Apostila de Sistemas de Potência

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Federação das Indústrias do Estado de Santa Catarina 
Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial 
Departamento Regional de Santa Catarina 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE POTÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tubarão - 2003 
Sumário 
 
1.Introdução........................................................................................................................... 1 
2.Modelagem das redes elétricas ........................................................................................... 6 
3.Sistema de unidade P.U. (Por unidade) ............................................................................ 12 
4.Transformadores............................................................................................................... 17 
5.Fluxo de potência ............................................................................................................. 25 
5.1.Fluxo de potência cc .................................................................................................. 28 
5.2.Fluxo de potência C.A. .............................................................................................. 30 
6.Compensação de potência reativa .................................................................................... 39 
7.Curto – circuito................................................................................................................. 45 
8.Estabilidade em sistemas de potência............................................................................... 63 
 
 
 
 
 
 
 1 
1. INTRODUÇÃO 
 
Até o início do século XX, a geração de energia era baseada na utilização do 
combustível exatamente no ponto de consumo de energia. Entretanto, graças a 
Thomas Edison, um novo tipo de industria surgiu quando a primeira estação de 
energia elétrica, chamada Pearl Street Electric Station, em NY, entrou em 
operação em 1882. À partir desse instante, o consumo de energia elétrica 
aumentou rapidamente e as estações geradoras se espalharam pelo mundo 
inteiro. Dentre as varias razões para o crescimento rápido da demanda de energia 
elétrica, as seguintes são citadas como as mais importantes: 
1. A Energia Elétrica é, sob vários aspéctos, a forma mais conveniente de 
energia. 
2. A Energia Elétrica pode ser transportada até o ponto de consumo e então 
transformada em outro tipo de energia (calor, energia mecânica, etc,...). 
3. A Energia Elétrica não pode ser efetivamente armazenada, o que tem 
contribuído para o seu uso crescente. 
 
 O objetivo básico de um sistema de potência é gerar energia em 
quantidades suficientes e nos locais apropriados, transmiti-la em grandes 
quantidades aos centros de consumo e então distribui-la aos consumidores 
individuais, em forma e quantidade apropriadas e com os mais baixos custos 
econômico e ecológico e a maior segurança possível. 
 
A estrutura de um sistema de potência é muito grande e complexa, contudo, ela 
pode ser dividida nos seguintes estágios principais: 
1. Fonte de energia 
2. Conversor de energia 
3. Sistema de transmissão 
4. Sistema de distribuição 
5. Carga 
 
 
 
Representação de um sistema elétrico por um diagrama unifilar. 
 
Além disso durante as etapas de planejamento e operação do sistema elétrico 
certos requisitos devem ser observados, os quais basicamente dizem respeito aos 
pontos citados a seguir. 
 
 2 
1. Suprimento das demandas de potência ativa e reativa, quantidades 
variáveis ao longo do tempo e que devem ser integralmente satisfeitas ao 
longo da área de atuação; 
2. Qualidade de serviço, a qual implica em 
∗ Pequenas variações na magnitude da tensão (± 5% em torno do 
valor nominal) e freqüência (± 0,05Hz em torno do valor nominal de 60Hz) 
∗ Alta confiabilidade (continuidade de serviço) 
 
Em geral, os sistemas elétricos são representados por diagramas unifilares. 
Diagramas desse tipo mostram a topologia de rede elétrica e fornecem 
concisamente os dados significativos do sistema de potência. 
 
Os níveis de tensão podem ser distinguidos nos diagramas unifilares: 
1. Nível de transmissão. 
2. Nível de subtransmissão. 
3. Nível de distribuição - primária 
 - secundária 
 Esses níveis, os quais são baseados na magnitude das tensões, são 
padronizados no Brasil da seguinte maneira: 
 
∗ Transmissão: 750,500; 230; 138; 69 Kv 
∗ Subtransmissão: 138; 69; 34,5 Kv 
∗ Distribuição primária: 34,5; 13,8 Kv 
∗ Distribuição secundária: 380/220V ,220/127V, 230/115V 
 
 Dependendo da topologia da rede elétrica, a estrutura de um sistema de 
potência pode ser ainda classificada como; 
 
∗ Radial 
∗ Em anel (malha) 
 
 
 
Simbologia Diagrama Unifilar 
 
 
 
 Máquina rotativa 
 
 
 
 Barra 
 
 
 Transformador de dois enrolamentos 
 
 
 
 
 3 
 
 Transformador de três enrolamentos 
 
 
 
 
 
 
 
 Conexão delta trifásica 
 
 
 
 Conexão Y trifásica (Neutro não aterrado) 
 
 
 
 Conexão Y trifásica (Neutro aterrado) 
 
 
 
 Linha de transmissão 
 
 
 Carga estática 
 
 
 
 Disjuntor 
 
 
 Desconexão 
 
 
 
 Fusível 
 
 
 
 
 Fusível desconectado 
 
 
 
 Transformador de Corrente 
 
 
 
 Transformador de Potêncial 
 
 4 
 
 
 Capacitor 
 
 
 
 
O planejamento é um processo analítico que consiste numa avaliação das 
condições para o futuro, determinando o curso das ações alternativas em função 
dos objetivos desejados. Os tipos de planejamento principais são: 
 
∗ Planejamento a curto prazo: o qual diz respeito à seleção do curso 
se ação recomendado para o período de tempo em questão requer 
comissionamento imediato. 
 
∗ Planejamento a longo prazo: idem, para além do período de tempo 
que requer imediato comissionamento. 
 
O objetivo do planejamento do sistema elétrico é otimizar as facilidades 
necessárias para fornecer um suprimento de energia elétrica adequado, a um 
preço relativamente baixo. Em geral isto está relacionado às seguintes atividades: 
∗ Síntese: desenvolvimento de planos iniciais para o estudo do 
sistema. 
∗ Análise: avaliação técnica da operação do sistema em termos de 
requisito de reserva, fluxo de potência e estabilidade sob condição 
simuladas. 
∗ Otimização: avaliação econômica das alternativas para determinar 
aquela de mínimo custo. Maximização da segurança do 
sistema. 
 
Em termos específicos, as principais atividades do planejamento são: 
∗ Previsão de carga. 
∗ Planejamento da geração 
∗ Planejamento dos sistemas de transmissão, subtransmissão e 
distribuição. 
∗ Planejamento do suprimento de combustível. 
∗ Planejamento ambiental. 
∗ Planejamento financeiro. 
 
Tanto no planejamento como na operação dos sistemas de potência, os 
seguintes estudos são envolvidos: 
 
∗ Fluxo de potência: consiste em determinar as tensões complexas 
nas barras do sistema elétrico, de forma a permitir 
que os fluxos de potência ativa e reativa sejam 
calculados; 
 
∗ Compensação de potência reativa: diz respeito ao estudo da 
localização e da quantidade ótima de potência 
 5 
reativa (capacitores, indutores, etc.) que devem ser 
alocados ao longo do sistema, de maneira a 
garantir uma quantidade de serviço satisfatória em 
termos da magnitude das tensões nas barras. 
 
∗ Despacho econômico: consiste em determinar a distribuição ótima 
da geração de potência ativa visando a 
minimização dos custos de produçãode 
energia. 
 
∗ Cálculo de faltas: Consiste na determinação das correntes que 
circulam nas redes elétricas durante a ocorrência 
de distúrbios, de forma a projetar satisfatoriamente 
o sistema de proteção dos elementos constituintes 
da rede elétrica. 
 
∗ Estudos de proteção: envolvem a determinação da seleção, da 
localização e do dimensionamento dos 
dispositivos de proteção dos componentes do 
sistema elétrico. 
 
∗ Projeto do sistema de controle: diz respeito a determinação 
quantitativa e qualitativa dos dispositivos de 
controle de excitação e de velocidade dos 
geradores do sistema de potência em malha 
fechada, de maneira que o sistema mantenha 
durante a sua operação um desempenho 
satisfatório em termos de freqüência e magnitude 
da tensão. 
 
∗ Estudo de estabilidade: relacionados à determinação do ponto de 
operação das unidades geradoras da rede elétrica 
visando manter o sincronismo entre as mesmas. 
 
∗ Estudos de expansão: relacionados a análise da expansão de 
ambos os sistemas, geração e transmissão, com 
base nos estudos de previsão de aumento de 
demanda. 
 
 
 
 6 
2. MODELAGEM DAS REDES ELÉTRICAS 
 
 Os sistemas trifásicos equilibrados são representados, para estudos em 
regime permanente, pelo diagrama de impedâncias de uma fase do circuito em Y 
equivalente. Cada elemento constituinte do diagrama unifilar é representado pelo 
correspondente circuito monofásico equivalente. Os modelos dos principais 
elementos do sistema de potência são mostrados a seguir. 
 
 
Máquinas Síncronas 
 
 
 
 
 
E – Tensão de fase no terminal da máquina síncrona à vazio. 
Xd – Reatância síncrona de eixo direto, por fase. 
R – Resistência por fase do enrolamento do estator. 
 
 
Transformadores 
 
 
 
 
 
Referir as grandezas para o mesmo lado 
 7 
 
 
 
 
R1 – Resistência do enrolamento primário. 
R2 – Resistência do enrolamento secundário. 
XL1 – Reatância indutiva representando os fluxos de dispersão enrolamento 
primário. 
XL2 – Reatância indutiva representando os fluxos de dispersão enrolamento 
secundário. 
Rf.Xm – Parâmetros de magnetização. 
N1/N2 – Relação de transformação. 
 
Em geral, para os transformadores utilizados em sistemas de potência, as perdas 
no ferro, a corrente de magnetização e as perdas no cobre são muito pequenas. 
Por este motivo, o circuito equivalente reduz-se à: 
 
 
 
 
 
Linhas de transmissão 
 
 
Neste caso, é necessário distinguir três tipos de linhas, classificados com base no 
seu comprimento, isto é: 
 
∗ Linhas de transmissão longas: l > 249 Km 
∗ Linhas de transmissão médias: 80 < l > 249 Km 
∗ Linhas de transmissão curtas: l < 80 Km 
 
 Uma linha de transmissão é caracterizada pelos seguintes parâmetros: 
 
∗ Resistência 
∗ Indutância 
∗ Condutância 
∗ Capacitância 
série 
paralelo 
 8 
 
 Dependendo do comprimento uma LT ela é representada de uma maneira 
diferente: 
 
 
- Linhas curtas: Apenas os parâmetros série de linha são considerados, com a 
impedância série da linha de transmissão sendo expressa por. 
 
