Prova 3 2014

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Faculdade de Cieˆncias Aplicadas - UNICAMP
Disciplina: LE106 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Turma A
Professora: Bianca Morelli R. Calsavara Data: 27/06/2014
Aluno(a): RA:
ATENC¸A˜O
Respostas sem justificativa sera˜o desconsideradas
Resoluc¸o˜es por me´todos diferentes dos solicitados sera˜o desconsiderados
Na˜o desgrampeie as folhas de respostas da prova.
Todas as folhas entregues, devem ser devolvidas.
Terceira Prova
Questa˜o 1. (2,5 pontos) Considere a transformac¸a˜o T : R2 → R3 dada por
T (x, y) = (2y − x, x + y, 2x + y).
(a) Verifique que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
(b) Encontre o nu´cleo de T , uma base e a dimensa˜o do nu´cleo de T .
(c) Encontre a imagem de T , uma base e a dimensa˜o da imagem de T .
(d) T e´ invert´ıvel? Em caso afirmativo, encontre sua inversa.
Questa˜o 2. (2,5 pontos) Considere a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 dada por
T (x, y) = (x− 2y, y − 2x).
(a) Encontre a matriz de T em relac¸a˜o a base canoˆnica, indicando como foram obtidas as linhas ou
colunas da matriz.
(b) T e´ invert´ıvel? Em caso afirmativo, encontre sua inversa.
(c) Existe uma base B de R2 na qual a matriz da transformac¸a˜o linear [T ]BB e´ diagonal? Em caso
afirmativo encontre a base B e a matriz diagonal [T ]BB. Em caso negativo, justifique.
Questa˜o Extra: (0,5 pontos) Seja T : R3 → R2 uma transformac¸a˜o linear. Observando somente
as dimenso˜es do domı´nio e do contra-dominio de T , o que podemos concluir sobre a injetividade ou
sobrejetividade de T? Justifique.
Questa˜o 3. (2,5 pontos) Considere a equac¸a˜o quadra´tica, 4x2 + y2 + 16x− 2y + 1 = 0 Identique a
coˆnica. Encontre seus focos, ve´rtices, reta diretriz e ass´ıntotas (quando existir) no sistema cartesiano
canoˆnico. Utilize os dados encontrados para esboc¸ar o gra´fico da coˆnica no sistema cartesiano canoˆnico.
Questa˜o 4. (2,5 pontos) Considere a equac¸a˜o quadra´tica 4x2 +4xy+y2−5x = 0. Use rotac¸a˜o e/ou
translac¸a˜o para escrever a equac¸a˜o da coˆnica na forma canoˆnica e identique qual e´ coˆnica. Identifique
a matriz de rotac¸a˜o, a origem no sistema transladado (x0, y0) e encontre seus parameˆtros, isto e´ a
terna (a, b, c) se for elipse ou hipe´rbole ou p se for uma para´bola.
BOA PROVA!!!!
Faculdade de Cieˆncias Aplicadas - UNICAMP
Disciplina: LE106 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Turma A
Professora: Bianca Morelli R. Calsavara Data: 27/06/2014
Aluno(a): RA:
ATENC¸A˜O
Respostas sem justificativa sera˜o desconsideradas
Resoluc¸o˜es por me´todos diferentes dos solicitados sera˜o desconsiderados
Na˜o desgrampeie as folhas de respostas da prova.
Todas as folhas entregues, devem ser devolvidas.
Terceira Prova
Questa˜o 1. (3,0 pontos) Considere a transformac¸a˜o T : R3 → R3 dada por
T (x, y, z) = (x + 2y + z, x + y − z, y).
(a) Verifique que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
(b) Encontre o nu´cleo de T , uma base e a dimensa˜o do nu´cleo de T .
(c) Encontre a imagem de T , uma base e a dimensa˜o da imagem de T .
(d) T e´ invert´ıvel? Em caso afirmativo, encontre sua inversa.
Questa˜o 2. (2,0 pontos) Considere a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 dada por
T (x, y) = (x− y, 2y − 2x).
(a) Encontre a matriz de T em relac¸a˜o a base canoˆnica, indicando como foram obtidas as linhas ou
colunas da matriz.
(b) T e´ invert´ıvel? Em caso afirmativo, encontre sua inversa.
(c) Existe uma base B de R2 na qual a matriz da transformac¸a˜o linear [T ]BB e´ diagonal? Em caso
afirmativo encontre a base B e a matriz diagonal [T ]BB. Em caso negativo, justifique.
Questa˜o Extra: (0,5 pontos) Seja T : R2 → R3 uma transformac¸a˜o linear. Observando somente
as dimenso˜es do domı´nio e do contra-dominio de T , o que podemos concluir sobre a injetividade ou
sobrejetividade de T? Justifique.
Questa˜o 3. (2,5 pontos) Considere a equac¸a˜o quadra´tica −x2 + 4y2 + 4x + 40y = 4 Identique a
coˆnica. Encontre seus focos, ve´rtices, reta diretriz e ass´ıntotas (quando existir) no sistema cartesiano
canoˆnico. Utilize os dados encontrados para esboc¸ar o gra´fico da coˆnica no sistema cartesiano canoˆnico.
Questa˜o 4. (2,5 pontos) Considere a equac¸a˜o quadra´tica 3x2 + 2xy+ 3y2− 8√2y = 0. Use rotac¸a˜o
e/ou translac¸a˜o para escrever a equac¸a˜o da coˆnica na forma canoˆnica e identique qual e´ coˆnica.
Identifique a matriz de rotac¸a˜o, a origem no sistema transladado (x0, y0) e encontre seus parameˆtros,
isto e´ a terna (a, b, c) se for elipse ou hipe´rbole ou p se for uma para´bola.
BOA PROVA!!!!