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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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anteriores, agora, usando o triaˆngulo 4ADE, encontrando
um outro triaˆngulo com as mesmas propriedades: sempre triaˆngulos retaˆngulos iso´sceles com lados
de comprimentos inteiros. Continuando esse processo, as medidas dos lados desses triaˆngulos esta˜o
diminuindo e, a partir de um certo passo do procedimento, esses comprimentos na˜o mais podera˜o ser
nu´meros inteiros. Chegamos assim a um absurdo. Portanto,
√
2 6∈ Q. Q.E.D.
Compare essa demonstrac¸a˜o da irracionalidade de
√
2 com aquela que demos na Sec¸a˜o 12.
EXERCI´CIOS:
1. Readapte a demonstrac¸a˜o da irracionalidade de
√
2 que demos nesta sec¸a˜o, para provar que os
nu´meros
√
n2 + 1 e
√
n2 − 1 sa˜o ambos irracionais, para qualquer nu´mero inteiro n > 1.
Dica: No primeiro caso, considere um triaˆngulo retaˆngulo de catetos 1 e n; no segundo, considere
um triaˆngulo retaˆngulo de cateto 1 e hipotenusa n.
2. Os pitago´ricos, com sua forte ligac¸a˜o com os nu´meros, os classificaram em va´rias categorias que
subsistiram ate´ nossos dias: nu´meros pares e ı´mpares, nu´meros perfeitos, nu´meros amigos, etc., e
nu´meros poligonais, que apresentaremos a seguir. A ide´ia de definirem nu´meros poligonais esta´
ligada ao desejo de se transferir aos nu´meros certas propriedades conhecidas, intrı´nsecas a objetos
geome´tricos. Veja a seguir.
Nu´meros triangulares:
Nu´meros quadrados:
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Capı´tulo 14. Demonstrac¸o˜es com o auxı´lio de figuras
Nu´meros pentagonais:
Ao dispor os nu´meros dessa forma, e´ possı´vel detectar va´rias propriedades deles:
Veˆ-se que os nu´meros triangulares fornecem a soma da sequ¨eˆncia de nu´meros naturais:
1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, etc.
Ja´ os nu´meros quadrados determinam a soma dos nu´meros ı´mpares:
1, 1 + 3 = 4 = 22, 1 + 3 + 5 = 9 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42, etc.
Mais adiante voltaremos aos nu´meros poligonais. Por ora, aproveite a oportunidade e com o
auxı´lio da forma geome´trica que esses nu´meros esta˜o dispostos, se convenc¸a e prove que todo
nu´mero quadrado e´ a soma de dois nu´meros triangulares consecutivos.
3. Uma outra maneira de demonstrar o Teorema de Pita´goras e´ utilizando a figura a seguir. A ide´ia e´
observar que as a´reas das figuras geome´tricas achuradas sa˜o iguais. Usando essas figuras, encontre
e escreva uma demonstrac¸a˜o do Teorema de Pita´goras.
4. Quaisquer dois quadrados podem ser recortados em cinco partes, de forma que quando reagrupa-
dos, formem um novo quadrado. A figura abaixo indica como isso pode ser feito. Com essa ide´ia
em ma˜os, deˆ uma outra demonstrac¸a˜o para o Teorema de Pita´goras. Redija essa demonstrac¸a˜o.
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5. TEMA PARA DISCUSSA˜O:
E´ bastante comum desenhar-se o gra´fico de uma func¸a˜o f , marcando-se no plano cartesiano alguns
pontos (x, f(x)) obtidos de um tabela que apresenta certos valores de x e de f(x). Comente o rigor
desse processo.
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Capı´tulo 14. Demonstrac¸o˜es com o auxı´lio de figuras
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CAPI´TULO 15
O me´todo indutivo
15.1 Princı´pio de Induc¸a˜o: Vale para um, se valer para k implicar
que vale para k + 1, enta˜o vale sempre! (O raciocı´nio
indutivo)
Quando conveniente, o Princı´pio de Induc¸a˜o e´ um me´todo ideal para provar que certos fatos envol-
vendo nu´meros naturais sa˜o va´lidos para todos eles.
Em particular, e´ possı´vel emprega´-lo para demonstrar determinadas generalizac¸o˜es para todos os
nu´meros naturais, de resultados que, a princı´pio, sabemos que valem apenas para casos particulares
destes.
Voceˆ vai perceber, quando for possı´vel aplicar o Princı´pio da Induc¸a˜o, que pede-se desses resultados,
na˜o importa o que sejam, que apenas dependam explicitamente de um nu´mero natural gene´rico.
Esses resultados podem ser dos mais diversos tipos, como uma identidade:
(1) 1 + r + r2 + . . .+ rn−1 + rn =
1− rn+1
1− r , se r 6= 1;
ou uma desigualdade, como a desigualdade de Bernoulli1,
(2) (1 + x)n ≥ 1 + nx, se x ≥ −1;
ou qualquer uma outra propriedade que se quer provar, que e´ va´lida para a sequ¨eˆncia de nu´meros naturais,
tal como a propriedade a seguir, da Geometria Plana Elementar,
1Devida a Jaques Bernoulli (1654-1705). Os Bernoulli foram uma famı´lia suı´c¸a de renomados me´dicos e matema´ticos.
