Apostila do Curso GeoGebra Completa 2016

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Nesse texto apresentamos o Software GeoGebra em linhas gerais. Fazemos uma breve abordagem 
de seu desenvolvimento, apresentamos sua interface, algumas funcionalidades e os passos necessários 
para construção de alguns objetos. 
APRESENTAÇÃO 
O GeoGebra é um software com finalidades didáticas para ser utilizado em situações de ensino e 
aprendizagem de matemática. Com ele é possível realizar cálculos aritméticos, algébricos e utilizar 
múltiplas representações gráficas de objetos matemáticos. 
Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburgo foi quem idealizou o projeto do software 
GeoGebra e é um de seus principais desenvolvedores em conjunto com Yves Kreis da Universidade de 
Luxemburgo. 
Os desenvolvedores do GeoGebra permitem que ele seja baixado do site oficial (www.geogebra.org) 
e instalado em computadores com sistemas operacionais diversos. 
INTERFACE 
A interface do GeoGebra ao ser carregado apresenta a seguinte configuração padrão. 
 
 Barra de Menus 
A Barra de Menus disponibiliza opções para salvar o projeto em arquivo (.ggb) e para controlar 
configurações gerais. 
 Barra de Ferramentas 
A Barra de Ferramentas concentra todas as ferramentas úteis para construir pontos, retas, figuras 
geométricas, obter medidas de objetos construídos, entre outros. Cada ícone dessa barra esconde 
outros ícones que podem ser acessados clicando com o mouse em seu canto inferior direito. 
 Janela de Álgebra 
Área em que é exibida as coordenadas, equações, medidas e outros atributos dos objetos 
construídos. 
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 Entrada 
Campo de entrada para digitação de comandos. 
 Janela de Visualização 
Área de visualização gráfica de objetos que possuam representação geométrica e que podem ser 
desenhados com o mouse usando ícones da Barra de Ícones ou comandos digitados na Entrada. 
 Lista de Comandos 
Listagem de comandos predefinidos. Entre eles há comandos relacionados aos ícones da Barra de 
Ferramentas. 
JANELA DE VISUALIZAÇÃO VERSUS JANELA DE ÁLGEBRA 
O GeoGebra recebeu esse nome pela possibilidade de operar com as representações aritmética, 
álgebrica e geométrica conjuntamente. Isso significa que um objeto construído com o mouse ou digitando 
sua sintaxe na Entrada pode possuir mais de uma representação: geométrica e aritmética ou algébrica. 
Veja na Janela de Visualização representada na figura abaixo exibe um triângulo construído em um 
plano cartesiano. 
 
Janela de Álgebra e Janela de Visualização 
Observe que na Janela de Visualização está representado 
geometricamente um triângulo com vértices A, B e C e lados a, b e c. 
Observe também que no lado esquerdo da tela, na Janela de Álgebra, 
são exibidas as coordenadas de cada vértice desse triângulo, a medida de 
cada um dos lados a, b e c e a área do triângulo (11cm2) que foi nomeado 
automaticamente pelo GeoGebra de “pol1”. 
 
BARRA DE FERRAMENTAS 
A Barra de Ferramentas localizada na parte superior do GeoGebra é composta de doze conjuntos de 
ícones com as ferramentas necessárias para o usuário construir, movimentar, obter medidas e modificar 
atributos de objetos construídos. 
 
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Ao abrir o GeoGebra a Barra de Ferramentas apresenta a seguinte configuração visual. 
 
Para ativar uma ferramenta clique em seu ícone. No entanto, para cada conjunto de ícones há 
apenas um visível, veja a seguir como acessar os ícones ocultos. 
 
Clique no canto inferior esquerdo do ícone 
que contenha a ferramenta que deseja 
utilizar. 
 
 
 
 
Selecione a ferramenta. 
 
A ferramenta selecionada fica ativa e seu ícone ocupa o 
lugar de destaque do conjunto que ela pertence. 
 
 
Na imagem da Barra de Ferramentas abaixo está indicado como é nomeado nesse texto cada 
conjunto de ferramentas. 
 
CONSTRUÇÕES NO GEOGEBRA 
Para realizar uma construção selecione a ferramenta necessária na Barra de Ícones e clique na 
Janela de Visualização ou digite os valores de entrada solicitados pelo GeoGebra. Considere os seguintes 
problemas. 
 Construir um círculo de Centro A que passe por um ponto B. 
 
Selecione a ferramenta Círculo 
Definido pelo Centro e um de seus 
Pontos. 
 
 
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Clique em qualquer região da Janela 
de Visualização para marcar o centro 
A do círculo. Depois, arraste o mouse 
e clique em um local distinto do ponto 
A, marcando assim o ponto B 
pertencente a circunferência. 
 
 
 Construir um círculo de centro A com raio r = 3 cm 
 
Selecione a ferramenta Círculo dados centro 
e raio. 
 
 
 
 
Clique em qualquer região da Janela de Visualização 
para marcar o centro A do círculo. Após marcar o ponto 
A o GeoGebra exibe a seguinte janela. 
 
 
Digite a medida do raio (3) na caixa de texto. Em seguida, clique em OK para que o GeoGebra construa o 
circulo. 
 
 
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Nesse texto abordamos a construção de linhas retas: retas, semirretas, segmentos de reta e vetores. 
Abordamos também a construção de caminhos poligonais. Essas ferramentas estão disponíveis no 
conjunto de ícones que nomeamos de Linhas Retas (terceiro conjunto de ícones da esquerda para direta). 
RETAS 
O terceiro ícone da barra de ferramentas reúne as ferramentas necessárias para a construção de 
linhas retas, entre elas, retas, semirretas, segmentos de retas e vetores. 
 
Para construir uma reta basta clicar em Reta definida por Dois Pontos e, em seguida, clicar em dois 
pontos na Janela de Visualização. Os pontos são construídos no momento em que se clica na Janela de 
Visualização, ou ainda podem ser utilizados pontos construídos anteriormente. 
Uma reta pode ainda ser construída por meio do comando Reta[ <Ponto>, <Ponto>] ao digitá-lo na 
Entrada. Por exemplo, para construir uma reta pelos pontos (1,2) e (3, 5), basta digitar o seguinte comando 
na Entrada. 
 
Na figura abaixo apresentamos duas retas construídas e exibidas na Janela de Visualização. 
A reta r, de cor vermelha, foi 
construída selecionando a ferramenta 
Reta definida por Dois Pontos e, em 
seguida, clicando-se em dois pontos na 
Janela de Visualização. A reta s, de cor 
azul, foi construída digitando o 
comando Reta[(0,0), (2,2)] na Entrada. 
No primeira construção o 
GeoGebra exibe a reta e os pontos 
pelos quais ela é definida. Na segunda 
é construída e exibida apenas a reta. 
 
 
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SEMIRRETA 
O processo para construção de semirretas com o mouse é semelhante ao de construção de retas. 
Deve-se clicar na opção Semirreta definida por dois pontos e, em seguida, clicar em dois pontos na Janela 
de Visualização. 
Ao digitar o comando Semirreta na Entrada o GeoGebra apresenta duas possibilidades de sintaxe. 
 
Na primeira sintaxe, Semirreta[<Ponto Inicial>, <Ponto>], é necessário apenas digitar dois pontos 
para obter uma semirreta. Por exemplo, digitando Semirreta[(0,0), (1,1)], constrói-se uma semirreta com 
origem em (0,0) passando por (1,1). 
Na segunda sintaxe, Semirreta[ <Ponto Inicial>, <Vetor Diretor>], é preciso construir um vetor 
previamente ou aninhar o comando Vetor no comando Semirreta. Por exemplo, digitando-se 
Semirreta[(0,0) , u] constrói-se uma semirreta com origem em (0,0) e paralela ao vetor u previamente 
construído. Já, com o comando Semirreta[(0,0), Vetor[(2,3),(4,5)]], constrói-se uma semirreta com origem 
em (0,0) e paralela ao vetor definido pelos pontos (2,3) e (4,5). 
SEGMENTOS 
Há duas opções para construção de segmentos no GeoGebra: Segmento definido por Dois Pontos e 
Segmento com Comprimento Fixo. 
Ao selecionar a opção Segmento definido por Dois Pontos basta, em seguida, clicar em dois pontos 
na Janela de Visualização. 
Na segunda opção, Segmento com Comprimento fixo, clica-seem um ponto na Janela de 
Visualização. Em seguida, deve-se inserir um valor em uma caixa aberta automaticamente pelo software e, 
por último, clicar em OK para que o segmento seja construído. 
 
Segmentos também podem ser construídos por meio de comandos. Para isso, basta utilizar uma das 
seguintes sintaxes: 
 Segmento[ <Ponto>, <Ponto>] constrói um segmento a partir de dois pontos; 
 Segmento[ <Ponto>, <Comprimento>] constrói um segmento com comprimento fixo. 
 
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VETORES 
No caso de vetores o GeoGebra oferece duas opções no ícone de construção de linhas retas: Vetor 
Definido por Dois Pontos e Vetor a partir de Um Ponto. Utilizou-se cada uma dessas opções para a 
construção dos vetores u e v. 
 
Para construir o vetor u selecionou-se Vetor Definido por Dois Pontos e, em seguida, clicou-se em 
dois pontos na Janela de Visualização. Obtém-se resultado semelhante digitando o seguinte comando na 
Entrada: 
 Vetor[<Ponto Inicial>, <Ponto Final>] 
O vetor v foi construído a partir de um ponto C e do vetor u. Nessa construção foi selecionada a 
opção Vetor a partir de um ponto, clicou-se no ponto C e, por último, no vetor u. 
Na Entrada ainda é possível construir um vetor tendo como parâmetro um único ponto: 
 Vetor[ <Ponto>] 
Nesse caso, o vetor tem como origem o ponto (0,0) e ponto final o ponto dado como parâmetro. Por 
exemplo, digitando o comando Vetor[(5,3)] constrói-se o seguinte vetor. 
 
 
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CAMINHO POLIGONAL 
Um caminho poligonal é um conjunto de segmentos consecutivos e para construí-lo no GeoGebra 
basta clicar na opção Caminho Poligonal e clicar em pontos da Janela de Visualização. Para concluir a 
construção deve-se clicar no ponto inicial da poligonal. 
A construção abaixo foi realizada a partir da sequência de cliques: A  B  C  D  E  A. 
 
