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Um convite à matemática_Daniel C Filho

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se intersectam em um ponto.
Exerc´ıcio 6:
i) Sejam x, y ∈ R. Uma func¸a˜o f : R→ R e´ cont´ınua no ponto x ∈ R quando,
∀² > 0, ∃δ > 0; |x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ².
ii)Sejam an, l ∈ R.
∀² > 0,∃n0 ∈ N;n ≥ n0 ⇒ |an − l| < ².
Exerc´ıcio 7:
a) Para todo nu´mero real x e para todo e´psilon positivo, existe um nu´mero irracional r,
tal que o mo´dulo da diferenc¸a de x e r e´ menor do que e´psilon.
b) Qualquer que seja o polinoˆmio de grau ı´mpar com coeficientes reais admite uma raiz
real.
Exerc´ıcio 8:
a) Caso z ∈ R e z ≥ 19, enta˜o 2z + 5 ≥ 43.
3
b) A equac¸a˜o |6u− u4|+ u = senu
98
u3 possui u = 1 como raiz. (O que e´ falso!)
Exerc´ıcio 9:
a) Verdadeiro no conjunto {−5 +
√
33
4
,
−5−√33
4
} e falso no complementar desse
conjunto.
b) Verdadeiro no conjunto {y ∈ Z; y = 10 − 3k, com k ∈ Z} e falso no complementar
desse conjunto.
c) Verdadeiro se o pol´ıgono for um paralelogramo e falso para pol´ıgonos de outro tipo.
Exerc´ıcio 10: (a), (d), (e), (f) e (g).
Exerc´ıcio 11:(d).
Exerc´ıcio 12:(b) e (c).
SUBSEC¸A˜O 2.2.1
Exerc´ıcio 1: A sentenc¸a 10 ≥ 10 e´ composta pelas sentenc¸as P : 10 = 10 e Q : 10 > 10,
e como o valor lo´gico de Q e´ verdadeiro, segue que a sentenc¸a “P ou Q” e´ verdadeira.
Exerc´ıcio 2: Proposic¸o˜es simples: (a), (b), (c), (d), (k) e (p); proposic¸o˜es compostas:
(e), (h), (j), (o) e (r).
Exerc´ıcio 3: (a) Verdadeiro, (b) Falso e (c) Verdadeiro.
Exerc´ıcio 4:
P Q R P ∧Q Q ∨R P ∧R P ∧ (Q ∨R) (P ∧Q) ∨ (P ∧R)
V V V V V V V V
V V F V V F V V
V F V F V V V V
F V V F V F F F
V F F F F F F F
F V F F V F F F
F F V F V F F F
F F F F F F F F
Exerc´ıcio 5:
a) i) Sim; ii) Pode; iii) Sim iv) Pode.
b) i) Na˜o; ii) Na˜o; iii) Sim iv) Na˜o.
Exerc´ıcio 6:
a) (ii); b) (ii); c) (v) e d) (iii).
Exerc´ıcio 7: (b) e (c).
SEC¸A˜O 2.3
Exerc´ıcio 3: Sa˜o os mesmos.
SUBSEC¸A˜O 2.3.1
Exerc´ıcio 2:
A mudanc¸a da posic¸a˜o do pareˆntesis em uma sentenc¸a pode definir uma outra
sentenc¸a, como comprova as tabelas-verdade acima.
Exerc´ıcio 3:
4
P Q R P ∨Q (P ∨Q)→ R
V V V V V
V V F V F
V F V V V
F V V V V
V F F V F
F V F V F
F F V F V
F F F F V
P Q R Q→ R P ∨ (Q→ R)
V V V V V
V V F F V
V F V V V
F V V V V
V F F V V
F V F F F
F F V V V
F F F V V
a)
P Q R P → Q (P → Q)→ R
V V V V V
V V F V F
V F V F V
F V V V V
V F F F V
F V F V F
F F V V V
F F F V F
b)
P Q P ∧Q (P ∧Q)→ P
V V V V
F V F V
V F F V
F V F V
c)
Exerc´ıcio 4: Apenas no item (b).