 
ZL = R+j XL 
 
 
 
- Linhas médias: A LT é representada por um circuito denominado pi - nominal. 
 
 
 
 
 
- Linhas longas: A LT é representada por um circuito denominado pi - 
equivalente. 
 
 
 
 
 Os parâmetro Z’ e Y’ são calculados com auxílio das coeficientes de 
atenuação α e propagação γ da LT 
 
( )�βαγ j+= 
 
 
Cargas 
 
 
As cargas admitem diversos tipos de representações, entre eles: 
Injeção de corrente (injeção de potência constante). 
Carga polinominal, expressa em função da magnitude da tensão. 
 
 9 
 
 
 
 
Diagrama de Impedâncias de um Sistema Elétrico 
 
 
 Diagrama Unifilar 
 
 
 
 
 
 Diagrama de Impedâncias 
 
 
 
 
 
Sistemas Trifásicos 
 
 Conexão Y Balanceadas 
 
 
 10 
 
 
 V
EE anan º0=
�
 
 V
EE bnbn º120−=
�
 
 V
EE cncn º120=
�
 
 
 V
EE anab º30
3
=
�
 
 V
EE bnbc º90
3
−
=
�
 
 V
EE cnca º150
3/=� 
 
 
Y
an
a Z
EI
�
�
=
 
 
Y
bn
b Z
EI
�
�
= 
 
Y
cn
c Z
EI
�
�
= 
 
 
 Conexão Delta Balanceada 
 
 
 
 
∆
= Z
EI abAB
�
�
 
 
∆
= Z
EI bcBC
�
�
 
 
∆
= Z
EI caCA
�
�
 
 
 
º30
3
−
=
ABII 
 11 
 
º150
3
−
=
BC
b
II 
 
º90
3 CA
c
II = 
 
 
 
Potência Complexa em Sistemas Trifásicos Balanceados 
 
 
φφφ 333 QjPS += 
 
LfLL IVIVS 333 ==φ 
 
 
 
 12 
3. SISTEMA DE UNIDADE P.U. (POR UNIDADE) 
 
Uma quantidade no sistema P.U. é definida pela razão entre o valor real de 
uma grandeza e o valor base da mesma grandeza, selecionado como referencia, 
isto é: 
 
 
Valor P.U. = Valor real da grandeza (V, A, Ω, W...) 
 Valor base da grandeza (V, A, Ω, W...) 
 
 
Observe que: 
� A quantidade em P.U. é admensional 
� Valor base é sempre um numero real 
� O ângulo do valor em P.U. é sempre o mesmo do valor verdadeiro. 
 
 
Exemplo: Referir as tensões abaixo em P.U., usando arbitrariamente como Base 
o valor de 120 KV. 
 
 KVV 1261 = 
 
 KVV 1092 = 
 
 KVV 1203 = 
 
Valores base das grandezas elétricas do sistema 
 
Cada ponto do sistema elétrico fica caracterizado por quatro grandezas: 
− Tensão elétrica (V) 
− Corrente elétrica (I) 
− Potência aparente (S) 
− Impedância (Z) 
 
Observe-se que, conhecendo apenas duas destas grandezas, as outras duas 
ficam também definida através das equações abaixo. 
 
IZV �� = 
*IVS ��� = 
2XIP = 
2XIQ = 
jQPS +=� 
 
Basta, então, escolher como base, apenas duas dessas grandezas. É comum, 
em sistema de potência, escolher como bases a tensão (Vbase) e a potência 
 13 
aparente (Sbase), ficando, conseqüentemente, fixadas as bases de corrente e de 
impedância para o nível de tensão correspondente. 
 
 
Sistema Monofásico 
 
 
É o caso de redes monofásicas ou transformadores monofásicos. 
Calculo da corrente base (Ibase) 
 
 
base
base
basebasebasebase V
SIIVS =→= . 
 
Onde: Vbase = tensão base da fase no nível de tensão considerado 
 Sbase = potência aparente base 
 Ibase = corrente base no nível de tensão da Vbase 
 
 Calculo de impedância base (Zbase) 
 
base
base
base
base
base
base
base
base S
V
V
S
V
I
VZ
2
=== 
 
 
Sistema Trifásico 
 
 
Um sistema trifásico (3∅) de potência envolve cargas e transformadores 
ligados em � e Y. Os cálculos de curto - circuitos, para proteção, são feitos 
usando componentes simétricas, que são equilibradas. Deste modo, pode-se 
analisar apenas uma única fase. 
Portanto, toda a representação de um sistema trifásico em PU é feito numa 
única fase do sistema em Y equivalente. 
 
 
 
 
 
Sbase → Potência aparente base do sistema trifásico, ou seja, é a soma das 
potências aparentes base de cada fase. 
 
 14 
( ) ( )φφ 133 bb SS = 
 
Vbase → Tensão base de linha à linha, ou 3 vezes a tensão base de fase da 
Y equivalente. 
bfbase VV 3= 
 
Vbf → Tensão base de fase. 
 
 
Cálculo da corrente de base (Ibase) 
 
 
A corrente base é a mesma da linha do sistema trifásico original e da fase do 
Y equivalente. 
 
basebasebase IVS 3= 
 
base
base
base V
SI
3
= 
 
 
Calculo da impedância base (Zbase) 
 
 
A impedância base de um sistema trifásico, é sempre a impedância da fase do 
sistema trifásico em Y equivalente 
 
 
bf
bf
baseI
V
Z = 
 
 basebf II = 
 bfbase VV 3= 
 
base
base
base I
VZ
3
= 
base
base
base S
VZ
2
= 
 
Exemplo: Um sistema de potencia trifásico, tem como 100 MVA e 230 KV. 
Determinar: 
a) Corrente base 
b) Impedância base 
c) Admitância base 
d) Corrente I = 502,04 A em P.U. 
e) Impedância Z = 264,5 +j 1058 Ω em P.U. 
f) Em P.U., a impedância de uma linha de transmissão de 230 Kv 
com 52,9 Km de comprimento, tendo 0,5 Ω /Km por fase. 
 
 15 
Mudança de base de uma grandeza (Impedância) 
 
 
Geralmente os dados dede placa dos transformadores não coincidem com a 
base na qual o sistema esta sendo calculado. A mudança de base da impedância 
do transformador deverá ser efetuada como segue. 
 
��
�
�
�
velhabase
velhabase
velhopu S
V
Z 
��
�
�
�
novabase
novabase
novopu S
V
Z 
 
 velhobasevelhopureal ZZZ .= 
 
 NovobaseNovopureal ZZZ .= 
 
 NovobaseNovopuVelhobaseVelhopu ZZZZ .. = 
 
 
velhabase
novabase
novabase
velhabase
velhopunovopu S
S
V
V
ZZ
2
�
�
�
�
�
�
	
= 
 
Exemplo: A placa de um gerador síncrono apresenta os seguintes dados 50 MVA, 
13,8 KV e X=20%. Calcular a reatância da máquina em PU referida a 
uma nova base de 100 MVA e 13,2 KV 
 
 
��
�
�
�
=
=
=
MVAS
KVV
X
velhabase
velhabase
pu 50
8,13
2,0 
 
 
��
�
�
�
=
=
=
MVAS
KVV
X
novobase
novobase
novo 100
2,13
? 
 
 
 
Vantagens do sistema “por unidade” 
 
 
1. Especificando propriamente as quantidades – base, o circuito equivalente do 
transformador pode ser simplificado. O transformador ideal pode ser 
eliminado, de forma que as tensões, correntes, impedâncias e admitâncias 
externas expressas em P.U. não se modificam quando referidas aos lados AT 
ou BT do transformados. 
2. Evita-se erros de cálculos provenientes de se referir as grandezas a um lado 
ou ao outro. 
 
3. Fabricantes em geral especificam as impedâncias das máquinas e 
transformadores nos sistemas P.U. ou percentual. (%) 
 
 16 
Exemplo: Considerando o diagrama unificar abaixo calcule a corrente na carga e 
a corrente fornecida pelo gerador. 
 
Determinação das bases 
 
 KVASbase 30= para todo o circuito 
 
Região 1 - VVbase 2401 = 
Região 2 - VVbase 4802 = 
Região 3 - VVbase 1203 = 
 
 
 
Exemplo: Fazer o diagrama de impedância do sistema da figura abaixo usando 
como base as características nominais do gerador síncrono G 1. 
 
 
 
MVASbase 30= para todo o circuito 
 
KVVbase 8,131 = 
KVVbase 1382 = 
KVVbase 8,133 = 
KVVbase 184 = 
 
 
 17 
4. TRANSFORMADORES 
 
 Transformador ideal 
 
 
 
 
2
1
2
1
N
N
E
E
= 
1
2
2
1
N
N
I
I
= 
 
2
*
22
*
111 SIEIES === 
 
 
Transformador defasador 
 
 
 
 
 
Este transformador pode ser utilizado para o controle dos fluxos de potência 
ativa nas LT’s. 
A relação de transformação é um numero complexo expresso por φjea = . 
A tensão e a corrente no lado primário são respectivamente 
 
221 EeEaE
jφ
== 
 
21 IeI
jφ
= 
onde se pode observar que 
 
− A tensão E1 está adiantada da tensão E2 por um ângulo 0. 
− A corrente I1 está adiantada da corrente I2 por um ângulo 0. 
 18 
− As magnitudes das correntes e tensões não são modificadas. 
 
