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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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deduzir uma sentenc¸a contradito´ria da forma ˜Q ∧ Q (que e´ o absurdo!),
para alguma sentenc¸a Q. Ora, mas na˜o se pode deduzir uma sentenc¸a falsa partindo-se de uma outra
verdadeira, como foi dito na Subsec¸a˜o 2.4.3. Logo, H ∧ ˜T na˜o pode ocorrer, donde ˜(H → T )
tambe´m na˜o pode ocorrer (Esta u´ltima afirmac¸a˜o e´ consequ¨eˆncia da u´ltima observac¸a˜o do Capı´tulo
9: H ∧ ˜T ⇔ ˜(H → T )). Por conseguinte, H → T deve ocorrer, como querı´amos.
E´ importante frisar, que o absurdo ao qual estamos nos referindo, e´ uma sentenc¸a contradito´ria
qualquer ˜Q ∧Q.
Uma demonstrac¸a˜o usando argumentos de contradic¸a˜o e´ um tipo de demonstrac¸a˜o chamada demons-
trac¸a˜o indireta. Nessas demonstrac¸o˜es, diferentemente das demonstrac¸o˜es diretas, na˜o se parte de H
para deduzir diretamente T . A conclusa˜o de que T ocorre e´ decorreˆncia da te´cnica da demonstrac¸a˜o
utilizada.
Antes de retornarmos a` demonstrac¸a˜o de que
√
2 e´ irracional, vamos discorrer um pouco sobre a
importaˆncia histo´rica deste fato. Como ja´ dissemos, ha´ indı´cios de que
√
2 foi o primeiro nu´mero irra-
cional descoberto. Mas acredita-se tambe´m que possa ter sido
√
5 ([Boyer, 1974] p. 54). Ja´ na Antiga
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11.1. Reduc¸a˜o a um absurdo
Gre´cia, a descoberta da irracionalidade de
√
2 gerou a primeira grande crise da Matema´tica. Diante
do que entendemos hoje por nu´meros, os pitago´ricos, devotos de um misticismo nume´rico (vide Nota
de Rodape´ 1 da Sec¸a˜o 4.1), acreditavam que todos eles eram racionais. Na Gre´cia daquele tempo, os
nu´meros eram considerados como comprimentos de segmentos de reta; eles entendiam que dois seg-
mentos quaisquer eram sempre mensura´veis, i.e., existia sempre um terceiro segmento, do qual esses
dois eram mu´ltiplos inteiros. Mas parece que a Matema´tica pregou-lhes uma pec¸a:
√
2 e´ um nu´mero
que aparece naturalmente ao se usar o Teorema de Pita´goras, por ser a diagonal de um quadrado de lado
medindo 1, e na˜o e´ nu´mero racional! Diz a lenda que foi um pitago´rico quem descobriu a irracionalidade
de
√
2 (ou seja, que a diagonal e o lado de um quadrado nunca sa˜o mensura´veis) e que seus companhei-
ros o afogaram para na˜o divulgar esse fato que punha por terra toda crenc¸a pitago´rica. Outra histo´ria,
menos tra´gica, reza que foi o pitago´rico Hipasus de Metaponto quem descobriu a irracionalidade de
√
2
e que os pitago´ricos o teriam expulso da seita. Mas qualquer que tenha sido o fato real que ocorreu, os
pitago´ricos na˜o conseguiram manter essa descoberta em segredo.
Figura 11.1: Teorema de Pita´goras em um livros em ingleˆs de 1775 (Wm. Hutchinson)
E´ surpreendente e nota´vel de registro, que um me´todo com um alto grau de abstrac¸a˜o como e´ o
me´todo de demonstrac¸a˜o usando argumentos de contradic¸a˜o - o que na˜o quer dizer que ele seja difı´cil
ou complicado - ja´ estava estabelecido por volta do Se´culo IV a.C. Diferentemente de outras a´reas da
Cieˆncia, esse fato comprova o alto nı´vel de desenvolvimento e sofisticac¸a˜o que a Matema´tica se encon-
trava naquela e´poca. E muito mais ainda estava por vir.
Passemos finalmente a` demonstrac¸a˜o do Teorema 1 da Sec¸a˜o 5.3, usando, mais uma vez, a te´cnica
de reduc¸a˜o a um absurdo:
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Capı´tulo 11. O absurdo tem seu valor! (As demonstrac¸o˜es por reduc¸a˜o a um absurdo)
TEOREMA 1:
√
2 6∈ Q.
Prova: Suponha, por contradic¸a˜o, que
√
2 ∈ Q. Logo, existem p, q ∈ Z tais que q 6= 0 e p
q
=
√
2.
Podemos considerar, sem perda de generalidade, que p e q sejam primos entre si, ou seja, que na˜o
possuam divisores comuns ale´m da unidade. Da u´ltima igualdade temos
p2
q2
= 2, e daı´, p2 = 2q2 (∗).
