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XXI EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul - Universidade
Federal de Santa Catarina, Florianópolis/SC, Brasil. 30 de outubro à 2 de novembro de 2015.
PROPORCIONALIDADE ENTRE GRANDEZAS APLICADAS AO 7º ANO DO
ENSINO FUNDAMENTAL COM A METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS USANDO MATERIAL MANIPULÁVEL E JOGO ON-LINE
Carlos Eduardo Andrades - carloseduardoandrades@gmail.com Licenciando
Jaqueline Schmitt de Lima - jaquelinesdelima@hotmail.com Licencianda
Elizangela Weber - elizangela.weber@iffarroupilha.edu.br Professora Orientadora
Julhane Thomas Schulz - julhane@sr.iffarroupilha.edu.br Professora Orientadora
Mariele Josiane Fuchs - mariele.fuchs@iffarroupilha.edu.br Professora Orientadora
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Farroupilha – Câmpus Santa Rosa
Resumo. Este trabalho é uma prática aplicada ao 7° (sétimo) ano do Ensino Fundamental
tendo como metodologia de ensino a Resolução de Problemas, utilizando-se também de
material manipulável e jogo on-line. Dentre os objetivos desta aula, pode-se destacar a
importância de compreender o conceito de proporcionalidade entre grandezas e a
aplicabilidade em seu cotidiano; outro objetivo foi de cativar os discentes para a exploração
conceitual do conteúdo utilizando balas como material didático manipulável, além de usar o
jogo computacional Gangorra Interativa para desenvolver a interação da tecnologia e os
conceitos abordados em aula, conquistando assim a atenção dos alunos para a atividade
tornando a aprendizagem mais significativa. Foram realizados exercícios contextualizados
envolvendo o estudo de proporcionalidade entre grandezas, para diferenciar as grandezas
diretamente proporcionais das inversamente proporcionais. 
Palavras Chave: Proporcionalidade, Resolução de Problemas, Material manipulável, Jogo
On-line.
1. INTRODUÇÃO.
Esta atividade foi desenvolvida pelos acadêmicos do 5º (quinto) semestre do curso de
Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia
Farroupilha – Câmpus Santa Rosa, como prática complementar dos componentes curriculares
de Álgebra, Laboratório em Educação Matemática I e Tecnologia da Informação e
Comunicação II. 
Foi elaborado um Plano de Aula, com o intuito de explorar através da metodologia de
ensino de Resolução de Problemas o conteúdo de Grandezas Diretamente e Inversamente
Proporcionais. Tal metodologia é apresentada como o elemento de um processo de construção
de conhecimento, sendo o ensino centrado no aluno que vai construindo os conceitos
matemáticos enquanto resolve as atividades. De acordo com Rosa (2010, p. 191):
Existe o exercício (situação de rotina, treino, fixação), que envolve simples
aplicação de técnicas conhecidas, mas existe o problema (situação nova e
desafiadora), que envolve criação. O problema não é rotina (…) fazem dar um passo
à frente (…) a matemática passa a ser um meio e não um fim.
XXI EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul - Universidade
Federal de Santa Catarina, Florianópolis/SC, Brasil. 30 de outubro à 2 de novembro de 2015.
Para a realização dessa aula, utilizou-se ainda Materiais Manipuláveis e Recursos
Tecnológicos.
O material manipulável ou concreto é um recurso de ensino utilizado durante as aulas
para auxiliar na construção do conceito de conteúdos. Manipulando os objetos o aluno se
integra a ação, o que torna a aprendizagem mais significativa. Nesta aula, o material utilizado
foi balas (guloseimas), na qual foi explorada a proporcionalidade a partir de questões
contextualizadas. 
Em relação ao recurso tecnológico destaca-se que em uma época de grandes avanços
nesta área, a educação deve acompanhar tal desenvolvimento, já que grande parte dos alunos
têm familiaridade com seu uso. E para aqueles que não têm acesso, a Escola deve oportunizar
a educação tecnológica. Aliado as disciplinas, usá-lo como ferramenta de ensino proporciona
uma ampliação para o conhecimento do aluno, uma vez que em aulas tradicionais alguns
conteúdos tornam-se abstratos, podendo não ocorrer o total entendimento e é através do
recurso tecnológico que tal obstrução é rompida
Como resposta ao conteúdo apresentado e as formas metodológicas utilizadas para a
explanação do mesmo, os alunos demonstraram satisfatória compreensão e interação durante
todas as etapas da aula. As quais poderão ser vistas detalhadamente no transcorrer desse
artigo. 
