Apostila Sistemas Elétricos de Potência

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Universidade Federal de Santa Catarina
Departamento de Engenharia Ele´trica
Curso de Graduac¸a˜o em
Engenharia Ele´trica
INTRODUC¸A˜O AOS SISTEMAS DE
ENERGIA ELE´TRICA
Prof. R. S. Salgado
Floriano´polis - SC
2010.
Suma´rio
1 Sistemas Trifa´sicos 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Conexa˜o Balanceada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Componentes Sime´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Representac¸a˜o no Domı´nio de Sequ¨eˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia 23
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Diagrama Unifilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 O Sistema Por Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Selec¸a˜o dos valores base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Base em Termos de Valores Trifa´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Ma´quinas S´ıncronas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Circuitos Equivalentes e Diagramas Fasoriais . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2 Controle de Poteˆncia da Ma´quina S´ıncrona . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.3 Curva de Capabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 Controle de Tensa˜o do Gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.1 Circuito Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.2 Autotransformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.3 Transformadores Trifa´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.4 Transformadores de Treˆs Enrolamentos . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.5 Transformadores Com Tap Varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6 Linhas de transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7 Cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7.1 Modelo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7.2 Modelo Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Operac¸a˜o das Linhas de Transmissa˜o 71
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 Paraˆmetros das linhas de transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Representac¸a˜o das linhas de transmissa˜o por um quadripolo . . . . . . . . 72
3.4 Equac¸o˜es diferenciais da linha de transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Transfereˆncia de Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
ii SUMA´RIO
3.6 Curvas PV e QV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7 Linhas de transmissa˜o com perdas desprez´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.8 Fluxo de Poteˆncia em Linhas de Transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.9 Compensac¸a˜o de Linhas de Transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.10 Desempenho das linhas de transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4 Fluxo de Poteˆncia 111
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 Conceitos Ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Equac¸o˜es Esta´ticas da Rede Ele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4 Formulac¸a˜o do Problema de Fluxo de Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5 Me´todos de Soluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6 Ajustes e Controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5 Ana´lise de Curto Circuito 147
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.2 Curto-Circuito em Sistemas de Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3 Ma´quina S´ıncrona sob Curto-Circuito Trifa´sico . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 Curto-Circuito Trifa´sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.5 Capacidade de Curto-Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.6 Redes de Sequ¨eˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.7 Faltas Assime´tricas num Gerador a` Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.8 Ana´lise de Faltas Assime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Cap´ıtulo 1
Sistemas Trifa´sicos
1.1 Introduc¸a˜o
A teoria de sistemas trifa´sicos e´ usada no estudo da operac¸a˜o das redes de energia ele´trica
em regime permanente. Os equipamentos utilizados na operac¸a˜o desses sistemas sa˜o na
sua maioria trifa´sicos, o que facilita em muitos casos a aplicac¸a˜o da teoria apresentada
neste cap´ıtulo. Sob condic¸o˜es de curto circuito assime´trico ou mesmo quando uma carga
desequilibrada e´ suprida, as correntes e tenso˜es fasoriais sa˜o desbalanceadas, o que requer
um esforc¸o computacional maior na sua determinac¸a˜o. As sec¸o˜es subsequ¨entes mostram
os me´todos de soluc¸a˜o dos circuitos trifa´sicos, com eˆnfase na representac¸a˜o desses sistemas
atrave´s da sua decomposic¸a˜o em Componentes Sime´tricos. 1
1.2 Conexa˜o Balanceada
Carga conectada em Y
A figura 1.1 mostra uma fonte de tensa˜o trifa´sica, conectada em Y , alimentando uma carga
trifa´sica balanceada (ou equilibrada, sime´trica) conectada em Y . A fonte e´ suposta ideal
e portanto a sua impedaˆncia e´ desprezada. As tenso˜es fase-neutro sa˜o balanceadas, ou
seja, iguais em magnitude e defasadas de 1200. Considerando a sequ¨eˆncia de fase positiva
(ou abc) e tomando o fasor Van como refereˆncia, as tenso˜es complexas sa˜o expressas por
Van = Van∠00 = Vf∠00
Vbn = Vbn∠− 1200 = Vf∠− 1200
Vcn = Vcn∠1200 = Vf∠1200
onde Vf e´ a magnitude da tensa˜o fase-neutro.
1Alguns dos exerc´ıcios propostos no final deste cap´ıtulo foram baseados em [1] e [2].
2 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
+
-
Vcn
+
-
Van
-
+
Vbn
Ic
Ia
Ib
ZY ZY
ZY
n N
Figura 1.1: Carga trifa´sica balanceada conectada em Y
Do circuito da figura 1.1, as tenso˜es de linha (ou fase-fase) sa˜o dadas por
Vab = Van −Vbn
= Vf∠00 − Vf∠− 1200
= Vf (1∠00 − 1∠− 1200)
=
√
3Vf∠300
Vbc = Vbn −Vcn
= Vf∠− 1200 − Vf∠1200
= Vf (1∠− 1200 − 1∠1200)
=
√
3Vf∠− 900
Vca = Vcn −Van
= Vf∠1200 − Vf∠00
= Vf (1∠1200 − 1∠00)
=
√
3Vf∠1500
Portanto, em sistemas trifa´sicos, balanceados, conectados em Y e com sequ¨eˆncia de
fase positiva,
Vab =
√
3Van∠300
Vbc =
√
3Vbn∠300
Vca =
√
3Vcn∠300
(1.1)
isto e´,
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• os fasores tensa˜o de linha possuem mo´dulo igual a √3 vezes a magnitude dos fasores
tensa˜o fase-neutro (VL =
√
3Vf );
• os fasores tensa˜o de linha sa˜o adiantados de 300 em relac¸a˜o aos correspondentes
fasores tensa˜o fase-neutro.
Desde que as tenso˜es fase-fase formam um triaˆngulo que representa um caminho
fechado, a sua soma e´ zero, mesmo para sistemas desbalanceados; isto e´,
Vab +Vbc +Vca = 0
e de maneira ana´loga,
Van +Vbn +Vcn = 0
A diferenc¸a de potencial entre os pontos neutros do gerador e da carga (figura 1.1) e´Vn −VN = VnN = 0.
As correntes de linha podem ser obtidas aplicando-se a lei da tenso˜es de Kirchhoff e
supondo que a impedaˆncia de cada ramo da carga conectada em Y e´ ZY = ZY∠θ, o que
resulta em
Ia =
Van
ZY
=
Vf∠00
ZY∠θ
= IL∠− θ
Ib =
Vbn
ZY
=
Vf∠− 1200
ZY∠θ
= IL∠− 1200 − θ
Ic =
Vcn
ZY
=
Vf∠+ 1200
ZY∠θ
= IL∠+ 1200 − θ
onde IL =
Vf
ZY
e´ a magnitude da corrente de linha.
As correntes de linha do sistema trifa´sico mostrado na figura 1.1 sa˜o iguais em mag-
nitude e defasadas de 1200 e por isso tambe´m sa˜o balanceadas. A corrente no neutro e´
dada por
In = Ia + Ib + Ic
e e´ nula para o circuito trifa´sico em questa˜o. Se o sistema e´ balanceado, a corrente no
neutro e´ zero para qualquer valor de impedaˆncia variando desde curto-circuito ate´ circuito
aberto. Se o sistema na˜o e´ balanceado, as correntes de linha na˜o sera˜o balanceadas e uma
corrente na˜o nula flui entre os pontos n e N .
4 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
A poteˆncia complexa em cada ramo da carga e´ dada por
Sa = VanI
∗
a
= VfIL∠θ
Sb = VbnI
∗
b
= Vf∠− 1200IL∠1200 + θ
= VfIL∠θ
Sc = VcnI
∗
c
= Vf∠+ 1200IL∠− 1200 + θ
= VfIL∠θ
e a poteˆncia complexa trifa´sica e´ expressa como
S3φ = Sa + Sb + Sc
= 3VfIL∠θ
= 3
VL√
3
IL∠θ
e portanto
S3φ =
√
3VLIL∠θ (1.2)
Carga conectada em ∆
A figura 1.2 mostra um sistema trifa´sico, com a fonte conectada em Y e a carga conectada
em ∆. A carga e´ representada por uma impedaˆncia Z∆ = Z∆∠θ. Adotando-se a mesma
sequ¨eˆncia de fases (positiva) e o mesmo fasor de refereˆncia angular (Van) do caso anterior,
as correntes em cada ramo da conexa˜o ∆ sa˜o dadas por
Iab =
Vab
Z∆
=
√
3Vf∠300
Z∆∠θ
Ibc =
Vbc
Z∆
=
√
3Vf∠− 900
Z∆∠θ
Ica =
Vca
Z∆
=
√
3Vf∠1500
Z∆∠θ
Essas correntes sa˜o balanceadas para qualquer valor do aˆngulo da impedaˆncia Z∆ e
possuem magnitude igual a If =
√
3Vf
Z∆
.
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+
-
Vcn
+
-
Van
-
+
Vbn
Ic
Ia
Ib
Z∆
Z∆ Z∆
Figura 1.2: Carga trifa´sica balanceada conectada em ∆
As correntes de linha sa˜o equilibradas e podem ser determinadas atrave´s da aplicac¸a˜o
da lei das correntes de Kirchhoff; isto e´,
Ia = Iab − Ica =
√
3If∠− θ
Ib = Ibc − Iab =
√
3If∠− θ − 1200
Ic = Ica − Ibc =
√
3If∠− θ − 2400
ou, alternativamente,
Ia =
√
3Iab∠− 300
Ib =
√
3Ibc∠− 300
Ic =
√
3Ica∠− 300
(1.3)
Portanto, para uma carga balanceada conectada em ∆ e suprida com tenso˜es trifa´sicas
balanceadas em sequ¨eˆncia de fase positiva,
• a magnitude das correntes de linha e´ igual a √3 vezes a magnitude das correntes
nos ramos da conexa˜o ∆;
• os fasores correntes de linha esta˜o atrasados de 300 em relac¸a˜o aos fasores corre-
spondentes a`s correntes nas fases do ∆.
No caso da carga equilibrada conectada em ∆, a poteˆncia complexa em cada fase e´
6 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
dada por
Sab = VabI
∗
ab
= VL∠300If∠− 300 + θ
= VLIf∠θ
Sbc = VbcI
∗
bc
= VL∠− 900If∠+ 900 + θ
= VLIf∠θ
Sca = VcaI
∗
ca
= VL∠1500If∠− 1500 + θ
= VLIf∠θ
e a poteˆncia complexa trifa´sica e´ expressa como
S3φ = Sa + Sb + Sc
= 3VfIL∠θ
= 3
VL√
3
IL∠θ
e portanto
S3φ =
√
3VLIL∠θ
que e´ a mesma representada pela Eq. (1.2).
Das equac¸o˜es deduzidas anteriormente, o mo´dulo da impedaˆncia da carga conectada
em Y e´ dada por
ZY =
Vf√
3If
e da carga conectada em ∆ e´ expressa como
Z∆ =
√
3Vf
If
Se as cargas conectadas em Y e ∆ sa˜o equivalentes, a combinac¸a˜o dessas equac¸o˜es
fornece a relac¸a˜o
ZY =
Z∆
3
Na soluc¸a˜o de circuitos trifa´sicos balanceados, apenas uma fase precisa ser analisada.
As conexo˜es ∆ sa˜o convertidas em Y , com o neutro das cargas e dos geradores aterrados
por um condutor de impedaˆncia infinita. Com este artif´ıcio, o circuito correspondente a
uma fase e´ resolvido e as correntes e tenso˜es nas outras fases sa˜o iguais em magnitude a
da fase em ana´lise e defasadas de 1200.