A potência complexa no transformador defasador e expressa como 
 
*
22
*
111 IEIES ���� == 
 
 
Transformadores trifásicos de dois enrolamentos 
 
 
Os transformadores trifásicos podem ser conectados da seguinte forma 
 
 YY, Y�, �Y, �� 
 
Nas conexões YY e �� não há deslocamento angular entre as grandezas dos 
lados de AT e BT. 
Nas conexões Y� e �Y um deslocamento angular de 30º deve ser considerado 
nos circuitos de seqüência positiva. 
As impedância PU não dependem das conexões dos enrolamentos, isto é, Zpu 
de um transformador independe da conexão. Entretanto os valores base 
dependem da conexão do enrolamento. 
Na conexão Y�, as tensão e as correntes no lado AT estão adiantadas de 30º 
de suas correspondentes grandezas no lado de BT, no diagrama de seqüência 
positiva. 
 No caso da seqüência negativa as correntes e tensões do lado de BT estão 
adiantadas em relação as correspondentes grandezas do lado de AT por 30º. 
 
Exemplo: Um transformador de Energia Elétrica com valores nominais de 20 
MVA, 345 KV� / 34,5 KVY, possui uma impedância de dispersão de 8%. O 
transformador atua como um elo conectando um sistema de transmissão de 345 
KV e um sistema de distribuição de 34,5 KV. A resistência dos enrolamentos e a 
corrente de magnetização são desprezadas. A barra AT conectada ao 
transformador é suposta ser uma fonte ideal de 345 KV, seqüência positiva, com 
impedância desprezível. Utilizando os valores nominais do transformador como 
base, determinar: 
 
a) Os valores da queda de tensão no transformador e da queda de tensão nos 
terminais BT, quando a corrente nominal (1 pu) do transformador a um fator de 
potência 0,8 atrasado entra nos terminais de AT. 
 
b) O valor PU da corrente de falta quando um curto-circuito trifásico para a terra 
ocorre nos terminais de BT. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 19 
 
?TV ?bTV 
 puIZV TT º13,53
08,0
º87,36
0,1
.
º90
08,0
=
−
== 
 
 puVVV TATBT º85,3
954,0
º13,53
08,0
º0
0,1
−
=
−
=−= 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
Conclusão → Reatância de dispersão de alto valor → limita Icc 
 → Causa maior queda de tensão. 
 
 
Transformador de três enrolamentos 
 
 
Num transformador nós temos AT, MT e BT, ou seja, três tensões diferentes. 
 
 
 
No sistema pu 
BTpuMTpuATpu III += 
 
BTpuMTpuATpu EEE == 
 
Para a seleção das quantidades base, adota-se o seguinte procedimento: 
− Uma base comum de potência aparente Sbase é selecionada para os 
terminais AT, BT e MT. 
− As tensões VAT base, VMT base e VBT base são selecionadas de acordo com 
as relações de tensão. 
− Deslocamento de fase devem ser incluídos para bancos Y�. 
 20 
 
Autotransformadores 
 
 
 
 
No autotransformador as duas bobinas estão acopladas eletricamente e 
magneticamente. Há, portanto menor impedância de dispersão pu, e menor 
queda de tensão, o que constitui uma vantagem na utilização deste tipo de 
equipamento. Entretanto, há também uma maior corrente de curto-circuito e isto 
pode ser considerado uma desvantagem dos autotransformadores. Ainda neste 
caso, as perdas são mais baixas, há uma maior eficiência, a corrente de excitação 
é mais baixa e o custo também é mais baixo (se a relação de transformação não 
é grande demais). Uma desvantagem adicional dos autotransformadores é que as 
sobretensões transitórias passam através do autotransformador mais facilmente 
por causa da conexão elétrica dos enrolamentos. 
 
 
Transformadores com TAP variável 
 
 
Os transformadores com TAP variável necessitam ser modelados de uma 
forma particular, por ser impossível selecionar as quantidades base. 
 
 
 
2min1min alnoalno VatV = 
 
Onde 1min alnoV e 2min alnoV são as tensões nominais dos lados primário e 
secundário do transformador, respectivamente, e at é suposto um numero real ou 
complexo. 
Supondo ainda que as tensões base selecionadas satisfazem a relação. 
 
 21 
 
 21 basebase bV = 
 
 definido seobtembatC −= ,/ 
 
 2min2min1min alnoalnoalno VbcVb
atbV =�
�
�
�
	
= 
 
Esta equação pode ser interpretada como representando dois transformadores 
conectados em série com as seguintes características: 
− O primeiro transformadorpossui a mesma relação entre as tensões 
nominais que as tensões base selecionadas (parâmetro b); este 
transformador é modelado no sistema pu portanto como um 
transformador convencional. 
− O segundo transformador é suposto ideal, sendo modelado da forma 
mostrada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Exemplo: Um transformador trifásico possui valores nominais 1000MVA; 
KVYKV 345/8,13 ∆ , com Zeq=j10%. As bobinas de alta tensão do 
transformador possuem TAPS com variação ± 10%. 
 As quantidades base são: 
 Sbase 30 = 500 MVA; Vbase BTFF = 13,8 KV; 
 Vbase ATFF = 345 KV 
 Determine os circuitos equivalentes de seqüência positiva deste 
transformador quando: 
a) O TAP é selecionado no valor nominal. 
 
b) O TAP é selecionado no valor –10% (isto é, resultando num 
decréscimo de 10% no valor da tensão no lado de AT). 
 
a) TAP no valor nominal 16 =�= Cat 
 
saitrafosegundoO
c
batSe
1=
=
 
 22 
b
KV
KV
V
V
at
alno
nomiinal
==== 04,0
345
8,13
2min
1
 
 
puj
MVA
MVAjZ novoeq 05,01000
50010,0 =�
�
�
�
	
= 
 
 
 
b) 21 basebase VbV ⋅= 
04,0
345
8,13
2
1
===
K
K
V
V
b
base
base
 
 
0444,0
9,0345
8,13
2min
1min
===
K
K
V
V
at
alno
alno
 
 
111,1
04,0
0444,0
===
b
at
c 
 
pujjYc eq 22,2205,0
1111,1 −=��
�
�
��
	
= 
 
( ) ( ) pujjYc eq 222,205,0
1111,111 =��
�
�
��
	
−=− 
 
( ) ( ) pujjYcc eq 469,205,01111,1111,1 22 −=���
�
��
	
−=− 
 
 
 
 
Transformadores Reguladores 
 
 
A figura abaixo mostra o diagrama do transformador trifásico com TAP variável 
para regulação da magnitude da tensão. 
 
 23 
 
 
 
As tensões ajustáveis VbnVan ∆∆ , e Vcn∆ possuem magnitudes iguais 
(denotadas como V∆ ) e estão em fase com as tensões bnan VV , e cnV . 
O parâmetro correspondente a variação do TAP é: 
( )VC ∆+= 1 no caso de um aumento de tensão no lado abc. 
( ) 11 −∆+= VC se a elevação da magnitude da tensão é no lado a’b’c’. 
 
O trafos reguladores de tensão influenciam o fluxo de potência reativa. 
A figura abaixo mostra o diagrama do transformador trifásico com TAP variável 
para a regulação da fase da tensão. 
 
 
 
 
No caso do transformador com TAP variável para deslocamento de fase, as 
tensões incrementais bnan VV ∆∆ , e cnV∆ . Estão deslocadas de 90+− em relação as 
correntes tensões Vam, Vbm e Vcm. 
 24 
 
α
1≈C se o aumento de fase é no lado abc. 
α−≈
1C se o aumento de fase é no lado a’b’c’. 
 
Os trafos reguladores de fase da tensão influenciam o fluxo de potencia ativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
5.FLUXO DE POTÊNCIA 
 
O calculo do fluxo de potência é uma das mais importantes soluções 
requeridas na análise de sistemas de transmissão. Os resultados deste tipo de 
calculo são extensivamente utilizados durante os estágios de projeto, 
planejamento e operação dos sistemas de potência.. 
 
 
Fluxo de potência em LT’s e trafos 
 
 
 
 
 
Considere uma LT conectando duas barras i e j, cujo circuito pi - equivalente é 
mostrado acima. Suponha ainda que 
 
− Os fatores que representam as tensões nodais complexas, expressos 
como 
i
I
i
VV δ= e i
j
j
VV δ= são conhecidos. 
− A impedância série da LT é conhecida. 
− A condutância em paralelo da LT é desprezível, e portanto a admitância 
shunt se reduz a suceptância capacitiva shsh BjY = . 
− As potências aparentes ijS e jiS , são consideradas positivas quando se 
afastam das barras i e j, respectivamente. 
 
O fator corrente que flui da barra i para a barra j é dado por 
 
ijij
ji
ij XjR
VV
I
+
−
= 
 
e a correspondente potência aparente é 
�
�
�
�
�
�
	
−
−
==+=
ijij
ji
iijiijijij XjR
VV
VIVQjPS
**
*'''
 
 
( )��
�
�
	
−
−
−
=
ji
ji
i
ijij
ij
VVV
XjRS δδ
2' 1
 
 26 
 
Denotando a defasagem entre os fasores tensão nas barras i e j como ( )jiij δδδ −= , a qual é chamada ângulo de potência, ou abertura da LT, e 
expandindo a última equação obtém-se: 
 
( )[ ]ijijjii
ijij
ijij
ij jVVVXR
XjR
S δδ sencos222' +−+
+
= 
Separando a parte real e a imaginária 
 
( )ijjiijijjiijiij
ijij
ij VVXVVRVRXR
P δδ sencos1 222' +−+= 
 
( )ijjiijijjiijiij
ijij
ij VVRVVXVXXR
Q δδ sencos1 222' −−+= 
 
Nenhuma potência ativa flui pelo ramo paralelo da linha, portanto. 
 
