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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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inexo-
ravelmente, aos conceitos de ponto, reta e plano, dos quais, todos temos noc¸a˜o do que sejam. Nesse
momento, na˜o definimos mais estes objetos, e os aceitamos como noc¸o˜es primitivas.
Chama-se noc¸o˜es primitivas aos conceitos adotados sem ser preciso defini-los. As noc¸o˜es primitivas
na˜o surgem de opinio˜es pessoais isoladas, elas sa˜o frutos da experieˆncia, da observac¸a˜o e de um certo
“consenso coletivo”. Por esses motivos, a`s vezes tambe´m sa˜o chamadas de noc¸o˜es comuns. Como
exemplo, no caso da Geometria Plana, ponto, reta e plano sa˜o considerados noc¸o˜es primitivas, e dessa
forma, na˜o precisam ser definidos.
Com certas afirmac¸o˜es matema´ticas que devem ser demonstradas (teoremas) pode ocorrer fato seme-
lhante. Se quisermos provar um determinado resultado matema´tico, muitas vezes precisamos usar outros
resultados, os quais, por sua vez, tambe´m devem ser provados, e assim por diante, como numa “sequ¨eˆncia
descendente”. Aqui tambe´m, podemos nos deparar com duas alternativas: ou chega-se a um cı´rculo
vicioso, quando e´ preciso usar um resultado para provar o outro e vice-versa, ou na˜o se pa´ra nunca.
Para evitar esses incovenientes, paramos em certas afirmac¸o˜es mais simples, que sejam evidentes por si
mesmas e que possam ser aceitas sem precisar prova´-las. Essas afirmac¸o˜es sa˜o hoje, indistintamente,
chamadas de axiomas ou postulados. Um axioma ou postulado, e´ uma sentenc¸a matema´tica que na˜o e´
uma definic¸a˜o, e e´ aceita sem precisar ser justificada.
No caso da Geometria Plana, ja´ na Antiga Gre´cia, os cinco primeiros postulados adotados eram os
seguintes:
1. Pode-se trac¸ar uma u´nica reta passando por quaisquer dois pontos;
2. Para cada segmento AB e para cada segmento CD, existe um u´nico ponto E tal que B esta´ no
segmento AE e o segmento CD e´ congruente ao segmento BE (ou escrito apenas com palavras:
pode-se continuar uma semi-reta indefinidamente);
3. Pode-se descrever uma circunfereˆncia com qualquer centro e qualquer raio;
4. Todos os aˆngulos retos sa˜o congruentes.
5. Por um ponto fora de uma reta pode-se trac¸ar uma u´nica reta paralela a` reta dada.
(Note que, se quisermos ser rigorosos, antes de enunciar e utilizar esses axiomas, seria necessa´rio
definir ou dar um significado mais preciso a`s palavras em negrito. Na˜o e´ esse nosso objetivo,
mas cabe-nos neste ponto tecer esta observac¸a˜o. Para mais detalhes, vide [Barbosa, 2004] ou
[Greenberg, 1993].)
Para os antigos filo´sofos gregos, axiomas eram verdades gerais comuns a outras a´reas de estudo
(Exemplo: “Coisas que sa˜o iguais a uma mesma coisa sa˜o tambe´m iguais entre si”) e postulados eram
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Capı´tulo 3. Definic¸a˜o, modelo axioma´tico e convenc¸a˜o
afirmac¸o˜es sobre um assunto especı´fico estudado (Exemplo: “Pode-se trac¸ar uma reta por quaisquer
dois pontos dados”). Hoje a distinc¸a˜o ja´ na˜o e´ mais considerada. ([Barbosa, 2004], p. 88)
Para desenvolver uma certa teoria matema´tica, que se constitui de definic¸o˜es e afirmac¸o˜es dedutivas,
e´ preciso estabelecer os axiomas, as noc¸o˜es primitivas e as regras que podemos usar para manipular e
deduzir (provar) essas afirmac¸o˜es. Essas regras sa˜o chamadas regras de infereˆncia. Em nosso texto, ja´
adotamos duas regras de infereˆncia ba´sicas que compora˜o os modelos axioma´ticos que trabalharemos:
a generalizac¸a˜o e a modus pones (Vide Subsec¸a˜o 2.4.3). So´ para relembrar, a generalizac¸a˜o afirma que
se algo vale para todos elementos de um conjunto, enta˜o vale para cada elemento desse conjunto; ja´ a
modus pones estabelece que se as sentenc¸as “Se P , enta˜o Q” e “P” ocorrem, enta˜o, necessariamente,
a sentenc¸a “Q” tambe´m ocorre. Outras regras de infereˆncia decorrem dessas duas regras ba´sicas, que
sera˜o suficientes para nossos propo´sitos.