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Ex. 1.1 Um alimentador trifa´sico, operando na tensa˜o de 380 V, supre uma carga bal-
anceada conectada em ∆, constitu´ıda por treˆs impedaˆncias iguais a 24 + j18 Ω/fase. A
linha que conecta a fonte e a carga tem uma impedaˆncia igual a Zl = 0, 087 + j0, 996
Ω/fase. Adote o fasor tensa˜o Vab como refereˆncia, a sequ¨eˆncia de fases positiva (abc) e
determine:
1. os fasores corrente de linha e em cada fase do ∆;
2. as tenso˜es complexas nos terminais da carga e a queda de tensa˜o na linha de trans-
missa˜o;
3. as poteˆncias complexas absorvida pela carga e fornecida pela fonte, a perda de
poteˆncia ativa e reativa no sistema de transmissa˜o;
4. os fatores de poteˆncia com que operam a fonte e a carga;
5. o balanc¸o de poteˆncia do sistema trifa´sico;
6. o diagrama fasorial das correntes e tenso˜es;
7. o rendimento e a regulac¸a˜o do sistema de transmissa˜o;
8. a compensac¸a˜o reativa necessa´ria para tornar o fator de poteˆncia da carga 0,9
atrasado;
9. o valor da impedaˆncia por fase correspondente a compensac¸a˜o calculada no item
anterior, supondo que a magnitude da tensa˜o na carga e´ mantida constante.
1.3 Componentes Sime´tricos
Quando um sistema de poteˆncia opera sob condic¸o˜es desequilibradas (por ocorreˆncia de
faltas ou suprimento de cargas assime´tricas) as correntes e tenso˜es sa˜o desbalanceadas.
Neste caso, a aplicac¸a˜o de me´todos convencionais para a determinac¸a˜o da soluc¸a˜o desses
circuitos, baseados no uso direto da ana´lise de malhas ou de no´s, resulta num aumento de
complexidade do problema. Entretanto as dificuldades encontradas neste tipo de ana´lise
podem ser superadas utilizando-se a Decomposic¸a˜o em Componentes Sime´tricas, proposta
por C. L. Fortescue em 1918.
Segundo o Teorema de Fortescue, treˆs fasores desequilibrados podem ser decompostos
em treˆs sistemas de fasores equilibrados, caracterizados da seguinte forma:
• componentes de sequ¨eˆncia positiva, representados por um sistema de treˆs fasores de
mesmo mo´dulo, defasados de 1200 entre si e com a mesma sequ¨eˆncia de fase dos
fasores originais.
• componentes de sequ¨eˆncia negativa, representados por um sistema de treˆs fasores
de mesmo mo´dulo, defasados de 1200 entre si e com sequ¨eˆncia de fase oposta a` dos
fasores originais.
8 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
• componentes de sequ¨eˆncia zero, representados por treˆs fasores iguais (isto e´, de
mesmo mo´dulo e mesmo aˆngulo).
A figura 1.3 mostra a representac¸a˜o dos treˆs sistemas de componentes sime´tricas.
Sequ¨eˆncia positiva Sequ¨eˆncia negativa Sequ¨eˆncia zero
Sistema desbalanceado
Va1
Vb1
Vc1
Va2
Vb2Vc2
Va0
Vb0
Vc0
Va1
Va2
Va0
Va
Vb1
Vb2
Vb0
Vb
Vc1
Vc2
Vc0
Vc
fase a fase b fase c
Figura 1.3: Representac¸a˜o dos componentes sime´tricos
O fasor original e´ definido como a soma dos componentes correspondentes em cada
sistema. As correntes trifa´sicas de linha sa˜o expressas por
Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2
Ib = Ib0 + Ib1 + Ib2
Ic = Ic0 + Ic1 + Ic2
(1.4)
onde os fasores Ia, Ib e Ic pertencem ao domı´nio de fase e os fasores Ia0, Ia1, Ia2, Ib0,
Ib1, Ib2, Ic0, Ic1 e Ic2 pertencem ao domı´nio de sequ¨eˆncia. Observe que conhecendo-se as
componentes de sequ¨eˆncia de uma fase, as componentes de sequ¨eˆncia das outras fases sa˜o
automaticamente determinadas com base no Teorema de Fortescue.
Visando simplificar a Eq. (1.4), seja o operador a definido como
a = 1∠1200
= cos 1200 + j sin 1200
= −1
2
+ j
√
3
2
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o qual aplicado a um fasor gira o mesmo de 1200 sem alterar o seu mo´dulo. As componentes
de sequ¨eˆncia podem ser expressas em func¸a˜o das grandezas correspondentes a` fase a, tal
que a Eq. (1.4) e´ re-escrita como
Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2Ib = Ia0 + a
2Ia1 + aIa2
Ic = Ia0 + aIa1 + a
2Ia2
(1.5)
ou em forma matricial,  IaIb
Ic
 =
 1 1 11 a2 a
1 a a2
 Ia0Ia1
Ia2
 (1.6)
e na forma compacta,
If = AIs (1.7)
onde If e Is sa˜o vetores coluna de ordem 3× 1, cujas componentes sa˜o os fasores corrente
dos domı´nios de fase e sequ¨eˆncia, respectivamente; e A e´ uma matriz de ordem 3 × 3
expressa por
A =
 1 1 11 a2 a
1 a a2

As Eqs. (1.6) e (1.7) podem ser re-escritas como Ia0Ia1
Ia2
 = 1
3
 1 1 11 a a2
1 a2 a
 IaIb
Ic
 (1.8)
e
Is = A
−1If (1.9)
Portanto, A e A−1 sa˜o matrizes de transformac¸a˜o, que convertem respectivamente
fasores do domı´nio de sequ¨eˆncia para o domı´nio de fase e vice-versa.
No caso dos fasores tensa˜o, as expresso˜es correspondentes as Eqs. (1.6), (1.7), (1.8) e
(1.9) sa˜o
Vf = AVs ⇒
 VanVbn
Vcn
 =
 1 1 11 a2 a
1 a a2
 Va0Va1
Va2
 (1.10)
e
Vs = A
−1Vf ⇒
 Va0Va1
Va2
 = 1
3
 1 1 11 a a2
1 a2 a
 VanVbn
Vcn
 (1.11)
onde as componentes de sequ¨eˆncia das Eqs. (1.10) e (1.11) referem-se aos fasores tensa˜o
fase-neutro. Observe que expresso˜es semelhantes a essas equac¸o˜es podem ser escritas para
os fasores tensa˜o de linha (fase-fase), utilizando as mesmas matrizes de transformac¸a˜o.
Ex. 1.2 Calcular os componentes sime´tricos:
10 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
1. das tenso˜es trifa´sicas fase-neutro de magnitude 380 V, tomando o fasor Van como
refereˆncia e sequ¨eˆncia de fases positiva;
2. das correntes de linha trifa´sicas de magnitude 15 A, tomando o fasor Ia como re-
fereˆncia e sequ¨eˆncia de fases positiva;
3. das correntes fasoriais de linha Ia = 10∠300, Ib = 15∠1500 e Ic = 10∠− 1200.
1.4 Representac¸a˜o no Domı´nio de Sequ¨eˆncia
Os modelos dos principais componentes do sistema de poteˆncia utilizados para a aplicac¸a˜o
da decomposic¸a˜o em componentes sime´tricas sa˜o apresentados a seguir. O procedimento
para estabelecer estes modelos consiste basicamente em determinar as relac¸o˜es tensa˜o-
corrente que representam analiticamente o componente no domı´nio de fase e converter
essas grandezas para o domı´nio de sequ¨eˆncia utilizando as Eqs. (1.6) e (1.10).
Cargas Esta´ticas
Seja uma carga constitu´ıda de treˆs impedaˆncias Zy, conectadas em Y , aterrada atrave´s
da impedaˆncia Zn, conforme mostra a figura 1.4.
Ia
a
Zc
Ib
b
Za Zb
Zn
In
c
t - no´ de terra
Ic
Figura 1.4: Carga conectada em Y -aterrado
Os fasores tensa˜o de cada fase ao no´ de terra sa˜o dados por
Vat = (Za + Zn)Ia + ZnIb + ZnIc
Vbt = ZnIa + (Zb + Zn)Ib + ZnIc
Vct = ZnIa + ZnIb + (Zc + Zn)Ic
(1.12)
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tal que, o re-arranjo dos termos resulta na seguinte equac¸a˜o matricial: VatVbt
Vct
 =
 (Za + Zn) Zn ZnZn (Zb + Zn) Zn
Zn Zn (Zc + Zn)
 IaIb
Ic
 (1.13)
a qual e´ expressa na forma compacta como
Vf = ZfIf (1.14)
onde o ı´ndice f indica que os componentes desta equac¸a˜o pertencem ao domı´nio de fase.
As tenso˜es e correntes dos domı´nios de fase e sequ¨eˆncia sa˜o relacionadas por
Vf = AVs If = AIs
de forma que a Eq. (1.14) pode ser re-escrita como
Vs = ZsIs
onde Vs e Is sa˜o vetores cujos termos sa˜o os componentes sime´tricos da tensa˜o fase-terra
e da corrente de linha, e Zs = A
−1ZfA e´ a matriz impedaˆncia convertida ao domı´nio de
sequ¨eˆncia, a qual e´ dada por
Zs =
1
3
 Za + Zb + Zc + 9Zn Za + a2Zb + aZc Za + aZb + a2ZcZa + aZb + a2Zc Za + Zb + Zc Za + a2Zb + aZc
Za + a
2Zb + aZc Za + aZb + a
2Zc Za + Zb + Zc
 (1.15)
e portanto Va0Va1
Va2
 = 1
3
 Za + Zb + Zc + 9Zn Za + a2Zb + aZc Za + aZb + a2ZcZa + aZb + a2Zc Za + Zb + Zc Za + a2Zb + aZc
Za + a
2Zb + aZc Za + aZb + a
2Zc Za + Zb + Zc
 Ia0Ia1
Ia2

(1.16)
As Eqs. (1.13) e (1.16) representam analiticamente o sistema da figura 1.4 nos domı´nios
de fase e sequ¨eˆncia, respectivamente. Se a carga e´ balanceada,
Za = Zb = Zc = Zy
e a Eq. (1.16) e´ re-escrita como Va0Va1
Va2
 =
 Zy + 3Zn 0 00 Zy 0
0 0 Zy
 Ia0Ia1
Ia2
 (1.17)
A Eq. (1.17) consiste de treˆs equac¸o˜es desacopladas, que podem ser representadas em
termos de circuitos monofa´sicos de sequ¨eˆncia positiva, negativa e zero, conforme mostra
a figura 1.4.
No domı´nio de fase, a corrente que flui no neutro do sistema trifa´sico e´ dada por
In = Ia + Ib + Ic
12 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
Zy
-
Ia1 Zy Ia2
-
Zy Ia0
-
3Zn
+
Va1
+
Va2
+
Va0
Sequencia Positiva Sequencia Negativa Sequencia Zero
Figura 1.5: Circuitos de sequ¨eˆncia da carga conectada em Y-aterrado
e desde que
Ia1 + Ib1 + Ic1 = 0
Ia2 + Ib2 + Ic2 = 0
enta˜o
Ia + Ib + Ic = 3Ia0
e portanto
In = 3Ia0
As cargas conectadas em Y solidamente aterrado, Y sem aterramento e ∆ sa˜o casos
particulares da carga conectada em Y -aterrado. Nos dois primeiros casos, as impedaˆncias
do neutro valem respectivamente Zn = 0 e Zn = ∞. A carga em ∆ e´ equivalente a uma
carga conectada em Y sem aterramento, casos nos quais a soma fasorial das correntes de
linha e´ zero; isto e´,
Ia + Ib + Ic = 0
o que implica em
Ia0 = 0
Portanto, as correntes de sequ¨eˆncia zero existem apenas em sistemas trifa´sicos dese-
quilibrados e com neutro aterrado.