'
ijij PP = 
Isto não acontece no caso do fluxo de potência retiva 
 
shiijij QQQ += ' 
 
A potência aparente que flui no ramo shunt relativo a barra i é dada por 
 
22
2*
* cishi
ishiishi
BVjYVVIVS −=�
�
�
�
	
== 
 
2
2
ci
shi
BVQ −= 
 
Portanto, os fluxos de potência ativa e reativa numa linha de transmissão são 
expressos como: 
 
( )ijjiijijjiijijjiijiij
ijij
ij VVRVVXVVRVRXR
P δδδ sensencos1 222 −+−+= 
 
( )ijjiijijjiijiij
ijij
ci
ij VVRVVXVXXR
BVQ δδ sencos1
2
2
22
2
−−
+
+−= 
 
De maneira análoga, os fluxos de potência ativa e reativa da barra j para i são: 
 
( )jijiijjijiijjij
ijij
ji VVXVVRVRXR
P δδ sencos1 222 +−+= 
 
 27 
( )jijiijjijiijjij
ijij
cj
ji VVRVVXVXXR
BVQ δδ sencos1
2
2
22
2
−−
+
+−= 
 
No caso de LT’s contendo transformadores, em geral a resistência e a 
capacitância da linha são desprezíveis, isto é 0=ijR e 0=cB , então 
 
ij
ij
ji
ij X
VV
P δsen= ijji PP = 
 
( )ijjii
ij
ij VVVX
Q δcos1 2 −= 
 
( )ijjij
ij
ji VVVX
Q δcos1 2 −= 
 
As perdas de potência ativa e reativa são 
 
jiijL PPP += 
 
jiijL QQQ += 
 
Potência ativa: fluxo positivo depende de que tensão está adiantada. 
 
iV adiantada em relação a 0>→ iji PV 
jV adiantada em relação a 0<→ iji PV 
 
Potência reativa: fluxo depende mais fortemente do módulo das tensões 
 
0>�> ijji QVV 
0<�> ijij QVV 
 
 28 
5.1.FLUXO DE POTÊNCIA CC 
 
Uma versão do fluxo de potência A.C. utilizada freqüentemente em estudos 
onde não se requer demasiada precisão da solução é aquela onde são feitas 
aproximações no modelo de forma que as equações resultantes constituem um 
conjunto de equações lineares. 
 
Sendo a potência aparente do sistema de duas barras anterior 
 
( )( ) shjijijijjiijjiiijijij bjVjbgVjVVVVQjPS 2*2 sencos −+−−=+= δδ 
 
ijjiijjiijiijij VVbVVgVgP δδ sencos2 −+= 
 
 
Supondo que: 
 0≅ijδ 
 puVV ji 0,1== 
 ijij RX >> 0≈ijR 
então 
 0=ijg 
 
 
ijijij
ij
ij XXR
X
b 122 −=+
−
= 
 
0,1cos =ijδ 
ijij δδ =sen 
 
Portanto: 
 
ij
ji
ij X
P
δδ −
= 
 
em geral iji PP �= 
 
ou em forma matricial 
 
δBP = 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
�
�
NNNN
N
N BB
B
BBB
P
P
P
δ
δ
δ
�
�
�
�
�
2
1
1
21
11211
2
1
 
 
 
 29 
Seqüência p/ o cálculo 
 
1. Selecionar um nó como referência 
2. Determinar a matriz B’ resultante ( ) ( )11 −− nxn 
3. Determinar a matriz P 
4. Resolver o sistema linear ( )[ ]ângulosnBP 1' −= δ 
5. Calcular os fluxos de potência ativa 
( )
ij
ji
ij X
P
δδ −
= 
 
 
Exemplo: Para o sistema mostrado na figura abaixo, calcule os fluxos de potência 
ativa nas linhas de transmissão utilizando o método de solução fluxo de 
potência c.c. 
 
 
 
 
construção da matriz B’ 
 
 �ijB Quando 
( )
�
−
≠
=
==
1
0
1n
ij
j ijX
ji 
 �Quando 
ijXji 1−=≠ 
 
 
 
 
 30 
5.2.FLUXO DE POTÊNCIA C.A. 
 
O problema de fluxo de potência geral C.A. pode ser formulado considerando 
o i – ésimo nó de um sistema de potência genérico, conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
De acordo com as leis de Kirchoff 
 
�
=
=
n
k
kik
i
i VY
V
S
1
*
*
 
 ou 
�
=
=
n
k
kikii VYVS
1
**
 
 ou 
�
=
�
�
�
�
	
�
�
�
�
	
=
n
k k
k
ik
i
i
i
VYVS
1
*
δδ 
 
�
�
�
�
	
= �
=
ki
k
n
k
ikii
VYVS δ
1
*
 
 onde ikki δδδ −= 
 
Separando as partes real e imaginária da ultima expressão, obtem-se: 
 
( ) ( )�
−
+=
n
k
kikikikikiii VBGVVP
1
sencos δδδ 
 
( ) ( ) k
n
k
ikikikiki VBGVVQ �
=
−=
1
1 cossen δδδ 
 
onde ikG e ikB são elementos da matriz admitância de barra. 
Para a solução numérica destas equação, em geral assume-se que o sistema 
trifásico é balanceado, com a rede de transmissão representada pelas 
correspondentes impedância de seqüência positiva. Em forma matricial, a 
equação da tensão modal complexa pode ser escrita como 
 
YV = I 
 31 
onde I representa o equivalente modal das correntes injetadas e é calculado 
de: 
*
*
i
i
i V
SI = 
 
onde *iS é a geração líquida de potência na barra i, isto é 
 ( ) ( ) iidigidigii QjPQQjPPS −=−−−=* 
 
Denotando por riV a tensão complexa na i – esima geração e por 
 
ii
r
i
r
i
esp
ii QjPIVSS ∆+∆=−=∆ * 
 
A potência aparente incremental, é possível escrever 
 
( )�
=
−−=∆
n
k
kikikikiki
esp
ii VBGVPP
1
coscos δδ
 
 
( )�
=
−−=∆
n
k
kikikikiki
esp
ii VBGVQQ
1
cossen δδ 
 
Os cálculos dos fluxos de potência são em geral estabelecidas de uma forma 
tal que as tensões complexas (magnitude e ângulo ou partes real e imaginária) 
são determinados para que as potências ativas espP e reativa espQ das cargas e de 
determinados geradores sejam mantidas em valores especificados. Além disso, é 
desejado que a magnitude da tensão espV e a potência ativa espP em certas barras 
de geração também sejam mantidas em valores especificados. O objetivo do fluxo 
de potência é calcular a tensão complexa (módulo e ângulo) nas barras do 
sistema e, à partir desses valores junto com a topologia e os parâmetros da rede 
elétrica, determinar os fluxos de potência ativa e reativa nas LT’s. 
 
 
Classificação das Barras 
 
 
Observe-se que quatro variáveis ( iiii eVQP δ,, ) estão associadas a cada barra. 
Duas dessas variáveis devem ser especificadas de forma que as outras duas 
possam ser calculadas. Dependendo a especificação das variáveis, as barras 
podem ser divididas em três tipos: 
 
 
− Barra PQ ou de carga: neste tipo de barra, há predominância de demanda 
sobre as outras variáveis, não existindo na grande maioria dos bases 
geração de potência na barra. Neste caso, as injeções de potência ativa 
(Pesp) e reativa (Qesp) são especificadas e a magnitude (Vi) e o ângulo ( )iδ 
 32 
da tensão modal são calculados através da solução das equações da rede 
elétrica; portanto para uma barra de carga. 
 
( ) ( ) ( )espiidiespgidiespgiespi IVQQjPPS *=−+−= 
 
 
− Barra PU ou de tensão controlada: Neste tipo de barra, a injeção de 
potência ativa (Pesp) e a magnitude (Vi) da tensão são especificados e o 
ângulo ( )iδ da tensão modal e a injeção de potência reativa (Qesp) são 
calculados; observe que para viabilizar estas especificações é preciso que 
pelo menos um dispositivo de controle de magnitude da tensão esteja 
disponível, para uma barra de tensão controlada. 
 
 
− Barra de folga, ou swing, ou slack ou referência: Neste caso, a 
magnitude (Vi) e o ângulo ( )iδ da tensão são especificados e as injeções 
de potência ativa (Pesp) e reativa (Qesp) são calculados. Note que, o objetivo 
do fluxo de potência é calcular as tensões modais e a partir daí determinar 
os fluxos de potência nas LT’s, a partir dos quais as perdas de potência 
ativa na rede elétrica podem ser determinadas. Desde que a priori as 
perdas não são conhecidas sem a solução do fluxo de potência, é 
conveniente para os cálculos numéricos, selecionar como nó de referência, 
uma barra onde as injeções de potência não tenham sido especificadas. 
 
 
Resíduos ou desbalanços de potência 
 
 
Desde que a solução do fluxo de potência é de natureza iterativa, é necessário 
estabelecer um critério de convergência. Em geral utiliza-se para esta finalidade 
um teste efetuado nos chamados resíduos ou desbalanços de potência. 
O desbalanço de potência complexa no nó i é a diferença entre a potência 
especifica espiS e a potência calculada riri IV * , onde riV é a tensão ccomplexa 
calculada na iteração r portanto 
 
�−+=−=∆
1
**
rek
r
kik
r
i
esp
i
esp
i
r
i
r
i
esp
ii VYVQjPIVSS 
 
Esta equação pode ser separada em partes real e imaginária e expressa na 
forma polar como 
 
( )� +−=∆
1
sencos
rek
kikikkiiki
esp
ii VBGVPP δδ 
 
( )� −−=∆
1
cossen
rek
kikikikiki
esp
ii VBGVQQ δδ 
 
 33 
Nessas equações é suposto que Vi é a tensão calculada na iteração r. o 
critério de convergência mais comumente utilizado na pratica é: 
 
≤∈∆∗ iP para todas as barras PV e PQ 
 
≤∈∆∗ iQ para todas as barras PQ 
 
Onde ∈ é uma tolerância pré-especificada (tipicamente na faixa de 0,01 a 10 
MW). 
 
Em PU 10-3 e 10-4 P.U. 
 
