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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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y
)−1
=
y
x
, se x, y 6= 0.
xi) Definindo x2 Def= x.x, prove que
a) (x+ y).(x− y) = x2 − y2
b) (x− y)2 = x2 − 2xy + y2
EXERCI´CIO 5: Lembre de algumas propriedades de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de nu´meros reais que voceˆ
usava, e as demonstre agora.
EXERCI´CIO 6: Todo estudante, algum dia, ja´ resolveu inequac¸o˜es envolvendo nu´meros reais. Isso so´
foi possı´vel grac¸as a`s propriedades de ordenac¸a˜o que os nu´meros reais possuem. Essa ordenac¸a˜o significa
que os nu´meros reais possuem uma ordem, permitindo que eles possam ser comparados; isto e´, um deles
e´ sempre igual, menor do que, ou maior do que outro. A seguir, vamos apresentar essa ordenac¸a˜o por
meio de dois simples axiomas. Nos exercı´cios, os leitores podera˜o provar as va´rias propriedades de
ordem que os nu´meros reais possuem e que teˆm utilizado no decorrer de sua vida acadeˆmica.
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Capı´tulo 6. Desvendando as demonstrac¸o˜es
AXIOMA DE ORDENAC¸A˜O DOS NU´MEROS REAIS:
No conjunto dos nu´meros reais R existe um subconjunto P tal que
O1) Para todo x ∈ R ocorre uma u´nica das treˆs possibilidades:
x = 0, ou x ∈ P , ou −x ∈ P .
O2) Se x, y ∈ P , enta˜o x+ y ∈ P e x.y ∈ P .
Voceˆ consegue adivinhar qual e´ o conjunto P ? Pois bem, ele e´ o conjunto dos nu´meros reais positivos,
que voceˆ conhece perfeitamente e e´ denotado por R+. Este conjunto apenas esta´ sendo enunciando de
uma maneira mais formal, o que permitira´ provar as propriedades de ordem dos reais a partir dos axiomas
(O1) e (O2).
Para prosseguir, complete a definic¸a˜o:
DEFINIC¸A˜O:
i) Dizemos que um nu´mero real x e´ positivo quando x ∈ P , e neste caso, denotamos x > 0 ou 0 < x.
ii) Dizemos que um nu´mero real x e´ quando −x ∈ P , e neste caso, denotamos
ou .
iii) Dados dois nu´meros reais , dizemos que x e´ maior do que y, quando x− y ∈ P . Nesse
caso, denotamos ou .
iv) x e´ menor do que y, se −(x − y) ∈ P .
ou .
Agora chegou a hora de provar as principais propriedades de desigualdades de nu´meros reais:
Dados x, y, z, w ∈ R, usando as definic¸o˜es e os axiomas (O1) e (O2), demonstre as seguintes
propriedades relativas a` ordem de nu´meros reais:
i) Lei da Tricotomia:
Apenas uma das treˆs alternativas abaixo ocorre:
x < y, ou x = y, ou x > y ;
ii) Transitividade:
Se x < y e y < z, enta˜o x < z ;
Dica: Complete a demonstrac¸a˜o de (ii):
Como e y < z, obtemos, respectivamente, y − x ∈ P e . Logo, pela
propriedade de adic¸a˜o em (O2), segue que +z − y = ∈ P . Ou seja, x < z. C.Q.D.
iii) Monotonicidade da Adic¸a˜o:
Se x < y e z ∈ R, enta˜o x+ z < y + z ;
Dica: x− y = (y − z)− (x+ z).
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6.1. O que e´ uma demonstrac¸a˜o?
(O raciocı´nio dedutivo)
iv) Monotonicidade da Multiplicac¸a˜o:
Se x < y e z > 0, enta˜o x.z < y.z ;
Caso z < 0, tem-se x.z > y.z;
Dica: No caso em que z > 0, basta usar a propriedade de multiplicac¸a˜o em (O2). O outro caso segue
semelhantemente.
Do item (iv), deduza os seguintes corola´rios:
1) a > 0 e b < 0⇒ a.b < 0;
2) a > 0 e b > 0⇒ a.b > 0;
3) a < 0 e b < 0⇒ a.b > 0;
v) Se x < y e z < w, enta˜o x+ z < y + w e x.z < y.w, caso x, z > 0;
vi) Se x 6= 0, enta˜o x2 > 0;
vii) Se 0 < x < y, enta˜o 0 <
1
y
<
1
x
e y2 > x2.
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Capı´tulo 6. Desvendando as demonstrac¸o˜es
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CAPI´TULO 7
Conjecturas, problemas em aberto e
contra-exemplos
“Se voceˆ quer realmente ser algue´m que procura a verdade, deve pelo menos uma vez na
vida duvidar, ao ma´ximo possı´vel, de todas as coisas.”
Rene´ Descartes (1596-1650)
In O Discurso do Me´todo, 1637.
“Quando voceˆ elimina o impossı´vel, o que resta, mesmo que improva´vel, deve ser a
verdade.”
Sir Arthur Conan Doyle (1859-1930)
The Sign of Four.
“ A busca da verdade e´ mais preciosa que sua posse.”
Albert Einstein (1879-1955)
The American Mathematical Monthly v. 100 no. 3.
