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capitulo13.pdf NOTAS DE AULAS DE ESTRUTURA DA MATÉRIA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 13 SÓLIDOS Primeira Edição – junho de 2005 2 CAPÍTULO 13 – SÓLIDOS ÍNDICE 13-1- Estrutura dos Sólidos 13.2- Sólidos Amorfos e Vidros 13.3- Espalhamento de Bragg e Zonas de Brillouin 13.4- Modos Vibracionais de uma Rede Cristalina - Facultativo 13.5- Gás de Elétrons Livres em Metais 13.6- Modelo de Banda de Energia em Sólidos 13.6.1- Origem das Bandas de Energia 13.6.2- Massa Efetiva do Elétron no Cristal 13.6.3- Funções de Bloch e Modelo de Kronig – Penney 13.6.4- Funções de Onda de um Elétron num Potencial Periódico Geral – Facultativo 13.6.5- Solução da Equação de Onda nas Fronteiras das Zonas de Brillouin - Facultativo 13.7- Metais, Isolantes e Semicondutores 13.8- Teoria de Semicondutores 13.9- Dispositivos Semicondutores 13.9.1- Introdução 13.9.2- Junção p-n 13.9.3- Diodos 13.9.4- Transistores Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 6 aulas de quatro créditos. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 Lista de Exercícios 1- Explique a afirmação segundo a qual o principio Pauli impede que os sólidos possam colapsar atingindo um volume nulo. 2- Justifique a afirmativa de que um sólido é uma molécula gigante. Pode-se considerar uma molécula diatômica como um pequeno sólido? Justifique. 3- Encontre a densidade numérica superficial N A σ = de partículas em termos da distância entre vizinhos próximos para as redes bidimensionais mostrada na Figura abaixo: (a) Triangular, ou Hexagonal , (b) Quadrada e, (c) Com uma forma de colméia de abelhas . a a aa Resp.: (a) 2 2 1 3 a , (b) 2 1 a , (c) 2 4 1 3 3 a 4- Assumindo somente interações de energia ε− entre vizinhos próximos, encontre a energia por partícula das três redes da questão (3). Resp.: (a) 3ε− , (b) 2ε− , (c) 3 2 ε− 3 1 2 5 - Na rede hexagonal da Figura ao lado, partículas 1 e 2 são vizinhas próximos, e as partículas 1 e 3 são vizinhas em segunda aproximação. Cada partícula tem 6 vizinhos próximos. Quantos vizinhos de segunda aproximação têm cada partícula? Quantos vizinhos de terceira aproximação têm cada partícula? 6- Encontre a densidade numérica volumétrica ρ de partículas em termos da distância entre vizinhos próximos para uma rede tridimensional: (a) SC , (b) FCC e, (c) BCC. a Resp.: (a) 3 1 a , (b) 3 4 a , (c) 3 2 a 7- Esferas rígidas são empilhadas de modo a formar estruturas SC, FCC e BCC, como mostrado na Figura abaixo. A primeira Figura mostra, numa das faces, quatro das oito esferas da estrutura SC, a segunda mostra, numa das faces, cinco das quatorze esferas da estrutura FCC e a terceira mostra, na diagonal, três das nove esferas da estrutura BCC. Em todas as Figuras, as esferas preenchem o máximo de volume no interior do cubo de lado . Mostre que as frações do volume ocupado pelas esferas são respectivamente 52 , 74% e . (Sugestão: Usando como base as Figuras ao lado encontre o raio a f , 4% 68% R de cada esfera e calcule o 123 volume de todas as esfera para cada uma das estruturas. Em seguida, divida o resultado pelo volume do cubo). esfV 3a R a R aa R SC BCC FCC 8- Mostre que o conjunto de vetores ( )1 2 3ˆ ˆ ˆR a n x n y n z= + +G , onde , , são inteiros arbitrários e , , 1n 2n 3n xˆ yˆ zˆ são vetores unitários cartesianos, dá as posições das partículas em uma rede cúbica simples (SC). 9- Mostre que os vetores ( 1 2ˆ ˆ)R a n u n v= +G , onde , são inteiros arbitrários e e são vetores unitários dados por 1n 2n uˆ vˆ ˆ ˆu x= , ( )1ˆ ˆ 32 yˆ= +v x dão as localizações dos sítios em uma rede hexagonal bidimensional. 10- Os vetores de uma rede recíproca para uma rede hexagonal são dados por ( *1 22 ˆ ˆG m u ma )*vπ= + G onde e, são inteiros arbitrários e u e v são vetores definidos de tal forma que 1m 2m *ˆ *ˆ * *ˆ ˆ ˆ ˆ 0u v v u= =i i , u u* *ˆ ˆ ˆ ˆ 1v v= =i i Encontre e v em termos dos vetores unitários e y usando os vetores unitários e definidos na questão 8. Mostre ainda que e *uˆ *ˆ xˆ ˆ uˆ vˆ 1iG R =G Gi . 11- Se um feixe de raios X, de comprimento de onda 0, 2nmλ = , incide sobre uma rede cristalina e observa-se um raio espalhado num angulo na primeira ordem de difração ( ), encontre: (a) a separação entre os planos cristalinos da rede e, (b) a energia do fóton de raios X. 42oθ = 1n = a Resp.: (a) , (b) 0,15a n= m 6, 2E keV= 12- Se a experiência descrita na questão 10 fosse realizada com nêutrons de mesmo comprimento de onda , 0,2h nm p λ = = , qual seria a energia do nêutron sabendo-se que sua massa é 271,7 10M kg−= × . Resp.: 0,02E eV= 124 13- Sabe-se que a esfera de Fermi evolui com uma velocidade ( ) ( ) (0 0F Fv m k= G )G = , onde ( )0FkG é o raio da esfera no espaço dos momentos em 0T = . Tal esfera é formada por orbitais ( )2x xk L nπ= , ( )2y yk Lπ= n , ( )2z zk L nπ= , onde L é o tamanho dos lados de uma caixa cúbica correspondentes as dimensões da amostra metálica e , , são números inteiros. Cada orbital tem um elemento de volume xn yn zn ( 33 2xV k Lδ π= = ) z representado por um pequeno cubo de lados para . Mostre que a energia do nível de Fermi é x yk k k= = 1x y zn n n= = = 2 32 3 2F N m V πε ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ = calculando o número total de elétron no interior da esfera de Fermi. (Sugestão: Faça o calculo de dividindo o volume N N ( )34 03 Fkπ pelo volume Vδ de um orbital levando em conta o fato que cada orbital pode ocupar até dois elétrons). 14- Experimentalmente, encontra-se que a resistividade do cobre a temperatura ambiente é 81 1,7 10 . E r κ −= = × Ωm m. A separação média de átomos de cobre é da ordem de e cada átomo contribui na condução de elétrons, resultando numa densidade 0.2a n= 3 1 a ρ ≈ . (a) Encontre o tempo de relaxação τ no metal, o livre caminho médio l de um elétron de condução e compare-o com a distância interatômica a . (b) Sabendo-se que a energia de Fermi do cobre é 7,0F eVε = , encontre a velocidade de Fermi de um elétron nesse metal. Fv Resp.: (a) , , (b) 142,0 10 sτ −= × 31l n= m s61,6 10 /Fv m= × 15- O modelo de bandas de energia em um cristal pode ser descrito também por um método teórico denominado de Método da Ligação Compacta que é análogo ao que se fez com a molécula de 2H + no capítulo 11. Nesse método a função de onda do elétron ( )xψ é dada por uma superposição de orbitais iônicos N ( )n xφ que compõem o cristal, isto é ( ) ( ) 1 N n n n x C xψ φ = = ∑ (15.1) onde, para um caso particular de um elétron num caroço iônico de sódio centrado em 3s nx R= , ( ) ( )3n s nx x Rφ φ= − (15.2) e, são constantes a serem determinadas. Para o problema em questão, a equação de Schrödinger independente do tempo, é: nC (15.3) ( ) ( ) 1 N N n K V x E xψ ψ = ⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦∑ onde o operador energia cinética é 2 2 22 dK m dx ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ = . Do fato que cada ( )n xφ é uma função 3 correspondente