 
Solução do fluxo de potência via método de Gauss-Seidel 
 
 
Uma das técnicas mais simples para resolver equações não lineares é o 
método de Gauss-seidel. Para estabelecer o algoritmo iterativo correspondente a 
esta técnica considere que o sistema de equações a ser resolvido é expresso 
como 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )��
�
�
��
�
�
�
=
=
=
=
0,...,,,
0,...,,,
0,...,,,
0,...,,,
321
3213
3212
3211
nn
n
n
n
xxxxf
xxxxf
xxxxf
xxxxf
xf
�
 
 
onde f é o vetor das funções não lineares, e o objetivo é a determinação do 
conjunto de variáveis ( )nT xxxxX ,...,,, 321= . 
O método iterativo de Gauss consiste em executar os seguintes passos: 
 
• Expresse cada variável do vetor x em função outras variáveis (e da própria 
variável se for necessário); isto é 
 
 
( )
( )
( )
( )nnn
n
n
n
xxxxFx
xxxxFx
xxxxFx
xxxxFx
,...,,,
,...,,,
,...,,,
,...,,,
321
32133
32122
32111
=
=
=
=
�
 
 
• Faça uma estimativa inicial do vetor x 
• Atualize o vetor x através do seguinte algoritmo 
 ( )1−= VV XFX 
 
 34 
 onde V é o número da iteração corrente; 
 
• Efetive o teste de convergência nas variáveis ix . Isto é, o processo é 
encerrado a diferença entre os valores de cada variável em duas iterações 
consecutivas for menor do que uma especificada tolerância ∈, ou, em 
termos analíticos, 
 
≤∈− −1VV XX 
 
O método de Gauss-seidel, com o qual é possível se obter maior velocidade 
de convergência, consiste em utilizar na equação o valor mais atualizado de cada 
variável. Por exemplo, o cálculo da variável 3x desta equação, na iteração V, é 
efetuado com auxílio da seguinte expressão 
 ( )1132133 ,...,,, −−= VnVVVV xxxxFx 
 
A convergência do método de Gauss-seidel pode se tornar ainda mais rápida 
se forem utilizados fatores de aceleração adequados. Apesar de existirem muitas 
estratégias de solução alternativas, na prática a seguinte extrapolação linear é a 
mais freqüentemente utilizada: definindo o incremento na variável ix entre duas 
iterações como: 
 
1−
−=∆ Vi
V
i
V
i xxx 
 
A atualização da variável com a aplicação do fator de aceleração α édada por 
 
V
i
V
i
V
iac xxx ∆+=
− α1 
 
Observe que 0,1=α implica no processo de convergência natural. Para que a 
aceleração da convergência do processo iterativo seja acelerada α deve ser 
portanto maior do que 1,0. 
 
 
Exemplo: Resolva o sistema de equação não lineares 
 
 
�
�
�
=+−
=−+
012
012
212
211
xxx
xxx
 
 
Pelo método de Gauss-seidel a partir de 01 =x , 02 =x 
 ( )111 ,..., −−= VnViVi xxFx 
 
 
 
 
 
 35 
Aplicação no problema de fluxo de potência 
 
 
O método de Gauss-seidel é aplicado na solução de fluxo de potência, 
tomando as equações estáticas do fluxo de potência na forma mostrada nas 
seções anteriores, isto é 
 
( ) niVYVjQPS n
k
kikiiii ,...,2,1
1
**
==−= �
=
 
 
ou 
 
ninii
i
ii VYVYVY
V
jQP
+++=
−
...2211* 
 
Expressando para cada barra a equação de uma variável complexa Vi obtem-
se. 
 
niVY
V
jQP
Y
V
n
ik
k
kik
i
ii
ii
,...2,11
1
*1 =
�
�
�
�
�
�
�
�
	
−
−
= �
≠
=
 
 
Um conjunto de equações da forma da expressão acima é aquele a ser 
resolvido através do método de Gauss-seidel. Cada uma dessas equações é 
estabelecida de acordo com o tipo de barra em questão. 
 
 
− Barras PQ: Desde que para este tipo de barra a injeção de potência 
complexa espiS é especificada e a tensão complexa iV é 
desconhecida, as equações que caracterizam as barras de 
carga são 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
	
−
−
= �
≠
=
n
ik
k
atual
kikantigo
i
esp
i
esp
i
ii
novo
i VYV
jQP
Y
V
1
*
1
 
 
onde atualkV representa o ultimo valor disponível da tensão complexa Vk 
 
 
− Barras PV: Para uma barra PV, a injeção de potência ativa espiP e a 
magnitude da tensão ESPiV são especificadas, o ângulo da 
tensão δinovo a injeção de potência reativa novoiQ são 
desconhecidos. Estes podem ser calculados considerando 
inicialmente a equação. 
 
 36 
niVY
V
jQP
Y
V
n
ik
k
atual
kikantigo
i
calc
i
esp
i
ii
novo
i ,...2,1
1
1
*
=
�
�
�
�
�
�
�
�
	
−
−
= �
≠
=
 
 
A utilização desta equação exige que o valor da injeção de potência reativa na 
barra PV seja calculado. Isto pode ser feito com o auxílio da equação. 
�
�
�
�
�
�
−= �
=
n
k
kiki
calc
i VYVQ
1
*Im 
Utilizando os valores mais atualizados das tensões complexas 
 
A substituição dos valores das variáveis requeridos pela equação da tensão 
acima, fornecera a tensão complexa 
 
valv
i
valv
icalc
i
VV δ= 
 
e, desde que o valor de Vi é especificado a priori, apenas o valor do ângulo calciδ é 
utilizado. A partir deste ponto o valor da tensão complexa na barra PV passa a ser 
calc
i
esp
iV δ/ durante a iteração corrente. 
 
 
Uso do fator de aceleração 
 
 
No caso da aplicação do método de Gauss-seidel ao problema de fluxo de 
potência, o fator de aceleração também consegue reduzir o número de iterações 
e é utilizado no seguinte contexto. 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )11 −− +−= kvelhoikvelhoiknovoikacei VVVV α 
 
Onde α é o fator de aceleração, o qual é empiricamente determinado em geral 
na faixa 1,4≤α ≥1,8. 
 
 
Limites de potência reativa 
 
 
Para representar a capacidade física dos geradores, limites de potência 
reativa são estabelecidos para cada nível de potência especificada. Esses limites, 
os quais são obtidos com auxílio da curva de capabilidade dos geradores 
síncronos, podem ser representados através da inequação. 
 
maxmin
gigigi QQQ ≤≤ 
 
Onde mingiQ e maxgiQ são os limites mínimo e máximo de geração de potência 
reativa. Uma especificação errada da magnitude da tensão (valores 
 37 
demasiadamente altos ou baixos) pode levar à violações desta restrição de 
desigualdade no processo iterativo. O procedimento adotado para o tratamento 
deste tipo de restrição de potência consiste no seguinte: 
 
Caso durante o processo iterativo o limite de potência reativa gerada for 
violado, a barra correspondente é convertida em barra de carga. Isto é, a injeção 
de potência reativa é fixada no limite e a magnitude da tensão passa a ser uma 
variável adicional calculada ao longo das iterações. 
 
 
Teste de convergência 
 
 
A convergência do processo iterativo na solução do fluxo de potência via 
método de Gauss-seidel é realizada em duas etapas. A primeira consiste em 
verificar a cada iteração se as variações na magnitude e no ângulo da tensão 
complexa são significativos. Ou seja, se 
 
V
V
i
V
i VV ≤∈−
−1
 
 
Onde V∈ é uma tolerância pré-especificada para a tensão complexa, para 
todas as barras de carga (PQ) e de tensão controlada (PV) envolvidas no 
processo. 
 
Caso este teste seja satisfeito, um teste semelhante é efetuado para os 
resíduos de potência ativa e reativa, isto é 
 
p
calc
i
esp
i PP ≤∈− (barras PV e PQ) 
 
( )PQbarrasQQ Qcalciespi <∈− 
 
Onde ∈P e ∈Q são as tolerâncias pré-especificadas para os resíduos de 
potência ativa e reativa. 
 
 
Exemplo: Seja o seguinte sistema 
 
 
 
Barra Tensão (pu) Inj potência 
Nº Tipo Mod Ang Ativa Reativa 
1 Vδ 1,0 0 
2 PQ -0,2 -0,01 
 
 38 
�
�
�
�
�
−
−
= jj
jj
Ybarra 
 
Determinar a solução das equações da rede elétrica, via método de Gauss-
seidel, utilizando fatores de aceleração 1,0 e 1,5, com tolerância para o módulo 
das tensões igual a 10-3pu(V). 
 
 
 39 
6.COMPENSAÇÃO DE POTÊNCIA REATIVA 
Durante a operação dos sistemas de potência, é necessário manter o balanço 
de potência ativa a fim de que a freqüência do sistema permaneça constante. Por 
outro lado, é também imprescindível manter o balanço de potência reativa para 
que se tenha um perfil de tensão estável e que satisfaça os limites pré-
específicos. No caso do balanço de potencia reativa observa-se que: 
 
∗ Sob condições de carga elevada devem existir fontes de reativo suficientes 
para suprir as demandas de potência reativa do sistema; 
 
∗ Sob condições de carga leve o sistema deve ter capacidade suficiente de 
absorver o excesso de reativo nele gerado. 
 
A manutenção do balanço de potência reativa pode ser efetuada através de 
duas formas básicas: 
 
∗ Transmissão dos MVAr dos pontos de geração para os pontos de consumo 
através das LT’s. 
 
∗ Instalação de fontes de reativos próximos dos pontos de deficiência ou de 
excesso de consumo. 
 
Evidentemente esta última alternativa é a mais vantajosa do ponto de vista do 
desempenho do sistema. 
Por convenção, a potência reativa é positiva (indutiva) quando é absorvida por 
uma carga indutiva (φ positivo, corrente atrasada, cos φ atrasado). De acordo com 
esta convenção, um capacitor absorve potência reativa negativa (capacitiva) ou 
gera (ou fornece) potência reativa positiva (ou indutiva) ao sistema. 
 
Para analisar como flui a potência reativa num sistema, considere as fórmulas 
do fluxo de potência numa LT sem perdas, isto é, com resistência desprezível. 
ij
ij
ji
ij X
VV
P δsen= 
 
( )ijji
ij
i
ij VVX
VQ δcos−= 
 
Sempre que entre dois pontos de uma LT existir uma diferença escalar de 
tensões, haverá um fluxo de potência reativa do ponto de maior tensão para o de 
menor tensão. Em outras palavras, sempre que em uma barra houver deficiência 
de potência reativa, esta deverá ser fornecida através das linhas que nela incidem 
e assim a tensão na barra deverá se reduzir. 
Reciprocamente, quando em uma barra houver excesso de reativo (por 
exemplo, devido ao chaveamento de um banco de capacitores) a tensão na barra 
deverá se elevar. 
 40Concluir-se então, que a tensão em uma barra pode ser controlada injetando-
se nela uma potência reativa de sinal conveniente (usando-se banco de 
capacitores ou reatores eventualmente disponíveis). 
 
