Mas Colell cap. 08 traduzido

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1 João Batista da Luz Souza / Microeconomia II / Mas-Colell and Green 
CAPITULO 08 - JOGOS SIMULTÂNEOS 
 
Introduction 
 
Passemos agora ao estudo de jogos racionais, onde os jogadores estão plenamente informados sobre 
a estrutura do jogo e a racionalidade dos outros. Neste capítulo, estudaremos jogos simultaneamente 
onde os jogadores se movem uma única vez e ao mesmo tempo. 
 
Sera introduzido os conceitos de estratégias dominantes e a dominados. Essas noções e a sua 
extensão no conceito de dominância fornecer elemento estratégico para os jogadores racional. Para 
isso sera necessario entendemos a idéia de estratégia racionalizável. 
 
Passando então a analise da extensões do conceito de equilíbrio de Nash, abrangendo situações com 
informações incompletas, com o conceito de equilíbrio de Nash bayesiano. 
 
8.B Dominantes e a Estratégias Dominado 
 
Estratégias dominantes 
 
Iniciamos nosso estudo ou jogos que se movem simultaneamente, considerando as previsões que 
podem ser feitas com base em um meio relativamente simples de comparar as possíveis estratégias 
de um jogador: a de dominação. 
 
Para isso inicialmente ignorar a possibilidade de que os jogadores possam randomize as suas 
escolhas de estratégia. Por isso, nosso foco está em jogos de estrategias puras: 
. 
 
Considere o jogo representado na Figura 8.B.1, o famoso Dilema do prisioneiro. A história por trás 
deste jogo é a seguinte: Dois indivíduos são presos por suposta prática de um crime grave e estão 
presos em celas separare, o procurador de distrito (AD) tenta extrair uma confissão de cada 
prisioneiro. Cada um privado de comunicação. Cada jogador pretende minimizar o tempo que ele 
passara preso. 
 
 
 
Qual será o resultado deste jogo ser? Uma resposta plausível é (confesso, confesso). Para ver 
porque, note que jogar "confessar" é a melhor estratégia de cada jogador independente a estratégia 
do outro jogador. Este tipo de estratégia é conhecido como estritamente dominante. 
 
Definição 8.B.1: Uma estratégia é estritamente dominante para o jogador i no jogo 
 se, para dado , temos . Para todo .O sinal (>) 
de desigualdade estrita simboliza a estratégia ser estritamente dominante. 
 
2 João Batista da Luz Souza / Microeconomia II / Mas-Colell and Green 
 
 
Ou seja, uma estratégia S, é uma estratégia estritamente dominante para o jogador i se maximiza a 
sua recompensa para qualquer estratégia que o jogador rival adote. Se um jogador tem uma 
estratégia estritamente dominante, como no Dilema do Prisioneiro, devemos esperar que ele realize 
a sua jogada nesta estratégia. 
 
O resultado (confesso, confesso) no Dilema do Prisioneiro embora seja o que esperamos que 
surjam, não é o melhor resultado para os jogadores. A de se observar que o auto-interesse e o 
comportamento racional levam a resultado que podem não ser o ótimo social. 
 
Uma forma de ver o resultado do Dilema do Prisioneiro é que, ao procurar maximizar os seus 
próprios payoff, cada prisioneiro tem um efeito negativo sobre seu parceiro, afastando-se do 
resultado (não confessar, não confessar). 
 
Estratégias dominadas 
 
 
Definição 8.B.2: Uma estratégia é dominada quando existe uma estratégia alternativa que gere uma 
recompensa maior, independente da estratégia que o rival jogue. Logo, esperamos que os jogadores 
não joguem estratégias dominadas, desta forma com a ideia de dominação é possível eliminar 
algumas estratégias e simplificar o jogo. 
 
Para se existe outra estratégia , tal que para todo : 
. É possível dizer que S’i domina estritamente Si 
 
Exemplo 8.B.1: Considere o jogo mostrado na Figura 8.B.2. Não existe uma estratégia estritamente 
dominante, mas a estratégia dominada. D para o jogador 1 é estritamente dominada pela estratégia 
de M (e também pela estratégia de U). 
 