De 1650 a 1800, pelo menos oito excelentes matema´ticos tinham nascido nessa famı´lia. Entre os mais importantes esta˜o
os irma˜os James e Jaques, que tiveram papel fundamental na divulgac¸a˜o e desenvolvimento do, na e´poca, rece´m-inventado
Ca´lculo Diferencial e Integral.
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Capı´tulo 15. O me´todo indutivo
Figura 15.1: Jacques Bernoulli
(3) 2 Se n ≥ 3, enta˜o a soma dos aˆngulos internos de um polı´gono regular de n-lados e´ (n− 2)180◦.
O Princı´pio de Induc¸a˜o, tambe´m chamado de Me´todo de Induc¸a˜o funciona da seguinte forma:
Suponha que deseja-se provar determina propriedade envolvendo nu´meros naturais, a qual chamaremos
P (n). Para este fim, basta verificar que P (1) e´ va´lida, e mostrar que, se P (k) e´ va´lida para algum k
natural, enta˜o P (k+1) e´ tambe´m va´lida. Isso garante que P (n) sera´ verdadeira para todo natural n ∈ N.
De fato, como P (1) e´ verdadeira, P (2) = P (1 + 1) e´ verdadeira. Como P (2) e´ verdadeira, resulta que
P (3) = P (2 + 1) e´ verdadeira, e assim por diante.
No exemplo (1) acima, a propriedade P (n) e´
“1 + r + r2 + . . .+ rn−1 + rn =
1− rn+1
1− r , se r 6= 1”;
no exemplo (2), P (n) e´
“(1 + x)n ≥ 1 + nx, se x ≥ −1”;
e no exemplo (3), P (n) e´
“Se n ≥ 3, enta˜o a soma dos aˆngulos internos de um polı´gono regular de n-lados e´ (n− 2)180◦”.
Em resumo:
2O resultado e´ va´lido para polı´gonos convexos quaisquer. A demonstrac¸a˜o e´ a mesma.
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15.1. Princı´pio de Induc¸a˜o: Vale para um, se valer para k implicar que vale para k + 1, enta˜o vale
sempre! (O raciocı´nio indutivo)
PRINCI´PIO DA INDUC¸A˜O
“Uma propriedade P (n), que depende do nu´mero natural n, e´ verdadeira para todos os nu´meros
naturais, se provarmos que:
(i) P (1) e´ verdadeira;
(ii) Se P (k) for verdadeira para algum nu´mero natural k, enta˜o P (k + 1) e´ verdadeira.”
OBSERVAC¸O˜ES:
1. Algumas vezes e´ necessa´rio provar alguma propriedade P (n) que so´ vale para os nu´meros naturais
n ≥ n0, para algum nu´mero natural n0. A demonstrac¸a˜o segue os mesmos passos anteriores, so´
que em (i), troca-se 1 por n0 e, neste caso, tomamos k > n0. Isso e´ o que ocorre no Exemplo 3,
onde n0 = 3.
2. O Princı´pio da Induc¸a˜o, como apresentamos nesta, decorre da construc¸a˜o axioma´tica dos nu´meros
naturais (Axiomas de Peano) (Vide [Lima, 2002])
Vamos utilizar o Princı´pio da Induc¸a˜o para provar os exemplos exibidos anteriormente. Eles servira˜o
de modelos para o uso do Princı´pio em outros casos.
EXEMPLO 1:
P (n): 1 + r + r2 + . . .+ rn−1 + rn =
1− rn+1
1− r , se r 6= 1.
i) P (1) e´ va´lida, ja´ que
1− r1+1
1− r =
1− r2
1− r =
(1− r)(1 + r)
1− r = 1 + r = 1 + r
1,
ii) Suponha que P (k) vale, isso e´, que
1 + r + r2 + . . .+ rk−1 + rk =
1− rk+1
1− r .
Queremos mostrar que P (k + 1) vale, ou seja, que
1 + r + r2 + . . .+ rk + rk+1 =
1− rk+2
1− r .
Em geral esse e´ o ponto mais sutil desse tipo de demonstrac¸a˜o, e muitas vezes, e´ aquele que pode
“da´ mais trabalho”, exigindo mais raciocı´nio. O caso n = k chama-se hipo´tese de induc¸a˜o.
Continuando a demonstrac¸a˜o, a ide´ia e´ sair da expressa˜o do lado esquerdo e chegar na expressa˜o do
lado direito, usando o fato que P (k) vale:
1+r+r2+. . .+rk+rk+1 = (1+r+. . .+rk)+rk+1 =
1− rk+1
1− r +r
k+1 =
1 + rk+1 + rk+1(1− r)
1− r =
1 + rk+1 + rk+2 − rk+1
1− r =
1− rk+2
1− r . C.Q.D.
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Capı´tulo 15. O me´todo indutivo
EXEMPLO 2:
P (n): (1 + x)n ≥ 1 + nx, se x ≥ −1.
i) P (1) e´ va´lida, visto que (1 + x)1 ≥ 1 + x = 1 + 1x;
ii) Suponha que P (k) vale, isso e´, que
(1 + x)k ≥ 1 + kx (hipo´tese de induc¸a˜o),
e daı´ vamos provar que