 
Fontes e sumidouros de potência reativa 
 
 
A geração de potência reativa pode ser feita basicamente através dos 
seguintes dispositivos: 
 
− Máquinas síncronas superexcitadas 
− Capacitores 
− Linhas com baixo carregamento 
− Cabos 
 
Por outro lado, a absorção de potência reativa é efetuada via: 
 
− Máquinas síncronas subexcitadas 
− Motores de indução 
− Transformadores 
− Reatores 
− LT’s sobrecarregadas 
 
 
Máquinas síncronas 
 
 
Estes equipamentos podem funcionar como geradores (Pg>0) ou como 
motores (Pg<0), superexcitados (Qg>0) ou subexcitados (Qg<0). O circuito 
representativo da máquina síncrona funcionando como um gerador é mostrado 
abaixo 
 
 
 
A máquina síncrona pode ainda funcionar como um compensador síncrono, 
caso no qual a potência ativa gerada é nula, sendo fornecida apenas potência 
reativa (capacitiva ou indutiva). 
 
A principal vantagem do compensador síncrono é que a geração de potência 
reativa pode ser variada continuamente de uma maneira simples (porém mais 
vagarosamente do que os compensadores estáticos). 
Uma desvantagem deste tipo de funcionamento é que em geral este 
equipamento está situado longe dos pontos de consumo e necessita de 
elementos de transporte para atingir a demanda, ocasionando perdas de 
potência. 
 41 
 
Bancos de capacitores e indutores 
 
 
Indutores e capacitores podem ser utilizados em LT’s médias e longas para 
aumentar a capacidade de carregamento da LT, assim como para manter a 
tensão próxima da nominal. Eles podem ser instalados nos barramentos, em 
ambos os níveis de transmissão e distribuição, ao longo das LT’s, ou nas leis e 
cargas. Essencialmente, esses dispositivos constituem um meio de fornecer Var 
localmente. Eles podem ser conectados permanentemente ou chaveados para 
atuar de acordo com as variações de carga do sistema. 
Algumas características do uso desses equipamentos no problema de 
compensação de potência reativa são sumarizadas a seguir. 
 
 
∗ Reatores shunt: são projetados para consumir potência reativa gerada por 
linhas descarregadas. Estes equipamentos são comumento instalados em 
pontos selecionados ao longo das LT’s de extra alta tensão, de cada fase ao 
neutro. Os indutores absorvem potência reativa e reduzem as sobretensões 
durante os períodos de carga leve. Eles também reduzem as sobretensões 
transitórias resultantes de surtos de chaveamentos. Entretanto, sob condições 
de plena carga é necessário remover seu efeito da LT a fim de que a 
capacidade de carregamento da mesma não seja reduzido. 
 
 
∗ Capacitores shunt: estes dispositivos são projetados para gerar potência 
reativa em sistemas de alto consumo de reativo e/ou muito carregados. Eles 
são utilizados para aumentar a tensão na LT durante os períodos de carga 
pesada. No caso de uma carga com fator de potência atrasado, por exemplo, 
os capacitores fornecem uma parte ou a totalidade da potência reativa quando 
conectados em paralelo. Nesta condição, eles reduzem a corrente da LT 
necessária para suprir a carga, assim como a queda de tensão na LT, 
Melhorando o fator de potência da carga. Desta feita, uma maior quantidade 
de potência ativa pode ser transmitida pela LT. 
 
 
∗ Capacitores série: estes equipamentos também são utilizados em LT’s 
longas para elevar a capacidade de carregamento da mesmas. Os bancos de 
capacitores são instalados em série com cada fase (condutor) do sistema de 
transmissão, em pontos selecionados. O seu efeito é reduzir a impedância 
série da LT, e portanto a queda de tensão ao longo da LT, aumentando assim 
o limite de estabilidade em regime permanente. A desvantagem deste tipo de 
equipamento é que dispositivos automáticos de proteção tem que ser 
instalados para desviar as altas correntes durante a ocorrência de faltas e 
reinserir o banco de capacitores após a falta. O uso de banco de capacitores 
série pode também provocar o aparecimento de oscilações de baixa 
freqüência, originando o fenômeno chamado ressonância subsincrona. Estas 
oscilações podem danificar o eixo da turbina do gerador. 
 
 42 
O esquema de compensação de uma LT e seu correspondente circuito 
equivalente são abaixo. 
 
 
 
 
 
Onde: 
− NC é a quantidade de compensação reativa série expressa em percentagem 
(%) da impedância de seqüência positiva da LT. 
 
 - NL é a quantidade de compensação reativa shunt expressa em 
percentagem (%) da admitância de seqüência positiva da LT. 
 É suposto que a metade da compensação é instalada em cada extremo da 
LT. 
 
 
Outros Equipamentos 
 
 
 Além da máquina síncrona, outros equipamentos influenciam o balanço de 
potência reativa do sistema elétrico. Os principais são listados a seguir: 
 
 
- Motores de indução: Estes equipamentos absorvem potência reativa 
(indutiva ou positiva), isto é, consomem potencia ativa e reativa. Eles constituem 
boa parte da carga industrial e influenciam de forma bastante acentuada o 
balanço de potência reativa. 
 
 
- Transformadores: os transformadores também absorvem potencia reativa 
indutiva, na reatância de magnetização e nas reatância de dispersão. A 
função usual desses equipamentos é o controle do nível de tensão do 
sistema elétrico. 
 
 
- Compensadores estáticos: a combinação dos dois tipos anteriores, para 
funcionar com cargos variáveis ao longo do dia. Estes tipo de equipamento 
consiste na conexão em paralelo de reatores chaveados por tiristores e 
capacitores. Tais dispositivos são capazes de absorver potencia reativa 
durante os períodos de carga leve, e produzir potência reativa nos períodos 
 43 
de carga pesada. Através do controle automático dos tiristores as 
flutuações de tensão minimizadas e a capacidade de carregamento é 
aumentada. 
 
 
-Linhas: consomem potencia reativa na indutância série e geram potência reativa 
nas capacitâncias shunt. A analise do fluxo de potência reativa nas Lt’s 
pode ser feita a partir dos seguintes parâmetros: 
 
 
Impedância característica (ou impedância de surto) 
 
 
 
wcG
wlJRZ
+
+
=0 
 
Em LT’s sem perdas 
 
C
LZ =0 
 
 
- Surge impedância loading (SIL) de uma LT é: A potência entregue pela 
linha a uma carga puramente resistiva de impedância igual a impedância 
característica da linha. Nestas circunstancias a corrente fornecida pela 
linha é dada por: 
 
sistivaaCW
Z
V
Z
VVIVSIL
Z
V
I
LL
LLL
L
L
Rearg][
3
33
)3/(
0
2
0
0
=�
�
�
�
�
�
	
==
=
 
 
 A SIL pode ser interpretada como a carga de fator de potência unitário que 
faz com que os MVAr gerados na caracitância Shunt da LT compensem 
extremamente as perdas de MVar na reatância indutiva série. 
 Para valores abaixo do SIL (linhas de descargas) haverá um saldo de 
geração de MVAr acima do SIL (linhas carregadas) haverá excesso de perdas 
MVAr na linha. 
 
 
- Cabos: Devido a sua alta capacitância e pelo fato de que o limite térmico de 
condução de corrente é muito menor que a SIL, estes equipamentos atuam como 
geradores de potência reativa. 
 
 44 
Exemplo: O circuito da figura abaixo representa uma carga sendo alimentada 
através de LT de 525KV compensada com reatores sem taps. Determine 
como se deve compensar a linha utilizando um compensador shunt no lado 
da carga, sob condições de cargas mínimas (3,0 -j1,0 pu) e máxima (6,0 +j 
1,0 pu) para operar a linha plana em 0,95 pu. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Em relação a LT do problema anterior, qual deve ser a tensão e a 
potênciareativa da fonte para que na extremidade da carga se tenha uma 
tensão com magnitude igual a 0,95 pu, tanto na condição de carga máxima 
como na condição de carga mínima? Observe que neste caso o 
compensador shunt não é utilizado. 
 
 
 45 
7.CURTO – CIRCUITO 
Componentes simétricos 
 
 
 Os curto - circuitos em sistemas elétricos de potência geram 
desbalanceamentos, dificultando os cálculos e as simulações da ocorrência. 
 Em 1915 o Dr.C.L. Fortescue, conseguiu formular uma ferramenta analítica 
muito poderosa, propondo, de maneira genérica, a decomposição de qualquer 
sistema de “N” fases desequilibradas nas suas respectivas componentes 
simétricas equilibradas. 
 A formulação proposta por Fortescue, foi mais tarde, adaptada e aplicada 
aos elementos que compõe o sistema elétrico de potência. Isto possibilitou a 
aplicação de todas as técnicas já conhecidas e dominadas de circuitos trifásicos 
equilibrados aos sistemas desbalanceados pelos curto – circuitos, através das 
componentes simétricas. 
 
 
Teorema de Fortescue 
 
 
 Fortescue, através do teorema intitulado de “método de componentes 
simétricos aplicado a solução de circuitos polifasícos”, estabeleceu que um 
sistema de “n” fasores desequilibrados pode ser decomposto em “n” sistema de 
fasores equilibrados, denominadas componentes simétricos dos fasores originais. 
 A expressão analítica obra para um sistema desequilibrado com n fases é 
dado por: 
 
 
 
 
)1(210
)1(210
)1(210
...
...
...
−
−
−
++++=
++++=
++++=
n
n
n
VcVcVcVcVc
VbVbVbVbVb
VaVaVaVaVa
 
 . 
 . 
 )1(210 ... −++++= nVnVnVnVnVn 
 
 Cada seqüência é composta de n fasores equilibrados, isto é, de mesmo 
módulo e igualmente defasados. 
 A defasagem kσ de dois fatores consecutivos do sistema de seqüência K-
ésima, é dada por: 
 
�
�
�
�
	
=
n
kk piσ 2 
 
 Assim, tem-se os sistemas de 
 
 46 
Seqüência zero: É o conjunto de n fatores Vao Vbo Vco,..., Vno de mesmo modulo 
e em fase, girando no mesmo sentido e velocidade síncrona do sistema original 
de n fases. 
 
