1 Conversão de Bases e Aritmética Computacional

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1 Conversão de Bases 
A informação básica em sistemas digitais é o bit, podendo assumir apenas dois valores: 
0 ou 1. Mas para representar essa informação em um computador, podemos utilizar a notação 
de alguns sistemas numéricos, tal como o octal, decimal e hexadecimal, além do binário. 
 
Como o sistema binário utiliza apenas dois símbolos (0 e 1), ele é chamado de base 2. O 
sistema octal utiliza os símbolos de 0 a 7, sendo chamado de base 8. Já o sistema mais usado 
pelos humanos é o decimal, utilizando os dígitos de 0 a 9, sendo chamado de base 10. Por fim, 
temos o sistema hexadecimal, sendo representado pelos algarismos de 0 a 9 e as letras de A a 
F, chamado de base 16. 
 
Segundo (NICOLOSI, 2004, pag.6), dentre as quatro bases apresentadas, é possível a 
realização de doze conversões diferentes, conforme a figura abaixo: 
 
 
Figura 1 – Doze conversões entre as quatro bases. 
A seguir são apresentadas algumas dessas conversões. 
1.1 Conversão de binário para decimal e vice-versa 
Podemos representar uma quantidade qualquer N, numa dada base b, da seguinte maneira: 
 
𝑁𝑏 = 𝑎0𝑏
𝑛 + 𝑎1𝑏
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛𝑏
0 – Equação 1 
 
Onde 𝑎0, 𝑎1…𝑎𝑛 são os respectivos dígitos de uma base qualquer, e n as respectivas 
potencias. 
 
Exemplo 1.1-a: Para converter o número 101101012 para a base decimal, fazemos: 
 
101101012 = 1x2
7 + 0x26 + 1x25 + 1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 
101101012 = 128
 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 
101101012 = 18110 
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Assim o número 10110101 na base binária, após a conversão, representa 181 na base 
decimal. 
 
Para realizarmos a conversão inversa, da base decimal para a base binária, utilizamos a 
mesma representação apresentada acima, utilizando uma tabela auxiliar: 
 
 
Tabela 1 – Conversão de base decimal para binaria. 
Exemplo 1.1-b: Para converter o número 18110 para a base binária, fazemos: 
 
18110 = 1x2
7 + 0x26 + 1x25 + 1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 
18110 = 101101012 
1.2 Conversão de binário para octal e vice-versa 
Para convertemos um numero na base binária para a base octal, separamos os algarismos 
do número binário em grupos de três algarismos (começando sempre da direita para a esquerda) 
e convertemos cada grupo de três algarismos para seu equivalente em octal, conforme a tabela 
abaixo: 
Binário Octal 
000 0 
001 1 
010 2 
011 3 
100 4 
101 5 
110 6 
111 7 
Tabela 2 - Conversão de base binária para Octal. 
 
Exemplo 1.2-a: Para converter o número 101101012 para a base octal, fazemos: 
 
101101012 = 010|110|101 
101101012 =2658 
 
A conversão da base octal para a base binária pode ser feita utilizando o mesmo princípio: 
 
Exemplo 1.2-b: Para converter o número 2658 para a base binária, fazemos: 
 
2658 = 2|6|5 
2658 = 010|110|101 
2658 = 101101012 
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1.3 Conversão de binário para hexadecimal e vice-versa 
A conversão da base octal para a base binária pode ser feita separando os algarismos do 
número binário em grupos de quatro algarismos (começando sempre da direita para a esquerda) 
e convertendo cada grupo de quatro algarismos para seu equivalente em hexadecimal, conforme 
a tabela abaixo: 
Binário Hexadecimal 
0000 0 
0001 1 
0010 2 
0011 3 
0100 4 
0101 5 
0110 6 
0111 7 
1000 8 
1001 9 
1010 A 
1011 B 
1100 C 
1101 D 
1110 E 
1111 F 
Tabela 3 - Conversão de base binária para Hexadecimal. 
Exemplo 1.3-a: Para converter o número 101101012 para a base hexadecimal, fazemos: 
 
101101012 = 1011|0101 
101101012 = B516 
 
A conversão da base hexadecimal para a base binária pode ser feita utilizando o mesmo 
princípio: 
 
Exemplo 1.3-b: Para converter o número B516 para a base binária, fazemos: 
 
B516 = B|5 
B516 = 1011|0101 
B516 = 101101012 
1.4 Conversão de decimal para octal e vice-versa 
Para converter números na base decimal para a base octal podemos utilizar o princípio da 
equação 1, convertendo para a base binaria e posteriormente para a base octal. 
 
Exemplo 1.4-a: Para converter o número 18110 para a base octal, fazemos: 
 
18110 = 101101012 , agora convertermos da base binária para a octal: 
 
101101012 = 010|110|101 
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101101012 =2658 
Para converter números na base octal para a base decimal também podemos utilizar o 
princípio da equação 1, sem a necessidade de conversão para a base binaria. 
 