Exerc´ıcio 5: (P e´ F e Q e´ V ) ou (P e´ F e Q e´ F )
Exerc´ıcio 6:
5
P Q R P → Q Q ∧R P ∨ (Q ∧R) P ∨R P ∧ (P ∨R) ((P → Q)→ (P ∨ (Q ∧R))) ((P → Q)→ (P ∨ (Q ∧R)))→
(P ∧ (P ∨R))
V V V V V V V V V V
V V F V F V V V V V
V F V F F V V V V V
F V V V V V V F V F
V F F F F V V V V V
F V F V F F F F F V
F F V V F F V F F V
F F F V F F F F F V
P Q R P ∧Q (P ∧Q)→ R Q→ R P → (Q→ R) ((P ∧Q)→ R)→
(P → (Q→ R))
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V V V V
F V V F V V V V
V F F F V V V V
F V F F V V V V
F F V F V V V V
F F F F V F V V
a)
Como a u´ltima coluna da tabela verdade da sentenc¸a
((P ∧Q)→ R)→ (P → (Q→ R))
conte´m apenas o valor lo´gico V, conclu´ımos que
((P ∧Q)→ R)⇒ (P → (Q→ R)).
b)
P Q Q ∧ P Q→ (Q ∧ P ) P → (Q→ (Q ∧ P ))
V V V V V
V F F V V
F V F F V
F F F V V
Ja´ que a u´ltima coluna da tabela-verdade da sentenc¸a P → (Q→ (Q ∧ P )) conte´m
apenas o valor lo´gico V, decorre da definic¸a˜o que P ⇒ (Q→ (Q ∧ P )).
SUBSEC¸A˜O 2.4.2
Exerc´ıcio 3: Pretinho e´ pardo.
SUBSEC¸A˜O 2.4.3
6
Exerc´ıcio 1: (a)-(iii) e (b) -(i).
Exerc´ıcio 3: (a): Uma a´rvore e´ um livro; (b): 9 e´ maior do que cinco.
SUBSEC¸A˜O 2.4.4
Exerc´ıcio 3: Usando a notac¸a˜o da subsec¸a˜o 2.4.3:
Como P ⇒ Q, enta˜o P ⊂ Q. Da mesma forma, como Q⇒ R, tem-se Q ⊂ R. Logo,
como P ⊂ Q e Q ⊂ R, resulta P ⊂ R, o que implica P ⇒ R.
Exerc´ıcio 4: Sim.
Exerc´ıcio 5: (a): Q ⇒ P ; (b): C ⇒ T ⇒ U ; (c): X ⇒ Z ⇒ V ;
(d): I ⇒ H ⇒ L⇒ G;(c): F ⇒ D ⇒ E.
Exerc´ıcio 6: O s´ımbolo ‘⇒’ deve ligar duas sentenc¸as. Observe que: “Se x ∈ {1, 2}”
na˜o e´ uma sentenc¸a.
Exerc´ıcio 7: x3 − 6x + 2 = 0 ⇒ (x3 − 6x + 2).(x2 + 6) = 0.(x2 + 6) ⇒
x5 + 2x2 − 36x+ 12 = 0.
SEC¸A˜O 2.5
Exerc´ıcio 2: A inclusa˜o de conjuntos na˜o goza da propriedade sime´trica. A implicac¸a˜o
de sentenc¸as na˜o goza da propriedade comutativa. O exemplo de casos onde isso ocorre
fica por sua conta.
Exerc´ıcio 3: Usando a dica e a definic¸a˜o de mo´dulo temos:√
4 + 2
√
3−
√
4− 2√3 =
√
(
√
3 + 1)
2 −
√
(
√
3− 1)2 =
= |√3 + 1| − |√3− 1| = (√3 + 1)− (√3− 1) = 2.
Na penu´ltima igualdade usamos o fato de que
√
3 > 1.
Exerc´ıcio 4:
1.
1
3
− 1
7
=
7− 3
21
=
4
21
2.
x2 − 4
x− 2 =
(x− 2)(x+ 2)
x− 2 = x+ 2
3.
1
3
− 1
7
=
7− 3
21
=
4
21
4.
x2 − 4
x− 2 = x+ 2
5.