 
Seqüência 1: É o conjunto de n fatores Va1, Vb1, Vc1,...,Vn1, de mesmo módulo, 
com defasagem de 
n
pi2
, girando no mesmo sentido e velocidade do sistema 
polifásico original. 
 
 
Seqüência 2: É o conjunto de n fatores, Va2, Vb2, Vc2,..., Vn2, de mesmo módulo, 
com defasamento entre si de �
�
�
�
	
n
pi22 , girando no mesmo sentido e velocidade 
síncrona do sistema original. 
 
 
Seqüência K-ésima: É o conjunto de n fatores Vak, Vbk, Vck,...,Vnk de mesmo 
módulo, com defasamento entre si de �
�
�
�
	
n
k pi2 girando. 
 
 
Sistema trifásico de seqüência positiva 
 
 
 É o conjunto de 3 fatores balanceados, ou seja, de mesmo módulo, 
defasados de 120º, com seqüência de fase idêntica a do sistema trifásico original 
desbalanceado. 
 Notação: índice 1 representa seqüência positiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
1
1
1
º240
1
º120
1
º0
1
aVcV
aVbV
aV
�
�
�
�
�
⋅−
=
⋅−
=
=
 
 
Em módulos, elas são iguais 
 
 47 
111 cVbVaV ��� == 
 
 As outras tensões foram expressas em função de Va1, porque o sistema é 
equilibrado, então basta analisar uma única fase. 
 Em vez de usar o termo 
º120
1 , é praxe, substituir este numero complexo 
por uma representação literal, batizada de a� , conhecida como operador 
rotacional. Assim, 
 
 
11
1
2
1
1 º0
1
,
º120
1
aVacV
aVabV
aVEntão
a
���
���
�
⋅=
⋅=
=
=
 
 
 
Sistema trifásico de sequecia negativa 
 
 
 É o conjunto de 3 fatores equilibrados, girando numa seqüência de fase 
contrária a do sistema original desbalanceado, na velocidade síncrona, contraria 
ao da seqüência positiva. 
 Notação: Índice 2 representa seqüência negativa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Colocando-se os fatores tensão em função da tensão da fase a, tem-se 
 
2
2
2
22
2 º0
1
aVacV
aVabV
aV
��
��
�
⋅=
⋅=
=
 
 
 
 
 
 
 
 48 
Sistema trifásico de seqüência zero 
 
 
 É o conjunto de 3 fatores iguais, em fase, girando no mesmo sentido da 
seqüência do sistema original desbalanceado, isto é, da seqüência positiva. 
 Notação: Índice zero representa seqüência zero. 
 
 
 
 
 
 
Em termos de tensão, os fatores de seqüência zero ficam 
 
000 cVbVaV ��� == 
 
 
Expressão analítica do teorema de Fotescue 
 
 
 Como já foi dito, um sistema trifásico desequilibrado é composto por três 
sistemas trifásicos equilibrados de seqüência zero, positiva e negativa. 
 A expressão analítica do teorema de Fotescue é 
 
��� ���
����
����
����
DCBA
cVcVcVcV
bVbVbVbV
aVaVaVaV
210
210
210
++=
++=
++=
 
 
A = sistema trifasico desequilibrado 
B = sistema trifasico equilibrado de sequencia zero 
C = sistema trifasico equilibrado de sequencia positiva 
D = sistema trifasico equiibrado de sequencia negativa 
 
 Colocando todas as tensões em função da fase “a” 
 
2
2
10
21
2
0
210
aVaaVaaVcV
aVaaVaaVbV
aVaVaVaV
����
����
����
++=
++=
++=
 
 
 
Na forma matricial, 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
�
2
1
0
2
2
1
1
111
aV
aV
aV
aa
aa
cV
bV
aV
�
�
�
��
��
�
�
�
 
 
 49 
Representado a matriz T, tem-se 
 
 
�
�
�
�
�
�
�
=
2
2
1
1
111
aa
aaT
��
��
 
 
 T é uma matriz quadrada 3x3, conhecida como matriz transformação das 
componentes de seqüência nos fasores originais do sistema desbalanceado. 
 
 Para se obter as componentes de seqüência, em função do sistema 
desbalanceado, deve-se determinar o inverso do indicado na expressão acima 
 
 
)(31
)(31
)(31
2
2
2
1
0
cVabVaaVaV
cVabVaaVaV
cVbVaVaV
����
����
����
++=
++=
++=
 
 
Na forma matricial 
 
 
 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
�
cV
bV
aV
aa
aa
cV
bV
aV
�
�
�
��
��
�
�
�
2
2
2
1
0
1
1
111
3
1
 
 
�
�
�
�
�
�
�
=
−
aa
aaT
��
��
2
21
1
1
111
3
1
 
 
 
Sendo T-1 a matriz inversa de T 
 
 Aplicando o teorema de Fortescue aos três fatores de corrente do sistema 
trifásico desbalanceado, temos 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
�
2
1
0
2
2
1
1
111
aI
aI
aI
aa
aa
cI
bI
aI
�
�
�
��
��
�
�
�
 
 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
�
cI
bI
aI
aa
aa
aI
aI
aI
�
�
�
��
��
�
�
�
2
2
2
1
0
1
1
111
3
1
 
 50 
 
Obs: 
 
 A seqüência zero tem uma característica muito peculiar, de extrema 
singularidade, em que os fatores estão em fase, mesmo assim recebe a 
denominação particular de sistema trifásico balanceado. 
 As conclusões obtidas produzem interpretações físicas, com aplicações 
direta a proteção do sistema elétrico. 
 
)(310 cIbIaIaI ���� ++= 
 
 Da expressão acima conclui-se que só pode existir corrente de seqüência 
zero em um sistema com neutro ou aterrado. 
Impedância de seqüência dosequipamentos do sistema 
 
 Como já foi visto, um sistema elétrico trifásico será decomposto, segundo 
Fortercue, em três sistemas elétricos trifásicos de seqüência positiva, negativa e 
zero. Isto leva a necessidade de se obter o modelo do sistema para cada 
componente de seqüência, ou seja, haverá a necessidade de modelar o sistema 
para as seqüências positivas, negativas e zero. Os três modelos obtidos são 
sistemas trifásicos equilibrados, sendo portanto, necessário efetuar o estudo 
apenas do uma única fase, sendo a fase “a” adotada como referência. 
 Portanto, através de ensaios em laboratório, ou pela característica do 
material do material e forma de ligação, deve-se calcular ou medir a impedância 
apresentada pelo equipamento quando submetido a cada seqüência 
individualmente. 
 
 Z1 é a impedância apresentada pelo equipamento a seqüência Positiva. 
 
 
 Z2 é a impedância apresentada pelo equipamento a seqüência Negativa. 
 
 Z0 é a impedância apresentada pelo equipamento a seqüência zero. 
 
 Para os estudos de curto – circuito, os elementos importantes a considerar 
no sistema elétrico são os geradores, transformadores, linhas de transmissão e a 
configuração da rede. 
 
 
Gerador síncrono 
 
 
Modelo de seqüência positiva 
 
 Usa-se a reatância sub – transitória na modelagem do gerador síncrono, 
esta produz uma corrente de curto – circuito maior, e o disjuntor, apesar de estar 
um pouco mais dimensionado, melhora a segurança do sistema. 
 
 
 
 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 111 " aIdjxaEaV ��� ⋅−= 
 
 
Ea1 -> Tensão de fase no terminal do gerador síncrono gerando a vazio. 
Va1 -> Tensão da fase em relação ao neutro da seqüência positiva para qualquer 
situação. 
Ia1 -> Corrente de seqüência positiva da fase “a”, que sai dos enrolamentos da 
máquina para o sistema. 
 
 
Modelo de seqüência negativa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X2 -> Reatância de seqüência negativa por fase. 
 
Va2 ->Tensão de seqüência negativa no terminal da fase “a” em relação ao neutro 
do gerador. 
 
Ia2 -> Corrente de seqüência negativa que sai pela fase “a” do gerador. 
 
 
Modelo de seqüência zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 52 
X0 -> Reatância de seqüência zero. 
 
Va0 -> Tensão de seqüência zero da fase “a” em relação ao neutro do gerador 
síncrono. 
 
Ia0 -> Corrente de seqüência zero que sai pela fase “a” do gerador síncrono. 
 
 
Modelo de seqüência zero com uma impedância zn (aterrado) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Motor síncrono 
 
Modelo de seqüência positiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelo de seqüência negativa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelo de seqüência zero 
 
 
 
 
 
 
 
 53 
Motor assíncrono 
 
 
 O motor assíncrono também é denominado motor de indução. 
 O modelo de seqüência positiva é mostrado na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E o modelo de seqüência negativa é mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
 
Em -> tensão por fase nos terminais do motor de indução antes do defeito. 
 
Xs -> Reatância de dispersão da bobina do estator. 
 
Xr -> Reatância de dispersão da bobina do rotor referida ao estator. 
 
 O motor de indução trifásico não tem seqüência zero. 
 
 
Transformador 
 
 
 O transformador é um elemento importante do sistema elétrico. Ele 
interliga, isto é, possibilita a conexão de vários equipamentos elétricos com 
tensões elétricas distintas. Como as correntes de curto – circuito do sistema 
passam através dos transformadores, há necessidade de analisar o 
comportamento do transformador em relação a estas correntes. 
 
 
 
 
 54 
Impedância de seqüência positiva 
 
 
 A impedância de seqüência positiva z1 é a mesma impedância de curto – 
circuito obtida no ensaio de curto – circuito do transformador. 
 
 
 
 
 
 
 
Impedância de seqüência negativa 
 
 
 Como o transformador é um elemento do sistema puramente passivo e 
estático, qualquer seqüência de fase será encarada como seqüência positiva. 
 O valor da impedância de seqüência negativa será o mesmo da seqüência 
positiva. 
12 ZZ = 
 
 
Impedância de seqüência zero 
 
 
 Como, por definição, a corrente de seqüência zero nas três fases são 
iguais, as mesmas só poderão existir se houver possibilidade de retorno através 
de um circuito fechado. 
 A impedância de seqüência zero (Z0) vai depender do tipo de 
transformador, da forma do seu núcleo magnético e do tipo de conexão das 
bobinas primaria e secundaria. 
 Abaixo temos os circuitos equivalentes por fase de seqüência zero de 
transformadores trifásicos de núcleo envolvente e de banco de transformadores 
monofásico. 
 
