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Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CETEC
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
2a Unidade - Probabilidade
Talita Costa Dias
29 de Janeiro de 2018
Introdução
Fenômenos Determinísticos
I Conhecidos com certeza.
I Não sujeitos às leis do acaso.
Exemplo: o ano atual, idade de uma pessoa jovem.
Fenômenos Aleatórios
I Não conhecidos com certeza.
I Sujeitos às leis do acaso.
Exemplo: face de um dado, se vai chover amanhã, a taxa da
inflação do próximo mês.
Fenômeno ou Experimento Aleatório
Caracterização experimento aleatório
Um experimento aleatório é um processo de observação que se
caracteriza por alguns fatores:
I é possível repetir o mesmo experimento sempre sob as mesmas
condições iniciais;
I em cada repetição o resultado pode ser diferente, isto é, não
podemos afirmar que resultado particular ocorrerá;
I é possível descrever o conjunto de todos os resultados possíveis
do experimento, isto é, todas as possibilidades de resultados;
I quando o experimento é repetido um grande número de vezes,
surgirá uma regularidade nos resultados;
I esta regularidade estatística é que permitirá a construção de
um modelo matemático com o qual se analisará o experimento.
Conceitos Básicos
Espaço Amostral (Ω)
I Conjunto de todos os resultados possíveis de um
Experimento Aleatório.
I A cada resultado do experimento ou ponto do espaço amostral
associamos um ω.
I Os espaços amostrais são de três tipos: finito, infinito
enumerável, infinitos não-enumeráveis.
Experimento 1
Lançamento de um dado equilibrado: Ω : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Experimento 2
Tempo de vida de uma lâmpada: Ω = {t ∈ R; t ≥ 0}
Conceitos Básicos
Eventos
I Um evento A é qualquer subconjunto do Espaço
Amostral(Ω.)
I Representamos um evento por letras maiúsculas, por exemplo:
A,B,C,...
Conceitos Básicos
Classificação de Eventos
I evento certo - é o evento que é o próprio espaço amostral.
Ex.: Experimento aleatório: lançamento de um dado
equilibrado; Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
Evento: A - a ocorrência de um número menor ou igual a 6;
A = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .
I evento impossível - é o subconjunto vazio do espaço amostral.
Ex.: Experimento aleatório: tempo de vida de uma lâmpada;
Ω = {t ∈ R; t ≥ 0} ;
Evento: B - a ocorrência de um número menor que zero;
B = ∅.
I evento elementar - é o evento que tem apenas um elemento do
espaço amostral.
Ex.: Experimento aleatório: lançamento de uma moeda
honesta; Ω = {c, c¯} ;
Evento: C - a ocorrência de cara (c);
C = {c} .
Conceitos Básicos
Operações com eventos
I Todas as operações realizadas com conjuntos são válidas para
eventos, dado que eles são subconjuntos do espaço amostral Ω.
I Os diagramas de Venn são utilizados para ajudar na
visualização dos conceitos básicos de probabilidade.
I Relembraremos algumas operações que são muito utilizadas
em conceitos básicos de probabilidade.
Conceitos Básicos
Operações com eventos - complementar
1. Indica-se por AC o complementar do evento A, e significa a
não ocorrência de A. Outra forma de representação é A¯.
2. Por exemplo: se, na germinação de uma semente, o evento E1
consiste em que a semente germine. Então o complementar
deste evento, E¯1, é que a semente não germine.
Conceitos Básicos
Operações com eventos - união
1. O evento união, A ∪ B, equivale à ocorrência de A, ou de B,
ou de ambos; contém os elementos do espaço amostral que
estão em pelo menos um dos dois conjuntos.
2. Por exemplo: seja, A o conjunto de alunos de uma
universidade que frequentam o curso de Veterinária e B o
conjunto de alunos desta mesma universidade que frequentam
o curso de Agronomia. Então A ∪ B é o conjunto de alunos
que fazem pelo menos um destes dois cursos.
Conceitos Básicos
Operações com eventos - interseção
1. O evento interseção A ∩ B equivale à ocorrência de ambos;
contém os elementos do espaço amostral comum aos dois
conjuntos.
2. Por exemplo: seja, A o conjunto de alunos que fazem um
curso de Administração em um programa do governo e seja B
o conjunto de alunos que fazem um curso de Informática neste
mesmo programa do governo. Então A ∩ B é o conjunto de
alunos que fazem o curso de Administração e o curso de
Informática.
Conceitos Básicos
Exercício
Defina o espaço amostral dos seguintes experimentos aleatórios:
(i) Numa linha de produção, conta-se o número de peças
defeituosas num intervalo de uma hora.
(ii) Investigam-se famílias com três crianças, anotando-se a
configuração segundo o sexo.
(iii) Numa entrevista telefônica com 250 assinantes, anota-se se o
proprietário tem ou não máquina de secar roupa.