Chama-se modelo axioma´tico a um conjunto constituı´do de axiomas, de noc¸o˜es primitivas e de
regras de infereˆncia. Ao montar um modelo axioma´tico, deve-se tomar cuidado para que o nu´mero de
axiomas seja o menor possı´vel, e que eles sejam independentes, isto e´, nenhum deles possa ser deduzido
dos demais.
Um modelo axioma´tico e´ dito consistente, se nele na˜o for possı´vel deduzir afirmac¸o˜es contradito´rias.
E e´ dito inconsistente, caso contra´rio.
Os modelos axioma´ticos sa˜o utilizados para apresentar com efica´cia certas teorias matema´ticas. A
princı´pio, uma das vantagens de emprega´-los, ale´m de fornecerem um tratamento fundamentado num
rigor lo´gico, e´ que, em geral, na˜o se pede dos leitores conhecimentos extras ou qualquer experieˆncia
matema´tica anterior naquele assunto.
RESUMO: Um modelo axioma´tico consiste de um conjunto finito de axiomas, de noc¸o˜es primitivas
e de determinadas regras de infereˆncia, usadas para deduzir certas afirmac¸o˜es (que sa˜o os teoremas)
e definir objetos.
A Matema´tica desenvolvida pelas civilizac¸o˜es anteriores a` grega (babiloˆnica e egı´pcia, principal-
mente) resolvia apenas problemas particulares, fornecendo certas “receitas”: “fac¸a isso”, “fac¸a aquilo”,
etc. para solucionar cada problema. Na˜o havia me´todos ou modelos gerais para atacar os problemas, o
que de alguma forma, depende de um certo rigor e de um me´todo lo´gico-dedutivo que surgiria posteri-
ormente com os gregos.
Acredita-se que com o matema´tico grego Tales1, iniciou-se a preocupac¸a˜o de introduzir o formalismo
na Matema´tica, fundamentado no raciocı´nio lo´gico-dedutivo.
No entanto, o primeiro e o mais famoso modelo axioma´tico que se conhece foi o da Geometria Plana,
mencionado anteriormente. Esse modelo foi estabelecido pelo matema´tico grego Euclides2 por volta do
1A tradic¸a˜o considera Tales de Mileto (625-546 a.C.) como o primeiro investigador da natureza. Pelos crite´rios atuais,
isso tambe´m significa que ele foi o primeiro matema´tico e filo´sofo ocidental, no sentido de que abstraiu as ide´ias de uma
Matema´tica puramente aplicativa, dando-lhe um tratamento lo´gico e transformando-a numa disciplina intelectualmente in-
dependente da aplicac¸a˜o. Este fato, que na˜o havia ocorrido em outras culturas, se consolidaria com os pitago´ricos e com o
posterior desenvolvimento da matema´tica grega.
Tratando a Geometria com um me´todo dedutivo, credita-se a Tales a primeira demonstrac¸a˜o formal que foi feita na
Matema´tica.
2Euclides (c.300-260 a.C.): Geoˆmetra grego e autor d’Os Elementos , um conjunto de 13 livros (hoje seriam como 13
capı´tulos) que ate´ o se´culo XIX era um dos livros mais famosos que compunham a formac¸a˜o de quem pretendia ter uma
cultura geral de boa qualidade. A obra reunia a maior parte da Matema´tica ate´ enta˜o conhecida no Mundo Ocidental Antigo.
Ao longo dos se´culos, parece que depois da Bı´blia chegou a ser o livro que mais tinha sido editado. Os Elementos na˜o
versam apenas sobre Geometria (Plana e Espacial), mas tambe´m sobre Aritme´tica e pelo que hoje conhecemos como Teoria
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3.2. O que e´ um Modelo Axioma´tico?
Se´culo III a.C. em seu famoso tratado Os Elementos. Euclides comec¸a definindo algumas noc¸o˜es
comuns, alguns postulados (os que ja´ apresentamos) e a partir destes, deduz os principais resultados da
Geometria e Teoria dos Nu´meros enta˜o conhecidos. Ainda hoje, em nossas escolas, quando devidamente
ensinada, aprende-se Geometria Plana baseada em modelos axioma´ticos.
Figura 3.1: Edic¸a˜o grega dos Elementos do Se´culo IX (Museu do Vaticano). Veˆ-se uma demonstrac¸a˜o
do Teorema de Pita´goras que tornou-se ce´lebre
No final do Se´culo XIX e comec¸o do Se´culo XX houve uma preocupac¸a˜o muito grande em tornar as
ide´ias e os procedimentos matema´ticos mais rigorosos. Foi quando grande parte da Lo´gica-Matema´tica
que hoje conhecemos comec¸ou a ser desenvolvida. Com essa finalidade, o modelo axioma´tico ressurgiu
com toda forc¸a, sendo aplicado a outras a´reas ale´m da Geometria.
Diferentemente do que a`s vezes pode-se imaginar durante o Ensino Me´dio,