A sintaxe desse comando digitável na Entrada é: 
 CaminhoPoligonal[ <Ponto>, ..., <Ponto>] 
 CaminhoPoligonal[ <Lista de Pontos>] 
Na primeira sintaxe obtém-se um caminho poligonal tendo como parâmetros pontos já existentes, 
CaminhoPoligonal[A, B, C, D, E], ou pontos que são definidos juntamente com o comando, 
CaminhoPoligonal[(1,2), (3,1), (4,0), (3,4)]. 
É possível ainda construir um caminho poligonal a partir de uma lista de pontos. Por exemplo, digita-
se na Entrada uma lista L com os pontos ( 5,0), ( 1,3), ( 2, 4), (2, 3) e (5, 0). 
 
Em seguida, digita-se o comando para obter o caminho poligonal a partir de L, ou seja, 
CaminhoPoligonal[ L]. 
 
 
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Nesse texto abordamos a construção de retas perpendiculares, retas paralelas, bissetrizes e 
mediatrizes. Para isso, utilizamos as ferramentas reunidas no quarto ícone da Barra de Ferramentas, da 
esquerda para direita. 
 
RETAS PERPENDICULARES 
Com a utilização da ferramenta Reta Perpendicular podemos construir retas perpendiculares a uma 
reta, a uma semirreta, a um segmento de reta e a um vetor. Para construir uma reta perpendicular a uma 
reta, basta clicar em Reta Perpendicular e, em seguida, clicar na reta e por último clicar em um ponto sobre 
a reta ou não pertencente a ela. 
Na figura abaixo a reta s é perpendicular a reta r por um ponto A não pertencente a r. A reta t é 
perpendicular a reta r por um ponto B pertencente a r. 
 
 
O processo de construção de retas perpendiculares a semirretas, segmentos de retas e vetores é 
semelhante ao processo de construção descrito anteriormente. 
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É possível ainda construir uma reta perpendicular digitando comandos na Entrada. Para isso, 
utilizamos uma das seguintes sintaxes: 
 Perpendicular[ <Ponto>, <Reta>] 
 Perpendicular[ <Ponto>, <Segmento> ] 
 Perpendicular[ <Ponto>, <Vector> ] 
RETAS PARALELAS 
Para construir retas paralelas, primeiramente clicamos no ícone Reta Paralela, em seguida, clicamos 
em um dos objetos para o qual se deseja construir uma reta paralela, ou seja, em uma reta, semirreta, 
segmento de reta ou vetor. Por último, clicamos sobre um ponto para que seja construída e exibida a reta 
paralela. 
Na imagem abaixo aparece apenas uma reta na Janela de Visualização, mas observando 
atentamente a Janela de Álgebra é possível perceber que as retas r e s possuem a mesma equação. Ao 
construir uma reta s paralela a r clicamos sobre um ponto na reta r. Assim, as retas r e s são paralelas e 
coincidentes. 
 
BISSETRIZES 
No GeoGebra é possível construir 
bissetrizes a partir de duas retas ou de 
três pontos. As retas de cor vermelha na 
imagem ao lado são bissetrizes 
construídas com a ferramenta Bissetriz. 
Na primeira construção que 
aparece mais a esquerda na Janela do 
GeoGebra construímos duas bissetrizes, 
clicando na Ferramenta Bissetriz e, em 
seguida, clicando em cada uma das retas 
r e s. 
Na segunda construção, após 
selecionar Bissetriz, clicamos em A, B e C 
e foi obtida uma bissetriz passando por 
B (o segundo ponto clicado). 
 
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Note que na primeira construção o GeoGebra construiu e exibiu duas bissetrizes cada uma relativa a 
um dos ângulos formados entre as retas r e s. Já, na segunda construção, foi construída apenas uma 
bissetriz passando pelo segundo ponto clicado. Podemos interpretar que esse ponto seja o vértice entre 
duas retas: uma por AB e outra por BC. 
O mesmo resultado seria obtido usando as seguintes sintaxes na Entrada: 
 Bissetriz[ <Reta>, <Reta> ] 
 Bissetriz[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ] 
MEDIATRIZES 
Uma mediatriz pode ser construída a partir de dois pontos ou de um segmento. Para isso, basta 
clicar na ferramenta Mediatriz e, em seguida, clicar no segmento ou em dois pontos. 
 
Mediatriz construída a partir de um segmento. 
 
Mediatriz construída a partir de dois pontos. 
O mesmo resultado pode ser obtido digitando-se os seguintes comandos na Entrada. 
 Mediatriz[ <Ponto>, <Ponto> ] 
 Mediatriz[ <Segmento> ] 
 
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Nesse texto abordamos a construção de polígonos com a utilização do mouse e por meio da digitação 
de comandos na Entrada. 
 
 
POLÍGONOS 
A ferramenta Polígono possibilita construir polígonos a partir de pontos já construídos na Janela de 
Visualização ou mesmo a partir de pontos criados no momento do uso da ferramenta. Assim, para construir 
um polígono basta clicar na ferramenta Polígono e clicar em pontos a sua escolha na Janela de Visualização. 
A construção deve ser finalizada clicando novamente no ponto em que a construção foi iniciada. 
 
É possível ainda construir um polígono digitando comandos na Entrada. Para isso, utiliza-se uma das 
seguintes sintaxes: 
 Polígono[ <Ponto>, ..., <Ponto>] 
Esse comando constrói um polígono a partir de um conjunto de pontos específicos, por exemplo, 
Polígono[(0,0), (2,3), (1,5)] constrói um polígono de vértices (0,0), (2,3) e (1,5) que são os 
parâmetros do comando. Supondo que os pontos A = (0,0), B=(2,3) e C=(1,5) estivessem 
construídos no GeoGebra. Nesse caso, digitando Polígono[A, B, C] na Entrada obtemos o mesmo 
resultado descrito anteriormente. 
 
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 Polígono[ <Lista de Pontos> ] 
Com essa sintaxe é possível construir um polígono a partir de uma lista de pontos. Assim, dada 
uma lista de pontos L = {(0,0), (2,3), (1,5)}, basta digitar Polígono [L] na Entrada para obter um 
polígono. 
 
POLÍGONO REGULAR 
Com a ferramenta Polígono Regular obtemos polígonos a partir de dois pontos e de um número natural 
que indica a quantidade de lados ou vértices. Para construir um polígono regular basta clicar em Polígono 
Regular, escolher dois pontos e, em seguida, o GeoGebra carrega uma janela em que deve-se digitar um 
número ou o nome de uma variável que representaa quantidade de vértices. 
 
Após digitar o número de vértices, ou a variável, clicando-se em OK obtém-se um polígono regular. 
 
O mesmo resultado pode ser obtido usando a seguinte sintaxe na Entrada: 
 Polígono[ <Ponto>, <Ponto>, <Número de Vértices>] 
 
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POLÍGONOS RÍGIDOS 
O GeoGebra possui uma ferramenta com a qual é possível construir polígonos não deformáveis, ou 
seja, polígonos cuja forma não é afetada ao movimentar um vértice ou um lado. Essa ferramenta é chamada 
Polígono Rígido. Clicando na ferramenta Polígono Rígido podemos construir um polígono de cinco lados 
conforme exibido abaixo. 
 
Como podemos observar o GeoGebra retornou apenas os dois primeiros pontos clicados, A e B, e um 
polígono rígido. Nesse caso se movermos o ponto A todo o polígono é movido juntamente. Se movermos o 
ponto B, o polígono é girado em torno do ponto A. Portanto, em nenhum dos casos o polígono é deformado. 
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Isometrias no plano é um tópico de estudo da Geometria das Transformações e sua abordagem visa 
propiciar conceituações de congruência e de semelhança, procurando desenvolver a capacidade de 
perceber se duas figuras têm ou não a mesma forma e o mesmo tamanho independente da posição que 
elas ocupam no plano. 
Nesse texto vamos abordar algumas isometrias no GeoGebra. 
 
SIMETRIA DE TRANSLAÇÃO 
Na simetria de translação obtém uma imagem da figura original deslocada uma medida c dada, a 
qual pode ser representada por um vetor. 
 
No GeoGebra é possível obter um polígono (pol2) a partir de um polígono (pol1), por exemplo. 
Inicialmente construímos um polígono (pol1) e um vetor (u). 
 
Clicando em Translação por um Vetor e, em seguida, clicando no polígono e no vetor obtemos a 
figura transladada. O mesmo resultado pode ser obtido digitando Transladar[<Objeto>, <Vetor>] com os 
seguintes parâmetros e obtemos outro polígono (pol2) transladado por u. 
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Utilizando o comando Sequência[<Expressão>,<Variável>,<Valor Inicial>,<Valor Final>], juntamente 
com o comando Transladar podemos obter uma sequência de polígonos transladados por múltiplos do 
vetor u. 
 
O comando Sequência[<Expressão>,<Variável>,<Valor inicial>,<Valor final>] possibilita criar 
sequências de números, de pontos, de segmentos, de polígonos, entre outros. O comando deve ser digitado 
uma expressão em uma variável a sua escolha, por exemplo: 
 Para obter os seis primeiros números pares Sequência[2*n, n, 0, 5] 
 Para obter dez pontos da função f(x) = 2^x: Sequência[(n, f(n)), n, 1, 10] 
Nos comandos acima o “n” é a variável do comando e os dois próximos valores determinam os 
limites mínimo e máximo em que o comando deve ser executado. 
 
 
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SIMETRIA DE ROTAÇÃO 
Na simetria de rotação, obtemos a imagem de um objeto por meio de um giro em torno de um ponto 
fixo, chamado de centro de rotação. 
 
A ferramenta Rotação em torno de um Ponto por um Ângulo permite obter uma figura B girando uma 
figura A. 
 
Assim, com a ferramenta Rotação em torno de um Ponto por um Ângulo ativa, clica-se na figura e no 
ponto. O GeoGebra exibe uma caixa com um campo para ser preenchido com a medida do Ângulo. Além 
disso, há opções para escolha do sentido do giro. 
 
Definida a amplitude do ângulo e o sentido do giro, clica-se em OK para que seja obtida a imagem 
girada pelo ponto O (centro de rotação). 
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É possível ainda obter a imagem girada de uma figura digitando-se comandos na Entrada. Para isso, 
utiliza-se uma das seguintes sintaxes: 
 Girar[ <Objeto>, <Ângulo>] 
 Girar[ <Objeto>, <Ângulo>, <Ponto>] 
As duas sintaxes acima apresentam diferenças quanto aos resultados obtidos. Na primeira a 
imagem girada é obtida em relação à origem, ou seja, o ponto (0,0), já que não é especificado o centro de 
rotação. E na segunda, a imagem girada é obtida em relação a um centro escolhido arbitrariamente. 
Da mesma forma que fizemos com o comando Transladar, podemos utilizar o comando 
Girar[<Objeto>, <Ângulo>, <Ponto>] aninhado ao comando Sequência para obter uma série de polígonos que 
correspondem a giros de pol1 em torno do ponto O. 
 
