A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
198 pág.
Um convite à matemática_Daniel C Filho

Pré-visualização | Página 28 de 50

voceˆ ja´ usou
e abusou deles e talvez nem tenha imaginado que so´ valem porque podem ser demonstrados. Agora,
portanto, chegou o momento de prova´-los. Para ajuda´-lo, vamos fazer algumas demonstrac¸o˜es antes de
propormos os exercı´cios.
5A validade de cada igualdade e´ justificada pela refereˆncia acima da mesma. Adotaremos esta convenc¸a˜o a partir deste
ponto.
99
Capı´tulo 6. Desvendando as demonstrac¸o˜es
PROPOSIC¸A˜O 1: 0.a = 0, ∀a ∈ R.
(“O produto do elemento neutro da adic¸a˜o com qualquer nu´mero real e´ igual ao pro´prio elemento
neutro.”)
(Hipo´tese: a ∈ R.
Tese: 0.a = 0.)
Demonstrac¸a˜o:
0
(S2)
= 0 + 0 ⇒ a.0 = a.(0 + 0) (D)= a.0 + a.0 (S3)⇒ a.0 + (−(a.0)) = (a.0 + a.0) + (−(a.0)) (S1)=
a.0 + (a.0 + (−(a.0)) (S3)⇒ 0 = a.0 + 0 (S2)⇒ 0 = a.0.
C.Q.D.
Nota: Observe que na demonstrac¸a˜o usamos apenas os axiomas e nenhum resultado adicional. Note
tambe´m que todos os passos da demonstrac¸a˜o foram devidamente justificados.
PAUSA PARA UMA OBSERVAC¸A˜O PERTINENTE:
E´ aconselha´vel terminar uma demonstrac¸a˜o com uma frase que ressalte que chegou-se na deduc¸a˜o
da tese e que a demonstrac¸a˜o foi encerrada. Com este fim, e, ate´ mesmo como forma de expressar
a satisfac¸a˜o por ter concluı´do o trabalho, alguns autores costumam empregar as iniciais C.Q.D. no fi-
nal da demonstrac¸a˜o. Essas treˆs letras sa˜o as iniciais das palavras “como querı´amos demonstrar”.
Antigamente, usavam-se as letras Q.E.D., iniciais das palavras anteriores escrita em Latim, quod erat
demonstrandum. Essa tradic¸a˜o remota a Euclides, que ja´ a utilizara nos seus Elementos.
Atualmente, em artigos cientı´ficos, existe uma tendeˆncia de usar o sı´mbolo ¥ ou ¤ com a mesma
finalidade.
Figura 6.1: Desenho representando Euclides
****
EXEMPLO DE DEMONSTRAC¸A˜O ESTRUTURADA COMO NA DEFINIC¸A˜O
Sugerimos que releia a definic¸a˜o de demonstrac¸a˜o dada na sec¸a˜o anterior. Vamos agora, de acordo
aquela definic¸a˜o, apresentar a sequ¨eˆncia de sentenc¸as que forma a demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 1:
P1 : S2 (Axioma);
P2 : 0 = 0 + 0. Decorre de P1
100
6.1. O que e´ uma demonstrac¸a˜o?
(O raciocı´nio dedutivo)
(Sentenc¸a resultante de sentenc¸as anteriores deduzida por argumentac¸o˜es);
P3 : a ∈ R (Hipo´tese);
P4 : a.0 = a.(0 + 0). Decorre de P2 e de P3.
(Sentenc¸a resultante de sentenc¸as anteriores deduzida por argumentac¸o˜es);
P5 : D (Axioma);
P6 : a.0 = a.0 + a.0. Decorre de P4 e de P5.
(Sentenc¸a resultante de sentenc¸as anteriores deduzida por argumentac¸o˜es);
P7 : S3(Axioma);
P8 : a.0 + (−(a.0)) = (a.0 + a.0) + (−(a.0)). Decorre de P6 e de P7.
