Prova 4 FIS 201 2005-2

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Marque um X em sua turma Professor 
 T1 - 3a = 16-18 / 6a = 14-16 Gino T4 - 3a = 14-16 / 5a = 16-18 
 T2 - 2a = 08-10 / 4a = 10-12 Nemésio 
 T3 - 4a = 14-16 / 6a = 16-18 Ricardo 
 T5 - 3a = 08-10 / 5a = 10-12 Antonio Carlos T6 - 2a = 10-12 / 5a = 08-10 
 T7 - 2a = 14-16 / 4a = 16-18 Sílvio 
Nome: ___________________________________________________ Matrícula: ____________ 
EQUAÇÕES 
Fr
rrr ×=τ 
θ=τ senrF 
pr rrl
r ×= 
θ= senmrvl 
ω= rr IL 
amF r
r =∑ 
dt
dI l
r
rr =α=τ∑ 
xkF r
r −= 
2)21( ω= IKr 
2)21( mvKt = 
2)2/1( kxU e = 
mghU g = 
WTotal = ∆K 
rvCM ω= 
rat α= 
)cos( 0φ+ω= txx m
f
T
π=π=ω 22 
 
1. Um bastão fino, uniforme de massa 2M e comprimento L gira em um plano horizontal em torno 
de um eixo fixo passando em seu centro e perpendicular a ele com velocidade angular 0ω . Dois 
pequenos anéis, cada um com massa M, são montados de forma que possam deslizar ao longo 
do bastão. Inicialmente eles estão presos por pequenos pregadores afastados de L/4 do centro 
do bastão. Sem alterar nada no sistema, os pregadores são libertados e os anéis deslizam ao 
longo do bastão e saem pela suas extremidades. Determine (a) a velocidade angular do bastão 
no instante em que os anéis atingem as extremidades dele e (b) a velocidade angular do bastão 
depois que os anéis saem pelas suas extremidades. 
 
 
 
 
 
 
Momento de Inércia inicial: 
2
2
2
0 24
7
16
22
12
1 MLLMMLI =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+= 
Quando os anéis estiverem nas extremidades: 
2
2
2
0, 3
2
4
22
12
1 MLLMMLI f =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+= 
Após os anéis saírem do bastão: 
22
0, 6
12
12
1 MLMLI f ==′ 
0, ==τ∑ dtdLOext 
a) fi LL = 
0
2
0
2
16
7
3
2
24
7
ω=ω
ω=ω
f
fMLML
 
 
 
b) fi LL ′= 
0
2
0
2
4
7
6
1
24
7
ω=ω′
ω′=ω
f
fMLML
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE 
QUARTA PROVA DE FIS 201 – 21/04/2006 
NOTA (100) 
Observações 
9 A prova contém 4 (quatro) questões; 
9 Todas as questões têm o mesmo valor; 
9 Não serão aceitas respostas sem justificativas; 
9 Faça uso de ilustrações, eixos cartesianos de 
referência, diagramas de corpos isolados e 
textos explicativos, durante a resolução do 
problema; 
9 Caso necessário, use o verso da folha; 
9 Utilize gr para a aceleração da gravidade. 
L 4
L 
4
L 
Momento de inércia de um bastão fino em torno 
do eixo central perpendicular ao seu 
comprimento: 2121 lm 
O 
2. Na figura abaixo vê-se um cilindro de massa 2M e raio R rolando sem deslizar sobre um plano 
inclinado de 30º puxado por um fio preso a um eixo que passa pelo centro do mesmo. O fio 
passa por uma polia cujo momento de inércia é desprezível e em sua extremidade tem-se um 
bloco de massa 2M. Determine: (a) a aceleração do bloco; (b) a tensão no fio e (c) a força de 
atrito estático sobre o cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30º 
Momento de inércia de um 
cilindro sólido em torno do eixo 
central: 221 mr . 
 
2
3
2
1 º30cosº30sen == e 
Considerando desprezível o 
momento de inércia da polia 
temos que TA = TB = T. 
 
A aceleração do centro de massa 
do cilindro é igual à aceleração 
do bloco. 
 