 
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SIMETRIA DE REFLEXÃO 
Na simetria de reflexão há um segmento passando pela figura ou fora dela que atua como espelho, 
refletindo a imagem desenhada. Esse segmento recebe o nome de eixo de simetria. 
 
O eixo e divide a figura em duas partes iguais ou congruentes. A figura A e sua simétrica, a figura B, 
estão a mesma distância do eixo e. 
No GeoGebra podemos obter imagens refletidas utilizando as ferramentas Reflexão em Relação a 
uma Reta ou Reflexão em Relação em Relação a um Ponto. Com uma das ferramentas selecionadas, clica-
se na figura a qual deseja-se obter a imagem refletida e clica-se na reta (ou ponto). 
É possível ainda obter a imagem refletida de uma figura digitando-se comandos na Entrada. Para 
isso, utiliza-se uma das seguintes sintaxes: 
 Reflexão[ <Objeto>, <Ponto> ] 
 Reflexão[ <Objeto>, <Reta> ] 
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Quando construímos um objeto no GeoGebra, um polígono, uma reta, um ponto, por exemplo, eles 
são exibidos na Janela de Visualização com atributos como cor, espessura da linha, 
transparência/opacidade predefinidos pelo software. Abordaremos nesse texto como modificar esses 
atributos acessando a Janela de Propriedades. 
JANELA DE PROPRIEDADES 
Clicando com o botão direito do mouse sobre um objeto na Janela de Visualização ou sobre seu 
nome na Janela de Álgebra podemos acessar a Janela de Propriedades. 
 
Na Janela de Propriedades visualizamos cinco abas: Básico, Cor, Estilo, Avançado e Programação. 
Na aba Básico é possível modificar atributos de um ou mais objetos selecionados. 
Em nossa imagem exemplo acima selecionamos o triângulo ABC (pol1). Ao acessar as propriedades 
desse objeto que são exibidas na Janela de Propriedades abaixo, visualizamos as definições e atributos 
desse polígono. 
 
A opção Fixar Objeto quando selecionada fixa o objeto na Janela de Visualização não permitindo que 
ele seja movido com o ponteiro do mouse. A opção Definir como Objeto Auxiliar faz com que o nome do 
objeto componha uma lista de objetos que não são exibidos por padrão na Janela de Álgebra. 
 
 
 
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O triângulo DEF, representado na cor azul na imagem abaixo, foi definido como objeto auxiliar. Como 
podemos notar pol2 é exibido na Janela de Visualização, mas não é exibido na Janela de Álgebra. 
 
Esse recurso do GeoGebra permite que nomes de objetos que foram úteis na construção, mas que 
não são úteis ao utilizar o GeoGebra em uma aula ou em uma apresentação, não desviem a atenção do 
usuário. No entanto, caso necessitarmos, é possível exibir as nomenclaturas dos objetos auxiliares na 
Janela de Álgebra. Para isso, realizamos os seguintes passos. 
 
Clicamos no ícone que aparece ao lado de 
Janela de Álgebra. 
 
 
 
 
Clicamos em Objetos Auxiliares. 
 
 
Na aba Cor é possível modificar a cor do objeto 
selecionado a partir de uma palheta de cores predefinidas 
no software. Clicando em outro é possível ainda acrescentar 
cores que não são apresentadas na palheta. Para isso, 
devemos modificar os valores dos controles deslizantes. 
 
 
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Para controlar a transparência ou opacidade do objeto modificamos os valores do controle de 
transparência para valores de 0 a 100. Sendo que no valor zero a figura é totalmente transparente e no 100, 
totalmente opaca. 
Na aba Estilo são disponibilizadas opções que permitem modificar a espessura e o estilo da linha. E 
além disso, modificar o preenchimento de objetos. 
 
As imagensabaixo são exemplos de aplicação da opção preenchimento. 
 
A opção Inverter Preenchimento permuta o 
preenchimento do objeto com o plano de fundo. 
No exemplo ao lado, antes de selecionarmos 
Inverter Preenchimento, o plano de fundo era de cor 
branca e o polígono estava preenchido com a malha 
hexagonal. 
 
 
 
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Nesse texto abordamos como construir círculos, arcos e setores circulares no GeoGebra a partir de 
comandos digitados na caixa de Entrada. 
CÍRCULO 
O GeoGebra apresenta quatro sintaxes para o comando Círculo. A primeira delas é a seguinte: 
 Círculo[<Ponto>, <Medida do Raio>] 
Nessa sintaxe devemos digitar, como parâmetros, o centro e o comprimento do raio (não é 
necessário que o ponto esteja previamente construído). Quanto ao parâmetro Medida do Raio, podemos 
digitar um valor numérico, que determinará um raio de comprimento fixo para o círculo. Podemos ainda, 
por exemplo, digitar o nome de um controle deslizante. Assim, é possível modificar a medida do raio por 
meio do controle deslizante. 
Com um ponto A = (1,1) construído na Janela de Visualização e digitando o comando Círculo[A, 2] na 
Entrada, obtemos o seguinte círculo. 
 
A segunda sintaxe do comando círculo apresenta os seguintes parâmetros 
 Círculo[<Ponto>, <Segmento>] 
Para construir um círculo a partir do ponto A e do segmento BC digitamos o comando Círculo[A, a] na 
Entrada. 
 
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Caso não houvesse nem o ponto A e nem o segmento BC construídos previamente na Janela de 
Visualização, o mesmo resultado poderia ser obtido por meio do comando: 
 Círculo[(1,1), Segmento[(-3,2),(-1,3)]]. 
Na terceira sintaxe, Círculo[<Ponto>, <Ponto>], devemos digitar dois pontos como parâmetros: o 
primeiro determina o centro do círculo e, o segundo, um ponto sobre a circunferência. A medida do raio, 
nesse caso, é determinada pela distância entre esses pontos. O procedimento para obter o círculo usando 
esse comando é semelhante aos que apresentamos nos exemplos anteriores. 
A quarta e última sintaxe do comando Círculo é a seguinte: 
 Círculo[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto>] 
Na entrada digitamos o comando determinando quais são os pontos que estarão sobre a 
circunferência. Por exemplo, digitamos Círculo[(1, 1), (3, 1), (2, 4)] para construir um círculo cuja 
circunferência passa pelos pontos (1, 1), (3, 1) e (2, 4). 
 
 
ARCO 
As sintaxes a seguir são úteis para a construção de arcos no GeoGebra: 
 Arco[ <Círculo>, <Ponto>, <Ponto> ] 
 Arco[ <Elipse>, <Ponto>, <Ponto> ] 
 Arco[ <Círculo>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro> ] 
 Arco[ <Elipse>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro> ] 
 ArcoCircular[ <Centro>, <Ponto>, <Ponto> ] 
 ArcoCircuncircular[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ] 
 
 
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As duas primeiras sintaxes são uteis para construir arcos tendo como suporte um círculo ou uma 
elipse e dois pontos. Veja como construir um arco sobre uma elipse nos passos a seguir. 
 
Considere uma elipse e e dois pontos A e B. 
Note que A pertence a curva da elipse e e B 
não pertence a curva da elipse e. 
 
 
 
Digitamos o seguinte comando na Entrada: 
Arco[e, A, B] 
e obtemos um arco sobre a elipse e delimitado pelo 
ângulo de vértice em (0,0) e semirretas por A e B. 
 
 
As sintaxes Arco[<Círculo>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro>] e Arco[<Elipse>, <Valor do 
Parâmetro>, <Valor do Parâmetro>], são utilizadas para obter arcos sobre círculos e elipses, 
respectivamente. Os valores dos parâmetros são úteis para definir os giros dos pontos inicial e final desse 
arco. 
Na imagem a seguir aparece uma circunferência c e semirretas consecutivas formando ângulos de 
15º. Além disso, foram construídos dois pontos A e B. 
 
 
Observe o resultado de Arco[<Círculo>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro>] em cada caso. 
caso 1: Arco[c, 15°, 45°] 
 
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caso 2: Arco[c, A, B] 
 
caso 3: Arco[c, B, A] 
 
 
caso 4: Arco[c, π, 2π] 
 
 
SETOR 
Para construir setores utilizando comandos devemos utilizar uma das sintaxes a seguir: 
 Setor[ <Cônica>, <Ponto>, <Ponto> ] 
 Setor[ <Cônica>, <Valor do Parâmetro>, <Valor do Parâmetro> ] 
 SetorCircular[ <Centro>, <Ponto>, <Ponto> ] 
 SetorCircuncircular[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ] 
Essas sintaxes são utilizadas de modo semelhante ao que apresentamos para arcos. 
 
27 
 
 
 
Nesse texto apresentamos algumas noções sobre como explorar funções no GeoGebra. 
COMANDO FUNÇÃO 
Entre os diversos comandos que o GeoGebra possui, há o comando Função que tem a seguinte sintaxe: 
 Função[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ] 
Com esse comando obtemos uma função representada graficamente na Janela de Visualização e algebricamente 
na Janela de Álgebra. Por exemplo, ao digitarmos f(x) = Função[x^2, -1, 2] na Entrada obtemos. 
 
Como podemos observar na figura, a partir do comando f(x) = Função[x^2, 1, 2], o GeoGebra construiu f(x) = 
x2 na Janela de Álgebra e plotou o gráfico dessa função de (1, f(1)) a (2, f(2)). 
É possível construir uma função no GeoGebra sem utilizar o comando Função. Por exemplo, para construir a 
função g(x) = 2x3, podemos digitar uma das duas sintaxes a seguir: 
 g(x) = 2*x^3 
 2*x^3 
Nesses casos não é possível delimitar o intervalo conforme fizemos com f(x) = Função[x^2, 1, 2] para obter a 
função f(x) no intervalo [1, 2]. 
FUNÇÕES COM PARÂMETROS MODIFICÁVEIS 
O uso de controles deslizantes permite analisar funções de forma dinâmica, pois, podemos utilizá-los para definir 
vários parâmetros de uma função: limites de intervalos em que a função é definida, coeficientes da função, expoentes de 
uma função polinomial, entre outros. 
Vamos construir uma função f(x) = ax2 + bx + c e plotar seu gráfico em um intervalo I =[x1, x2]. Para isso, siga 
os passos abaixo. 
 