Impedaˆncias Se´rie das Linhas de Transmissa˜o
A figura 1.6 mostra uma linha de transmissa˜o na qual apenas os paraˆmetros se´rie (sem o
efeito das indutaˆncias mu´tuas) sa˜o considerados.
A queda de tensa˜o no domı´nio de fase e´ dada por Vaa¯Vbb¯
Vcc¯
 =
 Van −Va¯nVbn −Vb¯n
Vcn −Vc¯n
 =
 Zlt 0 00 Zlt 0
0 0 Zlt
 IaIb
Ic
 (1.18)
ou na forma compacta
Vf −Vf¯ = ZfIf
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 13
a¯
b¯
c¯
n
Zlt
Zlt
Zlt
a
b
c
Figura 1.6: Linha de transmissa˜o
De forma ana´loga ao caso da carga esta´tica,
Vf = AVs
Vf¯ = AVs¯
If = AIs
tal que
Vs −Vs¯ = A−1ZfAIs
e portanto  Va0 −Va¯0Va1 −Va¯1
Va2 −Va¯2
 =
 Z0 0 00 Z1 0
0 0 Z2
 Ia0Ia1
Ia2
 (1.19)
onde Va0, Va¯0, Va1, Va¯1, Va2 e Va¯2 sa˜o as componentes de sequ¨eˆncia das tenso˜es com-
plexas na entrada e na sa´ıda da linha de transmissa˜o, respectivamente; Z0, Z1 e Z2 sa˜o as
impedaˆncias de sequ¨eˆncia da linha de transmissa˜o (em geral fornecidas pelos fabricantes
ou determinadas atrave´s de ensaios apropriados), e Ia0, Ia1 e Ia2 sa˜o as componentes de
sequ¨eˆncia das correntes de linha. As componentes da Eq. (1.19) sa˜o desacopladas e podem
ser representadas pelos circuitos da figura 1.7.
A linha de transmissa˜o e´ um componente esta´tico do sistema de poteˆncia e portanto
suas impedaˆncias de sequ¨eˆncia positiva e negativa sa˜o iguais. E´ dif´ıcil determinar com
precisa˜o a sua impedaˆncia de sequ¨eˆncia zero porque as correntes de sequ¨eˆncia zero podem
retornar pelos mais variados caminhos, tais como o cabo de cobertura, o aterramento, as
torres da linha etc. Ale´m disso, a impedaˆncia da terra depende do tipo de solo, umidade
e outros fatores, tal que no ca´lculo desta impedaˆncia costuma-se se fazer hipo´teses simpli-
ficadoras em relac¸a˜o a` distribuic¸a˜o das correntes. Por esta raza˜o, o valor da impedaˆncia
de sequ¨eˆncia zero e´ o paraˆmetro com menor precisa˜o em estudos de curto circuito, sendo
recomenda´vel obter esse paraˆmetro por meio de ensaios de campo. Em primeira aprox-
imac¸a˜o pode-se tomar Z0 = 3 a 3,5 Z1.
Ma´quina S´ıncronas
A figura 1.8 mostra um gerador s´ıncrono, com as bobinas da armadura conectadas em
Y -aterrado. Cada fase e´ composta por uma fonte de tensa˜o independente, representando
14 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
- - -
Sequencia Positiva Sequencia Negativa Sequencia Zero
+ ++
Ia0Ia1 Ia2Z1 Z2 Z0
- --
+ + +
Va1 Va2 Va0Va¯1 Va¯2 Va¯0
Figura 1.7: Circuitosde sequ¨eˆncia da linha de transmissa˜o
a tensa˜o interna do gerador Ef e a impedaˆncia da bobina da armadura Zg.
Zg Zg
Zg
Ib
Ia
In
Ic
Zn
+
-
Efa
Efc
Efb
+
-
+
-
a
b
ct: no´ de terra
Figura 1.8: Gerador s´ıncrono com as bobinas da armadura conectadas em Y -aterrado.
Neste caso, o fasor tensa˜o da fase a ao no´ de terra e´ dado por
Vat = −ZgIa + Efa − ZnIn
onde a corrente no neutro e´ expressa por
In = Ia + Ib + Ic
e portanto
Vat = −(Zg + Zn)Ia + Efa − ZnIb − ZnIc (1.20)
Expresso˜es semelhantes a` Eq. (1.20) podem ser estabelecidas para as fases b e c, tal
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 15
que a seguinte equac¸a˜o matricial e´ obtida: VatVbt
Vct
 = −
 (Zg + Zn) Zn ZnZn (Zg + Zn) Zn
Zn Zn (Zg + Zn)
 IaIb
Ic
+
 EfaEfb
Efc
 (1.21)
a qual representa analiticamente o gerador s´ıncrono da figura 1.8 e pode ser expressa na
forma compacta no domı´nio de fase como
Vf = −ZfIf + Ef (1.22)
Expressando as tenso˜es e correntes da Eq. (1.22) no domı´nio de sequ¨eˆncia obte´m-se Va0Va1
Va2
 = −
 Zg0 + 3Zn 0 00 Zg1 0
0 0 Zg2
 Ia0Ia1
Ia2
+
 0Efa
0
 (1.23)
onde Zg1 , Zg2 e Zg0 sa˜o as impedaˆncias se sequ¨eˆncia positiva, negativa e zero, respectiva-
mente, do gerador s´ıncrono. Essas impedaˆncias sa˜o determinadas em ensaios baseados na
relac¸a˜o tensa˜o-corrente da ma´quina s´ıncrona. Por exemplo, a impedaˆncia de sequ¨eˆncia
positiva e´ determinada atrave´s do ensaio de curto circuito no gerador s´ıncrono. De maneira
ana´loga, as impedaˆncias de sequ¨eˆncia negativa e zero sa˜o determinadas submetendo-se este
equipamento a`s tenso˜es trifa´sicas de sequ¨eˆncia negativa e zero, respectivamente. Esses
valores sa˜o geralmente fornecidos pelos fabricantes.
A Eq. (1.23) representa analiticamente o gerador s´ıncrono da figura 1.8 no domı´nio de
sequ¨eˆncia. E´ fa´cil observar que as equac¸o˜es correspondentes a`s componentes de sequ¨eˆncia
positiva, negativa e zero sa˜o desacopladas, podendo cada uma ser representada por um
circuito de sequ¨eˆncia, conforme mostra a figura 1.9.
Efa
+
-
Zg1
+
Va1
-
Ia1 Zg2 Ia2
+
Va2
-
Zg0 Ia0
+
Va0
-
Sequencia Positiva Sequencia Negativa Sequencia Zero
3Zn
Figura 1.9: Circuitos de sequ¨eˆncia do gerador s´ıncrono
Observe que estes circuitos sa˜o simplificados, sendo desprezados os efeitos de salieˆncia
de po´los, saturac¸a˜o e outros fenoˆmenos transito´rios mais complexos. Os circuitos de
sequ¨eˆncia do motor s´ıncrono sa˜o semelhantes aos do gerador, exceto pelo sentido das
componentes de sequ¨eˆncia da corrente em cada circuito. No caso do motor de induc¸a˜o,
desde que o enrolamento de campo (rotor) destes equipamentos na˜o e´ excitado por corrente
cont´ınua, a fonte independente que representa a forc¸a eletromotriz interna e´ removida
(substitu´ıda por uma impedaˆncia nula ou curtocircuitada).
16 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
Ex. 1.3 Considere um sistema trifa´sico onde as seguintes treˆs cargas conectadas em par-
alelo sa˜o supridas por um a alimentador operando na tensa˜o de 380 V:
• carga 1: conectada em ∆ e constitu´ıda por treˆs impedaˆncias iguais a 24+j18 Ω/fase;
• carga 2: conectada em Y solidamente aterrado e constitu´ıda por treˆs reataˆncias
capacitivas iguais a 5 Ω/fase;
• carga 3: conectada em Y aterrado por uma reataˆncia indutiva igual a 2 Ω e con-
stitu´ıda por treˆs impedaˆncias iguais a 12 + j9 Ω/fase;
As impedaˆncias de sequ¨eˆncia da linha de transmissa˜o que conecta a fonte a` carga sa˜o
iguais a Z1 = Z2 = 0,087 + j0,996 Ω/fase, e Z0 = 0,25 + j2,88 Ω/fase.
1. determine os circuitos de sequ¨eˆncia que representam este sistema;
2. calcule os fasores corrente de linha que suprem cada carga;
3. as poteˆncias complexas absorvida pela carga total e fornecida pela fonte, a perda de
poteˆncia ativa e reativa no sistema de transmissa˜o;
4. os fatores de poteˆncia com que operam a fonte e a carga;
5. o balanc¸o de poteˆncia do sistema trifa´sico;
1.5 Exerc´ıcios
1.1 Um alternador trifa´sico com valores de placa 25 kVA, 380 volts, 60 Hz opera sob
condic¸o˜es balanceadas, suprindo uma corrente de linha de 20A por fase, com fator de
poteˆncia 0,8 atrasado e tensa˜o nominal.
1. Determinar o triaˆngulo de poteˆncias nesta condic¸a˜o de operac¸a˜o.
2. Determinar a impedaˆncia da carga por fase:
• se a carga esta´ conectada em Y ;
• se a carga esta´ conectada em ∆.
1.2 Considere duas cargas balanceadas, ambas conectadas em Y , uma absorvendo 10 kW
a um fator de poteˆncia 0,8 atrasado e a outra absorvendo 15 kW a um fator de poteˆncia
0,9 atrasado. Estas cargas sa˜o conectadas em paralelo e supridas por uma fonte trifa´sica
balanceada numa tensa˜o de 480 V.
1. Determine os fasores corrente na fonte.
2. Qual o fator de poteˆncia da carga total e da fonte sob essa condic¸a˜o de operac¸a˜o?
3. Se o neutro da carga e´ conectado ao neutro da fonte por um condutor de impedaˆncia
nula, qual a corrente neste condutor?
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 17
1.3 Treˆs impedaˆncias iguais a 30∠300 Ω, conectadas em ∆, sa˜o supridas por uma
fonte de tensa˜o trifa´sica balanceada de 220 V, atrave´s de treˆs condutores ideˆnticos com
impedaˆncia 0,8+j0,6 Ω por fase.
1. Calcule a tensa˜o fase-fase nos terminais da carga;
2. Calcule a poteˆncia complexa total fornecida pela fonte e as perdas de poteˆncia nas
linhas de transmissa˜o;
3. Repita os itens anteriores supondo que um banco de capacitores em ∆ com impedaˆncia
de -60j S/fase esta´ conectado em paralelo com a carga. Quais as vantagens desta
condic¸a˜o em termos de magnitude da tensa˜o na carga, correntes na rede trifa´sica e
perdas no sistema de transmissa˜o?
1.4 Num sistema trifa´sico balanceado, dois geradores suprem uma carga atrave´s de duas
linhas de transmissa˜o. A carga absorve 30 kW a um fator de poteˆncia 0,8 atrasado.
As impedaˆncias das linhas de transmissa˜o entre os geradores G1 e G2 e a carga sa˜o
respectivamente 1,4+j1,6 Ω/fase e 0,8+j1,0 Ω/fase. Se o gerador G1 supre 15 Kw a um
fator de poteˆncia 0,8 atrasado e a uma tensa˜o de 460 V, determine:
1. a tensa˜o nos terminais da carga e nos terminais do gerador G2;
2. as poteˆncias ativa e reativa suprida pelo gerador G2;
3. as perdas de poteˆncia ativa e reativa nas linhas de transmissa˜o.