 
Definição 8.B.3: Uma estratégia é fracamente dominante se existe outra estratégia com 
os casos D e U,M. . Com desigualdade estrita para pelo menos um S-i. 
 
Exemplo 8.B.2: Um jogo 1 tem duas estratégias estritamente fracamente dominadas, U e a M. 
Ambos são fracamente dominada pela estratégia D. 
 
 
3 João Batista da Luz Souza / Microeconomia II / Mas-Colell and Green 
 
 
Ao contrário de uma estratégia estritamente dominada, uma estratégia que é pouco dominado não 
pode ser descartada com base unicamente em princípios de racionalidade. É possível com calculo 
de probabilidade. 
 
Supressão iterada de estratégias estritamente dominadas 
 
Exemplo 8.B.3 – Dilema do prisioneiro, onde o prisioneiro 1 é amigo do delegado. Se forma que 
não confessar tem resultado de zero para o prisioneiro 1. 
 
 
 
P1 não tem estratégia dominante e nem dominada, já para P2 a estratégia dominante é confessar. 
Passos: i) Se confessar é estritamente dominante para o jogador 2, logo não confessar é estritamente 
dominada; ii) `racional eliminar não confessar das estratégias do jogador 2; ii) conclui-se que 
confessar seja a melhor estratégia para o jogador 1 dado a ação do jogador 2. 
 
Para que se chegue ao resultado do jogo, é necessário que os jogadores haja racionalmente. A 
eliminação de estratégias estritamente dominadas apenas exige que cada jogador seja racional, 
exigindo que um jogador saiba que o outro seja racional preso. Logo, um jogador precisa ter certeza 
da racionalidade do outro para eliminar uma estratégia estritamente dominada, sabendo que o 
oponente nunca joga estratégias dominadas. 
 
De um modo geral, se estamos dispostos a assumir que todos os jogadores são racionais e que os 
payoffs dos jogadores são de conhecimento comum (todo mundo é racional), então não precisa 
parar depois de apenas duas iterações. Podemos eliminar não apenas a primeira estratégia 
estritamente dominadas emas também a segunda estratégia que é estritamente dominada após a 
eliminação primeiro de estratégias e assim por diante. 
 
Note que a cada eliminação de estratégias, torna-se possível a formação de novas estratégias. No 
entanto, cada iteração adicional requer que o conhecimento de cada um dos outros jogadores 
racionalidade, um patamar mais profundo, o jogador deve agora saber não apenas que seu rivais são 
racionais, mas também que saibam que ele é, e assim por diante. 
 
Uma característica do processo de eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas é que 
a ordem de exclusão não afetam o conjunto de estratégias que permanecem no final (veja o 
 
4 João Batista da Luz Souza / Microeconomia II / Mas-Colell and Green 
Exercício 8.B.4), ou seja, se em algum ponto várias estratégias são estritamente dominada, então 
podemos eliminá-los todos de uma só vez ou em qualquer seqüência sem alterar o resultado final. 
 
Permitindo Estratégias Mistas 
 
Quando reconhecemos que os jogadores podem randomize sobre suas estratégias puras, as 
definições básicas de estratégias estritamente dominadas e dominantes podem ser generalizados de 
forma direta. 
 
Definição 8.B.4 - Uma estratégia é estritamente dominada para o jogador i no 
 jogo, se existe uma outra estratégia tal que para todo 
 
 
 
 
Neste caso, dizemos que a estratégia domina estritamente estratégia . Uma estratégia é 
uma estratégia estritamente dominante para o jogador i para o jogo , 
dominando estritamente cada estratégia em . 
 
8.C Estratégias racionalizáveis 
 
Na seção 8.B. nós eliminamos as estratégias estritamente dominada baseadas no argumento de que 
um jogador racional nunca iria escolher essa estratégia. Em seguida, usamos o conhecimento 
comum de cada um dos jogadores que são racionais e conhecem a estrutura do jogo. Isso justifica a 
remoção iterativa de estratégias estritamente dominadas. 
 
