordan
Definic¸a˜o 4.15. Um domı´nio (regia˜o) D diz-se simplesmente conexo se o interior de
toda curva de Jordan contida em D tambe´m esta contida em D.
De uma forma intuitiva, diz-se que um domı´nio (regia˜o) D e´ simplesmente conexo
se qualquer curva fechada simples contida em D pode ser deformada continuamente ate´
reduzir-se a um ponto, sem sair de D.
O seguinte resultado e´ o teorema central da teoria de func¸o˜es anal´ıticas.
Teorema 4.16 (Teorema de Cauchy). Seja f uma func¸a˜o anal´ıtica num domı´nio
simplesmente conexo Ω. Enta˜o, ∫
γ
f(z) dz = 0,
para toda curva γ ⊂ Ω fechada.
4. Teoria da Integral 50
Demonstrac¸a˜o. De fato, como f e´ anal´ıtica, e´ em particular de classe C1. Logo podemos
aplicar o Teorema de Green (Teorema (1), pa´g. 73). Seja f = u+ iv, pela definic¸a˜o (4.8),
temos: ∫
γ
f(z) dz =
∫
γ
u dx− v dy + i
∫
γ
v dx+ u dy.
Aplicando o Teorema de Green:
∫
γ
f(z) dz = −
∫ ∫
Ω′
(
∂v
∂x
+ ∂u
∂y
)
dxdy + i
∫ ∫
Ω′′
(
∂u
∂x
− ∂v
∂y
)
dxdy. (1)
Agora como f e´ anal´ıtica em Ω, segue que as condic¸o˜es de Cauchy-Riemann sa˜o satisfeitas
em todos os pontos de Ω, ou seja:
∂u
∂x
= ∂v
∂y
e ∂v
∂x
= −∂u
∂y
,
o que implica que cada uma das integrais a direita de (1) e´ zero.
Portanto,
∫
γ
f(z) dz = 0 e o teorema se verifica. �
Exemplo 4.17. A integral
∫
γ
z
z − 3 dz, onde γ = {z ∈ C : |z| = 2} e´ nula. De fato, basta
observar que a func¸a˜o f(z) = z
z − 3 e´ anal´ıtica em todo o disco D(0, 3), e como γ e´ uma
curva fechada e contida em D(0, 3), segue do Teorema de Cauchy que
∫
γ
z
z − 3 dz = 0.
Consideremos agora o caso em que um domı´nio Ω na˜o seja necessariamente sim-
plesmente conexo.
Teorema 4.18 (Teorema de Cauchy para um sistema de curvas). Sejam Ω um
domı´nio, f uma func¸a˜o anal´ıtica em Ω, e Γ, γ1, · · · , γn ⊂ Ω curvas de Jordan. Suponha-se
que as curvas γ1, · · · , γn esta˜o no interior da curva Γ, e que cada curva γj esta´ no exterior
de todas as curvas γk, k 6= j, e que o domı´nio D limitado pelas curvas Γ, γ1, · · · , γn esta´
contido em Ω. Enta˜o ∫
Γ
f(z) dz =
∫
γ1
f(z) dz + · · ·+
∫
γn
f(z) dz,
onde todas as curvas se percorrem no sentido anti-hora´rio.
Demonstrac¸a˜o. Liguemos a curva Γ com a curva γ1, a curva γ1 com a curva γ2, · · · , a
curva γn−1 com a curva γn por linhas δ1, δ2, · · · , δn+1, tais que δj ∩ δk = ∅, j 6= k, e
δj ⊂ D, j = 1, · · · , n + 1, com excec¸a˜o dos extremos. Veja que os extremos das linhas
δj, j = 1, · · · , n + 1, dividem cada uma das curvas Γ, γ1, · · · , γn em duas partes que
4. Teoria da Integral 51
vamos designar pela mesma letra, com linha e duas linhas. E´ poss´ıvel escolher estas
linhas de modo que o interior de cada uma das curvas de Jordan, formadas pelas curvas
Γ′, δ1, γ
′
1, δ2, · · · , γ
′
n, δn+1 e Γ′′, δn+1, γ
′′
n, δn, · · · , γ
′′
1 , δ1, estejam em D. Ver figura 10.
Figura 10: As curvas: Γ′, δ1, γ
′
1, δ2, · · · , γ
′
n, δn+1 e Γ′′, δn+1, γ
′′
n, δn, · · · , γ
′′
1 , δ1
Como cada uma destas curvas formam um domı´nio simplesmente conexo, a integral ao
logo delas deve ser zero. Logo integrando f ao logo destas curvas, obtemos:
0 =
∫
Γ′∪δ1∪(γ′1)−∪···∪(γ′n)−∪δn+1
f(z) dz =
=
∫
Γ′
f(z) dz +
∫
δ1
f(z) dz −
∫
γ
′
1
f(z) dz + · · · −
∫
γ′n
f(z) dz +
∫
δn+1
f(z) dz (1)
e
0 =
∫
Γ′′∪δ−n+1∪(γ′′n )−∪···∪(γ
′′
1 )−∪δ−1
f(z) dz =
=
∫
Γ′′
f(z) dz −
∫
δn+1
f(z) dz −
∫
γ′′n
f(z) dz − · · · −
∫
γ
′′
1
f(z) dz −
∫
δ1
f(z) dz. (2)
Agora como γk = γ
′
k ∪ γ
′′
k , k = 1, · · · , n e Γ = Γ′ ∪ Γ′′, logo somando (1) e (2), obtemos:∫
Γ
f(z) dz −
∫
γ1
f(z) dz − · · · −
∫