 
28 
 
 
 
Construa cinco controles deslizantes na Janela de Visualização. 
 
 
 
 
 
Na Entrada digite o comando f(x)=Função[a*x^2+b*x+c,x_1,x_2]. 
. 
 
Após realizar esses passos obtém-se uma função f(x), polinomial do 2º grau, em que é possível controlar o 
intervalo de plotagem de seu gráfico e os valores dos coeficientes a, b e c. 
 
 
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
Em Matemática é comum operarmos funções para obtenção de novas funções, por exemplo, dadas duas funções 
f = f(x) e g = g(x), podemos obter outras operando com f e com g. 
 h(x) = f(x) + g(x) 
 p(x) = f(x).g(x) 
 q(x) = f(x)/g(x) 
 e(x) = f(x)g(x) 
29 
 
 
 
No GeoGebra é possível fazer essas operações com funções. Para isso, considere duas funções no GeoGebra f(x) 
= x e g(x) = x2. 
 
Digitando h(x) = f(x) + g(x), p(x) = f(x)*g(x), q(x) = f(x)/g(x) e e(x) = f(x)^g(x) na caixa de entrada, obtém-se 
funções por meio de cálculos realizados com f e g e que depende diretamente dessas funções. Na imagem abaixo, foram 
ocultadas as funções f e g e aparece somente o gráfico de q(x) = f(x)/g(x) na Janela de Visualização. 
 
 
 
30 
 
 
FUNÇÕES COMPOSTAS 
Assim como operação entre funções, no GeoGebra é possível fazer obter funções compostas. 
No exemplo ilustrado abaixo, construímos duas funções f(x) = (x+1)² e g(x) = sqrt(x). 
 
Para compor a função h(x), que corresponde a g(f(x)), digitamos na caixa de entrada o seguinte comando: h(x) = 
g(f(x)). O GeoGebra exibe o gráfico da função h(x) na Janela de Visualização e, na Janela de Álgebra, é exibida a 
expressão da função. 
 
Nesse caso, a função g(f(x)) está descrita na Janela de Álgebra como ℎ(𝑥) = √(𝑥 + 1)². Para obter uma 
expressão mais simplificada da função h(x), basta dar um duplo cliquena expressão da função. Abrirá uma caixa 
Redefinir. 
 
Antes da definição da função deve-se digitar o comando expandir. O GeoGebra me devolve a expressão da 
função simplificada. Nesse caso a expressão torna-se ℎ(𝑥) = |𝑥 + 1|. Não haverá nenhuma modificação no gráfico da 
função, apenas em sua expressão. 
31 
 
 
 
Neste texto abordamos como exibir e explorar a Janela de Visualização 3D do GeoGebra. Abordamos como 
construir objetos como prismas e pirâmides. Em seguida, exploramos alguns comandos de 3D disponível na Janela de 
Comandos e com eles construímos os moldes dos poliedros regulares. Por fim, exploramos o comando abordamos como 
construir uma pilha de cubos usando o comando Sequência integrado ao comando Transladar. 
JANELA DE VISUALIZAÇÃO 3D 
Acessando o menu Exibir e clicando em Janela de Visualização 3D, o GeoGebra carrega esta janela apresentando-
a ao lado das janelas já carregadas no software. A Janela de Visualização 3D pode também ser exibida teclando 
conjuntamente as teclas Ctrl, Shift e 3. 
 
A vantagem desta nova janela na suíte de trabalho do GeoGebra não está apenas em novas possibilidades de 
construção de objetos tridimensionais, mas em sua integração às Janelas de Visualização 1 e 2, a Planilha e a Janela CAS. 
No exemplo abaixo apresentamos como, a partir de um polígono regular construído na Janela de Visualização, obter uma 
pirâmide na Janela de Visualização 3D. 
 
Construa três controles deslizantes para determinar o raio r de uma circunferência, a altura h de uma pirâmide e a 
quantidade de lados do polígono inscrito na circunferência (n). Os controles r e h devem ter valor mínimo 0, valor 
máximo 6 e incremento 0.1. O controle n deve ter valor mínimo 3, valor máximo 20 e incremento 1. 
 
 
 
Utilizando o comando Sequência[ <Expressão>, <Variável>, <Valor Inicial>, <Valor Final> ] integrado ao 
comando Girar[ <Objeto>, <Ângulo ], construa uma lista de pontos que correspondam a giros do ponto de 
coordenadas (r, 0) em torno de (0, 0). Para isso, digite o seguinte comando no campo Entrada. 
32 
 
 
 
 
Após teclar Enter, o GeoGebra retorna uma sequência de pontos exibidos no plano xy da Janela de Vizualização, 
bem como, da Janela de Visualização 3D. 
 
 
 
 
A partir da lista de pontos construída no passo anterior, obtenha um polígono digitando o seguinte comando no 
campo Entrada. O polígono será exibido nas duas janelas de visualização. 
 
 
 
Clique na Janela de Visualização 3D para que ela fique ativa e clique em Fazer extrusão para Pirâmide ou Cone. 
Em seguida, clique no polígono e digite h na caixa que solicitar a altura da pirâmide. Com n = 6 obtém-se o 
seguinte resultado. 
 
FERRAMENTAS E COMANDOS 3D 
A barra de ícones da Janela de Visualização 3D oferece um conjunto de ferramentas úteis para construir objetos, 
realizar movimentos e modificar propriedades de objetos. Segue a descrição dos passos necessários para construir um 
cubo e sua planificação. 
 
 
 
33 
 
 
 
Com a Janela de Visualização exibida e a Janela de Visualização 3D exibida e ativa, clique na ferramenta Cubo e, em 
seguida, clique em dois pontos do plano xy. 
 
O GeoGebra retorna um cubo cuja medida da aresta é dada pela distância entre os pontos clicados ou construídos no 
momento da utilização da ferramenta. 
Note que o GeoGebra exibe na Janela de Visualização a face e os pontos contidos no plano xy. 
 
Clique na ferramenta Planificação e clique no cubo. 
 
O GeoGebra retornará a planificação do cubo em ambas as janelas de visualização. Além disso, construirá um 
controle deslizante e exibirá na Janela de Visualização com valor mínimo 0, valor máximo 1 e incremento 0.1. Esse 
controle permite controlar a abertura do molde do cubo. Quando o valor do controle for zero, o molde do cubo fica 
completamente fechado, ou seja, obtém-se o cubo montado. E, com valor 1, o molde é totalmente aberto. Em outras 
palavras, com valor 1 obtém-se a planificação do cubo. 
 
34 
 
 
De acordo com o processo apresentado acima, para utilizar a ferramenta Planificação é necessário construir 
previamente um poliedro. Porém, utilizando os comandos de 3D é possível integrar dois comandos e obter a planificação 
de um cubo sem que seja necessário ter construído o cubo previamente. 
Ao digitar o comando Planificação[Cubo[(0,0,0), (1,0,0), EixoZ], 0.7] no campo Entrada, o GeoGebra retorna o 
molde do cubo de aresta de comprimento 1 e 70% aberta. 
 
 
O exemplo acima é um caso de construção que só é possível de ser realizada utilizando comandos no campo 
Entrada. 
Veja a seguir como construir todos poliedros de Platão e suas planificações por meio de comandos. 
 
Com o GeoGebra carregado e exibindo a Janela de Álgebra, a Janela de Visualização e a Janela de Visualização 3D, 
construa um controle deslizante i com valor mínimo 0, valor máximo 1 e incremento 0.01. 
 
 
 
No campo Entrada, digite Planificação[Tetraedro[(0,0,0), (1,0,0),EixoZ], i] para construir o molde de um tetraedro a 
partir dos pontos (0, 0, 0) e (1, 0, 0) e cuja abertura é controlada pelo controle deslizante i. 
 
 
I = 0.1 
 
 
i = 0.3 
 
 
i = 0.8 
 
 
 
35 
 
 
 
Digite Planificação[Cubo[(0,0,0), (1,0,0),EixoZ], i] para construir o molde de um hexaedro regular (cubo). 
 
 
 
I = 0.1 
 
i = 0.4 
 
i = 0.8 
 
 
 
Digite Planificação[Octaedro[(0,0,0), (1,0,0),EixoZ], i] no campo Entrada para construir o molde de um octaedro. 
 
 
I = 0 
 
i = 1 
 
 
 
Digite Planificação[Dodecaedro[(0,0,0), (1,0,0),EixoZ], i] para obter o molde de um dodecaedro. 
 
 
I = 0 i = 0.4 
 
36 
 
 
 
Por último, com o comando Planificação[Icosaedro[(0,0,0), (1,0,0),EixoZ], i] é possível obter o molde de um icosaedro. 
 
 
I = 0.4 i = 1 
 
UMA PILHA DE CUBOS 
Utilizando o comando Sequência em conjunto com o comando Transladar é possível obter uma pilha de cubos na 
Janela de Visualização 3D. Veja como realizar esta construção utilizando os passos abaixo. 
 
 
Com o GeoGebra carregado e exibindo a Janela de Álgebra, a Janela de Visualização e a Janela de Visualização 3D, 
construa um controle deslizante n com valor mínimo 0, valor máximo 10 e incremento 1. Com esse controle será 
possível determinar a quantidade de cubos da base da pilha. Construa também dois vetores u e v: u = (1, 0, 0) e v = (0.5, 
0, 1) 
 
 
Utilizando o comando Sequência aninhado com o comando Transladar obtenha um conjunto de n pontos transladados 
por meio do vetor um. Para isso, digite L_1 = Sequência[Transladar[(0, 0, 0), Vetor[i u]], i, 0, n - 1] no campo Entrada. 
 
37 
 
 
 
A partir dos pontos de L1, construa um conjunto de cubos. Essa lista vai tomar dois a dois os elementos de L1 para 
pontos bases do cubo. Digite L_2 =Sequência[Cubo[Elemento[L_1, i], Elemento[L_1, i + 1], EixoZ], i, 1, n] no campo 
Entrada. 
 
 
 
Neste passo, utilizando o comando ParteDaLista[ <Lista>, <Posição Inicial>, <Posição Final> ] será transladada na 
direção do vetor v os n – 1 elementos de uma linha para a linha superior. Para obter esse resultado, digite L_3 = 
Sequência[Transladar[ParteDaLista[L_2, 1, n - 1 - i], Vetor[i v]], i, 1, n - 1]. 
 