Em geral, porém, o conhecimento comum de cada um dos outros jogadores racionalidade e 
estrutura de jogo que nos permite eliminar mais do que apenas as estratégias que são iterativamente 
estritamente dominadas,aqui, nós desenvolvemos este ponto, levando ao conceito de estratégia 
racionalizável. O conjunto de estratégias racionalizáveis consiste precisamente dessas estratégias 
que podem ser jogados em um jogo onde a estrutura do jogo e a racionalidade dos jogadores são de 
conhecimento comum entre os jogadores, toda esta seção, vamos nos concentrar nos jogos da forma 
 (estratégias mistas são permitidas). 
 
Começamos com a definição 8.C.1. 
 
Definição 8.C.1 – em um jogo a estratégia é uma melhor resposta 
para o jogador i, as estratégias dos demais jogadores se para todos 
. A estratégia nunca é a melhor resposta se não ha para o qual é a melhor 
resposta (que justifique e escolha de ). 
 
Logo, a estratégia é melhor que  . É razoável supor que um 
jogador nunca queira jogar uma estratégia que não seja a melhor resposta. Logo, dado a hipótese do 
conhecimento comum é possível eliminar interativamente estas estratégias. 
 
No caso de estratégias estritamente dominadas, o conhecimento comum da racionalidade e da 
estrutura do jogo implica que podemos iterar a supressão de estratégias que nunca são a melhor 
resposta. Em particular, um jogador racional não deve jogar uma estratégia que nunca é a melhor 
Paula Carneiro
Highlight
 
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resposta uma vez que ele eliminares a possibilidade de que qualquer um de seus rivais pode 
desempenhar uma estratégia que nunca é a melhor resposta. 
 
Igualmente importante, as estratégias que permanecem depois desta eliminação iterativa são as 
estratégias que um jogador racional pode justificar ou racionalizar, afirmativamente com algumas 
conjecturas razoáveis sobre as escolhas de seus rivais, isto é, com uma conjectura que não assume 
que qualquer jogador vai jogar uma estratégia que nunca é a melhor resposta. 
 
Definição 8.C.2 - Em jogo , as estratégias de que sobrevivem a 
remoção iterada de estratégias que nunca são a melhor resposta são conhecidas como estratégias 
racionalizáveis do jogador i. . 
 
Note-se que o conjunto de estratégias racionalizáveis não pode ser maior do que o conjunto de 
estratégias de sobrevivência a remoção de iterativa de estratégias estritamente dominadas, porque, 
em cada etapa do processo iterativo (Definição 8.C.2), todas as estratégias que são estritamente 
dominada nessa fase são eliminadas. 
 
Exemplo 8.C.1: Considere o jogo. Qual é o conjunto de racionalizável de estratégias puras para os 
dois jogadores? 
 
 
 Jogador 2 
 
 
 
Jogador 1 
 A B C D 
A 5,2 2,6 1,4 0,4 
B 0,0 3,2 2,1 1,1 
C 7,0 2,2 1,5 5,1 
D 9,5 1,3 0,2 4,8 
 
Rodada 1: J2 - A é dominado por D (exclui A) 
 Jogador 2 
 
 
 
Jogador 1 
 A B C D 
A 5,2 2,6 1,4 0,4 
B 0,0 3,2 2,1 1,1 
C 7,0 2,2 1,5 5,1 
D 9,5 1,3 0,2 4,8 
 
Rodada 2: J1 - A é dominado por B e D é dominado por C (excluí A e D) 
 
 Jogador 2 
 
 
 
Jogador 1 
 A B C D 
A 5,2 2,6 1,4 0,4 
B 0,0 3,2 2,1 1,1 
C 7,0 2,2 1,5 5,1 
D 9,5 1,3 0,2 4,8 
 
Rodada 3: J2 - D é dominado por B (excluí D) 
 
 
 
6 João Batista da Luz Souza / Microeconomia II / Mas-Colell and Green 
 Jogador 2 
 
 
 
Jogador 1 
 A B C D 
A 5,2 2,6 1,4 0,4 
B 0,0 3,2 2,1 1,1 
C 7,0 2,2 1,5 5,1 
D 9,5 1,3 0,2 4,8 
 
Rodada 4: J1 - C é dominado por B (excluí C) 
 
 Jogador 2 
 
 
 
Jogador 1 
 A B C D 
A 5,2 2,6 1,4 0,4 
B 0,0 3,2 2,1 1,1 
C 7,0 2,2 1,5 5,1 
D 9,5 1,3 0,2 4,8 
 
 
O resultado do jogo é (B,B) = 3,2 
 
8.D Equilíbrio de Nash 
 
Nesta seção, apresentamos e discutimos o conceito de solução mais amplamente utilizada em 
aplicações da teoria dos jogos à economia, que é o equilíbrio de Nash. 
 
