CADERNO UNIVERSITÁRIO

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL
caderno universitário
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Moacyr Marranghello
Prof. Jorge Tadeu Vargas da Silva
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índice
31.	Introdução:	�
72.	MATRIZES:	�
72.1.	CONCEITO:	�
72.2.	REPRESENTAÇÃO:	�
72.3.	TIPOS DE MATRIZES:	�
72.3.1.	MATRIZ LINHA:	�
82.3.2.	MATRIZ COLUNA:	�
82.3.3.	MATRIZ RETANGULAR:	�
82.3.4.	MATRIZ QUADRADA:	�
92.3.5.	MATRIZ TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ:	�
92.3.6.	MATRIZ NULA:	�
92.3.7.	MATRIZ IDENTIDADE:	�
102.3.8.	MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:	�
102.3.9.	MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:	�
102.3.10.	MATRIZ INVERSA:	�
112.4.	CONSTRUÇÃO DE MATRIZES:	�
112.5.	OPERAÇÕES COM MATRIZES:	�
112.5.1.	ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:	�
112.5.2.	MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO:	�
112.5.3.	MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES:	�
122.6.	DETERMINANTES:	�
122.6.1.	CONCEITO:	�
122.6.2.	FORMA DE OBTENÇÃO:	�
122.6.3.	CÁLCULO DO DETERMINANTE:	�
122.6.3.1.	Matriz de Segunda Ordem:	�
122.6.3.2.	Matriz de terceira ordem (Regra de Sarrus):	�
122.6.4.	PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:	�
132.6.4.1.	Matriz de ordem superior a três:	�
152.7.	SISTEMAS LINEARES:	�
152.7.1.	EQUAÇÃO LINEAR:	�
152.7.2.	SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES:	�
152.7.3.	SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES nxn	�
252.8.	EXERCÍCIOS SOBRE MATRIZES	�
303.	INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS VETORES	�
303.1.	Conceitos preliminares	�
323.2.	Definição de vetor:	�
343.2.1.	Operações com vetores:	�
363.3.	Módulo de um vetor:	�
363.4.	Vetor definido por dois pontos:	�
363.5.	Ponto médio de um vetor:	�
363.6.	Produto Escalar entre vetores	�
403.7.	Produto Vetorial entre vetores	�
433.8.	Produto Misto entre vetores	�
463.9.	EXERCÍCIOS SOBRE VETORES	�
603.10.	ESTUDO DA RETA	�
663.11.	EXERCÍCIOS SOBRE A RETA	�
703.12.	O PLANO	�
743.13.	EXERCÍCIOS SOBRE O PLANO	�
764.	Bibliografia:	�
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Introdução:
EMENTA DA DISCIPLINA:
Matrizes - Operações com matrizes - Matrizes inversíveis - Determinantes - Sistemas lineares - Espaço vetorial - Combinação linear - Dependência linear - Base de um espaço vetorial - Vetor - Reta no espaço - O plano.
OBJETIVOS
GERAL:
Que o aluno seja capaz de aplicar os conceitos de Álgebra Linear e Geometria nos problemas de engenharia.
ESPECÍFICOS
Operar com matrizes e calcular matriz inversa e operações elementares.
Reconhecer os tipos de matrizes.
Calcular determinantes.
Resolver sistemas de equações aplicando o método de Cramer e de Gauss.
Identificar as características de um vetor e representá-lo.
Operar com vetores.
Identificar espaços e sub-espaços vetoriais.
Identificar a base de um espaço vetorial.
Realizar produtos entre vetores.
Representar a reta nas suas diferentes formas de equações.
Resolver problemas que envolvam equações de retas.
Determinar a equação de planos.
Identificar as posições relativas entre planos/retas e planos/planos.
Determinar e reconhecer equações de cônicas.
PROGRAMA DA DISCIPLINA
Matriz – tipos, determinação e operações - matriz inversa.
Determinante - cálculo de determinantes e propriedades.
Sistemas lineares - classificação e resolução.