1.5 Os terminais de uma fonte trifa´sica sa˜o denotados por a, b e c. Entre qualquer
par de terminais um volt´ımetro mede 115 V. Um resistor de 100 Ω e uma reataˆncia
capacitiva de 100 Ω na frequ¨eˆncia da fonte esta˜o conectados em se´rie de a para b, com
o resistor conectado em a. O ponto de conexa˜o desses elementos entre si e´ denotado
por n. Determine geometricamente a leitura do volt´ımetro entre os terminais c e n, nas
sequ¨encias de fase positiva (abc) e negativa (acb).
1.6 Determine a corrente fornecida por uma linha de transmissa˜o trifa´sica, com impedaˆncia
igual a 0,3+j1,0 Ω/fase, a um motor trifa´sico de 15 HP, operando a plena carga, com
90 % de rendimento, fator de poteˆncia de 80 % em atraso e tensa˜o de 440 V. Calcule
a magnitude da tensa˜o e a poteˆncia complexa na entrada da linha de transmissa˜o, e a
poteˆncia complexa absorvida pela mesma. (1 HP(horse power) = 745,7 watts.)
1.7 Uma carga ∆ equilibrada, composta de resisteˆncias de 15 Ω/fase, esta´ em paralelo
com uma carga Y equilibrada com impedaˆncia de 8+j6 Ω/fase. O sistema de transmissa˜o
que conecta as cargas a uma fonte trifa´sica de 110 V e´ constitu´ıdo por linhas de trans-
missa˜o com impedaˆncia de 2+j5 Ω/fase. Determinar a corrente absorvida da fonte, a
tensa˜o de linha no ponto correspondente a combinac¸a˜o das cargas e a poteˆncia complexa
total (com o respectivo fator de poteˆncia) fornecida pelo gerador.
18 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
1.8 Uma planta industrial necessita instalar um compressor para recalcar a´guade um
poc¸o semi-artesiano. O compressor e´ alimentado por uma linha trifa´sica, conectada no
secunda´rio do transformador da subestac¸a˜o de suprimento local. A tensa˜o no secunda´rio
do transformador trifa´sico e´ de 220 V, a corrente absorvida pelo motor do compressor e´
de 100 A, com fator de poteˆncia 0,7 indutivo, e a linha trifa´sica tem uma impedaˆncia de
0,1 +j 0,05 Ω/fase. Determine:
1. os fasores das tenso˜es de fase e de linha no motor e no secunda´rio do transformador;
2. as poteˆncias ativa e reativa absorvidas pelo motor do compressor e fornecidas pelo
secunda´rio do transformador;
3. a capacidade de um banco trifa´sico de capacitores que deve ser ligado em paralelo
com o motor do compressor a fim de que o conjunto trabalhe com fator de poteˆncia
0,9 indutivo;
4. as poteˆncias ativa e reativa fornecidas pelo secunda´rio do transformador, nas condic¸o˜es
de operac¸a˜o do item anterior, supondo que tensa˜o no conjunto compensac¸a˜o-carga
permanece constante.
1.9 Uma carga trifa´sica absorve 250 kW com um fator de poteˆncia de 0,707 em atraso
atrave´s de uma linha de transmissa˜o trifa´sica de 400 V. Esta carga esta´ conectada em
paralelo com um banco trifa´sico de capacitores de 60 kVar. Determinar a corrente total
fornecida pela fonte e o fator de poteˆncia resultante. Repita estes ca´lculos excluindo o
banco de capacitores e compare os valores da corrente fornecida pela fonte.
1.10 Um motor trifa´sico absorve 20 kVA com fator de poteˆncia de 0,707 em atraso, de
uma fonte de 220 V. Especifique os valores nominais (em kVar) de um banco trifa´sico de
capacitores, necessa´rio para elevar o fator de poteˆncia do conjunto carga-banco a 0,90 em
atraso. Determine a corrente de linha antes e depois da adic¸a˜o do banco de capacitores,
supondo que a magnitude da tensa˜o da fonte permanece constante.
1.11 Um motor de induc¸a˜o trifa´sico requer 6 kW com o fator de poteˆncia 0,8 em atraso.
Determinar os valores de um banco de capacitores conectados em Y de forma a produzir
um fator de poteˆncia unita´rio no sistema, quando colocado em paralelo com o motor, num
sistema balanceado de 250 V e frequ¨eˆncia de 60 Hz.
1.12 Um sistema trifa´sico balanceado de 450 V alimenta duas cargas conectadas em
paralelo. A primeira esta´ conectada em Y e possui uma impedaˆncia de 20-j10 Ω/fase
enquanto a segunda esta´ ligada em ∆ e possui impedaˆncia de 15+j30 Ω/fase. Determinar
a corrente de linha, a poteˆncia fornecida a` cada carga e os fatores de poteˆncia individual
e do conjunto de cargas.
1.13 Uma carga balanceada em ∆ e´ alimentada por um sistema trifa´sico de 240 V. A
corrente de linha e´ 10 A. Um watt´ımetro com sua bobina de corrente em uma linha e sua
bobina de tensa˜o entre as outras duas linhas registra a poteˆncia de 1500 W. Determinar
a impedaˆncia da carga.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 19
1.14 Duas cargas trifa´sicas associadas em paralelo sa˜o supridas por uma fonte atrave´s
de um sistema de transmissa˜o de impedaˆncia igual a 0,1+j1,0 Ω/fase. A primeira carga
e´ um motor de 7,5 kW, fornecendo a sua poteˆncia nominal, numa tensa˜o de 440 V, com
rendimento de 90% e fator de poteˆncia 0,8 em atraso. A segunda carga e´ representada
por treˆs impedaˆncias de 20,0+j50,0 Ω, conectadas em ∆. Calcular:
1. a corrente de linha qua alimenta a carga total;
2. o valor da tensa˜o na fonte;
3. as perdas de poteˆncia ativa e reativa (por fase) na linha de transmissa˜o;
4. a poteˆncia complexa fornecida pela fonte com o correspondente fator de poteˆncia;
5. o diagrama fasorial das correntes e tenso˜es na carga total.
1.15 Um gerador trifa´sico operando na tensa˜o de 380 volts supre, atrave´s de uma linha
de transmissa˜o com impedaˆncia 0,1 + j1,0 Ω/fase, uma carga trifa´sica que absorve uma
corrente de 50 Ampe´res com fator de poteˆncia 0,8 em atraso. Supondo sequ¨eˆncia de
fases positiva e tomando o fasor tensa˜o fase-neutro na fase a da carga como refereˆncia,
determinar:
1. os fasores tensa˜o de fase e de linha na carga e no gerador;
2. as poteˆncias ativa e reativa na carga e no gerador;
3. a impedaˆncia por fase de uma conexa˜o ∆, que associada em paralelo com a carga
torna unita´rio o fator de poteˆncia desta;
4. a magnitude da corrente fornecida pelo gerador apo´s a adic¸a˜o da compensac¸a˜o
reativa, supondo constante a magnitude da tensa˜o do gerador.
1.16 Duas cargas trifa´sicas conectadas em paralelo sa˜o supridas por um gerador s´ıncrono,
com bobinas da armadura conectadas em Y e reataˆncia s´ıncrona de 0,5 Ω/fase, atrave´s de
uma linha de transmissa˜o de impedaˆncia 0,5 + j0,5 Ω/fase. A tensa˜o interna do gerador e´
380 V. A carga 1 consiste de treˆs impedaˆncias de 6,0 + j9,0 Ω conectadas em ∆ e a carga
2 e´ composta de treˆs admitaˆncias de 0,12+j0,16 S conectadas em Y. Supondo sequ¨eˆncia
de fases positiva e adotando o fasor tensa˜o Vab como refereˆncia, determinar:
1. os fasores corrente na linha de transmissa˜o;
2. a poteˆncia complexa suprida a` carga;
3. a perda de poteˆncia complexa na linha de transmissa˜o;
4. o fator de poteˆncia com que opera cada uma das cargas, a carga total e o gerador
s´ıncrono;
5. os fasores corrente em cada fase da carga conectada em ∆.
20 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
1.17 Num sistema trifa´sico, um gerador s´ıncrono com valores de placa: 200 MVA, 16
kV, bobinas da armadura conectadas em Y com reataˆncia s´ıncrona de 3 Ω/fase e fator
de poteˆncia 0,8 atrasado, supre uma carga trifa´sica, na tensa˜o nominal, atrave´s de um
sistema de transmissa˜o de impedaˆncia desprez´ıvel. A carga consome 100 MVA com fator
de poteˆncia 0,8 em avanc¸o. Adotando a sequ¨eˆncia de fases positiva e o fasor Van como
refereˆncia, calcular:
1. o triaˆngulo de poteˆncia da carga;
2. os fasores corrente de linha que suprem a carga;
3. a impedaˆncia por fase correspondente a` carga, supondo esta conectada em ∆;
4. a poteˆncia complexa fornecida pelo gerador com o correspondente fator de poteˆncia;
5. o diagrama fasorial das correntes e tenso˜es trifa´sicas na sa´ıda do gerador s´ıncrono;
6. a compensac¸a˜o reativa necessa´ria pata tornar o fator de poteˆncia da carga compen-
sada igual a 0,95 adiantado.
1.18 Uma fonte conectada em Y -solidamente aterrado opera com tenso˜es fase-terra
iguais a Vat = 277∠00 V, Vbt = 260∠ − 1200 V e Vct = 295∠1150 V, suprindo uma
carga trifa´sica representada pela matriz de impedaˆncias
Zf =
 10 + j30 5 + j20 5 + j205 + j20 10 + j30 5 + j20
5 + j20 5 + j20 10 + j30
 Ω
1. Determinar os circuitos de sequ¨eˆncia do sistema trifa´sico.
2. Calcular os componentes sime´tricos da tensa˜o fase-terra na entrada da linha de
transmissa˜o e na carga.
3. Calcular a corrente e a poteˆncia complexa nos circuitos de sequ¨eˆncia.
4. Determinar as correntes de linha que suprem a carga e a poteˆncia complexa suprida
a carga trifa´sica.
1.19 Uma fase de um gerador trifa´sico opera em aberto enquanto as outras duas fases sa˜o
curto circuitadas a` terra, circulando nas mesmas as correntes fasoriais Ib = 1000∠1500 A
e Ic = 1000∠300 A. Determinar os componentes sime´tricos destas correntes e a corrente
que flui atrave´s do neutro do gerador.
1.20 Dadas as tenso˜es fase-terra Vat = 280∠00 V, Vbt = 250∠ − 1100 V e Vct =
290∠1300 V:
1. calcule as componentes de sequ¨eˆncia das tenso˜es fase-terra;
2. calcule as tenso˜es fasoriais de linha e os componentes de sequ¨eˆncia correspondentes;
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 21
3. verifique a relac¸a˜o entre as tenso˜es de fase e de linha dos componentes de sequ¨eˆncia
das tenso˜es.
1.21 As correntes fasoriais numa carga conectada em ∆ sa˜o: Iab = 10∠00 A, Ibc =
15∠− 900 A e e Ica = 20∠900 A. Determine:
1. as componentes de sequ¨eˆncia das correntes nas fases da conexa˜o ∆;
2. as correntes de linha que suprem a carga e suas correspondentes componentes de
sequ¨eˆncia;
3. verifique a relac¸a˜o entre as correntesde fase e de linha dos componentes de sequ¨eˆncia
das correntes.
1.22 Num sistema trifa´sico, tenso˜es fase-terra iguais a Vat = 280∠00 V, Vbt = 250∠−
1100 V e Vct = 290∠1300 V suprem uma carga balanceada conectada em Y solidamente
aterrado, composta de impedaˆncias iguais a 12 + j16 Ω/fase. Determine os circuitos de
sequ¨eˆncia do sistema e calcule as correntes de linha e suas correspondentes componentes
de sequ¨eˆncia.