Exemplo 1.4-b: Para converter o número 2658 para a base decimal, fazemos: 
 
2658 = 2x8
2 + 6x81 + 5x80 
2658 = 128 + 48 + 5 
2658 = 181
 
 
1.5 Conversão de decimal para hexadecimal e vice-versa 
Na converção de números na base decimal para a base hexadecimal podemos utilizar o 
princípio da equação 1, convertendo para a base binaria e posteriormente para a base octal. 
 
Exemplo 1.5-a: Para converter o número 18110 para a base hexadecimal, fazemos: 
 
18110 = 101101012 , agora convertermos da base binária para a hexadecimal: 
 
101101012 = 1011|0101 
101101012 = B516 
 
Durante a converso de números na base hexadecimal para a base decimal também podemos 
utilizar o princípio da equação 1. 
 
Exemplo 1.5-b: Para converter o número B516 para a base decimal, fazemos: 
 
B516 = 11x16
1 + 5x161 
B516 = 176 + 5 
B516 = 18110 
 
1.6 Conversão de hexadecimal para octal e vice-versa 
Por fim, para convertemos um número da base hexadecimal para a base octal, podemos 
primeiramente realizar a conversão para a base binária e posteriormente para a base octal. 
Exemplo 1.6-a: Para converter B516 para a base octal, fazemos: 
 
B516 = 101101012, agora convertermos da base binária para a octal: 
 
101101012 = 010|110|101 
101101012 =2658 
 
E para a conversão da base octal para a hexadecimal utilizamos o mesmo princípio acima: 
 
Exemplo 1.6-b: Para converter 2658 para a base hexadecimal, fazemos: 
 
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2658 = 101101012, agora convertermos da base binária para a hexadecimal: 
 
101101012 = 1011|0101 
101101012 = B516 
2 Aritmética Computacional 
As palavras de um computador são compostas por bits e podem representar números 
armazenados na memória. A manipulação dos números inclui operações de soma, subtração, 
multiplicação e divisão. 
2.1 Adição e Subtração 
De acordo com (HENNESSY & PATTERSON, 2014, pág. 128), dígitos são somados bit a 
bit, da direita para a esquerda, com carries (“vai-uns”), sendo passados para o próximo dígito á 
esquerda, como feito manualmente. A subtração utiliza a adição: o operando apropriado é 
simplesmente negado antes de ser somado. 
Para realizar a soma entre dois números binários, basta ficar atento as seguintes 
condições: 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 1 = 0, com vai “1” (carry) 
Exemplo 2.1-a: 1011012 + 1010112 
 1 1111  Carry 
101101 
 + 101011 
 1011000 
 
Para realizar a soma entre dois números binários, basta ficar atento as seguintes 
condições: 
0 - 0 = 0 
1 - 1 = 0 
1 - 0 = 1 
0 – 1 = 1, Emprestimo (vale 2) 
Exemplo 2.1-b: 1011012 - 1010112 
 02 Emprestimo 
101101 
 - 101011 
 000010 
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2.2 Multiplicaçãoe divisão 
A multiplicação de números binários é realizada da seguinte maneira: 
A - Multiplicando 
B_ - Multiplicador 
 C - Terceiro produto parcial 
 D_ -Quarto produto parcial - 
E -Produto Final 
Exemplo 2.2-a: 10002 x 10012 
1000 -Multiplicando 
 x 1001 -Multiplicador 
 1000 
 0000 
 0000 
 1000____ 
 1001000 - Produto final 
A divisão envolve um dividendo, um divisor e um quociente. No entanto, a divisão entre 
números binários envolve um processo mais detalhado, conforme os passos a seguir: 
1º - Inicialize o quociente em zero. 
2º - Subtraia o dividendo do divisor para ter o resto parcial(RP). 
• Se rp> =0, incremente o quociente e continue. 
• Se rp<0, pare. 
3º - O resto torna-se dividendo. Vá para o passo 2. 
Exemplo 2.2-b: 11001002 / 1100102 
 01100100 
Complemento de 2 do divisor (-50) +11001110 Quociente: 0000000 
 00110010 --> rp>0, então incrementa 
 
 00110010 
 +11001110 Quociente: 0000001 
 00000000 --> rp>0, então incrementa 
 
 00000000 
 +11001110 Quociente: 0000010 
 11001110 --> rp<0, então pare. 
 
 Resposta: 0000010, que é o quociente. 
 
 
 
 
 
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3 Bibliografia 
HENNESSY, J. L.; PATTERSON, D. A. Organização e Projeto de Computadores. Elsevier, 2014. 
NICOLOSI, D. E. C. Microcontrolador 8051 Detalhado. [S.l.]: Editora Erica, 2004. 
Aritmética Computacional, IFBA. Disponível em: 
http://www.ifba.edu.br/professores/antoniocarlos/aula6ads.pdf. Acesso em 10 mar. 2018