Exercícios resolvidos CAP.9 - Rotação

Prévia do material em texto

1. A velocidade angular de um volante decresce uniformemente de 40π rad/s para 20π rad/s, 
em um intervalo de tempo de 5 segundos. Determine: (a) a aceleração angular e (b) o 
número de rotações feitas pelo volante neste intervalo de tempo de 5 segundos. (c) 
Sabendo que a aceleração angular permanece constante, determine quantos segundos a 
mais são necessários para o volante parar. 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 (c) 
 
 
 
2. Na figura ao lado vê-se um sistema constituído por três hastes 
uniformes de mesma massa (M) e mesmo comprimento (L) que 
suportam nas extremidades dois objetos de mesma massa (2M). O 
sistema é abandonado do repouso, com as hastes posicionadas 
verticalmente acima do eixo horizontal AB. Determine (a) o momento 
de inércia do sistema em relação ao eixo AB e (b) a velocidade angular 
do sistema ao passar pela posição mais baixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – FIS 205 
CAPÍTULO 9 – ROTAÇÃO 
Momento de inércia de uma haste em torno do eixo que passa 
pelo seu centro perpendicular ao seu comprimento: 
2
12
1 MLICM = 
(a) ( )( ) ( ) 2222
2
2
12
1
3
17
222 MLMLMLMMLI LAB =+++= 
 
(b) Conservação da energia mecânica: Einicial = Efinal 
( ) ( ) ( )
L
g
MLMgL
MLMgLMgLMgMg LL
17
72
6
17
12
3
17
2
1
222222
22
22
22
3
=
=





+=++
ω
ω
ω
 
2M 
2M 
M 
M 
M 
A 
B 
N.R ( h = 0 ) 
sradst
srad
/20)5(
/400
πω
πω
==
=
 
2
0
/4
5
20
5.4020
srad
t
πα
π
α
αππ
αωω
−=
−
=
+=
+=
 
rotaçõesx
radx
radrotação
rad
75
150
21
150
8
1200
8
4001600
)4(2)40()20(
2
2
22
22
2
0
2
=
−
−
==∆
−
=∆
∆−+=
∆+=
π
π
π
π
π
θ
π
ππ
θ
θπππ
θαωω
 
st
t
t
t
5
4
20
4200
0
=
=
−=
+=
π
π
ππ
αωω
 
3. Em um instante inicial 0=it , a linha de referência de uma turbina passa pela posição 
angular 0=iθ , girando no sentido anti-horário com velocidade angular 0i ωω = e sujeita a 
uma desaceleração angular constante α. (a) Determine o instante t em que a linha de 
referência atinge o deslocamento angular máximo (θmáx) no sentido positivo. (b) Determine 
os dois primeiros instantes (t1 e t2) em que a linha de referência passa pela posição 
2
máxθ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) No instante t em que a linha de referência 
atinge a posição angular máxima (θmáx), a 
velocidade angular é nula. 
 
α
ω
=
−=
−=
0
0
t
αtω
αtωω
0
0
 
 
A posição angular máxima atingida pela linha de 
referência será: 
α
ω
=θ
θ−=
θ−=
2
2
0
máx
máz
2
0
2
0
2
2αω0
2αωω
 
 
(b) A linha de referência passará pela posição 
angular 
2
máxθ no instante t1, ainda girando no 
sentido anti-horário (antes de atingir a posição 
angular máxima) com velocidade angular ω1 e no 
instante t2, girando no sentido horário (retornando 
da posição angular máxima) com velocidade 
angular ω2. 
 
 
 
 
 
 
0
2
0
2
0
2
2
ω±=±=
=−=
−=
−=
−=
2
ω
ω
2
ω
2
ω
ωω
2α
ω
αωω
2
θ
2αωω
2ααωω
2
02
0
2
2
02
0
2
máx2
0
2
2
0
2
 
 
Assim, 
0201 ωωeωω
2
2
2
2
−== 
 
)22(
α2
α
α
α
α
1 −=








−=
−=
−=
−=
0
0
1
001
100
101
ω
t
2
2
1
ω
t
ω
2
2
ωt
tωω
2
2
tωω
 
)22(
α2
α
α
α
α
2
2
2
2
22
+=








+=
+=
−=−
−=
0
0
00
00
0
ω
t
2
2
1
ω
t
ω
2
2
ωt
tωω
2
2
tωω
 
Linha de referência 
Equações do movimento: 
0
)(
=θ
=
−=α
i
0i ωω
constante
 
 
αθ−ω=ω
α−ω=ω
α−ω=θ
2
2
1
2
0
2
0
2
0
t
tt
 0=iθ 
máxθ 
2
máxθ 
0ω (+) α (-) 
t, 0ω = 
t2 , 2ω 
t1 , 1ω 
 