 
38 
 
 
 
Nesse texto abordamos como construir objetos utilizando comandos digitáveis no campo ENTRADA. Além 
disso, abordamos como realizar transformações e ações com comandos simples e compostos. 
CAMPO DE ENTRADA 
Na parte inferior do software GeoGebra é exibido o campo Entrada, uma caixa de texto em que podemos digitar 
comandos para construir objetos, executar transformações, obter medidas, entre outras possibilidades.Há ainda, ao lado 
da Entrada, dois ícones, um para inserção de símbolos especiais e outro para abrir a Janela Ajuda de comandos. 
 
CARACTERES ESPECIAIS 
Para inserir um símbolo que pode ser uma letra grega ou um sinal de operação, por exemplo, siga os passos 
abaixo. 
 
 Enquanto digita um comando clique no ícone de caracteres especiais. 
 
 
39 
 
 
 
 
Clique no símbolo especial. 
 
O símbolo especial é inserido no comando. 
 
AJUDA 
Clicando no ícone indicado na figura é aberta uma listagem de comandos do software. 
 
Cada um dos itens da listagem corresponde a um título de uma categoria que reúne uma quantidade de 
comandos. Clicando no sinal ao lado do título do tópico abre-se uma persiana com os comandos relacionados àquele 
tópico. 
 
40 
 
 
SINTAXE DE COMANDOS 
A sintaxe de um comando diz respeito a como ele deve ser escrito, incluindo os parâmetros necessários, para que 
o comando execute sua função. Vejamos alguns exemplos. 
 CírculoInscrito[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ] 
Comando para construção de um círculo inscrito a partir de três pontos. Os parâmetros necessários para o 
funcionamento correto desse comando são três pontos, dois a dois não coincidentes. 
 
 
Na Janela de Visualização foram construídos três 
pontos: A=(2, 1), B=(5,4) e C=(1,5). 
 
 
 
 
Digitando CírculoInscrito[A,B,C] ou 
CírculoInscrito[(2,1), (5, 4), (1, 5)], obtém-se o círculo 
abaixo. 
 
 
 Bissetriz[ <Reta>, <Reta> ] 
Bissetriz[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ] 
O comando Bissetriz possui duas sintaxes, ou seja, podemos escrever como parâmetros o nome, a equação 
ou a referência a duas retas na primeira forma. Na segunda sintaxe, podemos fazer referência a três pontos. 
 
 Comprimento[ <Vetor> ] 
Comprimento[ <Ponto> ] 
Comprimento[ <Lista> ] 
Comprimento[ <Texto> ] 
Comprimento[ <Lugar Geométrico> ] 
Comprimento[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ] 
Comprimento[ <Função>, <Ponto Inicial>, <Ponto Final> ] 
Comprimento[ <Curva>, <Valor de t Inicial>, <Valor de t Final> ] 
Comprimento[ <Curva>, <Ponto Inicial>, <Ponto Final> ] 
Comprimento[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ] 
Comprimento[ <Curva>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ] 
Comprimento[ <Função>, <Variável>, <Ponto Inicial>, <Ponto Final> ] 
Comprimento[ <Curva>, <Variável>, <Ponto Inicial>, <Ponto Final> ] 
O comando Comprimento possui várias sintaxes com as quais são realizadas ações diferentes. Digitando na 
Entrada Comprimento[ <Vetor> ] é retornado o comprimento do vetor dado como parâmetro. Digitando Comprimento[ 
<Ponto> ] é retornado a distância de um ponto a (0, 0). Digitando Comprimento[ <Lista> ] é retornada a quantidade de 
elementos de uma lista. 
Na imagem abaixo aparecem três pontos (A, B, C), um vetor u e uma lista construída a partir dos três pontos, 
Lista={A, B, C}. 
41 
 
 
 
Digitando C_1=Comprimento[Lista], obtemos a quantidade de elementos da Lista, ou seja, C1 = 3. Digitando 
C_2=Comprimento[u], obtemos C2=2,24, ou seja, o comprimento do vetor u. E, por último, digitando 
C_3=Comprimento[A] o GeoGebra retorna C3 = 1,41, ou seja, a distância de A a (0, 0). 
AJUDA ONLINE 
O site oficial do GeoGebra disponibiliza um canal de ajuda para muitos 
comandos do software. 
É possível acessar essa ajuda de duas maneiras. Na primeira delas é 
selecione (na janela Ajuda que exibe os comandos do GeoGebra) o comando para o 
qual você deseja ajuda, em seguida, clique no botão Exibir Ajuda Online, que fica 
na parte interior da janela Ajuda. Isso fará com que seu navegador carregue a página 
de ajuda do comando selecionado. 
Vale destacar que há muitos textos de ajuda escritos em português, mas, em 
sua maioria, os textos estão escritos em inglês. 
 
 
 
 
A outra possibilidade para exibir a ajuda online consiste em acessar o site www.geogebra.org e clicar na aba 
Ajuda (canto superior direito da tela). Em seguida, clicar em Comandos (também no canto superior direito da tela). O 
site exibirá uma lista dos comandos do GeoGebra na qual é possível clicar no nome daquele comando para o qual se 
quer obter mais informações. 
42 
 
 
 
A partir da digitação de alguns parâmetros no Comando Sequência é possível produzir sequências numéricas e 
geométricas, e é o que propomos nesse texto. Para isso, abordamos as sintaxes do comando e sua utilização na 
construção de sequências numéricas e de sequências de objetos transformados a partir de uma figura matriz. 
SINTAXE DO COMANDO SEQUÊNCIA 
O GeoGebra apresenta três sintaxes para o comando sequência. Na primeira delas devemos escrever como 
parâmetro apenas um valor final: Sequência[ <Valor Final> ]. A partir dessa entrada o software retorna uma lista de 
números naturais de 1até o Valor Final. 
 
Se o valor final for 10 
 
O GeoGebra exibe a seguinte sequência na Janela de Álgebra. 
 
A expressão Sequência[ <Expressão>, <Variável>, <Valor Inicial>, <Valor Final> ] corresponde a segunda 
sintaxe disponível no GeoGebra. 
Como parâmetros essa sintaxe exige uma expressão, a explicitação de uma variável, um valor inicial e um valor 
final. Por exemplo, se determinarmos que a expressão da nossa sequência é n+1 
 
A variável deverá ser a mesma que foi declarada na expressão. Como na expressão a variável é n, no parâmetro 
Variável também devemos declarar a variável como n. Caso contrário, n seria interpretada como um valor numérico. 
 
O valor inicial e o valor final delimitam os limites da sequência obtida. 
No exemplo ilustrado abaixo o valor inicial é 2 e o valor final 8. 
 
 
 
Teclando ENTER o GeoGebra exibirá a seguinte lista na Janela de Álgebra. 
 
 
 
 
 
 
Como o valor inicial é 2 e a expressão n + 1, o GeoGebra retorna 3 como primeiro elemento da lista, ou seja, 
somando 1 ao valor do primeiro valor de n (2 + 1 = 3). Essa operação é realizada com n variando de 1 a 8. Assim, o 
último valor calculado é 9 (8 + 1 = 9). 
A terceira sintaxe do Comando Sequência é muito parecida com a segunda. Nessa, é apenas acrescentado o 
parâmetro incremento. 
Sequência[ <Expressão>, <Variável>, <Valor Inicial>, <Valor Final>, <Incremento> ] 
43 
 
 
 
Caso seja escolhida como expressão n +1 na variável n, valor inicial 1, valor final 30 e incremento 5, devemos 
digitar a seguinte expressão na ENTRDA. 
 
O GeoGebra opera, nesse caso, com o primeiro n valendo 1, o segundo valendo 6, o terceiro 11, ou seja, soma 5 
(incremento) ao valor do n anterior. Com isso o software retorna a seguinte lista de valores na Janela de Álgebra. 
 
É importante observar que 27 é o último valor da lista numérica que o GeoGebra exibe ao digitarmos os 
parâmetros acima. Ele foi calculado a partir de n = 26. O próximo valor de n seria 26 + 5 = 31 que aplicado na 
expressão n + 1 resultaria em 32, que é maior que 30, valor estipulado com limite. 
COMANDO SEQUÊNCIA E CONTROLE DESLIZANTE 
A segunda e a terceira sintaxe do comando sequência, permitem que determinemos alguns de seus parâmetros 
com os valores de controles deslizantes. Dessa forma, ao movimentarmos o slide do controle deslizante os valores da 
lista são alterados. 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos determinar como parâmetro Valor Final de uma sequência o valor de um controle deslizante a. 
O GeoGebra retorna uma lista que dependente do valor do controle deslizante. 
 
 
 
 
Ao movermos o slide do controle deslizante a, os valores da lista são alterados e o GeoGebra recalcula 
automaticamente os valores sequência. 
 
 
 
 
No exemplo acima, o valor do controle deslizante foi alterado para 7 e, como era o parâmetroValor Final da 
sequência, a lista de valores foi alterada na Janela de Álgebra, exibindo, assim, os 7 primeiros valores. 
Esse é apenas um exemplo de como relacionar os valores de um controle deslizante aos parâmetros de uma 
sequência. Nesse caso, definimos que o parâmetro Valor Final seria definido pelos valores do controle deslizante mas, 
ao invés desse, poderíamos definir Valor Inicial ou Incremento como parâmetros dependentes do valor do controle 
deslizante. Cada um desses casos torna a sequência dependente do valor do controle deslizante de uma maneira 
particular a cada caso. 
44 
 
 
ELEMENTOS DE UMA SEQUÊNCIA 
Dada uma sequência, podemos fazer operações com cada elemento dessa sequência separadamente. Isso é 
possível com o comando Elemento[<Lista>, <Posição do Elemento>]. Com esse comando é possível aplicar uma 
determinada ação em um elemento específico de uma lista. 
 
 
 
Considere duas sequências numéricas construídas com comando Sequência. 
 
 
 
 
 
Podemos obter uma lista3, que seja uma lista dos pares ordenados formados pelo elemento 1 da lista1 
com o elemento 1 da lista2; elemento 2 da lista1 com elemento 2 da lista2 e assim sucessivamente, com o 
seguinte comando 
 
 
 O GeoGebra retorna a seguinte lista da Janela de Álgebra. 
 
Além de obter a lista3 na Janela de Álgebra, o GeoGebra exibe, na Janela de Visualização, a representação 
gráfica desses pares ordenados. 
 