Vetor - definição, representação, características, tipos de vetores, versor de um vetor, combinação linear, dependência linear, espaços vetoriais, base de um espaço vetorial, projeção de vetores, expressão analítica e algébrica de vetor, módulo, distância entre dois pontos, cossenos diretores, paralelismo e perpendicularismo e produtos vetoriais.
A reta - equações vetorial, paramétrica e simétrica da reta, ângulo entre retas, paralelismo e perpendicularismo, coplanaridade, posições relativas entre retas.
O plano - equação do plano, posições relativas, distâncias.
AVALIAÇÃO: INSTRUMENTOS E CRITÉRIOS
A avaliação será feita, basicamente por duas provas:
1ª Nota: uma prova valendo nove (9,0) pontos, com os conteúdos até a oitava aula e trabalhos com exercícios de aplicação valendo um (1,0) ponto.
2ª Nota: uma prova valendo oito (8,0) pontos na décima oitava aula, com os conteúdos da primeira até a décima sétima aulas e trabalhos valendo dois (2,0) pontos.
Substituição: uma prova com os conteúdos da primeira até a décima nona aulas.
A média para a aprovação é de acordo com a Resolução nº 0120, de 25/09/2002, do Conselho Universitário, isto é: 
Serão realizadas duas (2) atividades para compor dois (2) graus parciais durante o período letivo. Depois de feita a média ponderada desses graus (o primeiro com peso 1 e o segundo com peso 2), o aluno que possuir , no mínimo, 75% de freqüência e média parcial igual ou superior a 6 será considerado aprovado.Para o aluno que tenha freqüência de 75% ou mais, mas média parcial inferior a 6, será oferecida uma prova de recuperação cumulativa de conteúdos e competências do semestre para substituir uma das notas dos dois primeiros graus (mantendo-se os respectivos pesos de cada grau):
Grau 1 (G1) – Avaliação, com peso 1, com os conteúdos e competências desenvolvidos no primeiro bimestre letivo.
Grau 2 (G2) – Avaliação, com peso 2, com todos os conteúdos e competências desenvolvidos no semestre letivo.
Será considerado aprovado o aluno que obtiver média maior ou igual a 6,0, calculada pela equação 
.
O aluno que não atingir o mínimo exigido terá oportunidade de realizar uma atividade de revisão geral de conteúdos e competência e mais uma atividade de substituição de um dos graus do semestre.
REVISÃO GERAL – Serão elaboradas atividades individuais para que os alunos possam trabalhar suas dificuldades com auxílio do professor.
SUBSTITUIÇÃO DE GRAU – Será realizada uma avaliação final contendo todos os conteúdos e competências desenvolvidas no semestre letivo.
O grau final será obtido, substituindo, na equação acima, o valor da nota da substituição de graus parciais G1 ou G2, a ser escolhido pelo aluno, pelo valor da nota da substituição de graus.
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MATRIZES:
CONCEITO:
Denomina-se Matriz o conjunto de elementos formado por m linhas e n colunas, que são dispostas em um quadro, com um total de m.n elementos, que podem ser números, letras ou letras e números.
REPRESENTAÇÃO:
A representação de uma Matriz Retangular de m.n elementos é dada pelo seguinte quadro:
Amxn = 
Onde o 1.º Índice de cada elemento indica a sua linha e o 2.º Índice de cada elemento indica a sua coluna, assim o elemento a23 está localizado na 2.ª linha e 3.ª coluna.
Obs.:	1) Utilizam-se letras maiúsculas para representar uma Matriz.
2) A ordem de uma Matriz é dada pelo seu número de linhas e colunas. Assim uma Matriz 3x2 possui 3 linhas e 2 colunas.
TIPOS DE MATRIZES:
MATRIZ LINHA:
É aquela que possui uma única linha, sua ordem tem forma geral do tipo 1xn.
A1xn = 
Ex.:	A = 
 ordem 1X3 B = 
 ordem 1X2
C = 
 ordem 1X6
MATRIZ COLUNA:
É aquela que possui uma única coluna, sua ordem tem forma geral do tipo mx1.