a uma energia potencial localizada em s nV nR , então 125 [ ] ( ) ( )N n nK V x E xφ φ+ = (15.4) onde é a energia do estado . Substitua a eq. (15.1) na eq. (15.2) e mostre que 0E 3s ( ) ( ) ( ) ( 1 0 2 1 2 1 0 3 2 1 1 0 1 1 2 2 ..... ..... ...... ..... ...... N N N N N N C E V V C V E V V C V V E E C C C φ φ φ φ φ φ− + + + + + + + + + + + + + = + + + ) N (15.5) 16- No exercício anterior, as constantes que a parecem na eq. (15.5), podem ser determinadas multiplicando-se essa equação por nC nφ e então integrando-se sobre todos os valores de . Procedendo-se os cálculos, é possível executar um determinado número de simplificações e aproximações na equação resultante. Por exemplo, como é grande somente nas vizinhanças do sítio 1, nas vizinhanças do sítio 2, e assim por diante, espera-se que qualquer integral envolvendo sítios afastados seja relativamente pequena. Essas integrais são análogas as integrais de sobreposição obtidas na maioria das ligações moleculares. Dentre essas integrais pode-se destacar: x 1V 2V 1 1 3 0V dxφ φ ≈∫ ou 1 2 3 0V dxφ φ ≈∫ (16.1) Por outro lado, integrais envolvendo sítios que são vizinhos adjacentes, tais como: 12 1 1 2J V dxφ φ= ∫ (16.2) não podem ser desprezadas e, é uma medida da probabilidade de um elétron tunelar de um sítio para o seu vizinho. Para esses vizinhos adjacentes, tais probabilidades são sempre iguais, isto é: 12 21 1nnJ J J − J= = = (16.3) Existem ainda duas outras integrais de sobreposição de vizinhos próximos, do tipo: e ( )2 1 3 2Q V Vφ φ= +∫ dx 2 1 1 2I dx dxφ φ φ φ= =∫ ∫ (16.4) que devem ser considerados nos cálculos, onde é um potencial médio de interação de um elétron no sítio 2 com os caroços iônicos vizinhos 1 e 3, e Q I é um termo de interferência quântica que ocorre na integral de normalização da autofunção ( )xψ . Enquanto Q e I são correções que devem ser incluídas nos cálculos rigorosos da energia eletrônica, elas não contribuem para o valor total da energia uma vez que simplesmente deslocam sua referência como um todo. A partir dessas discussões e da condição de normalização 2 1n dxφ =∫ , mostre que a eq. (15.5) do exercício anterior se reduz, a: ( ) ( )0 1 1 0n n nC E E C C J− +− + + = (16.5) 126 127 Npara . Note que, se 1,2,3,.....,n = 0J = , a solução para a energia é exatamente a energia atômica localizada . Entretanto, para 0E 0J ≠ , cada é acoplado aos seus sítios vizinhos nC 1nC − e , por esse pequeno termo de tunelamento quântico. 1nC + 17- No exercício anterior, a eq. (16.5) compõe um sistema de equações homogêneas e incógnitas , que pode ser difícil de ser manuseada. Um procedimento de solução mais simples baseia-se na suposição de que o tunelamento do elétron sobre um anel com sítios resulta numa solução de uma onda progressiva dada, por N N nC N (17.1) nikRnC Ce= onde é o número de onda associado ao movimento eletrônico, e é uma constante de normalização. As posições k C nR dos iôns podem ser tomadas como , ou N ( )0, ,2 ,......, 1a a N a− , ( )1nR n= − a N1,2,......,n = (17.2) (a) Substituindo-se a eq. (17.1) na eq. (16.5), mostre que: 0 2 coskE E E J ka≡ = + (17.3) Essa equação revela que os níveis de energia dos elétrons são ainda , entretanto, agora com uma correção de tunelamento que depende de . Essa correção é responsável pelas bandas de energia no cristal como no gráfico abaixo, que mostra o comportamento de em função de , para a primeira zona de Brillouin kE 0E J kE k [ ],a aπ π− + , de acordo com a eq. (17.3). aπ− aπ+ k kE 0 2E J+ 0 2E J− 0E 0 Outras bandas de energia correspondentes a outros orbitais atômicos podem também ser obtido. Estados de energias mais baixos, tais como 1 , e para o exemplo do sódio, são tão compactos que raramente permitem tunelamento eletrônico ( ). Por outro lado, estados mais elevados, tais como e assim por diante, raramente confinam elétrons. As regiões entre as bandas de energias permitidas para cada estado definem os “gaps” de energias proibidas. 2 ,s s 2 p 0J = 3 ,3 ,p d (b) De acordo com a condição de contorno periódica, quando o elétron alcança o sítio 1N + , assume-se que ele retorna ao sítio 1. Use esta condição na eq. (17.1), tal que 1NC + 1C= , para mostrar que, , ou seja, que os valores permitidos de na banda de energia, são cos 1kNa isenkNa+ = k 2k n L π= com, 0, 1, 2,......n = ± ± (17.4) onde L Na= é o comprimento do cristal. 18- A largura da banda proibida que separa a banda de valência da banda de condução do silício é 1, à temperatura ambiente. Qual é o comprimento de onda de um fóton capaz de excitar um elétron do topo da banda de valência para a base da banda de condução? 14eV Resp.: 1,09 mλ µ= 19- Um fóton com um comprimento de onda de 3,35 mµ tem exatamente a energia suficiente para excitar um elétron da banda de valência para a banda de condução de um cristal de sulfeto de chumbo. (a) Determine a largura da banda proibida do sulfeto de chumbo. (b) Determine a temperatura T para a qual é igual à largura da banda proibida. kT 20- Considere um pequeno cristal cúbico de silício com 100 de aresta. (a) Sabendo-se que para o silício a massa atômica nm 28M g= e densidade , calcule o número total de átomos de silício no cristal. Use o número de Avogadro . (b) Sabendo-se que a banda de condução do silício tem uma largura de 13 e que existem 4 estados nesta banda, onde o número 4 se refere a quatro funções de onda espacialmente anti- simétricas ( uma para o orbital e 3 para o orbital 3 ) , estime o valor da distância entre estados adjacentes na banda de condução. 32,33 /g cmρ = N 236,06 10 /AN partículas mol= × eV N 3s p Resp.: (a) , (b) 75,01 10× 86,5 10 eV−× 21- Sabendo-se as configurações eletrônicas dos seguintes elementos: Silício (Si): , Alumínio (Al): , Fósforo (P): , que tipo de semicondutor é obtido quando o silício é dopado (a) com alumínio, (b) com fósforo? Justifique. 2 2.....3 3s p 2.....3 3s p 2.....3 3s p3 K Resp.: (a) tipo p , (b) tipo n 22- Utilizando-se a equação da corrente elétrica total do lado n para o lado p numa junção p-n polarizada diretamente, determine a tensão de polarização para a qual o termo exponencial (a) é igual a 10 , (b) é igual a , quando a temperatura é bV 0,1 300T = . (c) Calcule a variação percentual da corrente elétrica total do lado n para o lado p numa junção p-n polarizada diretamente quando a tensão de polarização aumenta de 0, para 0, . bV 1V 2V Resp.: (a) , (b) 59,6mV 59,6mV− 23- Sabe-se que a curva característica corrente – tensão de um diodo ideal de silício é . Supondo-se que ( /0 1b BeV k Ti i e= )− 0,025Bk T eV= (temperatura ambiente) e , (a) mostre que a resistência do diodo é para pequenas tensões inversas. ( Sugestão: Faça uma expansão em série de Taylor da função exponencial ou use uma calculadora e escolha um valor pequeno e negativo para ). 