1.23 Repita o problema anterior para os seguintes casos:
1. supondo que a fonte e a carga sa˜o conectadas por uma linha de transmissa˜o de
impedaˆncia 3 + j4 Ω/fase;
2. supondo que a conexa˜o da carga e´ Y na˜o aterrado;
3. supondo que a conexa˜o da carga e´ ∆ consistindo de impedaˆncias de 12 + j16 Ω/fase;
4. supondo que a carga consiste de uma conexa˜o Y composta de impedaˆncias de 3+j4
Ω/fase, com neutro aterrado por uma reataˆncia indutiva de 2 Ω. Considere que
a carga e´ compensada por um banco de capacitores conectado em ∆, composto de
reataˆncias de 30 Ω/fase.
1.24 Num sistema trifa´sico, um gerador s´ıncrono supre um motor atrave´s de uma linha
de transmissa˜o com impedaˆncia 0.5∠800 Ω/fase. O motor absorve 5 kW, na tensa˜o de
200 V, com fator de poteˆncia 0,8 adiantado. As bobinas da armadura do gerador e do
motor sa˜o conectadas em Y aterrado, com impedaˆncias indutivas de 5 Ω. As impedaˆncias
de sequ¨eˆncia das ma´quinas sa˜o iguais a Z0 = j5, Z1 = j15 e Z2 = j10 Ω. Determine os
circuitos de sequ¨eˆncia do sistema trifa´sico e calcule as tenso˜es de linha nos terminais do
gerador. Considere o motor uma carga balanceada.
22 Cap´ıtulo 1: Sistemas Trifa´sicos
Cap´ıtulo 2
Representac¸a˜o dos Sistemas de
Poteˆncia
2.1 Introduc¸a˜o
Em estudos de redes ele´tricas em regime permanente, os sistemas trifa´sicos equilibrados
sa˜o modelados analiticamente pelo diagrama de impedaˆncias de uma fase do circuito Y
equivalente. Cada elemento constituinte do diagrama unifilar e´ representado por um cir-
cuito monofa´sico de sequ¨eˆncia positiva, com os paraˆmetros e varia´veis da rede ele´trica
expressos no sistema por unidade. Este cap´ıtulo mostra como este circuito e´ determi-
nado. Para esta finalidade, treˆs aspectos fundamentais sa˜o apresentados. O primeiro e´ o
diagrama unifilar, que fornece uma ide´ia sobre a estrutura e a conexa˜o dos componentes
do sistema, e a` partir do qual e´ poss´ıvel determinar o diagrama de impedaˆncias. O se-
gundo e´ a representac¸a˜o do diagrama de impedaˆncias no sistema por unidade, o qual tem
por objetivo facilitar os ca´lculos de correntes e tenso˜es no circuito ele´trico. O terceiro
e´ a modelagem anal´ıtica dos componentes da rede ele´trica em termos de elementos de
circuitos. Isto permite obter um modelo do sistema de poteˆncia em termos de equac¸o˜es
obtidas aplicando-se as leis de circuitos ele´tricos, cuja soluc¸a˜o fornece os subs´ıdios para a
ana´lise da rede ele´trica.
2.2 Diagrama Unifilar
O diagrama unifilar e´ um tipo de representac¸a˜o dos sistemas de poteˆncia que fornece de
maneira concisa as informac¸o˜es significativas sobre o mesmo. Os padro˜es utilizados para
este tipo de representac¸a˜o foram institu´ıdos pela ANSI (American National Standards
Institute) e pelo IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers). Alguns dos
principais s´ımbolos utilizados para construir o diagrama unifilar sa˜o mostrados na tabela
2.1.
A figura 2.2 apresenta um exemplo de diagrama unifilar no qual os ı´ndices 1 e 2 situados
sobre as linhas verticais indicam as duas barras do sistema. As bobinas da armadura
dos geradores G1, G2 e G3 esta˜o conectadas em Y com o neutro aterrado atrave´s das
impedaˆncias Zng1 , Zng2 e Zng3 . Os geradores G1 e G2 e a carga 1 esta˜o conectados ao
mesmo barramento e portanto sujeitos a mesma tensa˜o. De maneira ana´loga, o gerador
24 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
Maquina rotativa
Transformador de
dois enrolamentos
Transformador de
treˆs enrolamentos
Disjuntor
Transformador de
corrente
ou Transformador de
potencial
A
V
Fus´ıvel
Disjuntor a ar
Conexa˜o Delta
Conexa˜o Y
sem aterramento
Conexa˜o Y
Zn aterrado com Zn
Conexao Y
solidamente aterrado
Amper´ımetro
Volt´ımetro
Figura 2.1: Diagrama unifilar - Principais s´ımbolos
1 2
Carga 1
G2
G1 T1
LT
T2 G3
Carga 2
Zng2
Zng1 Zng3
Figura 2.2: Diagrama unifilar - Exemplo
G3 impo˜e a tensa˜o na barra 2, a` qual esta´ conectada a carga 2. Supondo que a linha
de transmissa˜o que conecta os transformadores T1 e T2 e´ de comprimento me´dio, o
circuito monofa´sico equivalente ao diagrama unifilar mostrado na figura 2.2 e´ determinado
lembrando que a magnitude da corrente de magnetizac¸a˜o dos transformadores de grande
porte e´ insignificante em relac¸a˜o a` magnitude da corrente nominal (em geral menor do
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 25
que 5 %) e portanto o ramo transversal do transformador e´ desprezado. Ale´m disso,
a impedaˆncia de aterramento dos geradores conectados em Y na˜o e´ inclu´ıda, pois sob
condic¸o˜es de operac¸a˜o balanceada em regime permanente a corrente que flui do neutro
dos geradores para a terra e´ nula.
2.3 O Sistema Por Unidade
Uma quantidade no sistema por unidade (pu) e´ definida como a raza˜o entre o valor real
da grandeza e o valor base da mesma grandeza selecionado como refereˆncia; isto e´
Quantidade em p.u. =
V alor real (volts, amps, ohms, watts, ...)
V alor base (volts, amps, ohms, volt− ampe`re, ...)
Com relac¸a˜o a esta definic¸a˜o, os seguintes aspectos devem ser observados:
• a quantidade em pu e´ adimensional;
• o valor base e´ sempre um nu´mero real;
• o aˆngulo de uma quantidade em pu e´ sempre o mesmo da quantidade verdadeira;
• valor percentual = Valor p.u.× 100.
2.3.1 Selec¸a˜o dos valores base
A escolha dos valores base e´ feita considerando um elemento gene´rico de circuito, no qual
quatro quantidades inter-relacionadas (tensa˜o, corrente, impedaˆncia e poteˆncia) definem
a referida especificac¸a˜o. O seguinte procedimento e´ adotado:
1. dois valores base (entre tensa˜o, corrente, impedaˆncia e poteˆncia) sa˜o arbitrariamente
selecionados num determinado ponto do sistema;
2. os outros dois valores base sa˜o calculados utilizando-se as relac¸o˜es entre tensa˜o,
corrente, impedaˆncia e poteˆncia num circuito monofa´sico. Por exemplo, se a tensa˜o
e a poteˆncia sa˜o escolhidas como grandezas base (Vb e Sb), enta˜o os valores de
corrente base e impedaˆncia base sa˜o calculados por
Ib =
Sb
Vb
Zb =
Vb
Ib
ou Zb =
V 2b
Sb
Isto permite interpretar a impedaˆncia base Zb como um elemento de circuito monofa´sico,
o qual submetido a uma tensa˜o base de valor Vb fornecera´ uma corrente base de valor Ib
e uma poteˆncia base igual a Sb.
E´ importante ressaltar que a quantidade adotada como base para o ca´lculo de ambas,
poteˆncias ativa e reativa, no sistema por unidade e´ a poteˆncia aparente base, isto e´,
Pb1φ = Qb1φ = Sb1φ
expressa em volt-ampe`re (VA).
26 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
De maneira ana´loga, a quantidade adotada como base para o ca´lculo de ambas, re-
sisteˆncia e reataˆncia, no sistema por unidade e´ a impedaˆncia base, isto e´,
Rb = Xb = Zb
expressa em ohms (Ω); e a admitaˆncia base e´ dada por
Yb =
1
Zb
e expressa em Siemens (S).
2.3.2 Base em Termos de Valores Trifa´sicos
Em sistemas trifa´sicos, os valores base sa˜o expressos geralmente em termos de quantidades
trifa´sicas, isto e´, poteˆncia trifa´sica, tensa˜o de linha e corrente de linha. Ale´m disso, as
impedaˆncias conectadas em ∆ sa˜o convertidas para a conexa˜o Y equivalente. Denotando
• Sb1φ: a poteˆncia base do circuito monofa´sico;
• Vbf : a tensa˜o base do circuito monofa´sico (fase-neutro);
• Sb3φ: a poteˆncia base do circuito trifa´sico;
• VbL: a tensa˜o base do circuito trifa´sico (fase-fase oude linha);
e lembrando que em sistemas trifa´sicos equilibrados
Sb3φ = 3Sb1φ VbL =
√
3Vbf
as seguintes relac¸o˜es podem ser estabelecidas:
Ib =
Sb1φ
Vbf
=
Sb3φ/3
VbL/
√
3
=
Sb3φ√
3VbL
Zb =
Vbf
Ib
=
VbL/
√
3
Sb3φ/
√
3VbL
=
V 2bL
Sb3φ
Num sistema de poteˆncia trifa´sico, as seguintes regras sa˜o adotadas para a especificac¸a˜o
das quantidades base:
1. o valor de poteˆncia aparente trifa´sica base Sb3φ e´ o mesmo ao longo de todo o sistema;
2. a relac¸a˜o entre as tenso˜es de linha base nos lados do transformador e´ igual aquela
entre os valores nominais da tensa˜o do transformador, ou seja, a tensa˜o de linha base
passa atrave´s do transformador trifa´sico segundo a sua relac¸a˜o nominal de tenso˜es
de linha.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 27
Ex. 2.1 Considere dois geradores trifa´sicos suprindo, atrave´s de linhas de transmissa˜o
trifa´sicas separadas, duas cargas trifa´sicas balanceadas conectadas no mesmo ponto. A
carga 1, conectada em Y, absorve 20 kW operando com fator de poteˆncia 0,8 atrasado e a
carga 2, conectada em ∆, absorve 12 kVA operando com fator de poteˆncia 0,9 adiantado.
Ha´ ainda uma terceira carga de 15 kW, resistiva e ligada em Y, conectada diretamente
aos terminais do gerador 2. A impedaˆncia da linha de transmissa˜o entre o gerador 1 e
a carga e´ 1,4 +j1,6 Ω/fase, e da linha de transmissa˜o entre o gerador 2 e a carga e´ 0,8
+j1,0 Ω/fase. O gerador 1 supre 20 kW a um fator de poteˆncia 0,8 atrasado, numa tensa˜o
terminal de 460 V. Suponha que a poteˆncia das treˆs cargas seja independente da tensa˜o
de alimentac¸a˜o. Empregando o sistema por unidade e tomando como valores base 25 kVA
e 460 V no gerador 1, determinar:
1. o diagrama de impedaˆncias no sistema por unidade na base mencionada;
2. a corrente da carga 1, em pu e em ampe´res;
3. a tensa˜o nos terminais do gerador 2, em pu e em volts;
4. a poteˆncia aparente suprida pelo gerador 2, em pu e em kVA;
5. o valor da reataˆncia em pu e em Ω/fase de uma carga de compensac¸a˜o reativa
necessa´ria para tornar unita´rio o fator de poteˆncia do equivalente das cargas 1 e 2.