Como 2 divide o lado direito da u´ltima igualdade, ele divide p2, garantindo que este u´ltimo nu´mero e´
divisı´vel por 2. Donde decorre do Lema que provamos, que p e´ divisı´vel por 2, e portanto, da forma
p = 2k, para algum nu´mero k inteiro. Substituindo p por 2k na igualdade (∗) e fazendo a devida
simplificac¸a˜o, encontramos 2k2 = q2. Aplicando o raciocı´nio anterior para essa nova igualdade, se
conclui que q e´ divisı´vel por 2. Mas isso contradiz o fato de p e q serem primos entre si. Portanto,
√
2
na˜o pode ser escrito na forma
p
q
, com p e q 6= 0. Assim, a nossa suposic¸a˜o inicial de que√2 ∈ Q e´ falsa,
ou seja,
√
2 6∈ Q. C.Q.D.
Nota: Se definirmos Q: “p e q sa˜o primos entre si”, a contradic¸a˜o que chegamos nesta demonstrac¸a˜o e´
Q ∧ ˜Q.
Pausa para uma PEQUENA ANA´LISE DO TEOREMA 1: Analisando atentamente, perceba que
no teorema anterior apenas provamos que
√
2 na˜o e´ um nu´mero racional. Nossa demonstrac¸a˜o na˜o
garante que
√
2 exista, ou seja, que exista um nu´mero x tal que x2 = 2. Provamos apenas que, se
x2 = 2, enta˜o x na˜o e´ um nu´mero racional. Nada foi comentado sobre a existeˆncia de um nu´mero x
que satisfizesse a equac¸a˜o x2 = 2.
Essa “demonstrac¸a˜o aritme´tica” que acabamos de dar para a irracionalidade de
√
2 aparece nos Ele-
mentos de Euclides e num dos livros do filo´sofo grego Aristo´teles (384 a.C.-?). No Capı´tulo 14 iremos
dar outra bela demonstrac¸a˜o desse fato, usando argumentos puramente geome´tricos.
Ao redigir uma demonstrac¸a˜o por absurdo, muitas vezes empregam-se frases como “Vamos su-
por que T na˜o ocorre...”, e conclui-se com “Dessa forma, chegamos a um absurdo e, portanto, nossa
hipo´tese inicial de que T e´ falsa na˜o e´ verdadeira, logo...”.
Para convencer da grande aplicabilidade do me´todo da reduc¸a˜o a um absurdo, e de como seu uso
pode ser ecle´tico, vamos encerrar essa sec¸a˜o demonstrando o seguinte resultado, bastante interessante,
sena˜o curioso:
RESULTADO: Em qualquer festinha (ou grupo de pessoas), existem pelo menos duas pessoas que
teˆm o mesmo nu´mero de amigos na festa.
(Na˜o vamos considerar que uma pessoa seja amiga dela mesma e que a amizade entre duas pessoas e´
recı´proca.)
Demonstrac¸a˜o: Consideremos que na festinha estejam n pessoas (n ≥ 2). Suponhamos que cada
convidado tenha um nu´mero diferente de amigos na festa (Estamos negando a tese). Temos as seguintes
possibilidades para o nu´mero de amigos que um convidado possa ter na festa: 0, 1, 2, . . . , n − 1 (Na˜o
estamos contando que algue´m seja amigo de si mesmo). Digamos que o convidado, que chamaremos A1,
tenha 0 amigos na festinha, que o convidado chamado de A2 tenha 1 amigo, que o convidado A3 tenha
2 amigos, e assim por diante. Seguindo esse raciocı´nio para todos os convidados, finalizaremos com o
convidado chamado An, que tem n− 1 amigos na festa. Logo, ele e´ amigo de todos os outros presentes,
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11.1. Reduc¸a˜o a um absurdo
em particular, do convidado A1, que na˜o tem amigos na festa. Absurdo! Logo, nossa hipo´tese inicial e´
falsa, e portanto, ha´ pelo menos dois convidados com o mesmo nu´mero de amigos na festa. C.Q.D.
Note nesta demonstrac¸a˜o que, se Q: “A1 tem 0 amigos na festinha”, chegamos ao absurdo que a
sentenc¸a Q ∧ ˜Q e´ verdadeira.
EXERCI´CIOS:
Em todos os exercı´cios desta sec¸a˜o voceˆ deve utilizar a te´cnica de demonstrac¸a˜o por reduc¸a˜o a um
absurdo.
1. (a) Sejam a e b nu´meros reais. Mostre que uma condic¸a˜o necessa´ria para que a.b > 0 e´ (a > 0 e
b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Dica: Use os corola´rios do Exercı´cio 6(iv) da Subsec¸a˜o 6.1.1.
(b) Mostre que a, b 6= 0⇒ a.b 6= 0.
2. Se P e Q sa˜o sentenc¸as compostas, mostre que, se P e (P → Q) sa˜o tautolo´gicas, enta˜o Q tambe´m
e´ uma tautologia.
3. Mostre que a equac¸a˜o x2 + y2 = 47 na˜o possui uma soluc¸a˜o (x, y) formada por nu´meros primos.
Observac¸a˜o.: Tambe´m poderı´amos ter enunciado o resultado acima com uma conotac¸a˜o geome´trica:
“Mostre que a circunfereˆncia de equac¸a˜o x2+y2 = 47 na˜o passa por nenhum ponto do plano carte-
siano cujas abscissa e ordenada sejam nu´meros primos.”
Sugesta˜o: use o Exercı´cio 3(a) da Sec¸a˜o 8.3.
4. Mostre que a equac¸a˜o
1
x
+
1