0 1i n= A Ω25R M= bV 128 Notas de Aulas de Estrutura da Matéria Prof. Carlos R. A. Lima Capítulo 13 Sólidos Primeira Edição – junho de 2005 Capítulo 13 – Sólidos Índice capitulo14.pdf NOTAS DE AULAS DE ESTRUTURA DA MATÉRIA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 14 SUPERFLUIDEZ E SUPERCONDUTIVIDADE Edição de Janeiro de 2013 2 CAPÍTULO 14 - SUPERFLUIDEZ E SUPERCONDUTIVIDADE ÍNDICE 14.1- Introdução 14.2- Aspectos Experimentais de superfluidos 14.3- Condensação de Bose-Einstein 14.4- Formação de Condesados de Bose-Einstein por Resfriamento de Átomos a Laser 14.5- Aspectos Experimentais de Supercondutores 14.6- Equação de London 14.7- A Teoria BCS da Supercondutividade 14.8- Efeito Josephson e Teoria de Ginzburg-Landau 14.9- Quantização do Fluxo Magnético Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 4 aulas de quatro créditos. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 Lista de Exercícios 1- Pode-se identificar que um material está no estado de superfluidez por meio de três efeitos característicos: efeito do filme migrante, efeito termomecânico e efeito fonte. Em poucas palavras, explique cada um desses efeitos. 2- O que é a condensação de Bose-Einstein? Por que átomos de 3 He podem formar condensados de Bose-Einstein, apesar de terem spins semi – inteiros? 3- Calcule a fração de átomos que se condensam no estado fundamental superfluido ( )3 20 1 cN N T T= − para, (a) 3 4cT T= , (b) 2cT T= , (c) 4cT T= , e (d) 8cT T= 4- Em que temperatura as quantidades de hélio superfluido e hélio normal são iguais? Justifique. Resp.: 1,37 K 5- O hidrogênio spin polarizado tem sido condensado a uma densidade de 24 35 10 atomos / mρ = × . Calcule a temperatura crítica cT para essa densidade assumindo-se que esse sistema comporta-se como um gás ideal. Resp.: 47mK 6- Pode-se identificar que um material está no estado supercondutor por meio de dois efeitos característicos: efeito Meissner e efeito isótopo. Em poucas palavras, explique cada um desses efeitos. 7- Sabendo-se que a temperatura crítica do mercúrio é 4,2cT K= calcule, (a) a energia de “gap” gε a 0T = , (b) o comprimento de onda λ do fóton cuja energia é apenas suficiente para desfazer pares de Cooper no mercúrio à 0T = . Em que região do espectro eletromagnético se encontra tais fótons? (c) O metal se comporta como um supercondutor quando exposto a uma radiação eletromagnética de comprimento de onda menor do que o determinado no item (b)? Justifique. 8- A função de onda de um par de Cooper é a soma de ondas que descrevem os dois elétrons que compõem o par, em que os números de onda k de cada elétron, diferem de um valor k∆ , centrado em Fk , correspondente a um intervalo de energia gε ε∆ , centrado em Fε . Para um dos elétrons, de massa efetiva m∗ , 2 2 2 2 2 p k m m ε ∗ ∗= = e, 2 2 2 k k m ε ∗ ∆ ∆ = , ou 2 2 2 2 2k k m k k m k k k ε ε ∗ ∗ ∆ ∆ ∆ ∆ = = , ou ainda, para Fε ε= , Fk k= e Fε ε∆ = , , g F F k k ε ε ∆ . Tipicamente, 410g Fε ε − e portanto, 4~ 10 Fk k −∆ . No topo da banda de energia, na primeira zona de Brillouin, k aπ= , isto é, nas regiões intermediárias 1k a , onde a é a separação interatômica cujo valor é da ordem de ~ 1 oa A . (a) Sabendo-se que, do princípio da incerteza, ~ 1x k∆ ∆ , faça uma estimativa do tamanho de um par de Cooper de energia de ligação gε . (b) Sabendo-se que a densidade de elétrons livres num metal é 22 3~ 10 / cmρ , e que a fração desses elétrons, que formará pares de Cooper num estado supercondutor, é da ordem de Fk k∆ , determine a densidade sρ de pares de Cooper num supercondutor. (c) Calcule o volume de um par de Cooper e mostre que, nesse volume, deve conter uma quantidade da ordem de 6~ 10 pares de Cooper que superpõem. 59 9- Para o estado supercondutor do tungstênio a temperatura crítica é 12cT mK= e o campo magnético crítico é 410cB T −= . Para o tungstênio a densidade de massa é 319,3 /g cm e a temperatura de Debye é 310D KΘ = . (a) Calcule a energia do “gap” 2gε = ∆ . (b) Calcule a densidade numérica de partículas N V ρ = e a densidade de partículas por unidade de energia 0 3 2 F R ρ ε = . (c) Calcule a densidade de energia do estado supercondutor usando a equação 2 0 02 cBW µ = − . (d) Calcule a densidade de energia do estado supercondutor usando a equação 2 0 0 2 RW ∆= − e compare o resultado com o obtido no item (c). (e) Calcule a profundidade de penetração λ do campo magnético no tungstênio. 10- Para o alumínio a temperatura de transição supercondutora é 1,2cT K= , a temperatura de Debye é 420D KΘ = , a densidade numérica de átomos é 28 36 10 /atomos mρ = × e 51,4 10F B K k ε = × . (a) Calcule a constante de interação adimensional 0R F de um par de Cooper nesse material. (b) Calcule a razão 2g B Bk k ε ∆ = para o alumínio. (c) Das relações da densidade de energia do estado supercondutor 2 2 0 0 02 2 cB RW µ ∆ = − = − , e da densidade de partículas por unidade de energia 0 3 2 F R ρ ε = , encontra-se o seguinte valor teórico para o campo magnético crítico 0 3 2c F B µ ρ ε = ∆ . Usando essa equação, calcule o campo magnético crítico no alumínio. Sabendo-se que o valor experimental é 310 10cB T −= × , o que se pode dizer sobre o modelo teórico. (d) Calcule a profundidade de penetração λ do campo magnético no alumínio. Resp.: (a) 0,17 , (b) 4,2K , (c) 37 10 T−× (d) 11nm 11- O que é uma junção Josephson? Explique como essas junções podem ser utilizadas para construir um Dispositivo Supercondutor de Interferência Quântica (SQUID). Para que servem esses dispositivos? Cite um exemplo de sua utilidade. 12- O fluxo magnético através de um anel supercondutor é quantizado de valores 0 e π Φ = . A que valor de campo magnético médio B esse fluxo magnético corresponde, se o anel tem um diâmetro de 2mm ? Resp.: 92 6 10, T−× Notas de Aulas de Estrutura da Matéria Prof. Carlos R. A. Lima Capítulo 14 Superfluidez e Supercondutividade Edição de Janeiro de 2013 Capítulo 14 - Superfluidez e Supercondutividade Índice capitulo15.pdf NOTAS DE AULAS DE ESTRUTURA DA MATÉRIA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 15 MODELOS NUCLEARES Primeira Edição – junho de 2005 2 CAPÍTULO 15 – MODELOS NUCLEARES ÍNDICE 15.1- Introdução 15.2- Composição dos Núcleos 15.3- Estabilidade dos Núcleos e Modelo do Gás de Fermi 15.4- Espalhamento de Elétrons e Raio Nuclear 15.5- Massa Nuclear e Energia de Ligação 15.6- Modelo Nuclear da Gota Líquida e Equação de Weizsäcker – Facultativo 15.7- Interação entre Nucleons 15.8- Modelo de Camadas e Números Mágicos 15.9- Isospin Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 4 aulas de quatro créditos. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 Lista de Exercícios 1- Calcule o comprimento de onda de de Broglie para um elétron com energia cinética de 183MeV . Qual a energia de um feixe eletrônico corresponde a 1 de comprimento de onda de de Broglie? fm Resp.: , 12406,76 fm MeV . 