2.3.3 Mudanc¸a de Base
Em geral, os equipamentos dos sistemas de poteˆncia apresentam na sua placa o valor per-
centual da impedaˆncia, calculada com base nos valores nominais do pro´prio equipamento.
Desde que os componentes do sistema de energia ele´trica possuem valores nominais difer-
entes, para se fazer ca´lculos no sistema por unidade e´ necessa´rio referir todas as grandezas
a uma base comum. Para efetuar esta mudanc¸a de base, suponha que a impedaˆncia do
equipamento (em pu) seja expressa como
Zpub antiga =
Zreal
Zb antiga
= Zreal
Sb antiga
V 2b antiga
e que e´ necessa´rio referir este valor a uma nova base, tal que
Zpub nova = Z
realSb nova
V 2b nova
A combinac¸a˜o dessas duas u´ltimas equac¸o˜es fornece
Zpub nova = Z
pu
b antiga
(
Sb nova
Sb antiga
)(
Vb antiga
Vb nova
)2
que e´ a relac¸a˜o utilizada para efetuar a mudanc¸a de base requerida.
Observe que, no caso dos transformadores a relac¸a˜o
(
Vb antiga
Vb nova
)
deve ser calculada
com valores base correspondentes a um mesmo lado do transformador.
Ex. 2.2 A placa de um transformador monofa´sico de dois enrolamentos apresenta os
seguintes valores: 50 MVA; 13,8/69 kV; 20 %. Calcular a reataˆncia deste equipamento
no sistema por unidade, na base de 100 MVA e 13,2 kV no lado de BT.
28 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
2.4 Ma´quinas S´ıncronas
2.4.1 Circuitos Equivalentes e Diagramas Fasoriais
Gerador S´ıncrono
Estes equipamentos podem absorver ou gerar poteˆncia reativa, funcionando como ger-
adores (Pg > 0), motores (Pg < 0) ou compensadores (Pg ≈ 0), superexcitados (Qg > 0)
ou subexcitados (Qg < O). Os limites de gerac¸a˜o e absorc¸a˜o de poteˆncia reativa sa˜o
determinados com aux´ılio da curva de capabilidade da ma´quina. A capacidade de suprir
poteˆncia reativa e´ determinada atrave´s da raza˜o de curto-circuito do equipamento (igual
ao inverso da reataˆncia s´ıncrona). O circuito monofa´sico equivalente da ma´quina s´ıncrona
funcionando como um gerador e´ mostrado na figura 2.3.
G
Zs = jXs
+
E
-
+
V
-
I
Figura 2.3: Circuito equivalente do gerador s´ıncrono
As equac¸o˜es que representam a gerac¸a˜o de poteˆncia sa˜o obtidas supondo-se as tenso˜es
terminal V = V ∠00 e de excitac¸a˜o E = E∠δ, e separando-se as partes real e imagina´ria
do produto S = VI∗. Isto fornece as poteˆncias ativa e reativa liberadas pelo gerador, as
quais sa˜o expressas respectivamente por
Pg =
V E
Xs
sen δ
Qg =
V
Xs
(E cos δ − V )
onde δ e´ denominado aˆngulo de carga da ma´quina s´ıncrona.
Os diagramas fasoriais do gerador s´ıncrono sub-excitado e sobre-excitado sa˜o mostra-
dos nas figuras 2.4 e 2.5.
Motor S´ıncrono
O circuito equivalente do motor s´ıncrono e´ mostrado na figura 2.6, e os correspondentes
diagramas fasoriais para os casos de sub-excitac¸a˜o e sobre-excitac¸a˜o sa˜o representados nas
figuras 2.7 e 2.8.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 29
φ
δ
E
IjXd
V
I
Figura 2.4: Gerador s´ıncrono superexcitado - diagrama fasorial
E
IjXd
V
δ
φ
I
Figura 2.5: Gerador s´ıncrono subexcitado - diagrama fasorial
G
Zs = jXs
+
E
-
+
V
-
I
Figura 2.6: Circuito equivalente do motor s´ıncrono
Compensadores S´ıncronos
Quando a ma´quina s´ıncrona opera como um Compensador S´ıncrono, a poteˆncia ativa
suprida e´ aproximadamente zero (em raza˜o das perdas internas), sendo fornecida apenas
poteˆncia reativa (capacitiva ou indutiva). Este modo de funcionamento e´ o mesmo de
um motor s´ıncrono operando sem carga mecaˆnica. Dependendo da corrente de excitac¸a˜o,
o dispositivo pode gerar ou absorver poteˆncia reativa. Desde que as perdas neste tipo
de dispositivo sa˜o considera´veis, se comparadas a`s dos Capacitores Esta´ticos, o fator de
30 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
φ
δ
V
IjXd
E
I
Figura 2.7: Motor s´ıncrono subexcitado - diagrama fasorial
V
IjXd
E
δ
φ
I
Figura 2.8: Motor s´ıncrono superexcitado - diagrama fasorial
poteˆncia com que operam os compensadores s´ıncronos na˜o e´ exatamente igual a zero. No
caso da operac¸a˜o em conjunto com os reguladores de tensa˜o, os compensadores s´ıncronos
podem automaticamente funcionar superexcitados (sob condic¸a˜o de carga pesada) ou
subexcitados (sob condic¸o˜es de carga leve).
I
φ
E
jXdI
V
Figura 2.9: Compensador s´ıncrono subexcitado
Os diagramas fasoriais da ma´quina s´ıncrona operando como compensador sa˜o mostra-
dos nas figuras 2.9 e 2.10. A principal vantagem do compensador s´ıncrono e´ a sua flexi-
bilidade de operac¸a˜o. A gerac¸a˜o de poteˆncia reativa pode variar continuamente de uma
maneira simples (pore´m mais lenta do que a dos Compensadores Esta´ticos), modificando-
se a tensa˜o de excitac¸a˜o da ma´quina s´ıncrona. A desvantagem deste tipo de operac¸a˜o
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 31
jXdIφ
I
V E
Figura 2.10: Compensador s´ıncrono superexcitado
e´ que em geral o equipamento esta´ situado longe dos pontos de consumo e necessita de
elementos de transporte para atingir a demanda, ocasionando perda de poteˆncia.
2.4.2 Controle de Poteˆncia da Ma´quina S´ıncrona
Sistemas de controle automa´tico sa˜o frequ¨entemente utilizados na monitorac¸a˜o da operac¸a˜o
das redes ele´tricas. A figura 2.11 mostra os dois controles ba´sicos de um gerador com
turbina a vapor; isto e´, o regulador de tensa˜o e o governador de velocidade.
Valvula de vapor
Do gerador
de vapor
Para o
condensador
Turbina
a vapor
Pm
ωm
Governador
de velocidade
Pref
Excita-
triz
If
+
-
Efd
Gerador
tensao
Regula-
dor de
Filtro
Retificador
Transformador
de potencialPe, Vt
Figura 2.11: Controles Pf e QV
O governador de velocidade da turbina ajusta a posic¸a˜o da va´lvula de vapor para
controlar a poteˆncia mecaˆnica de sa´ıda da turbina (Pm). Quando o n´ıvel da poteˆncia de
refereˆncia (Pref ) aumenta (ou diminui) o governador de velocidade abre (ou fecha) mais a
va´lvula que controla a injec¸a˜o de poteˆncia mecaˆnica no eixo da turbina. O governador de
velocidade tambe´m monitora a velocidade angular do rotor ωm, a qual e´ utilizada como
32 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
sinal de realimentac¸a˜o para controlar a poteˆncia mecaˆnica de entrada e ele´trica de sa´ıda.
Considerando-se as perdas desprez´ıveis,
• se Pm > Pe, a velocidade angular ωm aumenta e o governador de velocidade fecha
mais a va´lvula para reduzir a poteˆncia mecaˆnica de entrada;
• se Pm < Pe, a velocidade angular ωm decresce e o governador de velocidade abre
mais a va´lvula para aumentar a poteˆncia mecaˆnica de entrada;
O regulador de tensa˜o ajusta a poteˆncia ele´trica de sa´ıda do sistema de excitac¸a˜o,
visando controlar a magnitude da tensa˜o terminal do gerador (Vt). Quando a tensa˜o
de refereˆncia (Vref ) aumenta (ou diminui), a tensa˜o de sa´ıda do gerador deve se elevar
(ou decrescer) por efeito da tensa˜o de excitac¸a˜o (Efd) aplicada nas bobinas de campo do
gerador s´ıncrono. Um transformador de potencial e um retificador monitoram a tensa˜o
terminal (Vt), a qual e´ utilizada como sinal de realimentac¸a˜o no regulador de tensa˜o. Se
a tensa˜o terminal decresce, o regulador de tensa˜o aumenta a sua tensa˜o (Vr), de forma a
elevar a tensa˜o de excitac¸a˜o (Efd) e a tensa˜o terminal (Vt).
1 Conforme mencionado anteriormente, quando a ma´quina s´ıncrona esta´ conectada
a uma barra infinita a sua tensa˜o terminal e a sua frequ¨eˆncia permanecem inalteradas.
Entretanto, duas das suas varia´veis, a corrente de excitac¸a˜o e o torque de entrada no eixo,
podem ainda ser controladas. A variac¸a˜o da corrente de campo, referida como controle
do sistema de excitac¸a˜o, e´ utilizada no funcionamento da ma´quina tanto como gerador
quanto como motor, para controlar a poteˆncia reativa da mesma. Por outro lado, desde
que a velocidade angular do eixo da ma´quina e´ constante, a u´nica maneira de variar a
poteˆncia ativa de sa´ıda e´ atrave´s do controle do torque imposto no eixo pela ma´quina
prima´ria no caso do gerador e pela carga mecaˆnica no caso do motor.
Controle de poteˆncia reativa
Considere um gerador suprindo poteˆncia ativa, tal que o aˆngulo entre a tensa˜o terminal
e a forc¸a eletromotriz interna da ma´quina e´ δ. Suponha ainda, que para a ana´lise do
controle de poteˆncia reativa mostrada a seguir, a resisteˆncia da armadura e´ desprezada.
A poteˆncia complexa liberada nos terminais do gerador e´ dada por
S = P + jQ
= VI∗a
= V Ia(cos θ + j sin θ)
tal que
P = V Ia cos θ
Q = V Ia sin θ
(2.1)
Note que, desde que o aˆngulo θ e´ numericamente positivo, a poteˆncia reativa liberada
pela ma´quina e´ positiva para cargas com fator de poteˆncia atrasado. Se a poteˆncia ativa
de sa´ıda (P ) e´ mantida constante a uma tensa˜o terminal (V ) constante, a ana´lise da Eq.
1O texto a seguir e´ baseado nas refereˆncias [1, 3, 4].
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 33
(2.1) mostra que a quantidade Ia cos θ tambe´m permanece constante. Nessas condic¸o˜es, a
magnitude da forc¸a eletromotriz interna (Ef ) varia proporcionalmente conforme a corrente
cont´ınua de excitac¸a˜o do campo (If ) se modifica, de forma a manter a quantidade Ia cos θ
constante.
LG de Ef constante
Ef
IaXd cos θ
LG de Ia cte
δ
θ
jIaXd
IaXd sin θ
Vt
Ia
Ia cos θ
Ef
IaXd sin θ
IaXd cos θ
jIaXd
Vt
Ia
θ
δ
o
Figura 2.12: Controle de poteˆncia reativa
A condic¸a˜o de excitac¸a˜o normal da ma´quina e´ definida como aquela na qual
Ef cos δ = V
e a ma´quina s´ıncrona e´ considerada estar superexcitada ou subexcitada conforme Ef cos δ >
V ou Ef cos δ < V , respectivamente. Quando a ma´quina esta´ superexcitada, ela supre
poteˆncia reativa atrave´s dos seus terminais, tal que sob o ponto de vista do sistema ela
age como um capacitor. A parte superior da figura 2.12 ilustra esta situac¸a˜o. Nesta figura
a sigla LG denota lugar geome´trico.