 
45 
 
 
SEQUÊNCIA E COMANDO GIRAR 
No exemplo anterior, mostramos uma possibilidade de utilização do comando Sequência em conjunto com o 
comando Elemento. Nesse exemplo exploramos uma maneira de combinar os comandos Sequência e Girar. 
 
Construímos um polígono qualquer na Janela de Visualização do GeoGebra. 
 
 
 
Construímos um controle deslizante α, variando entre 0° e 360°, com incremento 1°. 
 
 No campo Entrada digitamos o comando sequência aninhado com comando Girar. Como no exemplo do 
comando Elemento, o comando Girar ficará no lugar do parâmetro Expressão no comando sequência. 
 
 Nesse caso, vamos aplicar o comando Girar no polígono que obtemos (pol1) anteriormente e como 
parâmetro Ângulo, iremos declarar α*i, ou seja ângulo controlado pelo controle deslizante multiplicado 
pela variável i da sequência 
 
 
 Os parâmetros Valor Inicial e Valor Final foram declarados 1 e 10, respectivamente. A partir desse 
comando é possível obter, na Janela de Visualização, uma sequência de 11 polígonos (o polígono 
original e os outros 10, derivados do comando sequência) que giram de acordo com o ângulo α, valor 
atribuído ao controle deslizante. 
 
Conforme alteramos o valor do controle deslizante, a posição dos polígonos são alterados na Janela de 
Visualização. Na imagem acima aparecem apenas 8 polígonos pois estão sobrepostos uns sobre os outros. 
46 
 
 
 
Nesse texto apresentamos a Janela Planilha do GeoGebra e alguns de seus recursos para trabalhar em conjunto 
com as janelas de Álgebra e de Visualização. 
PLANILHA, CÉLULAS E CONTEÚDO 
Para abrir a planilha no GeoGebra basta clicar no menu Exibir e acessar a opção Planilha. 
 
Essa ação faz carregar a Planilha no lado direito do GeoGebra conforme a figura abaixo. 
 
Em uma célula da planilha é possível digitar valores numéricos, coordenadas de pontos, funções, segmentos, 
polígonos, entre outros. Nas células A1 a A5 foram digitados as seguintes entradas: 
 A1: -3 
 A2: (1, 1) 
 A3: 3x 
 A4: Segmento[(2, 2), (4, 3)] 
 A5: Polígono[(-1, 1), (-3, 2), (-2, 3)] 
47 
 
 
A partir dessas entradas o GeoGebra exibiu um valor numérico em A1, as coordenadas de um ponto em A2, a 
expressão da função em A3, o comprimento do segmento em A4 e a área do polígono em A5. Exibiu ainda a 
representação gráfica desses objetos na Janela de Visualização. 
 
Note que o ponto (1,1) não foi exibido na Janela de Visualização. Para exibi-lo basta clicar com o botão direto 
do mouse na célula A2 e, em seguida, clicar em Exibir Objeto. 
ÍCONES DE CÁLCULOS 
Na imagem ao lado são apresentados alguns valores que foram 
digitados nas células A1 a A5 da Planilha. Utilizando as ferramentas da 
Barra de Ícones da Planilha podemos calcular a soma, a média, o máximo, o 
mínimo e a quantidade de números desse intervalo. 
 
 
Apresentamos, a seguir, o processo para calcular a soma das células 
do intervalo A1:A5. 
 
 
 
Clique com o mouse na célula A1 e arraste até a 
célula A5. Isso faz com que o intervalo A1:A5 
fique selecionado. 
 
 
 
Na Barra de Ícones da Planilha clique em Soma. 
 
 
48 
 
 
 
Esse procedimento têm como resultado a soma do conteúdo 
das células selecionadas. O GeoGebra apresenta a soma na célula 
imediatamente abaixo da seleção. 
 
 
LISTAS E TABELAS 
Na imagem abaixo aparece a Planilha do GeoGebra e o intervalo de células A1:C3 preenchido com valores de 1 
a 9. 
 
 
Utilizando as opções do terceiro ícone da Barra de Ícones da Planilha podemos compor listas, matrizes, tabelas e 
caminhos poligonais a partir do conteúdo de uma Planilha. 
 
Veja o processo para obter uma lista a partir de um intervalo de células da Planilha. 
 
Com o mouse selecione o intervalo de 
células. 
 
 
 
 
 
 
Na Barra de ícones clique em Criar Lista. É exibida uma janela com as seguintes opções. 
49 
 
 
 
 
A opção Objetos Dependentes cria uma lista vinculada a planilha. Assim, se o valor de uma célula for modificado, 
esse valor é atualizado na lista. Selecionando a opção Objetos Livres é criada uma lista desvinculada da planilha. 
A partir dos dados exibidos no item 1 e escolhendo Ordem das Linhas, o GeoGebra cria: 
lista1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Escolhendo a opção Ordem da Coluna, o GeoGebra retorna a seguinte lista: 
Lista2 = {1, 4, 7, 2, 5, 8, 3, 6, 9} 
 
Com os mesmos valores selecionados podemos clicar em Matriz. Com esse procedimento criamos uma matriz a 
partir da planilha que é exibida na Janela de Álgebra. 
 
O GeoGebra possui um conjunto de comandos que permite operar com matrizes. Veja alguns comandos a seguir: 
 Determinante[ <Matriz> ] 
 MatrizInversa[ <Matriz> ] 
 MatrizTransposta[ <Matriz> ] 
 Posto[ <Matrix> ] 
ESTATÍSTICA 
A Barra de Ícones de Planilha oferece ainda recursos de estatística. Veja as opções na imagem a seguir. 
50 
 
 
 
Nos passos abaixo mostramos como obter uma Análise Univariada a partir de um conjunto de doze valores em 
uma planilha. 
 
Preencha uma coluna da tabela com os valores 
que deseja analisar e selecione o intervalo. 
 
 
 
Na Barra de Ícones, clique em Análise Univariada. O 
GeoGebra apresenta a seguinte caixa de diálogo para 
conferência dos valores. Você deve confirmar a análise 
clicando em Analisar. 
 
 
O GeoGebra exibe a seguinte janela com um resumo estatísticos dos dados e um histograma. 
 
Clicando no ícone são exibidos os valores sobre os quais os cálculos foram realizados. E, com tais valores exibidos, 
é possível excluir aqueles que desejar do resumo estatístico. 
 
51 
 
 
 
No texto que segue apresentamos como construir parábolas, elipses e hipérboles utilizando ferramentas 
disponíveis no GeoGebra. 
PARÁBOLA 
A ferramenta para construir parábolas, elipses e hipérboles está localizada no sétimo ícone da barra de 
ferramentas, da esquerda para a direita. Além dessas três possibilidades, nesse menu ainda encontramos a ferramenta 
Cônica por Cinco Pontos, que abordaremos mais adiante. 
 
Ao escolhermos a ferramenta parábola, o GeoGebra exibe uma mensagem de ajuda como mostra a figura abaixo. 
 
Assim, para construirparábolas utilizando essa ferramenta, devemos construir previamente um ponto (foco) e 
uma reta, semirreta ou um segmento (diretriz). Com a ferramenta Parábola selecionada, basta clicar no ponto e, em 
seguida, na reta, ou seja, no foco e na diretriz. Para realizar a construção que aparece na imagem a seguir selecionamos 
a ferramenta Parábola, clicamos no ponto C e, por último, clicamos no segmento AB. 
 
Na Janela de Álgebra o GeoGebra exibiu a equação da parábola 
 
A parábola construída desse modo fica dependente da posição da reta diretriz e do ponto (foco). Assim, se a 
posição desses objetos for modificada os parâmetros da parábola também serão modificados. 
No GeoGebra é possível construir parábolas digitando o comando Parábola[ <Ponto>, <Reta>] na Entrada 
com os devidos parámetros. Por exemplo, para construir, a parábola exibida na imagem acima, podemos digitar o 
seguinte comando na Entrada. 
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ELIPSE 
Para construir elipses no GeoGebra utilizando o mouse, basta selecionar a ferramenta e clicar em três pontos 
distintos na Janela de Visualização. Os dois primeiros pontos serão os focos e o terceiro será um ponto que ficará sobre 
a curva da elipse. Diferente da parábola, para construir elipses com o mouse não é necessário que os pontos estejam 
construídos antes de utilizar a ferramenta. 
Após concluir a construção, o GeoGebra exibe a elipse e os três pontos na Janela de Visualização e, na Janela 
de Álgebra, são exibidas a equação da elipse e as coordenadas dos pontos. 
 
 
Podemos construir elipses digitando comandos na Entrada. 
 Elipse[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ] 
 Elipse[ <Foco>, <Foco>, <Comprimento do Semieixo Maior> ] 
 Elipse[ <Foco>, <Foco>, <Segmento> ] 
Ao digitar o comando Elipse[(2,0),(6,0),(3,2)] o GeoGebra exibe a elipse na Janela de Visualização, sem pontos 
que indicam os focos, e na Janela de Álgebra exibe apenas a equação da elipse. 
 
Os outros dois comandos para construir elipses possuem parâmetros para determinar o tamanho do semieixo 
maior da elipse. Na sintaxe Elipse[ <Foco>, <Foco>, <Comprimento do Semieixo Maior> ] o tamanho do semieixo é 
determinado por um valor numérico. Em Elipse[ <Foco>, <Foco>, <Segmento> ], o comprimento do semieixo 
depende do comprimento de um segmento. 
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Podemos criar um controle deslizante e determinar como valor do comprimento o nome do controle deslizante. 
Assim, conforme alteramos o valor desse controle deslizante os parâmetros da elipse serão modificados. O mesmo 
acontece com a sintaxe, na qual o comprimento fica dependente de um segmento, se alterarmos o tamanho do segmento 
os parâmetros da elipse são redefinidos. 
HIPÉRBOLE 
O procedimento para obter hipérboles com o mouse é semelhante ao usado para obter elipses. Com a ferramenta 
Hipérbole ativa, clicamos em três pontos distintos na Janela de Visualização. Esses pontos podem ser construídos 
enquanto utiliza a ferramenta: os dois primeiros pontos serão os focos e o terceiro será um ponto pelo qual a hipérbole 
irá passar. 
 