2- Sabe-se que, para um modelo nuclear esférico, a análise de espalhamentos de elétrons por núcleos mostra que a densidade de carga nuclear pode ser descrita por uma distribuição de Fermi: ( ) 1rρ ρ( ) ( ) 111 r R zr e ρρ −= + 79 onde, os parâmetros R e controlam a dependência com a distância radial . A Figura ao lado mostra a curva característica desta função.]Mostre que a espessura da superfície nuclear t satisfaz a relação: 1z r r 1,0 0,9 1 4 ln 3t z = 3- O nuclídeo espelho e 15 tem massas atômicas 15 e 15 , respectivamente. (a) Sabendo-se que 15 7 8N 8 7O ,000109 ,003065 . .u m a( )1 1,007825 . .M H u m a= 1,008665 . .n e M u m a= , calcule a diferença de energia de ligação ( ) ( )15 15b bE N E O∆ = − obtida da equação , em unidades de ( ) ( ) ( )1 2A Ab nE X ZM H NM M X c⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ MeV . (b) A diferença de energia de ligação ( ) ( )15 15b bE N E O∆ = − é identificada com a diferença de energia Coulombiana ( ) 2 0 3 5 4 Ze V Rπε= , tal que, tomando-se 7Z = e 8Z = , tem-se ( ) 28 7 0 3 64 49 9 5 4 e cV V R R α πε∆ = − = − = = uma expressão alternativa para a quantidade ∆ em função de uma quantidade R que é da ordem do raio nuclear. A partir dessa equação calcule o valor de R e o valor previsto do parâmetro radial 0R presente na equação 1 3 0R R A= . Resp.: (b) 3,666R fm= e 0 1,487R fm= . 4- A figura abaixo mostra três distribuições elementares de cargas identificadas como configurações monopolo, dipolo e quadrupolo elétricos. 0,1 0,5 Espessura da Superfíciet R + e + e z - 2e + + __ z + e - e_ + z + e + Monopolo Dipolo Quadrupolo Para o monopolo elétrico, o potencial eletrostático a uma distância , é r ( ) 04 mon er r φ πε= . (a) Para o dipolo elétrico consistindo de uma carga e+ em ( )0,0, 2d e uma carga e− em (0,0, 2d− ) , o potencial eletrostático, é ( ) ( ) ( )2 22 2 2 20 1 1 4 2 2 dip er x y z d x y z d φ πε ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ + − + + +⎣ ⎦ ou, ( ) ( ) ( )1 2 1 22 2 2 20 1 1 4 4 4 dip er r zd d r zd d φ πε ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥− + + +⎣ ⎦ 1 2 1 22 2 2 2 2 2 0 1 1 4 4 4 e zd d zd d r r r r rπε − −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛= − + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦ ⎞⎟⎠ 2 pois, 2 2 2x y z r+ + = e ( )2 22z d z zd d± = ± + 2 4 r . Use expansões do tipo ( ) e o fato que , para mostra que 1 1 ......n nξ ξ± = ± + d << ( ) 3 3 0 04 4 dip ed z p zr r r φ πε πε≈ = onde a quantidade denota o momento de dipolo elétrico. p ed= (b) Para dois de tais dipolos com sinais opostos com p+ localizado em ( ) e 0,0, 2d p− localizado em (0,0, 2d− ) formando um quadrupolo elétrico, o potencial eletrostático numa posição , será r ( ) ( ) ( )3 2 3 22 22 2 2 20 2 2 4 2 2 qua p z d z dr x y z d x y z d φ πε ⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡+ + − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦⎤⎦ ou, como no caso anterior ( ) 3 2 3 22 2 3 2 2 2 0 1 1 4 2 4 2 4qua p d zd d d zd dr z z r r r r r φ πε − −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦2 ⎞⎟⎠ 80 81 r Use novamente as expansões do caso anterior e o fato que d << , para mostra que ( ) 2 23 2 5 0 0 33 1 4 4qua 2pd z pd z rr r r r φ πε πε ⎛ ⎞ −≈ − ≈⎜ ⎟⎝ ⎠ Esse resultado contém a característica polinomial de quadrupolos ( )2 23z r− , como usado na eq. (15.44) das notas de aula. 5- No modelo do potencial quadrado para a energia de ligação do dêuteron, a função radial satisfaz a equação diferencial radial similar aquela adotada para átomos monoeletrônicos: ( )rR r ( ) ( ) ( )22 2 0bd MrR V r E rRdr − + =⎡ ⎤⎣ ⎦= onde M é a massa comum do próton e nêutron e é a energia de ligação do sistema de partícula em qualquer estado ligante. Se a altura do poço de potencial é e a largura é , tal equação torna-se bE ( ) 0V r V= − 0r r= ( ) [ ]( )2 02 2 0bd MrR V E rRdr + −= = para 0r r< e ( ) ( )22 2 0bd MrR E rRdr − == para 0r r> ou, ( ) ( )2 0rR K rR′′ + = para 0r r< e (01) ( ) ( )2 0rR k rR′′ − = para 0r r> onde b ME k = = e ( )0 bM V EK −= = (02) As soluções das eqs. (01), são ( ) 0 0 kr asenKr r r rR r be r r− <⎧ ⎫= ⎨ ⎬>⎩ ⎭ (03) (a) Mostre que a condição de continuidade da função ( )rR r e de sua derivada no ponto 0r r= , resulta na condição: ( )0Kctg Kr k= − (b) Da equação obtida no item (a), verifica-se que: 2 2 0 2 2 0 1 1 Ksen Kr ctg Kr K k = = 2+ + ou 0 2 2 KsenKr K k = + A partir dessa equação e da condição de continuidade da função , mostre que as constantes a e b , presentes nas soluções (03), relacionam-se por: ( )rR r 0 2 2 krKb a e K k = + 6- O modelo do potencial quadrado para o dêuteron produz uma autofunção da forma ( ) ( )0 0 02 2 4 k r r senKr r r ar K e rr K k rψ π − − <⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬>⎪ ⎪+⎩ ⎭ onde, os parâmetros , k e 0r K são identificados no exercício anterior. Use a condição de normalização, ( ) ( )2 2 2 0 4r d r r drψ τ π ψ +∞ +∞ −∞ =∫ ∫G 1= , da função de onda ( )rψ para obter a constante 0 2 1 ka kr = + . (a) Mostre que o valor esperado de do dêuteron no modelo do potencial quadrado, discutido no exercício anterior, é r ( )01 2 kr r k += . (b) Sabendo-se que ( )2 12, 225 3,56 10b 3E H MeV −= = × J e 271,673 10pM M −= = × kg , calcule o valor de r para 0 1,6r fm= . Sugestão para item (a): No cálculo de r : ( )0 0 0 2 2 2* * 2 3 2 3 2 2 2 2 0 1 14 4 r k r r r a Kr r dv r r d r sen Krdr r e d r K k r ψ ψ ψ ψ ππ ∞ − − r ⎡ ⎤= = Ω = +⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ 82 ou ( )0 0 0 2 22 2 2 2 0 r k r r r Kr a rsen Krdr re dr K k ∞ − −⎡ ⎤= +⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ usando as integrais consultadas em tabelas: ( )2 21 2 2 2 cos 2 8 xsen x x xsen x xα = − −∫ , ( )2 1xx exe dx xαα αα= −∫ a condição de continuidade das funções de onda ( )rψ em 0r r= : 0 2 2 0 04 4 a asenKr r r K kπ π= + K ou 0 2 2 KsenKr K k = + e a condição de continuidade da derivada das funções de onda d dr ψ em : 0r r= 0 2 cos 4 r r a K Kr senKr r rπ = ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ou 0 2 2cos kKr K k = − + mostre primeiramente que: ( ) 0 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 0 2 4 r r K r k krrsen Krdr K k 1+ + += +∫ e ( )0 0 2 0 2 1 2 4 k r r r krre dr k ∞ − − +=∫ No final dos cálculos não se esqueça de adotar 0 2 1 ka kr = + . Resp.: (b) 2,96r f= m . 7- Deduza as previsões do modelo de camadas para os spins nucleares e paridades dos nuclídeos de números de massa A ímpares 15 , , N 23Na 27 Al e 95Mo . Resp.: 1 2 − , 5 2 + , 5 2 + , 5 2 + . 83 Notas de Aulas de Estrutura da Matéria Prof. Carlos R. A. Lima Capítulo 15 Modelos Nucleares Primeira Edição – junho de 2005 Capítulo 15 – Modelos Nucleares Índice capitulo16.pdf NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 16 PROCESSOS E REAÇÕES NUCLEARES Edição – Agosto de 2007 2 CAPÍTULO 08 – PROCESSOS E REAÇÕES NUCLEARES ÍNDICE 16.1- Introdução 16.2- Radioatividade 16.3- Lei do Decaimento Exponencial 16.4- Decaimento Alfa 16.5- Decaimento Beta 16.6- Decaimento Gama 16.7- Radiação Gama Ressonante e Efeito Mössbauer - FACULTATIVO 16.8- Reações Nucleares 16.9- Seção de Choque de Reação Nuclear - FACULTATIVO 16.10- Fissão Nuclear 16.11- Reatores de Fissão Nuclear 16.12- Fusão e Energia Termonuclear 16.13- Reatores de Fusão Nuclear 16.14- Outras Aplicações da Física Nuclear 16.14.1- Introdução 16.14.2- Análise por Ativação de Nêutrons 16.14.3- Ressonância Magnética Nuclear 16.14.4- Tomografia Computadorizada 16.14.5- Datação por Núcleos Radioativos 16.14.6- Efeitos Biológicos da Radioatividade Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 5 aulas de quatro créditos. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 Lista de Exercícios 1- Sabendo-se que a meia – vida do Sr90 é anos1 / 2 29τ = , calcule a massa m necessária para que esse elemento radioativo tenha uma taxa de decaimento de dN Cidt 100− = . 2- A taxa de decaimento de uma fonte radioativa é cps4000 (contagens por segundo) no instante t 0= . Depois de s10 , a taxa de decaimento diminui para cps1000 . (a) Qual é a meia – vida 1 / 2τ da fonte? (b) Qual é a taxa de decaimento depois de s20 . Resp.: (a) s5,0 , (b) cps200 . 3- A taxa de decaimento de uma fonte radioativa é medida a cada minuto. A tabela abaixo mostra o resultado em cps (contagens por segundo). Taxa de decaimento ( cps ) 1010 825 670 550 450 370 300 245 T(min) 0 1 2 3 4 5 6 7 Fazer um gráfico da taxa de decaimento em função do tempo e desse gráfico estimar a meia – vida 1 / 2τ da fonte. 4- A meia – vida do Th227 é dias18,72 . Este nuclídeo decai por emissão α para Ra223 , um emissor α com uma meia – vida de dias11,43 . Uma certa amostra contém 610 átomos de Th227 e não contém Ra223 no instante t 0= . (a) Quantos átomos de cada tipo haverá na amostra em t dias15= ? (b) Qual o tempo necessário ( contado a partir de t 0= ) para que os números de átomos dos dois tipos sejam iguais? Resp.: (a) 52,68 10× , (b) dias43,0 . 5- Os elétrons emitidos nos decaimentos β têm energias da ordem de MeV1 , ou menores. Usar este fato e o princípio da incerteza para mostrar que não podem existir elétrons no interior do núcleo. 6- Um feixe de partículas α incide sobre um alvo de Be9 , e uma ressonância é observada para uma energia do feixe de MeV1,732 . (a) Calcule a energia EΔ de excitação do estado correspondente do núcleo composto. O mesmo estado de ressonância ocorre na colisão de nêutrons com alvo de C12 . (b) Calcule a energia do feixe de nêutrons nessa condição de ressonância. Resp.: (a) MeV11,85 , (b) MeV7,48 . 7- Sabendo-se que as massas atômicas dos elementos C12 , N15 , O16 , O17 , He4 , H1 e H2 são 12,000000 , 15,000108 , 15,994915 , 16,999132 , 4,002603 , 1,007825 e 2,014102 respectivamente, determine o valor Q para as seguintes reações nucleares: (a) ( )C p N12 15,α , (b) ( )O d p O16 17, . Resp. (a) MeV4,03− , (b) MeV1,92− . 8- Sabe-se que a energia gerada na fissão de um único núcleo de U235 é MeV200 . Calcule a energia gerada com g1 dessa amostra ( em unidade de megawatt-horas ). Resp.: MW h22,8 × . Essa energia é consumida por uma residência típica durante 15 meses. 9- Supondo uma energia média de MeV200 por fissão, calcular o número de fissões por segundo necessário para que um reator gere uma potência de MW500 . 10- Certo reator nuclear gera uma potência MW1000 de eletricidade com uma eficiência global de conversão de energia de fissão em energia elétrica de 30% . (a) Que massa de núcleos de U235 deve ser fissionada para que o reator funcione durante um ano? (b) Se a mesma energia fosse produzida pela queima de carvão, qual seria a resposta à pergunta? 144 11- Se o tempo médio para que um nêutron emitido em uma fissão provoque uma nova fissão é ms1 e o fator de reprodução do reator é k 1,001= , quanto tempo é necessário para que a velocidade de reação dobre de valor? (Sugestão: Note que, como a velocidade da reação é multiplicada por k a cada nova fissão, a velocidade após N novas fissões é dada, por ( ) ( ) NR N R k0= . Calcule o valor de N a partir desta equação e encontre o tempo correspondente). 12- Supondo uma energia média de MeV17,6 por fusão, calcule a velocidade com a qual os núcleos de H2 devem ser fornecidos a um reator de fusão de MW500 . 13- Um pedaço de osso encontrado em um sítio arqueológico contém g150 de carbono. Sabendo-se que a taxa de decaimento do C14 é Bq8,1 , qual é a idade do osso? 14- A razão Rb Sr 87 87 para certa rocha é 36,5 . Qual é a idade da rocha? Resp.: anos91,90 10× . 15- O C14 presente em uma lança de madeira encontrada nas montanhas do sudeste da Espanha tem uma atividade de 2,05 desintegrações por minuto e por grama. Sabendo-se que a atividade do C14 na madeira viva é 15,6 desintegrações por minuto e por grama, qual é a idade da lança? Resp.: anos16800 . 16- Em 1989, dois cientistas anunciaram que haviam observado a fusão nuclear em uma célula eletroquímica à temperatura ambiente. A fusão de núcleos de dêuterons H2 , também conhecidos como deutério, no eletrodo de paládio do aparelho supostamente gerou uma potência de W4 . (a) Se as duas reações mais prováveis, são H H He n MeV2 2 3 3,27+ → + + H H He H MeV2 2 3 1 4,03+ → + + E se ambas ocorrem com a mesma freqüência, quanto nêutrons por segundo são emitidos para gerar W4 de potência? (b) Se 10% destes nêutrons são absorvidos pelo corpo de um técnico de Kg80 que trabalha nas proximidades do aparelho, e se cada nêutron absorvido possui uma energia média de MeV0,5 com um RBE de 4 , a que dose de radiação, em rems por hora, corresponde esta exposição? (c) Quanto tempo o técnico levaria para receber uma dose total de rems500 ? Esta é a dose letal para 50% das vítimas de radiação nuclear. Resp.: (a) nêutrons123,42 10× , (b) rem h493 / , (c) h1,02 . capitulo2.pdf NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 2 PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO Edição de junho de 2014 CAPÍTULO 2 – PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO ÍNDICE 2.1- Radiação Térmica 2.2- Radiação de Cavidade e o Corpo Negro 2.3- Teoria Clássica de Rayleigh - Jeans para a Radiação de Corpo Negro 2.4- Teoria Quântica de Planck para a Radiação de Corpo Negro 2.5- Efeito Fotoelétrico 2.6- Efeito Compton 2.7- Natureza Dual da Radiação 2.8- Produção de Raios X 2.9- Produção e Aniquilação de Pares Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Física Moderna. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 5 aulas de quatro créditos. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 Lista de Exercícios Questões conceituais 1- Um corpo negro tem que ser necessariamente negro? Explique o termo corpo negro. 2- Um pedaço de metal brilha com uma cor avermelhada a K1100 . Entretanto, nessa mesma temperatura, um pedaço de quartzo não brilha. Explique este fato sabendo-se que, ao contrário do metal, o quartzo é transparente à luz visível. 3- Uma das primeiras tentativas de se explicar a distribuição espectral de um corpo negro foi feita por Rayleigh – Jeans, a partir de conceitos clássicos da termodinâmica. Em que região do espectro eletromagnético a lei de Rayleigh – Jeans não se verifica e que fato ficou conhecido como catástrofe do ultravioleta? 