A parte inferior da figura 2.12 mostra o diagrama fasorial de um gerador subexcitado,
suprindo a mesma quantidade de poteˆncia ativa que a do caso anterior. Neste caso, o
gerador absorve poteˆncia ativa do sistema e portanto atua como um indutor.
Resumindo, geradores e motores s´ıncronos superexcitados suprem poteˆncia reativa,
agindo como capacitores sob o ponto de vista do sistema ao qual a ma´quina s´ıncrona esta´
34 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
conectada, enquanto que geradores e motores s´ıncronos subexcitados absorvem poteˆncia
reativa do sistema, atuando como indutores.
Controle da poteˆncia ativa
O controle de poteˆncia ativa e´ realizado atrave´s da va´lvula que monitora a quantidade
de vapor ou a´gua que entra na turbina (ma´quina prima´ria) acoplada ao eixo da ma´quina
s´ıncrona. O aumento da poteˆncia mecaˆnica de entrada no gerador resulta num correspon-
dente aumento da velocidade angular do rotor e, se a corrente de excitac¸a˜o do campo (If )
(e portanto a forc¸a eletromotriz interna (Ef )) for mantida constante, o aˆngulo de carga
ou poteˆncia (δ) entre a tensa˜o terminal (V ) e a forc¸a eletromotriz interna (Ef ) tambe´m
crescera´. O aumento do aˆngulo de carga implica numa quantidade maior da grandeza
V Ia cos θ, conforme pode ser observado na figura 2.12. Um gerador com maior aˆngulo de
poteˆncia requer um torque de entrada maior e naturalmente libera maior quantidade de
poteˆncia ativa ao sistema. Um racioc´ınio ana´logo se aplica ao funcionamento da ma´quina
s´ıncrona como motor.
Ex. 2.3 Considere um gerador s´ıncrono com valores nominais 635 MVA, fator de poteˆncia
0,90 atrasado, 3600 rpm, 24 kV e reataˆncia s´ıncrona 1,7241 pu conectado a uma barra
infinita. Se esta ma´quina esta´ suprindo uma corrente de 0,8 pu com fator de poteˆncia 0,9
atrasado a uma tensa˜o terminal de 1,0 pu, determine a magnitude e o aˆngulo da tensa˜o
interna do gerador e as poteˆncias ativa e reativa supridas a barra infinita. Se a poteˆncia
ativa de sa´ıda do gerador permanece constante, pore´m a sua excitac¸a˜o e´ (a) reduzida em
20 % e (b)aumentada em 20 %, determine o aˆngulo de carga e a poteˆncia reativa suprida
pelo gerador.
2.4.3 Curva de Capabilidade
A curva de capabilidade ou carta de poteˆncia e´ um diagrama que mostra todas as condic¸o˜es
de operac¸a˜o normal de uma ma´quina s´ıncrona de rotor cil´ındrico conectada a uma barra
infinita. Este diagrama e´ de extrema utilizada para operadores de sistema de poteˆncia
durante a fase de planejamento da operac¸a˜o da ma´quina s´ıncrona como gerador.
A curva de capabilidade e´ determinada supondo-se que o gerador opera com tensa˜o
terminal fixa e que a resisteˆncia da armadura e´ desprez´ıvel. A construc¸a˜o do diagrama
pode ser sumarizada nas etapas descritas a seguir.
• Determine o diagrama fasorial da ma´quina s´ıncrona tomando a tensa˜o terminal
como refereˆncia, conforme mostrado na parte superior da figura 2.12. A rotac¸a˜o
deste diagrama resulta no gra´fico apresentado na figura 2.13, o qual mostra cinco
lugares geome´tricos passando pelo ponto de operac¸a˜o m. Estes lugares geome´tricos,
correspondentes a cinco modos de operac¸a˜o poss´ıveis, em cada um dos quais um
paraˆmetro do gerador mantido constante, sa˜o descritos a seguir.
• Corrente de excitac¸a˜o constante: o c´ırculo representando a excitac¸a˜o constante e´
centrado no ponto n e possui raio n − m, igual a magnitude da tensa˜o interna
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 35
Q
(a) P = cte
(e) cos θ = cte
(b) Q = cte
IaXd cos θ
r
q
IaXd sin θ jIaXd
(c) Ef = cte
(d) Ia = cte
cosθatrasado
cos θadiantado
P
Ef
θ
θ
δ
Vt
o
n
m
p
Ia
Figura 2.13: Diagrama fasorial obtido pela rotac¸a˜o do diagrama da figura 2.12
da ma´quina. Esta pode ser mantida constante ajustando-se convenientemente a
corrente cont´ınua (If ) na bobina do campo, de acordo com a equac¸a˜o
Ef =
ωMfIf√
2
onde Mf representa o valor ma´ximo da func¸a˜o que relaciona a indutaˆncia mu´tua
entre a bobina de campo (f) e cada uma das bobinas do estator.
• Magnitude da corrente da armadura constante: o lugar geome´trico desses pontos e´
um c´ırculo centrado no ponto o e com raio o−m, proporcional a um valor fixo da
corrente de armadura. Desde que a tensa˜o terminal e´ suposta constante, os pontos
de operac¸a˜o representados neste c´ırculo correspondem a uma poteˆncia aparente de
sa´ıda com magnitude constante;
• Poteˆncia ativa de sa´ıda constante: a poteˆncia ativa de sa´ıda e´ expressa como P =
V Ia cos θ, e portanto o lugar geome´trico obtido com esta poteˆncia mantida constante
e´ o segmento de reta vertical m− p, com comprimento igual a XdIa cos θ. Note que
a poteˆncia de sa´ıda do gerador e´ sempre positiva, independentemente do seu fator
de poteˆncia;
• Fator de poteˆncia constante: a poteˆncia reativa de sa´ıda e´ expressa como Q =
V Ia sin θ, sendo o aˆngulo θ positivo para a operac¸a˜o com o fator de poteˆncia
36 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
atrasado. De maneira ana´loga a` poteˆncia ativa de sa´ıda, o segmento de reta hori-
zontal q −m, com magnitude igual a XdIa sin θ representa o lugar geome´trico dos
pontos de operac¸a˜o para os quais a poteˆncia reativa de sa´ıda e´ constante. No caso
da operac¸a˜o com fator de poteˆncia unita´rio, a poteˆncia reativa de sa´ıda do gerador e´
nula, correspondendo aos pontos no segmento de reta horizontal o−p. Para operac¸a˜o
com fator de poteˆncia atrasado (adiantado) a poteˆncia reativa de sa´ıda e´ positiva
(negativa) e os pontos de operac¸a˜o esta˜o situados nos semi-planos localizados acima
(abaixo) da linha o− p;
• A linha radial o − m e´ o lugar geome´trico dos pontos de operac¸a˜o para os quais
o aˆngulo do fator de poteˆncia θ e´ constante. Na figura 2.13, o aˆngulo θ repre-
senta a condic¸a˜o na qual o gerador s´ıncrono supre uma carga com fator de poteˆncia
atrasado. No caso do fator de poteˆncia unita´rio (θ = 00), os pontos de operac¸a˜o
sa˜o representados ao longo do eixo horizontal o− p. O semi plano situado acima do
eixo horizontal corresponde a cargas com fator de poteˆncia adiantado.
O diagrama da figura 2.13 se torna mais u´til quando os eixos sa˜o escalonados para
indicar as poteˆncias ativa e reativa de sa´ıda do gerador. O re-arranjo das equac¸o˜es
Pg =
V Ef
Xd
sin δ
Qg =
V
Xd
(Ef cos δ − V )
fornece
Pg =
V Ef
Xd
sin δ
(
Qg +
V 2
Xd
)
=
EfV
Xd
cos δ
A soma dos quadrados das duas u´ltimas equac¸o˜es resulta na expressa˜o
P 2g +
(
Qg +
V 2
Xd
)2
=
(
V Ef
Xd
sin δ
)2
+
(
EfV
Xd
cos δ
)2
=
(
EfV
Xd
)2 (
sin2 δ + cos2 δ
)
=
(
EfV
Xd
)2
a qual representa geometricamente um c´ırculo de raio
(
EfV
Xd
)
centrado no ponto
(
0;−V
2
Xd
)
.
Este c´ırculo pode ser obtido multiplicando-se cada fasor da figura 2.13 pela raza˜o
(
V
Xd
)
,
o que significa o escalonamento dos eixos mostrado na figura 2.14.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 37
Q
(a) P = cte
(e) cos θ = cte
(b) Q = cte
V Ia cos θ
r
q
V Ia sin θ IaV
(c)
EfV
Xd
= cte
(d) IaV = cte
cos θ atrasado
cos θ adiantado
P
EfV
Xd
θ
θ
δ
V 2t
Xd
o
n
m
p
Ia
Figura 2.14: Diagrama fasorial obtido pelo escalonamento do diagrama da figura 2.13
O diagrama de carregamento da ma´quina s´ıncrona mostrado na figura 2.14 torna-
se mais pra´tico quando se considera a corrente ma´xima (perdas I2R) que pode circular
nas bobinas da armadura e do campo e tambe´m os limites da ma´quina prima´ria e o
aquecimento do nu´cleo da armadura. A figura 2.15 mostra a curva de capabilidade de um
gerador s´ıncrono com valores nominais 635 MVA, 24 kV, fator de poteˆncia 0,9 e reataˆncia
s´ıncrona 172,41 %.
Na figura 2.15, o ponto m corresponde ao valor nominal de poteˆncia aparente do
gerador com fator de poteˆncia nominal atrasado (635 MVA com cos θ = 0, 9 atrasado).
O projeto da ma´quina deve prever um valor de corrente de campo suficiente para que a
ma´quina s´ıncrona possa operar superexcitada no ponto m. O limite da corrente de campo
e´ determinado segundo o arcom−r. A capacidade do gerador para liberar poteˆncia reativa
ao sistema e´ portanto reduzida. Na verdade, a saturac¸a˜o da ma´quina faz decrescer o valor
da reataˆncia s´ıncrona e por esta raza˜o os fabricantes fornecem curvas que se iniciam nos
limites de aquecimento do campo teo´ricos descritos anteriormente.
A imagem do ponto m e´ o ponto m
′
, de operac¸a˜o na regia˜o de sub-excitac¸a˜o. Os ope-
radores do sistema de poteˆncia evitam operar a ma´quina s´ıncrona na regia˜o subexcitada
da curva de capabilidade por razo˜es de estabilidade do sistema em regime permanente e
de sobre-aquecimento da ma´quina.
Quando a ma´quina opera na regia˜o de sub-excitac¸a˜o, as correntes parasitas induzidas
pelo sistema no ferro da armadura e o aquecimento por efeito Joule aumentam. Para
38 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
0,8
r
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
n
limite de aquecimento do campo
cos θ = 0, 80
cos θ = 0, 90
cos θ = 0, 95
cos θ = 1, 0
cos θ = 0, 95
cos θ = 0, 90
limite de
subexcitac¸a˜o
circulo de 100 %
de excitac¸a˜o
m
′
m
MS superexcitada
MS subexcitada
limite de
aquecimento
da armadura
Poteˆncia reativa
Poteˆncia ativa
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
θ
δ
Figura 2.15: Curva de capabilidade do gerador do exemplo 2.3
limitar este aquecimento os fabricantes fornecem curvas espec´ıficas de capabilidade e re-
comendam os limites dentro dos quais se pode operar a ma´quina.
Para se obter os valores de poteˆncia ativa e poteˆncia reativa supridas pelo gerador num
ponto de operac¸a˜o atrave´s do uso da figura 2.15, os valores por unidade dessas grandezas
obtidos no diagrama devem ser multiplicados pelo valor base de poteˆncia aparente da
ma´quina, o qual no caso e´ o valor nominal de 635 MVA.