4. Um cilindro homogêneo de massa MC = m e raio RC = 2r está em repouso sobre uma 
mesa. Um fio de massa desprezível é ligado ao cilindro por meio de um suporte preso às 
extremidades de um eixo que passa através do centro do cilindro, sem atrito, de modo que 
o cilindro possa girar livremente em torno do eixo. O fio passa sobre uma polia em forma 
de disco de massa MP = m e raio RC = r montada em um eixo sem atrito que passa em seu 
centro. Um bloco de massa MB = m é suspenso na extremidade livre do fio. O fio não 
desliza sobre a superfície da polia, e o cilindro rola sem deslizar sobre a mesa. Determine: 
 
a) O módulo da aceleração do bloco quando o 
sistema é liberado a partir do repouso. 
Suponha que o bloco teve um deslocamento 
vertical h. Use o princípio de conservação da 
energia mecânica. O momento de inércia do 
cilindro e da polia, em relação ao CM, é dado 
por: ICM = ½ MR
2. 
b) A tração na parte do fio que sustenta o bloco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Aplicando o Princípio de Conservação da Energia 
Mecânica, temos: 
0)( =∆+∆+∆+∆ PCBBg KKKU 
ghvmvmgh
mvmvmvmvmgh
mRmvmRmvmgh
IvMIvMghM
PPCC
PPCCCBB
3
2
2
3
0
4
1
2
1
4
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
22
2222
222222
2222
=⇒=
=+++=
=+++=
=++++−
ωω
ωω
 
gaahgh
advv
3
1
2
3
2
220
2
=⇒=
+=
 
MC , RC 
MB 
MP , RP 
h h 
b) Aplicando a 2ª Lei de Newton ao 
movimento do bloco: 
mgT
gmgT
mamgT
maTP
3
2
3
1
=
−=
−=
=−
 
BP
r
 
T
r
 
a
r
 
5. Um cilindro sobe, rolando sem deslizar, um plano inclinado de 30º puxado por um fio de 
massa desprezível, preso ao seu eixo de rotação. O fio passa por uma polia (disco) e, 
suspenso em sua extremidade, encontra-se um bloco. O cilindro, a polia e o bloco 
possuem massas iguais a M. O raio do cilindro é RC e o da polia é RP. Desprezando o atrito 
no eixo da polia, considerando a aceleração da gravidade local igual a g e, sabendo que os 
objetos partiram do repouso, mostre que a velocidade dos objetos após o cilindro percorrer 
uma distância L será: 
gLv
3
1
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de inércia da polia: 
2
2
1
PP MRI = 
Momento de inércia do cilindro: 
2
2
1
CC MRI = 
 
Variação de energia cinética do sistema (cilindro-polia-bloco) 
após o delocamento L. 
2
2222
222222
2222
2
3
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
MvK
MvMvMvMvK
vmMRvmMRK
vmIvmIK
KKKK
BPPcCC
BPPcCC
blocopoliacilindro
=∆
+++=∆
+ω++ω=∆
+ω++ω=∆
∆+∆+∆=∆
 
 
Variação de energia potencial do sistema (cilindro-polia-bloco) 
após o delocamento L. 
 
MgLU
MgL
L
MgU
LgmgLmU
hgmhgmU
UUU
BC
BBCC
BC
2
1
2
)(º30sen
−=∆
−=∆
−+=∆
∆+∆=∆
∆+∆=∆
 
 
Momento de Inércia 
Cilindro sólido ou disco em 
torno do eixo central 
I = mr
2
/2 
 
2
1º30sen = 
L 
L 
) 30º 
y 
x 
Pelo Teorema do Trabalho 
e Energia: 
gLv
MgLMv
MgLMv
UK
KU
KW
KW
Peso
Total
3
1
2
1
2
3
0
21
2
3
0
2
2
=
=
=−
=∆+∆
∆=∆−
∆=
∆=