4- Na tentativa de explicar os resultados experimentais observados no espectro de um corpo negro, Planck concluiu que o problema estava principalmente num conceito clássico da termodinâmica. Qual seria esse conceito, e que alteração foi sugerida por Planck? Essa alteração invalida conceitos clássicos da termodinâmica, ou redefine esses conceitos de modo a incluir os casos clássicos como particulares? Explique. 5- Em muitos sistemas clássicos as freqüências possíveis são quantizadas, tal como, por exemplo, a propagação de ondas sonoras num tubo ressonante. Nestes casos, a energia também é quantizada? Explique. 6- Nas experiências do efeito fotoelétrico, a fotocorrente é proporcional à intensidade da luz. Esse resultado isolado pode ser usado para distinguir as teorias quântica e clássica? Explique. 7- Por que mesmo para radiações incidentes monocromáticas os fotoelétrons são emitidos com diferentes velocidades? 8- O limiar fotoelétrico é considerado como sendo a objeção mais evidente da teoria ondulatória. Explique essa afirmativa. Problemas 1- Faça uma estimativa para encontrar o comprimento de onda em que corpo humano emite sua radiação térmica máxima? 2- Em uma explosão termonuclear, a temperatura no centro da explosão é momentaneamente 107 K . Ache o comprimento de onda para o qual a radiação emitida é máxima. 3- A uma dada temperatura, nmmax 650λ = para uma cavidade de corpo negro. Qual será λmax se a taxa de emissão de radiação espectral for duplicada? 4- O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por certa cavidade ocorre para um comprimento de onda de m27,0µ (na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada ata que a potência total irradiada se torne três vezes maior. (a) Determine a nova temperatura da cavidade. (b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral. 5- A energia solar que atinge a parte superior da atmosfera da terra é W m3 21,36 10 /× , a chamada constante solar. (a) Supondo que a terra se comporte como um corpo negro de temperatura uniforme use a equação de Stefan - Boltzmann para estimar a temperatura de equilíbrio da terra. (b) Se o diâmetro do sol é da ordem de m91,6 10× e a distância da terra ao sol é de aproximadamente m111,3 10× e supondo que o sol irradie como um corpo negro use a equação de Stefan - Boltzmann para estimar a temperatura na sua superfície. 63 6- Mostrar que a eq. (2.12) é solução da eq. (2.11). 7- Um radiador de cavidade a K6000 tem um orifício de mm0,10 de diâmetro feito em sua parede. Ache a potência irradiada através do orifício no intervalo de comprimentos de onda entre nm550 a nm551 . Resp.: W7,53 . (Sugestão: Use o fato que ( )T TR R d 551 550 λ λ= ∫ é, aproximadamente, a área de um retângulo estreito no gráfico ( )TR λ λ× , de largura nm551 550 1λ∆ = − = . Encontre a altura do retângulo ( )TR λ , com ( ) nm550 551 / 2 550,5λ = + = , usando a fórmula de Planck) 8- Utilizando a relação ( ) ε ε − = Bk T B eP k T mostre que ( ) 0 ε ε ε ε ∞ = =∫ BP d k T . Mostre também que o ponto de máximo da função ( )Pε ε ocorre para Bk Tε = . 9- Na determinação clássica da energia média total de cada modo da radiação no interior de uma cavidade ressonante, adotou-se a lei da eqüipartição da energia. De acordo com essa lei, moléculas de um gás que se movem em equilíbrio térmico a uma temperatura T , a energia cinética média por grau de liberdade da molécula é 1 2 B k T . Essa lei poderia ser aplicada ao problema do corpo negro desde que se adotasse um modelo mecânico de oscilador harmônico para as partículas que compõe as paredes da cavidade, como se fossem pequenos sistemas massa – molas, de modo que a energia potencial também deveria se incluída na determinação da energia total. A vibração dessas partículas, por conseqüência da temperatura, daria origem as vibrações dos campos elétricos associados às ondas eletromagnéticas transversais. Baseado nesse modelo mecânico, conclui-se que a energia média total por grau de liberdade deveria ser Bk T , isto é, o dobro da energia cinética média que se esperaria para cada partícula oscilante. Considerando-se que a energia total de um oscilador harmônico simples é mv kx2 21 1 2 2 + , onde k é a constante elástica da mola, m é a massa da partícula, v sua velocidade e x x t= 0 cosω sua posição em cada instante de tempo, mostre que essa energia total é o dobro da energia cinética média. 10- Obtenha a lei do deslocamento de Wien, máxT K m 32,898 10λ −= × × , a partir da função distribuição espectral de um corpo negro obtida por Planck ( ) 5 8 1 1λ πρ λ λ = −BT hc k T hc e . (Sugestão: faça a substituição de variável λ = B hcx k T , e reescreva a função distribuição na forma ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2π ρ λ = BT k T g x h c , onde ( ) x xg x e 5 1 = − descreve a forma universal do espectro de um corpo negro para qualquer temperatura. Encontre o valor máxx para o qual a função g xb g é máxima, derivando-a em relação à x e igualando a zero. Use esse valor na equação λ =máx máx B hcx k T e obtenha o resultado procurado). 11- Suponha que a radiação de uma cavidade de corpo negro a K5000 está sendo examinada através de um filtro passa banda de nm2λ∆ = centrado no comprimento de onda máxλ , do pico do espectro. Se o orifício da cavidade é um círculo de raio r cm1= , encontre a potência P transmitida pelo filtro. (Sugestão: Usualmente, a potência irradiada seria calculada por ( ) nm T T nm R R d 581 579 λ λ= ∫ multiplicada pela área do orifício. Entretanto, λ∆ é 64 pequeno o suficiente para permitir uma aproximação do tipo ( )T T máxR área abaixo da curva R λ λ= ≈ ∆ , em que máxλ pode ser calculado utilizando-se a lei do deslocamento de Wien). Resp.: P W25,3≈ . 12- (a) A energia necessária para que um elétron seja removido do sódio é eV2,3 . Pode-se observar o efeito fotoelétrico no sódio utilizando-se radiação de comprimento de onda oA5890λ = ? (b) Qual é o comprimento de onda limiar para a emissão fotoelétrica do sódio? Resp.: (b) oA5400 . 13- Radiação de comprimento de onda oA2000 incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários eV4,2 para remover um elétron. Qual é a energia cinética do fotoelétron emitido (a) mais rápido e (b) mais lento? (c) Qual é o potencial frenador? (d) Qual o comprimento de onda limiar para o alumínio? (e) Se a intensidade da luz incidente é W m22,0 / , qual é o número médio de fótons por unidade de tempo e por unidade de área que atinge a superfície? 14- A função trabalho para uma superfície de Lítio é eV2,3 . Faça um esboço do gráfico do potencial frenador V0 em função da freqüência da luz incidente para uma tal superfície, indicando suas características importantes. 