A distaˆncia n−m representa o valor por unidade da poteˆncia aparente expressa pela
quantidade
EfV
Xd
no ponto de operac¸a˜o m. Isto permite calcular o valor por unidade da
tensa˜o interna da ma´quina na base da sua tensa˜o nominal (no caso 24 kV) multiplicando
o comprimento n−m pela raza˜o Xd
V
expressa em pu. Note que a curva de capabilidade
e´ determinada segundo a condic¸a˜o de operac¸a˜o com a tensa˜o terminal mantida constante
no seu valor nominal; isto e´, V = 1, 0 pu e portanto o produto envolve apena a reataˆncia
s´ıncrona da ma´quina Xd.
Se a tensa˜o terminal da ma´quina na˜o e´ 1,0 pu, enta˜o o valor
1
Xd
, atribu´ıdo a` distaˆncia
0, 0−n na figura 2.15, deve ser corrigido para V
2
Xd
expresso no sistema por unidade. Esta
mudanc¸a altera o escalonamento da figura 2.15 pelo fator V 2, de tal forma que as poteˆncias
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 39
ativa e reativa obtidas atrave´s do diagrama devem ser primeiro multiplicadas pelo fator V 2
e posteriormente pela poteˆncia aparente base para fornecer os valores efetivos de poteˆncia
ativa e reativa da operac¸a˜o.
Ex. 2.4 Considere que o diagrama de capabilidade de um gerador s´ıncrono trifa´sico com
valores nominais 635 MVA, 24 kV, fator de poteˆncia 0,9 e reataˆncia s´ıncrona 172,41 %,
3600 rpm e´ aquele mostrado na figura 2.15. Se o gerador esta´ fornecendo 458,47 MW e
114,62 Mvar numa tensa˜o de 22,8 kV a uma barra infinita,
• calcular a tensa˜o interna da ma´quina utilizandoo circuito equivalente;
• calcular a tensa˜o interna da ma´quina utilizando o diagrama de capabilidade.
2.4.4 Controle de Tensa˜o do Gerador
Numa unidade geradora, a excitatriz e´ o dispositivo que libera poteˆncia em corrente
cont´ınua para as bobinas de campo do rotor da ma´quina s´ıncrona. Nos geradores antigos
a excitatriz consistia de um gerador de corrente cont´ınua, tal que a poteˆncia em corrente
cont´ınua era transferida ao rotor atrave´s de ane´is de escorregamento e escovas coletoras.
Nos geradores modernos, excitatrizes esta´ticas ou sem escova sa˜o geralmente utilizadas.
Neste caso, a poteˆncia em corrente alternada e´ obtida diretamente dos terminais do ger-
ador ou de uma estac¸a˜o de servic¸o externa. Esta poteˆncia e´ enta˜o retificada via tiristores
e transferida ao rotor via ane´is de escorregamento e escovas coletoras.
No caso dos sistemas de excitac¸a˜o sem escova, a poteˆncia e´ obtida de um gerador
s´ıncrono invertido, cujas bobinas trifa´sicas da armadura esta˜o localizadas no rotor do
gerador principal e cujas bobinas de campo esta˜o localizadas no estator. A poteˆncia em
corrente alternada das bobinas da armadura e´ retificada atrave´s de diodos acoplados no
rotor e e´ transferida diretamente a`s bobinas de campo, sem a necessidade de ane´is ou
escovas coletoras.
A figura 2.16 apresenta um diagrama de blocos simplificado do controle de tensa˜o do
gerador. As na˜o linearidades devidas a saturac¸a˜o e os limites na sa´ıda da excitatriz na˜o
sa˜o considerados.
1
(1 + Trs)
Ke
(1 + Tes)
Kcs
(1 + Tcs)
Vref
-
Vt
+
∆V
Regulador
de tensao Excitatriz
Gerador
Compensador
Estabilizador
VtEfd
+
-
Vr
Figura 2.16: Controle de tensa˜o do gerador s´ıncrono
A tensa˜o terminal do gerador (Vt) e´ comparada com a tensa˜o de refereˆncia (Vref )
para fornecer o sinal de erro de magnitude da tensa˜o (∆V ), o qual e´ convenientemente
40 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
aplicado no regulador. O bloco
1
(1 + sTr)
representa o retardo de tempo, sendo Tr a sua
constante de tempo. Se um degrau unita´rio e´ aplicado na entrada deste bloco, a sa´ıda
tende exponencialmente a` unidade com uma constante de tempo Tr.
Desprezando o efeito do estabilizador, a tensa˜o de sa´ıda do regulador de tensa˜o (Vr)
e´ aplicada na excitatriz, representada pelo bloco
Ke
(1 + sTe)
. A sa´ıda da excitatriz e´ a
tensa˜o de campo (Efd), aplicada nas bobinas de campo do gerador e atuando no sentido
de ajustar a sua tensa˜o terminal. As equac¸o˜es que representam o gerador, relacionando a
sua tensa˜o terminal (Vt) a`s variac¸o˜es na tensa˜o do enrolamento de campo (Efd), podem
ser derivadas das equac¸o˜es gerais das ma´quinas s´ıncronas.
O compensador estabilizador, utilizado para melhorar a resposta dinaˆmica do excitador
atrave´s da reduc¸a˜o do overshoot, e´ representado pelo bloco
Kcs
(1 + sTc)
, que funciona como
um filtro a` primeira derivada. A entrada deste bloco e´ a tensa˜o de excitac¸a˜o (Efd) e a sua
sa´ıda e´ o sinal (de realimentac¸a˜o) estabilizador, o qual e´ subtra´ıdo da tensa˜o do regulador
Vr.
Diagramas como o da figura 2.16 sa˜o utilizados para a simulac¸a˜o digital do controle
de tensa˜o do gerador em programas de estabilidade transito´ria. Na pra´tica, excitadores
de alto ganho e resposta ra´pida fornecem variac¸o˜es de elevada magnitude e ra´pidas na
tensa˜o de campo Efd durante a ocorreˆncia de curto circuito nos terminais do gerador, de
maneira a melhorar a estabilidade transito´ria apo´s a eliminac¸a˜o da falta. As equac¸o˜es
representadas no diagrama de blocos podem ser usadas para a determinac¸a˜o da resposta
transito´ria do controle de tensa˜o do gerador.
Ex. 2.5 Um gerador s´ıncrono trifa´sico de 30 MVA, 17,32 kV, fator de poteˆncia 0,8
atrasado, 60 Hz, resisteˆncia da armadura desprez´ıvel e reataˆncia s´ıncrona de 5 Ω/fase,
opera conectado diretamente a uma barra infinita. Determine:
• a tensa˜o de excitac¸a˜o por fase, em kV, e o aˆngulo de carga para a operac¸a˜o sob 90
% de sua capacidade nominal, com fator de poteˆncia 0,9 atrasado;
• a tensa˜o de excitac¸a˜o mı´nima, em kV, abaixo da qual o gerador perderia o sincro-
nismo operando sob poteˆncia ativa nominal.
2.5 Transformadores
As principais caracter´ısticas do transformador sa˜o:
1. os enrolamentos possuem resisteˆncia, a`s quais esta˜o associadas perdas de poteˆncia
ativa;
2. a permeabilidade do nu´cleo e´ finita e portanto uma corrente de magnetizac¸a˜o e´
necessa´ria para manter o fluxo magne´tico no nu´cleo;
3. o fluxo magne´tico na˜o esta´ inteiramente confinado ao nu´cleo;
4. existem perdas de poteˆncia ativa e de poteˆncia reativa no nu´cleo.
R. S. Salgado UFSC-EEL-Labspot 41
permeabilidade µc
comprimento me´dio lc
sec¸a˜o transversal Ac
I1
V1
I2
V2
Bobina 1 Bobina 2
N1 N2
+
−
+
−
φc
Figura 2.17: Diagrama unifilar - Exemplo
Na figura 2.17, a forc¸a magnetomotriz que produz o fluxo magne´tico no nu´cleo e´ dada
por
N1I1 −N2I2 = <cφc
tal que re-agrupando os termos desta equac¸a˜o obte´m-se
I1 =
<cφc
N1
+
N2
N1
I2 (2.2)
O primeiro termo da Eq. (2.2) e´ denominado corrente de excitac¸a˜o e representa a
parcela da corrente I1 necessa´ria para produzir o fluxo φc no nu´cleo. Esta corrente existe
mesmo com os terminais do secunda´rio em circuito aberto, pois um fluxo magne´tico no
nu´cleo e´ necessa´rio para induzir a tensa˜o nas bobinas do secunda´rio.
O segundo termo e´ a componente da carga da corrente fornecida ao terminal prima´rio,
o qual e´ zero na operac¸a˜o do transformador a` vazio. Esta corrente cresce a` medida em que
a carga e´ adicionada ao terminal secunda´rio do transformador, tornando-se muito mais
elevada do que a corrente de excitac¸a˜o. Desta forma, mesmo para um transformador real
sob condic¸o˜es de carga pode-se escrever
I1
I2
≈ N2
N1
A corrente de excitac¸a˜o, denotada Iφ, e´ composta de duas componentes, uma repre-
sentando a parcela necessa´ria para a magnetizac¸a˜o do nu´cleo (denotada Im) e a outra
responsa´vel pelas perdas de poteˆncia ativa no nu´cleo (denotada Ic). Isto e´ expresso ana-
liticamente por
Iφ = Im + Ic
A corrente que supre as perdas no nu´cleo tambe´m e´ composta de duas parcelas, uma
relacionada a`s perdas por correntes parasitas (de Focault) e outra relacionada a`s perdas
por histerese.
42 Cap´ıtulo 2: Representac¸a˜o dos Sistemas de Poteˆncia
A histerese ocorre porque uma variac¸a˜o c´ıclica do fluxo no interior do nu´cleo resulta
em energia dissipada em forma de calor. Este efeito pode ser reduzido utilizando-se ligas
de ac¸o para construir o nu´cleo.
As correntes parasitas sa˜o induzidas no interior do nu´cleo perpendicularmente ao fluxo
magne´tico. Elas podem ser reduzidas construindo-se o nu´cleo com laˆminas de uma liga
de ac¸o.
Conforme visto anteriormente, segundo a lei de Faraday,
E1 = N1(jω)φc (2.3)
isto e´, a tensa˜o E1 esta´ adiantada do fluxo magne´tico φc de 90
0.
Lembrando que Nφ = λ = Li, no nu´cleo
N1φc = LmIm
onde Lm e´ a indutaˆncia do nu´cleo e Im e´ a corrente que percorre a indutaˆncia do nu´cleo.
A Eq. (2.3) e´ re-escrita como
E1 = N1(jω)φc = jωLmIm = jXmIm
onde Im e´ a corrente de magnetizac¸a˜o que produz o fluxo no nu´cleo e Xm e´ a reataˆncia
de magnetizac¸a˜o do nu´cleo.
A u´ltima equac¸a˜o pode tambe´m ser obtida combinando as equac¸o˜es (2.2) e (2.3). Isto
fornece
I1 =
<c
N1
(−jE1
N1ω
)
+
N2
N1
I2
=
−j<cE1
N21ω
+
N2
N1
I2
= Im + I
′
2
onde Im e I
′
2 representam respectivamente as correntes de excitac¸a˜o e de carga, esta u´ltima
referida ao prime´rio.
A ana´lise da equac¸a˜o
Im = −j <c
N21ω
E1
revela que Im esta´ atrasada de 90
0 em relac¸a˜o a E1, sendo portanto a quantidade Bm =<c
N21ω
interpretada como uma susceptaˆncia que representa o efeito indutivo