Prova 2 2013

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Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Cieˆncias Aplicadas
Disciplina: LE106 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Per´ıodo: 1o semestre de 2013
Professora: Bianca Morelli R. Calsavara Turma A Data: 27/05/2013
Aluno(a): RA:
ATENC¸A˜O
Respostas sem justificativa sera˜o desconsideradas
Resoluc¸o˜es por me´todos diferentes dos solicitados sera˜o desconsiderados
Na˜o desgrampeie as folhas de respostas da prova.
Todas as folhas entregues, devem ser devolvidas.
Segunda Prova
Questa˜o 1: (1,5 ponto) Utilize produto escalar, produto vetorial ou produto misto para resolver
SOMENTE UM dos itens abaixo. Indique aqui o item escolhido:
Caso na˜o seja indicado nenhum item ou caso seja indicado mais de um item, a questa˜o na˜o sera´
corrigida.
(a) Os vetores V1 = (1, 1, 0), V2 = (2, 1, 1) e V3 = (0, 3, 1) de R3 sa˜o coplanares? Justifique.
(b) Encontre a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A = (−1, 1, 2), B = (2, 1, 0) e C = (0, 1, 1).
Questa˜o 2: (4,0 pontos) Considere os pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1, 0), C = (1, 0,−2) e
D = (0, 1, 1).
(a) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta r1 contendo o segmento AB.
(b) Encontre a equac¸a˜o geral do plano pi contendo os pontos C, D e a origem.
(c) Determine a posic¸a˜o relativa entre e a distaˆncia entre r1 e pi.
(d) Considere a reta paralela a r1 que conte´m a origem, calcule a distaˆncia d(pi, r1).
Questa˜o 3: (3,0 pontos) Considere os vetores V1 = (1, 1, 0, 2), V2 = (0, 2, 1,−1) e V3 = (3, 3, 3, 3)
em R4.
(a) Seja W o subespac¸o gerado por β = {V1, V2, V3}. Mostre que β e´ base de W.
Resolva SOMENTE UM dos itens abaixo. Indique aqui o item escolhido:
Caso na˜o seja indicado nenhum item ou caso seja indicado mais de um item, nenhum dos itens sera´
corrigido.
(b) Encontre uma base ortonormal de W a partir de β.
(c) Encontre uma base de R4 que contenha β.
Questa˜o 4: (2,5 pontos) Considere as seguintes bases de R2: E a base canoˆnica de R2,
B = ((1, 2), (−1, 1)) e C = ((1/√5, 2/√5), (−2/√5, 1/√5)). Encontre as seguinte matrizes mudanc¸a
de base:
(a) de B para E, MBE .
(b) de C para E, MCE .
(c) de E para C, MEC .
(d) de B para C, MBC , utilizando as matrizes encontradas nos itens anteriores;
(e) Seja [V ]B =
[
1
−1
]
. Use as matrizes encontradas nos itens anteriores para encontrar as coorde-
nadas do vetor V na base canoˆnica.
BOA PROVA!!!!
Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Cieˆncias Aplicadas
Disciplina: LE106 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear Per´ıodo: 1o semestre de 2013
Professora: Bianca Morelli R. Calsavara Turma A Data: 27/05/2013
Aluno(a): RA:
ATENC¸A˜O
Respostas sem justificativa sera˜o desconsideradas
Resoluc¸o˜es por me´todos diferentes dos solicitados sera˜o desconsiderados
Na˜o desgrampeie as folhas de respostas da prova.
Todas as folhas entregues, devem ser devolvidas.
Segunda Prova
Questa˜o 1: (3,0 pontos) Considere os vetores V1 = (1, 1, 0, 2), V2 = (0, 2, 1,−1) e V3 = (3, 3, 3,−3)
em R4.
(a) Seja W o subespac¸o gerado por β = {V1, V2, V3}. Mostre que β e´ base de W.
Resolva SOMENTE UM dos itens abaixo. Indique aqui o item escolhido:
Caso na˜o seja indicado nenhum item ou caso seja indicado mais de um item, nenhum dos itens sera´
corrigido.
(b) Encontre uma base ortonormal de W a partir de β.
(c) Encontre uma base de R4 que contenha β.
Questa˜o 2: (1,5 ponto) Utilize produto escalar, produto vetorial ou produto misto para resolver
SOMENTE UM dos itens abaixo. Indique aqui o item escolhido:
Caso na˜o seja indicado nenhum item ou caso seja indicado mais de um item, a questa˜o na˜o sera´
corrigida.
(a) Os vetores V1 = (2, 1, 0), V2 = (2, 2, 1) e V3 = (1, 0, 1) de R3 sa˜o coplanares? Justifique.
(b) Encontre a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A = (−1, 1, 0), B = (0, 1, 0) e C = (2, 1, 1).
Questa˜o 3: (2,5 pontos) Considere as seguintes bases de R2: E a base canoˆnica de R2,
B =
(
(−3/√5, 2/√5), (2/√5, 1/√5)) e C = ((1, 2), (−1, 1)). Encontre as seguinte matrizes mudanc¸a
de base:
(a) de B para E, MBE .
(b) de E para B, MEB .
(c) de C para E, MCE .
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Questa˜o 3: Continuac¸a˜o:
(d) de C para B, MCB , utilizando as matrizes encontradas nos itens anteriores;
(e) Seja [V ]C =
[
−1
2
]
. Use as matrizes encontradas nos itens anteriores para encontrar as coorde-
nadas do vetor V na base canoˆnica.
Questa˜o 4: (4,0 pontos) Considere os pontosA = (1, 0, 1), B = (2, 1, 0), C = (1, 0,−2), D = (2, 1, 0)
e E = (1,−1,−2).
(a) Encontre a equac¸a˜o geral do plano pi contendo os pontos A, B e C.
(b) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta r1 contendo o segmento DE.
(c) Determine a posic¸a˜o relativa entre e a distaˆncia entre r1 e pi.
(d) Considere a reta paralela a r1 que conte´m a origem, calcule a distaˆncia d(pi, r1).
BOA PROVA!!!!