(iv) Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até que se
queimem.
Conceitos Básicos
Exercício
Defina o espaço amostral dos seguintes experimentos aleatórios
(continuação):
(v) De um grupo de cinco pessoas (A,B,C,D,E), sorteiam-se duas,
uma após a outra, com reposição, e anota-se a configuração
tomada.
(vi) Mesmo que (v), mas sem reposição.
Conceitos Básicos
Experimento aleatório: lançamento de um dado equilibrado
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
a) sair uma face par e maior que 3
b) sair uma face par e face 1
c) sair uma face par ou maior que 3
d) sair uma face par ou face 1
e) não sair face par
Conceitos Básicos
Experimento aleatório: lançamento de um dado equilibrado
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e B = {1}
a) A ∩ B
b) A ∩ C
c) A ∪ B
d) A ∪ C
e) Ac
Axiomas de Probabilidade
1. P(Ω) = 1;
2. Para todo subconjunto A ∈ A, 0 ≤ P(A) ≤ 1;
3. Para toda sequência A1,A2, · · · ∈ A, mutuamente
exclusivos(não podem ocorrer ao mesmo tempo, Ai ∩ Aj = ∅
se i 6= j), temos
P
( ∞⋃
i=1
Ai
)
=
∞∑
i=1
P (Ai )
Propriedades de uma probabilidade
Considere as seguintes propriedades que se derivam dos axiomas
anteriores:
1. P(Ac) = 1− P(A), onde Ac é o evento complementar;
2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B);
3. se A ⊆ B, então P(A) ≤ P(B);
4. P(A− B) = P(A)− P(A ∩ B);
Probabilidade
Exemplo Probabilidade Axiomática
Numa parcela de cultivo de mangueira, foram coletadas folhas de
100 árvores escolhidas aleatoriamente. As folhas foram analisadas e
se observou deficiência de alguns nutrientes:
I árvores com deficiência de zinco (Z), P(Z ) = 0.30
I árvores com deficiência de potássio (K), P(K ) = 0.30
I árvores com deficiência de zinco e potássio P(Z ∩ K ) = 0.20
Qual a probabilidade de selecionar uma árvore que tenha deficiência
de zinco ou de potássio?
P(Z ∪ K ) = P(Z ) + P(K )− P(Z ∩ K )
P(Z ∪ K ) = 0.3 + 0.3− 0.2 = 0.4
Probabilidade
Exemplo Probabilidade Axiomática
Numa parcela de cultivo de mangueira, foram coletadas folhas de
100 árvores escolhidas aleatoriamente. As folhas foram analisadas e
se observou deficiência de alguns nutrientes:
I árvores com deficiência de zinco (Z), P(Z ) = 0.30
I árvores com deficiência de potássio (K), P(K ) = 0.30
I árvores com deficiência de zinco e potássio P(Z ∩ K ) = 0.20
Qual a probabilidade de selecionar uma árvore que tenha deficiência
de zinco ou de potássio?
P(Z ∪ K ) = P(Z ) + P(K )− P(Z ∩ K )
P(Z ∪ K ) = 0.3 + 0.3− 0.2 = 0.4
Probabilidade
Exemplo Probabilidade Axiomática
Numa parcela de cultivo de mangueira, foram coletadas folhas de
100 árvores escolhidas aleatoriamente. As folhas foram analisadas e
se observou deficiência de alguns nutrientes:
I árvores com deficiência de zinco (Z), P(Z ) = 0.30
I árvores com deficiência de potássio (K), P(K ) = 0.30
I árvores com deficiência de zinco e potássio P(Z ∩ K ) = 0.20
Qual a probabilidade de selecionar uma árvore que tenha deficiência
de zinco ou de potássio?
P(Z ∪ K ) = P(Z ) + P(K )− P(Z ∩ K )
P(Z ∪ K ) = 0.3 + 0.3− 0.2 = 0.4
Probabilidade
Probabilidade de um Evento
Considere um espaço amostral Ω eqüiprobabilístico, isto é, quando
todos os eventos têm a mesma probabilidadede ocorrência. Então,
a probabilidade de ocorrência de um evento E é dado por:
P(E ) =
número de casos favoráveis ao evento E
número de casos possíveis no experimento
.
Probabilidade
Exemplo ilustrativo
Lançamos uma moeda honesta, qual a probabilidade de ocorrer
cara?
Considere que:
I o espaço amostral - Ω = {c , c¯}
I o evento - E = {c}
Portanto, P(E ) = P(c) =
1
2
.
Exemplo ilustrativo
Num sorteio concorrem todos os números de 1 a 20. Escolhendo-se
um desses números ao acaso, qual a probabilidade de que o número
sorteado tenha dois algarismos? Considere que todos os números
são equiprováveis.