Transformador trifásicos Circuito equivalente por 
De 2 enrolamentos fase da seqüência zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Abaixo temos os circuitos equivalentes, por fase, de transformadores 
trifásicos de núcleo envolvente com três enrolamentos 
 
Transformadores trifásicos Circuito equivalente por 
De 3 enrolamentos fase da seqüência zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Abaixo temos os circuitos equivalentes, por fase, de transformadores 
trifásicos de núcleo envolvente com três enrolamentos 
 
 
Transformadores trifásicos Circuito equivalente por 
De 3 enrolamentos fase da seqüência zero 
 
 
 
 
 
 
 57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Linha de transmissão 
 
 
 A linha de transmissão é o elemento mais vulnerável do sistema elétrico. 
Os curto – circuito ocorrem principalmente devido aos defeitos na LT. 
 Outra característica da LT é o fato de ter uma impedância alta, sendo 
portanto, a grande limitadora da corrente de curto –circuito. 
 A impedância da LT fica, predominante, indutiva com o aumento do nível 
de tensão. Deste modo, o ângulo de defasagem da corrente de curto – circuito 
varia com o nível de tensão. 
 
 
Impedância de seqüência positiva 
 
 
 
 
 
Circuito equivalente por fase da seqüência positiva da LT. 
 
 
Impedância de seqüência negativa 
 
 Como a LT é um elemento estático do sistema de energia elétrica, a sua 
performance não se altera com a seqüência de fase energização e o seu 
funcionamento é idêntico para qualquer seqüência de fase balanceada. Deste 
modo, a impedância, por fase, de seqüência negativa, é a mesma de seqüência 
positiva. 
 
Z2 = Z1 
 
 
 58 
Impedância de seqüência zero 
 
 Como as correntes de seqüência zero de cada condutor da linha de 
transmissão são iguais e estão em fase, elas são obrigadas a retornar por 
qualquer caminho que não seja o formado pelos próprios condutores da linha. 
Assim, elas retornam pelo cabo de cobertura (cabo guarda ou cabo para – raio), 
pelo solo sob o percurso da linha e pelo solo seguido a menor distancia entre o 
ponto de defeito e a subestação. 
 
LiberadaTerraLTsobTerraCoberturadeCaboLinhaa IIII ���� ++=3 
 
 De modo geral, a impedância total de seqüência zero da LT com cabo de 
cobertura, com retorno pelaterra, tem seu valor indicado na expressão abaixo. 
 
LTZaZ LT 10 62= 
 
 
Curto Circuito no Sistema Elétrico 
 
 
 Este capitulo destina-se ao estudo do curto – circuito no sistema elétrico. A 
analise aqui desenvolvida é geral, sendo aplicada a sistema elétrico em anel e 
radial. 
 Apesar do defeito ser indesejável, o curto – circuito sempre ocorre em 
pontos aleatórios da rede elétrica. 
 Se os curto – circuitos não forem rapidamente eliminados, os danos nos 
equipamentos que integram a rede elétrica poderão ser elevados. 
 O conhecimento da corrente de curto – circuito atende a diversos objetivos 
importantes, relacionados a seguir: 
• Conhecer a dimensão do seu valor 
• Dimensiona a LT em relação a seu limite suportável de elevação da 
temperatura devido ao curto – circuito. 
• Dimensionar o disjuntor quanto a secção dos seus contatos e a capacidade 
disruptiva da sua câmara de extinção do arco-elétrico. 
• Dimensionar o transformador de corrente (TC) quanto ao nível de 
saturação da sua curva de magnetização definido pela sua classe de 
exatidão. 
• Efetuar a coordenação de relés 
• Analise das sobretensões na freqüência industrial devido ao curto – 
circuito. 
• Conhecer o tempo de atuação do rele, conseqüentemente o tempo da 
eliminação do defeito para analisar as perturbações devido as harmônicas 
e da estabilidade dinâmica do sistema elétrico. 
 
 
 
 
 
 
 59 
Curto – circuito trifásico 
 
 
 É o curto onde todas as correntes são equilibradas, portanto não há 
diferença no curto – circuito trifásico e trifásico - terra. 
 As condições do defeito são: 0=== cVbVaV ��� 
Então 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
�
0
0
0
1
1
111
3
1
2
2
2
1
0
aa
aa
aV
aV
aV
��
��
�
�
�
 
 
Portanto: 
 
0210 === aVaVaV ��� 
 
 
 
 1aI� 2aI� 0aI� 
Seqüência -> Seqüência -> Seqüência -> 
 1aV� = 0 2aV� =0 0aV� = 0 
 Positiva Negativa Zero 
 
 
 Como os circuitos equivalente de seqüência negativa e zero são passivos, 
só há necessidade de apresentar o circuito de seqüência positiva. 
 
 
Exemplo: um gerador síncrono de pólos salientes, com as bobinas da armadura 
ligada em y com característica de placa de 30MVA, 13,8KV, 60Hz, está 
funcionando a vazio com tensões nominais em seus terminais. A reatância 
sub – transitória do eixo direito é igual a 0,2 pu e a reatância de seqüência 
negativa vale 0,25 pu. A reatância de seqüência zero vale 0,08 pu. O 
gerador síncrono está aterrado através de uma reatância de 0,09 pu. Para 
um curto – circuito trifásico nos seus terminais, calcular: 
 
a) As correntes de seqüência 
b) As correntes verdadeiras 
 
 
 
Curto – circuito monofásico – terra 
 
 
 
 
 
 
 60 
 
Pela figura acima conclui-se que 
 
 
0
0
==
=
IcIb
Va
 
 
 Para o curto – circuito monofásico – terra os modelos são ligados em série. 
 
 
 
 Seqüência + Seqüência + Seqüência + 
 1aV� 2aV� 0aV� 
 Positiva - Negativa - zero - 
 
 
 
 
 
Exemplo: O gerador síncrono é o mesmo do exemplo da pagina 59. O gerador 
síncrono está a vazio com tensão nominal nos seus terminais e ocorre 
um curto-circuito monofásico – terra na fase “a” determine: 
a) As correntes de seqüência positiva, negativa e zero. 
b) A corrente que passa no neutro do gerador. 
 
 
 
Curto – circuito bifásico na linha B e C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As condições de defeito são: 
 
 
0
0
=+
=
=
cIbI
cVbV
aI
��
��
�
 
 
 61 
 Os modelos de seqüência positiva e negativa deverão ser ligados em 
paralelo para o curto – circuito bifásico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: O gerador síncrono tem as mesmas características do exemplo da 
pagina 59. O gerador está girando a vazio com tensão nominal nos 
seus terminais e ocorre um cc bifásico na fase B e C. determine: 
a) As correntes de seqüência 
b) A corrente que passa pelo neutro do gerador 
c) As tensões de seqüência no ponto do CC. 
 
 
 
Curto – circuito bifásico – Terra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As condições de defeito são: 
 
 
03
0
0
IaIcIb
VcVb
Ia
=+
==
=
 
 
 
 
 Os modelos de seqüência positiva, negativa e zero deverão ser ligados em 
paralelo. 
 62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: O gerador síncrono é o mesmo do exemplo da pagina 59. O gerador 
está girando a vazio com tensão nominal nos seus terminais e ocorre 
um CC bifásico-Terra nas fases B e C. 
 Determinar: 
a) As correntes de seqüência 
b) A corrente que passa pela terra 
 
 
Exemplo: O sistema elétrico da figura abaixo opera sem carga. Para um CC 
monofásico– Terra na fase “a” da barra “c”, calcular as correntes de CC 
considerando o transformador do núcleo envolvido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 63 
8. ESTABILIDADE EM SISTEMAS DE POTÊNCIA 
 A estabilidade de sistema de potência pode ser definida como a 
propriedade do sistema que permite as máquinas síncronas desse sistema 
responder a um distúrbio, a partir de uma condição de operação de tal maneira a 
retomarem uma condição de operação novamente normal. 
 Estudos de estabilidade são usualmente classificados em três tipos, 
dependendo da natureza e ordem de grandeza do distúrbio. Estes estudos são 
chamados estudo de estabilidade transitória, dinâmica e em regime permanente. 
 Hoje os estudos de estabilidade transitória constituem a principal 
metodologia analítica para o estudo do comportamento dinâmico eletromecânico. 
Estudos de estabilidade transitória são esperados quando se determina que o 
sistema permanecerá em sincronismo após distúrbios significativos tais como 
faltas no sistema de transmissão, variações rápidas de carga, perdas de unidades 
geradoras ou chaveamento de linhas. 
 Atualmente os sistemas de potencia são vastos, sistemas fortemente 
interconectados com varias centenas de máquinas que podem interagir através 
do meio composto das redes com extra alta tensão e ultra alta tensão. Estas 
maquinas tem, associados a elas, sistemas de excitação e sistemas de controle 
turbina – governador que, em alguns casos, devem ser modelados em ordem de 
refletir apropriadamente a resposta dinâmica correta ao sistema de potência para 
certos distúrbios do sistema. 
 Os estudos da estabilidade dinâmica e em regime permanente são menos 
extensivos em escopo e envolvem uma ou algumas poucas máquinas que sofrem 
mudanças lentas ou graduais nas condições de operação. Portanto, os estudos 
de estabilidade dinâmica e de regime permanente referem-se a estabilidade do 
“lócus” dos pontos de operação essenciais em regime permanente do sistema. 
 Estudos de estabilidade transitória são mais comumente efetuados por 
refletirem sua grandiosa importância na pratica. Tais problemas envolvem 
grandes distúrbios que não permitem procedimento de linearização a ser usado e 
as equações algébricas e diferenciais não lineares devem ser resolvidas por 
métodos diretos ou por procedimentos interativos passo a passo. Os problemas 
de estabilidade transitória podem ser subdivididos em problemas de estabilidade 
considerando a primeira oscilação ou multioscilações. A estabilidade da primeira 
oscilação é baseada num modelo razoavelmente simples de gerador sem a 
representação dos sistemas de controle. Usualmente, o período de tempo para 
estudo