Para facilitar a exposição, inicialmente ignorar a possibilidade de que os jogadores possam 
randomizar sobre suas estratégias puras, restringindo a nossa atenção ao jogo . 
Estratégias mistas são introduzidos mais tarde. 
 
Dinição 8.D.1: Um perfil estratégia constitui um equilíbrio de Nash para o jogo 
se para cada 
 
 
Para todos 
 
Em um equilíbrio de Nash, a escolha de cada jogador é uma estratégia de melhor resposta (ver 
definição 8.C.1) para as estratégias realmente tocado pelo seu rivais. As palavras em itálico 
distinguir o conceito de equilíbrio de Nash do conceito de racionabilidade estudado na Seção 8.C 
Racionabilidade, que capta as implicações do conhecimento comum de todos sobre a racionalidade 
dos jogadores e o conhecimento da estrutura do jogo, exige apenas que a estratégia de um jogador 
seja a melhor resposta dada a conjectura (razoável) sobre o que seus rivais estarão jogando. 
 
Os exemplos 8.D.1 e 8.D.2 ilustram a utilização do conceito. 
 
 
 
 
 
 
7 João Batista da Luz Souza / Microeconomia II / Mas-Colell and Green 
 
 
Exemplo 8.D.1: Considere o jogo de dois jogadores que se movem simultaneamente mostrado na 
Figura 8.D.1. 
 
 
Podemos ver que (M, m.) é um equilíbrio de Nash. Se o jogador 1 escolhe M, então a melhor 
resposta do jogador 1 é escolher m, o inverso é verdadeiro para o jogador 2. Além disso, (M, m) é a 
única combinação de (pura) estratégias que é um equilíbrio de Nash. Por exemplo, o perfil de 
estratégia (U, r) não pode ser um equilíbrio de Nash, porque jogador 1 preferiria a desviar para a 
estratégia D, dado que o jogador 2 está jogando r. 
 
Lembrando que existem casos onde é possível encontrar mais de um equilíbrio de Nash. 
 
Discussão do conceito de Equilíbrio de Nash 
 
Por que poderia ser razoável esperar que as conjecturas dos jogadores uns sobre os outros jogar para 
ser correto? Ou, em termos mais acentuada, por que deveríamos nos preocupar com o conceito de 
equilíbrio de Nash? 
 
Uma série de argumentos tem sido apresentada para o conceito de equilíbrio de Nash e certamente 
irá reagir a eles com diferentes graus de satisfação. Além disso, um argumento pode parecer 
convincente em um aplicativo, mas não em todos os outro. Até muito recentemente, todos esses 
argumentos foram informais, como será a nossa discussão. A questão é uma das questões mais 
importantes na teoria dos jogos abertos, especialmente devido ao uso generalizado do conceito de 
equilíbrio de Nash em problemas aplicados, e ele está recebendo alguma atenção formal. 
 
1) Equilíbrio de Nash como conseqüência da inferência racional. Às vezes, é alegado que, 
porque cada jogador pode pensar nas considerações estratégicas enfrentadas por seus adversários, a 
racionalidade implica que os jogadores devem ser capazes de prever corretamente o que seus rivais 
vai jogar. Embora este argumento pode parecer atraente, ele está com defeito, como vimos na Seção 
8.C, a implicação do conhecimento comum da racionalidade dos jogadores (e da estrutura do jogo) 
é precisamente o que cada jogador deve jogar uma estratégia racionalizável. Racionalidade não 
implica necessariamente na previsão correta dos jogadores. 
 