Uma vez que o peso do bloco é 
maior que a componente do peso 
do cilindro paralela ao plano 
inclinado, o cilindro tende a 
deslizar para cima. 
30º 
2M 
BT
r
 
AT
r
 
P
r
 
P
r
N
r
 
ef
r
 
ar 
yP
r
 
xP
r
 
ar 
Aplicando a 2ª Lei de Newton aos movimentos de 
translação do bloco e do cilindro e ao movimento de 
rotação do cilindro temos: 
Bloco 
)1(22
22
MaMgT
MaTMg
amF
−=
=−
=∑ rr
 
Cilindro 
)2(2
2º30sen2
MafMgT
MafMgT
amF
e
e
++=
=−−
=∑ rr
 
Cilindro 
)3(
2
2
1 2
Maf
R
aMRf
MRRf
I
e
e
e
O
=
=
α=
α=τ∑ rr
 
a) Substituindo as equações (1) e (3) em (2): 
ga
MaMg
MaMaMgMaMg
5
1
5
222
=
=
++=−
 
b) Em (1): 
 
MgT
gMMgT
5
8
5
122
=
−=
 
c) Em (3): 
Mgf
gMf
e
e
5
1
5
1
=
=
 
3. Um disco circular de raio R pode girar, sem atrito em torno de um eixo horizontal que passa 
pelo seu centro. Um fio é enrolado na periferia do disco e em sua extremidade está pendurado 
um objeto de massa 10M. Um eixo uniforme de comprimento L (= 10R) e massa 2M está 
amarrado ao disco com uma das extremidades no centro do disco. Quando se coloca na outra 
extremidade do eixo um objeto de massa M o conjunto fica em equilíbrio na posição indicada 
abaixo. Determine o ângulo θ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que o sistema (eixo + disco) está em equilíbrio: 
º60
2
1cos
cos2010
cos10.cos5.2.10
0cos10.cos5.2º90sen.10
00
=θ
=θ
θ=
θ+θ=
=θ−θ−
=τ∑
PRPR
RPRPRP
RPRPRP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
θ 
M 
10M 
θ 
P
r
10 
P
rP
r
2
0 
F
r
R 
4. Um oscilador harmônico linear possui freqüência angular ω e amplitude xm. (a) Determine os 
módulos da posição (em relação à posição de equilíbrio) e da velocidade quando a energia 
potencial elástica for igual à energia cinética. (b) Quantas vezes isto ocorre em cada ciclo e qual 
é o intervalo de tempo entre duas ocorrências consecutivas? (c) No momento em que o 
deslocamento é igual a 2
mx , qual é a fração da energia total do sistema referente à energia 
cinética e qual a fração referente à energia potencial? 
 
 
a) A energia mecânica do oscilador harmônico linear 
é constante e igual a E, correspondente à soma das 
energias cinética e potencial, para uma dada 
posição. Nas extremidades, a energia é puramente 
potencial, assim: 
2
2
1
mkxE = 
Na posição em que as energias cinética e potencial 
são iguais temos: 
 
m
m
m
xx
xx
kxkx
EU
EUU
EKU
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
22
±=
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
=
=+
=+
 
 
A energia cinética será: 
 
22
22
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
m
m
x
m
kv
kxmv
EK
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
=
 
 
2
2 )(
ω=
ω−=−
=
m
k
xmkx
maF
 
m
m
xv
xv
ω±=
ω=
2
2
2
1 222
 
 
 
mm xvexx ω== 2
2
2
2 
 
 
b) 
 
 
 
 
4 vezes. Nos instantes t = 0, T/2, T/4, 3T/4. 
Ao se completar um período ( T ) o movimento 
volta a se repetir. 
 
∆t = T/4 
 
 
c) A fração da energia mecânica total do 
oscilador correspondente à energia 
potencial será: 
%25
4
1
4
1
2
1
4
1
22
1 2
2
ou
E
U
Ekx
x
kU mm
=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
 
 
E a fração que corresponde à energia cinética 
será: 
 
 
%75
4
3
4
3
4
1
ou
E
K
EK
EKE
EKU
=
=
=+
=+
 
 
x = 0 - xm + xm