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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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a sentenc¸a Q valha todas as vezes em que
a sentenc¸a P valer.
Esses conceitos devem ficar bem claros pois, em geral, percebemos que podem ser facilmente con-
fundidos pelos iniciantes. Talvez por exigirem atenc¸a˜o para entendeˆ-los, va´rios livros publicados hoje
em dia esta˜o abandonando essa linguagem ta˜o especı´fica da Matema´tica e preferem fingir que ela na˜o
existe. Em nossa opinia˜o, essa e´ uma linguagem tradicional que deve ser preservada.
Vamos treinar mais um pouco. Comecemos agora com um exemplo fora da Matema´tica, onde os
significados das palavras necessa´ria e suficiente sa˜o bem instrutivos:
EXEMPLO 2:
Suponha que T seja a asserc¸a˜o “Pedro e´ terra´queo”, e que B seja a asserc¸a˜o “Pedro e´ brasileiro”.
Como Pedro e´ brasileiro, e todo brasileiro e´ um terra´queo, concluı´mos que Pedro e´ terra´queo, logo,
B ⇒ T , ou seja:
Versa˜o 1:“Pedro e´ brasileiro, implica Pedro e´ terra´queo”.
Como mencionamos, outra maneira de expressar essa frase e´:
Versa˜o 2: “Pedro ser brasileiro e´ uma condic¸a˜o suficiente para Pedro ser terra´queo”
ou
Versa˜o 3: “Pedro ser terra´queo e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para Pedro ser brasileiro”.
Insistimos que estamos apenas enunciando o mesmo resultado de treˆs maneiras diferentes.
Observe os significados das palavras suficiente e necessa´ria nesse exemplo. Atente que e´ suficiente
(e´ bastante) que Pedro seja Brasileiro para ser terra´queo. Por outro lado, como na˜o ha´ brasileiros que
na˜o sejam terra´queos, e´ necessa´rio que Pedro seja terra´queo para ser brasileiro.
Voltemos o mais rapidamente para outros exemplos dentro da Matema´tica.
EXEMPLO 3:
TEOREMA 1 (1a Versa˜o): Se dois nu´meros inteiros terminam em 6, enta˜o o mesmo ocorre com seu
produto.
Nesse caso, se R e´ a sentenc¸a ‘dois nu´meros inteiros terminam em 6’, e S e´ a sentenc¸a ‘o produto
desses nu´meros termina em 6’, e´ possı´vel provar que ‘R ⇒ S’. Visto dessa forma, torna-se simples
reenunciar o teorema das seguintes maneiras:
TEOREMA 1 (2a Versa˜o): Dois nu´meros inteiros terminarem em 6 e´ uma condic¸a˜o suficiente para
que seu produto termine em 6.
ou
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4.2. Condic¸a˜o necessa´ria e condic¸a˜o suficiente
TEOREMA 1 (3a Versa˜o): O produto de dois nu´meros terminar em 6 e´ uma condic¸a˜o necessa´ria
para que esses nu´meros terminem em 6.
Seguindo a pra´tica, e´ bem mais usual se enunciar a 2a Versa˜o do Teorema 1 da seguinte forma:
TEOREMA 1 (4a Versa˜o): Uma condic¸a˜o suficiente para que o produto de dois nu´meros termine em
6, e´ que esses nu´meros terminem em 6.
Vamos tambe´m escrever a 3a Versa˜o do Teorema 1 de uma maneira que e´ mais utilizada:
TEOREMA 1 (5a Versa˜o): Uma condic¸a˜o necessa´ria para que dois nu´meros terminem em 6 e´ que
seu produto termine em 6.
Passemos agora ao seguinte exemplo, um pouco mais longo:
EXEMPLO 4:
TEOREMA 2 (1a Versa˜o): Se duas piraˆmides teˆm mesma altura e a´reas das bases iguais, enta˜o as
secc¸o˜es transversais a mesma distaˆncia de seus ve´rtices teˆm a´reas iguais.
Para esse teorema, definindo
P : Duas piraˆmides teˆm mesma altura e a´reas das bases iguais
Q: As secc¸o˜es transversais a` mesma distaˆncia dos ve´rtices de duas piraˆmides teˆm a´reas iguais
como P ⇒ Q, podemos reenunciar o teorema das seguintes maneiras:
TEOREMA 2 (2a Versa˜o): Duas piraˆmides terem mesma altura e a´reas da base iguais e´ uma
condic¸a˜o suficiente para que elas tenham secc¸o˜es transversais a mesma distaˆncia de seus ve´rtices com
a´reas iguais.
TEOREMA 2 (3a Versa˜o): As secc¸o˜es transversais a` mesma distaˆncia dos ve´rtices de duas piraˆmides
terem a´reas iguais e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para que elas tenham mesma altura e a´reas das bases
iguais.
TEOREMA 2 (4a Versa˜o): Uma condic¸a˜o necessa´ria para que duas piraˆmides tenham mesma altura
e a´reas das bases iguais e´ que as secc¸o˜es transversais a` mesma distaˆncia de seus ve´rtices tenham a´reas
iguais.
TEOREMA 2 (5a Versa˜o): Uma condic¸a˜o suficiente para que duas piraˆmides tenham secc¸o˜es
transversais a` mesma distaˆncia de seus ve´rtices com a´reas iguais e´ que elas tenham mesma altura e
a´reas das bases iguais.