Para construir hipérboles por meio de comandos na Entrada, utilizamos uma das seguintes sintaxes com os 
devidos parâmetros. 
 Hipérbole[ <Foco>, <Foco>, <Comprimento do Semieixo Maior> ] 
 Hipérbole[ <Foco>, <Foco>, <Segmento> ] 
 Hipérbole[ <Ponto>, <Ponto>, <Ponto> ] 
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Nesse texto abordamos o uso da ferramenta Lugar Geométrico a partir da realização de algumas construções. 
FERRAMENTA LUGAR GEOMÉTRICO 
A ferramenta Lugar Geométrico pode ser encontrada no quarto ícone da Barra de Ferramentas (da esquerda para 
a direta) 
 
Segundo a ajuda dessa ferramenta devemos selecionar o ponto do lugar geométrico e, depois, o ponto sobre o 
objeto ou o controle deslizante. Devemos observar que o ponto do lugar geométrico deve ser dependente do ponto sobre 
o objeto ou do controle deslizante. Se não houver relação entre esses objetos, o GeoGebra não constrói o lugar 
geométrico. 
LUGAR GEOMÉTRICO E CONTROLE DESLIZANTE 
Veja a seguir um exemplo de como obter um lugar geométrico usando um ponto dependente de um controle 
deslizante. 
 
Construímos um controle deslizante a, com valor 
inicial -5, valor final 5 e incremento 0.1. 
 
 
 
Construímos um ponto A digitando o seguinte comando na 
ENTRADA. 
 
Desse modo o ponto fica dependente do controle deslizante 
a. Se alterarmos os valores do controle deslizante, esse 
ponto se moverá na horizontal de x = -5 a x = 5. 
 
Habilitando o rastro do ponto A animando o 
controle deslizante a, obtemos. 
 
 
O rastro é o conjunto formado por alguns pontos que possuem coordenadas (a, 2). Se aplicarmos a ferramenta 
Lugar Geométrico nesse caso, o GeoGebra exibe na Janela de Visualização um segmento que ocupa a mesma posição 
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do rastro do ponto A. Com a ferramenta Lugar Geométrico selecionada, devemos clicar sobre o ponto A (ponto sobre o 
lugar geométrico) e, depois, no controle deslizante “a”. 
 
 
PARÁBOLA 
A parábola é o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes de um ponto, o foco, e de uma reta diretriz. 
Assim, para construirmos a parábola precisamos construir um ponto que, ao ser movimentado, se mantenha sempre a 
mesma distância do foco e da diretriz. 
 
Construímos uma reta a por AB e um ponto C sobre a 
reta. 
 
O ponto assim construído, quando movimentado com o 
ponteiro do mouse, desliza somente sobre a reta. 
 
 
 
Construímos um ponto D não pertencente a reta. 
 
 
 
Com a ferramenta Mediatriz selecionada clicamos nos 
pontos C e D. 
 
 
 
Traçamos a perpendicular a reta a por C e marcamos a 
interseção da mediatriz e da reta perpendicular. 
 
 
Ao movimentarmos o ponto C sobre a reta diretriz, com o rastro de E habilitado, obtemos um conjunto de pontos 
equidistantes de D e da reta AB, ou seja, pontos sobre uma parábola. 
 
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Com a ferramenta Lugar Geométrico selecionada, clicando em E e, em seguida, em C, obtemos uma parábola 
como lugar geométrico. 
 
 
EQUAÇÃO DO LUGAR GEOMÉTRICO 
Para obter a equação de um lugar geométrico podemos digitar na ENTRADA o comando 
EquaçãoDoLugarGeométrico[<Lugar Geométrico>]. 
Por exemplo, para obter a equação da parábola construída anteriormente, basta digitar 
EquaçãoDoLugarGeométrico[lg1] na ENTRADA. O GeoGebra retorna sua equação na Janela de Álgebra. 
 
 
Esse comando ainda tem uma segunda sintaxe: 
 EquaçãoDoLugarGeométrico[<Ponto do Lugar Geométrico>, <Ponto Móvel>]. 
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Nessa sintaxe digitamos as coordenadas do ponto que estará sobre a curva do lugar geométrico e do ponto que 
deslizará sobre uma reta ou curva. 
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O GeoGebra oferece em sua instalação padrão um conjunto de ferramentas acessíveis por meio da Barra de 
Ferramentas e um conjunto com comandos que permitem construir objetos, realizar transformações, executar ações. 
Além disso, oferece a possibilidade de o usuário criar suas próprias ferramentas, exibi-las na Barra de Ferramentas e 
usá-las por meio de comandos na Entrada. Nesse texto abordamos o processo de construção de uma nova ferramenta no 
GeoGebra e de como integrá-la a outras ferramentas e à planilha. 
CÍRCULO DADO O DIÂMETRO 
É possível construir um círculo no GeoGebra a partir de três pontos, a partir do centro e da medida do raio, a 
partir do centro e de um ponto pertencente a circunferência. No entanto, não há uma ferramenta que possibilite construir 
um círculo a partir de dois pontos cuja distância determine a medida de seu diâmetro. Apresentamos a seguir como 
construir essa ferramenta. 
 
Construa dois pontos na Janela de Visualização. 
 
 
 
Encontre o ponto médiodesses pontos. O que pode ser 
feito utilizando a ferramenta Ponto Médio ou digitando, na 
Entrada, o comando PontoMédio[A, B]. 
 
 
Utilizando a ferramenta Círculo dados Centro e 
um de seus Pontos, clique em M e, em seguida, 
clique em A ou B e obtenha um círculo. 
 
 
 
Tecle ESC para ativar o ponteiro e clique no nome ou no 
objeto final de sua construção, ou seja, no círculo. 
 
 
Clique no menu Ferramentas. E, depois, clique 
em Criar uma Nova Ferramenta. 
 
 
 
Abre-se uma janela com três abas: Objetos Finais, Objetos 
Iniciais e Nome e Ícone. Na aba Objetos Finais selecione 
os objetos que deseja como resultado do uso da ferramenta 
que está construindo. 
 
Como selecionamos o círculo antes de acessar a opção 
Criar uma Nova Ferramenta, o GeoGebra lista o círculo 
como o único objeto final. 
 
Na aba Objetos Iniciais devem ser escolhidos os 
objetos que são fundamentais para a construção 
do objeto final. Nesse caso devem ser os pontos 
 
 
Na aba Nome e Ícone você deve digitar um nome para sua 
ferramenta. Enquanto digita, o GeoGebra sugere uma 
sintaxe para o comando relacionado a essa ferramenta. 
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A e B que determinam a medida do diâmetro do 
círculo. 
 
Você pode aceitar ou modificar essa sintaxe. 
 
Em Ajuda digite os procedimentos que o usuário deve 
executar após clicar nessa ferramenta. Nesse caso, o 
usuário deve clicar em dois pontos. Clicando em Ícone é 
possível selecionar uma imagem de seu computador para 
ser usada como imagem do ícone na Barra de 
Ferramentas. 
Por último, clique em Concluído para finalizar a 
construção da nova ferramenta. 
Após concluir a construção da ferramenta Círculo dado o Diâmetro a Barra de Ferramentas passa a exibi-la 
como o último ícone, conforme mostra a imagem abaixo. 
 
Deletar a circunferência e os pontos que foram úteis para a construção dessa ferramenta não afeta seu 
funcionamento. Para utilizar a ferramenta Círculo dado o Diâmetro você pode: 
 clicar em seu ícone e depois clicar em dois pontos A e B e obter um círculo; este foi o processo de 
construção do círculo c por A e B. 
 clicar em seu ícone e construir o círculo clicando em diferentes pontos da Janela de Visualização sem que 
existam pontos pré-construídos; processo utilizado na construção do círculo d. 
 digitar o comando CírculoDiâmetro [ <Ponto>, <Ponto> ] na Entrada; mudando os parâmetros para 
(12,2) e (15,4), ou seja, CírculoDiâmetro[(12,2),(15,4)], obtém-se o círculo e. 
 
UMA NOVA FERRAMENTA USADA COM O COMANDO SEQUÊNCIA 
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A ferramenta Círculo dado o Diâmetro tem como objeto final um círculo, ou seja, ao utilizá-la de uma das 
formas abordadas anteriormente você obterá como produto a construção de apenas um objeto. No entanto é possível 
construir ferramentas que resultam em mais de um objeto final, por exemplo, uma ferramenta que a partir de três pontos 
construa um triângulo com seu círculo inscrito como mostra a figura abaixo. 
 
Ferramentas que produzem apenas um objeto podem ser facilmente utilizadas em conjunto com o comando 
Sequência. Por exemplo, suponha que você tenha que construir círculos cujos diâmetros são dados pelas distâncias de 
pares de pontos consecutivos que foram construídos sobre uma reta como exibido na imagem abaixo. 
 
 
Na Entrada digite o seguinte comando. 
 
Isso terá como resultado uma lista de pontos na ordem em que aparecem sobre a reta (da esquerda para a direita) 
 
Digite na Entrada Sequência[CírculoDiâmetro[Elemento[P,i],Elemento[P,i+1]],i,1,9]. Esse comando constrói uma 
sequência de círculos com o comando CírculoDiâmetro tomando como parâmetros pares de pontos consecutivos da lista 
P. 
 
UMA NOVA FERRAMENTA USADA EM PLANILHA 
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Agora vamos abordar como utilizar uma nova ferramenta em conjunto com a planilha do GeoGebra. Para tanto, 
tomamos como exemplo a ferramenta Círculo dado o Diâmetro que construímos anteriormente. Vamos utilizá-la para 
construir círculos cujos diâmetros sejam delimitados por pontos sobre a curva de uma espiral de Arquimedes. 
 
Clique na ferramenta Controle Deslizante e 
construa um controle deslizante para determinar a 
medida de um ângulo com os parâmetros que 
aparecem na figura abaixo. 
 
 
 
Construa outro controle deslizante n para selecionar 
valores naturais de 1 a 20. 
 
 
Na Entrada digite o comando Curva[t cos(t), t sen(t), t, 0, 20α]. Com esse comando o GeoGebra retornará a expressão 
da Espiral de Arquimedes na Janela de Álgebra e seu gráfico na Janela de Visualização. Além disso, nomeará essa 
função paramétrica de a. 
 
 
Na Entrada digite o seguinte comando: 
 
O GeoGebra retornará uma sequência de vinte 
pontos sobre a curva a. 
 
 
 
Clique no menu Exibir e acesse a opção Planilha para 
que seja exibida a planilha do GeoGebra. Na célula A1, 
digite 1 e, na célula A2, digite = A1 + 1. 
 
Em seguida, clique com o mouse no canto direito inferior 
da célula A2 e arraste até a célula A20. 
 