“Seis e´ um nu´mero perfeito nele mesmo, e na˜o porque Deus criou o mundo em seis dias; a
recı´proca e´ que e´ verdade. Deus criou o mundo em seis dias porque este nu´mero e´ perfeito,
e continuaria perfeito mesmo se o trabalho de seis dias na˜o existisse”.
Santo Agostinho (354-430)
In A Cidade de Deus
“Tal como nu´meros perfeitos, homens perfeitos sa˜o muito raros”.
Rene´ Descartes (1596-1650)
7.1 Conjecturas e contra-exemplos
Leia com atenc¸a˜o as frases a seguir. Pare um pouco e gaste algum tempo investigando se elas sa˜o
verdadeiras ou na˜o. Na˜o estamos pedindo uma demonstrac¸a˜o ou uma resposta rigorosa, portanto, na˜o se
acanhe em dar sua opinia˜o, qualquer que ela seja. Sugerimos que so´ prossiga com a leitura, apo´s analisar
cada uma das sentenc¸as.
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Capı´tulo 7. Conjecturas, problemas em aberto e contra-exemplos
Sentenc¸a 0: Toda garota brasileira de 17 anos usa batom.
Sentenc¸a 1: Todo nu´mero da forma n2 + n+ 41, para n natural, n ≥ 0, e´ um nu´mero primo1.
Sentenc¸a 2: Todo nu´mero da forma 991n2 + 1, para n natural, n ≥ 1, na˜o e´ um quadrado perfeito
( isto e´, na˜o e´ da forma k2, para algum k natural)
Sentenc¸a 3: Todo nu´mero par maior do que 2 pode ser escrito como a soma de dois nu´meros primos.
Sentenc¸a 4:
√
2 e´ um nu´mero irracional.
Vamos agora investigar a veracidade dessas sentenc¸as, quando voceˆ podera´ conferir as respostas que
deu. A princı´pio, nenhuma das sentenc¸as pode ser considerada como teorema, ja´ que na˜o foi apresentada
qualquer demonstrac¸a˜o.
A primeira frase, apesar de na˜o ser matema´tica, esta´ nos moldes do que definimos como sentenc¸a
(vide Sec¸a˜o 2.1). Para verificar que ela e´ verdadeira, e´ preciso checar se cada garota brasileira com
17 anos usa batom. Na˜o interessa a quantidade de garotas brasileiras com 17 anos que algue´m possa
apresentar, devemos verificar se todas elas usam batom. Caso algue´m nos exiba pelo menos uma garota
brasileira de 17 anos que na˜o usa batom, a Sentenc¸a 0 e´ falsa, fato este que ocorre.
Analisemos a Sentenc¸a 1. Numa primeira verificac¸a˜o, desconfiando de que a sentenc¸a e´ verdadeira,
algue´m pode comec¸ar a checa´-la para a sequ¨eˆncia de nu´meros naturais n = 0, n = 1, n = 2, . . . . Com
esforc¸o, essa pessoa verifica que a sentenc¸a e´ verdadeira na medida em que avanc¸a na sequ¨eˆncia dos
nu´meros naturais; e´ previsı´vel que comece a ficar animada com os resultados obtidos e, intimamente,
fique convencida de que a sentenc¸a e´ verdadeira. Mas essa alegria so´ durara´ ate´ n = 39, pois a sentenc¸a
e´ falsa para n = 40 (vide Exercı´cio 2)!
De qualquer forma, o procedimento anterior na˜o poderia jamais fornecer uma justificativa aceita´vel
assegurando que a sentenc¸a seja um teorema, pois seria preciso checa´-la para todo nu´mero natural, na˜o
importando qua˜o grande seja esse nu´mero. E´ claro que tal procedimento e´ impossı´vel de ser realizado,
ja´ que na˜o pararia nunca!
Suponhamos que a mesma ide´ia e disposic¸a˜o aplicada a` Sentenc¸a 1 sejam direcionadas a`
Sentenc¸a 2 - o que duvidamos muito, ja´ que a expressa˜o envolve nu´meros com muitos dı´gitos! Mas,
vamos supor...-. Uma pessoa ao comec¸ar a checa´-la, vai verificar que ela e´ verdadeira para a primeira
dezena de nu´meros e, caso tenha foˆlego para o intento, que e´ va´lida para a primeira centena de nu´meros
- ...lembre-se, estamos apenas supondo...-; daı´, ja´ que comec¸a a trabalhar com nu´meros muito grandes,
recorre ao computador, e verifica que a sentenc¸a e´ tambe´m va´lida para o primeiro milhar, para o primeiro
milha˜o, para o primeiro bilha˜o, e ... ufa! Confiando nos resultados computacionais, tudo leva a crer que
a Sentenc¸a 2 realmente e´ verdadeira! Festa e alegria! Todavia e´ prudente ir com calma! Mais uma vez,
deve-se ter muito cuidado com esse tipo de argumentac¸a˜o, pois pode-se cair num engano! Incrivelmente,
a sentenc¸a e´ falsa, e falha para o seguinte “monstrinho nume´rico”:
n = 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767.
([Yaglon, 1981])
Mas na˜o se preocupe, com certeza,