OBSERVAC¸A˜O FINAL: Ainda tem-se as seguintes opc¸o˜es, na˜o ta˜o usuais, de ler a implicac¸a˜o
“P ⇒ Q”:
1. P somente se Q;
2. Se P for verdadeira, enta˜o Q sera´ verdadeira;
3. Se P for va´lida, enta˜o Q sera´ va´lida;
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Capı´tulo 4. Desvendando os teoremas-Parte I
4. Q e´ implicada por P ;
5. Q segue de P .
Por conseguinte, na˜o se pode reclamar de falta de opc¸a˜o para expressar uma sentenc¸a implicativa!
So´ na˜o vale enuncia´-la de forma errada!
EXERCI´CIOS:
1. Reescreva cada teorema abaixo usando, primeiramente, os termos ‘condic¸a˜o necessa´ria’, e depois,
usando os termos ‘condic¸a˜o suficiente’:
(a) Se dois nu´meros terminam em 76, enta˜o o mesmo ocorre com o produto desses nu´meros.
(b) Se {a, b, c, d, e} e´ uma sequ¨eˆncia de cinco nu´meros inteiros consecutivos na˜o-negativos que
satisfazem a identidade
a2 + b2 + c2 = d2 + e2, enta˜o {a, b, c, d, e} = {10, 11, 12, 13, 14}.
(c) Se uma matriz quadrada de ordem 3 possui duas colunas proporcionais, enta˜o seu determi-
nante e´ nulo.
(d) Os pontos (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) do plano cartesiano sa˜o colineares se
y2 − y1
x2 − x1 =
y3 − y2
x3 − x2 .
(e) Um polinoˆmio de grau n possui exatamente n raı´zes complexas.
(f) Um nu´mero inteiro e´ divisı´vel por 4, se o nu´mero formado pelos seus u´ltimos dois algarismos
for divisı´vel por 4.
(g) Todo polı´gono regular pode ser inscrito em um cı´rculo.
2. Reescreva cada teorema abaixo na sua forma condicional ‘Se...enta˜o...’
(a) Uma condic¸a˜o necessa´ria para que um nu´mero seja divisı´vel por 6 e´ que ele seja simultanea-
mente divisı´vel por 2 e por 3.
(b) Em todo triaˆngulo retaˆngulo a altura correspondente ao ve´rtice do aˆngulo reto e´ a me´dia
geome´trica entre as projec¸o˜es dos catetos sobre a hipotenusa.
(c) Uma condic¸a˜o suficiente para que um triaˆngulo seja iso´sceles e´ que ele tenha dois aˆngulos
internos congruentes.
(d) Ter duas colunas iguais e´ uma condic¸a˜o suficiente para que uma matriz quadrada tenha de-
terminante nulo.
(e) Na˜o ser primo e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para que o nu´mero seja da forma n4 + 4, para
n ≥ 2.
(f) Uma condic¸a˜o necessa´ria para que dois nu´meros terminem em 1 e´ que seu produto tambe´m
termine 1.
3. Reescreva o seguinte teorema de cinco maneiras realmente distintas:
“Se o nu´mero n4 + 4 e´ primo para algum n ∈ N, enta˜o n = 1”
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4.3. A recı´proca de uma sentenc¸a
4.3 A recı´proca de uma sentenc¸a
A recı´proca de uma sentenc¸a implicativa ‘P ⇒ Q’ e´ definida como a sentenc¸a ‘Q ⇒ P ’. No caso
de uma sentenc¸a condicional ‘Se P , enta˜o Q’, sua recı´proca e´ definida como a sentenc¸a ‘Se Q, enta˜o P ’.
EXEMPLO 1: (Recı´proca do Exemplo 2 da Sec¸a˜o 4.2)
“Pedro e´ terra´queo implica Pedro e´ brasileiro”
EXEMPLO 2: (Recı´proca do Teorema 2 da Sec¸a˜o 4.1)
“Todo nu´mero inteiro que termina em 0 ou 5 e´ mu´ltiplo de 5”
EXEMPLO 3: (Recı´proca do Teorema 1 da Sec¸a˜o 4.2 - 1a Versa˜o)
“Se o produto de dois nu´meros termina em 6, enta˜o esses nu´meros terminam em 6”
Seguindo o que fizemos no Exemplo 2 da Sec¸a˜o anterior, tambe´m poderı´amos ter escrito o Exemplo
3 como:
“Uma condic¸a˜o suficiente para que dois nu´meros terminem em 6 e´ que seu produto termine em 6”
ou
“Uma condic¸a˜o necessa´ria para que o produto de dois nu´meros termine em 6 e´ que esses nu´meros
terminem em 6”
e assim por diante.
Alertamos que, se uma sentenc¸a e´ verdadeira, o valor lo´gico de sua recı´proca pode ser falso ou
verdadeiro; o mesmo ocorre quando o valor lo´gico da sentenc¸a for falso. Em resumo, os valores lo´gicos
de uma sentenc¸a e de sua recı´proca sa˜o independentes, como voceˆ pode comec¸ar a comprovar com as
considerac¸o˜es a seguir.
No Exemplo