I o espaço amostral - Ω = {1, 2, . . . , 20}
I o evento - E = {10, 11, . . . , 20}
Portanto, P(E ) =
11
20
.
Probabilidade
Probabilidade condicional
Caracterização de uma probabilidade condicional:
I quando se impõe uma condição que reduz o espaço amostral;
I a ocorrência de um evento altera a ocorrência de outro evento;
I não estabelece relação causa-efeito entre os eventos,
simplesmente relaciona a probabilidade dos eventos ocorrerem;
Definição probabilidade condicional
Sejam A e B dois eventos de um espaço probabilístico (Ω,A,P),
com P(B) 6= 0. Denomina-se probabilidade de A condicionada a B,
a probabilidade de ocorrência do evento A dado que B ocorre,
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
.
Analogamente, P(B|A) = P(A ∩ B)
P(A)
, onde P(A) 6= 0.
Probabilidade
Exemplo ilustrativo
Considere as probabilidades dos seguintes eventos:
I F - pessoa fumante;
I NF - pessoa não fumante;
I H - pessoa hipertensa;
I NH- pessoa não hipertensa;
NH H Total
NF 0.600 0.150 0.750
F 0.075 0.175 0.250
Total 0.675 0.325 1.000
Calcule a probabilidade dos seguintes eventos:
I P(F |H) =
P(F ∩ H)
P(H)
=
0.175
0.325
= 0.538
I P(NH|F ) = P(NH ∩ F )
P(F )
=
0.075
0.25
= 0.300
Probabilidade
Exemplo ilustrativo
Considere as probabilidades dos seguintes eventos:
I F - pessoa fumante;
I NF - pessoa não fumante;
I H - pessoa hipertensa;
I NH- pessoa não hipertensa;
NH H Total
NF 0.600 0.150 0.750
F 0.075 0.175 0.250
Total 0.675 0.325 1.000
Calcule a probabilidade dos seguintes eventos:
I P(F |H) = P(F ∩ H)
P(H)
=
0.175
0.325
= 0.538
I P(NH|F ) =
P(NH ∩ F )
P(F )
=
0.075
0.25
= 0.300
Probabilidade
Exemplo ilustrativo
Considere as probabilidades dos seguintes eventos:
I F - pessoa fumante;
I NF - pessoa não fumante;
I H - pessoa hipertensa;
I NH- pessoa não hipertensa;
NH H Total
NF 0.600 0.150 0.750
F 0.075 0.175 0.250
Total 0.675 0.325 1.000
Calcule a probabilidade dos seguintes eventos:
I P(F |H) = P(F ∩ H)
P(H)
=
0.175
0.325
= 0.538
I P(NH|F ) = P(NH ∩ F )
P(F )
=
0.075
0.25
= 0.300
Probabilidade
Exemplo ilustrativo
Considere as probabilidades dos seguintes eventos:
I F - pessoa fumante;
I NF - pessoa não fumante;
I H - pessoa hipertensa;
I NH- pessoa não hipertensa;
NH H Total
NF 0.600 0.150 0.750
F 0.075 0.175 0.250
Total 0.675 0.325 1.000
Calcule a probabilidade dos seguintes eventos:
I P(H ∪ NF ) =
P(H) + P(NF )− P(H ∩ NF ) =
0.325 + 0.75− 0.15 = 0.925
Probabilidade
Exemplo ilustrativo
Considere as probabilidades dos seguintes eventos:
I F - pessoa fumante;
I NF - pessoa não fumante;
I H - pessoa hipertensa;
I NH- pessoa não hipertensa;
NH H Total
NF 0.600 0.150 0.750
F 0.075 0.175 0.250
Total 0.675 0.325 1.000
Calcule a probabilidade dos seguintes eventos:
I P(H ∪ NF ) = P(H) + P(NF )− P(H ∩ NF ) =
0.325 + 0.75− 0.15 = 0.925
Probabilidade
Teorema do produto
I A definição de probabilidade condicional nos permite calcular
diretamente a probabilidade da intersecção de dois eventos.
I Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral Ω,
então
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
−→ P(A ∩ B) = P(B).P(A|B)
P(B|A) = P(A ∩ B)
P(A)
−→ P(A ∩ B) = P(A).P(B|A)
Probabilidade
Exemplo ilustrativo
Em uma turma de Estatística, 65% dos alunos são do sexo
masculino. Sabe-se que 30% dos alunos têm carro, enquanto que
essa proporção entre as alunas se reduz para 18%. Utilizando o
número de matricula, sorteia-se ao acaso um estudante desta
turma. Qual a probabilidade de que seja do sexo feminino e possua
carro?