2. METODOLOGIA.
Um problema é algo que buscamos a solução, sendo que as estratégias e os caminhos
para isso podem ser os mais variados. Para Polya (1978), ter um problema significa buscar
conscientemente alguma ação apropriada para atingir um objetivo claramente definido, mas
não imediatamente atingível. Dentre as habilidades adquiridas durante o processo de resolver
um problema destacam-se a criatividade, a iniciativa pessoal, a capacidade de trabalhar em
grupos e desenvolver técnicas para abordar e trabalhar problemas. De acordo com Brito (2006
apud POLYA,1978, p. 13),
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de
descoberta na solução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se
ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver
por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozara o triunfo da descoberta.
Experiências tais, numa idade suscetível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental
e deixar, por toda a vida, sua marca na mente e no caráter.
Na prática aplicada aos alunos do 7º anos a metodologia de ensino adotada foi a
Resolução de Problemas, não só pela sua eficácia comprovada no ensino de Matemática, mas,
além disso, pela possibilidade de proporcionar aos alunos a oportunidade de superar desafios,
buscar soluções a partir de seus conhecimentos e tornarem-se autônomos na construção de sua
aprendizagem.
Conforme Polya (1978), a resolução de um problema matemático envolve além do
desafio, o descobrimento, pois não existe um método rígido que o aluno possa sempre seguir
para encontrar a solução de uma situação-problema. Porém, é necessário etapas a serem
percorridas para chegar com êxito ao alvo do enunciado e conseguir de forma prazerosa e
gratificante responder e demonstrar os passos percorridos até a solução.
Representa uma mudança de postura em relação ao ensino da Matemática, uma vez
que a aula a partir de problemas, nos quais os alunos devem solucioná-los utilizando suas
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estratégias, traz muitas possibilidades a serem exploradas pelo professor, pois representa
diferentes visões dos conceitos abordados.
A resposta correta tem valor, mas não é o principal objetivo da aula. A ênfase está no
processo de resolução, permitindo a construção de processos diferentes, comparando-as entre
si e socializando as estratégias adotadas por cada aluno com a turma. 
É um momento de troca de ideias, da discussão, da defesa de ideias, mas aprendendo
a abandoná-las, se for necessário. O acertar ou não acertar fica secundário diante da
riqueza da dinâmica do grupo. (...) deve haver o momento de desenvolvimento da
racionalidade. Aliás, nos problemas, o aprender a ler sofre um salto de qualidade. É
um momento em que além de ler é preciso analisar, interpretar, ponderar e construir
conclusões (ROSA, 2010, p. 191).
Ainda, os problemas propostos pelo professor devem despertar a curiosidade dos
alunos, estimulá-los a tentar resolver. As tentativas promovem a construção de várias
resoluções para um mesmo problema. Assim o docente encaminha a aula com um objetivo
especifico e ao final podeter trabalhado muito além dele, tornando a aula ainda mais
produtiva.
Essa metodologia pode ser dividida em etapas ou estágios que inicialmente partem da
análise do problema, busca das hipóteses e estratégias de resolução e então executar e ver se a
resposta é valida.
Como nos traz Brito (2006 apud Polya, 1978, p. 23) 
A solução de um problema como o ato de buscar conscientemente alguma ação
apropriada para alcançar um objetivo claramente imaginado, mas não imediatamente
atingível, e propôs um modelo composto de quatro estágios:
1. Compreender o problema: a partir da leitura do problema, o estudante deveria
identificar palavras, linguagem e símbolos assumindo uma disposição para a busca
da solução;
2. Conceber um plano: disponibilizar os procedimentos úteis para a obtenção da
solução;
3. Executar o plano: selecionar o procedimento mais útil e aplicá-lo;
4. Verificar a solução – checar e interpretar a solução nos termos da situação dada no
problema.
O problema escolhido para ser trabalhado servirá como base para a iniciação do
conteúdo, e para a formação dos conceitos que se pretende estudar.