2) Equilíbrio de Nash como uma condição necessária se houver um único resultado previsto 
para um jogo. Uma versão mais satisfatória da idéia anterior argumenta que ir há um único 
resultado previsto para um jogo, então os jogadores racionais vão entender isso. Portanto, para 
nenhum jogador a querer desviar, este resultado previsto deve ser um equilíbrio de Nash. Coloque 
um pouco diferente, os jogadores pensam e compartilham a crença de que existe uma forma 
particular e exclusiva para jogar um jogo, então deve ser um equilíbrio de Nash. 
 
Naturalmente, este argumento só é relevante quando há uma previsão única de como os jogadores 
vão jogar um jogo. A discussão na Seção de racionabilidade 8.C, no entanto, mostra que o 
conhecimento comum da racionalidade por si só não implica isso. Portanto, este argumento é 
 
8 João Batista da Luz Souza / Microeconomia II / Mas-Colell and Green 
realmente útil apenas em conjunto com alguma razão para que um determinadoperfil de estratégias 
pode ser o caminho óbvio para um jogo particular. Os outros argumentos para o equilíbrio de Nash 
que discutimos pode ser visto como combinar esse argumento com uma razão pela qual pode haver 
uma maneira "óbvia " para jogar um jogo. 
 
3) Os pontos focais. Acontece por vezes que certos resultados são chamados de pontos focais. Por 
exemplo, ter o encontro em Nova York e suponho que os restaurantes na zona da Grand Central são 
muito melhor. De repente, ir para a Grand Central parece que a coisa óbvia a fazer. Resultados focal 
também pode ser determinado culturalmente, como Schelling assinalou em sua discussão original, 
duas pessoas que não vivem em Nova York, tenderá a encontrar reunião no topo do edifício Empire 
State (um local turístico famoso) para ser focais, enquanto que dois nova-iorquinos vai encontrar 
Grand Central Station (estação ferroviária central), uma opção mais atraente. Nos dois exemplos, 
um dos resultados tem um apelo natural. A implicação do argumento (2) é que este tipo de recurso 
pode levar um resultado a ser a previsão clara de um jogo apenas se o resultado é um equilíbrio de 
Nash. 
 
4) Equilíbrio de Nash como um acordo de auto-execução. Outro argumento para o equilíbrio de 
Nash vem de imaginar que os jogadores podem se comunicar antes de jogar o jogo. Se os jogadores 
concordam em um resultado, este será naturalmente o resultado. Tendo em vista que há o 
pressuposto de que uma vez que os jogadores escolhem as suas estratégias, este acordo torna-se 
focal. Ou seja, se existe um acordo em jogar estratégia de equilíbrio de Nash este não é desviado. 
 
 
5) Equilíbrio de Nash como uma convenção social estável. Uma forma particular de jogar um 
jogo pode surgir ao longo do tempo se o jogo ocorre várias vezes e algumas convenção social 
estável emerge. A convenção pode tornar-se focal. 
 
Equilíbrio de Nash de estratégia mista 
 
It is straightforward to extend the definition of Nash equilibrium to games in which we allow the players to 
randomize over their puro strategies, 
 
Dinição 8.D.2: Um perfil de estratégia mista constitui um equilíbrio de Nash para o 
jogo se para cada 
 
 
Para todos 
 
Exemplo 8.D.4: Como um exemplo muito simples, considere a versão padrão do jogo de moedas da Figura 
8.D.3. Este é um jogo sem equilíbrio de estratégia pura. 
 
 
 
Por outro lado, é bastante intuitivo que há um equilíbrio de estratégia mista na qual cada jogador escolhe H 
ou T, com igual probabilidade. Quando um jogador adota jogadas aleatória, torna indiferente ao seu rival 
 
9 João Batista da Luz Souza / Microeconomia II / Mas-Colell and Green 
jogar cara ou coroa, e assim seu rival também está disposta a randomize entre as possibilidades com igual 
probabilidade. As estratégias jogadas com probabilidade é uma característica geral de equilíbrio de estratégia 
mista. 
 