I probabilidade sexo feminino −→ P(F ) = 0.35
I C |F - possuir carro sabendo que é do sexo feminino
−→ P(C |F ) = 0.18
P(C ∩ F ) =
P(C |F ).P(F ) −→ 0, 18.0, 35 = 0, 063
Probabilidade
Exemplo ilustrativo
Em uma turma de Estatística, 65% dos alunos são do sexo
masculino. Sabe-se que 30% dos alunos têm carro, enquanto que
essa proporção entre as alunas se reduz para 18%. Utilizando o
número de matricula, sorteia-se ao acaso um estudante desta
turma. Qual a probabilidade de que seja do sexo feminino e possua
carro?
I probabilidade sexo feminino −→ P(F ) = 0.35
I C |F - possuir carro sabendo que é do sexo feminino
−→ P(C |F ) = 0.18
P(C ∩ F ) = P(C |F ).P(F ) −→ 0, 18.0, 35 = 0, 063
Probabilidade
Exemplo ilustrativo
Probabilidade
Independência
I Dois eventos são considerados independentes quando a
ocorrência de um dos eventos não altera a probabilidade de
ocorrência do outro evento.
I Desta forma, considere a seguinte definição formal: sejam A e
B dois eventos associados a um espaço probabilístico
(Ω,A,P). Então os eventos A e B são independentes se
P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Probabilidade
Eventos independentes X eventos mutuamente exclusivos
I Dois eventos mutuamente exclusivos podem ser
independentes?
I Lembre-se que dois eventos são mutuamente exclusivos se não
podem ocorrer ao mesmo tempo, isto é, A ∩ B = ∅.
I Eventos mutuamente exclusivos só são independentes se a
probabilidade de um deles é igual zero.
Probabilidade
Esquema de eventos independentes
Probabilidade
Exemplo ilustrativo
Considere as probabilidades dos seguintes eventos:
I C - pessoa cega;
I NC - pessoa não cega;
I S - pessoa surda;
I NS- pessoa não surda;
S NS Total
C 0.0004 0.0796 0.0800
NC 0.0046 0.9154 0.9200
Total 0.0050 0.9950 1.000
São independentes os eventos: ser cega (C) e ser surda (S)?
I P(C ∩ S) =
0.0004
I P(C ∩ S) = P(C )P(S) = 0, 0800.0, 0050 = 0.0004
O produto das probabilidades é igual a probabilidade da
intersecção, logo os eventos são independentes.
Probabilidade
Exemplo ilustrativo
Considere as probabilidades dos seguintes eventos:
I C - pessoa cega;
I NC - pessoa não cega;
I S - pessoa surda;
I NS- pessoa não surda;
S NS Total
C 0.0004 0.0796 0.0800
NC 0.0046 0.9154 0.9200
Total 0.0050 0.9950 1.000
São independentes os eventos: ser cega (C) e ser surda (S)?
I P(C ∩ S) = 0.0004
I P(C ∩ S) = P(C )P(S) =
0, 0800.0, 0050 = 0.0004
O produto das probabilidades é igual a probabilidade da
intersecção, logo os eventos são independentes.
Probabilidade
Exemplo ilustrativo
Considere as probabilidades dos seguintes eventos:
I C - pessoa cega;
I NC - pessoa não cega;
I S - pessoa surda;
I NS- pessoa não surda;
S NS Total
C 0.0004 0.0796 0.0800
NC 0.0046 0.9154 0.9200
Total 0.0050 0.9950 1.000
São independentes os eventos: ser cega (C) e ser surda (S)?
I P(C ∩ S) = 0.0004
I P(C ∩ S) = P(C )P(S) = 0, 0800.0, 0050 = 0.0004
O produto das probabilidades é igual a probabilidade da
intersecção, logo os eventos são independentes.
Probabilidade
Exercícios
1. Três cavalos A, B e C, estão em uma corrida; A tem duas
vezes mais probabilidade de ganhar que B, e B tem duas vezes
mais probabilidade de ganhar que C. Determine a
probabilidade de vitória de cada cavalo.
2. Extraem-se duas cartas de um baralho comum de 52 cartas.
As duas cartas são extraídas, uma após a outra, sem
reposição. Determine a probabilidade de ambas serem ases.
3. Em uma caixa temos 7 bolas azuis e 3 pretas. São extraídas
duas bolas, uma após a outra, com reposição. Calcular a
probabilidade de ambas seremazuis.
Probabilidade
Exercícios
1. Uma caixa contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Extraem-se ao
acaso duas bolas, sem reposição. Determine a probabilidade de
serem ambas azuis.
2. Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4vermelhas, e 3 pretas.
Outra contém 18 bolas: 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas.
Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de
que as duas bolas sejam da mesma cor?
Bibliografia
MAGALHÃES, Marcos N. LIMA, Antonio C. P. Noções de
Probabilidade e Estatística. São Paulo. Edusp, 2004.
MORETTIN, Pedro A. BUSSAB, Wilton. Estatística Básica.
São Paulo. Saraiva, 2006.
	Bibliografia