15- O potencial frenador para fotoelétrons emitidos por uma superfície atingida por luz de comprimento de onda oA4910λ = é V0,71 . Quando se muda o comprimento de onda da radiação incidente, encontra-se para este potencial um valor de V1,43 . Qual é o novo comprimento de onda? 16- Numa experiência fotoelétrica na qual se usa luz monocromática e um fotocatodo de sódio, encontra-se um potencial frenador de V1,85 para oA3000λ = , e de V0,82 para oA4000λ = . Destes dados, determine (a) o valor da constante de Planck, (b) a função trabalho do sódio, e (c) o comprimento de onda limiar para o sódio? Resp.: (a) J s346,6 10−× × , (b) eV2,3 , (c) oA5400 . 17- Considere uma incidência de luz sobre uma placa fotográfica. A luz será “gravada” se houver uma dissociação de moléculas de AgBr da placa. A energia mínima necessária para dissociar essas moléculas é da ordem de J1910− . Calcule o comprimento de onda limiar, acima do qual a luz não vai sensibilizar a placa fotográfica. 18- (a) É mais fácil observar o efeito Compton com alvos compostos de átomos com número atômico alto ou baixo? Explique. (b) O efeito Compton pode ser observado com luz visível? Explique. (c) Discuta o espalhamento Thomson, comparando-o com o espalhamento Compton. 19- A temperatura do filamento de uma lâmpada incandescente de W40 é K3300 . (a) Supondo que o filamento se comporte como um corpo negro, determine o comprimento de onda máxλ no ponto de máximo da distribuição espectral. (b) Supondo que máxλ seja uma boa aproximação para o valor médio do comprimento de onda dos fótons emitidos pela lâmpada, determine o número de fótons produzidos por segundo pela lâmpada. (c) Se um observador está olhando para a lâmpada a m5 de distância, quantos fótons penetram por segundo nos olhos do observador, sabendo-se que o diâmetro da pupila humana é, aproximadamente, mm5 . 20- Fótons de comprimento de onda oA0,024λ = incidem sobre elétrons livres. (a) Ache o comprimento de onda de um fóton espalhado de um ângulo de 30o em relação à direção de incidência e a energia cinética transmitida ao elétron. Resp.: (a) oA0,027 , MeV0,057 , (b) oA0,060 , MeV0,31 . 21- Um fóton de energia inicial eV51,0 10× que se move no sentido positivo do eixo x, incide sobre um elétron livre em repouso. O fóton é espalhado de um ângulo de o90 , dirigindo-se no sentido positivo do eixo y. Ache as componentes do momento do elétron. 22- Qual é a energia cinética máxima possível de um elétron envolvido no processo Compton em termos da energia do fóton incidente hν e da energia de repouso do elétron om c 2 ? 65 23- Determine a variação máxima do comprimento de onda no espalhamento Compton de fótons por prótons. Resp.: oA52,64 10−× . 24- Pensando nas energias dos elétrons num tubo de televisão, você esperaria que esse eletrodoméstico poderia emitir raios X? Explique. 25- Quais efeitos que se tem sobre o espectro resultante quando se diminui a voltagem num tubo de raios X? 26- Discuta o processo de bremsstrahlung como sendo o inverso do efeito Compton e do efeito fotoelétrico. 27- (a) Mostre que o comprimento de onda mínimo no espectro contínuo de raios X é dado por oA Vmin 12,4λ = , onde V é a voltagem aplicada em quilovolts. (b) Se a voltagem aplicada a um tubo de raios X é kV186 , qual deve ser o valor de minλ ? 28- (a) Qual a voltagem mínima que deve ser aplicada a um tubo de raios X para que seja produzidos raios X com o comprimento de onda Compton do elétron? E com o comprimento de onda de 1Ao ? (b) Qual é a voltagem mínima necessária para que a radiação de bremsstrahlung resultante seja capaz de produzir um par? 29- Um raio γ de comprimento de onda nm0.005 incide sobre um elétron inicialmente em repouso e é retro espalhado. Calcule o comprimento de onda do raio γ espalhado e a energia cinética, em keV , do elétron recuado. 30- Um raio γ de comprimento de onda nm0,0062 incide sobre um elétron inicialmente em repouso. O elétron é recuado com energia cinética de keV60 . Calcule a energia do raio γ espalhado, em keV , e determine a direção de espalhamento. Resp.: keV140 , 095 . 31- Um raio γ cria um par elétron – pósitron como mostra a Figura ao lado. Mostre diretamente que, sem a presença de um terceiro corpo (o núcleo), para absorver uma parte do momento, a energia e o momento não podem conservar simultaneamente. (Sugestão: Iguale as energias e mostre que isto implica em momentos diferentes antes e depois da interação). 32- Um fóton de raio γ pode produzir um par elétron - pósitron na vizinhança de um elétron em repouso, da mesma maneira que na vizinhança de um núcleo, como representado abaixo: γ + → + +− − − +e e e e Mostre que, para isso ocorrer é necessário que a energia do fóton de raio γ seja pelo menos m c204ε = . (Sugestão: Suponha que as três partículas se afastam juntas com mesma velocidade relativística v e determine a energia do fóton ε para que o processo possa ocorrer. Use as leis da conservação do momento linear e da energia, para mostrar que cv m c20 ε ε = + ou ( ) m c m cv c m c 2 2 42 0 0 22 2 0 21 ε ε + − = + . Substitua esses resultados na equação resultante da conservação do momento e mostre que m c m c m c 2 2 20 0 0 9 4 2 ε −= = ). fót fótE p c= e+ e− Antes Depois 66 Notas de Aulas de Física Moderna Prof. Carlos R. A. Lima Capítulo 2 Propriedades Corpusculares da Radiação Edição de junho de 2014 Capítulo 2 – Propriedades Corpusculares da Radiação Índice capitulo3.pdf NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 3 MODELOS ATÔMICOS E A VELHA TEORIA QUÂNTICA Edição de junho de 2014 CAPÍTULO 3 – MODELOS ATÔMICOS E A VELHA TEORIA QUÂNTICA ÍNDICE 3.1- Primórdios da Teoria Atômica 3.2- Modelo Atômico de Dalton 3.3- Modelo Atômico de Thomson 3.4- Modelo Atômico de Rutherford 3.4.1- Trajetória da Partícula α Espalhada 3.4.2- Cálculo Estatístico do Espalhamento de Partículas α 3.4.3- Cálculo da Seção de Choque de Espalhamento - FACULTATIVO 3.5- Espectro Atômico 3.6- Modelo Atômico de Bohr 3.7- Experimento de Franck e Hertz 3.8- Integral de Ação e Regras da Quantização 3.9- Modelo Atômico de Sommerfeld Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Física Moderna. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 4 aulas de quatro créditos. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 Lista de Exercícios Questões conceituais 1- Por que é necessário considerar uma folha fina em experiências que visam verificar a fórmula do espalhamento de Rutherford? 2- Compare a atração gravitacional entre um elétron e um próton no estado fundamental de um átomo de hidrogênio com a atração coulombiana entre eles. É razoável ignorar a atração gravitacional nesses casos? Resp.: F Fgrav elet ≈ −10 40 . 3- A fórmula do espalhamento de Rutherford não está de acordo para ângulos de espalhamento muito pequenos. Explique o motivo disso. 4- Em que a relação ( )Dsen r b b2 1 1 cos 1 2 ϕ ϕ= + − , que dá a trajetória de uma partícula que se move sob ação de uma força coulombiana repulsiva proporcional ao inverso do quadrado da distância, difere da dedução da trajetória de um planeta que se move sob influência do campo gravitacional do sol? 5- Mostre que a constante de Planck tem unidades de momento angular. 