Proposição 8.D.1: Vamos denotar o conjunto de estratégias puras aonde os jogador i possui um 
perfil de estratégias mista com probabilidade positiva . Perfil de estratégia é um 
equilíbrio de Nash no jogo se e somente se para todas as 
 
 
 
Assim, uma condição necessária e suficiente para o perfil de uma estratégia mista para um equilíbrio de 
Nash do jogo é que cada jogador, tendo em conta a distribuição de estratégias 
desempenhada por seus oponentes, é indiferente entre todas as estratégias puras que ele joga com 
probabilidade positiva e que essas estratégias puras são pelo menos tão boa como qualquer outra estratégia 
pura que ele joga com probabilidade zero, 
 
Uma implicação da Proposição 8.D.1 é que para testar se um perfil de estratégia é um equilíbrio de Nash, 
basta considerar apenas a desvios de estratégia pura (ou seja, mudanças na um jogador de estratégia para 
a alguma estratégia pura ). Contanto que nenhum jogador pode melhorar o seu retorno, por comutação 
para qualquer estratégia pura, é um equilíbrio de Nash. Por isso, obtemos um resultado em confomidade 
com o Corolário 8.D.1. 
 
Corolário 8.D.1: Estratégia pura perfil é um equilíbrio de Nash do jogo
, se e somente se é uma estratégia mista de equilíbrio de Nash em 
. 
 
Alguns economistas e teóricos do jogo de questionar a utilidade de equilíbrios de estratégia mista Nash 
como previsões de jogo. Eles levantam duas preocupações: 
 
1) Se os jogadores têm sempre uma estratégia pura que lhes dá o mesmo retorno esperado como na 
estratégia de equilíbrio mista, então não está claro por que eles vão se preocupar em randomize. 
2) A estabilidade dos equilíbrios de estratégia mista parece tênue, os jogadores devem utililizar as 
probabilidades corretas, mas não têm incentivo positivo para o fazer. 
 
Existência de Equilíbrio de Nash 
 
Será que um equilíbrio de Nash existe necessariamente em um jogo? Felizmente, a resposta é "sim" sob 
circunstâncias bastante amplas. Será descrito aqui dois dos mais importantes resultados que procuram 
comprovar a sua existência com base em modelo matemático do teoremas de ponto fixo. 
 
Proposição 8.D.2: Toda jogo em que os conjuntos S1,…,SI, têm um número finito 
de elementos que constitui estratégia de equilíbrio de Nash. Assim, o equilíbrio de Nash existe sempre, desde 
que estejamos dispostos a aceitar os equilíbrios em que os jogadores randomize. 
 
Proposição 8.D.3: Um equilíbrio de Nash existe no jogo se para todas as i=1,…,I 
 
1) Si é um convexo não vazio, e um subconjunto compacto de um espaço euclidiano RM 
2) ui(S1,…,SI) é contínua em (S1,…,SI) e quase côncavo em Si 
 
 
10 João Batista da Luz Souza / Microeconomia II / Mas-Colell and Green 
Proposição 8.D.3 fornece um resultado significativo, cujos requisitos estejam satisfeitos em uma ampla gama 
de aplicações econômicas. A convexidade de conjuntos de estratégia e a natureza das funções payoff ajudar a 
suavizar a estrutura do modelo, permitindo-nos alcançar um equilíbrio de estratégia pura. 
 
8.E Jogos de informações incompletas: Equilíbrio de Nash Bayesiano 
 
Até este ponto, assumimos que os jogadores conhecem todas as informações pertinentes sobre os outros, 
incluindo os retornos que cada um recebe dos vários resultados do jogo. Esses jogos são conhecidos como 
jogos de informação completa. Um momento de pensamento, entretanto, deve convencê-lo que esta é uma 
hipótese muito forte. Faça duas empresas em uma indústria, necessariamente, saber uns dos outros custos? 
Será que uma empresa de negociação com um sindicato, necessariamente, conhecer a desutilidade que os 
membros do sindicato vai se sentir se eles vão entrar em greve por um mês? Claramente, a resposta é "não". 
Pelo contrário, em circunstâncias especialmente muitos, os jogadores têm que se conhece como informações 
incompletas. 
 