Bmx1 = 
Ex.:	P = 
 ordem 3X1 Q = 
 ordem 4X1
MATRIZ RETANGULAR:
É aquela em que o número de linhas é diferente do número de colunas, sua ordem geral é do tipo mxn, com m#n
Amxn = 
Ex.:	M = 
 ordem 2X3 N = 
 ordem 5X3
MATRIZ QUADRADA:
É aquela em que o número de linhas é igual ao número de colunas, sua ordem geral é do tipo nxn, ou resumidamente, ordem n.
Cnxn = 
Obs.:	As matrizes quadradas possuem uma Diagonal Principal, que é formada pelos elementos que possuem índices iguais, e uma Diagonal Secundária, que é formada pelos elementos cuja soma de seus índices resulta n + 1.
Ex.:	A = 
 ordem 2X2 ou de 2ª ordem
 diag. Secundária diag. Principal
B = 
 3X3 ordem ou de 3ª ordem
 diag. Secundária diag. Principal
MATRIZ TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ:
Dada uma Matriz A, sua transposta é outra matriz, que se representa por At, quando os elementos das linhas de uma matriz são os elementos das colunas da outra matriz.
A3x2 = 
 At2x3 = 
Obs.: Os elemento de posição ij da Matriz A ocuparáa posição ji na Matriz At.
Ex.:	sendo A = 
, sua transposta é a matriz At = 
MATRIZ NULA:
É aquela em que todos os seus elementos são nulos (“zeros”).
A2x2 = 
 B3x3 = 
MATRIZ IDENTIDADE:
É aquela matriz quadrada que possui os elementos da Diagonal Principal iguais a 1 e os demais elementos nulos (“zeros”).
I2 = 
 I3 = 
 I4 = 
 e assim por diante.
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:
É aquela em que todos os elementos que ficam acima da Diagonal Principal são nulos (“zeros”).
A3X3 = 
 B4x4 = 
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:
É aquela em que todos os elementos que ficam abaixo da Diagonal Principal são nulos (“zeros”).
M3X3 = 
 P2x2 = 
 Q4x4 = 
MATRIZ INVERSA:
Sendo uma Matriz Quadrada A, de ordem M. Dizemos que a Matriz A é inversível se existir B tal que:
A . B = B . A = In ou A . A-1 = In 
A Matriz B é chamada inversa da Matriz A e será indicada por A-1.
Nota:
a) Se existir a Matriz inversa, dizemos que a Matriz A é inversível, caso contrário ela é não-inversível ou singular.
b) Existindo a Matriz inversa, ela é única
Ex: Sendo a Matriz A = 
 , Obtenha sua inversa.
Solução: 
.
 = 
 
 = 
Pela igualdade de Matrizes, obtemos:
A-1 = 
CONSTRUÇÃO DE MATRIZES:
Para se construir uma Matriz dependemos de sua Lei de Formação, muito embora possam ser criadas matrizes sem uma lei específica, são apenas um amontoado de números, letras ou letras e números. De um modo geral a Lei de Formação depende da posição de cada elemento na matriz.
Ex.: Construir as seguintes matrizes:
A = (aij) 4x2 = 3i – 2j
B = (bij) 2x4 = i2 – 3j
C = (cij) 4x4 = 
Respostas:
a) A = 
 b) B = 
 c) C = 
OPERAÇÕES COM MATRIZES:
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:
Para somarmos ou subtrairmos duas matrizes, é necessário inicialmente que as matrizes possuam a mesma ordem. A operação é feita pela adição ou subtração em cada posição das duas matrizes resultando uma terceira matriz de mesma ordem, ou seja, teremos que Anxm +/- Bnxm = Cnxm, se todo cij = aij +/- bij.
MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO:
Para multiplicarmos um número por uma Matriz devemos multiplicar todos os seus elementos pelo número escolhido, ou seja, teremos que dada a Matriz Anxm a Matriz B = 3.Anxm, é tal que todo bij = 3.aij.
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES:
Para multiplicarmos duas Matrizes é necessário inicialmente que a 1.ª Matriz tenha o número de colunas igual ao número de linhas da 2.ª Matriz. Para obtermos o elemento cij da Matriz Produto, deveremos fazer:
cij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj
Exemplo:
A4x2 x B2x3 = C4x3
 x 
 = 
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