(Sentenc¸a resultante de sentenc¸as anteriores deduzida por argumentac¸o˜es);
P9 : S1(Axioma);
P10 : a.0 + (−(a.0)) = a.0 + (a.0 + (−(a.0)). Decorre de P9.
(Sentenc¸a resultante de sentenc¸as anteriores deduzida por argumentac¸o˜es);
P11 : 0 = a.0 + 0. Decorre de P7.
(Sentenc¸a resultante de sentenc¸as anteriores deduzida por argumentac¸o˜es);
P12 : 0 = a.0 (Tese). Decorre de P1.
(Sentenc¸a resultante de sentenc¸as anteriores deduzida por argumentac¸o˜es).
Esta demonstrac¸a˜o esta´ escrita dessa maneira apenas para exemplificar a definic¸a˜o de demonstrac¸a˜o
que demos. Na pra´tica, uma demonstrac¸a˜o deve ser escrita de forma mais simples, como fizemos nas
demonstrac¸o˜es anteriores.
Voltemos a outros exemplos de demonstrac¸a˜o:
PROPOSIC¸A˜O 2: −a = (−1).a, ∀a ∈ R.
(“O inverso aditivo de um nu´mero real e´ igual ao produto do inverso multiplicativo do elemento
neutro da multiplicac¸a˜o com esse nu´mero.”)
(Hipo´tese: a ∈ R.
Tese: −a = (−1).a.)
Demonstrac¸a˜o:
(S3) ⇒ 1 + (−1) = 0 ⇒ (1 + (−1)).a = 0.a Prop.1⇒ (1 + (−1)).a = 0 (D)⇒ 1.a + (−1).a = 0 (P2)⇒
a+(−1).a = 0 (S3)⇒ (−a)+(a+(−1).a) = (−a)+0 (S2) e (S3)⇒ (−a+a)+(−1).a = −a (S3)⇒ 0+(−1).a =
−a (S2)⇒ (−1).a = −a⇒ −a = (−1).a. C.Q.D.
Nota: Ja´ nesta demonstrac¸a˜o, ale´m de axiomas de soma e multiplicac¸a˜o, usamos a Proposic¸a˜o 1, que
ja´ foi demonstrada.
EXERCI´CIO 2: Para ilustrar mais uma vez a definic¸a˜o de demonstrac¸a˜o que demos, encontre a sequ¨eˆncia
de sentenc¸as que constitui a demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 2.♦
Usando a existeˆncia e unicidade dos elementos inversos da adic¸a˜o e da multiplicac¸a˜o e´ possı´vel
definir a subtrac¸a˜o e a divisa˜o de nu´meros reais.
DEFINIC¸A˜O DE SUBTRAC¸A˜O de NU´MEROS REAIS:
Para cada par de nu´meros reais x e y associamos um nu´mero real, chamado diferenc¸a entre x e y,
que e´ definido como
x− y Def= x+ (−y).
101
Capı´tulo 6. Desvendando as demonstrac¸o˜es
A operac¸a˜o que leva cada par (x, y) no nu´mero x− y e´ chamada subtrac¸a˜o.
EXERCI´CIO 3: Complete a definic¸a˜o de divisa˜o de nu´meros reais, seguindo o modelo da definic¸a˜o
anterior:
DEFINIC¸A˜O DE DIVISA˜O DE NU´MEROS REAIS:
Para cada par , y 6= 0, associamos um , chamado quociente de
x por y, que e´ como
x
y
Def
= x.y−1.
A operac¸a˜o que leva cada par (x, y) no nu´mero e´ chamada divisa˜o.♦
Observe que o fato de um nu´mero ter um u´nico inverso aditivo, e um nu´mero na˜o-nulo ter um u´nico
inverso multiplicativo, garante que as duas definic¸o˜es anteriores sa˜o “boas”, ou seja, na˜o ha´ ambigu¨idade
alguma nelas.