A presença de informações incompletas levanta a possibilidade de utilização das crenças de um jogador sobre 
as preferências dos outros jogadores, suas crenças sobre suas crenças sobre suas preferências, e assim por 
diante, muito no espírito de racionabilidade. Felizmente, existe uma abordagem amplamente utilizada para 
este problema, originado por Harsanyi (1967-68), que torna desnecessárias. com esta abordagem, se imagina 
que as preferências de cada jogador são determinados pela realização de uma variável aleatória. Embora a 
realização da variável aleatória real é observado somente pelo jogador, a sua distribuição de probabilidade ex 
ante se presume ser de conhecimento comum entre todos os jogadores. Através desta formulação, a situação 
de informação incompleta é reinterpretado como um jogo de informação imperfeita: a natureza faz o primeiro 
movimento, a escolha de realizações das variáveis aleatórias o; determinar o tipo de cada jogador preferência, 
e cada jogador observa a realização de apenas a sua própria variável aleatória. Um jogo desse tipo é 
conhecido como um jogo bayesiano. 
 
Exemplo 8.E.1: Considere o jogo, onde o prisioneiro 1 tema probabilidade ߤ de ser do (tipo 1) e 
probabilidade de 1-	ߤ de ser do tipo (tipo II), movimentos dados pela natureza. 
 
Neste jogo, uma estratégia pura (um plano completo contingente) para o jogador 2 pode ser visto como uma 
função para cada realização do jogador 1 (tipo). 
 
 
O prisioneiro 2 tem quarto estrategias: 
 
(confesso, se tipo 1, confessar se tipo 2); 
(confesso, se tipo 1, não confessam se tipo 2); 
(não se confessar tipo 1, confessar se se tipo 2); 
 
11 João Batista da Luz Souza / Microeconomia II / Mas-Colell and Green 
(não se coofess tipo 1, não confessar se tipo 2). 
 
De acordo com o seu tipo é possivel montar o joga na forma normal. 
 
 
Formalmente, em um jogo bayesiano, cada jogador i tem uma função payoff onde , é 
uma variável aleatória escolhida pela natureza, que é observado somente pelo jogador i. A distribuição de 
probabilidade conjunta do é dada por , que se supõe ser do conhecimento comum entre os 
jogadores. Deixando um jogo bayesiano é resumida pelos dados do 
. 
 
A estratégia pura para o jogador i em um jogo bayesiano é uma função , ou regra de decisão, que dá a 
escolha do jogador para cada realização do seu tipo . O jogador i tem um conjunto de funções em 
estratégias pura estratégia definida . O jogador i tem o retorno esperado dado um perfil de estratégias puras 
para o jogado 1 é então dada por 
 
 
 
Agora podemos olhar para um (estratégia pura) ordinárias equilíbrio de Nash deste jogo de informação 
imperfeita, que é conhecido neste contexto como um equilíbrio de Nash bayesiano. 
 
Definição 8.E.1: O equilíbrio de Nash Bayesiano em estratégias puras é uma lista 
de regras de decisão (não mais estratégias) representada por que constitui o equilíbrio de 
Nash do jogo . Sendo que é um conjunto de regras de decisão. Isto é para todo i: 
 
 
 
Um ponto muito interessante notar é que em um (estratégia pura) equilíbrio de Nash bayesiano cada jogador 
deve jogar uma melhor resposta para a distribuição condicional das estratégias dos seus oponentes para cada 
tipo que ele pode acabar tendo. Proposição 8.E.1 fornece uma declaração mais formal deste ponto. 
 
Proposição 8.E.1: Um perfil de regras de decisão é um equilíbrio de Nash Bayesiano no 
jogo Bayesiano , se e somente se, que ocorrem com probabilidade positiva 
 
 
 
No exemplo 8. E.l para solucionar o jogo (estratégia pura) e encontrar o equilíbrio de Nash bayesiano, em 
primeiro lugar, observe que o tipo I de prisioneiro 2 deve jogar "confessar" com probabilidade 1 porque é a 
estratégia dominante deste. Da mesma forma, no tipo II de prisioneiro 2 também tem uma estratégia 
dominante "não confessar"