3. DESENVOLVIMENTO.
A atividade foi aplicada no dia 12 (doze) de junho de 2015 (dois mil e quinze) no
turno da manhã, na Escola Municipal de Ensino Fundamental Coronel Raul Oliveira com 17
(dezessete) alunos matriculados no 7o (sétimo) ano, na cidade de Santa Rosa – RS.
O objetivo dessa aula foi estabelecer o estudo de Grandezas Diretamente e
Inversamente Proporcionais, mediante a metodologia de Resolução de Problemas, o uso de
recursos manipuláveis e de tecnologias, para que os alunos compreendam os conceitos em
estudo e percebam a aplicabilidade dos mesmos no cotidiano.
A aula foi dividida em três momentos: resolução de problemas, atividade com material
manipulável e utilização do recurso tecnológico.
Foi entregue a cada aluno uma folha com três problemas envolvendo o conceito de
Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais.
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Pelo fato dos alunos não terem estudado ainda estes conceitos, algumas dificuldades
foram encontradas ao iniciar a resolução e precisaram de auxilio para iniciarem o
desenvolvimento das questões. Entre os obstáculos observados nos alunos pode-se citar a
disposição das grandezas uma abaixo da outra, também, foi verificado que os alunos não
lembravam a propriedade fundamental da Proporção (multiplicação dos meios é igual a
multiplicação pelos extremos). No decorrer das resoluções os alunos compreenderam a
atividade e apesar das dificuldades conseguiram fazer os exercícios, buscando estratégias de
resolução.
Esta atividade inicial foi onde os alunos mais sentiram dificuldade, pois deveriam
solucionar os problemas a partir de seus conhecimentos prévios, porém esperavam que
disséssemos o que eles deveriam fazer, “que fórmula deveria ser usada”. Acreditamos que foi
muito importante a aplicação desta metodologia na turma, pois durante o desenvolvimento das
demais atividades os alunos já trabalhavam mais independentes. 
As potencialidades dessa atividade estão no fato dos alunos buscarem a solução sem
ter os conceitos explicados a eles, várias estratégias podem surgir a partir dessas resoluções.
Na aprendizagem da matemática, os problemas são fundamentais, pois permitem ao aluno
colocar-se diante de questionamentos e pensar por si próprio, possibilitando o exercício do
raciocínio lógico e não apenas o uso padronizado de regras, situação que acaba acontecendo
em muitas escolas, que acabam deixando de desenvolver a capacidade dos alunos de resolver
problemas sendo que ela é essencial para a vida dos estudantes. 
Assim, desenvolvem o pensamento matemático, não se restringindo a exercícios
rotineiros, que valorizam apenas o aprendizado por reprodução. Podemos distinguir, mais
claramente, um problema de um exercício. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) “Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma
sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está
disponível de início, mas é possível construí-la” (BRASIL, 1998, p. 41). A importância da
resolução está no fato de dar a oportunidade dos alunos mobilizarem seus conhecimentos e
desenvolverem a capacidade de trabalhar com as informações que estão disponíveis. Assim,
os alunos terão oportunidades de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e
procedimentos matemáticos, desenvolvendo também a sua autoconfiança.
No segundo momento da atividade foi explorado o material manipulável, utilizando as
balas (guloseimas). Um momento de descontração, no qual os alunos estavam bem
participativos e não tiveram qualquer dificuldade para resolver as questões propostas.
Interagiram no grupo, sendo que todos participaram das divisões das balas para chegar às
respostas.
Esta foi à etapa em que se evidenciou que os alunos mais compreenderam o conceito
de grandezas e a diferença de uma Grandeza Diretamente Proporcional para uma
Inversamente Proporcional, sendo que iam fazendo as atividades sem qualquer dificuldade. 
Com as balas os alunos puderam ter a noção que quando uma determinada quantidade
de balas vai aumentando, a quantidade de balas recebidas por um número de alunos também
vai aumentando; então as grandezas “número total de balas” e “número de balas recebidas por
cada aluno” são diretamente proporcionais. Também foi mostrado que quando uma certa
quantidade de balas é dividida entre alunos e se o número de alunos vai aumentar, a
quantidade de balas que cada um recebe vai diminuir, logo as grandezas “número de alunos” e
“quantidade de balas recebidas por cada aluno” são inversamente proporcionais.