Usando a definic¸a˜o acima, vamos agora provar um resultado conhecido relativo a` divisa˜o de nu´meros
reais. Em nossa demonstrac¸a˜o, usaremos propositadamente o resultado que apresentaremos no Exercı´cio
4(v).
PROPOSIC¸A˜O 3: Sejam x, y, z e w ∈ R. Se y, w 6= 0, enta˜o x
y
.
z
w
=
x.z
y.w
.
(Hipo´teses: x, y, z, w ∈ R e y, w 6= 0.
Tese:
x
y
.
z
w
=
x.z
y.w
.)
Prova:
x
y
.
z
w
Por def.
= (x.y−1).(z.w−1)
(P1)
= x.(y−1.z).w−1
(P4)
=
=x.(z.y−1).w−1
(P1)
= (x.z).(y−1.w−1)
Exercı´cio 4(v)
= (x.z).(y.w)−1
Por def.
=
x.z
y.w
C.Q.D
NOTA: Nesta demonstrac¸a˜o, ale´m de axiomas de multiplicac¸a˜o e da definic¸a˜o de divisa˜o de nu´meros
reais, utilizamos tambe´m o Exercı´cio 4(v) apresentado mais adiante. Ao usarmos esse exercı´cio, estamos
admitindo que ele foi provado antes da demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 3. Por esse fato, a Proposic¸a˜o 3 na˜o
podera´ ser usada ao resolver o Exercı´cio 4(v), caso contra´rio, incorrerı´amos em um cı´rculo vicioso.
OBSERVAC¸A˜O: Voceˆ notou que antes de comec¸armos as demonstrac¸o˜es, escrevemos a hipo´tese e
a tese de cada uma delas. Procedemos desta forma para sermos mais dida´ticos e porque estamos apenas
iniciando com as demonstrac¸o˜es. Quem, neste ponto, ainda na˜o estiver muito seguro em distinguir
hipo´teses de tese, aconselhamos seguir esta pra´tica.
EXERCI´CIO 4: Prove as seguintes propriedades de adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o e divisa˜o de
nu´meros reais. Justifique cada igualdade ou implicac¸a˜o que utilizar. Lembre-se que e´ permitido usar
os resultados anteriormente provados, exceto usar a Proposic¸a˜o 3 para provar o Exercı´cio 4(v).
102
6.1. O que e´ uma demonstrac¸a˜o?
(O raciocı´nio dedutivo)
Considere x, y, w e z ∈ R. Prove:
i) x+ y = x+ z ⇒ y = z ( Lei do Cancelamento da Soma)
ii) x.y = x.z e x 6= 0⇒ y = z (Lei do Cancelamento do Produto)
OBSERVAC¸A˜O: Note que a demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 1 ficaria bem mais curta, se naquela
ocasia˜o, ja´ tive´ssemos a Lei do Cancelamento da Soma.
iii) (−x).y = −(x.y)
Dica: Pense um pouco onde se quer chegar e trabalhe com a soma
(−x).y + (x.y).
iv) (−x).(−y) = x.y
Dica: Trabalhe com a soma (−x).(−y) + [−(x.y)] usando o item (ii). Depois use a Proposic¸a˜o 1.
v) Se x, y 6= 0, enta˜o (x.y)−1 = x−1.y−1.
Escreva com palavras o que essa igualdade quer dizer.
vi) x.y = 0⇒ x = 0 ou y = 0.
Enuncie resultado ana´logo para o produto de treˆs nu´meros reais.
Dica: Trabalhe com as possibilidades de x e y serem ou na˜o nulos.
vii)
x
y
=
x.z
y.z
, se y, z 6= 0.
viii)
x
y
+
z
w
=
x.w + z.y
y.w
, se y, w 6= 0.
ix)
(
1
y
)−1
= y, se y 6= 0.
x)
(
x