2
5
+ (
−8
9
) =
2
5
− 8
9
=
18− 40
45
= −22
45
Exerc´ıcio 5: Um triaˆngulo e´ um conjunto de pontos pertencentes a um plano. Dois
triaˆngulos de mesmo formato que ocupam lugares diferentes no plano na˜o podem ser
iguais, ja´ que os conjuntos de pontos que os formam sa˜o diferentes. Da´ı deve-se usar a
terminologia ‘congruente’ ao se referir a triaˆngulos desse tipo.
CAPI´TULO 3
7
SEC¸A˜O 3.1
Exerc´ıcio 1:
(a) E´ cada segmento de reta que compo˜e o triaˆngulo; (b) E´ cada um dos pontos em
comum a dois segmentos de reta que formam o triaˆngulo; (c) E´ a figura formada por
duas semi-retas de origem em um ve´rtice e que conte´m os lados do triaˆngulo que teˆm
em comum este ve´rtice; (d) A altura de um triaˆngulo relativa a um lado e´ o segmento de
reta perpendicular a este lado e que origina-se no ve´rtice oposto ao lado;(e) A mediana
de um triaˆngulo relativa a um lado e´ a semi-reta que origina-se no ponto me´dio deste
lado e e´ ortognal a reta que conte´m esse lado.
Exerc´ıcio 2: Duas retas que se intersectam e na˜o sa˜o coincidentes formam quatro
aˆngulos. Chama-se aˆngulo reto a qualquer desses aˆngulos quando forem congruentes.
Exerc´ıcio 3: (a) Conforme essa definic¸a˜o, todo conjunto de pontos seria uma reta; (b)
O que caracteriza esses “determinados conjuntos de nu´meros reais”? (c) A definic¸a˜o e´
um ciclo vicioso: usou-se a definic¸a˜o de grau para definir aˆngulo reto e a definic¸a˜o de
aˆngulo reto para definir grau.
Exerc´ıcio 4: (b)-i E´ a regia˜o formada por dois segmentos de retas que teˆm em comum
um ve´rtice do quadrila´tero e que intersecta o interior do quadrila´tero; (b)-ii ? (b)-iii
E´ o segmemento de reta trac¸ado de um ve´rtice do quadrila´tero a outro ve´rtice; (c) E´
um quadrila´tero cujo um lado e´ paralelo a um outro; (c) Na primeira figura, a primeira
condic¸a˜o; na segunda figura, a primeira e terceira condic¸o˜es.
Exerc´ıcio 9: A definic¸a˜o dada so´ faz sentido para m > n, logo ela na˜o vale para o
expoente zero.
Exerc´ıcio 10: Na˜o. Um desenho pode ajudar a formular uma definic¸a˜o.
Exerc´ıcio 11: E´ preciso dar sentido ao que esta´ escrito. Caso assumı´ssemos as
iqualdades, sem maiores esclarecimentos, ter´ıamos, por exemplo, 20%20% = (
1
5
)
1
5
.
Ficaria a pergunta: o que e´ 20%20%?
SUBSEC¸A˜O 3.2.1
Exerc´ıcio 1:
(a) Sim; (b) Sim. Sa˜o sempre verdadeiros.
Exerc´ıcio 2: x e y ... produto ... xy; P1) Associatividade. x, y .... (x.y).z; P2)
elemento neutro. θx = xθ; P3) da multiplicac¸a˜o. Para todo ... = yx = θ; P4)
Comutatividade...multiplicac¸a˜o. ... vale a igualdade =yx.
Exerc´ıcio 4: Considere uma reta r
Exerc´ıcio 5: (b) Na˜o. Com essa concepc¸a˜o de “reta”, o primeiro postulado seria falso.
Exerc´ıcio 6: (a) Axiomas 2, 3 e 4; (b) Axiomas 1, 2, 3 e 4;
SEC¸A˜O 3.3
Exerc´ıcio 1: (a) Sim; (b) Sim.
Exerc´ıcio 2: (a) a−n =
1
an
; an−m =
am
an
e a0 = 1. Essencialmente essas definic¸o˜es
asseguram uma identidade que se espera que ocorra: an−n =
an
an
= 1; (b) Por exemplo,
essas definic¸o˜es asseguram as igualdades a
n
n = a1 = a e n
√
an =