6- Para as órbitas do átomo de hidrogênio de Bohr, a energia potencial é negativa e maior em módulo do que a energia cinética. Qual a implicação disso? 7- Um átomo de hidrogênio pode absorver um fóton cuja energia exceda sua energia de ligação eV13,6 ? 8- A energia de ionização do deutério é diferente da do hidrogênio? Explique. Problemas 1- O modelo de Thomson para o átomo de hidrogênio prevê uma freqüência única de oscilação para o elétron. Considerando o raio do átomo de hidrogênio como sendo r nm0,05= , calcule o comprimento de onda da radiação emitida por esse átomo. (Sugestão: Lembre-se que a relação entre o raio r e o período T , é v r T2π= ). 2- Qual deve ser o raio de um átomo de um elétron, no modelo de Thomson, para que ele irradie uma linha espectral de comprimento de onda nm600λ = ? 3- Um feixe de partículas α de energia 3MeV bombardeia uma lâmina de alumínio. Determine a distância D de maior aproximação ao núcleo do átomo de alumínio associada a uma colisão frontal e o número de núcleos por unidade de volume na lâmina, sabendo-se que o número atômico do alumínio é 13, o número de massa é 27 e a densidade é g cm32,70ρ = . 4- Qual a distância de maior aproximação de uma partícula α com MeV5,30 a um núcleo de cobre em uma colisão frontal? Resp.: m1515,8 10−× . 5- De acordo com a mecânica clássica, um elétron deve sempre se mover em um átomo com qualquer momento angular. Entretanto, de acordo a teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, o momento angular é quantizado na forma L nh 2π= . O princípio da correspondência pode reconciliar essas duas afirmações? Explique. 68 6- Mostre que a freqüência de revolução de um elétron no modelo atômico de Bohr para o átomo de hidrogênio é dada por E hn2 /ν = , onde E é a energia total do elétron. (Sugestão: Use as equações E mv pv21 2 2= = , v r T2π= válidas para átomos monoeletrônicos e o fato que L n= ). 7- (a) Mostre que no estado fundamental do átomo de hidrogênio a velocidade do elétron pode ser escrita como v cα= , onde α é a constante de estrutura fina. (b) A partir do valor de α , o que se pode concluir a respeito do fato de se desprezar os efeitos relativísticos nos cálculos de Bohr? (Sugestão: Use a equação E mv20 1 2= válida para a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio). 8- (a) Calcule os três maiores comprimentos de onda da série de Balmer a partir da fórmula de Bohr. (b) A série de Balmer está entre que limites de comprimento de onda? 9- Calcule o menor comprimento de onda da série de Lyman, da série de Paschen e da série de Pfund para o átomo de hidrogênio. Em qual região do espectro eletromagnético está cada uma? 10- Quanta energia é necessária para remover um elétron de um átomo de hidrogênio em um estado com n = 8? 11- Um átomo de hidrogênio é excitado de um estado com n = 1 até n = 4 . (a) Calcule a energia que deve ser absorvida pelo átomo. (b) Calcule e trace sobre um diagrama de níveis de energia as energias dos diferentes fótons que serão emitidos se o átomo voltar a seu estado n = 1. (c) Calcule a velocidade de recuo do átomo de hidrogênio, ao fazer uma transição de n = 4 a n = 1 em um único salto quântico, supondo que ele está inicialmente em repouso. 12- Um átomo de hidrogênio com energia de ligação ( energia necessária para remover um elétron) de 0 85, eV sofre uma transição para um estado com energia de excitação (diferença de energia entre este estado e o fundamental) de 10 2, eV . (a) Calcule a energia do fóton emitido. (b) Mostre essa transição em um diagrama de níveis de energia para o hidrogênio, designando os números quânticos apropriados. 13- Calcule a energia necessária para remover um elétron de um átomo de hélio ionizado utilizando o modelo atômico de Bohr. Resp.: 54 4, eV . 14- Em uma experiência do tipo Franck e Hertz, bombardeiam-se átomo de hidrogênio com elétrons, e obtém-se os potenciais de excitação em 10 21, V e 12 10, V . (a) Trace um diagrama de níveis de energia para as três possíveis transições observadas. (b) Supondo que as diferenças de energia podem ser expressas como ∆E h= ν , obtenha os três possíveis valores de ν e dos respectivos comprimentos de onda λ . 15- Suponha que, na experiência de Franck e Hertz, a energia eletromagnética emitida por um átomo de Hg, devido à absorção de energia de elétrons com 4 9, eV seja expressa por E hν∆ = , onde ν é a freqüência correspondente à linha de ressonância nm253,6λ = do mercúrio. Calcule o valor de h de acordo com essa experiência e compare com o valor obtido por Planck. 16- Nas estrelas observa-se a série de Pickering no espectro do íon de hélio He+ . Ela é emitida quando o elétron no He+ salta para o nível n = 4 a partir de níveis de mais altas energias. (a) Obtenha a fórmula dos comprimentos de onda das linhas que pertencem a essa série. (b) Encontre o comprimento de onda limite dessa série. (c) Essa série pertence a qual região do espectro eletromagnético? (d) Calcule o potencial de ionização em elétrons-volt, se o He+ estiver no estado fundamental. 17- Se o momento angular da terra de massa M kg= ×6 0 1024, , devido ao seu movimento em torno do sol numa órbita de raio R m= ×15 1011, , fosse quantizado segundo a relação de Bohr L n= , qual seria o valor do número quântico n ? Poderíamos detectar tal quantização? 69 Notas de Aulas de Física Moderna Prof. Carlos R. A. Lima Capítulo 3 Modelos Atômicos e a Velha Teoria Quântica Edição de junho de 2014 Capítulo 3 – Modelos Atômicos e a Velha Teoria Quântica Índice capitulo4.pdf NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 4 PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Edição de junho de 2014 CAPÍTULO 4 – PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA ÍNDICE 4.1- Postulados de de Broglie 4.2- Interpretação Probabilística da Dualidade Onda - Partícula 4.3- Propriedades das Ondas de Matéria 4.4- Princípio da Incerteza Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Física Moderna. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 3 aulas de quatro créditos. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Lista de Exercícios Questões conceituais 1- Por que a natureza ondulatória da matéria não é evidente em nossas observações diárias? O comportamento ondulatório de uma partícula clássica pode ser obtido assumindo-se m →∞ na fórmula de de Broglie? Explique. 2- O comprimento de onda de de Broglie pode ser menor que a dimensão da partícula? Pode ser maior? É necessário que haja alguma relação entre essas grandezas? 3- A difração de elétrons pode ser utilizada para se estudar a estrutura de sólidos cristalinos? Explique. 4- Discuta a analogia: A óptica ondulatória é para a óptica geométrica assim como a mecânica quântica é para a mecânica clássica. 5- Afinal de conta o que é um elétron, uma partícula ou uma onda? Explique. 6- Discuta semelhanças e diferenças entre uma onda de
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