Percebe-se o maior interesse pela resolução dos problemas quando os alunos podem
manipular materiais, pois ao inserir uma nova proposta em sala de aula aguça a curiosidade
em relação ao que será desenvolvido e auxilia na aprendizagem, além de influenciar no
empenho do aluno em buscar a solução. Conforme observamos na Figura 01.
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Figura 01 – Alunos trabalhando com Material Manipulável
Após concluírem a atividade com as balas, foram conduzidos ao Laboratório de
Informática da Escola para o trabalho com o recurso tecnológico (computador). A atividade
proposta foi trabalhar com o jogo on-line a “Gangorra Interativa”. Este jogo online foi criado
pelo Grupo de Pesquisa e Produção de Ambientes Interativos e Objetos de Aprendizagem
PROATIVA, da Universidade Federal do Ceará, tendo como objetivos comparar e estabelecer
relações entre grandezas (pesos), resolver, interpretar e discutir situações-problemas com
Grandezas Inversamente Proporcionais.
A gangorra é um brinquedo muito utilizado por crianças em parques e praças e nesse é
encontrado o conceito de proporcionalidade inversa. Para usufruir desse brinquedo as crianças
devem equilibrar os pesos nos dois lados. Caso uma criança seja mais pesada que a outra, essa
deve se distanciar da extremidade da gangorra indo em direção ao ponto de apoio (centro da
gangorra) para que o equilíbrio aconteça. O objeto de aprendizagem Gangorra Interativa
simula uma gangorra e tem como objetivo que o aluno a equilibre usando várias quantidades
de pesos.
Ao jogar, os alunos tiveram bastante facilidade, uma vez que estão familiarizados com
este recurso. Houve somente a necessidade de explicar a relação existente entre peso e
distânciaaté o centro da gangorra, e após isso logo concluíram todas os níveis do jogo.
Ao final das atividades foi solicitado aos discentes que realizassem um questionário
confrontando os pontos positivos da aula com as dificuldades encontradas por cada um. 
Há prevalência na opinião dos alunos quanto ao entusiasmo em aprender conteúdos
novos através de meios de ensino criativos e diferentes do tradicional. Também foi destacados
por eles que com o uso das guloseimas, o entendimento tornou-se mais fácil.
4.CONSIDERAÇÕES FINAIS.
Ao final deste trabalho destacamos a importância na utilização da metodologia de
Resolução de Problemas como estratégia didática para um ensino que desencadeia no aluno
um comportamento autônomo, estimula a curiosidade e prepara para lidar com situações
novas sendo motivado a pensar, conhecer, ousar e solucionar problemas. Também aliar uma
metodologia diferenciada com recursos, tanto manipuláveis quanto tecnológicos torna a aula
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Federal de Santa Catarina, Florianópolis/SC, Brasil. 30 de outubro à 2 de novembro de 2015.
mais prazerosa e desperta o entusiasmo nos alunos. Sendo que o processo de ensino e de
aprendizagem acontece de maneira mais satisfatória, proporcionando um trabalho mais
eficiente e interessante para o aluno.
O trabalho do professor consiste na atuação como mediador no processo de ensinar, e
para isso o mesmo deve desenvolver mecanismos que facilitem a aprendizagem, buscando
aproximar os conceitos matemáticos da realidade, da comunidade e do aluno, dando a ele um
sentido especial. Nesse aspecto os materiais manipuláveis são uma possibilidade muito rica de
contextualizar os conteúdos matemáticos, relacionando com situações concretas e
promovendo uma aprendizagem mais prazerosa, superando muitos obstáculos, sendo um
deles a ideia de que a matemática é muito complexa e as aulas monótonas. 
REFERÊNCIAS.
BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO
FUNDAMENTAL. Parâmetros curriculares nacionais: Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino
Fundamental: Introdução aos Parâmetros Curriculares Nacionais / Secretaria de Educação
Fundamental. – Brasília: MEC/SEF, 1998. 
BRITO, Márcia Regina F. de. Solução de Problemas e a Matemática Escolar. São Paulo:
Alínea, 2006.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.
ROSA, Ernesto. Didática da Matemática. 12 ed. São Paulo: Ática, 2010.