A fórmula de A2 será copiada para as demais células 
exibindo números de 1 a 20 no intervalo de A1 a A20. 
 
 
Na célula B1 digite o comando: 
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Esse comando tem como resultado um círculo cujas extremidades do diâmetro são os elementos 1 e 2 da lista Pontos, 
pois A1 = 1 e n = 1 (A1 é a primeira célula da coluna A e n é o controle deslizante). 
 
A equação do círculo é exibida na célula B1 e seu gráfico na Janela de Visualização. 
 
Clique no canto inferior direito da célula B1 e arraste até a célula B20. Isso fará com que o GeoGebra copie e cole a 
expressão de B1 nas células de B2, B3, B4, ..., B20. 
 
 
Por último, selecione as células A1, A5, A9 e A17. Para isso, clique em uma delas, segure a tecla Ctrl e clique nas 
demais. Depois, com a tecla Ctrl ainda pressionada, clique com o botão direto do mouse sobre uma das células 
selecionadas e acesse a opção Propriedades: mude a cor para vermelha e a transparência para 25. Realize o mesmo 
processo para os blocos (A2, A6, A10, A18), (A3, A7, A11, A19) e (A4, A8, A12 e A20), escolhendo as cores verde, 
amarela e azul. 
 
Modificando os controles deslizantes para valores específicos obtemos as seguintes imagens. 
 
63 
 
 
 
COMPARTILHANDO FERRAMENTAS COM OUTROS USUÁRIOS DO GEOGEBRA 
É possível salvar uma ferramenta construída por você em um arquivo com extensão .ggt e compartilhá-la com 
outros usuários do GeoGebra para que ele possa inseri-la e usá-la em sua instalação do GeoGebra. Abordamos a seguir 
como compartilhar a ferramenta Círculo dado o Diâmetro que construímos anteriormente. 
 
Clique em Ferramentas e acesse a opção 
Gerenciar Ferramentas. 
 
 
 
Selecione a ferramenta Círculo dado o Diâmetro na caixa 
Ferramentas e, em seguida, clique em Gravar Como. 
 
Por último, clique em Gravar. O arquivo será gravado em 
uma pasta de sua escolha com a extensão “.ggt”. 
No processo acima obtivemos um arquivo cujo nome é circulodiametro.ggt que está disponível em 
www.ogeogebra.com.br/permanente/circulodiametro.zip. Clicando nesse link é possível salvar essa ferramenta em seu 
computador e utilizá-la em sua instalação do GeoGebra. 
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Após baixar o arquivo em seu 
computador, abra o GeoGebra e 
clique em Arquivo e acesse a opção 
Abrir. 
 
 
 
Em seguida, escolha o arquivo circulodiametro.ggt e clique em Abrir. 
 
 
A ferramenta Círculo dado o Diâmetro será incluída no GeoGebra e será exibida na Barra de Ferramentas. Essa 
ferramenta poderá ser usada a partir da Entrada por meio do comando: 
CírculoDiâmetro[ <Ponto>, <Ponto> ] 
 
Para ferramenta ficar acessível no programa e, nãoapenas, no arquivo aberto. após realizar o processo descrito 
acima, clique em Opções e, em seguida, Gravar Configurações. 
ISSN 1980-4415 
DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1980-4415v31n57a13 
 
 
Bolema, Rio Claro (SP), v. 31, n. 57, p. 266 - 288, abr. 2017 266 
Diferentes Modos de Utilização do GeoGebra na Resolução de 
Problemas de Matemática para Além da Sala de Aula: 
evidências de fluência tecno-matemática 
 
Different Ways of Using GeoGebra in Mathematical Problem-Solving 
Beyond the Classroom: evidences of techno-mathematical fluency 
 
Hélia Jacinto

 
Susana Carreira

 
 
Resumo 
Este artigo discute a atividade de resolução de problemas de Matemática com tecnologias no âmbito de um 
campeonato extraescolar a distância. O estudo visa descrever os aspetos subjacentes à utilização simultânea de 
conhecimento matemático e tecnológico nessa atividade, com foco no desenvolvimento de modelos conceptuais 
que conduzem às soluções dos problemas. A investigação, de natureza qualitativa, centra-se na análise de um 
conjunto de produções digitais elaboradas pelos participantes com recurso ao GeoGebra. Os dados mostram que 
o software é usado de forma livre e voluntária para estruturar e amplificar o pensamento matemático, 
influenciando os processos de resolução. Para além de suportar a materialização das situações problemáticas e 
favorecer a transformação de ideias estáticas em ideias dinâmicas, faz emergir matematizações que sustentam 
modelos conceptuais bastante distintos. Os aspetos subjacentes à existência de diferentes modos de resolver-e-
exprimir um dado problema com o GeoGebra são explicados em termos da fluência tecno-matemática de cada 
participante. 
 
Palavras-chave: Fluência Tecno-Matemática. GeoGebra. Modelos Conceptuais. Resolução de Problemas. 
 
Abstract 
This paper addresses a mathematical problem-solving activity with technology in the context of an online 
beyond school competition. The study aims to describe the underlying aspects of simultaneously resorting to 
mathematical and technological knowledge in such an activity, focusing on the development of conceptual 
models for the solutions of problems. The research, following a qualitative approach, is based on the analysis of 
a set of digital solutions produced with GeoGebra. Main results show that the software is used freely and 
willingly to structure and amplify the mathematical thinking, influencing the solving and expressing processes. 
Besides supporting the materialization of the problematic situations and promoting the transformation of static 
 

 Mestre em Ciências da Educação pela Universidade Católica Portuguesa (UCP), Lisboa, Portugal. Professora 
de Matemática na Escola Secundária Jorge Peixinho, Montijo, Portugal. Membro da Unidade de Investigação e 
Desenvolvimento em Educação e Formação (UIDEF), Instituto de Educação, Universidade de Lisboa (IEUL), 
Lisboa, Portugal. Endereço para correspondência: Instituto de Educação, Alameda da Universidade, 1469-013, 
Lisboa, Portugal. E-mail: hjacinto@campus.ul.pt. 

 Doutora em Educação, especialidade de Didática da Matemática, pela Universidade de Lisboa, Portugal. 
Professora Associada da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade do Algarve (FCT-UAlg), Faro, 
Portugal. Membro da Unidade de Investigação e Desenvolvimento em Educação e Formação (UIDEF), Instituto 
de Educação, Universidade de Lisboa (IEUL), Lisboa, Portugal. Endereço para correspondência: Faculdade de 
Ciências e Tecnologia, Universidade do Algarve, Campus de Gambelas, 8005-139, Faro, Portugal. E-mail: 
scarrei@ualg.pt. 
ISSN 1980-4415 
DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1980-4415v31n57a13 
 
 
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ideas into dynamic ideas, it drives mathematization processes that support quite different conceptual models. The 
fundamental features that lead to different ways of solving-and-expressing a given problem with GeoGebra are 
explained in terms of the techno-mathematical fluency of each participant. 
 
Key-Words: Techno-Mathematical Fluency. GeoGebra. Conceptual Models. Problem Solving. 
 
 
1 Introdução 
 
Os rápidos avanços tecnológicos e a crescente facilidade no acesso às mais 
sofisticadas ferramentas digitais têm vindo a alterar a forma como o ser humano interage com 
o mundo. Hoje aceitamos pacificamente essa intrusão do avanço tecnológico e consideramos 
que estas mudanças, não só em termos de bens e materiais, mas também em termos de 
conceções, são imprescindíveis à melhoria da nossa qualidade de vida. Todavia, esta rápida 
disseminação, o acesso facilitado e o uso constante de tecnologias digitais estão recolocando 
uma forte tônica no estudo da sua influência na própria natureza do conhecimento matemático 
(ARTIGUE, 2007). Em particular, essa imersão no mundo tecnológico está a potenciar 
alterações ao nível das “capacidades matemáticas que são necessárias ao sucesso para além da 
escola” (LESH, 2000, p. 177), pelo que é necessário ter em conta que estas sofisticadas 
ferramentas digitais 
introduzem novas situações de resolução de problemas nas quais a matemática é útil; 
introduzem novas normas e procedimentos para construção, argumentação e 
justificação; e expandem radicalmente o tipo de capacidades e compreensões 
matemáticas que contribuem para o sucesso nessas situações (LESH, 2000, p. 178). 
 
Portanto, não é apenas o pensamento matemático necessário fora da sala de aula que 
se está modificando, mas também as próprias “situações de resolução de problemas em que é 
necessário algum tipo de pensamento matemático” (ENGLISH; LESH; FENNEWALD, 2008, 
p. 5). Apesar da resolução de problemas ter recebido muita atenção da parte dos 
investigadores na segunda metade do século XX, sob a marcante influência de George Pólya e 
mais tarde de Alan Schoenfeld, tem-se notado um decréscimo no interesse dos investigadores 
pela temática, sobretudo no que toca à atividade de resolução de problemas que ocorre para 
além da aula de Matemática, seja noutras áreas disciplinares, seja em contextos exteriores à 
escola (ENGLISH; SRIRAMAN, 2010). É neste sentido que esta pesquisa visa descrever e 
compreender a utilização simultânea de conhecimentos matemáticos e tecnológicos para 
resolver problemas de Matemática no contexto de duas competições online de resolução de 
problemas. 
 
1.1 O contexto e os objetivos do estudo 
ISSN 1980-4415 
DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1980-4415v31n57a13 
 
 
Bolema, Rio Claro (SP), v. 31, n. 57, p. 266 - 288, abr. 2017 268 
Os campeonatos SUB12
®
 e SUB14
®
 são dinamizados pelo Departamento de 
Matemática da Universidade do Algarve, Portugal, e destinam-se a jovens que frequentam o 
5.º ou o 6.º ano (10-12 anos, no caso do SUB12) e o 7.º ou o 8.º ano (12-14 anos, no caso do 
SUB14). Na Fase de Apuramento, os concorrentes acedem ao website do campeonato para 
consultar um problema quinzenal, dispondo de duas semanas para submeter a sua resolução 
por e-mail ou através da página. É permitida a utilização de quaisquer ferramentas 
tecnológicas para resolver os problemas, porém, para serem consideradas corretas, as 
respostas submetidas têm que incluir uma descrição detalhada e clara do processo de 
resolução. Estas são competições inclusivas, pois as regras de participação permitem e até 
encorajam a procura de ajuda durante esta fase (junto de familiares, professores, ou da própria